Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών ιπλωµατική Εργασία της Ευθυµίας- Βικτωρίας Σιούτα Σύµβουλος Καθηγητής: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής Πάτρα 009

2 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα σπουδών Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών Σύµβουλος Καθηγητής: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ ιπλωµατική Εργασία της ΕΥΘΥΜΙΑΣ ΒΙΚΤΩΡΙΑΣ ΣΙΟΥΤΑ Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής ΠΑΤΡΑ 009

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ... 8 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ... 8 ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ (ΥΠΕΡΘΕΣΗ) ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1 ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΝ ΤΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ENOΣ ΝΗΜΑΤΟΣ (ΜΙΑΣ ΧΟΡ ΗΣ) ΚΛΑΣΣΙΚΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ - ΠΕΙΡΑΜΑ YOUNG Εισαγωγή Φως και κβαντική µηχανική Το πείραµα της διπλής σχισµής... 1 Με σφαίρες... 1 Με µηχανικά κύµατα... 5 Με ηλεκτρόνια... 8 Παράρτηµα Το πείραµα των A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, (American Journal of Physics, Feb. 1989) ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΗΣ ΙΠΛΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ ΤΟΥ YOUNG ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Κατανοµή της έντασης φωτός δύο συµβαλλουσών φωτεινών πηγών Πλάτος πιθανοτήτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ - ΑΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΑ HEISENBERG Επιστροφή στο πείραµα της διπλής σχισµής Οι κβαντικές διαδροµές του Feynman Η Αρχή της αβεβαιότητας Παρατηρήσιµα φαινόµενα... 6 Η σταθερότητα και το µέγεθος των ατόµων... 6 Το µέγεθος των πυρηνικών ενεργειών υνάµεις από απόσταση και οι φορείς της αλληλεπίδρασης Μεσόνια Άλως νετρονίων

4 Η ΑΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΑ HEISENBERG ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ταχύτητες στην κυµατική κίνηση Κυµατοµάδες και οµαδική ταχύτητα... 7 Κυµατοπακέτα Κυµατοµάδα µε πολλές συνιστώσες. Το θεώρηµα εύρους ζώνης Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ ιαπέραση φράγµατος υναµική ενέργεια - διατήρηση ενέργειας Εφαρµογές του κβαντικού φαινοµένου σήραγγας Σαρωτικό µικροσκόπιο σήραγγας Πυρηνική φυσική και διάσπαση α ίοδοι σήραγγας (tunnel diode) Επαφή Josephson (Josephson junction) ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Κυµατικό φαινόµενο σήραγγας ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ - ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Άτοµα σε ηρεµία - στάσιµες καταστάσεις Το µοριακό ιόν του υδρογόνου Κυµατοσυναρτήσεις Ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης Φυσικά µεγέθη ως µέσες τιµές τελεστών Σωµατίδιο σε κουτί ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Στάσιµα κύµατα σε χορδή σταθερού µήκους Σωµατίδιο σε κουτί (κυµατική θεώρηση) ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η διπλωµατική αυτή εργασία εκπονήθηκε στο πλαίσιο του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος Σπουδών «Μεταπτυχιακή Εξειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών» και ειδικότερα του θεµατικού πεδίου ΚΦΕ61 «Θέµατα Σύγχρονης Φυσικής». Εντάσσεται: «σε µεθόδους και τεχνολογίες µεταφοράς της νέας γνώσης στη Β Βάθµια Εκπαίδευση». Η εργασία αυτή αποσκοπεί στο να παράγει επιµορφωτικό υλικό σε θέµατα σύγχρονης φυσικής που απευθύνεται σε εκπαιδευτικούς Φυσικών Επιστηµών Β Βάθµιας Εκπαίδευσης καθώς επίσης και στην παραγωγή µεθοδολογίας και τεχνολογίας για τη µεταφορά των επιτευγµάτων της σύγχρονης φυσικής στην τάξη και στην σχολική κοινότητα χρησιµοποιώντας µηχανικά ανάλογα. Για τη διπλωµατική αυτή εργασία αντλήθηκαν πληροφορίες από βιβλία και άρθρα σε επιστηµονικά περιοδικά καθώς και από το διαδίκτυο. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Καθηγητή της Σχολής Θετικών Επιστηµών & Τεχνολογίας Σπύρο Ευστ. Τζαµαρία για τις χρήσιµες υποδείξεις του και για τη γενικότερη βοήθεια που αφειδώς µου προσέφερε. 5

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο µικρόκοσµο, όπου εµφανίζονται τα κβαντοµηχανικά φαινόµενα δεν έχουµε εποπτεία. Επειδή αυτή υπάρχει στον κόσµο της κλασικής φυσικής, θα πρέπει να αναζητήσουµε κλασικά ανάλογα, κάτι που εκ πρώτης όψεως φαίνεται παράλογο. εδοµένου ότι θεµέλιο της κβαντικής φυσικής αποτελεί η κυµατική συµπεριφορά των φυσικών οντοτήτων θα αναζητήσουµε τα κλασικά ανάλογα από το πεδίο της κλασικής κυµατικής θεωρίας. Στην εργασία αυτή θα αναζητήσουµε κλασικά ανάλογα της σύγχρονης φυσικής στα κυµατικά φαινόµενα της κλασικής φυσικής. Η κβαντική φυσική δεν είναι εποπτική θεωρία. Αν αναλογιστούµε το κυµατοσωµατιδιακό δυϊσµό, καταλήγουµε πως τα φαινόµενα αυτά έχουν κλασικά ανάλογα σε φαινόµενα κυµατικής. Προκειµένου να συµβάλλουµε σε αυτήν την εποπτεία, θα παρουσιάσουµε αυτές τις αναλογίες αντλώντας παραδείγµατα φαινοµένων από την κυµατική φυσική. Για το σκοπό αυτό θα εξετάσουµε τα εξής φαινόµενα: το πείραµα της διπλής σχισµής του Young, την απροσδιοριστία Heisenberg, το φαινόµενο σήραγγας, και την επαλληλία καταστάσεων. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζουµε το πείραµα Young. Αρχικά παρουσιάζουµε την κβαντοµηχανική θεώρηση των αποτελεσµάτων µας. Στη συνέχεια, µέσω της κυµατικής κλασικής φυσικής παρουσιάζουµε το κλασικό ανάλογο του πειράµατος Young µε ηλεκτρόνια, όπου είναι το φως. Για το σκοπό αυτό στην αρχή του κεφαλαίου έχουµε παραθέσει µία εισαγωγή στην κυµατική φυσική. Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζουµε την απροσδιοριστία Heisenberg. Αρχικά παρουσιάζουµε την κβαντοµηχανική θεώρηση των αποτελεσµάτων µας, καθώς και κάποια από τα παρατηρήσιµα φαινόµενα αυτής της απροσδιοριστίας. Στη συνέχεια, µέσω της κυµατικής κλασικής φυσικής παρουσιάζουµε το κλασικό ανάλογο του κβαντοµηχανικού κυµατοπακέτου µε την απροσδιοριστία των σωµατιδίων στην κυµατική µέσω του θεωρήµατος εύρους ζώνης. 6

7 Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζουµε το φαινόµενο σήραγγας. Αρχικά παρουσιάζουµε την κβαντοµηχανική θεώρηση των αποτελεσµάτων µας καθώς και τις εφαρµογές του κβαντικού φαινοµένου σήραγγας στο Σαρωτικό µικροσκόπιο σήραγγας, στη διάσπαση α, στη δίοδο σήραγγας και στην επαφή Josephson. Στη συνέχεια, µέσω της κυµατικής κλασικής φυσικής παρουσιάζουµε το κυµατικό φαινόµενο σήραγγας µέσω του φαινοµένου της Ολικής Εσωτερικής Ανάκλασης του φωτός. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζουµε την επαλληλία καταστάσεων εξετάζοντας τις στάσιµες καταστάσεις (δηλαδή καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας). Αρχικά παρουσιάζουµε την κβαντοµηχανική θεώρηση των αποτελεσµάτων µας καθώς και παραδείγµατα στάσιµων καταστάσεων, όπως αυτές του µοριακού ιόντος του υδρογόνου και ενός σωµατιδίου παγιδευµένου σε κουτί. Στη συνέχεια, µέσω της κυµατικής κλασικής φυσικής παρουσιάζουµε το κλασικό ανάλογο των στάσιµων καταστάσεων, στα στάσιµα κύµατα σε χορδή σταθερού µήκους και στην κυµατική θεώρηση του σωµατιδίου σε κουτί. 7

8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Στην εργασία αυτή θα αναζητήσουµε κλασικά ανάλογα της σύγχρονης φυσικής στα κυµατικά φαινόµενα της κλασικής φυσικής. Χρειάζεται εποµένως να αναπτύξουµε ιδέες της κυµατικής φυσικής ώστε να περιγραφεί όσο το δυνατόν πληρέστερα η κυµατική συµπεριφορά των φυσικών οντοτήτων. ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Κύµα είναι µία διαταραχή στην κατάσταση ισορροπίας, η οποία ταξιδεύει ή διαδίδεται, από µία περιοχή του χώρου σε µία άλλη. Για να περιγράψουµε τα κύµατα θα χρειαστούµε τρεις φυσικές ποσότητες: το µήκος κύµατος, τη συχνότητα και την ταχύτητα του κύµατος. Το µήκος κύµατος είναι η ελάχιστη απόσταση ανάµεσα σε δύο τυχαία σηµεία του µέσου που διαδίδεται το κύµα που, ανά πάσα στιγµή, συµπεριφέρονται ακριβώς µε τον ίδιο τρόπο. Τα περισσότερα κύµατα στη φύση είναι περιοδικά. Ορίζουµε ότι η συχνότητα των περιοδικών κυµάτων ισούται µε το ρυθµό µε τον οποίο η κυµατική διαταραχή επαναλαµβάνεται, δηλαδή κάθε σηµείο του µέσου ταλαντώνεται µε αυτή τη συχνότητα. Τα κύµατα οδεύουν ή διαδίδονται µε συγκεκριµένη ταχύτητα, η οποία εξαρτάται µόνον από τις ιδιότητες του διαταρασσόµενου µέσου και όχι από τη ένταση της διαταραχής. Οδεύοντα κύµατα είναι τα κύµατα που προχωρούν σε ένα µέσο χωρίς όρια, ώστε να µην ανακλώνται πουθενά. Θα προχωρήσουµε δίνοντας τη µαθηµατική περιγραφή ενός µονοδιάστατου οδεύοντος κύµατος. Θεωρούµε ότι έχουµε έναν κυµατικό παλµό ο οποίος διαδίδεται σε ένα µακρύ τεντωµένο σκοινί, διαδιδόµενος προς τα δεξιά µε σταθερή ταχύτητα υ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Το σκοινί Σχ. 1. συµπίπτει µε τον άξονα x. Έτσι η εγκάρσια µετατόπιση του σκοινιού την οποία προξενεί η διαταραχή θα περιγραφεί από τη συντεταγµένη y. 8

9 Ονοµάζουµε πλάτος του κύµατος, ψ m, τη µέγιστη µετατόπιση της διαταραχής κατά τον άξονα των y. Η ταχύτητα του κύµατος, υ, είναι σταθερή. Έτσι, στο χρονικό διάστηµα t, ο κυµατικός παλµός διανύει απόσταση ίση προς υt προς τα δεξιά. Ας υποθέσουµε ότι το σχήµα του κυµατικού παλµού παραµένει αµετάβλητο µε τη πάροδο του χρόνου (δηλαδή δεν υπάρχει απόσβεση). Μπορούµε να περιγράψουµε την προς τα δεξιά µετατόπιση ψ της διαταραχής, για όλες τις επόµενες χρονικές στιγµές t, σε ένα ακίνητο σύστηµα αναφοράς µε αρχή συντεταγµένων το 0 ως: ψ= f (x υ t). Παροµοίως, εάν ο κυµατικός παλµός διαδίδεται προς τα αριστερά, η µετατόπιση ψ της διαταραχής περιγράφεται ως: ψ= f (x+υ t). Το στιγµιότυπο της διαταραχής ονοµάζεται κυµατοσυνάρτηση ή κυµατική συνάρτηση και προφανώς είναι η µαθηµατική σχέση που περιγράφει τη διαταραχή συναρτήσει θέσης (x) και χρόνου (t). Για έναν παλµό που κινείται χωρίς να αλλοιώνεται η µορφή του, θα πρέπει η ταχύτητά του είναι ίδια παντού µέσα στο µέσο διάδοσης. Είναι προφανές ότι το κύµα κινείται µε µέτρο ταχύτητας dx υ=. dt Η ταχύτητα του κύµατος, υ, πολλές φορές συµπίπτει µε την ταχύτητα φάσης ή φασική ταχύτητα. εν πρέπει όµως να τη συγχέουµε µε την εγκάρσια ταχύτητα (κατά τη διεύθυνση y) µε την οποία κινούνται τα διαταρασσόµενα σωµάτια του µέσου διάδοσης του κύµατος. Για να µπορέσουµε να αναλύσουµε ένα σύνθετο κύµα σε άλλα απλούστερα χρησιµοποιούµε την αρχή της επαλληλίας (ή υπέρθεσης), που είναι συνέπεια της γραµµικότητας της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει τη δυναµική του κύµατος και ορίζει ότι: Εάν δύο ή περισσότερα κύµατα διαδίδονται στο ίδιο µέσο, τότε η συνιστάµενη κυµατοσυνάρτηση, οπουδήποτε εντός του µέσου, είναι το αλγεβρικό άθροισµα των κυµατοσυναρτήσεων των επιµέρους κυµάτων. 9

10 Μια πολύ σηµαντική µορφή κύµατος είναι αυτή του αρµονικού κύµατος που διαδίδεται σε µία διάσταση. Τα αρµονικά κύµατα περιγράφονται από ηµιτονοειδείς συναρτήσεις. Τη στιγµή t=0 µπορούµε να γράψουµε ότι η εγκάρσια µετατόπιση της διαταραχής περιγράφεται από τη σχέση: Σχήµα : ύο στιγµιότυπα µονοδιάστατου αρµονικού κύµατος που διαδίδεται προς τα δεξιά µε ταχύτητα υ. Η µια καµπύλη είναι στιγµιότυπο τού κύµατος κατά την στιγµή t = 0, ενώ η άλλη αντίστοιχη στη στιγµή t. π ψ=αsin x λ (1) σε κάθε θέση µε τετµηµένη x. Το Α είναι σταθερά, ονοµάζεται πλάτος του κύµατος και αντιπροσωπεύει τη µέγιστη µετατόπιση της διαταραχής. Η σταθερά λ είναι το µήκος κύµατος. Βλέπουµε λοιπόν ότι η µετατόπιση επαναλαµβάνεται κάθε φορά που προσθέτουµε στο χ ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του λ. Εάν το κύµα κινείται προς τα δεξιά µε ταχύτητα φάσης υ, µετά από χρόνο t η κυµατοσυνάρτηση έχει τη µορφή: π ψ=αsin (x υt) λ. Το χρονικό διάστηµα t κατά το οποίο το κύµα διαδίδεται σε απόσταση ίση προς το ένα µήκος κύµατος ονοµάζεται περίοδος Τ. Εποµένως, η ταχύτητα φάσης υ, η περίοδος Τ και το µήκος κύµατος λ συνδέονται µε τη σχέση: λ υ= Τ ή λ=υτ. Εάν θέσουµε τα παραπάνω στη σχέση (1), βρίσκουµε ότι: t ψ=αsin π χ λ Τ (). Αυτή η σχέση δείχνει την περιοδική εξάρτηση τής µετατόπισης ψ τής διαταραχής. ηλαδή, για οποιαδήποτε δεδοµένη στιγµή t (λ.χ. ένα φωτογραφικό στιγµιότυπο τού κύµατος) η ψ έχει την ίδια τιµή στις θέσεις x, x + λ, x + λ, κ.λπ., όπου x είναι µια τυχαία τιµή. Επί πλέον, για µια οποιαδήποτε δεδοµένη θέση χ, η ψ έχει την ίδια τιµή στις στιγµές t, t + Τ, t + Τ, κ.λπ. Πολλές φορές, εκφράζουµε την αρµονική κυµατοσυνάρτηση χρησιµοποιώντας δύο άλλα µεγέθη, 10

11 τον κυµατικό αριθµό k και την κυκλική συχνότητα ω (ορισµένες φορές την ονοµάζουµε και γωνιακή συχνότητα): π Κυµατικός αριθµός : k = λ Κυκλική συχνότητα: π ω= Τ. Χρησιµοποιούµε τις σχέσεις αυτές και ξαναγράφουµε την Εξίσωση (): ψ=αsin(kx ω t) (3). Αυτή είναι η µορφή της κυµατοσυνάρτησης που θα µεταχειριζόµαστε πιο συχνά από τις άλλες. Ορίζουµε ότι η συχνότητα f ενός αρµονικού κύµατος ισούται µε τον αριθµό των κορυφών (ή οποιουδήποτε άλλου σηµείου τού κύµατος) που θα περάσουν από ένα σταθερό σηµείο σε ένα δευτερόλεπτο. Η συχνότητα και η περίοδος συνδέονται µε τη σχέση: 1 f = Τ. Η µονάδα της συχνότητας είναι το s -1 ή το hertz (Hz), ενώ της περιόδου το s. Εάν χρησιµοποιήσουµε τις ξαναγράψουµε τη φασική ταχύτητα υ παραπάνω εξισώσεις, µπορούµε να µε τις µορφές: ω υ= και υ=λ f. κ Η µορφή της κυµατοσυνάρτησης της Εξίσωσης (3) προϋποθέτει ότι η εγκάρσια µετατόπιση ψ = 0, όταν x = 0 και t = 0. Αυτό όµως δεν είναι απαραίτητο. Εάν η εγκάρσια µετατόπιση ψ τής διαταραχής δεν είναι µηδενική, όταν x= 0 και t= 0, τότε, γενικά, γράφουµε ότι η κυµατοσυνάρτηση έχει τη µορφή: ψ=αsin(kx ωt φ ), όπου η φ ονοµάζεται σταθερά φάσης (ή αρχική φάση). Η σταθερά αυτή προσδιορίζεται συνήθως µε τη χρησιµοποίηση των αρχικών συνθηκών τού προβλήµατος. 11

12 ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ (ΥΠΕΡΘΕΣΗ) ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Ας εφαρµόσουµε την αρχή τής επαλληλίας σε δύο αρµονικά κύµατα τα οποία διαδίδονται κατά την ίδια κατεύθυνση σε ένα µέσο. Ας υποθέσουµε ότι και τα δύο κατευθύνονται προς τα δεξιά και ότι έχουν την ίδια συχνότητα, το ίδιο µήκος κύµατος και πλάτος, αλλά έχουν διαφορετική φάση. Γράφουµε, λοιπόν, τις κυµατοσυναρτήσεις τους ως ψ =Α 1 0 sin(kx ω t) και ψ =Α sin(kx t ) 0 ω φ Η συνιστάµενη κυµατοσυνάρτηση τους ψ είναι λοιπόν: 1 0 [ sin(kx t) sin(kx t )] ψ=ψ +ψ =Α ω + ω φ Ας θυµηθούµε όµως την ακόλουθη τριγωνοµετρική ταυτότητα: a b a+ b sin a+ sin b= cos( )sin( ) φ φ Την εφαρµόζουµε στην ψ και βρίσκουµε ότι: ψ= (Α0 cos ) sin(kx ωt ). Ας σχολιάσουµε την σχέση αυτή. Πρώτα από όλα βλέπουµε ότι το συνιστάµενο κύµα είναι και αυτό αρµονικό (διότι η µεταβολή τής διαταραχής από τον χρόνο και την απόσταση περιγράφεται από ηµίτονο ή συνηµίτονο), έχει την ίδια κυκλική συχνότητα ω µε τα επιµέρους κύµατα, καθώς και τον ίδιο κυµατικό αριθµό (και εποµένως το ίδιο µήκος κύµατος). Το πλάτος τού συνιστάµενου κύµατος είναι Α 0 cos (φ/) και έχει φάση φ/ που ορίζεται φ στον όρο sin(kx ωt ). Εάν φ =0, τότε, επειδή cos(φ/) = cos0 = 1, το πλάτος του συνιστάµενου κύµατος είναι Α 0. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι το πλάτος της συνιστάµενης κυµατικής διαταραχής είναι διπλάσιο τού πλάτους των επιµέρους κυµατικών διαταραχών. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι τα δύο αρχικά κύµατα βρίσκονται σε φάση (διότι πήραµε φ = 0) και συµβάλλουν ενισχυτικά. Με άλλα λόγια, τα µέγιστα και τα ελάχιστα τους συµπίπτουν ως προς τον χρόνο και τον χώρο (Σχήµα 3a). Γενικά, όταν η διαφορά φάσης, φ, δύο κυµάτων είναι φ= 0, π, 4π,... (cos(φ/) = ±1) έχουµε ενισχυτική συµβολή. 1

13 Εάν όµως φ = π, 3π, 5π,... (περιττό ακέραιο πολλαπλάσιο τού π), τότε cos(φ/) = cos(π/) = 0 και εποµένως το πλάτος τού συνιστάµενου κύµατος είναι µηδέν και το συνιστάµενο κύµα έχει µηδενικό πλάτος παντού. Τότε λέµε ότι τα δύο κύµατα συµβάλλουν καταστρεπτικά. Με άλλα λόγια, το µέγιστο τού ενός κύµατος συµπίπτει µε το ελάχιστο τού άλλου και έτσι αλληλοκαταργούνται παντού (Σχήµα 3b). Τέλος, όταν η φάση τους έχει µια τυχαία τιµή ανάµεσα στο 0 και στο π, τότε το συνιστάµενο κύµα έχει πλάτος ανάµεσα στο 0 και στο Α 0. Σχήµα 3: Η επαλληλία (υπέρθεση) δύο κυµάτων µε πλάτος ψ 1 και ψ, αντίστοιχα, (a). Όταν τα δύο κύµατα βρίσκονται σε φάση, τότε το αποτέλεσµα είναι ενισχυτική συµβολή, (b). Όταν τα δύο κύµατα έχουν διαφορά φάσης 180, τότε το αποτέλεσµα είναι καταστρεπτική συµβολή. 13

14 ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ - ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΜΒΟΛΗ Είδαµε παραπάνω ότι δύο κύµατα µπορεί να συµβάλλουν ενισχυτικά η καταστρεπτικά. Όταν η συµβολή είναι ενισχυτική, το πλάτος τού συνιστάµενου κύµατος είναι µεγαλύτερο από το πλάτος τού ενός ή τού άλλου των συµβαλλόντων κυµάτων. Αντίθετα, στην καταστρεπτική συµβολή, το πλάτος τού συνιστάµενου κύµατος είναι µικρότερο. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα κύµατα φωτός όταν αυτά συµβάλλουν. Συµβολή τού φωτός σηµαίνει συµβολή των αντίστοιχων ηλεκτροµαγνητικών πεδίων από τα οποία αποτελούνται τα κύµατα. εν είναι όµως εύκολο να παρατηρήσουµε φαινόµενα συµβολής τού φωτός, διότι το µήκος κύµατος τού ορατού φωτός είναι πάρα πολύ µικρό (από 4x 10-7 m έως 7 x 10-7 m). Για να µπορέσουµε να παρατηρήσουµε στάσιµη συµβολή ορατού φωτός (δηλαδή συµβολή στην οποία τα αποτελέσµατα είναι σταθερά και δεν µεταβάλλονται µε τον χρόνο), πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες: 1. Οι πηγές πρέπει να είναι σύµφωνες, δηλαδή να έχουν σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ τους.. Οι πηγές πρέπει να είναι µονοχρωµατικές, δηλαδή να εκπέµπουν ένα µόνο µήκος κύµατος φωτός το οποίο θα είναι το ίδιο και για τις δύο πηγές. Προφανώς έχουµε φαινόµενο συµβολής διότι και στην ηλεκτροµαγνητική κυµατική εξίσωση ισχύει η αρχή της επαλληλίας, λόγω της γραµµικότητάς της. Ακολούθως θα περιγράψουµε τα χαρακτηριστικά σύµφωνων πηγών. Όπως έχουµε αναφέρει, για να υπάρξει το φαινόµενο τής συµβολής πρέπει να προϋπάρχουν δύο οδεύοντα κύµατα. Για να υπάρξει όµως στάσιµη συµβολή, τα επιµέρους κύµατα πρέπει να έχουν συνεχώς σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι οι δύο αυτές πηγές είναι σύµφωνες. Λόγου χάρη, εάν έχουµε δύο µεγάφωνα το ένα δίπλα στο άλλο, τα οποία είναι συνδεδεµένα µε τον ίδιο ενισχυτή, τότε τα δύο ηχητικά κύµατα (που παράγει ο ενισχυτής µέσω των δύο µεγαφώνων θα συµβάλλουν δίνοντας ένα σταθερό αποτέλεσµα συµβολής, διότι τα δύο µεγάφωνα αντιδρούν ταυτόχρονα και κατά τον ίδιο τρόπο στο ίδιο σήµα που παίρνουν από το ενισχυτή. Ας πάρουµε τώρα δύο ξεχωριστές πηγές φωτός που είναι τοποθετηµένες µια δίπλα στην άλλη. Τα φωτεινά κύµατα που εκπέµπουν οι δύο αυτές πηγές είναι προφανές ότι συµβάλλουν, αλλά επειδή τα εκπεµπόµενα κύµατα από τις δύο πηγές είναι ανεξάρτητα, η διαφορά φάσης τους µεταβάλλεται συνεχώς χωρίς συγκεκριµένη σχέση στο χρόνο. Εποµένως, κατά την διάρκεια της παρατήρησης, το αποτέλεσµα 14

15 τής συµβολής δεν είναι µια στάσιµη κατάσταση κατά την οποία σε κάθε σηµείο τού χώρου η συνιστάµενη διαταραχή έχει σταθερό πλάτος. Έτσι, δεν παρατηρείται καµιά συγκεκριµένη εικόνα συµβολής. Το φως που εκπέµπουν οι κοινοί λαµπτήρες αποτελείται από πολλές φωτοβολούσες δοµικές µονάδες, οι οποίες δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, και µεταβάλλεται µέσα σε χρονικά διαστήµατα της τάξης των 10-8 s. Εποµένως οι συνθήκες για ενισχυτική, καταστρεπτική ή µια ενδιάµεση κατάσταση συµβολής διαρκούν µόνο χρονικά διαστήµατα των 10-8 s. Ο οφθαλµός µας όµως δεν µπορεί να παρατηρήσει τόσο γρήγορες µεταβολές, δεν µπορεί να παρατηρήσει αυτό το πολύ βραχύβιο φαινόµενο συµβολής. Αυτές οι πηγές καλούνται ασύµφωνες. Ο συνήθης τρόπος παραγωγής δύο σύµφωνων πηγών φωτός είναι ο εξής: Με µια πηγή µονοχρωµατικού φωτός φωτίζουµε ένα πέτασµα στο οποίο έχουµε ανοίξει δύο µικρές οπές (συνήθως σχήµατος ορθογώνιων σχισµών). Το φως που εξέρχεται από τις δύο αυτές οπές-πηγές είναι σύµφωνο. Και τούτο διότι προέρχεται από την ίδια πηγή και το µόνο που κάνουν οι δύο σχισµές είναι να κόβουν την αρχική δέσµη σε δύο. Οποιαδήποτε τυχαία µεταβολή της φωτεινής πηγής θα µεταβάλει ταυτόχρονα τις δύο ξεχωριστές δέσµες, εποµένως θα µπορέσουµε να παρατηρήσουµε στάσιµες εικόνες συµβολής. 15

16 Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΝ ΤΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ENOΣ ΝΗΜΑΤΟΣ (ΜΙΑΣ ΧΟΡ ΗΣ) Καθώς ένα κύµα διαδίδεται σε ένα µέσο, µεταφέρει ενέργεια. Για να το διαπιστώσουµε κρεµούµε µια µάζα από ένα τεντωµένο νήµα και στέλνουµε έναν κυµατικό παλµό στο νήµα. Όταν ο παλµός φτάσει στην µάζα, θα την µετατοπίσει προς τα επάνω. Για να την µετατοπίσει όµως προς τα επάνω, σηµαίνει ότι ο παλµός πρέπει να. έχει δώσει ενέργεια στη µάζα. Θα µελετήσουµε τον ρυθµό µε τον οποίο ένα κύµα µεταφέρει ενέργεια κατά µήκος ενός νήµατος. Θα υποθέσουµε ότι το κύµα είναι µονοδιάστατο αρµονικό και θα υπολογίσουµε την ισχύ που µεταφέρει. Θεωρούµε ότι ένα αρµονικό κύµα οδεύει σε ένα νήµα (Σχήµα 1). Η πηγή της ενέργειας είναι κάποιο εξωτερικό αίτιο στο αριστερό άκρο τού νήµατος, το οποίο παρέχει ενέργεια στο νήµα ταλαντώνοντας το. Ας εστιάσουµε την προσοχή µας σε ένα µικρό κοµµάτι τού νήµατος, µήκους x και µάζας m. Αυτό, όπως και κάθε άλλο όµοιο µικρό κοµµάτι, ταλαντώνονται κατακόρυφα εκτελώντας απλή αρµονική κίνηση µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω και µε το ίδιο πλάτος Α. Γνωρίζουµε ότι η ολική ενέργεια Ε ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική κίνηση είναι: 1 1 Ε= DA = mω Α, όπου D = mω είναι η σταθερά της δύναµης επαναφοράς. Εάν εφαρµόσουµε τη σχέση αυτή σε ένα στοιχειώδες τµήµα του νήµατος µήκους x βρίσκουµε ότι η ολική ενέργεια του στοιχειώδους τµήµατος είναι: 1 Ε= ( m) ω Α Σχήµα 1: Αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά τον άξονα x σε τεταµένο νήµα. Κάθε µικρό τµήµα κινείται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση και όλα τα ισοµεγέθη τµήµατα έχουν την ίδια ολική ενέργεια. Η ισχύς που διαδίδεται µε το κύµα ισούται µε την ενέργεια την οποία περιέχει ένα µήκος κύµατος διαιρεµένη µε την περίοδο τού κύµατος. 16

17 Εάν η γραµµική πυκνότητα µάζας (µάζα ανά µονάδα µήκους) τού νήµατος είναι µ, τότε η µάζα m τού στοιχειώδους τµήµατος µήκους x είναι µ x. Ξαναγράφουµε λοιπόν την ενέργεια Ε ως 1 ( x) Ε= µ ω Α. Εάν το κύµα διαδίδεται από τα αριστερά προς τα δεξιά, τότε η ενέργεια Ε του στοιχειώδους τµήµατος προέρχεται από το έργο που παρήγαγε το αµέσως προηγούµενο στα αριστερά του στοιχειώδες τµήµα. Παροµοίως, το υπό µελέτη στοιχειώδες τµήµα παράγει έργο στο επόµενο προς τα δεξιά του στοιχειώδες τµήµα κ.ο.κ. Η ισχύς, δηλαδή ο ρυθµός της ενέργειας που µεταφέρεται κατά µήκος τού νήµατος, είναι d Ε. Ας πάρουµε τώρα στην προηγούµενη Εξίσωση x 0. dt Τότε: dε 1 dx Ισχύς = = µ ω Α dt dt. Αλλά dx dt είναι η ταχύτητα διάδοσης, υ του 1 κύµατος, οπότε: Ισχύς = µω Α υ. Εποµένως η ισχύς που µεταφέρει ένα αρµονικό κύµα κατά µήκος ενός νήµατος είναι ανάλογη προς (a) την ταχύτητα διάδοσης τού κύµατος, (b) προς το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας και (c) προς το τετράγωνο τού πλάτους. Με άλλα λόγια, η ισχύς που µεταφέρουν τα αρµονικά κύµατα είναι ανάλογη προς το τετράγωνο της συχνότητας και το τετράγωνο τού πλάτους τους. Το συµπέρασµα αυτό ισχύει γενικά για όλα τα αρµονικά κύµατα. Βλέπουµε λοιπόν ότι η διάδοση ενός κύµατος εντός κάποιου µέσου αντιστοιχεί σε µεταφορά ενέργειας χωρίς να υπάρχει καθαρή µεταφορά ύλης. Μια ταλαντούµενη πηγή δίνει την αρχική ενέργεια προκαλώντας µια αρµονική διαταραχή στο µέσο. Η διαταραχή αυτή διαδίδεται εντός τού µέσου λόγω των αλληλεπιδράσεων των γειτονικών σωµατίων. 17

18 ΚΛΑΣΣΙΚΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στα κβαντοµηχανικά φαινόµενα που εµφανίζονται στο µικρόκοσµο, δεν έχουµε εποπτεία, οπότε ως εκπαιδευτικός-επιστήµονας, προσπαθώ να αποµονώσω την ύλη που θα διδάξω και να τη συνδυάσω µε φαινόµενα στα οποία υπάρχει εποπτεία. Επειδή αυτή υπάρχει στον κόσµο της κλασικής φυσικής, θα πρέπει να αναζητήσουµε κλασικά ανάλογα, κάτι που εκ πρώτης όψεως φαίνεται παράλογο. εδοµένου ότι θεµέλιο της κβαντικής φυσικής αποτελεί η κυµατική συµπεριφορά των φυσικών οντοτήτων θα αναζητήσουµε τα κλασικά ανάλογα από το πεδίο της κλασικής κυµατικής θεωρίας. 18

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ - ΠΕΙΡΑΜΑ YOUNG Εισαγωγή Φως και κβαντική µηχανική Τον 17ο αιώνα, ο Isaac Newton διατύπωσε την άποψη ότι το φως µπορούσε να θεωρηθεί ως ένα ρεύµα σωµατιδίων, κάπως σαν τις σφαίρες που εκτοξεύονται από ένα πολυβόλο. Αντίθετα, ο Huygens υπέθετε ότι το φως δεν είναι ρεύµα σωµατιδίων αλλά ένα είδος κυµατικής κίνησης. Το 19ο αιώνα, ο Thomas Young και άλλοι έδειξαν πειστικά ότι η σωµατιδιακή εικόνα του φωτός πρέπει να ήταν λανθασµένη ή τουλάχιστον µη επαρκής. Υποστήριξαν την ιδέα ότι το φως ήταν ένα είδος κύµατος. Χρησιµοποιώντας την περίφηµη διάταξη της «διπλής σχισµής» για να δηµιουργήσει δύο πηγές φωτός, ο Thomas Young παρατήρησε εικόνες κυµατικής συµβολής χρησιµοποιώντας φως, όπως εάν χρησιµοποιούσε µηχανικά κύµατα. Πειράµατα στο τέλος του 19ου αιώνα αποκάλυψαν φαινόµενα που έµεναν ανεξήγητα και από την κυµατική θεωρία του φωτός. Το πιο γνωστό από αυτά αφορά το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο. Υπεριώδης ακτινοβολία που πέφτει πάνω σε µια αρνητικά φορτισµένη µεταλλική επιφάνεια την κάνει να χάνει το ηλεκτρικό της φορτίο, ενώ όταν πέφτει ορατό φως δεν παρατηρείται κανένα παρόµοιο φαινόµενο. Αυτό το αίνιγµα το εξήγησε πρώτος ο Albert Einstein στις πρώτες δεκαετίες του 0 ου αιώνα. Η δική του εξήγηση για το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο έκανε να αναβιώσει η άποψη της σωµατιδιακής φύσης του φωτός. Η εκφόρτιση της µεταλλικής πλάκας οφειλόταν σε ηλεκτρόνια που εκδιώκονταν από το µέταλλο όταν πάνω τους προσέπιπτε φωτεινή ενέργεια συγκεντρωµένη σε µικρά «πακέτα», τα οποία ονοµάζουµε σήµερα φωτόνια. Σύµφωνα λοιπόν µε τη θεωρία του Einstein, τα φωτόνια της υπεριώδους ακτινοβολίας έχουν περισσότερη ενέργεια από τα φωτόνια του ορατού φωτός και, συνεπώς, όσο µεγάλο πλήθος φωτονίων ορατού φωτός κι αν πέφτει πάνω στη µεταλλική επιφάνεια, κανένα φωτόνιο δεν θα έχει αρκετή ενέργεια για να εκδιώξει ένα ηλεκτρόνιο. Επισηµαίνεται ότι ένα φωτόνιο ελευθερώνει ένα µόνο ηλεκτρόνιο. 19

20 Έπειτα από αρκετές δεκαετίες σύγχυσης στο χώρο της φυσικής, τη δεκαετία του 190, µε την ανάδυση της κβαντικής µηχανικής, πρωτοπόροι φυσικοί όπως ο Heisenberg, ο Schrodinger και ο Dirac φώτισαν έναν νέο δρόµο. Η νέα θεωρία µπορούσε να εξηγήσει επιτυχώς την παράδοξη φύση του φωτός, τα άτοµα και πολλά άλλα φαινόµενα του µικρόκοσµου. Η επιτυχία αυτή έχει όµως και κάποιο κόστος: εν µπορούµε να περιγράψουµε την κίνηση των σωµάτων στην κλίµακα αποστάσεων του ατόµου µε καθηµερινές έννοιες, όπως κύµατα ή σωµατίδια. Ένα φωτόνιο, αλλά και οποιοδήποτε άλλο σωµάτιο δεν συµπεριφέρεται µε τον τρόπο που συµπεριφέρονται οι οντότητες του καθηµερινού µας κόσµου, δηλαδή ως σηµειακά σώµατα ή κύµατα. Αυτό όµως δεν σηµαίνει ότι η κβαντική µηχανική δεν έχει δυνατότητα πρόβλεψης. Αντίθετα, είναι η µόνη θεωρία που µπορεί να κάνει συγκεκριµένες και επιτυχείς προβλέψεις για συστήµατα στην κλίµακα µεγέθους των ατόµων ή και µικρότερα, ακριβώς όπως η κλασική µηχανική κάνει προβλέψεις για το πώς κινούνται οι µπίλιες του µπιλιάρδου και οι πλανήτες. Η δυσκολία µε τα κβαντικά αντικείµενα όπως τα φωτόνια συνίσταται στο ότι, αντίθετα από τις µπίλιες του µπιλιάρδου, η κίνηση τους δεν µπορεί να απεικονιστεί µε κανέναν ακριβή παραστατικό τρόπο. Το µόνο που µπορούµε να κάνουµε για να αποδώσουµε συνοπτικά την έλλειψη κάποιας παραστατικής απεικόνισης είναι να πούµε ότι το φωτόνιο συµπεριφέρεται µε καθαρά κβαντοµηχανικό τρόπο. Από τη σκοπιά της κλασικής φυσικής, τα φωτόνια και τα ηλεκτρόνια φαίνονται τελείως διαφορετικά είδη αντικειµένων. Αντίθετα, στην περιοχή των κβαντικών φαινοµένων, και τα φωτόνια και τα ηλεκτρόνια συµπεριφέρονται µε τον ίδιο τρόπο. Στο πείραµα της διπλής σχισµής, ο Young χρησιµοποίησε ένα διάφραγµα µε δύο σχισµές, για να έχει κύµατα φωτός από δύο πηγές τα οποία θα µπορούσαν να συµβάλουν και να παραγάγουν τους περίφηµους κροσσούς συµβολής-µια εναλλαγή φωτεινών και σκοτεινών γραµµών. Θα περιγράψουµε τα αποτελέσµατα όµοιων πειραµάτων διπλής σχισµής τα οποία διεξήχθησαν µε χρήση σφαιρών πολυβόλου, υδάτινων κυµάτων και ηλεκτρονίων. Συγκρίνοντας και αντιπαραβάλλοντας τα αποτελέσµατα που προέκυψαν µε αυτά τα τρία διαφορετικά υλικά, θα µπορέσουµε να δώσουµε µια ιδέα των βασικών χαρακτηριστικών της κβαντοµηχανικής συµπεριφοράς. Σε αυτό το πείραµα και µόνο µπορούν να αναδειχθούν όλα τα προβλήµατα και τα παράδοξα της κβαντικής φυσικής. 0

21 Κάποια από τα παρακάτω πειράµατα είναι νοητικά. Παρόλα αυτά, ακόµα και αυτά µε τα ηλεκτρόνια έχουν πραγµατοποιηθεί στη σύγχρονη εποχή, επιβεβαιώνοντας της κβαντοµηχανική. Το πείραµα της διπλής σχισµής Με σφαίρες Πηγή: Ένα πολυβόλο. Ας υποθέσουµε ότι οι τροχιές των σφαιρών περιέχονται σε κώνο µε κορυφή την έξοδο από το πολυβόλο και ας επισηµάνουµε ότι το πολυβόλο ανακρούεται καθώς εκπυρσοκροτεί. ιάφραγµα: Θωρακισµένη πλάκα µε δύο παράλληλες σχισµές πάνω της. Ανιχνευτής: Μικρά κουτιά γεµάτα άµµο για να συγκρατούν τις σφαίρες. Αποτελέσµατα: Το όπλο εκτοξεύει σφαίρες µε σταθερό ρυθµό, και εµείς µπορούµε να µετρήσουµε τον αριθµό των σφαιρών που φτάνουν σε κάθε συγκεκριµένο κουτί σε ορισµένη χρονική περίοδο. Οι σφαίρες που περνούν διαµέσου των σχισµών µπορούν είτε να συνεχίζουν να κινούνται στην αρχική τους κατεύθυνση είτε να προσκρούουν στις άκρες των σχισµών, πάντα όµως θα καταλήγουν σε ένα από τα κουτιά. Οι σφαίρες που χρησιµοποιούµε είναι κατασκευασµένες από αρκετά σκληρό µέταλλο ώστε να µη θρυµµατίζονται -δεν µπορούµε να έχουµε ποτέ µισή σφαίρα σε ένα κουτί. Επιπλέον, ποτέ δεν εκτοξεύονται δύο σφαίρες ταυτόχρονα -έχουµε µόνο ένα πολυβόλο, και κάθε σφαίρα αποτελεί το µοναδικό αναγνωρίσιµο αντικείµενο. 1

22 Εικόνα 1: Το πείραµα της διπλής σχισµής µε σφαίρες. Η διάταξη του πειράµατος απεικονίζεται στο αριστερό µέρος του οχήµατος, το δε αποτελέσµατα των τριών διαφορετικών πειραµάτων στο δεξιά. Οι σφαίρες που περνούν οπό τη σχισµή 1 αναπαριστώνται µε λευκούς κύκλους και αυτές που περνούν οπό τη σχισµή µε µαύρους. Η στήλη που σηµειώνεται µε Π 1 δείχνει την κατανοµή των σφαιρών που φτάνουν στα κουτιάανιχνευτές όταν είναι κλειστή η σχισµή και ανοικτή µόνο η σχισµή 1. Η στήλη Π δείχνει µια ανάλογη κατανοµή µε τη σχισµή 1 κλειστή και τη ανοικτή. Όπως βλέπουµε, ο µεγαλύτερος αριθµός σφαιρών εµφανίζεται στα κουτιά που βρίσκονται ακριβώς απέναντι από την ανοικτή σχισµή. Το αποτέλεσµα που παίρνουµε και µε τις δύο σχισµές ανοικτές φαίνεται στη στήλη Π 1. Το από ποια σχισµή θα πέρασε» κάποια σφαίρα είναι θέµα τύχης, και αυτό δείχνεται µε το µείγµα των ανάκατων λευκών και µαύρων σφαιρών που συγκεντρώνονται σε κάθε κουτί. Το κρίσιµο στοιχείο που πρέπει να προσέξουµε είναι ότι το σύνολο τον σφαιρών σε κάθε κουτί όταν και οι δύο σχισµές είναι ανοικτές ισούται µε το άθροισµα των σφαιρών. Όταν είναι ανοιχτή τη µια φορά µόνο η σχισµή 1 και την άλλη µόνο η σχισµή. Αυτό είναι προφανές στην περίπτωση των σφαιρών, αφού ξέρουµε ότι οι σφαίρες πρέπει να περνούν µέσο από µία από τις σχισµές για να φτάσουν στα κουτιά ανιχνευτές.

23 Η χαρακτηριστική εικόνα συµβολής του φωτός στα πείραµα της διπλής σχισµής, την οποία συνήθως χρησιµοποιούµε για να καταδείξουµε τον κυµατικό του χαρακτήρα. Στις αριστερές εικόνες, καθώς το µήκος κύµατος του φωτός ελαττώνεται και το χρώµα αλλάζει από κόκκινο σε µπλε, οι κροσσοί συµβολής πλησιάζουν όλο και πιο πολύ µεταξύ τους. εξιά. για το κόκκινο φως, η µείωση της απόστασης µεταξύ των κροσσών προκαλείται από την αύξηση της απόστασης µεταξύ των σχισµών. Αν αφήσουµε το πείραµα να εξελίσσεται επί µία ώρα και µετά µετρήσουµε τις σφαίρες που έφτασαν σε κάθε κουτί, µπορούµε να δούµε ότι η πιθανότητα 1 άφιξης µιας σφαίρας µεταβάλλεται ανάλογα µε τη θέση του κουτιού-ανιχνευτή. Ο συνολικός αριθµός σφαιρών που φτάνουν σε κάθε θέση είναι ασφαλώς το άθροισµα του αριθµού σφαιρών που περνούν από τη σχισµή 1 (και φτάνουν σε αυτή τη θέση) συν τον αριθµό των σφαιρών που περνούν από τη σχισµή (και φτάνουν και αυτές στην ίδια θέση). Η Εικόνα 1 δείχνει πώς αυτή η πιθανότητα άφιξης µεταβάλλεται ανάλογα µε τη θέση των κουτιών. Ας συµβολίσουµε τούτο το αποτέλεσµα -την πιθανότητα άφιξης των σφαιρών όταν και οι δύο σχισµές είναι ανοικτές- Π 1. Στην Εικόνα 1 δείχνουµε επίσης τα αποτελέσµατα όταν η σχισµή είναι κλειστή -ας τη 1 Ορίζουµε την πιθανότητα ως το λόγο του πλήθους των σφαιρών που κατέληξαν σε ένα συγκεκριµένο κουτί προς το συνολικό πλήθος των σφαιρών που εκτοξεύθηκαν από το πολυβόλο. 3

24 συµβολίσουµε Π 1,- και τα αποτελέσµατα όταν η σχισµή 1 είναι κλειστή -ας τη συµβολίσουµε Π,. Παρατηρώντας τα σχήµατα, είναι φανερό ότι η καµπύλη Π 1, προκύπτει αν προσθέσουµε τις καµπύλες Π 1 και Π Αυτό µπορούµε να το εκφράσουµε µαθηµατικά µε την εξίσωση: Π 1 = Π 1 + Π. Συνοψίζοντας, µπορούµε να πούµε ότι στο πείραµα µε τις σφαίρες το αποτέλεσµα µε τις δυο οπές ανοιχτές είναι το άθροισµα των αποτελεσµάτων µε την µια οπή ανοιχτή, ή όπως λέγεται, δεν παρατηρείται συµβολή. Ονοµάζουµε αυτό το αποτέλεσµα ως περίπτωση µη συµβολής (και θα εξηγήσουµε τον ορισµό αργότερα). 4

25 Με µηχανικά κύµατα Πηγή: Μια πέτρα που πέφτει στην επιφάνεια µιας λίµνης. ιάφραγµα: Κυµατοθραύστης µε δύο ανοίγµατα. Ανιχνευτής: Μια σειρά από µικρές σηµαδούρες, για τις οποίες το πόσο έντονα κινούνται πάνω-κάτω αποτελεί µέτρο της διαταραχής που µεταφέρει το κύµα σε αυτή τη θέση. Όπως δείξαµε στο κεφάλαιο Εισαγωγή στην κυµατική φυσική, αυτή η διαταραχή (το µέγιστο της διαταραχής) ορίζει την ενέργεια ως: E A. Αποτελέσµατα: Μέτωπα κύµατος ξεκινούν από την πηγή και χτυπούν στον κυµατοθραύστη. Στην άλλη πλευρά του κυµατοθραύστη, από τα δύο ανοίγµατα ξεκινούν και εξαπλώνονται νέα κύµατα, όπως ακριβώς περιγράφει η αρχή του Huygens. Στον ανιχνευτή, η διαταραχή του νερού αντιστοιχεί στο άθροισµα των διαταραχών από τα κύµατα που προέρχονται από τα δύο ανοίγµατα και που φθάνουν στον ανιχνευτή. Καθώς κοιτάζουµε τις σηµαδούρες, θα δούµε κάποια σηµεία όπου το µέγιστο ενός κύµατος που φτάνει από το άνοιγµα 1 συµπίπτει µε το µέγιστο ενός άλλου κύµατος που φτάνει στο ίδιο σηµείο από το άνοιγµα µε αποτέλεσµα οι σηµαδούρες να κινούνται πολύ έντονα πάνω-κάτω. Σε κάποια άλλα σηµεία, το µέγιστο ενός κύµατος από το ένα άνοιγµα θα συµπίπτει µε το ελάχιστο ενός κύµατος από το άλλο άνοιγµα, και σε αυτές τις θέσεις οι σηµαδούρες δεν θα κινούνται καθόλου. Σε άλλα σηµεία, πάλι, οι σηµαδούρες θα κινούνται µεν αλλά λιγότερο έντονα. Για τα υδάτινα κύµατα, η ενέργεια που αντιστοιχεί σε µια δεδοµένη θέση έχει σχέση µε το πλάτος ταλάντωσης των µορίων του νερού στη θέση αυτή. Πράγµατι, όπως αναφέρθηκε, η ενέργεια ενός κύµατος εξαρτάται από το τετράγωνο του «µέγιστου ύψους» του κύµατος. Ας ονοµάσουµε την ποσότητα ενέργειας που φτάνει ανά δευτερόλεπτο ένταση και ας τη συµβολίσουµε µε Ε. Εάν συµβολίσουµε το µέγιστο ύψος του κύµατος µε h max, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση µεταξύ Ε και h µε την ακόλουθη εξίσωση: Ε= h max. Αντίθετα απ' ό,τι στο πείραµα µε τις σφαίρες, βλέπουµε ότι η ενέργεια των κυµάτων δεν φτάνει στον ανιχνευτή κατά ορισµένη ποσότητα όπως οι σφαίρες που έφταναν σε µία µόνο θέση (µεταφέροντας ενέργεια) κάθε χρονική στιγµή. Εδώ βλέπουµε ότι η ενέργεια του αρχικού κύµατος κατανέµεται κατά µήκος του ανιχνευτή, αφού το ύψος του κύµατος που προκύπτει από τα δύο ανοίγµατα στον ανιχνευτή µεταβάλλεται οµαλά από µηδέν µέχρι κάποια µέγιστη τιµή. Στην Εικόνα η καµπύλη δείχνει πώς µεταβάλλεται η ένταση της κυµατικής διαταραχής κατά µήκος του ανιχνευτή όταν είναι ανοικτά και τα δύο ανοίγµατα -ας την ονοµάσουµε Ε 1. 5

26 Εικόνα : Το πείραµα της διπλής σχισµής µε υδάτινα κύµατα. Οι ανιχνευτές είναι µία σειρά από µικρές σηµαδούρες το πόσο έντονα κινούνται πάνω-κάτω στην επιφάνεια του νερού δίνει το µέτρο της ενέργειας των κυµάτων. Συγκρίνετε το µέτωπο των κυµάτων που διαδίδονται από κάθε άνοιγµα µε εκείνα της Εικόνος 1. Η στήλη που σηµειώνεται µε Ε 1, δείχνει την οµαλά µεταβαλλόµενη ένταση των κυµάτων όταν µόνο το άνοιγµα 1 είναι ανοικτό Παρατηρήστε ότι η εικόνα αυτή µοιάζει πολύ µε την Π 1 στην Εικόνα 1 όταν ήταν ανοικτή µόνο η σχισµή 1. Και εδώ έχουµε τη µέγιστη ένταση στον ανιχνευτή ακριβώς απέναντι από το άνοιγµα 1 και την πηγή. Η στήλη Ε δείχνει µια ανάλογη εικόνα µε το άνοιγµα 1 κλειστό και το ανοικτό Το αποτέλεσµα που παίρνουµε µε ανοικτό και τα δύο ανοίγµατα φαίνεται στη στήλη Ε 1. Είναι τελείως διαφορετική από την αντίστοιχη εικόνα των σφαιρών. Προφανώς, η Ε 1. δεν ισούται µε το άθροισµα των Ε 1 και Ε. Αυτή η καµπύλη που αναπαριστά την ταχεία µεταβολή της κυµατικής έντασης ονοµάζεται εικόνα συµβολής. Η συνολική διαταραχή του νερού σε κάθε θέση κατά µήκος του ανιχνευτή δίνεται από το άθροισµα των διαταραχών τις οποίες προκαλούν τα κύµατα που προέρχονται από τα ανοίγµατα 1 και. Αν συµβολίσουµε το ύψος του κύµατος από το άνοιγµα 1 µε h 1, το ύψος του κύµατος από το άνοιγµα µε h, και το συνολικό ύψος που παίρνουµε και από τα δύο ανοίγµατα µε h 1, µπορούµε να γράψουµε την εξίσωση: h 1 = h 1 + h. Καθένα από αυτά τα ύψη µπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα µε το αν η αντίστοιχη κυµατική διαταραχή ανεβάζει ή κατεβάζει το επίπεδο του νερού. Η ένταση που προκύπτει είναι ακριβώς το τετράγωνο αυτού του ύψους (ή πλάτους µε αυστηρότερη διατύπωση) του κύµατος: Ε = h και έτσι 1 1 Ε 1 = (h1+ h ). 6

27 Τώρα, θα µπορούσαµε να επαναλάβουµε το πείραµα κλείνοντας το ένα από τα ανοίγµατα. Στην Εικόνα φαίνονται τα αποτελέσµατα για κάθε τέτοια περίπτωση. Συµβολίζουµε την εικόνα της έντασης για την περίπτωση όπου το άνοιγµα 1 είναι ανοικτό και το άνοιγµα κλειστό µε Ε 1. Η καµπύλη Ε 1 εκφράζει το τετράγωνο της διαταραχής που προκαλείται από το κύµα το οποίο διέρχεται από το άνοιγµα 1: Ε = h Με τον ίδιο τρόπο, η καµπύλη Ε αναπαριστά την ένταση στην περίπτωση 1 1 όπου το άνοιγµα είναι ανοικτό και το άνοιγµα 1 κλειστό, οπότε, όπως πριν, θα ισχύει: Ε = h. Είναι φανερό ότι οι δύο αυτές καµπύλες παρουσιάζουν πολύ λιγότερες διακυµάνσεις από την Ε 1. Ακόµα, την εικόνα της έντασης Ε 1, όταν και τα δύο ανοίγµατα είναι ανοικτά δεν την παίρνουµε απλώς προσθέτοντας τις χαρακτηριστικές εικόνες εντάσεως Ε 1 και Ε, τις οποίες πήραµε όταν καθένα από τα ανοίγµατα είναι κλειστό. Μαθηµατικά, µπορούµε να το διαπιστώσουµε αυτό µε τις παρακάτω εξισώσεις: Ε = (h + h ) = h + h h + h, το οποίο προφανώς δεν ισούται µε το άθροισµα των Ε 1 και Ε : Ε +Ε = h + h 1 1. Στην περίπτωση των υδάτινων κυµάτων, λοιπόν, λέµε ότι λαµβάνει χώρα συµβολή. Αντίθετα από την περίπτωση των σφαιρών, τώρα δεν µπορούµε να πάρουµε τη χαρακτηριστική εικόνα όταν «και οι δύο σχισµές είναι ανοικτές» προσθέτοντας τις εικόνες όταν κάθε φορά «η µία σχισµή είναι ανοικτή και η άλλη κλειστή». Η παρατήρηση αντίστοιχων εικόνων συµβολής του φωτός ήταν εκείνη που έπεισε τον Thomas Young ότι το φως συνιστά κυµατική κίνηση. Σε ορισµένα σηµεία τα κύµατα που έρχονται από τα ανοίγµατα 1 και είναι «σε φάση» και οι εντάσεις τους προστίθενται δίνοντας µεγίστη ένταση. Αλλού τα κύµατα φτάνουν µε διαφορά φάσης π και οι εντάσεις τους αφαιρούνται δίνοντας ελάχιστη ένταση. Τα φαινόµενα αυτά γίνονται κατανοητά, αν δεχθούµε ότι το ολικό πλάτος είναι άθροισµα των επί µέρους πλατών. Τότε, η ολική ένταση Ε 1 θα είναι [ ] E = υ +υ =Ε +Ε + ΕΕ cos arg(υ )-arg(υ ),όπου Ε i = όρισµα του µιγαδικού αριθµού υ i. Ο τελευταίος όρος είναι ο όρος συµβολής. i υ και arg(υ i ) είναι το 7

28 Με ηλεκτρόνια Θα περιγράψουµε τα αποτελέσµατα του πειράµατος της διπλής σχισµής όταν εκτελείται µε ηλεκτρόνια -παρόµοια αποτελέσµατα θα παίρναµε και αν χρησιµοποιούσαµε φωτόνια. Πηγή: Ένα «πολυβόλο» ηλεκτρονίων, που αποτελείται από θερµαινόµενο σύρµα έτσι ώστε από την επιφάνεια του µετάλλου να εκτοξεύονται ηλεκτρόνια. Μετά την εκποµπή τους τα ηλεκτρόνια επιταχύνονται µεταξύ δύο οπλισµών πυκνωτή, ώστε να αποκτούν κάποια συγκεκριµένη ταχύτητα και θα θεωρήσουµε ότι όλα τα ηλεκτρόνια έχουν την ίδια ταχύτητα µετά την επιτάχυνσή τους. ιάφραγµα: Λεπτή µεταλλική πλάκα µε δύο πολύ στενές σχισµές. Ανιχνευτής: Ένα πέτασµα επικαλυµµένο µε ένα στρώµα σπινθηριστή (π.χ. ZnS), το οποίο παράγει µια αναλαµπή κάθε φορά που προσκρούει πάνω του ένα ηλεκτρόνιο. Αποτελέσµατα: Αναλαµπές δείχνουν ότι στον ανιχνευτή φτάνουν ηλεκτρόνια. Όπως και µε τις σφαίρες, επιβάλουµε τα ηλεκτρόνια να εκπέµπονται ένα ένα, και παρατηρείται ένας µόνο σπινθήρας σε µία µόνο συγκεκριµένη θέση κάθε χρονική στιγµή. Πράγµατι, αν µειώσουµε την ένταση του «πολυβόλου» ηλεκτρονίων επιβάλλοντας να εκπέµπονται πολύ λίγα ηλεκτρόνια ανά λεπτό, θα δούµε να παράγονται αναλαµπές ίδιας έντασης στον ανιχνευτή, αλλά µία µόνο τη φορά. Ακόµα, όπως ακριβώς και µε τις σφαίρες, µπορούµε να µετρήσουµε τον αριθµό των αναλαµπών σε κάθε θέση του ανιχνευτή σε ένα δεδοµένο χρονικό διάστηµα. Αυτό, όπως και µε τις σφαίρες, µας επιτρέπει να µετρήσουµε πώς µεταβάλλεται ή πιθανότητα άφιξης των ηλεκτρονίου κατά µήκος του ανιχνευτή. Η καµπύλη που παίρνουµε, και φαίνεται στην Εικόνα 3, είναι η χαρακτηριστική εικόνα συµβολής για κύµατα, αν και κλασικά θεωρούµε ότι τα ηλεκτρόνια φτάνουν στον ανιχνευτή όπως ακριβώς οι σφαίρες! Ας παρατηρήσουµε τις θέσεις του ανιχνευτή όπου η εικόνα συµβολής εµφανίζει ελάχιστα, στην περίπτωση όπου είναι ανοικτές και οι δύο σχισµές. Σε αυτές τις θέσεις βρίσκουµε διαφορετικό πλήθος ηλεκτρονίων απ' όσα θα βρίσκαµε αν επαναλαµβάναµε το πείραµα έχοντας τη µία σχισµή ανοικτή και την άλλη κλειστή και αθροίζοντας τα αποτελέσµατα! Αν εκτελούσαµε, λοιπόν, το πείραµα µε ηλεκτρόνια και τη µία σχισµή κλειστή, θα είχαµε τη χαρακτηριστική εικόνα που φαίνεται στην Εικόνα 3 -ίδια ακριβώς µε τα κύµατα. Αν όµως τα ηλεκτρόνια φτάνουν όπως οι σφαίρες, πώς µπορεί να συµβαίνει 8

29 αυτό; Μήπως το ηλεκτρόνιο χωρίζεται µε κάποιον τρόπο στα δύο, και από κάθε σχισµή περνάει το µισό; Όχι βέβαια! Τα ηλεκτρόνια δεν παρουσιάζονται ποτέ µισά- όπως οι σφαίρες, ή υπάρχουν ακέραια ή δεν υπάρχουν καθόλου (δεν έχει ποτέ παρατηρηθεί λιγότερο φορτίο από αυτό που µεταφέρει το ηλεκτρόνιο). Τα ηλεκτρόνια φεύγουν από την πηγή ως «ολότητες» και φτάνουν στον ανιχνευτή επίσης ως «ολότητες» ωστόσο, από την εικόνα άφιξης των ηλεκτρονίων στον ανιχνευτή, φαίνεται ότι στον ενδιάµεσο χώρο κινήθηκαν ως κύµατα! Εικόνα 3 :Το πείραµα της διπλής σχισµής µε ηλεκτρόνιο. Τα ηλεκτρόνια, κατά την άφιξή τους σε ένα σηµείο του ανιχνευτή, προκαλούν εκποµπή µιας αναλαµπής ίδια µε τις σφαίρες που προσπίπτουν στα κουτιάανιχνευτές και δεν διαχέονται, όπως συµβαίνει µε την ενέργεια των υδάτινων κυµάτων. Η στήλη η οποία σηµειώνεται µε Π 1 δείχνει την εικόνα που παίρνουµε µόνο µε τη σχισµή 1 ανοικτή. Τα ηλεκτρόνια που περνούν από τη σχισµή 1 παριστάνονται µε λευκούς κύκλους, όπως και οι σφαίρες της Εικόνας 1. Η στήλη Π δείχνει το ίδιο πράγµα, µόνο µε τη σχισµή ανοιχτή τα ηλεκτρόνια που περνούν από τη σχισµή αυτή παριστάνονται µε µαύρους κύκλους. Αυτές οι δύο χαρακτηριστικές εικόνες είναι ακριβώς ίδιες µε τις αντίστοιχες στην περίπτωση των σφαιρών. Η διαφορά βρίσκεται στη στήλη Π 1 η οποία δείχνει την προκύπτουσα εικόνα για τα ηλεκτρόνιο όταν και οι δύο σχισµές είναι ανοικτές. Αυτή όµως µοιάζει µε την εικόνα συµβολής των υδάτινων κυµάτων, οπότε καθίσταται σαφές ότι κάποιο είδος κυµατικής κίνησης πρέπει να προκύπτει από κάθε σχισµή, όπως φαίνεται και στο σχήµα. Η Π 1 δεν ισούται µε το άθροισµα των Π 1 και Π, εποµένως δεν µπορούµε να πούµε από ποια σχισµή περνάει κάθε ηλεκτρόνιο. Εκφράζουµε αυτό το κενό της γνώσης µας αναπαριστώντας τα ηλεκτρόνιο µε κύκλους κατά το µισό άσπρους και κατά το µισό µαύρους.. 9

30 Είδαµε στο κεφάλαιο Εισαγωγή στην κυµατική φυσική ότι µαθηµατικά η καµπύλη συµβολής κυµάτων µπορεί να περιγραφεί µε µια πολύ απλή εξίσωση. Επίσης, στην περίπτωση των υδάτινων κυµάτων είδαµε ότι η καµπύλη συµβολής προέκυψε από άθροιση των υψών (πλατών) των κυµάτων που προέρχονταν από την πηγή και διέρχονταν από τις σχισµές 1 και. Η ένταση ή η ενέργεια του κύµατος συσχετίστηκε µε το τετράγωνο του αθροίσµατος αυτών των πλατών. Οι ίδιες µαθηµατικές σχέσεις περιγράφουν και την εικόνα συµβολής των ηλεκτρονίων. Το πρώτο πράγµα που µπορούµε να πούµε είναι ότι εφόσον τα ηλεκτρόνια φτάνουν σαν ολόκληρα σωµατίδια στον ανιχνευτή, τότε κάθε ένα θα προέρχεται ή από τη σχισµή 1 ή από τη σχισµή. Εποµένως, τα ηλεκτρόνια που φτάνουν στον τελευταίο τοίχο µπορούν να διαιρεθούν σε δυο κατηγορίες: Ηλεκτρόνια που περνούν από τη σχισµή 1 Ηλεκτρόνια που περνούν από τη σχισµή. Η παρατηρούµενη καµπύλη Π 1 προέρχεται από τα ηλεκτρόνια της κατηγορίας (1) συν τα ηλεκτρόνια της κατηγορίας (). Συνεπώς η καµπύλη Π 1 θα έπρεπε να είναι το άθροισµα των επιδράσεων των ηλεκτρονίων που προέρχονται από την οπή 1 συν τις επιδράσεις των ηλεκτρονίων που προέρχονται από τη σχισµή. Ας το ελέγξουµε αυτό πειραµατικά. Πρώτα, ας κάνουµε µια σειρά µετρήσεων για τα ηλεκτρόνια που προέρχονται από τη σχισµή 1. Καλύπτουµε τη σχισµή και καταγράφουµε τις ενδείξεις του ανιχνευτή. Από τον ρυθµό των αναλαµπών, παίρνουµε την καµπύλη Π 1. Το αποτέλεσµα µοιάζει λογικό. Ανάλογα παίρνουµε και την καµπύλη Π. Το αποτέλεσµα όµως που παίρνουµε και µε τις δύο σχισµές ανοιχτές είναι τελείως διαφορετικό από το άθροισµα των Π 1 και Π. Σε αναλογία µε το πείραµα των κυµάνσεων λέµε ότι υπάρχει συµβολή εποµένως για τα ηλεκτρόνια Π1 Π1+ Π. Υπάρχουν σηµεία στην καµπύλη συµβολής, όπου φτάνουν πολύ λίγα ηλεκτρόνια όταν έχουµε και τις δυο σχισµές ανοιχτές, ενώ όταν κλείσουµε µια σχισµή φτάνουν περισσότερα ηλεκτρόνια. Μιας και τα ηλεκτρόνια φτάνουν στον ανιχνευτή σαν ολόκληρα σωµατίδια, κάτι τέτοιο, που µας θυµίζει καταστροφική συµβολή κυµάνσεων, φαίνεται ακατανόητο. Όµως η Π 1 για τα ηλεκτρόνια, είναι σαν την Ε 1 για τα κύµατα. Συνοψίζοντας, τα ηλεκτρόνια φτάνουν στον ανιχνευτή σαν σωµατίδια, αλλά η πιθανότητα να φτάσει ένα ηλεκτρόνιο κατανέµεται σαν την 30

31 ένταση ενός κύµατος. Με αυτή την έννοια, ένα ηλεκτρόνιο δεν είναι ούτε σωµατίδιο ούτε κύµα. Θα µπορούσαµε να ορίσουµε κατ αναλογία µε το κύµα ένα πλάτος πιθανότητας «ένα ηλεκτρόνιο από την οπή 1 να φθάσει στον ανιχνευτή». Ας το παραστήσουµε αυτό το πλάτος πιθανότητας ως Φ 1. Οµοίως, ας παραστήσουµε το αντίστοιχο πλάτος πιθανότητας διαµέσου της οπής ως Φ. Στη γενική περίπτωση ας αφήσουµε το Φ 1 και το Φ να είναι µιγαδικοί αριθµοί. Στη συνέχεια, κατ αναλογία µε τα κύµατα Τα πλάτη πιθανότητας Φ 1, Φ για να ανιχνευτεί ένα ηλεκτρόνιο σε κάποια θέση, ανάλογα µε τη σχισµή από την οποία µπορεί να προέρχεται το ανιχνευόµενο ηλεκτρόνιο, θα είναι µιγαδικές συναρτήσεις του x. Άρα η πιθανότητα ανίχνευσης ηλεκτρονίων και από τις δυο σχισµές θα είναι: Π [ ] [ ] = Φ +Φ = Φ + Φ + Φ Φ cos ArgΦ -ArgΦ = Π +Π + ΠΠ cos Arg(Φ )-Arg(Φ ) Η παραπάνω περιγραφή των ηλεκτρονίων µε τα µιγαδικά πλάτη πιθανότητας Φ είναι, πραγµατικά, η µόνη που µπορεί να εξηγήσει την συµβολή που παρουσιάζει η πειραµατική καµπύλη. Προφανώς, χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις, τις οποίες θα αναφέρουµε στα επόµενα. Θα χρησιµοποιήσουµε τη διαίρεση των ηλεκτρονίων σε δυο κατηγορίες, δηλαδή σε ηλεκτρόνια που προέρχονται από την οπή 1 και σε ηλεκτρόνια που προέρχονται από την οπή. Υπενθυµίζεται ότι η διαίρεση αυτή υπαγορεύτηκε από την υπόθεση ότι τα ηλεκτρόνια είναι πραγµατικά σωµατίδια, όπως ακριβώς όταν ανιχνεύονται. Ας ελέγξουµε λοιπόν πειραµατικά αν πραγµατικά τα ηλεκτρόνια προέρχονται ή από την οπή 1 ή από την οπή. Αρκεί να προσθέσουµε στην προηγούµενη συσκευή µια ισχυρή πηγή φωτός µεταξύ των δυο οπών (Εικόνα 4). 31

32 Χ Εικόνα 4: Πειραµατική διάταξη όπως στην εικόνα 3 µε προσθήκη της πηγής φωτός Π Κάθε φορά που περνά ένα ηλεκτρόνιο από την οπή 1 ή την οπή, το φως σκεδάζεται πάνω του και βλέπουµε µια φωτεινή λάµψη εντοπισµένη προς τη µεριά της οπής 1 ή της ανάλογα µε την προέλευση του ηλεκτρονίου. Πλάι σε κάθε αναλαµπή του ανιχνευτή βλέπουµε και µια λάµψη κοντά σε κάποια σχισµή, αλλά ποτέ και στις δυο σχισµές. Από δω συµπεραίνουµε ότι τα ηλεκτρόνια περνούν από τη σχισµή 1 ή από τη σχισµή. Ποτέ ένα ηλεκτρόνιο δεν περνά και από τις δυο σχισµές µαζί. Εποµένως, µε την πειραµατική διάταξη της Εικόνας 4, πιστοποιούµε ότι πραγµατικά έχει νόηµα να µιλάµε για ηλεκτρόνια που έχουν περάσει από τη σχισµή1 και ηλεκτρόνια που έχουν περάσει από τη σχισµή. Ας ξαναγυρίσουµε όµως στο πείραµα. Όταν έχουµε αναλαµπή στο µετρητή και ταυτόχρονα λάµψη κοντά στην σχισµή 1, καταγράφουµε µια µέτρηση στην στήλη 1 κ.ο.κ. Από τους αριθµούς στη στήλη 1 παίρνουµε την πιθανότητα Π 1 ' και από τους αριθµούς στην στήλη την πιθανότητα Π '. Οι Π 1 ', Π ' µοιάζουν µε τις Π 1 και Π που έχουµε πάρει κλείνοντας εναλλάξ τις σχισµές. Αν όµως προφασιστούµε πως ουδέποτε κοιτάξαµε τις λάµψεις, τότε το ολικό άθροισµα των κρότων µας δίνει τον ολικό αριθµό των ανιχνευθέντων ηλεκτρονίων και εποµένως την ολική πιθανότητα. ηλαδή, Π 1 ' = Π 1 ' + Π '. 3

33 Συµπέρασµα: Με την πειραµατική συσκευή της Εικόνας 4 που µας επιτρέπει να διακρίνουµε την σχισµή προέλευσης των ηλεκτρονίων, δεν παίρνουµε την καµπύλη συµβολής. Όταν έχουµε δυνατότητα εντοπισµού της οπής διέλευσης των ηλεκτρονίων, η κατανοµή τους είναι διαφορετική από την κατανοµή που παίρνουµε όταν δεν έχουµε αυτή τη δυνατότητα. Ίσως αυτό να αλλάζει, αν ελαττώσουµε την ένταση της φωτεινής πηγής. Το φως που σκεδάζεται πάνω στα ηλεκτρόνια µπορεί να αλλάξει την τροχιά τους. Εποµένως, δίκαια, βλέπουµε ότι άλλαξε η κίνηση τους και η κατανοµή τους στον τελικό τοίχο. Ας ελαττώσουµε λοιπόν την ένταση της φωτεινής πηγής. Το πρώτο πράγµα που παρατηρούµε τώρα, είναι ότι οι λάµψεις του φωτός οι οποίες σκεδάζονται από τα ηλεκτρόνια καθώς αυτά κινούνται στο χώρο, δεν εµφανίζονται εξασθενηµένες. Όλες αυτές οι λάµψεις έχουν το ίδιο µέγεθος! Το µόνο πράγµα που συµβαίνει όταν εξασθενήσουµε την πηγή, είναι ότι µερικές φορές έχουµε αναλαµπή στο µετρητή χωρίς να δούµε λάµψη (ένα ηλεκτρόνιο έχει περάσει χωρίς να το έχουµε «δει»). Στην ουσία αυτό συµβαίνει γιατί και το φως συµπεριφέρεται σωµατιδιακά. Ελαττώνοντας την ένταση, απλά ελαττώνουµε τον αριθµό των φωτονίων και όχι την ορµή τους. Λιγότερα φωτόνια σηµαίνει ότι ένα ηλεκτρόνιο µπορεί να περάσει χωρίς να υπάρχει διαθέσιµο φωτόνιο που να σκεδαστεί πάνω του και έτσι να «δούµε» το ηλεκτρόνιο. Ας ξανακάνουµε το πείραµα µε λιγότερο φως. Στην προκειµένη περίπτωση, κάθε φορά που έχουµε αναλαµπή στον ανιχνευτή, θα προσθέτουµε µία µέτρηση σε τρείς στήλες: στην πρώτη στήλη για τα ηλεκτρόνια που φαίνονται να έρχονται από την οπή 1, στη δεύτερη για τα ηλεκτρόνια που φαίνονται να έρχονται από την οπή και στην τρίτη για τα ηλεκτρόνια που δε φαίνονται καθόλου. Αναλαµπή από οπή 1 Αναλαµπή από οπή Καµιά Αναλαµπή Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Τα ηλεκτρόνια των οπών 1 και έχουν κατανοµές: 33

34 ενώ τα ηλεκτρόνια που «δεν έχουµε δει» έχουν κατανοµή: που δείχνει συµβολή. Πράγµατι, γνωρίζουµε πως όταν δε βλέπουµε το ηλεκτρόνιο αυτό σηµαίνει πως δεν υπήρξε κάποιο φωτόνιο που σκεδάστηκε από αυτό, ενώ αντίθετα, όταν το ηλεκτρόνιο γίνεται αντιληπτό, σηµαίνει πως έχει διαταραχθεί από κάποιο φωτόνιο. Αυτή η ποσότητα της διαταραχής θα είναι πάντοτε η ίδια αφού όλα τα φωτόνια θα δηµιουργούν πάντα φαινόµενα του ίδιου µεγέθους εποµένως, οι επιδράσεις των φωτονίων που σκεδάζονται είναι αρκετές για να αλλοιώσουν κάθε φαινόµενο συµβολής, έτσι ώστε αυτό να µην είναι ευδιάκριτο. Ας υποθέσουµε ότι αντί να ελαττώσουµε τον αριθµό των φωτονίων (ένταση του φωτός), ελαττώνουµε την συχνότητα των φωτονίων (αυξάνουµε το µήκος κύµατος τους), δηλαδή χρησιµοποιούµε κόκκινο ή ακόµα και υπέρυθρο φως. Στην αρχή δεν συµβαίνει τίποτα, µέχρι που να έχουµε αυξήσει το µήκος κύµατος τόσο, ώστε να είναι της τάξης µεγέθους της απόστασης των σχισµών, οπότε οι λάµψεις είναι τόσο ασαφείς ώστε δεν µπορούµε πια να διακρίνουµε από ποια σχισµή προέρχεται το ηλεκτρόνιο. Τότε αρχίζουµε να παίρνουµε µια καµπύλη που µοιάζει ολοένα και περισσότερο µε την καµπύλη συµβολής. Με το πείραµα µας αυτό βρίσκουµε ότι είναι αδύνατο να πούµε από ποια σχισµή προήλθε το ηλεκτρόνιο και ταυτόχρονα να µη διαταράζουµε την καµπύλη συµβολής. 3 Εποµένως έχει σηµασία να λέµε ότι κάποιο ηλεκτρόνιο πέρασε από τη σχισµή 1 ή τη σχισµή ; Εξαρτάται από την συσκευή ελέγχου, δηλαδή τη συσκευή που «φωτίζω» τα ηλεκτρόνια ώστε να πιστοποιούµε την οπή διέλευσης. Αν µπορούµε να ελέγξουµε από ποια σχισµή προέρχεται το ηλεκτρόνιο, τότε ναι. Αν δεν µπορούµε να ελέγξουµε από ποια σχισµή προέρχεται το ηλεκτρόνιο, τότε η παραπάνω πρόταση δεν έχει νόηµα. Όπως είδαµε προηγουµένως, τα ηλεκτρόνια, και γενικότερα η ύλη, συµπεριφέρονται τόσο σαν σωµατίδια όσο και σαν κύµατα. Σύµφωνα µε το νέο τρόπο σκέψης που υπαγορεύεται από την εµπειρία του µικρόκοσµου, η σωµατιδιακή και κυµατική 3 Αυτό το γεγονός σχετίζεται µε την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg: «Είναι αδύνατο να σχεδιαστεί µια πειραµατική συσκευή που να προσδιορίζει από ποια οπή περνάει το ηλεκτρόνιο, η οποία ταυτόχρονα να µην διαταράσσει τα ηλεκτρόνια αρκετά ώστε να καταστρέφεται η εικόνα συµβολής». 34

35 φύση της ύλης θεωρούνται συµπληρωµατικές απόψεις και είναι αµφότερες ουσιαστικές για την πλήρη περιγραφή των φαινοµένων. Η αρχή αυτή ονοµάζεται Αρχή της Συµπληρωµατικότητας (Complementarity principle) και απορρέει φυσιολογικά από τους θεµελιώδεις νόµους της Κβαντοµηχανικής. Στη συνέχεια, µέσω της κυµατικής κλασικής φυσικής παρουσιάζουµε το κλασικό ανάλογο του πειράµατος Young µε ηλεκτρόνια, όπου είναι το φως. 35

36 Παράρτηµα Το πείραµα των A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, (American Journal of Physics, Feb. 1989). Το συγκεκριµένο πείραµα πραγµατοποιήθηκε στα τέλη της δεκαετίας του 80 και από πλευράς παιδαγωγικής αποτελεί µία από τις καλύτερες επιδείξεις της κυµατικής υφής των στοιχειωδών σωµατιδίων. Στο πείραµα αυτό τα ηλεκτρόνια που παράγει η πηγή λόγω της παρουσίας της ηλεκτρτοστατικής διάταξης που περιβάλλει την πειραµατική µας διάταξη αναγκάζονται να ακολουθήσουν µία από τις δύο διαδροµές που φαίνονται στη σχήµα. Οι δύο αυτές τροχιές περιβάλλουν ένα επιµήκες σωληνοειδές που διαρρέεται από ρεύµα και εµπεριέχει ισχυρό µαγνητικό πεδίο. Λόγω του φαινοµένου Bohm-Aharonov, το ηλεκτρόνιο ως κύµα που περνάει αριστερά του πηνίου αποκτά διαφορετική φάση απ ότι το ηλεκτρόνιο που περνά από τα δεξιά του πηνίου. Έτσι τα ηλεκτρόνια που φθάνουν στον ανιχνευτή από τις δύο τροχιές έχουν διαφορετική φάση. 36

37 Μέσω της ηλεκτρονικής διάταξης που διαθέτει ο ανιχνευτής, µπορεί να καταγραφεί ακτριβώς η θέση στηην οποία καταλήγουν τα ηλεκτρόνια πάνω στον ανιχνευτή. Το βασικό πλεονέκτηµα αυτού του πειράµατος είναι ότι µπορούσαν να διοχετευθούν ηλεκτρόνια µε τόσο αργούς ρυθµούς έτσι ώστε είτε ένα ή κανένα ηλεκτρόνιο ανά πάσα στιγµή εισέρχετο στον ανιχνευτή. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα αλληλεπίδρασηςενός ηλεκτρονίου µε ένα άλλο ηλεκτρόνιο και η συµβολή τους είχε αποκλειστεί. Η παρακάτω εικόνα παρουσιάζει τις θέσεις των ηλεκτρονίων στον ανιχνευτή µε την πάροδο του χρόνου. Οι εικόνες πάρθηκαν µετά την διέλευση από τις «οπές»: a) 10 ηλεκτρονίων, b) 100 ηλεκτρονίων, c) 3000 ηλεκτρονίων, d) ηλεκτρονίων και e) ηλεκτρονίων. Ήδη από τις πρώτες στιγµές του πειράµατος αρχίζουν να εµφανίζονται οι πρώτοι κροσσοί συµβολής. Συνεπώς τα ηλεκτρόνια δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους για να παραχθεί αυτή η εικόνα συµβολής. Βεβαίως δηµιουργέιται ένα οντολογικό ερώτηµα το οποίο θα συζητηθεί στα επόµενα. Στην περίπτωση των µηχανικών κυµάτων το ίδιο µέτωπο κύµατος διασπάται και δηµιουργεί τις δύο σηµειακές πηγές οι οποίες θα παράγουν τα κύµατα που θα συµβάλλουν δεξιά του πετάσµατος. Τι συµβαίνει όµως στην περίπτωση του κυµατοπακέτου ηλεκτρονίων; Το ηλεκτρόνιο διέρχεται και από τις δύο οπές; Και αν διέρχεται και από τις δύο οπές πως αυτό είναι συµβατό µε το σωµατιδιακό του χαρακτήρα; εν θα πρέει να ξεχνάµε πως το ηλεκτρόνιο αλλά και τα άλλα στοιχειώδη σωµατίδια διατηρούν και το σωµατιδιακό τους χαρακτήρα. 37

38 ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΗΣ ΙΠΛΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ ΤΟΥ YOUNG ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πρώτος ο Thomas Young το 1801 επέδειξε το φαινόµενο τής συµβολής δύο φωτεινών κυµάτων. Στο Σχήµα 1a απεικονίζεται σχηµατικά η πειραµατική διάταξη την οποία χρησιµοποίησε. Το φως προσπίπτει σε ένα διάφραγµα στο οποίο είναι ανοιγµένη µια λεπτή σχισµή, η S 0. Τα κύµατα φωτός τα οποία αναδύονται από τη σχισµή προσπίπτουν σε ένα άλλο διάφραγµα στο οποίο είναι ανοιγµένες δύο παράλληλες στενές σχισµές, οι S 1 και S, οι οποίες έχουν την ίδια απόσταση από την S 0. Αυτές οι δύο σχισµές παίζουν τον ρόλο ενός ζεύγους σύµφωνων πηγών φωτός, διότι τα κύµατα που αναδύονται από αυτές προέρχονται από το ίδιο κυµατικό µέτωπο (ισοφασική επιφάνεια) και εποµένως η διαφορά φάσης τους είναι σταθερή. Το φως λοιπόν που αναδύεται από τις σχισµές S 1 και S προσπίπτει σε µια οθόνη, την C, την οποία όµως δεν φωτίζει οµοιόµορφα, αλλά πάνω του σχηµατίζεται ένα σύνολο παράλληλων φωτεινών και σκοτεινών κροσσών (ή ταινιών ή λωρίδων ή ζωνών), (Σχήµα 1b ). Όταν τα φωτεινά κύµατα που προέρχονται από την S 1 και S συναντώνται στην οθόνη C, τότε, εάν συµβάλλουν ενισχυτικά, δηµιουργούν έναν φωτεινό κροσσό (ή ταινία ή ζώνη), εάν όµως συµβάλλουν καταστρεπτικά, τότε δηµιουργούν σκοτεινό κροσσό. 38

39 Σχήµα 1 (a) ιάγραµµα του πειράµατος των δύο σχισµών τού Young. Οι στενές σχισµές παίζουν τον ρόλο πηγών εκποµπής δευτερογενών κυµάτων. Οι πηγές S 1 και S είναι σύµφωνες και γι' αυτό παράγουν µια στάσιµη εικόνα συµβολής στην οθόνη C. (b) Εικόνα των κροσσών συµβολής. Στο Σχήµα() βλέπουµε το διάγραµµα από το οποίο φαίνεται σχηµατικά πώς συνδυάζονται οι ακτίνες στην οθόνη. Στο Σχήµα (a) βλέπουµε δύο κύµατα τα οποία όταν αναδύονται από τις αντίστοιχες πηγές βρίσκονται σε φάση, αφού οι πηγές είναι σύµφωνες. Όταν προσπέσουν στην οθόνη, στο σηµείο Ρ, εξακολουθούν να βρίσκονται σε φάση, διότι το Ρ κείται πάνω στην µεσοκάθετο των S 1 και S. Εποµένως, τα κύµατα στο Ρ συµβάλλουν ενισχυτικά και για τον λόγο αυτό παρατηρούµε στο Ρ έναν φωτεινό κροσσό. Στο Σχήµα (b) βλέπουµε δύο κύµατα τα οποία όταν αναδύονται από τις σύµφωνες πηγές S 1 και S βρίσκονται σε φάση, αλλά όταν φτάνουν στο σηµείο Q δεν βρίσκονται απαραίτητα πια σε φάση διότι έχουν ακολουθήσει άνισες διαδροµές. Εάν όµως η διαφορά των δύο διαδροµών είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού µήκους κύµατος τού φωτός που χρησιµοποιούµε, τότε τα δύο κύµατα πάλι θα βρίσκονται σε φάση, θα συµβάλλουν ενισχυτικά και στο Q θα παρατηρήσουµε πάλι έναν φωτεινό κροσσό. Ας πάρουµε τώρα ένα σηµείο R στο µέσο της απόστασης PQ (Σχήµα c). Στο σηµείο αυτό, το κύµα που προέρχεται από την S 1 υστερεί κατά µισό µήκος κύµατος πίσω από το κύµα που αναδύεται από την S. Αυτό σηµαίνει ότι στο σηµείο R η κορυφή (δηλαδή το θετικό πλάτος) τού κύµατος από την S 1 συµβάλλει µε την κοιλία (το ελάχιστο πλάτος) τού κύµατος από 39

40 την S και αλληλοκαταργούνται. Έχουµε δηλαδή στο R καταστρεπτική συµβολή. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο παρατηρούµε έναν σκοτεινό κροσσό στο σηµείο R. (a) Οθόνη (b) Σχήµα : (a) Όταν τα κύµατα υπερτίθενται, συµβάλλουν στο Ρ και η συµβολή είναι ενισχυτική, (b) Η ενισχυτική συµβολή συµβαίνει και σε άλλα σηµεία, όπως είναι π.χ. το Q. (c) Όταν όµως η διαφορά φάσης των συµβαλλόντων κυµάτων αντιστοιχεί σε µισό µήκος κύµατος, όπως λ.χ. στο σηµείο R, η συµβολή είναι καταστρεπτική. Για να µπορέσουµε να κάνουµε σωστή ποσοτική περιγραφή τού πειράµατος τού Young, ας αναφερθούµε στο Σχήµα (3). Οι πηγές χωρίζονται από απόσταση d και το πέτασµα στο οποίο είναι ανοιγµένες είναι παράλληλο προς την οθόνη, η οποία έχει απόσταση L. Υποθέτουµε ότι η πηγή που φωτίζει τις S 1 και S είναι µονοχρωµατική και ότι κείται πάνω στην µεσοκάθετο τής απόστασης S 1 S. Εποµένως τα κύµατα που αναδύονται από τις S 1 και S έχουν την ίδια συχνότητα, το ίδιο πλάτος και βρίσκονται σε φάση. Η ένταση τού φωτός που βλέπουµε σε οποιοδήποτε σηµείο τής οθόνης, λ.χ. στο Ρ, είναι η συνισταµένη των συµβαλλόντων κυµάτων που αναδύονται από τις S 1 και S. Ας σηµειωθεί ότι το κύµα που αναδύεται από την S καλύπτει µεγαλύτερη διαδροµή από το κύµα που εκπέµπει η S 1. Οθόνη παρατήρησης Σχήµα 3: Γεωµετρική κατασκευή που περιγράφει το πείραµα των δύο σχισµών του Young. Η διαφορά διαδροµής των δύο ακτινών ισούται µε r r 1 = d sin θ. 40

41 Αγνοώντας στο επίπεδο κύµα τη µεταβολή του πλάτους µε την απόσταση από την πηγή και για απόσταση από την πηγή πολύ µεγαλύτερη του µήκους κύµατος, στο Ρ φθάνουν επίπεδα µέτωπα κύµατος µε µετατοπίσεις: y1 = A sin(ωt kr 1) και y = A sin(ωt kr ) έτσι ώστε η διαφορά φάσης µεταξύ δύο π σηµάτων στο Ρ να δίνεται από τη σχέση: φ= k(r r 1) = (r r 1). λ Η διαφορά δ των δύο διαδροµών ονοµάζεται διαφορά οπτικού δρόµου. Η γενική σχέση που συνδέει τη διαφορά οπτικού δρόµου και τη διαφορά φάσης είναι: διαφορά οπτικού δρόµου διαφορά φάσης =. λ π Αυτό προκύπτει επειδή αν «περπατήσουµε» ένα µήκος κύµατος, δηλαδή για διαφορά οπτικού δρόµου κατά λ, η φάση αλλάζει κατά π rad. Οι δύο εκφράσεις είναι λ λ π ισοδύναµες. Εποµένως θα είναι: δ= φ = = (r r 1) δ= r r1. π π λ Η διαφορά δ των δύο διαδροµών ισούται µε : δ=r -r 1=dsinθ, όπου υποθέσαµε ότι οι r 1 και r είναι παράλληλες, διότι η απόσταση πετάσµατος -οθόνης, L, είναι πολύ µεγαλύτερη από την απόσταση των δύο πηγών, d. Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, η διαφορά αυτή τής διαδροµής καθορίζει την διαφορά φάσης ανάµεσα στις συµβάλλουσες ακτίνες στο Ρ. Εάν η διαφορά διαδροµής είναι µηδενική ή ακέραιο πολλαπλάσιο τού µήκους κύµατος, τότε τα δύο κύµατα θα βρίσκονται σε φάση στο Ρ και θα συµβάλλουν ενισχυτικά. Εποµένως, για να υπάρξει ενισχυτική συµβολή στο Ρ (δηλαδή για να κείται το Ρ σε φωτεινούς κροσσούς), πρέπει να πληρούται η συνθήκη: δ=dsinθ=mλ,όπου m=0, ±1, ±, (1) Ο ακέραιος m ονοµάζεται αριθµός τάξης τού κροσσού. Στον κεντρικό φωτεινό κροσσό που έχει θ = 0 αντιστοιχεί m = 0. ο κροσσός αυτός ονοµάζεται µέγιστος ή κροσσός, µηδενικής τάξεως. Οι επόµενοι φωτεινοί κροσσοί εκατέρωθεν τού κεντρικού αντιστοιχούν στο m = ±1 και ονοµάζονται µέγιστα ή κροσσοί πρώτης τάξεως, κ.ο.κ. Παροµοίως, όταν η διαφορά διαδροµής των δύο κυµάτων που φτάνουν στο Ρ είναι περιττό πολλαπλάσιο τού λ/, τότε τα δύο κύµατα έχουν διαφορά φάσης 180 και θα συµβάλλουν καταστρεπτικά. Εποµένως η συνθήκη που πρέπει να πληρούται για 41

42 καταστρεπτική συµβολή σε κάποιο σηµείο, λ.χ. Ρ, είναι: m=0, ±1, ±, () 1 δ=dsinθ=(m+ )λ,όπου Αξίζει να βρούµε τις εκφράσεις που περιγράφουν τους φωτεινούς και τους σκοτεινούς κροσσούς καθώς σαρώνουµε την οθόνη από το Ο στο Ρ (Σχήµα 3). Εξακολουθούµε να υποθέτουµε ότι L d και επί πλέον ότι d λ, ότι, δηλαδή, η απόσταση ανάµεσα στις δύο οπές είναι πάρα πολύ µεγαλύτερη από το µήκος κύµατος. Οι υποθέσεις αυτές συνήθως πληρούνται, διότι η απόσταση L είναι συνήθως 1 m, ενώ η d είναι ένα κλάσµα τού χιλιοστοµέτρου και το λ είναι µικρότερο του µm. Υπό τις προϋποθέσεις αυτές η γωνία θ είναι µικρή, οπότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την προσέγγιση sin θ tan θ. Από το τρίγωνο OPQ τού Σχήµατος (3) βλέπουµε ότι: ψ sinθ tanθ=. (3) L Θέτουµε την σχέση αυτή στην Εξίσωση (1) και βρίσκουµε ότι, µε αφετηρία το Ο, η θέση των φωτεινών κροσσών ορίζεται από την εξίσωση: λl ψ φωτεινών = m d. Παροµοίως, χρησιµοποιούµε τις Εξισώσεις ( ) και (3 ) και βρίσκουµε την εξίσωση που περιγράφει την θέση των σκοτεινών κροσσών: λl 1 ψ σκοτεινών = (m+ ) d. Το πείραµα αυτό τού Young µάς δίνει τη δυνατότητα να µετρήσουµε το µήκος κύµατος τού φωτός. Το πείραµα αυτό έδωσε στην κυµατική θεωρία τού φωτός κύρος, διότι δεν µπορούσαν ποτέ να φανταστούν ότι τα σωµατίδια φωτός που αναδύονται από τις σχισµές αλληλοκαταργούνται έτσι ώστε να δηµιουργούνται σκοτεινοί κροσσοί. Σήµερα χρησιµοποιούµε το πείραµα τού Young για να κάνουµε παρατηρήσεις σχετικές µε την κυµατική συµπεριφορά τού φωτός. 4

43 Κατανοµή της έντασης φωτός δύο συµβαλλουσών φωτεινών πηγών Θα υπολογίσουµε τώρα την κατανοµή τής έντασης τού φωτός που προέρχεται από την συµβολή κυµάτων δύο πηγών. Υποθέτουµε ότι οι δύο πηγές είναι σύµφωνες και ότι εκπέµπουν αρµονικά κύµατα µε την ίδια κυκλική συχνότητα ω. Εποµένως, σε ένα τυχαίο σηµείο έχουν σταθερή διαφορά φάση φ. Η ολική ένταση ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο Ρ τής οθόνης τού Σχήµατος (3) είναι η διανυσµατική συνισταµένη των δύο ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων που εκπέµπουν οι σχισµές S 1 και S, αντίστοιχα. Εάν υποτεθεί ότι τα ηλεκτροµαγνητικά πεδία είναι παράλληλα και ότι τα δύο κύµατα έχουν το ίδιο πλάτος Ε 0, µπορούµε να περιγράψουµε τις εντάσεις καθενός ηλεκτρικού πεδίου στο Ρ, ως: Ε 1=Ε0sinωt και Ε 1=Ε0sin(ωt+φ) Εφόσον υποθέτουµε ότι τα δύο κύµατα βρίσκονται σε φάση όταν εκπέµπονται από τις αντίστοιχες σχισµές τους, η διαφορά φάσης φ στο σηµείο Ρ οφείλεται στη διαφορά διαδροµής δ=r -r 1=dsinθ. Γνωρίζουµε όµως ότι διαφορά διαδροµής λ αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης π. Εποµένως: δ λ π π = φ= δ= d sin θ φ π λ λ (1). Η εξίσωση αυτή περιγράφει ακριβώς την εξάρτηση τής διαφοράς φάσης φ από την γωνία θ. Χρησιµοποιούµε την αρχή τής επαλληλίας και τις παραπάνω εξισώσεις, οπότε µπορούµε να υπολογίσουµε το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο στο Ρ: Ε Ρ = Ε 1 + Ε = E 0 [sin ωt + sin(ωt + φ)] () Θα χρησιµοποιήσουµε την ακόλουθη τριγωνοµετρική ταυτότητα: A+B A-B sina+sinb=sin( )cos( ). Παίρνουµε A = ωt + φ και Β = ωt, οπότε ξαναγράφουµε την Εξίσωση () ως: φ φ Ε Ρ = Ε0 cos( )sin( ω t + ) (3). Βλέπουµε λοιπόν ότι το συνιστάµενο ηλεκτρικό πεδίο στο σηµείο Ρ ταλαντώνεται µε την ίδια κυκλική συχνότητα, ω, των επιµέρους κυµάτων, αλλά το πλάτος του έχει 43

44 πολλαπλασιαστεί επί έναν παράγοντα cos (φ/). Μπορούµε να ελέγξουµε την ορθότητα τού αποτελέσµατος αυτού εάν θέσουµε φ = 0, π, 4π,..., οπότε βλέπουµε ότι το πλάτος στο Ρ είναι Ε 0, που σηµαίνει ότι τότε η συµβολή είναι ενισχυτική. Η ένταση των φωτεινών κυµάτων στο Ρ είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τον συνιστάµενου ηλεκτρικού πεδίου στο σηµείο αυτό. Εάν χρησιµοποιήσουµε την Εξίσωση (3), µπορούµε λοιπόν να εκφράσουµε την ένταση των κυµάτων φωτός στο φ φ Ρ ως: ΙµΕ Ρ=4Ε0cos ( )sin (ωt+ ). Τα περισσότερα φωτόµετρα όµως µετρούν τον µέσο όρο ως προς τον χρόνο της έντασης τού φωτός. Ο µέσος όρος τού sin (ωt+ φ) για µια περίοδο είναι 1/. Γράφουµε λοιπόν ότι η µέση ένταση στο Ρ ισούται µε φ I av =I0cos ( ) όπου Ι 0 είναι ο µέγιστος δυνατός µέσος όρος (ως προς τον χρόνο) τής έντασης του (4), φωτός. Ας σηµειωθεί ότι Ι ( Ε +Ε ) = ( Ε ) = 4Ε. Θέτουµε την Εξίσωση (1) στην (4) και βρίσκουµε ότι: πdsinθ λ Ι av =I0cos ( ). Αφού όµως sin θ ψ/l, για µικρές τιµές θ, µπορούµε να ξαναγράψουµε την εξίσωση ως: πd λ Ι av =I0cos ( ψ). Για να έχουµε ενισχυτική συµβολή (δηλαδή µέγιστη ένταση) πρέπει η ποσότητα (πψd /λl) να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο τού π, δηλαδή ψ = (λl /d)m. Αυτό είναι σύµφωνο µε την εξίσωση: λl ψ φωτεινών = m d. Ας σηµειωθεί ότι η εικόνα τής συµβολής αποτελείται από ισαπέχοντες κροσσούς ίσης έντασης. Επαναλαµβάνουµε όµως ότι τα προηγούµενα ισχύουν όταν L d και για µικρές γωνίες θ. 44

45 Είδαµε λοιπόν ότι τα φαινόµενα συµβολής που οφείλονται σε δύο πηγές δηµιουργούνται εξαιτίας τής διαφοράς φάσης ανάµεσα στα κύµατα που εκπέµπονται από αυτές. Επειδή οι δύο αυτές πηγές είναι σύµφωνες και τα δύο κύµατα που εκπέµπουν έχουν το ίδιο µήκος κύµατος, η διαφορά φάσης τους εξαρτάται µόνο από την διαφορά διαδροµής των δύο κυµάτων. Η ένταση του συνιστάµενου κύµατος σε ένα σηµείο είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τού πλάτους τού συνισταµένου κύµατος στο σηµείο αυτό. Η ένταση, δηλαδή είναι ανάλογη προς το (Ε 1 + Ε ). Είναι λάθος να πούµε ότι η ένταση του συνιστάµενου κύµατος ισούται µε το άθροισµα των εντάσεων των δύο επιµέρους κυµάτων, δηλαδή, µε το ποσότητα (Ε 1 + Ε ) και η ποσότητα Ε 1 +Ε. Ας σηµειωθεί ότι η Ε 1 +Ε έχουν την ίδια µέση τιµή υπολογιζόµενη πάνω σε όλες τις τιµές τής διαφοράς φάσης ανάµεσα στην Ε 1 και Ε. Έτσι δεν υπάρχει παραβίαση τού νόµου διατήρησης της ενέργειας. 45

46 Πλάτος πιθανοτήτων Στον καινούργιο τρόπο σκέψης (κβαντοµηχανική), η πρώτη γενική αρχή µας είναι: «η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωµατίδιο στην θέση x είναι το απόλυτο τετράγωνο ενός µιγαδικού αριθµού που τον ονοµάζουµε πλάτος (ή πλάτος) πιθανότητας». Συµβολικά θα χρησιµοποιήσουµε την σηµειολογία του Dirac, <Σωµατίδιο φθάνει στο x σωµατίδιο βγαίνει από το s> (1) Οι δύο αγκύλες (< >) σηµαίνουν το «πλάτος πιθανότητας». Στην σηµειολογία του Dirac η χρονική σειρά είναι αντίστροφη από αυτή που συνήθως χρησιµοποιούµε και έχουµε συνηθίσει: η έκφραση µετά την κάθετη γραµµή υποδηλώνει την αρχική κατάσταση (σωµατίδιο βγαίνει από το s) και η αριστερή έκφραση υποδηλώνει την τελική κατάσταση (σωµατίδιο φθάνει στο x). Για λόγους συντόµευσης, η εξίσωση (1) γράφεται ως εξής: <x s> () Επαναλαµβάνουµε ότι το πλάτος πιθανότητας είναι ένας µιγαδικός αριθµός, και η σειρά των συµβάντων σηµειώνεται αντίστροφα στην (). Ήδη έχουµε δείξει ότι όταν υπάρχουν δύο τρόποι να φθάσει το σωµατίδιο στον ανιχνευτή η τελική πιθανότητα δίνεται από το απόλυτο τετράγωνο του αθροίσµατος των πλατών πιθανοτήτων: P 1 = φ 1 + φ ] (3) Η δεύτερη γενική αρχή µας είναι: «όταν ένα σωµατίδιο µπορεί να φθάσει κάπου µέσα από δυο πιθανές διαδροµές, το συνολικό πλάτος πιθανότητας είναι το άθροισµα των πλατών για την κάθε διαδροµή ξεχωριστά». Στην καινούργια σηµειολογία µας γράφουµε <x s> και οι δύο σχισµές ανοικτές = <x s> δια µέσου σχισµής 1 + <x s> δια µέσου σχισµής (4) Για λόγους ευκολίας σε αυτό το στάδιο θεωρούµε ότι το µέγεθος των σχισµών είναι αρκετά µικρό ώστε να µην χρειάζεται να διευκρινίσουµε από ποιο σηµείο της σχισµής εξέρχεται το σωµατίδιο (ηλεκτρόνιο εν προκειµένω). Η περιγραφή µας γίνεται έτσι πιο «αδρή», µας διευκολύνει όµως προς το παρόν. Η τρίτη γενική αρχή µας είναι η εξής: «όταν το σωµατίδιο πηγαίνει στον ανιχνευτή από µια συγκεκριµένη διαδροµή (ας πούµε δια µέσου της σχισµής 1), το πλάτος πιθανοτήτων µπορεί να γραφεί ως το γινόµενο του πλάτους µέρους της διαδροµής (π.χ., από την πηγή s στην σχισµή 1) επί του πλάτους της υπόλοιπης διαδροµής (από την σχισµή 1 στο x): <x s> δια µέσου σχισµής 1 = <x 1><1 s> (5) 46

47 Κανονικά θα πρέπει να βάλουµε κάποιον συντελεστή στην πιθανότητα να πάει µέσα στην σχισµή 1. Θεωρώντας την σχισµή 1 ως µοναδική ο συντελεστής είναι 1 και προς το παρόν τον ξεχνάµε. Μπορούµε τώρα να ξαναγράψουµε την εξίσωση (4) µε βάση τον προηγούµενο κανόνα της εξίσωσης (5) ως εξής: <x s> από τις δύο σχισµές = <x 1><1 s> + <x >< s>. Με βάση τα µέχρι τώρα λεχθέντα µπορούµε να υπολογίσουµε τι θα συµβεί σε µια πιο περίπλοκη κατάσταση (σχ. 1), που περιλαµβάνει µια πηγή ηλεκτρονίων s, δύο τοίχους, ο πρώτος µε δύο τρύπες 1 και και ο δεύτερος µε τρεις τρύπες a, b και c, και τον ανιχνευτή στην θέση x πίσω από τον δεύτερο τοίχο. Σχήµα 1. Πείραµα σε πολλαπλές σχισµές Θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα ενός σωµατιδίου να βρεθεί στην θέση x. Σύµφωνα µε την δεύτερη αρχή µας, τα πλάτη για εναλλακτικές διαδροµές προστίθενται, έτσι µπορούµε να γράψουµε το συνολικό πλάτος πιθανότητας από το s στο x ως το άθροισµα έξι ξεχωριστών πλατών πιθανοτήτων. Όµως σύµφωνα µε την τρίτη αρχή µας, κάθε ένα από τα ξεχωριστά πλάτη πιθανοτήτων µπορούν να γραφούν ως γινόµενα τριών πλατών. Για παράδειγµα, ένα τέτοιο γινόµενο είναι για το πλάτος από το s στο 1 επί το πλάτος από το 1 στο α επί το πλάτος από το α στο x. Με την καινούργια σηµειολογία που ορίσαµε πιο πάνω έχουµε: 47

48 <x s> = <x a><a 1><1 s> + <x b><b 1><1 s> + +<x c><c >< s> και χρησιµοποιώντας την σηµειολογία των σειρών: < x s>= < x α >< α i>< i s> (6) i= 1, α= a, b, c Για να µπορέσουµε να υπολογίσουµε το συνολικό πλάτος της εξίσωσης (6) πρέπει να ξέρουµε τα επί µέρους πλάτη από ένα σηµείο σε ένα άλλο. Μην λαµβάνοντας υπ όψιν κάποιες παραµέτρους όπως τη πολικότητα του φωτός ή την ιδιοστροφορµή του ηλεκτρονίου µπορούµε να ορίσουµε αδρά το πλάτος πιθανότητας κάθε µέρους της συνολικής διαδροµής από το s στο x. Ας αρχίσουµε λοιπόν µε ένα ελεύθερο σωµατίδιο (δεν υπάρχουν δυνάµεις που δρουν πάνω του) συγκεκριµένης ενέργειας, κινούµενο στο κενό από το σηµείο r 1 στο σηµείο r. Το πλάτος πιθανότητας να πάει από το σηµείο r 1 στο σηµείο r είναι < r r >= 1 e ip r r 1 1 / ħ (7) όπου r 1 = r r 1 και p είναι η ορµή του σωµατιδίου που συνδέεται µε την ενέργεια Ε δια της εξίσωσης από την σχετικιστική εξίσωση p c = E (m 0 c ) ή από την µη σχετικιστική εξίσωση (p /m) = Κινητική ενέργεια. Η εξίσωση (7) εµπεριέχει τα κυµατικά χαρακτηριστικά του σωµατιδίου! Στην πιο γενική κατάσταση το πλάτος θα είναι και συνάρτηση του χρόνου. Θα παρακάµψουµε όµως µια τέτοια επιπλοκή θεωρώντας ότι όλα τα σωµατίδια εκπέµπονται από την πηγή µε την ίδια ενέργεια. Ας περιγράψουµε τώρα ένα σωµατίδιο που εκπέµπεται σε σηµείο του χώρου P, στον χρόνο t=0 και θέλουµε να ξέρουµε το πλάτος της πιθανότητας να βρεθεί κάπου αλλού σε χρόνο t. Συµβολικά γράφουµε <r, t=t 1 P, t=0>. Το πλάτος της πιθανότητας εξαρτάται και από το r και από το t. Στην µη σχετικιστική περίπτωση, η συνάρτηση του r και t ικανοποιεί την εξίσωση του Schrödinger. Στην περίπτωση ενός µόνον σωµατιδίου µπορούµε να σκεφθούµε το όλο θέµα µε την λογική του «σωµατιδιακού κύµατος», για δύο όµως σωµατίδια και πάνω µια τέτοια λογική δεν µας οδηγεί στην σωστή πορεία. Ας συνεχίσουµε µε την απλούστερη περίπτωση δύο σωµατιδίων που δεν αλληλεπιδρούν. Το πλάτος πιθανότητας για να βρεθεί το ένα στην θέση r 1 και το άλλο στην θέση r δεν είναι ένα απλό κύµα στον 48

49 τρισδιάστατο χώρο αλλά στον εξαδιάστατο χώρο (3 διαστάσεις για την θέση r 1 συν τρεις ακόµη για την θέση r ). Το πλάτος πιθανότητας το ένα σωµατίδιο να κάνει κάτι συγκεκριµένο και το άλλο να κάνει κάτι άλλο είναι το γινόµενο της κάθε πιθανότητας ξεχωριστά, ως να µην υπήρχε το άλλο σωµατίδιο. Συµβολικά γράφουµε <a s 1 ><b s > και το ερµηνεύουµε ως εξής: πιθανότητα να συµβούν δύο γεγονότα ταυτόχρονα, το σωµατίδιο 1 να πάει από την κατάσταση s 1 στην κατάσταση a, και το σωµατίδιο από την κατάσταση s στην κατάσταση b. Θα επιχειρήσουµε τώρα κάτι πιο εντυπωσιακό από εκείνο του πρώτου πειράµατος και συγκεκριµένα θα προσθέσουµε µια πηγή φωτός µεταξύ του τείχους µε τις δύο σχισµές και των ανιχνευτών D 1 και D, όπως φαίνεται στο Σχήµα. Σχήµα. Πείραµα δύο σχισµών µε δύο ανιχνευτές ηλεκτρονίων και πηγή φωτός Προηγούµενα περιγράψαµε πάλι µια παρόµοια κατάσταση και βρήκαµε ότι η σκέδαση ή η συνολική κατανοµή της πιθανότητας των ηλεκτρονίων από την σχισµή 1 ή ήταν το άθροισµα των ξεχωριστών κατανοµών και βεβαίως ήταν διαφορετική µε ή χωρίς την πηγή φωτός. Θα περιγράψουµε τώρα την διαδικασία µε την καινούργια µας σηµειολογία και τις αρχές συνδυασµού των πλατών. Θα χρησιµοποιήσουµε φ 1 για το πλάτος ηλεκτρονίου εξερχόµενου από την σχισµή 1 να φθάσει στην θέση x και φ για το πλάτος του ηλεκτρονίου εξερχόµενο από την σχισµή και που επίσης φθάνει στην θέση x: φ 1 = <x 1><1 s> και φ = <x >< s>. 49

50 Τα πλάτη αυτά ισχύουν χωρίς πηγή φωτός, φθάνουν δηλαδή στο x ανεµπόδιστα. Ας περιγράψουµε τώρα λεπτοµερώς τα συµβάντα: το πλάτος ενός ηλεκτρονίου από την πηγή s να περάσει µέσα από την σχισµή 1 είναι <1 s>. Το πλάτος γι αυτό το ηλεκτρόνιο να σκεδάσει ένα φωτόνιο από την πηγή L και να το οδηγήσει στον ανιχνευτή D 1 όπου και ανιχνεύεται είναι α. Τέλος το πλάτος να φθάσει το ηλεκτρόνιο από την σχισµή 1 στην θέση x (όπου ανιχνεύεται από τον ανιχνευτή ηλεκτρονίων) είναι <x 1>. Ολόκληρη η διαδικασία λοιπόν είναι <x 1>α<1 s> = αφ 1. Η αντίστοιχη διαδικασία για ένα ηλεκτρόνιο που ξεκινάει από την πηγή s, περνάει µέσα από την σχισµή σκεδάζει ένα φωτόνιο στον ανιχνευτή φωτονίων D µε πλάτος b και καταλήγει τελικά στην θέση x είναι <x >α< s> = bφ 1. Το ολικό πλάτος για την διαδικασία να ανιχνευτεί ένα φωτόνιο στον ανιχνευτή D 1 και ένα ηλεκτρόνιο στην θέση x είναι το άθροισµα των δύο πιθανών διαδροµών του ηλεκτρονίου µέσα από την σχισµή 1 ή, δηλαδή αφ 1 +bφ, και αντίστοιχα για φωτόνιο που ανιχνεύεται στον ανιχνευτή D, αφ +bφ 1. Η πιθανότητα ανίχνευσης ενός ηλεκτρονίου στον ανιχνευτή D 1 είναι εποµένως το τετράγωνο του πλάτους αφ 1 +bφ. Αν η σχισµή είναι κλειστή τότε η πιθανότητα είναι απλά αφ 1 = α φ 1. Σε περίπτωση συµµετρίας όπου α = b, η πιθανότητα είναι α φ 1 + φ. 50

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ - ΑΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΑ HEISENBERG Είδαµε ότι η κβαντική µηχανική δεν µας επιτρέπει την ευκολία µιας παραστατικής απεικόνισης της κίνησης των κβαντικών σωµατιδίων. Ως τον 19ο αιώνα, οι φυσικοί µπόρεσαν να εξηγήσουν ένα τεράστιο σύνολο πειραµατικών παρατηρήσεων για αντικείµενα τόσο διαφορετικά όσο οι πλανήτες και οι µπίλιες του µπιλιάρδου. Αν µια παρατήρηση διέφερε από τις προβλέψεις της κλασικής φυσικής, για να εξηγήσουν την απόκλιση έψαχναν να βρουν τι είχαν παραβλέψει. Κάποιος µπορούσε να µετρήσει οτιδήποτε, χωρίς ουσιαστικά όριο στην ακρίβεια της µέτρησης, αρκεί µόνο να διέθετε το ακριβές όργανο µέτρησης. Η κβαντική µηχανική εισάγει ένα ουσιαστικό στοιχείο αβεβαιότητας στις προβλέψεις της φυσικής. Στην κβαντική µηχανική υπάρχει ένα θεµελιώδες όριο στην ακρίβεια την οποία µπορούµε να πετύχουµε, όσο ακριβή και αν είναι τα µετρητικά όργανα µας. Επιστροφή στο πείραµα της διπλής σχισµής Στο πείραµα της διπλής σχισµής µιλάµε για την πιθανότητα που έχει το ηλεκτρόνιο να χτυπήσει το πέτασµα, επειδή δεν µπορούµε να πούµε µε βεβαιότητα πού θα χτυπήσει κάθε ξεχωριστό ηλεκτρόνιο. Μπορούµε να προβλέψουµε µόνο τη σχετική πιθανότητα να χτυπήσει σε κάποιο συγκεκριµένο σηµείο του πετάσµατος. Τώρα ας θυµηθούµε το πείραµα µε τις σφαίρες. Και αυτό περιγράφηκε µε όρους πιθανοτήτων. Υπάρχει όµως µια κρίσιµη διαφορά ανάµεσα στις σφαίρες και στα ηλεκτρόνια. Στην περίπτωση των σφαιρών, η πιθανοκρατική περιγραφή χρησιµοποιήθηκε επειδή δεν γνωρίζαµε την ακριβή αρχική κατεύθυνση της σφαίρας -το πολυβόλο τρανταζόταν κατά την εκπυρσοκρότηση. Αν θέλαµε, όµως, µπορούσαµε να µαγνητοσκοπήσουµε την εκτόξευση της κάθε σφαίρας και µετά να παρακολουθήσουµε την τροχιά της προς το πέτασµα σε αργή κίνηση. Ακόµα κι αν βλέπαµε ένα µόνο µέρος της διαδροµής της σφαίρας, αυτό θα αρκούσε, σύµφωνα µε τον Νεύτωνα, για να προσδιορίσουµε το υπόλοιπο της διαδροµής. 51

52 Η σφαίρα πρέπει να περάσει µέσα από τη µία από τις σχισµές, εµείς δε µπορούµε να προσδιορίσουµε από ποια κοιτάζοντας την ταινία. Γιατί δεν µπορούµε να κάνουµε το ίδιο µε τα ηλεκτρόνια; Ας φανταστούµε πώς θα δρούσαµε αν προσπαθούσαµε να προσδιορίσουµε από ποια σχισµή περνάει το ηλεκτρόνιο. Για να δούµε το ηλεκτρόνιο αµέσως µόλις περάσει από τη µία σχισµή, πρέπει να ρίξουµε κάποιο φως πάνω του και να παρατηρήσουµε το σκεδαζόµενο φως (χρησιµοποιήσαµε αυτό το τέχνασµα ήδη στην προηγούµενη ενότητα). Λοιπόν, ας τροποποιήσουµε την πειραµατική µας συσκευή τοποθετώντας µια φωτεινή πηγή πίσω από τις σχισµές (Εικόνα 1) έτσι ώστε, αν ένα ηλεκτρόνιο περνά διαµέσου της σχισµής 1, να βλέπουµε µια λάµψη πίσω από τη σχισµή αυτή και το ίδιο µε τη σχισµή. Όπως ήδη αναφέραµε, το πρώτο αποτέλεσµα είναι ότι ποτέ δεν βλέπουµε ένα είδος µισής λάµψης πίσω και από τις δύο σχισµές ταυτόχρονα. Υπάρχει πάντοτε µία ολόκληρη λάµψη είτε πίσω από τη σχισµή 1 είτε πίσω από τη σχισµή. Εποµένως, τώρα µπορούµε να χωρίσουµε σε δύο οµάδες τα ηλεκτρόνια που φτάνουν στον ανιχνευτή, σύµφωνα µε το αν περνούν διαµέσου της σχισµής 1 ή της σχισµής. Το ηλεκτρόνιο θα περνά είτε µέσα από τη σχισµή 1 είτε µέσα από τη σχισµή. Και πράγµατι αυτό γίνεται όταν παρακολουθούµε τα ηλεκτρόνια. Αλλά, αν κοιτάξουµε την εικόνα που παίρνουµε από την άφιξη των ηλεκτρονίων στο πέτασµα, δεν θα παρατηρήσουµε καµιά εικόνα συµβολής! Το αποτέλεσµα είναι ακριβώς το ίδιο µε εκείνο των σφαιρών! 5

53 Εικόνα 1:Η πειραµατική διάταξη που χρειαζόµαστε για να παρατηρήσουµε από ποια σχισµή περνά το ηλεκτρόνιο στο πείραµα της διπλής σχισµής. Φως, µε τη µορφή φωτονίων, κατευθύνεται προς τις σχισµές. Στο σχήµα, ένα φωτόνιο, που παριστάνεται σαν µικρή σφαίρα, έχει χτυπήσει ένα ηλεκτρόνιο πίσω από τη σχισµή 1. Η κίνηση του ηλεκτρονίου διαταράσσεται ελαφρά, και το ανακλώµενο φωτόνιο παρατηρείται στους ανιχνευτές φωτονίων. Η χαρακτηριστική εικόνα που παίρνουµε για το ηλεκτρόνιο όταν µένει ανοικτή µόνο η µία από τις σχισµές είναι σχεδόν η ίδια µε πριν, όταν δεν παρατηρούσαµε το ηλεκτρόνιο πίσω από τις σχισµές. Όταν µένουν ανοικτές και οι δύο σχισµές, δεν έχουµε εικόνα συµβολής. Οι µικρές ωθήσεις που δέχονται τα ηλεκτρόνιο κατά τη σύγκρουση τους µε τα φωτόνια αρκούν πάντα για να εξαλείψουν εντελώς την εικόνα συµβολής! Στην περίπτωση αυτή. µπορούµε να πούµε µε βεβαιότητα από ποια σχισµή πέρασε το ηλεκτρόνιο, αλλά τώρα τα ηλεκτρόνιο συµπεριφέρονται ακριβώς όπως οι σφαίρες. Η χαρακτηριστική εικόνα που παρατηρούµε είναι ακριβώς το άθροισµα των εικόνων συµβολής για τη σχισµή 1 και τη σχισµή χωριστά. Έχουµε διαφορετικό αποτέλεσµα, ανάλογα µε το αν ανάψαµε το φως ή όχι για να παρακολουθήσουµε τα ηλεκτρόνια! Η απάντηση σε τούτο το φαινοµενικά παράδοξο γεγονός βρίσκεται στην κβαντική φύση του ίδιου του φωτός. Όποτε το φως αλληλεπιδρά µε την ύλη, εµφανίζει τον σωµατιδιακό χαρακτήρα του. Το φως, όπως τα ηλεκτρόνια, φτάνει κατά ορισµένα «πακέτα» ενέργειας που ονοµάζονται φωτόνια. Για να δούµε εποµένως ένα αντικείµενο, πρέπει να υποχρεώσουµε ένα τουλάχιστον φωτόνιο να ανακλαστεί πάνω του. 53

54 Όταν φωτίζουµε µια σφαίρα, η κίνηση της δεν διαταράσσεται σηµαντικά, επειδή η ποσότητα ενέργειας ενός µεµονωµένου φωτονίου είναι πολύ µικρή σε σύγκριση µε εκείνη της σφαίρας. Από την άλλη, τα ηλεκτρόνια είναι πολύ «ευαίσθητα» κβαντικά αντικείµενα. Όταν φωτίζονται, τα ηλεκτρόνια δέχονται ένα τράνταγµα που διαταράσσει σηµαντικά την κίνηση τους. Μια πιο λεπτοµερειακή ανάλυση αποκαλύπτει ότι αυτή η διαταραχή είναι πάντα αρκετή για να εξαλείψει τη χαρακτηριστική εικόνα συµβολής. Αν µειώσουµε την ένταση του φωτός, απλώς µειώνουµε τον αριθµό των φωτονίων που εκπέµπονται ανά δευτερόλεπτο δεν µειώνουµε την ενέργεια κάθε φωτονίου. Οπότε τώρα µε τα λίγα φωτόνια υπάρχει µεγάλη πιθανότητα ένα ηλεκτρόνιο να περάσει απαρατήρητο, χωρίς να το δούµε. Άρα πρέπει να σχηµατίσουµε και µια τρίτη οµάδα µε τα ηλεκτρόνια που φτάνουν στο πέτασµα. Είναι εκείνα που «χάσαµε» και αδυνατούµε να πούµε µε σιγουριά αν πέρασαν από τη µία ή από την άλλη σχισµή. Αν κοιτάξουµε την εικόνα που παίρνουµε από την άφιξη αυτών των «χαµένων» ηλεκτρονίων, βλέπουµε ότι για άλλη µία φορά εµφανίζεται η χαρακτηριστική εικόνα συµβολής! Αυτό ακριβώς ονοµάζει ο Feynman «λογική σχοινοβασία της κβαντοµηχανικής σκέψης». Αν µέσω ενός πειράµατος καταφέρουµε να ανιχνεύσου- µε από ποια σχισµή περνά το ηλεκτρόνιο, τότε µπορούµε να πούµε µε βεβαιότητα ότι το ηλεκτρόνιο πέρασε από τη µία ή από την άλλη σχισµή. Αν, ωστόσο, δεν έχουµε κάποιον τρόπο για να ανιχνεύσουµε από ποια σχισµή περνά το ηλεκτρόνιο, τότε δεν µπορούµε να πούµε ότι το ηλεκτρόνιο πέρασε είτε από τη µία είτε από την άλλη σχισµή! Ο Heisenberg έδειξε πρώτος ότι οι νέοι νόµοι της κβαντικής µηχανικής συνεπάγονται έναν θεµελιώδη περιορισµό την ακρίβεια των πειραµατικών µετρήσεων. Στον καθηµερινό µας κόσµο µπορούµε βέβαια να φανταζόµαστε ότι η πράξη της µέτρησης δεν διαταράσσει το µετρούµενο µέγεθος. Στον κόσµο της κβαντικής φυσικής, όµως, τα πράγµατα είναι διαφορετικά, Η φωτεινή ενέργεια µεταφέρεται κατά ορισµένα διακριτά ποσά. Εκτελώντας µια µέτρηση, αναγκαστικά διαταράσσουµε σηµαντικά το αντικείµενο στο οποίο κάνουµε τη µέτρηση. Ακόµα, δεν υπάρχει πρακτικός ή και θεωρητικός τρόπος να µειώσουµε τη διαταραχή αυτή στο µηδέν. Για αντικείµενα µικροσκοπικών διαστάσεων, τέτοιες διαταραχές δεν είναι αµελητέες. 54

55 Η αρχή της αβεβαιότητας µπορεί να διατυπωθεί σε ακριβή µαθηµατική µορφή. Συζητώντας για την ντετερµινιστική φύση της κλασικής φυσικής, φανταστήκαµε ότι µετράµε τη θέση και την ταχύτητα κάθε σωµατιδίου µέσα σε ένα δοχείο. Αυτή τη συλλογή των σωµατιδίων και το δοχείο που τα περιέχει θα τα αναφέρουµε συχνά ως σύστηµα, και θα λέµε ότι κάνουµε µετρήσεις «στο σύστηµα». Κάνοντας τώρα µετρήσεις σε ένα κβαντικό σύστηµα, δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσουµε τις ποσότητες θέση χ και ορµή p µε όση ακρίβεια θέλουµε. Υπάρχει πάντοτε ένα ελάχιστο σφάλµα, ή αβεβαιότητα x και p, αντίστοιχα, το οποίο έχει σχέση µε τη µέτρηση τους. Αυτό που εισήγαγε ο Heisenberg, και το οποίο πραγµατικά προφυλάσσει την κβαντική µηχανική, είναι ότι η αβεβαιότητα x στη µέτρηση της θέσης και η αβεβαιότητα p στην ορµή συνδέονται µεταξύ τους. Αν θέλουµε να µετρήσουµε τη θέση ενός σωµατιδίου µε µεγάλη ακρίβεια, καταλήγουµε αναπόφευκτα να προκαλέσουµε στο σύστηµα µια µεγάλη διαταραχή και, κατά συνέπεια, να εισάγουµε µια µεγάλη αβεβαιότητα στην ορµή του σωµατιδίου. Ας δείξουµε τι συµβαίνει µε την αβεβαιότητα κατά την προσπάθειά µας να µετρήσουµε ταυτόχρονα τη θέση και την ορµή ενός σωµατίου. Έστω ηλεκτρόνιο που προσπίπτει σε πέτασµα µε οπή εύρους b. Εάν αντιµετωπίσουµε το ηλεκτρόνιο σαν κυµατοπακέτο, επειδή η οπή δεν επιτρέπει να περάσει ολόκληρο το µέτωπο κύµατος, αναµένουµε στα δεξιά του πετάσµατος το χαρακτηριστικό φάσµα της περίθλασης. Τα ελάχιστα θα αντιστοιχούν σε διαφορές 55

56 δρόµου ίσες µε ακέραια πολλαπλάσια του µήκους κύµατος του κυµατοπακέτου: δ=kλ για τα κύµατα που ξεκινούν από τα δύο άκρα της οπής. Για το ελάχιστο 1 ης τάξης έχουµε γωνιακή διεύθυνση: είναι λ θ=±, δηλαδή το εύρος του 1 ου κροσσού περίθλασης b λ ±. Αν θέλουµε να δώσουµε το µέγεθος του 1 ου κροσσού περίθλασης είναι λ b b. Παρατηρούµε πως όσο «ανοίγει» το εύρος της οπής, τόσο «στενεύει» ο κεντρικός κροσσός. Ας επιστρέψουµε στη σωµατιδιακή εικόνα. Ηλεκτρόνιο προσπίπτει σε οπή και διέρχεται µέσω αυτής. εν µπορούµε να εντοπίσουµε από ποιο ακριβώς σηµείο εισέρχεται µέσα στην οπή, δηλαδή υπάρχει αβεβαιότητα στη θέση: b x. Από τη στιγµή που το ηλεκτρόνιο µπαίνει στο δεξιά του πετάσµατος χώρο, δεν ξέρω που θα καταλήξει. Θα καταλήξει σύµφωνα µε την πιθανότητα που εκφράζει το φάσµα της περίθλασης. έχουµε τελικά: h λ h p =. Άρα λ b b h x p h. Η αβεβαιότητα στη διεύθυνση του ηλεκτρονίου στο δεξιά του πετάσµατος χώρο θα είναι: p= p sin θ και επειδή η 0 θ είναι πολύ µικρή, µπορούµε να πούµε: λ. Από τη p p0 θ p0 b σχέση De Broglie h p= θα λ Αυτή είναι µία επίδειξη του ότι ο κυµατικός και σωµατιδιακός χαρακτήρας εισάγουν αυτή την αβεβαιότητα στο σύγχρονο προσδιορισµό της θέσης και της ορµής, δύο συζυγών µεταβλητών, που χαρακτηρίζουν το ηλεκτρόνιο. Αν θέλουµε να µειώσουµε πολύ την αβεβαιότητα στη θέση ( x), τότε η αβεβαιότητα στην ορµή ( p) δεν µπορεί να παραµείνει µικρή. Αν και οι δύο ήταν µικρές, το γινόµενο των x και p δεν θα ικανοποιούσε την εξίσωση του Heisenberg 56

57 -σύµφωνα µε την οποία το γινόµενο αυτών των αβεβαιοτήτων πρέπει πάντα να είναι περίπου ίσο µε τη σταθερά του Planck (h). Η σταθερά τού Planck µπορεί να µετρηθεί σε πειράµατα του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου. Η τιµή της αποδεικνύεται τόσο µικρή ώστε οι περιορισµοί του Heisenberg σχετικά µε την ακρίβεια των µετρήσεων έχουν αµελητέα επίδραση στις παρατηρήσεις της καθηµερινής µας ζωής (όπως η κίνηση ενός αυτοκινήτου ή µιας µπίλιας του µπιλιάρδου). Για παράδειγµα, υποθέτουµε πως µια σφαίρα µάζας m=50g έχει µετρούµενη ταχύτητα υ=300 m/s µε αβεβαιότητα υ=0,01% = 3 10 m/s. Θα είναι: 3 3 p m υ kg 3 10 m / s 1,5 10 kgm / s = = =. Μέσω της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg έχουµε: 34 h 6,63 10 J s 31 x = = 4,4 10 m 3 p 1,5 10 kgm / s Αν πολλαπλασιάσουµε αυτή την αβεβαιότητα µε τη µάζα της σφαίρας, η προκύπτουσα αβεβαιότητα στην ορµή p µας οδηγεί, µέσω της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg, σε έναν αναπόφευκτο περιορισµό στην ακρίβεια µέτρησης της θέσης, ώστε η καλύτερη ακρίβεια που µπορούµε να επιτύχουµε να είναι 1 τρισεκατοµµύριο φορές µικρότερη της διαµέτρου του ατοµικού πυρήνα. Στην περίπτωση ενός αντικειµένου όπως η σφαίρα, ο περιορισµός αυτός είναι ουσιαστικά αµελητέος. Ας αντικαταστήσουµε τώρα τη σφαίρα του προηγούµενου παραδείγµατος µε ένα ηλεκτρόνιο, διατηρώντας τις ίδιες τιµές για την ταχύτητα και την αβεβαιότητα. Για να βρούµε την αβεβαιότητα στην ορµή του, πρέπει να πολλαπλασιάσουµε την αβεβαιότητα της ταχύτητας του επί τη µάζα του: 31 3 p m υ 9,1 10 kg 3 10 m / s,73 10 kgm / s = = =. 34 h 6,63 10 J s 3 p,73 10 kgm / s x = =, m Από τη στιγµή όµως που η µάζα του ηλεκτρονίου είναι τόσο πολύ µικρότερη αυτής της σφαίρας, η σταθερά τού Planck και η σχέση αβεβαιότητας του Heisenberg θέτουν τώρα σηµαντικούς περιορισµούς στην ακρίβεια µέτρησης της θέσης του ηλεκτρονίου. Η αρχή της απροσδιοριστίας µάς δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουµε καλύτερα τη διττή κυµατική-σωµατιδιακή φύση τού φωτός και τής ύλης. Η σωµατιδιακή περιγραφή διαφέρει σηµαντικά από την κυµατική. Εποµένως, εάν το πείραµα έχει 57

58 σχεδιαστεί µε σκοπό την παρατήρηση τής κυµατικής φύσης τού ηλεκτρονίου (π.χ. τής περίθλασης ηλεκτρονίων από κρύσταλλο), η σωµατιδιακή φύση τού ηλεκτρονίου θα είναι λιγότερο εµφανής. Η αρχή της αβεβαιότητας είναι συνέπεια του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού της ύλης. Πρέπει να αναφέρουµε ότι η αρχή της απροσδιοριστίας εφαρµόζεται σε όλα τα συζυγή (κυµατικά- σωµατιδιακά) µεγέθη. Η απροσδιοριστία θέτει όρια στην ακρίβεια µε την οποία µπορούµε να µετρήσουµε την ενέργεια, Ε, ενός συστήµατος εάν ο χρόνος που έχουµε να κάνουµε τη µέτρηση είναι t. Αυτός λοιπόν ο τρόπος έκφρασης ενέργειας-χρόνου της αρχής της απροσδιοριστίας ορίζει ότι: Ε t ħ. Για να κατανοήσουµε την έκφραση αυτή ας θεωρήσουµε ότι µετρούµε τη συχνότητα ενός κύµατος. Θα κάνουµε τη µέτρηση ενός ηλεκτρικού κύµατος συχνότητας f=1000 Hz. Ας πούµε ότι το όργανο που χρησιµοποιούµε έχει ευαισθησία µέτρησης f=±1 Hz. Έτσι εάν µετρούµε επί ένα δευτερόλεπτο, θα µετρήσουµε συχνότητα (1000 ± 1) κύκλων/1 s, αλλά εάν κάνουµε τη µέτρηση επί s θα µετρήσουµε συχνότητα (000 ± 1) κύκλων/ s. Εποµένως, η απροσδιοριστία f της συχνότητας είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το t, δηλαδή προς το χρονικό διάστηµα κατά το οποίο διήρκεσε η µέτρηση. ηλαδή: f t 1. Γνωρίζουµε όµως ότι όλα τα κβαντικά συστήµατα συµπεριφέρονται και ως κύµατα, οπότε η ενέργεια τους ισούται µε Ε = hf. Θέτουµε λοιπόν f = E / h στην πιο πάνω σχέση και βρίσκουµε: Ε t h. Ο Feynman πρότεινε και έναν άλλον τρόπο προσέγγισης στην κβαντική αβεβαιότητα. Ο τρόπος αυτός στηρίζεται στις «κλασικές» και «κβαντικές» διαδροµές ενός σωµατιδίου -µια σύλληψη που έµελλε να έχει µεγάλη σηµασία στη σύγχρονη κβαντική θεωρία. 58

59 Οι κβαντικές διαδροµές του Feynman Υπάρχει ένας άλλος ενδιαφέρων τρόπος να δούµε τις οµοιότητες και τις διαφορές της κλασικής και της κβαντικής φυσικής. Ας θυµηθούµε ξανά το πείραµα της διπλής σχισµής και ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα να φύγει ένα ηλεκτρόνιο από την πηγή (S) και να φτάσει σε κάποια θέση στον ανιχνευτή (D). Εικόνα :Το κβαντικό πλάτος προκύπτει από πρόσθεση των πλατών που αντιστοιχούν σε όλες τις δυνατές διαδροµές ανάµεσα στην πηγή S και τον ανιχνευτή D. (α) Το αρχικό πείραµα της διπλής σχισµής µε δυο δυνατές διαδροµές για το ηλεκτρόνιο, (β) Με δυο διαφράγµατα ανάµεσα στην πηγή και τον ανιχνευτή και ένα σύνολο πέντε σχισµών, υπάρχουν τώρα έξι δυνατές διαδροµές, (γ) Προσθέτοντας πιο πολλά διαφράγµατα και ανοίγοντας πιο πολλές σχισµές, οδηγούµαστε σε µια κατάσταση όπου δεν έχουµε καθόλου διαφράγµατα! Εποµένως, το κβαντικό πλάτος για ένα ηλεκτρόνιο που ταξιδεύει από το S στο D µπορεί να θεωρηθεί ως άθροισµα των πλατών όλων των δυνατών διαδροµών. Στο σχήµα απεικονίζονται µε διακεκοµµένες γραµµές δύο από το άπειρο πλήθος δυνατών κβαντικών διαδροµών Η διαδροµή που αντιστοιχεί στο κλασικό σωµατίδιο απεικονίζεται µε συνεχή γραµµή. 59

60 Προκειµένου να υπολογίσουµε την εικόνα της άφιξης των ηλεκτρονίων που παρατηρούµε» βρήκαµε ότι, για να πάρουµε το ολικό κβαντικό πλάτος α, πρέπει να προσθέσουµε τα πλάτη πιθανότητας για τις διαδροµές 1 και : α=α 1+α. Τότε, η πιθανότητα άφιξης των ηλεκτρονίων σε κάθε σηµείο προκύπτει ανυψώσουµε αυτό το πλάτος στο τετράγωνο: Π= ( α 1+α ). Αυτή είναι η απαιτούµενη κβαντοµηχανική συνταγή για να ερµηνευθεί η χαρακτηριστική εικόνα συµβολής που παρατηρούµε πειραµατικά. Ας δεχτούµε αυτό τον κανόνα και ας εξετάσουµε τι συµβαίνει αν κάνουµε το πείραµα πιο περίπλοκο, τοποθετώντας και ένα δεύτερο διάφραγµα, µε άλλες τρεις σχισµές, όπως φαίνεται στην Εικόνα β. Τώρα υπάρχουν έξι δυνατές διαδροµές από το S στο D και, σύµφωνα µε τον κβαντοµηχανικό κανόνα µας, προκειµένου να πάρουµε το ολικό πλάτος πιθανότητας, πρέπει να προσθέσουµε τα πλάτη για όλες αυτές τις διαδροµές: α=α 1+α +α 3+α 4 +α 5+α 6 (το ολικό πλάτος ισούται µε το άθροισµα των πλατών που αντιστοιχούν σε όλες τις δυνατές διαδροµές). Η πιθανότητα άφιξης είναι ξανά το τετράγωνο αυτού του πλάτους. Ας τοποθετήσουµε µεταξύ της πηγής και του ανιχνευτή όλο και περισσότερα διαφράγµατα µε όλο και περισσότερες σχισµές. Για να πάρουµε το ολικό πλάτος πιθανότητας, θα πρέπει να προσθέσουµε όλα τα πλάτη που αντιστοιχούν σε όλες τις δυνατές διαδροµές. Αν συνεχίσουµε να τοποθετούµε διαφράγµατα, στο τέλος θα γεµίσουµε µε αυτά όλο το χώρο µεταξύ της πηγής και του ανιχνευτή. Αν µάλιστα ανοίγουµε όλο και περισσότερες σχισµές σε κάθε διάφραγµα, στο τέλος δεν θα έχουµε καν διαφράγµατα! Αυτή η συλλογιστική οδήγησε τον Feynman να διατυπώσει µια µαθηµατική σχέση για το ολικό πλάτος πιθανότητας για τη µετάβαση από το S στο D όταν δεν υπάρχουν διαφράγµατα ή σχισµές αυτό ισούται µε το άθροισµα των πλατών που αντιστοιχούν σε όλες τις δυνατές διαδροµές µεταξύ S και D. Στην Εικόνα γ σηµειώνονται δυο τέτοιες δυνατές «κβαντικές διαδροµές», αλλά και η ευθύγραµµη τροχιά, που θα ακολουθούσε µια σφαίρα πηγαίνοντας από το S στο D χωρίς να παρεµβάλλονται διαφράγµατα µε σχισµές. Στην κλασική φυσική υπάρχει µόνο µία δυνατή διαδροµή- στην κβαντική φυσική, όµως, για να πάρουµε τη σωστή πιθανότητα άφιξης πρέπει να εξετάσουµε όλες τις δυνατές διαδροµές µεταξύ S και D. 60

61 Μπορούµε επίσης να δούµε ότι υπάρχει µια σχέση ανάµεσα στην άθροιση όλων των κβαντικών διαδροµών και στην κβαντική αρχή της αβεβαιότητας. Ας εξετάσουµε πρώτα µια περίπτωση κλασικής κίνησης. Στην παρακάτω εικόνα απεικονίζεται ένα τµήµα της τροχιάς που ακολουθεί το γνωστό «βαγονάκι ιλίγγου» του λούναπαρκ. Αν τοποθετήσουµε το βαγονάκι στο κατώτερο σηµείο της τροχιάς, τότε, σύµφωνα µε την κλασική φυσική, αυτό θα παραµείνει ακίνητο επ αόριστον, εκτός κι αν του ασκήσουµε κάποια δύναµη. Ας σηµειώσουµε τη θέση του βαγονιού σε έναν οριζόντιο άξονα που αναπαριστά όλες τις δυνατές θέσεις. Οµοίως, αναπαριστούµε τις διαφορετικές χρονικές στιγµές µε σηµεία πάνω σε έναν κατακόρυφο άξονα. Τότε, σε τούτο το διάγραµµα χρόνου-θέσης, το ακίνητο βαγόνι θα περιγράφεται από µια ευθεία γραµµή κάθετη στον οριζόντιο άξονα. Τι συµβαίνει όµως µε τα κβαντικά αντικείµενα όπως τα ηλεκτρόνια; Μπορούµε να εφαρµόσουµε κατάλληλα ηλεκτρικά πεδία τα οποία επενεργούν στα ηλεκτρόνια µε τον ίδιο τρόπο που επενεργεί η µεταλλική τροχιά πάνω στο βαγονάκι. Σύµφωνα µε την κβαντική µηχανική, όµως, ένα ηλεκτρόνιο δεν επιτρέπεται να παραµένει ακίνητο στο κατώτερο σηµείο της τροχιάς του. Σε διαφορετική περίπτωση, θα γνωρίζαµε ταυτόχρονα και τη θέση και την ορµή του ηλεκτρονίου -η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg µάς λέει ότι αυτό δεν είναι δυνατό. Τι συµβαίνει τότε; Σύµφωνα µε την κβαντική µηχανική, το ηλεκτρόνιο πρέπει να «χοροπηδάει» συνεχώς γύρω από το κατώτερο σηµείο της τροχιάς- ποτέ δεν µπορεί να βρίσκεται σε ηρεµία. Τι µορφή θα έχει τότε η γραφική παράσταση της θέσης του ηλεκτρονίου ως προς το χρόνο; Προφανώς, δεν θα είναι η απλή κατακόρυφη γραµµή που είχαµε για το βαγονάκι. Αντίθετα, θα είναι µια περίπλοκη, οδοντωτή καµπύλη που θα αντιστοιχεί σε όλα τα «κβαντικά χοροπηδήµατα» του ηλεκτρονίου. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας την κβαντοµηχανική προσέγγιση της άθροισης διαδροµών τού Feynman, µπορούµε µε προσοµοίωση σε ηλεκτρονικό υπολογιστή να κατασκευάσουµε µερικές τυπικές «κβαντικές διαδροµές». 61

62 Η Αρχή της αβεβαιότητας Παρατηρήσιµα φαινόµενα Στον κόσµο, και πριν την ανακάλυψη της κβαντοµηχανικής, παρατηρούνται ποσότητες όπως το µέγεθος σύνθετων συστηµάτων, π.χ. το άτοµο που έχουν συγκεκριµένο µέγεθος. Με την κλασική µηχανική είναι δύσκολο να φανταστούµε γιατί υπάρχουν τέτοιοι περιορισµοί µεγεθών. Στην κβαντοµηχανική όµως, αυτά µπορεί να προκύψουν εύκολα ως συνέπειες βασικών αρχών. Σ αυτήν την ενότητα θα εξετάσουµε τις συνέπειες της αρχής της απροσδιοριστίας. Βέβαια, δε δίνουµε πλήρη περιγραφή και εξήγηση, αλλά θα δείξουµε πως χρησιµοποιώντας αυτή την κβαντοµηχανική αρχή, µπορούµε σε τάξη µεγέθους να αντιλαµβανόµαστε τη συγκρότηση του κόσµου µας. Η σταθερότητα και το µέγεθος των ατόµων Η βασική συνέπεια της αρχής της αβεβαιότητας είναι η αντίσταση στον εντοπισµό. Τα κβαντικά σωµατίδια «αντιδρούν» στον εντοπισµό αυξάνοντας την κινητική τους ενέργεια: Έστω µια συµµετρική κατανοµή της θέσης του ηλεκτρονίου γύρω από ένα πυρήνα. Η αβεβαιότητα στον προσδιορισµό της θέσης του ηλεκτρονίου θα είναι τάξης µεγέθους της ακτίνας αυτής της σφαιρικής κατανοµής. Ας την ονοµάσουµε x α. Η µέση τιµή της ορµής του ηλεκτρονίου σε αυτή τη σφαιρική κατανοµή είναι µηδέν. Αν θεωρήσουµε το άτοµο του Bohr όπου το ηλεκτρόνιο εκτελεί κυκλική τροχιά. Σε χρόνο µιας περιόδου, η µέση τιµή των ορµών που είχε το ηλεκτρόνιο θα είναι µηδέν: p = 0. Παρόλα αυτά, η διασπορά της κατανοµής των τιµών της ορµής του ηλεκτρονίου σε χρόνο µιας περιόδου είναι διάφορη του µηδενός: p 0. Ας εφαρµόσουµε την αρχή της απροσδιοριστίας για να κάνουµε µια εκτίµηση της τάξης µεγέθους του ατόµου, δηλαδή του α: Η σχέση απροσδιοριστίας είναι: h x p h p α Η αβεβαιότητα σε µία κατανοµή τιµών είναι η διασπορά των τιµών γύρω από τη µέση τιµή. Η διασπορά στο τετράγωνο ισούται µε τη µέση τιµή του τετραγώνου των τιµών µείον το τετράγωνο της µέσης τιµής. 6

63 Στην περίπτωση των ορµών έχουµε p = 0, άρα:( p) = p p. Στη συνέχεια θα δεχθούµε πως p p, άρα ( p) = p ( ) h. α Ας δούµε τώρα την κινητική ενέργεια (προφανώς θα µιλήσουµε για µη σχετικιστικά 1 p φαινόµενα): K= meυ =. m e Η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου θα είναι το άθροισµα της κινητικής του ενέργειας 0 συν τη δυναµική ενέργεια Coulomb: p e E(α) = K+ V=. m e α qe e= 4π ο Μετά από τις αντικαταστάσεις καταλήγουµε πως h e E(α) = m α α e h Η βασική κατάσταση του ατόµου θα είναι εκείνη που αντιστοιχεί σε κατάσταση ελαχίστης ενέργειας: 10 α0 = = m : ακτίνα Bohr me e de h e = + = 0 3 dα m α α Η ελάχιστη ολική ενέργεια του ατόµου επιτυγχάνεται όταν η ακτίνα του α γίνει ίση µε την ακτίνα του Bohr α 0. Θα είναι: Παρατηρούµε πως για τιµές της ακτίνας µικρότερες της α 0 η συνάρτηση της ενέργειας είναι αύξουσα. ηλαδή αν προσπαθήσουµε να συµπιέσουµε πιο πολύ το άτοµο, φέρνοντας το ηλεκτρόνιο πιο κοντά στον πυρήνα, τότε αυξάνεται η ενέργεια. Εποµένως, όσο πιο µικροσκοπική είναι η «φυλακή» του, τόσο πιο πολύ «αντιδρά» το σωµατίδιο αυξάνοντας την ενέργειά του! Έτσι παρά το τεράστιο ενδοατοµικό κενό, το άτοµο συµπεριφέρεται ως µία συµπαγής και ασυµπίεστη σφαίρα.. e 63

64 Το µέγεθος των πυρηνικών ενεργειών Για της ενέργεια των σωµατιδίων του πυρήνα στο άτοµο του Bohr έχουµε: h h m α h m α Επ = m R m R m α m α m R e e p p e e p 6 7 Επ = (10 10 )Eατ Επ µερικά MeV Η ενέργεια για α < α ο είναι αύξουσα συνάρτηση του µεγέθους του ατόµου, εποµένως οι πυρηνικές ενέργειες είναι κατά ένα εκατοµµύριο φορές µεγαλύτερες από τις ατοµικές (ενέργειες των ηλεκτρονίων στα άτοµα). Ο πυρήνας είναι ένας γίγαντας ενέργειας ακριβώς επειδή είναι ένας νάνος µεγέθους! Τα πυρηνικά σωµατίδια «κινούνται σαν τρελά» ακριβώς επειδή είναι στριµωγµένα σε έναν τόσο µικρό χώρο. υνάµεις από απόσταση και οι φορείς της αλληλεπίδρασης Στην κλασική φυσική περιγράφουµε την αλληλεπίδραση φορτισµένων σωµατιδίων µε τις δυνάµεις που προβλέπει ο νόµος του Coulomb (το πρόβληµα της δράσης από απόσταση). Στην κβαντική µηχανική µπορούµε να περιγράψουµε αυτή την αλληλεπίδραση µέσω εκποµπής και απορρόφησης φωτονίων. ύο ηλεκτρόνια απωθούνται, καθώς το ένα εκπέµπει ένα φωτόνιο που απορροφάται από το άλλο, ακριβώς όπως δύο παιδιά µε πατίνια απωθούνται όταν ρίχνουν τη µπάλα µπρος -πίσω ο ένας στον άλλο. Αν τα φορτία είναι αντίθετα και η δύναµη ελκτική, φανταζόµαστε ότι οι πατινέρ αρπάζουν τη µπάλα ο ένας από τον άλλο. Η η- λεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση µεταξύ δύο φορτισµένων σωµατιδίων µεταδίδεται µε τα φωτόνια, που µεσολαβούν µεταξύ των φορτισµένων σωµατιδίων. 64

65 h p x= p r h p r p h hc 1 F= F ~ = ~ t r t r r r c= t t: χρόνος διάδοσης της αλληλεπίδρασης (φωτονίου) Αβεβαιότητα στην ορµή: p=p (ορµή του φωτονίου) Αβεβαιότητα στη θέση: x=r (απόσταση των φορτίων) Αν οι αλληλεπιδράσεις των φορτισµένων σωµατιδίων µεταδίδονται µε φωτόνια, από πού προέρχεται η απαιτούµενη ενέργεια για τη δηµιουργία των φωτονίων; Από την αρχή της αβεβαιότητας έχουµε ότι µια κατάσταση, που υπάρχει για ένα µικρό χρονικό διάστηµα t, έχει αβεβαιότητα ενέργειας Ε τέτοια ώστε: Ε t ħ (1) Αυτή η αβεβαιότητα επιτρέπει τη δηµιουργία φωτονίου µε ενέργεια Ε, µε την προϋπόθεση πως αυτό δεν ζει περισσότερο χρόνο από τον t που υπεισέρχεται στην Εξ. (1). Ένα φωτόνιο, που µπορεί να υπάρχει για πολύ λίγο χρόνο εξαιτίας αυτής της αβεβαιότητας στην ενέργεια, ονοµάζεται πλασµατικό (ή δυνητικό) φωτόνιο. Είναι σαν να υπήρχε µια τράπεζα ενέργειας µπορούµε να δανειστούµε ενέργεια Ε, αρκεί να την επιστρέψουµε µέσα στο χρονικό όριο t. Σύµφωνα µε την Εξ. (1), όσο περισσότερα δανειστούµε, τόσο συντοµότερα πρέπει να τα επιστρέψουµε. 65

66 Μεσόνια Υπάρχει σωµατίδιο που είναι φορέας της πυρηνικής δύναµης; Το 1935 ο Ιάπωνας φυσικός Hideki Yukawa πρότεινε ότι ένα υποθετικό σωµατίδιο, που ονόµασε µεσόνιο, θα µπορούσε να δράσει σαν µεσολαβητής (ενδιάµεσος φορέας) της πυρηνικής δύναµης. Έδειξε πως η εµβέλεια της δύναµης σχετιζόταν µε τη µάζα αυτού του σωµατιδίου. Το επιχείρηµα του ήταν το εξής: Το σωµατίδιο πρέπει να ζει αρκετό χρόνο t, ώστε να διανύει αποστάσεις συγκρίσιµες µε την εµβέλεια της πυρηνικής δύναµης, που, µε βάση τα µεγέθη των πυρήνων και άλλες πληροφορίες, ήταν γνωστό πως είναι της τάξης του r 0 = 1,5 x m = 1,5 fm. Υποθέτοντας ότι η ταχύτητα του σωµατιδίου είναι συγκρίσιµη µε την ταχύτητα του φωτός στο κενό c, η διάρκεια του t πρέπει να είναι της τάξης του: r 0 4 t 5, 0x10 s = =. c Η απαραίτητη αβεβαιότητα ενέργειας είναι: Η µάζα που αντιστοιχεί σε αυτή την ενέργεια είναι: ħ Ε= = 130MeV. t Ε 8 m= =, 3x10 kg. c Αυτή είναι περίπου 50 φορές µεγαλύτερη από τη µάζα του ηλεκτρονίου. Ο Yukawa δέχτηκε σαν αξίωµα ότι ο µεσολαβητής (φορέας) της πυρηνικής δύναµης είναι ένα σωµατίδιο µε αυτή τη µάζα. Αυτή ήταν µια θαρραλέα πράξη, αφού εκείνη την εποχή δεν υπήρχε ίχνος πειραµατικής ένδειξης ότι υπήρχε ένα τέτοιο σωµατίδιο. Ένα χρόνο αργότερα, οι Anderson και Neddermeyer ανακάλυψαν στην κοσµική ακτινοβολία δύο νέα σωµατίδια, που σήµερα ονοµάζονται σωµατίδια µ ή µιόνια. Το µ - έχει φορτίο ίσο µε το φορτίο του ηλεκτρονίου, και το αντισωµατίδιό του, το µ +, έχει θετικό φορτίο ίδιου µέτρου. Τα δύο σωµατίδια έχουν ίσες µάζες, περίπου 07 φορές τη µάζα του ηλεκτρονίου. Αλλά γρήγορα διευκρινίστηκε πως τα µιόνια δεν ήταν τα σωµατίδια του Yukawa, γιατί αλληλεπιδρούσαν µε τους πυρήνες πολύ ασθενικά. Το 1947 ανακαλύφθηκε µια άλλη κατηγορία τριών σωµατιδίων, που ονοµάζονται µεσόνια π ή πιόνια. Τα φορτία τους είναι + e, -e, και µηδέν και οι µάζες τους είναι περίπου 70 φορές η µάζα του ηλεκτρονίου. Τα πιόνια αλληλεπιδρούν ισχυρά µε τους πυρήνες, και είναι τα σωµατίδια που πρόβλεψε ο Yukawa. Σήµερα γνωρίζουµε ότι οι δυνάµεις στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις µεταφέρονται µε την ανταλλαγή των µποζονίων που λέγονται γκλουόνια και όχι µε τα µεσόνια. 66

67 Η σχέση µεταξύ της ενέργειας και της ορµής αυτού του νέου σωµατιδίου θα είναι η σχετικιστική έκφραση: 4 E = p c + m c. Επειδή η ενέργεια Ε είναι ίση µε το µηδέν (ή τουλάχιστον αµελητέα σε σχέση µε τη µάζα m) η ορµή προκύπτει φανταστική: p = imc,οπότε για την περίπτωση της πυρηνικής διεργασίας θα πάρουµε ένα πλάτος ανταλλαγής, το οποίο για µεγάλες τιµές της απόστασης θα πρέπει να µεταβάλλεται ως: e mc R ħ (Υπενθυµίζουµε πως το πλάτος για τη µετακίνηση ενός σωµατιδίου καθορισµένης ενέργειας από τη µια περιοχή του χώρου σε κάποια άλλη που απέχει απόσταση r, είναι ανάλογη της ποσότητας συγκεκριµένη ενέργεια). e i pr ħ r R, όπου p είναι η ορµή που αντιστοιχεί σε αυτή τη Αυτοί οι όροι εξασθενούν γρηγορότερα µε την αύξηση της απόστασης R σε σχέση µε τον όρο του µεσονίου. Σήµερα, κανείς ακόµα δεν γνωρίζει τον τρόπο υπολογισµού αυτών των όρων της µεγαλύτερης µάζας ωστόσο, σε αρκετά µεγάλες αποστάσεις ο µόνος όρος που επιβιώνει είναι αυτός που συσχετίζεται µε το πιόνιο και στην πραγµατικότητα, τα πειράµατα που περιλαµβάνουν πυρηνικές αλληλεπιδράσεις µόνο για µεγάλες αποστάσεις, δείχνουν πως η ενέργεια αλληλεπίδρασης είναι αυτή που προβλέπεται από τη θεωρία της ανταλλαγής ενός πιονιού(σήµερα γνωρίζουµε πως η Θεωρία που περιγράφει τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις είναι η κβαντική χρωµοδυναµική). Εποµένως, η δύναµη µεταξύ δύο νουκλεονίων θα µπορούσε να περιγραφεί από µια δυναµική ενέργεια U(r) µε τη γενική µορφή: r / r 0 e U(r) = f (πυρηνικό δυναµικό). r 67

68 Η σταθερά f χαρακτηρίζει την ισχύ της αλληλεπίδρασης και η r 0 περιγράφει την εµβέλεια της. Το Σχ. 1 δείχνει τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης και τη συγκρίνει µε τη συνάρτηση f /r που θα αναλογούσε στην ηλεκτρική αλληλεπίδραση δύο ηλεκτρονίων: (ηλεκτρικό δυναµικό). 1 e U(r) = 4 πε r 0 Σχ. 1: Γραφική παράσταση του µέτρου της συνάρτησης δυναµικής ενέργειας Yukawa για πυρηνικές δυνάµεις, U(r) r / r 0 e = f. Η συνάρτηση γίνεται γρήγορα µηδέν για r > r 0. Για σύγκριση, δείχνουµε επίσης τη r συνάρτηση U(r) = f / r, που αναλογεί στο νόµο του Coulomb. Οι δύο συναρτήσεις είναι όµοιες σε µικρά r, αλλά το δυναµικό του Yukawa µειώνεται πολύ γρηγορότερα για µεγάλα r. Σύµφωνα µε τη "σωµατιδιακή" προσέγγιση, η αλληλεπίδραση Coulomb ανάµεσα σε δύο ηλεκτρόνια, προέρχεται από την ανταλλαγή ενός εικονικού φωτονίου. Πιο συγκεκριµένα, ένα ηλεκτρόνιο εκπέµπει ένα φωτόνιο το οποίο µεταφέρεται στο δεύτερο ηλεκτρόνιο όπου και απορροφάται. Η ενέργεια αλληλεπίδρασης δίδεται ξανά από µία σχέση παρόµοια µε την e mc R ħ R, αλλά στην προκειµένη περίπτωση, η µάζα m αντικαθίσταται από τη µάζα ηρεµίας του φωτονίου - η οποία είναι ίση µε το µηδέν. e Αν είχα φωτόνιο, m=0, amplitude (mc/ ħ)r R 0 e = R = 1 R. Εποµένως, η εικονική ανταλλαγή ενός φωτονίου ανάµεσα σε δύο ηλεκτρόνια, οδηγεί σε µία ενέργεια αλληλεπίδρασης η οποία µεταβάλλεται απλά, αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης R ανάµεσα στα δύο ηλεκτρόνια- όπως ακριβώς και η συνηθισµένη δυναµική ενέργεια Coulomb! Στη "σωµατιδιακή" θεωρία του ηλεκτροµαγνητισµού, η διεργασία της ανταλλαγής ενός απλού φωτονίου, οδηγεί στην εµφάνιση όλων των φαινοµένων της ηλεκτροστατικής. 68

69 Άλως νετρονίων Υπάρχουν αναρίθµητα φαινόµενα που δεν εξηγούνται µε την κλασική µηχανική, και, προκειµένου να τα ερµηνεύσουµε, καταφεύγουµε στην αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενµπεργκ. Ένα παράδειγµα είναι ο πυρήνας του ατόµου. Σχεδόν έναν αιώνα µετά την ανακάλυψη του συνεχίζουµε να αποκαλύπτουµε τα µυστικά του, διαπιστώνοντας ότι παντού κυριαρχούν οι νόµοι της κβαντικής µηχανικής. Τα σωµατίδια που αποτελούν τον πυρήνα, πρωτόνια και νετρόνια, συγκρατούνται το ένα κοντά στο άλλο µέσω της ισχυρής πυρηνικής δύναµης. Αυτή η δύναµη µοιάζει µε κόλλα µε πολύ µικρή εµβέλεια και η δράση της εξαφανίζεται εντελώς µόλις αποµακρυνθούµε από την επιφάνεια του πυρήνα. Οι πυρήνες των ελαφρότερων στοιχείων έχουν σχεδόν τον ίδιο αριθµό φορτισµένων πρωτονίων και ηλεκτρικά ουδέτερων νετρονίων. Πυρήνες που έχουν µεγαλύτερο από το µέσο αριθµό πρωτονίων ή νετρονίων τείνουν να είναι ασταθείς και αποκτούν γρήγορα πιο ευσταθή µορφή µετατρέποντας την περίσσεια πρωτονίων τους σε νετρόνια ή το αντίθετο προκειµένου να αποκατασταθεί η ισορροπία. Στα µέσα της δεκαετίας του 1980, πειράµατα που πραγµατοποιήθηκαν στο Εργαστήριο Λόρενς-Μπέρκλεϊ στην Καλιφόρνια αποκάλυψαν µια νέα ιδιότητα πλούσιων σε νετρόνια πυρήνων λιθίου. Οι ευσταθείς µορφές του λιθίου έχουν ατοµικούς πυρήνες που περιέχουν τρία ή τέσσερα νετρόνια µαζί µε τρία πρωτόνια. Στο ίδιο πείραµα ανακαλύφθηκε ότι ο πυρήνας του λιθίου-11 (µε 3 πρωτόνια και 8 νετρόνια) έµοιαζε να έχει µεγαλύτερο µέγεθος από το αναµενόµενο, πολύ µεγαλύτερο από όσο µπορούσε να δικαιολογηθεί από τα επιπλέον νετρόνια. ιοχετεύοντας µια δέσµη τέτοιων πυρήνων σε επιταχυντή και οδηγώντας την πάνω σε λεπτό στόχο άνθρακα κατόρθωσαν να µετρήσουν πόσοι πυρήνες επιβίωναν από την άλλη πλευρά του στόχου. Όσο µεγαλύτεροι ήταν οι πυρήνες του λιθίου-11 τόσο πιο πιθανή ήταν η σύγκρουση τους µε τον πυρήνα του άνθρακα και ο θρυµµατισµός τους. Ενώ αναµενόταν να περάσουν µέσα από το στόχο άθικτοι πολλοί πυρήνες, έφτασαν πολύ λιγότεροι στον ανιχνευτή της άλλης πλευράς. Είναι σαν να βλέπουµε κόκκους άµµου να περνούν µέσα από ένα κόσκινο. Όσο πιο µεγάλοι, τόσο λιγότεροι περνούν. Οι φυσικοί γρήγορα αντιλήφθηκαν ότι ήταν αντιµέτωποι µε πρωτόγνωρους πυρήνες. Τα δύο εξωτερικά νετρόνια του λιθίου-11 είναι πολύ ασθενώς συνδεδεµένα µε τον υπόλοιπο πυρήνα και περνούν µεγάλο χρονικό διάστηµα µακριά του. 69

70 Στην πραγµατικότητα, περιφέρονται έξω από την εµβέλεια της πυρηνικής δύναµης που τα συγκρατεί και σχηµατίζουν αυτό που ονοµάζεται «άλως νετρονίων». Η άλως των νετρονίων είναι αµιγώς κβαντικό φαινόµενο και σύµφωνα µε την κλασική µηχανική δεν θα έπρεπε να υπάρχει. Η αρχή της απροσδιοριστίας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για µια λιγότερο άµεση εξήγηση του µεγάλου µεγέθους πυρήνων µε άλω. Ένα είδος πειράµατος που χρησιµοποιείται για τη µελέτη τους είναι η εσκεµµένη διάσπασή τους σε µια πυρηνική αντίδραση ώστε να µετρήσουµε τον τρόπο που αποµακρύνονται τα θραύσµατα. Βρέθηκε ότι τα θραύσµατα παρέµειναν κοντά το ένα στο άλλο και αποµακρύνθηκαν µε µικρή ταχύτητα. Με όρους κβαντικής µηχανικής, λέµε ότι η εσωτερική ορµή των θραυσµάτων έχει πολύ µικρή εξάπλωση, σχεδόν µηδενική, ή πολύ εντοπισµένη κυµατοσυνάρτησή ορµής. Εφόσον τα θραύσµατα (τα δύο νετρόνια και ο υπόλοιπος πυρήνας) µόλις συγκρατούνται, δεν χρειάζεται κόπος για να διασπαστεί ένας τέτοιος πυρήνας. Άρα η κυµατοσυνάρτησή ορµής που περιγράφει τη σχετική τους κίνηση µετά τη διάσπαση του πυρήνα δεν είναι τόσο διαφορετική από εκείνη που περιέγραφε τον αρχικό πυρήνα. Σύµφωνα µε την αρχή της απροσδιοριστίας αυτή η κυµατοσυνάρτηση ορµής αντιστοιχεί σε µια εξαιρετικά εξαπλωµένη κυµατοσυνάρτησή θέσης και συνεπώς σε µια εκτεταµένη κατανοµή πιθανότητας. Εποµένως η άλως νετρονίων δεν είναι ουσιαστικά δύο «απλωµένα» νετρόνια, αλλά µάλλον ένας µεγάλος όγκος γύρω από τον υπόλοιπο πυρήνα στον οποίο η πιθανότητα να βρεθούν τα νετρόνια είναι πολύ µεγάλη. Πρόκειται για ένα νέφος πιθανότητας νετρονίων. 70

71 Η ΑΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΑ HEISENBERG ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προηγούµενα δείξαµε εφαρµογές και σε ζητήµατα που εξηγεί η κλασική φυσική. Η αρχή της απροσδιοριστίας, όπως οι πιο πολλές αρχές θα εδράζονται στον κυµατικό-σωµατιδιακό δυϊσµό. Θα αναζητήσουµε κλασικά ανάλογα της απροσδιοριστίας στα κυµατικά φαινόµενα της κλασικής φυσικής. Ταχύτητες στην κυµατική κίνηση Από την αρχή πρέπει να ξεκαθαρίσουµε ένα σηµείο. Οι στοιχειώδεις ταλαντωτές που συγκροτούν το µέσον δεν οδεύουν µέσα στο µέσον µαζί µε τα κύµατα. Η κίνηση τους είναι απλή αρµονική και περιορίζεται σε ταλαντώσεις εγκάρσιες ή διαµήκεις, γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. Αυτό που εµφανίζεται σαν κύµα είναι η σχέση µεταξύ των φάσεων τους, όχι η προοδευτική κίνηση τους µέσα στο µέσον. Στην κυµατική κίνηση υπάρχουν τρεις ταχύτητες που είναι εντελώς διαφορετικές µολονότι συνδέονται µαθηµατικά µεταξύ τους. Αυτές είναι: (1) Η σωµατιδιακή ταχύτητα, που είναι η απλή αρµονική ταχύτητα του ταλαντωτή γύρω από τη θέση ισορροπίας του. () Η κυµατική ή φασική ταχύτητα, η ταχύτητα µε την οποία επίπεδα µε την ίδια φάση, κορυφές ή κοιλάδες, διαδίδονται στο µέσον. (3) Η οµαδική ταχύτητα. Κύµατα µε διαφορετικές συχνότητες, µήκη κύµατος και ταχύτητες είναι δυνατό να υπερτεθούν και να σχηµατίσουν ένα κυµατοπακέτο (βλέπε στα επόµενα). Τα κύµατα σπάνια εµφανίζονται σαν απλές µονοχρωµατικές συνιστώσες ένας παλµός λευκού φωτός αποτελείται από ένα φάσµα µε άπειρες συχνότητες και η κίνηση ενός τέτοιου παλµού θα περιγραφόταν από την οµαδική ταχύτητα. Μια τέτοια οµάδα θα «διασκορπιζόταν» φυσικά µε το χρόνο γιατί η κυµατική ταχύτητα κάθε συνιστώσας θα ήταν διαφορετική σε όλα τα µέσα εκτός από το κενό. Μόνο στο κενό θα παρέµενε λευκό το φως. Σε µια παράγραφο αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο, θα µελετήσουµε την οµαδική ταχύτητα σαν ξεχωριστό θέµα. Η σπουδαιότητα της οφείλεται στο ότι αυτή είναι η ταχύτητα µε την οποία µεταδίδεται η ενέργεια του κυµατοπακέτου. 71

72 Για ένα µονοχρωµατικό κύµα η οµαδική ταχύτητα και η κυµατική ταχύτητα είναι ταυτόσηµες. Εδώ θα συγκεντρωθούµε στη σωµατιδιακή και την κυµατική ταχύτητα. Κυµατοµάδες και οµαδική ταχύτητα Η συζήτηση µας µέχρι τώρα περιορίστηκε σε µονοχρωµατικά κύµατα-κύµατα µε µία µόνο συχνότητα και ένα µήκος κύµατος. Είναι πολύ πιο συνηθισµένο να εµφανίζονται τα κύµατα µε τη µορφή µίγµατος ενός πλήθους ή µιας οµάδας συνιστωσών συχνοτήτων το λευκό φως, για παράδειγµα, είναι σύνθεση ενός συνεχούς φάσµατος ορατών συχνοτήτων που εκτείνεται από 3000 ο Α περίπου, στο µπλε, µέχρι 7000 ο Α, στο κόκκινο. Η εξέταση της συµπεριφοράς µιας τέτοιας οµάδας οδηγεί στο τρίτο είδος ταχύτητας που αναφέρθηκε στην αρχή του κεφαλαίου, δηλαδή την οµαδική ταχύτητα. Επαλληλία δύο κυµάτων σχεδόν ίσων συχνοτήτων Αρχίζουµε θεωρώντας µια οµάδα που αποτελείται από δύο συνιστώσες µε το ίδιο πλάτος αλλά µε συχνότητες ω 1 και ω, που διαφέρουν κατά λίγο. Οι δύο ξεχωριστές µετατοπίσεις δίνονται από τις: ψ 1=α cos( ω1t k1x) και ψ =α cos( ωt kx). Η επαλληλία πλάτους και φάσης δίνει: ( ω1 ω )t (k1 k )x ( ω 1+ω )t (k1+ k )x ψ 1+ψ = α cos cos ένα κυµατικό σύστηµα µε συχνότητα (ω 1 +ω )/ που βρίσκεται πολύ κοντά στη συχνότητα καθεµιάς από τις δύο συνιστώσες αλλά µε µέγιστο πλάτος α, διαµορφωµένο στο χώρο και στο χρόνο από µία περιβάλλουσα που µεταβάλλεται πολύ αργά µε συχνότητα (ω 1 ω )/ και κυµατικό αριθµό (k 1 -k )/. 7

73 Η ταχύτητα του νέου κύµατος είναι ( ω1 ω ) /(k1 k ) που δίνει, αν οι φασικές ω1 ω (k1 k ) ταχύτητες είναι ω 1 / k 1=ω / k = c, = c = k k k k 1 1 οπότε οι συνιστώσες συχνότητες και η επαλληλία τους, ή οµάδα, θα οδεύει µε την ίδια ταχύτητα, ενώ η µορφή του συνδυασµού και των δύο θα παραµένει σταθερή. Αν τα κύµατα είναι ηχητικά, η ένταση είναι µέγιστη όταν το πλάτος έχει ένα µέγιστο µε τιµή α. Αυτό συµβαίνει δύο φορές σε κάθε περίοδο της συχνότητας διαµόρφωσης, δηλαδή, µε µια συχνότητα f 1 f. Περιβάλλουσα µε συχνότητα ( ω1 ω) c, Ταλάντωση µε συχνότητα ( ω 1+ω) Σχ. 1. Η επαλληλία δύο κυµάτων µε ελάχιστα διαφορετικές συχνότητες αϊ, και ω, σχηµατίζει µια οµάδα. Η γρήγορη ταλάντωση γίνεται µε τη µέση συχνότητα των δύο συνιστωσών οµάδας που µεταβάλλεται αργά έχει συχνότητα (ω1-ω ) (ω 1+ω ), την ηµιδιαφορά των συνιστωσών. και η περιβάλλουσα της Τα διακροτήµατα, εποµένως, των διακυµάνσεων του πλάτους έχουν συχνότητα ίση µε τη διαφορά f 1 f των δύο συνιστωσών. Στο παράδειγµα µας, όπου οι συνιστώσες έχουν ίσα πλάτη α, η επαλληλία θα παράγει ένα πλάτος που κυµαίνεται µεταξύ α και 0. αυτό ονοµάζεται πλήρης διαµόρφωση. Γενικότερα, ένα κύµα διαµορφωµένο κατά πλάτος µπορεί να παρασταθεί µε ψ = A cos (ωt kx), όπου το πλάτος διαµόρφωση είναι: Α= a + b cos ω't. b ψ=α ω + ω+ω + ω ω, Αυτό δίνει cos( t kx) {[ cos( ')t] [ cos( ')t kx] } οπότε η διαµόρφωση πλάτους εισάγει εδώ δύο νέες συχνότητες ω ± ω', γνωστές ως τόνοι συνδυασµού ή πλευρικές ζώνες. 73

74 Η διαµόρφωση κατά πλάτος µιας φέρουσας συχνότητας είναι ένας κοινός τύπος ραδιοφωνικής εκποµπής, αλλά η δηµιουργία των πλευρικών ζωνών οδήγησε στο συνωστισµό των ραδιοσυχνοτήτων και στις παρεµβολές µεταξύ διαφορετικών σταθµών. Ας υποθέσουµε τώρα ότι οι δύο συνιστώσες συχνότητες της προηγούµενης ω1 ω παραγράφου έχουν διαφορετικές φασικές ταχύτητες, δηλαδή. Η ταχύτητα k k 1 ω1 ω του µέγιστου πλάτους της οµάδας δηλαδή η οµαδική ταχύτητα k k 1 ω =, k είναι τώρα διαφορετική από τις δύο αυτές ταχύτητες η επαλληλία των δύο κυµάτων δε θα παραµένει πια σταθερή και το σχήµα της οµάδας θα αλλάζει µε το χρόνο. Ένα µέσον στο οποίο η φασική ταχύτητα εξαρτάται από το χρόνο (ω/k όχι σταθερό) είναι γνωστό ως διασκορπιστικό µέσο και µια σχέση διασποράς εκφράζει τη µεταβολή του ω σαν συνάρτηση του k. Αν µία οµάδα περιέχει έναν αριθµό συνιστωσών συχνοτήτων που είναι σχεδόν ίδιες, η αρχική έκφραση για την ω dω οµαδική ταχύτητα γράφεται : =. k dk Η οµαδική ταχύτητα είναι η ταχύτητα του µέγιστου πλάτους της οµάδας και εποµένως είναι η ταχύτητα µε την οποία µεταδίδεται η ενέργεια της οµάδας. Αφού ω = kυ, όπου υ η φασική ταχύτητα, η οµαδική ταχύτητα θα d d(k ) d d είναι: υ g = ω = υ =υ+ k υ =υ λ υ, όπου k=π/λ. dk dk dk d λ Συνήθως το d υ dλ είναι θετικό, οπότε g υ < υ. Αυτό ονοµάζεται κανονική διασπορά, µπορεί όµως, να προκύψει και ανώµαλη διασπορά όταν το d υ dλ οπότε υ g > υ. είναι αρνητικό, 74

75 Οι τρεις καµπύλες του Σχήµατος παριστάνουν: (a) ένα µη διασκορπιστικό µέσο όπου το ω/k είναι σταθερό, δηλαδήυ g = υ, για παράδειγµα η συµπεριφορά του κενού στα φωτεινά κύµατα. (b) µια σχέση κανονικής διασποράς, υ g < υ (c ) µια σχέση ανώµαλης διασποράς, υ g > υ. ΣΧ. Ο de Broglie πρότεινε το 194 ότι, αφού η δυϊκή κυµατοσωµατιδιακή φύση των ηλεκτροµαγνητικών πεδίων απαιτούσε µια σωµατιδιακή ορµή p = h/λ, θα ήταν δυνατό σε κάθε σωµατίδιο ορµής p=mυ να αντιστοιχήσει κανείς ένα µήκος κύµατος λ ενός «υλικού» πεδίου και να πάρει τη σχέση p=h/λ. Το επιχείρηµα του ήταν ως εξής: Αν η φασική ταχύτητα ενός τέτοιου υλικού κύµατος υπακούει στη σχέση υ p = fλ, όπου f είναι η συχνότητα, η παραδοχή ότι κάθε σωµατίδιο έχει ορµή p=h/λ µαζί µε την έκφραση του Einstein: E = hf, δίνει υ p =Ε/p. Για ένα σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m 0 και ταχύτητα υ, η θεωρία της σχετικότητας δίνει ότι το σωµατίδιο αυτό έχει ενέργεια Ε = mc και ορµή p = mυ, 75

76 όπου 1/ υ m= m0 1 c, είναι η µάζα του σωµατιδίου µε ταχύτητα υ. Για ένα τέτοιο σωµατίδιο, η φασική ταχύτητα είναι E c υ p = =, p υ δηλαδή, υυ p = c. Η υυ p = c δίνει φασική ταχύτητα υ p > c για σωµατιδιακή ταχύτητα υ<c. Όµως, η ενέργεια του κύµατος Broglie (ή σωµατιδίου) οδεύει µε την οµαδική ταχύτητα ω E υ g = = k p. ω υ g =, όπου για k h E= hf = ω π και h h p= = k λ π δίνει Ένα τέτοιο σωµατίδιο µε σχετικιστική ενέργεια Ε, όπου E = p c + (m 0 c ) έχει E E = pc p ή E pc υc υ g = = = =υ, δηλαδή, η οµαδική ταχύτητα ενός p E c κύµατος de Broglie αντιστοιχεί στη σωµατιδιακή ταχύτητα υ. Κυµατοπακέτα Τελικά, ας σκεφτούµε περισσότερο για το πώς ένα ηλεκτρόνιο µπορεί να είναι ταυτόχρονα και σωµατίδιο και κύµα. Πρώτα σηµειώνουµε ότι ένα σωµατίδιο µε καθορισµένο µήκος κύµατος λ, έχει επίσης καθορισµένη ορµή p, εξαιτίας της σχέσης του de Broglie, λ = h/p. Για µια τέτοια κατάσταση δεν υπάρχει αβεβαιότητα στην ορµή: p=0. Η αρχή της αβεβαιότητας, λέει ότι x p h/π. Εάν p = 0, το x πρέπει να είναι άπειρο. Εάν ξέρουµε την ορµή του σωµατιδίου ακριβώς, δεν έχουµε καµία ιδέα για το πού µπορεί να βρίσκεται το σωµατίδιο. Μια τέτοια κατάσταση παριστάνεται από µια ηµιτονοειδή κυµατοσυνάρτηση που εκτείνεται σε ολόκληρο το χώρο. Μπορούµε να υπερθέσουµε δύο ή περισσότερες ηµιτονοειδείς συναρτήσεις, για να φτιάξουµε µια κυµατοσυνάρτηση περισσότερο εντοπισµένη στο χώρο. Για να απλοποιήσουµε το πρόβληµα θα περιοριστούµε σε µια µόνο διάσταση και σε µία χρονική στιγµή (έστω t = 0). Οι κυµατοσυναρτήσεις µας θα είναι τότε συναρτήσεις µόνον της συντεταγµένης χ και τις συµβολίζουµε µε ψ. 76

77 Υπερθέτοντας δύο κύµατα µε ελαφρώς διαφορετικά µήκη κύµατος, παίρνουµε το κύµα που φαίνεται στο Σχ. 3. Σχ.3 Ένα σωµατίδιο που παριστάνεται από αυτή τη συνάρτηση έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθεί σε κάποιες περιοχές παρά σε άλλες, αλλά η ορµή του σωµατιδίου δεν έχει πλέον καθορισµένη τιµή επειδή υπάρχουν δύο διαφορετικά µήκη κύµατος. εν είναι δύσκολο να φανταστούµε την επαλληλία δύο επιπλέον ηµιτονοειδών κυµάτων µε διαφορετικά µήκη κύµατος έτσι ώστε να ενισχυθούν τα εξογκώµατα υπ αριθµόν 1, 3, 5,... στο Σχ. 3b και να αναιρεθούν τα ενδιάµεσα. Τελικά, εάν υπερθέσουµε κύµατα µε έναν πολύ µεγάλο αριθµό διαφορετικών µηκών κύµατος, µπορούµε να κατασκευάσουµε κύµα µε ένα µόνον εξόγκωµα. Έχουµε επιτέλους κάτι που αρχίζει να µοιάζει τόσο µε σωµατίδιο όσο και µε κύµα. Είναι σωµατίδιο µε την έννοια ότι είναι εντοπισµένο στον χώρο εάν δεν το κοιτάµε από πολύ κοντά, ίσως φαίνεται ως σηµείο. Όµως εξακολουθεί να περιγράφεται από µια κυµατοσυνάρτηση µε περιοδική δοµή, χαρακτηριστική κύµατος. Ένα τέτοιο κύµα ονοµάζεται κυµατοπακέτο. Μπορούµε να παραστήσουµε την πx επαλληλία µε µια έκφραση όπως ψ (x) = Α( λ)sin dλ (1), 0 λ όπου sin (πx/λ) είναι ένα ηµιτονοειδές κύµα µε µήκος κύµατος λ. 77

78 Το ολοκλήρωµα παριστά µια υπέρθεση, κατά την οποία προσθέτουµε έναν πολύ µεγάλο αριθµό κυµάτων µε διαφορετικές τιµές του λ, καθένα µε πλάτος Α(λ) το οποίο εξαρτάται από το λ. Όπως προκύπτει από την Εξ. (1), υπάρχει µια σπουδαία σχέση µεταξύ των δύο συναρτήσεων ψ(x) και Α(λ). Η σχέση αυτή φαίνεται ποιοτικά στο Σχ.. Σχ. 4 Εάν η συνάρτηση Α(λ) έχει µια οξεία κορυφή, όπως στο Σχ.4a, στην υπέρθεση υπεισέρχεται µια στενή περιοχή µηκών κύµατος. Το προκύπτον κυµατοπακέτο ψ(x) είναι τότε σχετικά ευρύ (Σχ. 4b). Εάν όµως χρησιµοποιήσουµε µια ευρεία περιοχή τιµών του λ, ώστε η συνάρτηση Α(λ) να είναι ευρεία (Σχ. 4c), τότε το κυµατοπακέτο θα είναι πιο στενό, δηλαδή καλύτερα εντοπισµένο (Σχ. 4d). Συνθλίβετε τη µία µορφή και διευρύνεται η άλλη! Αυτό που βλέπουµε είναι η αρχή της αβεβαιότητας εν δράσει. Μια στενή περιοχή µηκών κύµατος λ σηµαίνει στενή περιοχή ορµών p και συνεπώς ένα µικρό p το αποτέλεσµα είναι ένα σχετικά µεγάλο x. Μια ευρεία περιοχή του λ αντιστοιχεί σε µεγάλο p και το προκύπτον x είναι µικρότερο. Βλέπουµε, συνεπώς, ότι η αρχή της αβεβαιότητας είναι µια αναπόφευκτη συνέπεια της σχέσης του de Broglie και των ιδιοτήτων των ολοκληρωµάτων, όπως εκείνου στην Εξ. (1). Ένα τέτοιο ολοκλήρωµα ονοµάζεται ολοκλήρωµα Fourier, και είναι µια γενίκευση της έννοιας της σειράς Fourier. Και στις δύο περιπτώσεις παριστάνουµε µία περίπλοκη κυµατική µορφή ως επαλληλία ηµιτονοειδών συναρτήσεων. Στις σειρές Fourier χρησιµοποιούµε µια ακολουθία συχνοτήτων 78

79 (ή τιµών του 1/λ), οι οποίες είναι ακέραια πολλαπλάσια µιας βασικής τιµής στα ολοκληρώµατα Fourier υπερθέτουµε συναρτήσεις µε µια συνεχή κατανοµή τιµών του λ. Κυµατοµάδα µε πολλές συνιστώσες. Το θεώρηµα εύρους ζώνης Μέχρι τώρα θεωρήσαµε κυµατοµάδες που έχουν µόνο δύο συνιστώσες συχνότητες. Εύκολα µπορούµε να επεκταθούµε στην περίπτωση µιας οµάδας µε πολλές συνιστώσες συχνότητες, που κείνται µέσα στο στενό εύρος συχνοτήτων ω, καθεµιά µε πλάτος α. Το φάσµα συχνοτήτων της οµάδας αυτής φαίνεται στο Σχ. 5a και θέλουµε να παρακολουθήσουµε τη συµπεριφορά της µε το χρόνο. Σχ.5 79

80 Ζητούµε να βρούµε το πλάτος που προκύπτει από την επαλληλία των συνιστωσών συχνοτήτων το οποίο και γράφουµε σαν n 1 σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ διαδοχικών συνιστωσών. R= α cos( ω t+ n δ), όπου δ ήταν η 0 Θα είναι: R = a cos ω 1 t + α cos (ω 1 + δω) t + a cos (ω 1 + δω) t acos [ω 1 + (n-1) (δω)]t To αποτέλεσµα δίνεται από τη σχέση: [ δω ] [ δω ] sin n( )t / R=α cosωt, όπου η µέση συχνότητα στον παλµό είναι sin ( )t / 1 ω=ω 1+ (n 1)( δω ). Το εύρος του παλµού είναι η(δω) = ω, οπότε η συµπεριφορά της συνισταµένης R µε το χρόνο µπορεί να γραφεί sin( ω t / ) sin( ω t / ) R= α cos ωt = nα cos ωt, γιατί sin( ω t / n) ω t / όταν το η είναι µεγάλο, sin α R(t) = A cos ωt, α ωt ωt sin n n και ω t όπου Α=nα και α=, είναι η µισή διαφορά φάσης µεταξύ της πρώτης και της τελευταίας συνιστώσας τη στιγµή t. Η έκφραση αυτή µας δίνει τη χρονική συµπεριφορά του παλµού και φαίνεται σαν συνάρτηση του χρόνου στο Σχ. 5.b. Βλέπουµε ότι το πλάτος R(t) δίνεται από τη συνηµιτονική καµπύλη µε µέση συχνότητα ω, τη µέση συχνότητα, διαµορφωµένη από τον όρο A sinα/α. Όταν t= 0, sinα/α 1 και όλες οι συνιστώσες προστίθενται µε µηδενική διαφορά φάσης, δίνοντας το µέγιστο πλάτος R(t)=Α =nα. Μετά από κάποιο χρονικό ω t διάστηµα t, όταν α= =π, οι φάσεις µεταξύ των συνιστωσών συχνοτήτων είναι τέτοιες ώστε το προκύπτον πλάτος R(t) να είναι µηδέν. 80

81 Ο χρόνος t, που είναι ένα µέτρο του εύρους του κεντρικού παλµού του ω t Σχ. 5b, δίνεται εποµένως από το =π, ή f t =1,όπου ω = π f. Το πραγµατικό εύρος του κορµού του κεντρικού παλµού είναι t, αλλά το διάστηµα t θεωρείται σαν αυθαίρετο µέτρο χρόνου, µε κέντρο το t = 0, κατά τη διάρκεια του οποίου το πλάτος R(t) παραµένει σηµαντικά µεγάλο (>Α/). Με αυτόν τον αυθαίρετο ορισµό η ακριβής έκφραση f t =1 γίνεται η προσέγγιση f t 1 ή ( ω t π) και αυτή η προσέγγιση είναι γνωστή ως θεώρηµα εύρους ζώνης. Το θεώρηµα λέει ότι οι συνιστώσες ενός παλµού µε εύρος συχνοτήτων ω συµβάλλουν µε τη δηµιουργία σηµαντικού πλάτους R(t) µόνο για ένα διάστηµα t, προτού ο παλµός εξασθενίσει εξ αιτίας τυχαίων διαφορών φάσης. Όσο µεγαλύτερο είναι το εύρος ω, τόσο συντοµότερο είναι το διάστηµα t. Μια εναλλακτική διατύπωση του θεωρήµατος είναι ότι ένας µοναχικός παλµός διάρκειας t είναι το αποτέλεσµα της επαλληλίας συνιστωσών µε συχνότητες που περιέχονται µέσα στο διάστηµα ω όσο βραχύτερο είναι το διάστηµα t του παλµού, τόσο πλατύτερο είναι το διάστηµα συχνοτήτων ω που χρειάζονται για την παράσταση του. Όταν το ω είναι µηδέν έχουµε µια µοναδική συχνότητα, το µονοχρωµατικό κύµα, που πρέπει (θεωρητικά) να έχει άπειρη χρονική έκταση. ιαλέξαµε να εκφράσουµε την κυµατοµάδα µας µε τις δύο παραµέτρους της συχνότητας και του χρόνου (που έχουν γινόµενο αδιάστατο), αλλά εξ ίσου εύκολα µπορούµε να εργαστούµε µε το άλλο ζευγάρι παραµέτρων, τον κυµαταριθµό k και την απόσταση x. Αντικαθιστώντας το ω µε το k και το t µε το χ, ορίζουµε το µήκος x της κυµατοµάδας µε τη βοήθεια του εύρους των µηκών κύµατος (1 /λ) των συνιστωσών. 81

82 Το θεώρηµα εύρους ζώνης γίνεται τότε: x k π ή x (1/λ) 1 δηλ. x λ / λ Παρατηρούµε πάλι ότι ένα µονοχρωµατικό κύµα όπου k = 0 απαιτεί x, δηλαδή έναν απείρως µακρύ κυµατοσυρµό. Στην κυµατοµάδα που µόλις θεωρήσαµε, το πρόβληµα απλοποιήθηκε µε την υπόθεση ότι όλες οι συνιστώσες έχουν το ίδιο πλάτος α. Όταν δεν έχουµε αυτήν την περίπτωση, οι διαφορετικές τιµές α(ω) αντιµετωπίζονται µε µεθόδους Fourier. Στη σύγχρονη φυσική, το θεώρηµα εύρους ζώνης γίνεται η αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg Μολονότι, όπως θα δούµε, η εξίσωση του Schrödinger παίρνει τη µορφή µιας εξίσωσης στάσιµων κυµάτων, η προσαρµογή ενός ακέραιου αριθµού στάσιµων κυµάτων de Broglie γύρω από µια τροχιά Bohr εµφανίζει µια θεµελιώδη δυσκολία. Η αζιµουθιακή συµµετρία µιας τέτοιας εικόνας, Σχ. 6, που παριστάνει ένα ηλεκτρόνιο σε τροχιά, δεν επιτρέπει τον προσδιορισµό της ακριβούς θέσης του ηλεκτρονίου κάποια ιδιαίτερη χρονική στιγµή. Αυτό το δίληµµα λύθηκε από τον Heisenberg µε βάση το θεώρηµα εύρους ζώνης. Σύµφωνα µε αυτό, µια οµάδα κυµάτων µε οµαδική ταχύτητα υ g, και σε µια περιοχή Σχ. 6 Ο ακέραιος αριθµός στάσιµων κυµάτων de Broglie λ=h/p γύρω από µια κυκλική τροχιά Bohr δεν επιτρέπει τον προσδιορισµό της ακριβούς θέσης του ηλεκτρονίου κάποια ιδιαίτερη χρονική στιγµή. συχνοτήτων f προστίθεται δίνοντας σηµαντικό πλάτος µόνο για ένα χρονικό διάστηµα t, όπου f t 1. Οµοίως, µια οµάδα στην περιοχή κυµαταριθµών k επιπροστίθεται στο χώρο σε µια απόσταση x, όπου x k π. Αλλά η ταχύτητα του υλικού κύµατος 8

83 de Broglie ουσιαστικά είναι µια οµαδική ταχύτητα και αντιστοιχεί σε ορµή h h p= = k= ħ k, όπου λ π γίνεται η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg: x p h. Επειδή ħ h =, ώστε p = ħ k και το θεώρηµα εύρους ζώνης π h Ε E= hf = ω= ħ ω, προκύπτει ότι = Ε t h π f Ε ħ ω, είναι επίσης εκφράσεις της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg. Η σχέση αυτή θέτει ένα θεµελιώδες όριο στη µέγιστη ακρίβεια µε την οποία µπορούµε να γνωρίζουµε τη θέση x του σωµατιδίου και τη συνιστώσα p χ της ορµής του. Αν το Σχ.7 δείχνει µια κυµατοµάδα που παριστάνει το σωµατίδιο, η περιοχή x δείχνει την αβεβαιότητα στη θέση του σωµατιδίου την περιοχή του χώρου στην οποία µπορεί να βρεθεί, µε πιθανότητα να βρίσκεται σε κάποια ιδιαίτερη θέση που δίνεται από το τετράγωνο του πλάτους του κύµατος στη θέση αυτή. Η σχέση x p h σηµαίνει ότι η ταχύτητα του σωµατιδίου (p =mυ) είναι επίσης αβέβαιη, τόσο λιγότερο βέβαιη όσο περισσότερο ακριβής είναι η γνώση της θέσης του σωµατιδίου. και - Η ίδια κυµατο µάδα µε τά από χρόνο t Κυµατοµάδα Σχ. 7. Μια κυµατοµάδα που παριστάνει ένα σωµατίδιο παρουσιάζει διασπορά µετά από χρόνο t. Το τετράγωνο του πλάτους του κύµατος σε κάθε σηµείο παριστάνει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωµατίδιο σε εκείνη τη θέση και η διασπορά παριστάνει την αυξανόµενη µε το χρόνο αβεβαιότητα της θέσης του σωµατιδίου. Αν «παρατηρήσουµε» το σωµατίδιο κάποια στιγµή αργότερα, η διασπορά που υφίσταται η οµάδα θα έχει αυξήσει την περιοχή x και ελαττώσει το πλάτος. Η αβεβαιότητα στη θέση έχει αυξηθεί και η πιθανότητα να βρεθεί σε οποιαδήποτε θέση έχει ελαττωθεί. Αυτό όµως συµβαίνει εξαιτίας της αρχικής αβεβαιότητας της ταχύτητας, µέσω του p, που κάνει ακόµα πιο απίθανη µια ακριβή πρόβλεψη της θέσης του µετά από χρόνο t. 83

84 Μπορούµε να βρούµε ένα παράδειγµα της σχέσης Ε t h, αν θεωρήσουµε το χρόνο επί τον οποίο ένα ηλεκτρόνιο παραµένει σε µια ατοµική τροχιά. Σε µια σταθερή τροχιά, ο χρόνος αυτός t είναι µεγάλος και η αβεβαιότητα στην ενέργεια Ε µικρή, εποµένως οι ενεργειακές στάθµες των σταθερών τροχιών είναι καλά καθορισµένες. Όταν ένα ηλεκτρόνιο αλλάζει ενεργειακή στάθµη και εκπέµπεται ακτινοβολία, ο χρόνος παραµονής στην τροχιά µπορεί να είναι σύντοµος και οι ενεργειακές στάθµες να µην είναι καλά καθορισµένες, οπότε ο όρος Ε συνεισφέρει στο εύρος της φασµατικής γραµµής. Καταλήγουµε πως η απροσδιοριστία των σωµατίων στην κλασική κυµατική αντιστοιχεί στη συµπεριφορά των κυµατοπακέτων στην κβαντοµηχανική. 84

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ Στην κβαντική µηχανική, γλιστρώντας γρήγορα, είναι δυνατόν να διασχίσεις µια ενεργειακά απαγορευµένη περιοχή. Richard Feynman ιαπέραση φράγµατος Μία από τις πιο εκπληκτικές συνέπειες της κυµατικής υπόθεσης του de Broglie και της απροσδιοριστίας που περιγράφεται µε την εξίσωση του Schrödinger υπήρξε η ανακάλυψη ότι τα κβαντικά αντικείµενα µπορούν να διαπερνούν φράγµατα δυναµικής ενέργειας τα οποία απαγορεύεται να διαπεράσουν τα κλασικά σωµατίδια. Για να σχηµατίσουµε µια ιδέα για το τι εννοούµε όταν µιλάµε για φράγµατα δυναµικής ενέργειας (ή απλώς για φράγµατα δυναµικού), ας φέρουµε στη µνήµη µας το παράδειγµα του βαγονιού και ας κοιτάξουµε ένα µεγάλο τµήµα της σιδηροτροχιάς, όπως αυτό στην Εικόνα 1. Αν αφήσουµε το βαγονάκι µας που ηρεµεί να κυλήσει από ψηλά στα αριστερά -από το σηµείο Α- και αγνοήσουµε τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών, από την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα φτάσουµε στην απέναντι πλευρά και στο ίδιο ύψος από το οποίο ξεκινήσαµε, δηλαδή στο σηµείο Γ. Όταν ανεβαίναµε τον µικρό λόφο Β, στο κάτω µέρος της κοιλάδας, το όχηµα επιβραδύνθηκε, καθώς ένα µέρος της κινητικής µας ενέργειας µετατράπηκε σε δυναµική. Επειδή, όµως, ξεκινήσαµε από πολύ ψηλότερα, µας περίσσευε άφθονη ενέργεια ώστε να φτάσουµε στο Β. Αν όµως αφήσουµε το βαγόνι να κυλήσει από το Α, δεν διαθέτουµε αρκετή ενέργεια για να ανεβούµε στην κορυφή και να φτάσουµε στο Ε. Εδώ έχουµε ένα παράδειγµα «φράγµατος δυναµικής ενέργειας», και µπορούµε να λέµε ότι η περιοχή από το Γ ως το Ε είναι «κλασικά απαγορευµένη». Το αξιοσηµείωτο µε τα κβαντικά σωµατίδια είναι ότι δεν συµπεριφέρονται όπως τα κλασικά αντικείµενα. Ένα ηλεκτρόνιο που ταξιδεύει µε ένα «κβαντικό τρενάκι» 85

86 λούνα- πάρκ παρόµοιο µε εκείνο της Εικόνας 1 µπορεί να διαπεράσει την απαγορευµένη περιοχή και να φτάσει στην απέναντι πλευρά! Εικόνα 1: Απεικόνιση του τι θα σήµαινε το κβαντικό φαινόµενο σήραγγας για ένα πραγµατικό βαγονάκι. Αν το βαγονάκι ξεκινήσει οπό την ηρεµία στη θέση Α. η αρχή διατήρησης της ενέργειας δεν του επίτρεπε να φτάσει ψηλότερα από τη θέση Γ, στην απέναντι πλαγιά της κοιλάδας. Σύµφωνα µε την κβαντική θεωρία, ωστόσο, υπάρχει η πιθανότητα ένα κβαντικό βαγονάκι» να µπορέσει να διαπεράσει την απαγορευµένη περιοχή µεταξύ των Γ και Ε και να εµφανιστεί στην άλλη πλευρά του λόφου Αυτό εννοούµε όταν µιλάµε για διαπέραση φράγµατος, ή για κβαντικό φαινόµενο σήραγγας. Για να κατανοήσουµε πώς συµβαίνει µια τέτοιου είδους διαπέραση, θα χρησιµοποιήσουµε ένα επιχείρηµα που βασίζεται στην αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg. Στο προηγούµενο κεφάλαιο παρουσιάσαµε και αναλύσαµε τη σχέση που συνδέει τις αβεβαιότητες στις µετρήσεις της ενέργειας και του χρόνου( Ε) ( t) h. Έτσι, παρότι στην κλασική µηχανική δεν µπορούµε να µεταβάλουµε ποτέ την ολική ποσότητα ενέργειας χωρίς να παραβούµε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, στην κβαντική µηχανική, αν η χρονική αβεβαιότητα είναι t, δεν µπορούµε να γνωρίζουµε την ποσότητα ενέργειας µε σφάλµα µικρότερο από την αβεβαιότητα Ε= h/ t. Συνεπώς, µπορούµε να «δανειστούµε» ενέργεια Ε για να υπερπηδήσουµε το φράγµα, υπό τον όρο ότι θα την επιστρέψουµε µέσα σε χρόνο t = h/ E. Αν, όµως, το φράγµα έχει µεγάλο ύψος ή µεγάλο πλάτος, η διαπέραση γίνεται αρκετά απίθανη, όλα δε τα ηλεκτρόνια θα ανακλαστούν -όπως ακριβώς συνέβη και µε το βαγονάκι µας. 86

87 υναµική ενέργεια - διατήρηση ενέργειας Ας µελετήσουµε τι συµβαίνει όταν η ενέργεια ενός σωµατιδίου µεταβάλλεται. Θεωρούµε ένα σωµατίδιο που κινείται σε ένα πεδίο δυνάµεων το οποίο περιγράφεται από µία συνάρτηση δυναµικού. Αρχικά ας εξετάσουµε την περίπτωση ενός σταθερού δυναµικού. Υποθέτουµε πως έχουµε ένα µεγάλο µεταλλικό δοχείο που µπορεί να τεθεί σε κάποιο ηλεκτροστατικό δυναµικό φ. Εάν υπάρχουν φορτισµένα σωµατίδια στο εσωτερικό του δοχείου, η δυναµική τους ενέργεια θα είναι ίση µε qφ. ας συµβολίσουµε αυτή την ενέργεια µε V. Αυτή η ενέργεια θα είναι εντελώς ανεξάρτητη από τη θέση του φορτίου. Κατά συνέπεια, δεν θα υπάρχει καµία απολύτως µεταβολή στο εσωτερικό του δοχείου. Για την ενέργεια, θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε το άθροισµα της δυναµικής ενέργειας V και της ενέργειας Ε p, που εκφράζει από µόνη της το άθροισµα όλων των εσωτερικών και κινητικών ενεργειών. Όσον αφορά την τιµή του πλάτους, αυτή είναι ανάλογη της ποσότητας e (i / ħ) (Ep+ V)t p x (1). Ο συντελεστής του t τον οποίο ονοµάζουµε ω δίδεται πάντα από τη συνολική ενέργεια του συστήµατος, δηλαδή την εσωτερική ενέργεια (ή ενέργεια "µάζας") συν την κινητική ενέργεια συν τη δυναµική ενέργεια, δηλαδή σχετικιστικές καταστάσεις p ħ ω= Wεσωτ + + V. M ħ ω= E + V ή, για µη Αλλά τι γίνεται τώρα µε τα φυσικά φαινόµενα που συµβαίνουν στο εσωτερικό του κουτιού; Εάν υπάρχουν πολλές διαφορετικές ενεργειακές καταστάσεις, ποια από όλες αυτές θα πάρουµε; Το πλάτος για την κάθε κατάσταση χαρακτηρίζεται από τον ίδιο πρόσθετο παράγοντα (i / )Vt e ħ επιπλέον του πλάτους που θα είχε για V = 0. Αλλά αυτό δεν αποτελεί παρά µία µεταβολή για το µηδέν της ενεργειακής µας κλίµακας. ηµιουργεί µία ίση µεταβολή φάσης σε όλα τα πλάτη, αλλά αυτό είναι κάτι που δεν προκαλεί µεταβολή σε καµία από τις πιθανότητες. Όλα τα φυσικά φαινόµενα θα είναι τα ίδια (σε όλη αυτή την περιγραφή µας έχουµε υποθέσει πως µιλάµε για διαφορετικές φυσικές καταστάσεις του ιδίου φορτισµένου αντικειµένου και εποµένως η τιµή της παράστασης qφ είναι η ίδια για όλες). Εάν ένα αντικείµενο άλλαζε το φορτίο του κατά τη µετάβαση από τη µία κατάσταση στην άλλη, θα είχαµε ένα εντελώς διαφορετικό αποτέλεσµα, που όµως απαγορεύεται από την αρχή διατήρησης του φορτίου. p 87

88 Μέχρι τώρα, η υπόθεση που κάναµε συµφωνεί µε αυτό που θα αναµέναµε να πάρουµε για µια µεταβολή στο ενεργειακό επίπεδο αναφοράς. Αλλά εάν κάτι τέτοιο είναι πράγµατι σωστό, θα ίσχυε και για µία δυναµική ενέργεια η οποία δεν θα ήταν απλά µία σταθερά. Στη γενική περίπτωση, η ενέργεια V µπορεί να µεταβάλλεται µε αυθαίρετο τρόπο τόσο ως προς το χρόνο όσο και ως προς το χώρο και το πλήρες αποτέλεσµα για το πλάτος θα πρέπει να δοθεί µε τη µορφή µιας διαφορικής εξίσωσης. Ας σηµειωθεί πως σε αυτή τη χρονική στιγµή δεν επιθυµούµε να ασχοληθούµε µε τη γενική περίπτωση, αλλά µόνο να πάρουµε κάποια ιδέα σχετικά µε τον τρόπο µε τον οποίο πραγµατοποιούνται κάποια πράγµατα- για το λόγο αυτό θα θεωρήσουµε µόνο την περίπτωση ενός δυναµικού που είναι σταθερό ως προς το χρόνο και µεταβάλλεται πάρα πολύ αργά σε συνάρτηση µε το χώρο. Με τον τρόπο αυτό θα µπορέσουµε να κάνουµε µία σύγκριση ανάµεσα στις κλασικές και στις κβαντικές ιδέες. Θεωρούµε την κατάσταση της Εικόνας η οποία περιέχει δύο κουτιά που διατηρούνται σε σταθερές τιµές δυναµικού φ 1 και φ καθώς και µία περιοχή ανάµεσα τους για την οποία θα υποθέσουµε πως το δυναµικό µεταβάλλεται µε οµαλό τρόπο καθώς µεταβαίνουµε από το ένα κουτί στο άλλο. Θεωρούµε επίσης ένα σωµατίδιο που διαθέτει ένα ορισµένο πλάτος να βρεθεί σε οποιαδήποτε από αυτές τις περιοχές. φ φ λ 1 λ Εικόνα : Το πλάτος για ένα σωµατίδιο κατά τη µετάβαση του από µία τιµή δυναµικού σε µία άλλη. r 88

89 Υποθέτουµε επίσης πως η ορµή είναι αρκετά µεγάλη έτσι ώστε σε οποιαδήποτε µικρή περιοχή στην οποία υπάρχουν πολλά µήκη κύµατος, το δυναµικό να είναι σχεδόν σταθερό. Σε µια τέτοια περίπτωση θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε πως σε κάθε περιοχή του χώρου, το πλάτος όφειλε να µοιάζει µε αυτό που δίδεται από την εξίσωση (1) µε την κατάλληλη τιµή του V για εκείνο το σηµείο του χώρου. Ας θεωρήσουµε την ειδική περίπτωση για την οποία είναι φ 1 = 0. Τότε η δυναµική ενέργεια είναι µηδέν, ενώ ταυτόχρονα η ενέργεια qφ είναι αρνητική έτσι ώστε σύµφωνα µε την κλασική φυσική, το σωµατίδιο να χαρακτηρίζεται από περισσότερη ενέργεια όταν βρίσκεται στο δεύτερο κουτί. Κλασικά, αυτό θα κινούνταν µε µεγαλύτερη ταχύτητα στο δεύτερο κουτί, αφού εκεί θα είχε περισσότερη ενέργεια και εποµένως περισσότερη ορµή. Ας δούµε τώρα πώς αυτό θα µπορούσε να προκύψει από τη σκοπιά της κβαντικής µηχανικής. Με βάση τις παραδοχές που έχουµε κάνει, το πλάτος στο πρώτο κουτί θα είναι ανάλογο της ποσότητας e 1 1 (i/ ħ) (W εσωτ p / M V )t + + p 1 x ενώ µε εντελώς ανάλογο τρόπο, το πλάτος στο δεύτερο κουτί θα είναι ανάλογο του e (i/ ħ) (W εσωτ p / M V )t + + p x (3) (ας θεωρήσουµε πως η εσωτερική ενέργεια δεν µεταβάλλεται αλλά παραµένει η ίδια και στις δύο περιοχές του χώρου). Το ερώτηµα που ανακύπτει τώρα είναι το εξής: πώς αυτά τα δύο πλάτη ταιριάζουν µεταξύ τους µέσα από την περιοχή που βρίσκεται ανάµεσα στα δύο κουτιά; Στην περιγραφή που ακολουθεί θα υποθέσουµε πως όλα τα δυναµικά είναι σταθερά ως προς το χρόνο, έτσι ώστε καµία από τις συνθήκες του προβλήµατος να µην µεταβάλλεται. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να υποθέσουµε πως οι µεταβολές του πλάτους (δηλαδή η φάση του) έχουν παντού την ίδια συχνότητα, επειδή δεν υπάρχει τίποτε στο "µέσο" που να εξαρτάται από το χρόνο. Εάν τίποτε στο χώρο δεν µεταβάλλεται, µπορούµε να θεωρήσουµε πως το κύµα στη µία περιοχή "δηµιουργεί" δευτερεύοντα κύµατα σε όλο το χώρο, τα οποία ταλαντώνονται όλα µε την ίδια συχνότητα και µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο, που τα κύµατα του φωτός που διέρχονται µέσα από υλικά σώµατα που βρίσκονται σε ηρεµία δεν µεταβάλλουν τη συχνότητα τους. (), 89

90 Εάν οι συχνότητες στις εξισώσεις () και (3) είναι οι ίδιες θα πρέπει να έχουµε ότι p1 p W + εσωτ V1 Wεσωτ V M + = + M + (4). Οι παραστάσεις και στα δύο µέλη της παραπάνω εξίσωσης δεν αποτελούν παρά τις κλασικές συνολικές ενέργειες και εποµένως η εξίσωση (4) αποτελεί µία δήλωση για τη διατήρηση της ενέργειας. Με άλλα λόγια, η κλασική δήλωση για τη διατήρηση της ενέργειας, είναι ισοδύναµη µε την κβαντοµηχανική δήλωση πως οι συχνότητες για ένα σωµατίδιο είναι παντού οι ίδιες εάν οι συνθήκες δεν µεταβάλλονται σε συνάρτηση µε το χρόνο. Όλα αυτά ταιριάζουν µε την ιδέα πως ħ ω=ε. Στο παραπάνω ειδικό παράδειγµα κατά το οποίο η ενέργεια V 1 είναι ίση µε το µηδέν ενώ η V ενέργεια είναι αρνητική, η εξίσωση (4) µας οδηγεί στο συµπέρασµα πως η ορµή p είναι µεγαλύτερη από την ορµή p 1 και εποµένως το µήκος κύµατος είναι µικρότερο στην περιοχή. Επιπλέον, έχουµε σχεδιάσει ένα γράφηµα του πραγµατικού µέρους του πλάτους που δείχνει ξανά πως το µήκος κύµατος ελαττώνεται κατά τη µετάβαση από την περιοχή 1 στην περιοχή. Η ταχύτητα οµάδας των κυµάτων που είναι ίση µε p/μ επίσης αυξάνεται µε τον τρόπο που αναµέναµε από την κλασική διατήρηση ενέργειας επειδή είναι απλά η ίδια όπως στην εξίσωση (4). Υπάρχει µία ιδιαίτερη περίπτωση κατά την οποία η ενέργεια V είναι τόσο µεγάλη ώστε η διαφορά V V 1 να είναι µεγαλύτερη από την ποσότητα p 1 / M. Στην περίπτωση αυτή, η τιµή του µεγέθους p που δίδεται από τη σχέση p 1 p = M V + V1 M είναι αρνητική και εποµένως το p θα είναι ένας φανταστικός αριθµός, ας πούµε ο ip. Από την σκοπιά της κλασικής φυσικής θα λέγαµε πως το σωµατίδιο δεν πρόκειται ποτέ να µετακινηθεί στην περιοχή, αφού δεν έχει αρκετή ενέργεια για να υπερπηδήσει το φράγµα δυναµικού. Ωστόσο, από την κβαντοµηχανική πλευρά του θέµατος το πλάτος δίδεται ακόµα από την εξίσωση (3) και η χωρική του µεταβολή ακόµα έχει τη µορφή (i/ ) px e ħ 4.Αλλά εάν η παράµετρος p είναι φανταστική, η 4 Η χωρική εξάρτηση γίνεται πραγµατικά εκθετική, δηλ. το πλάτος φθίνει ταχύτατα καθώς το σωµατίδιο εισέρχεται στην περιοχή του ου κουτιού. 90

91 χωρική εξάρτηση ανάγεται σε µία πραγµατική εκθετική ποσότητα. Ας πούµε πως το σωµάτιο αρχικά κινούνταν κατά τη διεύθυνση +χ στην περίπτωση αυτή το πλάτος θα µεταβάλλεται ως αύξηση του x. p x / e ħ.εποµένως το πλάτος ελαττώνεται ταχύτατα µε την Υποθέτουµε πως οι περιοχές µε τα διαφορετικά δυναµικά ήταν πολύ κοντά η µία στην άλλη, έτσι ώστε η δυναµική ενέργεια να άλλαζε ξαφνικά από την τιµή V 1 στην τιµή V, όπως απεικονίζεται στην Εικόνα 3. Εικόνα 3: Το πλάτος για ένα σωµατίδιο που προσεγγίζει ένα ισχυρώς απωστικό δυναµικό. 91

92 Εάν σχεδιάσουµε το πραγµατικό µέρος του πλάτους πιθανότητας θα πάρουµε την εξάρτηση που παρουσιάζεται στο τµήµα (β) της εικόνας. Το κύµα στην πρώτη περιοχή αντιστοιχεί σε ένα σωµατίδιο που προσπαθεί να περάσει στη δεύτερη περιοχή ωστόσο, εκεί το πλάτος πέφτει µε πάρα πολύ γρήγορο ρυθµό. Υπάρχει κάποια πιθανότητα να παρατηρηθεί το σωµατίδιο στη δεύτερη περιοχή - στην οποία κλασικά δεν θα µπορούσε να βρεθεί µε κανένα τρόπο - ωστόσο, το πλάτος για αυτό είναι πάρα πολύ µικρό, εκτός από περιοχές που βρίσκονται σχεδόν πάνω στο όριο. Αυτή η κατάσταση µοιάζει πάρα πολύ µε εκείνη που είχαµε βρει για την καθολική εσωτερική ανάκλαση του φωτός. Το φως υπό φυσιολογικές συνθήκες δεν εξέρχεται από το υλικό, αλλά ωστόσο µπορούµε να το παρατηρήσουµε βάζοντας κάτι σε απόσταση ένα ή δύο µήκη κύµατος από την επιφάνεια. 5 Εάν τοποθετήσουµε µία δεύτερη επιφάνεια πολύ κοντά στο όριο όπου το φως είχε υποστεί καθολική ανάκλαση, θα πάρουµε κάποιο φως που θα µεταδίδεται στο δεύτερο κοµµάτι του υλικού. Κάτι αντίστοιχο συµβαίνει και µε τα σωµατίδια στην κβαντική µηχανική. Εάν υπάρχει κάποια στενή περιοχή που βρίσκεται σε δυναµικό µε τιµή ίση µε V η οποία είναι τόσο µεγάλη ώστε η κλασική κινητική ενέργεια να ήταν αρνητική, το σωµατίδιο, από την κλασική σκοπιά του θέµατος δεν πρόκειται ποτέ να διέλθει µέσα από αυτή. Αλλά από την πλευρά της κβαντοµηχανικής, το εκθετικά ελαττούµενο πλάτος µπορεί να περάσει µέσα από αυτή την περιοχή και να δώσει µία µικρή πιθανότητα να παρατηρηθεί το σωµατίδιο στο άλλο άκρο, στο οποίο η κινητική ενέργεια θα εξακολουθεί να είναι αρνητική. 5 Αν η περιοχή υψηλού δυναµικού είναι επαρκώς στενή (1 µε λ) υπάρχει µικρή, αλλά σηµαντική πιθανότητα το σωµατίδιο να ξεπεράσει την περιοχή και να µεταδοθεί παραπέρα (φαινόµενο σήραγγας). 9

93 Αυτή η κατάσταση επιδεικνύεται στην Εικόνα 4. Αυτό το φαινόµενο είναι γνωστό ως η κβαντοµηχανική "διείσδυση ενός φράγµατος". Εικόνα 4: Η διείσδυση του πλάτους δια µέσου ενός φράγµατος δυναµικού. 93

94 Εφαρµογές του κβαντικού φαινοµένου σήραγγας Σήµερα, πολλές οικείες ηλεκτρονικές συσκευές στηρίζονται στην ικανότητα των κβαντικών σωµατιδίων να διαπερνούν φράγµατα. Σαρωτικό µικροσκόπιο σήραγγας Το παράδειγµα που θα περιγράψουµε εδώ περιλαµβάνει ηλεκτρόνια, αλλά υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις, τις οποίες θα συναντήσουµε αργότερα, όπου στο κβαντικό φαινόµενο σήραγγας συµµετέχουν ακτίνες α και ζεύγη ηλεκτρονίων. Στα µέταλλα, τα ηλεκτρόνια που δρουν ως φορείς του ηλεκτρικού ρεύµατος µπορούν να κινούνται στο εσωτερικό τους σχετικά ελεύθερα. Σε ένα απλουστευµένο µοντέλο της δοµής των µετάλλων, µπορούµε να φανταζόµαστε τα ηλεκτρόνια να κινούνται µέσα σε ένα ελκτικό «φρέαρ δυναµικού», το οποίο οφείλεται στο πλέγµα των θετικών ιόνιων του µετάλλου. Εφόσον απαιτείται ενέργεια για να αποµακρυνθούν τα ηλεκτρόνια από το µέταλλο, θα πρέπει να υπάρχουν κάποια ηλεκτρικά «τοιχώµατα», ή φράγµατα, στα άκρα του που να τους απαγορεύουν να διαφύγουν (βλ. Εικόνα (α)). Αν, τώρα, εκθέσουµε το µέταλλο σε ένα ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο, τότε το ηλεκτρικό δυναµικό θα τροποποιηθεί και θα αποκτήσει τη µορφή που φαίνεται στην Εικόνα (β). Όπως παρατηρούµε, ενώ εξακολουθεί να υπάρχει ένα φράγµα δυναµικού που αποτρέπει τα ηλεκτρόνια να εγκαταλείψουν ανεµπόδιστα το µέταλλο, αυτά µπορούν πλέον να το διαπεράσουν και να διαφύγουν. Σε τούτη την κβαντοµηχανική διαδικασία διαπέρασης βασίζεται η αρχή λειτουργίας του Ηλεκτρονικού Μικροσκοπίου Εκποµπής Πεδίου. Την τελευταία δεκαετία, ωστόσο, οι συσκευές αυτές παραγκωνίστηκαν από το επαναστατικό Σαρωτικό Μικροσκόπιο Σήραγγας (STM) µε τις εκπληκτικές του δυνατότητες, το οποίο ανέπτυξαν οι Gerd Binnig και Heinrich Rohrer. Η βασική ιδέα είναι πολύ απλή. Σύµφωνα µε την κβαντική µηχανική, τα ηλεκτρόνια ενός στερεού έχουν µια µικρή αλλά µη µηδενική πιθανότητα να βρεθούν έξω από την επιφάνεια του µετάλλου. Όπως και στην περίπτωση του φθίνοντος φωτεινού κύµατος της προηγούµενης ενότητας, η πιθανότητα να συµβεί κάτι τέτοιο προβλέπεται να µειώνεται εξαιρετικά δραστικά µε την αύξηση της απόστασης από την επιφάνεια. 94

95 Εικόνα :(α) Απλουστευµένη εικόνα φρέατος δυναµικού γιο ηλεκτρόνια σε ένα µέταλλο. Η διακεκοµµένη γραµµή παριστάνει την ενέργεια των τυπικών ηλεκτρονίων «αγωγιµότητας» των ηλεκτρονίων που ευθύνονται νια την εµφάνιση του ηλεκτρικού ρεύµατος Η ενέργεια αυτή είναι χαµηλότερη από το ύφος του φράγµατος, και έτσι δεν επαρκεί για να διαφύγουν τα ηλεκτρόνια από τα φρέαρ. (β) Το διάγραµµα δείχνει πώς τροποποιείται το ηλεκτρικό δυναµικό παρουσία ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου Εξακολουθεί να υφίσταται φράγµα, το οποίο όµως τώρα είναι αρκετά λεπτό, ώστε τα ηλεκτρόνια αγωγιµότητας να έχουν πλέον τη δυνατότητα να διαφύγουν από το µέταλλο χάρη στο κβαντικό φαινόµενο σήραγγας. Για την επιφάνεια ενός µετάλλου το φαινόµενο σήραγγας αντιστοιχεί στην ύπαρξη πεπερασµένης πιθανότητας να βρίσκονται ηλεκτρόνια και έξω από τα όρια της επιφάνειας. Γενικότερα, το έργο εξόδου φ µιας µεταλλικής επιφάνειας ορίζεται ως η ελάχιστη απαιτούµενη ενέργεια για να αποµακρυνθεί το ηλεκτρόνιο από το µέταλλο. Γενικά το έργο εξόδου φ εξαρτάται όχι µόνο από το υλικό, αλλά και από τον κρυσταλλογραφικό προσανατολισµό της επιφάνειας. Όταν ένα ηλεκτρόνιο συναντήσει ένα φράγµα δυναµικού (π.χ. φ) µεγαλύτερης ενέργειας από την κινητική του ενέργεια τότε, σύµφωνα µε την κβαντική µηχανική, όπου τα ηλεκτρόνια έχουν και κυµατικές ιδιότητες, υπάρχει µη µηδενική πιθανότητα να βρεθεί και έξω από τα στενά όρια της επιφάνειας. Υπάρχει δηλαδή µια διαρροή ηλεκτρονίων έξω από την επιφάνεια του µετάλλου και έτσι σχηµατίζεται ένα ηλεκτρονικό νέφος έξω από την επιφάνεια του οποίου η πυκνότητα µειώνεται µε την απόσταση από την επιφάνεια. Όταν, εποµένως, δύο αγωγοί είναι αρκετά κοντά τότε µπορεί να υπάρχει αλληλοεπικάλυψη µεταξύ των ηλεκτρονιακών τους νεφών. Στο STM έχουµε ένα µέταλλο ή ηµιαγωγό και την ακίδα, η οποία είναι µεταλλική, όπου εµφανίζεται µια διαρροή ηλεκτρονίων και από τις δύο πλευρές και µπορεί να υπάρξει 95

96 αλληλοεπικάλυψη µεταξύ των ηλεκτρονιακών νεφών. Η επιβολή δυναµικού V µεταξύ ακίδας και δείγµατος έχει ως αποτέλεσµα την εµφάνιση ροής ηλεκτρονίων από το δείγµα προς την ακίδα ή αντίστροφα, ανάλογα µε την πόλωση. Όταν το δείγµα είναι σε πιο αρνητικό δυναµικό από την ακίδα, τότε η ροή των ηλεκτρονίων είναι από το δείγµα προς την ακίδα, ενώ όταν η ακίδα είναι σε πιο αρνητικό δυναµικό, τότε η ροή είναι από την ακίδα προς το δείγµα. Η ροή των ηλεκτρονίων αντιστοιχεί σε ένα ρεύµα το οποίο ονοµάζεται ρεύµα σήραγγας ( tunneling current ). Υποθέτοντας µικρές τιµές δυναµικού V και µε την παραδοχή κάποιων απλοποιήσεων, kd mφ το ρεύµα σήραγγας υπολογίζεται από τη σχέση: I V e, k=, όπου d η ħ απόσταση µεταξύ δείγµατος-ακίδας, φ είναι το τοπικό φράγµα δυναµικού µεταξύ ακίδας-δείγµατος ή µία µέση τιµή των έργων εξόδου ακίδας-δείγµατος, m η µάζα του h ηλεκτρονίου και ħ =, h=6, J s (σταθερά του Planck). π Η εκθετική εξάρτηση του ρεύµατος σήραγγας από την απόσταση d είναι πολύ σηµαντική στην τεχνική STM δεδοµένου ότι µια µικρή µεταβολή στην απόσταση αντιστοιχεί σε σηµαντική µεταβολή του ρεύµατος I. Σύµφωνα µε την κβαντική µηχανική, αν φέρουµε µια αιχµηρή ακίδα πολύ κοντά στη µεταλλική επιφάνεια και εφαρµόσουµε µεταξύ τους µια ηλεκτρική τάση, τότε ένα ρεύµα σήραγγας θα διαρρεύσει το χάσµα ακόµα και στο κενό. Μιας και η κυµατοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου φθίνει τόσο γρήγορα, η ένταση του ρεύµατος σήραγγας θα εξαρτάται εξαιρετικά ευαίσθητα από τις αυξοµειώσεις της απόστασης που χωρίζει την ακίδα από το µέταλλο. Αν καταστεί δυνατόν να ελεγχθεί µε πολύ µεγάλη ακρίβεια η απόσταση της αιχµής της ακίδας από την επιφάνεια, τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ένταση του ρεύµατος για να µετρήσουµε το µέγεθος διάφορων χαρακτηριστικών πάνω στη µεταλλική επιφάνεια. Οι Binnig και Rohrer δεν άργησαν να αντιληφθούν ότι, αν κατάφερναν να αναπτύξουν κάποιο όργανο ικανό να σαρώνει συστηµατικά και µε ακρίβεια την επιφάνεια ενός µετάλλου, τότε θα ήταν σε θέση να εκµεταλλευθούν το παραπάνω φαινόµενο για να κατασκευάσουν ένα «χάρτη ισοϋψών» για ολόκληρη την επιφάνεια. Ενώ θεωρητικά κάτι τέτοιο φαινόταν εφικτό, χρειάστηκε να 96

97 υπερπηδηθούν πολλά πειραµατικά εµπόδια ώσπου να µετουσιωθεί η ιδέα αυτή σε ένα εργαλείο χρήσιµο για τη µελέτη των επιφανειών. Πρώτα απ' όλα, οι Binnig και Rohrer έπρεπε να λύσουν το πρόβληµα της κατασκευής ακίδων µε εύρος αιχµής µόλις µερικών ατόµων. Εν συνεχεία, έπρεπε να κατασκευάσουν µια διάταξη ικανή να τοποθετεί και να ελέγχει αξιόπιστα την αιχµή έτσι ώστε η απόσταση της από την επιφάνεια να µην παρουσιάζει σφάλµα µεγαλύτερο από µερικές ατοµικές διαµέτρους. Στο STM κατά τη σάρωση του δείγµατος από την ακίδα µετράται το ρεύµα σήραγγας και η εκθετική εξάρτηση από την απόσταση ακίδας-δείγµατος δίνει την αξιοσηµείωτη ευαισθησία του STM και τη δυνατότητα λήψης τοπογραφίας σε ατοµική ανάλυση. Το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό τού STM ήταν η απίστευτη ευαισθησία του. Οι Binnig και Rohrer ανέφεραν ότι «µεταβολή της απόστασης κατά µία µόνο ατοµική διάµετρο προκαλεί µεταβολή στο ρεύµα σήραγγας κατά έναν παράγοντα περίπου». Με το νέο τους όργανο, βεβαίωναν ότι «το µικροσκόπιο µας είναι σε θέση να "παρατηρεί" τις επιφάνειες άτοµο προς άτοµο. Μπορεί ακόµα και να διακρίνει χαρακτηριστικά µεγέθους µόλις 1/100 περίπου του ατόµου.» Όπως γίνεται αντιληπτό από τα παραπάνω για τη λειτουργία του STM απαιτείται η ανάπτυξη ενός ρεύµατος σήραγγας µεταξύ ακίδας δείγµατος. Για το λόγο αυτό πρέπει το δείγµα που εξετάζεται να διαθέτει ελεύθερα ηλεκτρόνια, έτσι ώστε να αναπτυχθεί το ρεύµα σήραγγας. Η χρήση του STM περιορίζεται, κατά συνέπεια, σε δείγµατα που είναι αγωγοί ή ηµιαγωγοί και τα οποία διαθέτουν ελεύθερα ηλεκτρόνια. Η επιστηµονική κοινότητα δεν πείστηκε για την ισχύ τού STM παρά µόνο µετά το 198, όταν οι Binnig και Rohrer επέλυσαν ένα µακροχρόνιο πρόβληµα σχετικά µε τη διάταξη των ατόµων στην επιφάνεια του πυριτίου. Το 1986, οι Binnig και Rohrer τιµήθηκαν µε το βραβείο Νόµπελ φυσικής. Όπως αναφέρθηκε, η εφαρµογή του φαινοµένου σήραγγας στο STM γίνεται µε προσέγγιση στην προς εξέταση επιφάνεια µιας ακίδας. Η σάρωση της επιφάνειας πραγµατοποιείται σε x-y επίπεδο και λαµβάνονται οι κατάλληλες µετρήσεις σε διακριτά (x,y) σηµεία. 97

98 Υπάρχουν δύο τρόποι λειτουργίας ενός STM : λειτουργία κατά σταθερό ύψος και λειτουργία υπό συνθήκες σταθερού ρεύµατος σήραγγας Λειτουργία ενός STM κατά σταθερό ύψος (α) και υπό συνθήκες σταθερού ρεύµατος (β). Στην πρώτη περίπτωση το µετρούµενο σήµα είναι το ρεύµα σήραγγας, ενώ στη δεύτερη το ρεύµα παραµένει σταθερό και µελετάται η µετακίνηση της ακίδας. Ο τρόπος λειτουργίας ενός STM κατά σταθερό ύψος, η ακίδα διατηρείται σε µία σταθερή θέση πάνω από την επιφάνεια. Καθώς γίνεται η σάρωση, η απόσταση µεταξύ ακίδας-επιφάνειας µεταβάλλεται λόγω αλλαγής της µορφολογίας της επιφάνειας και κατά συνέπεια µεταβάλλεται το ρεύµα σήραγγας, το οποίο είναι το καταγραφόµενο µέγεθος για λήψη της τοπογραφίας της επιφάνειας. Στον δεύτερο τρόπο λειτουργίας, κατά τη διάρκεια της σάρωσης διατηρείται σταθερό το ρεύµα σήραγγας, αλλά και η απόσταση µεταξύ ακίδας-επιφάνειας. Η διατήρηση του ρεύµατος σε µια σταθερή τιµή γίνεται µέσω ενός κατάλληλου ηλεκτρονικού κυκλώµατος όπου, όταν π.χ. ανιχνευθεί αύξηση του ρεύµατος σήραγγας, δηλαδή όταν η ακίδα συναντήσει ένα ύψωµα, τότε η ακίδα ή το δείγµα αποµακρύνεται τόσο ώστε να αντισταθµιστεί η αύξηση στο ρεύµα σήραγγας. Η µετακίνηση της ακίδας ή του δείγµατος γίνεται µε την επιβολή δυναµικού σε κατάλληλο πιεζοηλεκτρικό στοιχείο το οποίο φέρει την ακίδα ή το δείγµα αντίστοιχα. Το δυναµικό αυτό είναι το καταγραφόµενο µέγεθος το οποίο µεταφράζεται τελικά σε τοπογραφία της επιφάνειας. Ουσιαστικά, λοιπόν, η ακίδα ακολουθεί το περίγραµµα της επιφάνειας κατά τη διάρκεια της σάρωσης. Ο τρόπος λειτουργίας υπό συνθήκες σταθερού ρεύµατος σήραγγας δίνει τελικά µια 98

99 πιο οµαλή καµπύλη σε σχέση µε τον τρόπο λειτουργίας κατά σταθερό ύψος, αλλά είναι πιο αργός, αφού απαιτείται να γίνουν ρυθµίσεις του ύψους της ακίδας που δε γίνονται στον τρόπο λειτουργίας κατά σταθερό ύψος. Η λειτουργία µε σταθερό ρεύµα είναι καλύτερη για «ανώµαλες» επιφάνειες, αφού η ακίδα ακολουθεί το περίγραµµα της επιφάνειας, ενώ η λειτουργία κατά σταθερό ύψος είναι πιο αποτελεσµατική όταν η µελετώµενη επιφάνεια είναι αρκετά λεία και χωρίς πολλές ανωµαλίες, έτσι ώστε να αποφευχθεί πιθανή σύγκρουση της ακίδας µε την επιφάνεια. Πυρηνική φυσική και διάσπαση α Ένα από τα µεγάλα αινίγµατα στην πρώτη φάση ανάπτυξης της πυρηνικής φυσικής αφορούσε τη διάσπαση α. Το αίνιγµα συνίστατο στο εξής: Οι φυσικοί µέτρησαν την ενέργεια του σωµατιδίου α που εκτοξευόταν από τον πυρήνα κατά τη ραδιενεργό διάσπαση του ουρανίου, και τη βρήκαν περίπου 4 MeV. 6 Εκτός από την ανακάλυψη του πυρήνα, ο Rutherford είχε πραγµατοποιήσει και πολλά άλλα πειράµατα βάλλοντας σωµατίδια α κατά ατόµων, και διαπίστωσε, µεταξύ άλλων; ότι τα σωµατίδια αυτά, µε ενέργεια περίπου 9 MeV, απωθούνταν έντονα από το θετικό φορτίο του πυρήνα. Με άλλα λόγια, για να εισχωρήσουν µέσα στον πυρήνα, τα σωµατίδια α απαιτείται να έχουν ενέργεια περισσότερη από τα 4 MeV που παρατηρήθηκε στα εκπεµπόµενα κατά τη ραδιενεργό διάσπαση σωµατίδια α. Ας εξετάσουµε την ανάλογη κατάσταση µε το βαγονάκι. Είναι σαν να στεκόµαστε πάνω στη σιδηροτροχιά, στη µέση της διαδροµής µεταξύ ανώτερου και κατώτερου σηµείου, και ξαφνικά να νιώθουµε ένα βαγονάκι να µας σπρώχνει. Το µόνο µέρος από το οποίο θα µπορούσε να έχει έρθει το βαγονάκι είναι η κορυφή της τροχιάς. Αλλά αν είχε πέσει πάνω µας ένα βαγονάκι κατρακυλώντας µε ορµή από την κορυφή, ασφαλώς θα µας είχε τραυµατίσει σοβαρά. Αντίθετα, όµως, εµείς δεν νιώσαµε παρά µόνο µια πολύ ελαφρά ώθηση! 6 Το ηλεκτρονιοβόλτ (ev) ορίζεται ως η ποσότητα ενέργειας που αποκτά ένα ηλεκτρόνιο όταν κινηθεί µεταξύ δύο σηµείων µε διαφορά δυναµικού 1 βολτ. 99

100 Εικόνα 3 Με βάση τα όσα έχουµε ήδη πει για το φαινόµενο σήραγγας, η απάντηση στο παράδοξο των σωµατιδίων α είναι τώρα αρκετά προφανής. Το 198, όµως, όταν προτάθηκε το φαινόµενο σήραγγας ως εξήγηση της διάσπασης α από τον ρώσο φυσικό George Gamow και δύο αµερικανούς φυσικούς, τον Edward Condon και τον Ronald Gurney, αποτελούσε εντελώς νέα ιδέα και µια από τις πρώτες εφαρµογές της κβαντικής µηχανικής στον πυρήνα. Στον πυρήνα του κοινού ισοτόπου ουρανίου, του 38 U, υπάρχουν 9 πρωτόνια και 146 νετρόνια, και όλα αυτά συνωστίζονται σε µια πολύ µικρή περιοχή. Οι ισχυρές πυρηνικές δυνάµεις ανάµεσα στα νουκλεόνια-όπως ονοµάζονται τα πρωτόνια και τα νετρόνια συνολικά-µπορεί να θεωρηθεί ότι δηµιουργούν ένα ελκτικό φρέαρ δυναµικού που τα κρατά όλα µαζί µέσα στον πυρήνα, σχεδόν όπως συγκρατούνται µέσα στο µέταλλο τα ηλεκτρόνια. Μέσα στον πυρήνα, όµως, δύο πρωτόνια και δύο νετρόνια ενίοτε ενώνονται και σχηµατίζουν ένα 100

101 σωµατίδιο α. Το προκύπτον δυναµικό, το οποίο «αισθάνεται» το σωµατίδιο α, φαίνεται στην Εικόνα 3. Αυτό το πυρηνικό δυναµικό µοιάζει τώρα πολύ µε εκείνο το οποίο «αισθάνεται» ένα ηλεκτρόνιο µέσα σε ένα µέταλλο παρουσία ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Αν και το ύψος του φράγµατος είναι περίπου 30 MeV, το σωµατίδιο α µπορεί να διαφύγει από τον πυρήνα και να εµφανιστεί ως ελεύθερο σωµατίδιο µε ενέργεια µόλις 4 MeV. Σήµερα ξέρουµε πολύ περισσότερα για τις πυρηνικές δυνάµεις και µπορούµε να κάνουµε υπολογισµούς χρησιµοποιώντας πολύ ρεαλιστικότερα πυρηνικά δυναµικά. Εικόνα 4: (α) Η συνάρτηση δυναµικού για ένα σωµατίδιο α σε ένα πυρήνα ουρανίου και (β) η ποιοτική µορφή του πλάτους πιθανότητας. Η διείσδυση σε ένα φράγµα από ένα κβαντοµηχανικό πλάτος προσφέρει µία εξήγηση - ή περιγραφή - της σωµατιδιακής διάσπασης α ενός πυρήνα ουρανίου. Η δυναµική ενέργεια ενός σωµατιδίου α ως συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο, απεικονίζεται διαγραµµατικά στην Εικόνα 4(α). Εάν κάποιος προσπαθούσε να πυροβολήσει τον πυρήνα µε ένα σωµάτιο α µε ενέργεια ίση µε Ε, θα ένιωθε µία ηλεκτροστατική άπωση από το πυρηνικό φορτίο Ζ και από την κλασική πλευρά του θέµατος, δεν θα µπορούσε να πλησιάσει σε αυτόν πιο κοντά από µία απόσταση r 1 για 101

102 την οποία η συνολική του ενέργεια είναι ίση µε τη δυναµική ενέργεια V. Ωστόσο, σε πιο κοντινές αποστάσεις, η δυναµική ενέργεια είναι πολύ µικρότερη, εξαιτίας της ισχυρής έλξης των πυρηνικών δυνάµεων που χαρακτηρίζονται από πολύ µικρή εµβέλεια. Πως γίνεται τότε και στη ραδιενεργή διάσπαση βρίσκουµε σωµατίδια α που ξεκίνησαν µέσα από τον πυρήνα να εξέρχονται µε ενέργεια Ε; 7 Αυτό συµβαίνει επειδή ξεκίνησαν µε ενέργεια Ε από το εσωτερικό του πυρήνα και "δραπέτευσαν" δια µέσου του φράγµατος δυναµικού. Το πλάτος πιθανότητας µεταβάλλεται χοντρικά έτσι όπως φαίνεται στο τµήµα (β) της Εικόνας 8, αν και στην πραγµατικότητα, η εκθετική διάσπαση είναι πολύ µεγαλύτερη από αυτή που απεικονίζεται. Στην πραγµατικότητα, είναι εντελώς αξιοσηµείωτο το ότι ο µέσος χρόνος ζωής ενός σωµατιδίου α στον πυρήνα του ουρανίου είναι περίπου 1 4 δισεκατοµµύρια χρόνια όταν οι φυσικές ταλαντώσεις µέσα στον πυρήνα είναι τόσο µα τόσο ταχείες περίπου 10 ταλαντώσεις το δευτερόλεπτο! Πως µπορεί κάποιος να πάρει ένα αριθµό όπως το 10 9 έτη από τα 10 - δευτερόλεπτα; Η απάντηση είναι πως ο εκθετικός όρος δίνει ένα τροµακτικά µικρό παράγοντα µε τιµή ίση µε e -45, που οδηγεί µε τη σειρά του σε µία εξαιρετικά µικρή, αλλά παρόλα αυτά συγκεκριµένη πιθανότητα διαφυγής 8. Από τη στιγµή που ένα σωµάτιο α βρίσκεται µέσα στον πυρήνα, δεν υπάρχει σχεδόν καθόλου πλάτος για να βρεθεί έξω από αυτόν ωστόσο, εάν θεωρήσετε πολλούς πυρήνες και περιµένετε για πολύ µεγάλο χρονικό διάστηµα, µπορεί να είστε τυχεροί και να διαπιστώσετε πως κάποιο σωµάτιο κατάφερε να εξέλθει από κάποιον από αυτούς. 7 Ξεκινούν µε Ε µέσα στον πυρήνα και λόγω φαινοµένου σήραγγας ξεπερνούν το φράγµα δυναµικού. 8 Πολύ µικρή, αλλά πεπερασµένη πιθανότητα µετάδοσης. 10

103 ίοδοι σήραγγας (tunnel diode) Η δίοδος σήραγγας κατασκευάζεται από ηµιαγωγούς. Αποτελείται από δύο αντίθετα φορτισµένες περιοχές οι οποίες διαχωρίζονται από µια λεπτή περιοχή, ουδέτερα φορτισµένη. Η δίοδος σήραγγας κατασκευάζεται µε τη προσθήκη µεγάλου αριθµού προσµίξεων σε µία διάταξη επαφής p-n. Η συγκέντρωση των προσµίξεων στα δύο τµήµατα είναι πάρα πολύ µεγάλη π.χ. > cm 3. Η χαρακτηριστική της διόδου σήραγγας φαίνεται στο σχήµα 1. Σ' αυτή διακρίνουµε την τάση V p όπου το ρεύµα παίρνει µια µέγιστη τιµή Ip (τιµή peak). Ακολουθεί ένα κατερχόµενο τµήµα µε αρνητική δυναµική αντίσταση dv/di µέχρι την τιµή τάσης V V όπου αντιστοιχεί µια ελάχιστη τιµή ρεύµατος I V (τιµή κοιλάδας: valley), απ όπου και πέρα πρακτικά έχουµε τη µορφή τής κοινής διόδου. Tο µεγάλο ενδιαφέρον που παρουσιάζει η δίοδος σήραγγας δεν οφείλεται µόνο στην παρουσία τού τµήµατος αρνητικής αντίστασης πού προσφέρεται για τη χρήση σε λειτουργίες παραγωγής κυµάνσεων κι ενίσχυσης, αλλά κυρίως στο ότι η διάταξη αυτή, έχει πολύ µεγάλη ταχύτητα απόκρισης (αντίληψη) πράγµα πού την κάνει κατάλληλη για χρήση της σε πολύ υψηλές συχνότητες (µέχρι πολλές δεκάδες GΗz) καθώς και για ταχύτατους διακόπτες, σε αντίθεση µε τις συµβατικές διατάξεις, πού είναι πολύ βραδείς. Το ρεύµα που διαπερνά την δίοδο αυτή οφείλεται στο φαινόµενο σήραγγας των ηλεκτρονίων που διέρχονται µέσα από την ουδέτερη περιοχή. Το ρεύµα, ή µε άλλα λόγια ο ρυθµός διέλευσης των ηλεκτρονίων δια µέσου της ουδέτερης περιοχής, καθορίζεται από το ύψος τού φράγµατος, που δεν είναι τίποτε άλλο από µια εξωτερικά εφαρµοζόµενη ηλεκτρική τάση. Σχήµα 1: Χαρακτηριστική διόδου σήραγγας (Esaki). 103

104 Επαφή Josephson (Josephson junction) Πολλά µέταλλα αλλά και κράµατα µετάλλων σε χαµηλές θερµοκρασίες υφίστανται φασική µετάπτωση της ηλεκτρικής αντίστασης τους µε αποτέλεσµα να γίνονται υπεραγώγιµα, δηλαδή µε µηδενική ηλεκτρική αντίσταση και ότι αυτό συνεπάγεται. Η υπεραγωγιµότητα είναι µια κατάσταση ύλης που χαρακτηρίζεται από ευκρινή φαινόµενα: µηδενική αντίσταση και διαµαγνητισµό που σηµαίνει αποβολή των µαγνητικών πεδίων. Η υπεραγωγιµότητα είναι ένα µακροσκοπικό φαινόµενο που σχετίζεται µε την παράµετρο του ενεργειακού χάσµατος. Φαινόµενα διάθλασης όπως επίσης και το φαινόµενο Josephson έχουν παρατηρηθεί σε κρυονικές θερµοκρασίες. Η επαφή Josephson αποτελείται από δύο υπεραγωγούς οι οποίοι χωρίζονται µε ένα λεπτό στρώµα οξειδίου, πάχους 1 έως nm. Υπό κατάλληλες συνθήκες, τα ηλεκτρόνια στους υπεραγωγούς οδεύουν σε ζεύγη, διέρχονται δια µέσου τού φράγµατος τού οξειδίου και µεταβαίνουν στον άλλο υπεραγωγό. Έχουν παρατηρηθεί ποικίλα φαινόµενα σε τέτοιου είδους επαφές. Παραδείγµατος χάριν, παρατηρείται ότι συνεχές ρεύµα διαρρέει την επαφή µε απουσία ηλεκτρικών ή µαγνητικών πεδίων. Έχει διαπιστωθεί ότι το ρεύµα είναι ανάλογο προς το sinφ, όπου φ είναι η διαφορά φάσης των κυµατοσυναρτήσεων των δύο υπεραγωγών. Εάν, τώρα, εφαρµόσουµε εξωτερική τάση V στα άκρα τής επαφής, τότε το ρεύµα ταλαντώνεται µε συχνότητα ίση προς f= ev/h, όπου e είναι το φορτίο τού ηλεκτρονίου. Το φαινόµενο Josephson έχει ακόµη χρησιµοποιηθεί για τη µέτρηση απίστευτα µικρών διαφορών δυναµικού, καθώς και ως ευαίσθητος ανιχνευτής ακτινοβολίας. Συνδέοντας µία η περισσότερες επαφές Josephson σε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα, είναι δυνατόν να φτιάξουµε µια διάταξη ικανή να µετρά µαγνητικά πεδία µε εξαιρετικά µεγάλη ακρίβεια. Πρόκειται για τα SQUID, τα οποία χρησιµοποιούνται σήµερα σε πολλούς επιστηµονικούς τοµείς, από την ιατρική ως τη γεωλογία. Το φαινόµενο είναι ένα ορατό µακροσκοπικό παράδειγµα εκδήλωσης φαινοµένων κβαντικής µηχανικής. 104

105 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΑΣ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Κυµατικό φαινόµενο σήραγγας Σύµφωνα µε την αρχή του ελάχιστου χρόνου, ή αρχή του Fermat: Από όλους τους πιθανούς δρόµους που µπορεί να µεταδοθεί από ένα σηµείο στο άλλο, το φως διαλέγει το δρόµο που χρειάζεται τον ελάχιστο χρόνο. Ας δούµε πόσο χρόνο χρειάζεται το φως να µεταβεί από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β µέσω ενός σηµείου C (σχ.1). Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από την απόσταση, αλλά και από την ταχύτητα του φωτός στα διάφορα σηµεία. Σχήµα 1 : Κατά τη διάθλαση το φως ακολουθεί τεθλασµένη πορεία. LAC LCB LAC c LCB LAC LCB ηλαδή : t AB = + = + = + n c υ c υ c c c όπου n ο δείκτης διάθλασης (index of refraction), που σε κάθε σηµείο ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό (c) προς την ταχύτητά του στο µέσο (υ) : n =c/υ. Ο δείκτης διάθλασης είναι αδιάστατη ποσότητα. Η τιµή του, µεγαλύτερη της µονάδας, εξαρτάται από το υλικό αλλά και από τη συχνότητα/µήκος κύµατος. Όσο πιο µεγάλη είναι η τιµή του δείκτη διάθλασης, τόσο πιο αργά διαδίδεται το φως µέσα στο µέσο, δηλαδή τόσο πιο δύσκολη είναι η πορεία του µέσα από αυτό. Για το νερό ο δείκτης διάθλασης είναι περίπου ίσος µε 1.33, σε διάφορα γυαλιά κυµαίνεται από 1.4 σε 1.6, και σε άλλα υλικά π.χ. το Σεληνίδιο του Ψευδαργύρου µπορεί να έχει τιµή

106 Εισάγουµε την έννοια του οπτικού δρόµου, που -σε µονάδες µήκους- είναι άµεσα ανάλογος ( c) του χρόνου που χρειάζεται το φως για τη µετάβασή του από ένα σηµείο Α σε ένα σηµείο Β. Εκφράζεται ως το ορισµένο ολοκλήρωµα κατά µήκος της διαδροµής ΑΒ : Οπτικός δρόµος L AB = B A n(s)ds Αν µια διαδροµή µεταξύ Α και Β αντιστοιχεί στον ελάχιστο χρόνο τότε επίσης θα αντιστοιχεί στον ελάχιστο οπτικό δρόµο. Έτσι το φως θα ακολουθήσει αυτόν το δρόµο, και η αρχή του Fermat γράφεται ισοδύναµα : Αρχή του ελάχιστου οπτικού δρόµου: Από όλους τους πιθανούς δρόµους που µπορεί να µεταδοθεί από ένα σηµείο στο άλλο, το φως διαλέγει το δρόµο που αντιστοιχεί στον ελάχιστο οπτικό δρόµο. Όταν το οπτικό µέσο είναι οµογενές τότε είναι n = σταθ. και έτσι ο οπτικός δρόµος είναι το γινόµενο του δείκτη διάθλασης επί τον αντίστοιχο γεωµετρικό δρόµο: L=n(AB) Σε αυτήν την περίπτωση, αφού n = σταθ., ο οπτικός δρόµος L ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται ο πραγµατικός δρόµος ΑΒ, δηλαδή το φως θα διαδοθεί ευθύγραµµα! Αυτό δεν ισχύει όταν κατά µήκος της διαδροµής αλλάζει ο δείκτης διάθλασης. Το ότι ένας οπτικός δρόµος είναι ο συντοµότερος σηµαίνει ότι οποιοσδήποτε άλλος χρειάζεται περισσότερο χρόνο. ηλαδή αν µετακινήσουµε το σηµείο που η πορεία µας συναντά την ακτογραµµή γύρω από το σηµείο C κατά απόσταση x, σε µια πρώτη προσέγγιση, δεν υπάρχει ουσιαστικά καµία µεταβολή στο χρόνο. Έτσι θα βρούµε αυτή τη διαδροµή αν εκφράσουµε το χρόνο που απαιτείται από το Α στο Β µε βάση την ελεύθερη παράµετρο x της θέσης του σηµείου C και παραγωγίσουµε ως προς x, απαιτώντας η παράγωγος να δίνει µηδέν. Από τις πιθανές απαντήσεις (µέγιστο, ελάχιστο, ή αδιάφορο άλλωστε η αρχική διατύπωση του Fermat λέει ότι το φως ταξιδεύει εκεί που ο οπτικός δρόµος της διαδροµής είναι ίσος, σε πρώτη προσέγγιση, µε τους γειτονικούς οπτικούς δρόµους), η σταθερή λύση είναι αυτή που προκύπτει από την ελάχιστη τιµή του οπτικού δρόµου. Ας το δούµε αυτό : Θα ακολουθήσουµε την πορεία µιας δέσµης από ένα σηµείο Α σε ένα µέσο µε δείκτη διάθλασης n 1, καθώς αυτή πορεύεται προς ένα σηµείο Β σε ένα µέσο µε δείκτη διάθλασης n. Στη διαχωριστική επιφάνεια, σε ένα τυχαίο σηµείο πρόσπτωσης x χαράσσουµε την κάθετη, και έτσι η προσπίπτουσα δέσµη σχηµατίζει γωνία πρόσπτωσης θ i, ενώ η διαθλώµενη σχηµατίζει γωνία διάθλασης θ t. (Οι γωνίες 106

107 ορίζονται πάντα ως προς την κάθετη στην επιφάνεια). Το επίπεδο πρόσπτωσης ορίζεται από την προσπίπτουσα δέσµη και την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια. Ο οπτικός δρόµος από το Α στο Β (σχ. ) µπορεί να εκφραστεί ως : L(x) = n α + x + n b + (d x) 1 Σχήµα : Εξαγωγή του νόµου της διάθλασης του φωτός. Η ελαχιστοποίηση του οπτικού δρόµου απαιτεί d n x n (d x) = = dx α + x b + (d x) 1 L(x) 0 d L(x) = 0 και έτσι έχουµε : dx ή x (d x) n1 = n n 1 sin(θ i) = n sin(θ t ) α + x b + (d x) ηλαδή µε εφαρµογή της αρχής του ελάχιστου οπτικού δρόµου καταλήξαµε σε µια µαθηµατική σχέση που συνδέει τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης. Είναι ο νόµος της διάθλασης, που προτάθηκε από τον Ολλανδό Μαθηµατικό Willebrord van Roiyen Snell -αν και ανακαλύφθηκε πιο πριν από τον René Descartes. 107

108 Σχήµα 3: Νόµος της διάθλασης του φωτός. Θα εξετάσουµε τώρα µερικές συνέπειες της αρχής του ελάχιστου δρόµου. Αν, µεταβαίνοντας από το Α στο Β, έχουµε βρει τον ελάχιστο δρόµο, τότε για να µεταβούµε στην αντίθετη διεύθυνση (υποθέτοντας ότι το φως ταξιδεύει µε την ίδια ταχύτητα σε κάθε κατεύθυνση), ο ελάχιστος δρόµος θα είναι ακριβώς ο ίδιος, και έτσι, αν το φως µπορεί να ταξιδέψει σε ένα δρόµο, µπορεί να τον αντιστρέψει. ηλαδή από το Β στο Α το φως ακολουθεί ακριβώς την ίδια πορεία που ακολουθεί από το Α στο Β. Αυτή είναι η αρχή της αντίστροφης πορείας του φωτός. Η πιο απλή περίπτωση διάδοσης συµβαίνει όταν φως προσπέσει κάθετα σε ένα επίπεδο δίοπτρο. Τότε έχουµε διάθλαση χωρίς καµία εκτροπή. Στο παρακάτω σχήµα συναντάµε δύο περιπτώσεις όπου το φως διαδιδόµενο στον αέρα συναντά, κάθετα, δύο διαφορετικά γυαλιά, µε δείκτες διάθλασης n 1, και n, αντίστοιχα, όπου n 1 < n. Σχήµα 4 : ιάθλαση από κάθετη πρόσπτωση σε επίπεδο δίοπτρο. 108

109 Το πρώτο γυαλί είναι οπτικά αραιότερο από το δεύτερο, που είναι οπτικά πυκνότερο. Και στις δύο περιπτώσεις δεν υπάρχει εκτροπή της δέσµης γιατί ο συντοµότερος οπτικός δρόµος από το Α στο Β εξακολουθεί να είναι η ευθεία γραµµή! Παρά το ότι δεν φαίνεται να υπάρχει αλλαγή, στην πραγµατικότητα το φως στο γυαλί c c επιβραδύνεται. Οι νέες ταχύτητες διάδοσης είναι : υ1 = και υ = n n Αν θυµηθούµε τη βασική σχέση της κυµατικής : υ =f λ τότε αφού αλλάζει η ταχύτητα του κύµατος, θα πρέπει να αλλάζει ή η συχνότητα ή το µήκος κύµατος. Αλλά µιας και η συχνότητα είναι χαρακτηριστικό της πηγής και δεν γίνεται να αλλάξει επειδή...ξαφνικά έγινε πιο δύσκολο να διαδοθεί το κύµα σε ένα µέσο προς κάποια κατεύθυνση, αυτό που θα συµβεί είναι ότι το µήκος κύµατος µέσα στο υλικό θα µειωθεί κατά παράγοντα ίσο προς το δείκτη διάθλασης n του υλικού : λ n λ0 = n Στα δύο δίοπτρα του παραδείγµατος, εξετάζουµε τώρα την περίπτωση της πρόσπτωσης µε κάποια γωνία 0. Και πάλι συµβαίνει διάθλαση αυτή τη φορά, βλέπουµε επιπλέον µια εκτροπή της δέσµης. 1 Σχήµα 5 : ιάθλαση υπό γωνία σε επίπεδο δίοπτρο µε διαφορετικούς δ. δ. Επειδή το δεύτερο γυαλί είναι οπτικά πυκνότερο το φως θα κάνει σε αυτό ακόµα λιγότερο δρόµο έτσι, πλησιάζει την κάθετη στο σηµείο πρόσπτωσης. Το αντίθετο συµβαίνει κατά την αντίστροφη πορεία του φωτός από οπτικά πυκνότερο σε αραιότερο: αποµακρύνεται από την κάθετη, αυξάνοντας τη γωνία διάθλασης θ t. Αυξάνοντας σταδιακά τη γωνία πρόσπτωσης θ i θα αυξηθεί αντίστοιχα και η γωνία διάθλασης θ t, σύµφωνα µε τη σχέση sin(θ t ) = (n /n 1 ) sin(θ i ). 109

110 Ωστόσο, το ηµίτονο µιας γωνίας θ t δεν γίνεται να ξεπεράσει τη µονάδα! Αυτό αντιστοιχεί σε µια κρίσιµη γωνία πρόσπτωσης θ i =θ κ τέτοια ώστε : n n sin(θ κ ) = sin(90 ) = n n Σε µια τέτοια γωνία πρόσπτωσης, θ t =90, δηλαδή η διαθλώµενη δέσµη είναι εφαπτοµενική της διαχωριστικής επιφάνειας. ενέργεια. Σχήµα 6 : ιάθλαση και ανάκλαση από οπτικά πυκνότερο σε αραιότερο υλικό. Το κύµα ανακλάται ολικά, και έχουµε το φαινόµενο της Ολικής Εσωτερικής Ανάκλασης (Total Internal Reflection), που ανακαλύφθηκε από τον Johannes Kepler. Σχήµα 7: Κρίσιµη γωνία πρόσπτωσης για ολική εσωτερική ανάκλαση. Οι συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης πλάτους για ένα επίπεδο µονοχρωµατικό κύµα πολωµένο παράλληλα ως προς το επίπεδο προσπτώσεως, και το οποίο προσπίπτει από ένα οµογενές και ισότροπο µέσο µε δείκτη διάθλασης διαχωριστική επιφάνεια µε ένα επίσης οµογενές και ισότροπο µέσο (δ. δ.) nt είναι: ni στη 110

111 r // tan =+ tan ( θi θt) ( θ + θ ) i t και t // sinθt cosθi = sin + cos( θ θ ) ( θ θ ) i t i t Αντίστοιχα, στην περίπτωση κύµατος πολωµένου κάθετα ως προς το επίπεδο πρόσπτωσης, θα έχουµε: r sin = sin ( θi θt) ( θ + θ ) i t και t = sinθt cosθi sin ( θ + θ ) i t Εξετάζουµε την περίπτωση όπου n t ni. Εδώ η γωνία διάθλασης θα είναι µεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης. Καθώς η θ i µεγαλώνει, η θ t θα γίνει κάποια στιγµή o t =. Εδώ ξεκινά η ολική εσωτερική ανάκλαση. θ 90 Η οριακή γωνία για την ολική εσωτερική ανάκλαση θα δίνεται από το νόµο του Snell: n sin θ π n sin θ n sin 1 t i c = t c = ni. Για γωνίες θi θ c όλη η εισερχόµενη ενέργεια ανακλάται στην επιφάνεια, δηλ.: R = r r = 1. Όµως οι συνοριακές συνθήκες για τα διαχωριστική επιφάνεια. 1 E, εε, Β, Β πρέπει να εξακολουθούν να ισχύουν στη µ Το κύµα µας διαδίδεται στο επίπεδο x-ψ και η εξίσωση για το ηλεκτρικό πεδίο του διαθλώµενου κύµατος θα είναι: t i( k t r ωt) =,όπου E E e 0 t k = k s i n θ t x t t k = k c o s θ t z t t πn t µε k = κυµατάριθµος. λυ t vacuum 111

112 Με βάση το νόµο του Snell µπορούµε να γράψουµε: k tx k t = sinθ i όπου n ti n ti n n t = ο σχετικός δείκτης διάθλασης. i Είναι: cosθ =± 1 sin t θ µε νόµο Snell γίνεται: t 1 1 k t =± k t 1 sin θ i =± k t i sin θ i 1 k t =±β i ψ ψ n t n i ti µε sin θ β= i k t 1 nti Αντικαθιστούµε τα k, k ψ στην εξίσωση του tx t Ε t : E = E e t ot k t i sinθ ix± iβψ ωt n t i k n i ± iβψ t i sinθix ωt t E E i = t ote e t ( ) k t i sinθix ωt βψ n t i ot πραγµατική ϕανταστική συνιστώσα συνιστώσα E = E e e Αυτή η σχέση δηλώνει ότι για να ικανοποιηθούν οι εξισώσεις συνέχειας στην επιφάνεια, ένα κύµα διαδίδεται κατά µήκος της διαχωριστικής επιφάνειας στον x- άξονα(επιφανειακό κύµα). Ο εναλλακτικός παράγων e +βψ καθορίζει εκθετική αύξηση του Ε οt που είναι φυσικώς απαράδεκτη. Η πραγµατική συνιστώσα του κύµατος Eote βψ µειώνεται κατά παράγοντα e -1 σε απόσταση1/β από την επιφάνεια στην κατεύθυνση του ψ µε sin θ β=. i k t 1 nti Το επιφανειακό κύµα εξασθενεί υπερβολικά γρήγορα σε απόσταση της τάξης του µήκους κύµατος από τη διαχωριστική επιφάνεια. Η συνέχεια της εφαπτοµενικής συνιστώσας του E στη διαχωριστική επιφάνεια αφήνει εποµένως µία συνιστώσα παράλληλη στη διεπιφάνεια που διαδίδεται ως επιφανειακό κύµα. Το φαινόµενο αυτό έχει παρατηρηθεί στις οπτικές συχνότητες. 11

113 Μολονότι µπορούµε να κάνουµε να εµφανιστεί «κυµατικό φαινόµενο σήραγγας» τόσο στα κύµατα µιας χορδής όσο και στα υδάτινα κύµατα, το πιο οικείο ίσως παράδειγµα το προσφέρει το φως στην κυµατική του µορφή. Η ολική εσωτερική ανάκλαση, η οποία καθιστά δυνατή την αποτελεσµατική και χωρίς µεγάλες απώλειες διάδοση του φωτός µέσω µιας γυάλινης οπτικής ίνας, αποτελεί τη βάση της σύγχρονης οπτικής ινών. Πώς, όµως, συνδέονται όλα τούτα µε το κβαντικό φαινόµενο σήραγγας; Παρότι καµία φωτεινή ακτίνα δεν διαπερνά τη διαχωριστική επιφάνεια όταν το φως προσπίπτει υπό γωνία µεγαλύτερη της οριακής, στον αέρα εντούτοις δεν παύει να υπάρχει κάποιο είδος κυµατικής διαταραχής. εν πρόκειται όµως για ένα κύµα που µεταφέρει ενέργεια, όπως τα συνηθισµένα οδεύοντα κύµατα, αλλά για ένα είδος «στάσιµης» κυµατοµορφής η οποία δεν µεταφέρει καθόλου φωτεινή ενέργεια. Οι κυµατοµορφές σε µια χορδή πακτωµένη και στα δύο άκρα της αποτελούν παραδείγµατα στάσιµων κυµάτων. Ωστόσο, ο τύπος του στάσιµου κύµατος για τον οποίο γίνεται λόγος εδώ -το λεγόµενο φθίνον κύµα-διαφέρει κατά το ότι η διαταραχή εξασθενεί πολύ γρήγορα όσο αποµακρυνόµαστε από την επιφάνεια. Η σύνδεση του φαινοµένου αυτού µε το κβαντικό φαινόµενο σήραγγας φαίνεται αν τοποθετήσουµε άλλο ένα κοµµάτι γυαλί παράλληλα στο πρώτο. Καθώς, λοιπόν, πλησιάζουµε τα δύο κοµµάτια, το φθίνον κύµα αρχίζει να διαπερνά το δεύτερο, οπότε αποκαλύπτεται η εκποµπή µιας ακτίνας φωτός! Όσο πιο κοντά φέρνουµε τα δύο κοµµάτια τόσο αυξάνεται η φωτεινή ενέργεια που επανεµφανίζεται και εκπέµπεται. Αυτό συµβαίνει επειδή το πλάτος του στάσιµου κύµατος στο «απαγορευµένο» διάκενο αέρα ανάµεσα 113

114 στα δύο κοµµάτια γυαλί δεν έχει περιθώριο να µειωθεί τόσο πολύ. Το συγκεκριµένο φαινόµενο οι φυσικοί το ονοµάζουν µαταιωµένη εσωτερική ολική ανάκλαση αλλά πρόκειται για ένα ακριβές οπτικό ανάλογο του κβαντικού φαινοµένου σήραγγας για τα κύµατα de Broglie. Το φαινόµενο που µόλις περιγράψαµε αξιοποιείται στη σύγχρονη οπτική ως η βάση για ένα «διαχωριστή δέσµης». Το πόσο φως διαδίδεται ή ανακλάται από µια τέτοια διάταξη µπορεί να ελεγχθεί µε τη ρύθµιση του πλάτους του απαγορευµένου διακένου. Το κυµατικό φαινόµενο σήραγγας είναι επίσης δυνατόν να επιδειχθεί και µε άλλους τύπους κυµάτων. 114

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ - ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Άτοµα σε ηρεµία - στάσιµες καταστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θα µιλήσουµε για τη συµπεριφορά των πλατών πιθανότητας σε συνάρτηση µε το χρόνο. Η πραγµατική συµπεριφορά ως προς το χρόνο περιλαµβάνει υποχρεωτικά και τη συµπεριφορά ως προς το χώρο. Για το λόγο αυτό και επειδή επιθυµούµε να παρουσιάσουµε τα πράγµατα σωστά και µε µεγάλη λεπτοµέρεια, θα περάσουµε απευθείας στην πολυπλοκότερη δυνατή κατάσταση. Ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται ελεύθερο και αποµονωµένο στον κενό χώρο, µπορεί κάτω από ορισµένες περιστάσεις να διαθέτει κάποια συγκεκριµένη ενέργεια. Για παράδειγµα, εάν είναι σε κατάσταση ηρεµίας (έτσι ώστε να µην έχει µεταφορική κίνηση ή ορµή ή κινητική ενέργεια) διαθέτει κάποια ενέργεια ηρεµίας. Ένα περισσότερο πολύπλοκο αντικείµενο, όπως είναι ένα άτοµο, θα διαθέτει επίσης κάποια ενέργεια ηρεµίας όταν είναι ακίνητο, αλλά θα µπορούσε εξίσου να διεγερθεί εσωτερικά σε κάποιο άλλο ενεργειακό επίπεδο. Συχνά εξετάζουµε ένα άτοµο που βρίσκεται σε κάποια διεγερµένη κατάσταση λέγοντας πως αυτό διαθέτει κάποια συγκεκριµένη ενέργεια- στην πραγµατικότητα ωστόσο, αυτό είναι κάτι που ισχύει µόνο κατά προσέγγιση. Ένα άτοµο δεν µπορεί να βρίσκεται έπ άπειρον σε κάποια διεγερµένη κατάσταση επειδή καταφέρνει µε κάποιο τρόπο να αποφορτίσει την ενέργεια του δια µέσου της αλληλεπίδρασης του µε το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο. Εποµένως υπάρχει κάποιο πλάτος για τη δηµιουργία µιας νέας κατάστασης µε το άτοµο σε κάποια χαµηλότερη κατάσταση και το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο σε κάποια υψηλότερη κατάσταση διέγερσης. Η συνολική ενέργεια του συστήµατος είναι ακριβώς η ίδια πριν και µετά αλλά η ενέργεια του ατόµου ελαττώνεται. Εποµένως δεν είναι ακριβές να πούµε πως ένα διεγερµένο άτοµο έχει κάποια συγκεκριµένη ενέργεια. Υποθέτουµε πως έχουµε ένα άτοµο - ή ένα ηλεκτρόνιο ή γενικότερα ένα οποιοδήποτε σωµατίδιο -το οποίο όταν βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας διαθέτει µία συγκεκριµένη ενέργεια Ε ο9 Με αυτή την ενέργεια Ε ο εννοούµε τη µάζα του όλου 9 Κυµατική εικόνα είτε απροσδιοριστία, έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα. Αυστηρή τιµή ορµής, ενέργειας τρέχον κύµα (όχι κυµατοπακέτο)δεν το ορίζω στο χώρο. Για να ξέρω που είναι δεν πρέπει να έχει καθορισµένη ενέργεια Η=U+T, L=IU-TI, ερµηνεία περιγραφή. 115

116 συστήµατος πολλαπλασιασµένη επί c. Αυτή η µάζα περιλαµβάνει την εσωτερική ενέργεια- εποµένως, ένα διεγερµένο άτοµο διαθέτει µία µάζα που είναι διαφορετική από τη µάζα του ιδίου ατόµου όταν αυτό βρίσκεται στη θεµελιώδη κατάσταση (µε τον όρο θεµελιώδη κατάσταση εννοούµε την κατάσταση ελάχιστης ενέργειας), θα ονοµάσουµε αυτή την ενέργεια E ο ως "ενέργεια για την κατάσταση ηρεµίας". Για ένα άτοµο που βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας, το κβαντοµηχανικό πλάτος εύρεσης ενός ατόµου σε κάποια περιοχή του χώρου, είναι το ίδιο οπουδήποτε- δηλαδή, µε άλλα λόγια, δεν εξαρτάται από τη θέση. Αυτό φυσικά σηµαίνει πως η πιθανότητα εύρεσης του ατόµου οπουδήποτε στο χώρο, είναι παντού η ίδια. Αλλά αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει πολύ περισσότερα. Η πιθανότητα θα µπορούσε να είναι ανεξάρτητη της θέσης, αλλά µε τη φάση του πλάτους να µπορεί ακόµα και τώρα να µεταβάλλεται από σηµείο σε σηµείο 10. Με άλλα λόγια, αν και για ένα σωµατίδιο που βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας, το πλήρες πλάτος είναι παντού το ίδιο, αυτό το πλάτος εξαρτάται από το χρόνο. Για ένα σωµατίδιο που βρίσκεται σε κατάσταση κάποιας συγκεκριµένης ενέργειας E ο, το πλάτος εύρεσης του σωµατιδίου στο σηµείο (χ, ψ,z) τη χρονική στιγµή t είναι ίσο µε -i(ε ο/h)t αe 11 (1), όπου α είναι κάποια σταθερά. Το πλάτος να είναι το σωµατίδιο σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου είναι το ίδιο για όλα τα σηµεία αλλά ωστόσο εξαρτάται από το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση (1). Για το υπόλοιπο της συζήτησης θα υποθέσουµε απλά πως αυτός ο κανόνας είναι σωστός. Φυσικά θα µπορούσαµε να γράψουµε την εξίσωση (1) και µε τη µορφή -iωt αe 1 (), όπου ħ ω=ε ο = Mc, µε το σύµβολο Μ να εκφράζει τη µάζα ηρεµίας της ατοµικής κατάστασης ή του σωµατιδίου. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τρόποι για να καθορίσουµε αυτή την ενέργεια: µε τη βοήθεια της συχνότητας ενός πλάτους, µε τη βοήθεια της ενέργειας υπό την κλασική αντίληψη ή µε τη βοήθεια της αδράνειας 13. Όλοι αυτοί οι τρόποι περιγραφής είναι ισοδύναµοι και δεν αποτελούν παρά διαφορετικούς τρόπους για να πούµε το ίδιο πράγµα. Θα µπορούσαµε ίσως να σκεφτούµε πως είναι παράξενο να θεωρούµε πως ένα "σωµατίδιο" που χαρακτηρίζεται από ίσα πλάτη πιθανότητας, βρίσκεται παντού 10 Συµβολή κυµατοπακέτων u group υπόκειται στους περιορισµούς της σχετικότητας, η u ph, όχι. 11 Πλάτος µε Ε 0 να το βρω στη χ, ψ, ζ, όταν t. 1 εν υπάρχει εξάρτηση από τη θέση. 13 Σωµάτιο καθορισµένης ενέργειας βρίσκεται παντού στο χώρο αβεβαιότητα άπειρη! 116

117 οπουδήποτε στο χώρο. Στο κάτω κάτω, συνήθως θεωρούµε ένα "σωµατίδιο" ως ένα µικρό αντικείµενο που βρίσκεται εντοπισµένο "κάπου" 14. Αλλά ας µην ξεχνάµε την αρχή της αβεβαιότητας: Εάν ένα σωµατίδιο διαθέτει συγκεκριµένη ενέργεια, θα διαθέτει επίσης και συγκεκριµένη ορµή. Εάν η αβεβαιότητα στην ορµή είναι ίση µε το µηδέν, η αρχή της αβεβαιότητας p x=ħ µας λέει πως η αβεβαιότητα ως προς τη θέση θα πρέπει να είναι άπειρη και αυτό ακριβώς είναι που εννοούµε λέγοντας πως υπάρχει κάποιο πλάτος εύρεσης του σωµατιδίου σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου. 15 Εάν όλα τα εσωτερικά τµήµατα ενός ατόµου βρίσκονται σε διαφορετική κατάσταση µε διαφορετική συνολική ενέργεια, η µεταβολή του πλάτους σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι γενικά διαφορετική. Εάν δεν γνωρίζουµε σε ποια κατάσταση βρίσκεται το άτοµο, θα υπάρχει ένα συγκεκριµένο πλάτος για να είναι σε µία κατάσταση και καθώς επίσης και ένα άλλο πλάτος για να βρίσκεται σε κάποια άλλη κατάσταση, µε το κάθε ένα από αυτά τα πλάτη να χαρακτηρίζεται γενικά και από διαφορετική συχνότητα 16. Θα υπάρχει λοιπόν µία συµβολή ανάµεσα σε όλες αυτές τις διαφορετικές συνιστώσες -κάτι σαν διακρότηµα - το οποίο θα εµφανιστεί ως µία µεταβαλλόµενη πιθανότητα. Κάτι πρόκειται να "συµβεί" µέσα στο άτοµο, ακόµα και εάν αυτό βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας υπό την έννοια πως το κέντρο της µάζας του δεν κινείται από τη θέση του. Ωστόσο, εάν το άτοµο έχει κάποια συγκεκριµένη ενέργεια, το πλάτος του θα δίδεται από την εξίσωση (1) µε το απόλυτο τετράγωνο αυτού του πλάτους να µην εξαρτάται από το χρόνο. Βλέπουµε λοιπόν, πως εάν κάτι έχει µία πεπερασµένη ενέργεια και ζητήσουµε την απάντηση για οποιοδήποτε ερώτηµα αφορά την πιθανότητα, αυτή η απάντηση θα είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Παρόλο λοιπόν που τα πλάτη µεταβάλλονται µε το χρόνο, εάν η ενέργεια είναι συγκεκριµένη, αυτά µεταβάλλονται ως ένα φανταστικό εκθετικό και εποµένως το απόλυτο τετράγωνο τους δεν µεταβάλλεται καθόλου. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο συχνά λέµε πως ένα άτοµο που διαθέτει κάποια συγκεκριµένη ενέργεια βρίσκεται σε µία στάσιµη κατάσταση. Εάν πραγµατοποιήσουµε τις οποιεσδήποτε µετρήσεις µέσα στο εσωτερικό του 14 Κβαντικό σύστηµα σε ηρεµία πλάτος δεν εξαρτάται από θέση πιθανότητα να το βρω στο χώρο παντού η ίδια! 15 Ε καθορισµένη ορµή καθορισµένη, p=0, x=. 16 Για να µεταβάλλεται η πιθανότητα µε το χρόνο πρέπει να υπάρχει η συµβολή τουλάχιστον δύο πλατών µε διαφορετικές συχνότητες δεν µπορούµε να προσδιορίσουµε την ενέργεια. 117

118 αντικειµένου που θεωρούµε, θα βρούµε πως τίποτε (όσον αφορά την πιθανότητα) δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο. Προκειµένου οι πιθανότητες να µεταβάλλονται µε το χρόνο, θα πρέπει να έχουµε τη συµβολή δύο πλατών που χαρακτηρίζονται από δύο διαφορετικές συχνότητες κάτι που σηµαίνει πως δεν µπορούµε να γνωρίζουµε ποια είναι η ενέργεια. Το αντικείµενο θα χαρακτηρίζεται από ένα πλάτος να βρίσκεται σε κάποια κατάσταση µε κάποια ενέργεια και από ένα άλλο πλάτος εύρεσης σε κάποια άλλη κατάσταση µε κάποια άλλη ενέργεια. Αυτή είναι και η κβαντοµηχανική περιγραφή κάποιου πράγµατος όταν η συµπεριφορά του εξαρτάται από το χρόνο. Εάν έχουµε µία "κατάσταση" η οποία αποτελείται από ένα µίγµα δύο διαφορετικών καταστάσεων µε διαφορετικές ενέργειες, τότε, το πλάτος για κάθε µία από τις δύο καταστάσεις µεταβάλλεται µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση (). i(e 1 / )t Θα είναι: e ħ i(e / )t και e ħ (3) Εάν έχουµε ένα συνδυασµό αυτών των δύο πλατών, τότε θα έχουµε µία συµβολή. Εάν είχαµε προσθέσει µία σταθερά σε αυτές τις δύο ενέργειες αυτό δεν θα έκανε καµία απολύτως διαφορά 17. Εάν κάποιος άλλος ήταν να χρησιµοποιήσει µία διαφορετική κλίµακα ενέργειας στην οποία όλες οι ενέργειες είχαν αυξηθεί (ή ελαττωθεί) κατά µία σταθερά ποσότητα - ας πούµε κατά την ποσότητα Α - τότε, τα πλάτη για αυτές τις δύο καταστάσεις θα ήταν - από τη δική του οπτική γωνία -ίσα µε i(e1 A / )t e + ħ i(e A / )t και e + ħ (4). ιαπιστώνουµε λοιπόν πως όλα τα πλάτη του θα είχαν πολλαπλασιαστεί µε τον ίδιο παράγοντα i(a/ )t e ħ και πως όλοι οι γραµµικοί συνδυασµοί τους ή οι συµβολές τους θα διέθεταν επίσης τον ίδιο παράγοντα. Όταν τώρα πάρουµε τα απόλυτα τετράγωνα για να υπολογίσουµε τις πιθανότητες, όλες οι απαντήσεις που θα πάρουµε θα είναι οι ίδιες. Η επιλογή µιας στάθµης αναφοράς για την ενεργειακή µας κλίµακα δεν προκαλεί καµιά απολύτως διαφορά- εάν το επιθυµούµε, µπορούµε να µετρήσουµε τις ενέργειες µας θεωρώντας ως στάθµη αναφοράς - για την οποία η τιµή της ενέργειας είναι ίση µε το µηδέν - όποια στάθµη θέλουµε. Για τους σχετικιστικούς µας υπολογισµούς, είναι ενδεδειγµένο να µετράµε την ενέργεια µε τέτοιο τρόπο ώστε να περιλαµβάνεται σε 17 Προσθαφαίρεση σταθερής ποσότητας Α στην ενέργεια δεν επηρεάζει τη φυσική ερµηνεία των i(e / )t e 1 γεγονότων. Υπάρχει κοινός παράγοντας ħ σε όλα τα πλάτη, αλλά τα τετράγωνα δίνουν ίδιες απαντήσεις. 118

119 αυτή και η µάζα ηρεµίας, αλλά για πολλές άλλες περιπτώσεις που δεν είναι σχετικιστικές είναι συχνά πιο ακριβές να αφαιρούµε κάποια συγκεκριµένη ποσότητα από όλες τις ενέργειες που εµφανίζονται. Για παράδειγµα, για την περίπτωση ενός ατόµου, είναι συχνά χρήσιµο να αφαιρούµε την ενέργεια Ε = M s c όπου M s είναι η µάζα όλων των ξεχωριστών κοµµατιών - δηλαδή του πυρήνα και του ηλεκτρονίου - που είναι φυσικά διαφορετική από τη µάζα του ατόµου. Για άλλα προβλήµατα ίσως είναι πιο χρήσιµο να αφαιρέσουµε από όλες τις ενέργειες την ποσότητα M g C όπου M g είναι η µάζα όλου του ατόµου στη θεµελιώδη κατάσταση; στην περίπτωση αυτή, η ενέργεια που εµφανίζεται δεν είναι παρά η ενέργεια διέγερσης του ατόµου. Εποµένως σε ορισµένες περιπτώσεις ίσως µπορούµε να µετατοπίσουµε τη µηδενική µας στάθµη της ενέργειας κατά κάποια µεγάλη ποσότητα, διαδικασία, που δεν πρόκειται να προκαλέσει κάποια διαφοροποίηση υπό την προϋπόθεση πως µετατοπίζουµε όλες τις ενέργειες σε κάποιο συγκεκριµένο υπολογισµό κατά την ίδια σταθερά. 119

120 Το µοριακό ιόν του υδρογόνου Ένα θετικά ιοντισµένο µόριο υδρογόνου αποτελείται από δύο πρωτόνια και ένα ηλεκτρόνιο που κινείται κατά µήκος της τροχιάς του γύρω από αυτά. Εάν τα δύο πρωτόνια είναι πολύ µακριά το ένα από το άλλο, ποια αναµένεται να είναι η κατάσταση του συστήµατος; Το ηλεκτρόνιο θα παραµείνει κοντά στο ένα πρωτόνιο ενώ το άλλο πρωτόνιο θα υφίσταται από µόνο του ως ένα θετικό ιόν. Έτσι αν τα δύο πρωτόνια βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση, µπορούµε να συλλάβουµε νοερά τη φυσική κατάσταση στην οποία το ηλεκτρόνιο είναι "προσαρτηµένο" στο ένα από τα πρωτόνια. Ωστόσο είναι ξεκάθαρο πως υπάρχει και µία άλλη κατάσταση στην οποία το ηλεκτρόνιο βρίσκεται κοντά στο άλλο πρωτόνιο, µε το πρώτο πρωτόνιο να είναι αυτό που παραµένει ως θετικό ιόν. Θα θεωρήσουµε αυτές τις δύο καταστάσεις ως τις βασικές µας καταστάσεις και θα τις ονοµάσουµε καταστάσεις 1 και. Αυτές οι καταστάσεις απεικονίζονται µε διαγραµµατικό τρόπο στο Σχήµα 1. Σχήµα 1: Ένα σύνολο βασικών καταστάσεων για δύο πρωτόνια και ένα ηλεκτρόνιο. Στην πραγµατικότητα υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες µπορεί να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κοντά σε ένα πρωτόνιο, αφού αυτός ο συνδυασµός µπορεί να υφίσταται ως οποιαδήποτε από τις διεγερµένες καταστάσεις του ατόµου του υδρογόνου. Ωστόσο σε αυτή τη χρονική στιγµή δεν ενδιαφερόµαστε για αυτή την 10

121 ποικιλία των καταστάσεων: θα θεωρήσουµε µόνο την περίπτωση για την οποία το άτοµο του υδρογόνου βρίσκεται στη χαµηλότερη δυνατή κατάσταση - τη θεµελιώδη του κατάσταση - ενώ θα αγνοήσουµε για την ώρα το σπιν του ηλεκτρονίου. Μπορούµε απλά να υποθέσουµε πως για όλες µας τις καταστάσεις το ηλεκτρόνιο έχει το σπιν του "προς τα πάνω" κατά µήκος του άξονα των z. Η αποµάκρυνση ενός ηλεκτρονίου από ένα άτοµο υδρογόνου, απαιτεί ενέργεια ίση µε 13.6 ev. Εφ' όσον τα δύο πρωτόνια του µορίου του υδρογόνου είναι πολύ µακριά το ένα από το άλλο, απαιτείται ακόµη αυτή η συγκεκριµένη ποσότητα ενέργειας προκειµένου να βρούµε το ηλεκτρόνιο περίπου στο µέσο της απόστασης ανάµεσα σε δύο πρωτόνια. Εποµένως, από τη σκοπιά της κλασικής φυσικής, είναι αδύνατο για το ηλεκτρόνιο να µεταπηδήσει από το ένα πρωτόνιο στο άλλο. Ωστόσο, από την κβαντοµηχανική πλευρά των πραγµάτων κάτι τέτοιο είναι δυνατό, αν και όχι και τόσο πιθανό: το πλάτος µετακίνησης του ηλεκτρονίου από το ένα πρωτόνιο στο άλλο, είναι πάρα πολύ µικρό. Κατά συνέπεια, ως µία πρώτη προσέγγιση, µπορούµε να θεωρήσουµε πως κάθε µία από τις βασικές µας καταστάσεις 1 και θα έχει την ενέργεια Ε 0 που δεν είναι παρά η ενέργεια του ενός ατόµου υδρογόνου συν ενός πρωτονίου. Εάν αγνοήσουµε το γεγονός πως το ηλεκτρόνιο µπορεί να αναπηδά εµπρός - πίσω, διαθέτουµε δύο καταστάσεις που έχουν ακριβώς την ίδια ενέργεια. Ωστόσο, αυτή η ενέργεια θα διαχωριστεί σε δύο ενεργειακά επίπεδα από τη δυνατότητα του ηλεκτρονίου να κινείται εµπρός - πίσω: όσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα της µετάβασης, τόσο µεγαλύτερος θα είναι και ο διαχωρισµός. Εποµένως, τα δύο ενεργειακά επίπεδα του συστήµατος θα είναι τα Ε 0 +Α και Ε 0 - Α. Από την παραπάνω λύση βλέπουµε πως εάν ένα πρωτόνιο και ένα ιόν υδρογόνου είναι τοποθετηµένα σε οποιοδήποτε σηµείο αλλά κοντά το ένα στο άλλο, το ηλεκτρόνιο δεν θα παραµείνει σε ένα από τα πρωτόνια αλλά θα αναπηδά µπρος - πίσω ανάµεσα τους. Εάν το ηλεκτρόνιο ξεκινήσει ευρισκόµενο σε ένα από τα πρωτόνια, θα ταλαντώνεται µπρος - πίσω ανάµεσα στις καταστάσεις 1 και, οδηγώντας έτσι σε µία χρονικά µεταβαλλόµενη λύση. Προκειµένου να έχουµε τη λύση µε τη χαµηλότερη δυνατή ενέργεια (η οποία δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο), είναι απαραίτητο να ξεκινήσουµε το σύστηµα µε ίσα πλάτη για το ηλεκτρόνιο να 11

122 βρίσκεται κοντά σε κάθε πρωτόνιο. Ας θυµηθούµε πως δεν υπάρχουν δύο ηλεκτρόνια: δεν λέµε πως υπάρχει ένα ηλεκτρόνιο κοντά σε κάθε πρωτόνιο. Υπάρχει µόνο ένα ηλεκτρόνιο και αυτό χαρακτηρίζεται από το ίδιο πλάτος βρίσκεται σε κάθε πρωτόνιο. να Τώρα, το πλάτος Α για ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κοντά σε ένα πρωτόνιο να µεταπηδήσει στο άλλο, εξαρτάται από την απόσταση ανάµεσα στα δύο πρωτόνια. Είναι προφανές πως όσο πιο κοντά βρίσκονται αυτά τα πρωτόνια µεταξύ τους, τόσο πιο µεγάλη είναι η τιµή αυτού του πλάτους. Το πλάτος διέλευσης ενός ηλεκτρονίου ελαττώνεται κατά προσέγγιση εκθετικά σε συνάρτηση µε την απόσταση, για µεγάλες αποστάσεις. Επειδή η πιθανότητα µετάβασης - και εποµένως και η παράµετρος Α - παίρνουν µεγάλες τιµές όταν τα πρωτόνια είναι πιο κοντά µεταξύ τους, η απόσταση ανάµεσα στα ενεργειακά επίπεδα θα µεγαλώνει και αυτή. Εάν το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση I, η ενέργεια Ε 0 + Α αυξάνει µε την ελάττωση της απόστασης και υπό αυτή την έννοια, αυτά τα κβαντοµηχανικά φαινόµενα δηµιουργούν µία απωστική δύναµη που τείνει να διατηρήσει τα πρωτόνια µακριά το ένα από το άλλο. Από την άλλη πλευρά, εάν το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση II, η συνολική ενέργεια ελαττώνεται εάν τα πρωτόνια φέρονται κοντά το ένα στο άλλο: υπάρχει λοιπόν µία ελκτική δύναµη που τραβά τα πρωτόνια το ένα κοντά στο άλλο. Η µεταβολή αυτών των δύο ενεργειών µε την απόσταση ανάµεσα στα δύο πρωτόνια θα είναι χοντρικά έτσι όπως απεικονίζεται στο Σχήµα. Σχήµα : Οι ενέργειες των δύο στάσιµων καταστάσεων του ιονισµένου µορίου του υδρογόνου, σαν συνάρτηση της απόστασης µεταξύ των δύο πρωτονίων 1

123 ιαθέτουµε λοιπόν, µία κβαντοµηχανική εξήγηση για τη δύναµη σύνδεσης που διατηρεί τη συνοχή του ιόντος. Ωστόσο, έχουµε ξεχάσει ένα πράγµα. Εκτός από τη δύναµη που µόλις περιγράψαµε, υπάρχει επίσης και µία ηλεκτροστατική απωστική δύναµη ανάµεσα στα δύο πρωτόνια. Όταν τα δύο πρωτόνια είναι πολύ µακριά το ένα από το άλλο - όπως φαίνεται στο Σχήµα 1 - το "απογυµνωµένο" πρωτόνιο βλέπει µόνο ένα ουδέτερο άτοµο και εποµένως η ηλεκτροστατική δύναµη που υφίσταται είναι αµελητέα. Ωστόσο σε πολύ µικρές αποστάσεις, το "απογυµνωµένο" πρωτόνιο αρχίζει να εισχωρεί "στο εσωτερικό" της κατανοµής των ηλεκτρονίων - υπό την έννοια πως είναι κατά µέσο όρο πιο κοντά στο πρωτόνιο παρά στο ηλεκτρόνιο. Εποµένως στην περίπτωση αυτή αρχίζει να υπάρχει κάποια πρόσθετη ηλεκτροστατική ενέργεια, η οποία φυσικά είναι θετική. Αυτή η ενέργεια - που επίσης µεταβάλλεται µε την απόσταση - θα πρέπει να συµπεριληφθεί στην ενέργεια Ε 0. Εποµένως, για την ενέργεια Ε 0, θα πρέπει να πάρουµε κάτι παρόµοιο µε τη διακεκοµµένη καµπύλη του Σχήµατος η οποία αυξάνει απότοµα για αποστάσεις µικρότερες από την ακτίνα ενός ατόµου υδρογόνου. Σε αυτή την ενέργεια, την Ε 0, θα πρέπει να προσθέσουµε - και φυσικά να αφαιρέσουµε από αυτή - την ενέργεια αναπήδησης Α. Όταν το κάνουµε αυτό, οι ενέργειες Ε I και E II θα µεταβάλλονται µε την απόσταση D ανάµεσα στα πρωτόνια όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. ιαπιστώνουµε λοιπόν, πως η κατάσταση II χαρακτηρίζεται από ένα σηµείο ελάχιστης ενέργειας. Αυτό θα είναι και το σχήµα ισορροπίας - η κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας - για το ιόν του H +. Σε αυτό το σηµείο η ενέργεια είναι χαµηλότερη από την ενέργεια ενός πρωτονίου και ενός ιόντος υδρογόνου που είναι διαχωρισµένα και εποµένως το σύστηµα είναι δέσµιο. Ένα απλό ηλεκτρόνιο επενεργεί για να κρατήσει µαζί τα δύο πρωτόνια το ένα κοντά στο άλλο. Ένας χηµικός θα αποκαλούσε αυτή την κατάσταση "δεσµό ενός ηλεκτρονίου". 13

124 Σχήµα 3: Τα ενεργειακά επίπεδα του ιονισµένου µορίου του υδρογόνου, σαν συνάρτηση της απόστασης µεταξύ των δύο πρωτονίων Μπορούµε να δούµε και µε ένα διαφορετικό τρόπο το λόγο για τον οποίο µία τέτοια κατάσταση θα έχει χαµηλότερη ενέργεια σε σχέση µε ένα πρωτόνιο και ένα άτοµο υδρογόνου. Ας θεωρήσουµε ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κοντά σε δύο πρωτόνια που απέχουν κάποια σταθερή αλλά όχι και τόσο µεγάλη απόσταση. Γνωρίζουµε, πως µε ένα απλό πρωτόνιο, το ηλεκτρόνιο "διασκορπίζεται" εξαιτίας της αρχής της αβεβαιότητας. Αυτό το ηλεκτρόνιο αναζητά µία ισορροπία ανάµεσα στο να έχει µία χαµηλή δυναµική ενέργεια Coulomb και στο να µην περιοριστεί σε µία τόσο µικρή περιοχή στο χώρο, γεγονός που θα µπορούσε να του προσδώσει µία υψηλή κινητική ενέργεια (εξαιτίας της σχέσης που συσχετίζεται µε την αρχή της απροσδιοριστίας και η οποία έχει τη µορφή p x ħ ). Τώρα, εάν υπάρχουν δύο πρωτόνια, θα υπάρχει περισσότερος χώρος στον οποίο το ηλεκτρόνιο θα µπορεί να διαθέτει χαµηλή δυναµική ενέργεια. Μπορεί λοιπόν να απλωθεί - ελαττώνοντας την κινητική του ενέργεια - χωρίς να αυξήσει τη δυναµική του ενέργεια. Το καθαρό αποτέλεσµα θα είναι µία ενέργεια χαµηλότερη σε σχέση µε αυτή του ατόµου του υδρογόνου. Αλλά τότε γιατί η άλλη κατάσταση, η κατάσταση I, έχει µεγαλύτερη ενέργεια; Αυτή η κατάσταση είναι η διαφορά των καταστάσεων I και II. Εξαιτίας της συµµετρίας που χαρακτηρίζει τις καταστάσεις 1 και, αυτή η διαφορά θα πρέπει να έχει µηδενικό πλάτος εύρεσης του ηλεκτρονίου ακριβώς στο ήµισυ της απόστασης 14

125 ανάµεσα στα δύο πρωτόνια. Αυτό σηµαίνει πως το ηλεκτρόνιο είναι κατά κάποιο τρόπο πιο περιορισµένο στο χώρο, κάτι που οδηγεί σε µία µεγαλύτερη ενέργεια. Παρεµπιπτόντως θα έπρεπε να πούµε πως η προσεγγιστική µας θεώρηση του H + ως ένα σύστηµα δύο καταστάσεων, καταρρέει µε πολύ άσχηµο τρόπο όταν τα πρωτόνια πλησιάζουν µεταξύ τους κατά την τιµή της απόστασης που αντιστοιχεί στο ελάχιστο της καµπύλης του Σχήµατος 3, ενώ επιπλέον, δεν θα οδηγήσει σε µία καλή τιµή για την πραγµατική ενέργεια σύνδεσης. Για µικρές αποστάσεις, οι ενέργειες των δύο "καταστάσεων" που θεωρήσαµε στο Σχήµα 1 δεν είναι στην πραγµατικότητα ίσες µε Ε 0 και απαιτείται µία πιο εκλεπτυσµένη κβαντοµηχανική θεώρηση των πραγµάτων. Έχουµε βρει για το ιόν του H +, µία εξήγηση για το µηχανισµό µε τον οποίο ένα ηλεκτρόνιο που διαµοιράζεται σε δύο πρωτόνια, δηµιουργεί στην πραγµατικότητα µία ελκτική δύναµη ανάµεσα στα δύο πρωτόνια η οποία µπορεί να υπάρχει ακόµα και εάν τα πρωτόνια βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση µεταξύ τους. Αυτή η ελκτική δύναµη προέρχεται από την ελαττούµενη ενέργεια του συστήµατος εξαιτίας της πιθανότητας µεταπήδησης του ηλεκτρονίου από το ένα πρωτόνιο στο άλλο. Σε ένα τέτοιο άλµα, το σύστηµα µεταβάλλεται από το σχήµα ( άτοµο υδρογόνου, πρωτόνιο ) στο σχήµα ( πρωτόνιο, άτοµο υδρογόνου ) ή κατά την αντίθετη διαδροµή. Η ενεργειακή µετατόπιση που οφείλεται σε αυτή τη διεργασία, είναι ανάλογη του πλάτους Α για τη µεταπήδηση ενός ηλεκτρονίου η ενέργεια του οποίου είναι ίση µε -W Η (δηλαδή µε την ενέργεια σύνδεσης του στο άτοµο του υδρογόνου) να µεταπηδήσει από το ένα πρωτόνιο στο άλλο. Για µεγάλες αποστάσεις R ανάµεσα στα δύο πρωτόνια, η ηλεκτροστατική δυναµική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι περίπου ίση µε το µηδέν για το σύνολο σχεδόν του χώρου από τον οποίο θα πρέπει να διέλθει κάθε φορά που πραγµατοποιεί ένα τέτοιο άλµα. Σε αυτό το χώρο, το ηλεκτρόνιο κινείται σχεδόν σαν ελεύθερο σωµατίδιο στον κενό χώρο. αλλά µε µία αρνητική ενέργεια! Έχουµε δει πως το πλάτος για τη µετακίνηση ενός σωµατιδίου καθορισµένης ενέργειας από τη µία περιοχή του χώρου σε κάποια άλλη που απέχει απόσταση R, είναι ανάλογη της ποσότητας e ( ħ) i/ pr r 15

126 όπου p είναι η ορµή που αντιστοιχεί σε αυτή τη συγκεκριµένη ενέργεια. Στην προκειµένη περίπτωση (και χρησιµοποιώντας το µη σχετικιστικό τύπο), η ορµή p δίδεται από τη σχέση p = WH, από την οποία προκύπτει πως το p είναι ένας m φανταστικός αριθµός που δίδεται από τη σχέση p= i mw (το άλλο πρόσηµο για H την τετραγωνική ρίζα δεν έχει κανένα απολύτως νόηµα στην προκειµένη περίπτωση). Κατά συνέπεια θα αναµέναµε πως το πλάτος Α για το ιόν H + θα µεταβάλλεται ως ( mw H / ħ)r e A για µεγάλες τιµές της απόστασης R ανάµεσα στα δύο πρωτόνια. R Η ενεργειακή µετατόπιση που οφείλεται στις συνδέσεις των ηλεκτρονίων είναι ανάλογη του πλάτους Α εποµένως, υπάρχει µία δύναµη που τραβά τα πρωτόνια το ένα κοντά στο άλλο και η οποία είναι ανάλογη - για µεγάλα R - της παραγώγου της παραπάνω εξίσωσης ως προς το R. Τέλος, για να είµαστε πλήρεις, θα πρέπει να επισηµάνουµε πως στο σύστηµα των δύο πρωτονίων και του ενός ηλεκτρονίου υπάρχει ακόµα ένα φαινόµενο που οδηγεί σε µία εξάρτηση της ενέργειας από την απόσταση R. Αυτό το φαινόµενο το έχουµε αγνοήσει µέχρι τώρα επειδή συνήθως είναι µάλλον ασήµαντο. η εξαίρεση σε αυτόν τον κανόνα ισχύει απλά για εκείνες τις µεγάλες αποστάσεις για τις οποίες η ενέργεια του όρου ανταλλαγής Α, έχει ελαττωθεί εκθετικά σε πολύ µικρές τιµές. Αυτό το νέο φαινόµενο που θεωρούµε, είναι η ηλεκτροστατική έλξη του πρωτονίου για το άτοµο του υδρογόνου, που προκύπτει µε τον ίδιο τρόπο µε τον οποίο κάθε ουδέτερο αντικείµενο έλκει ένα ηλεκτρισµένο αντικείµενο. Το απογυµνωµένο πρωτόνιο δηµιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε (το οποίο µεταβάλλεται ως 1/R ) στο ουδέτερο άτοµο του υδρογόνου. Κατά συνέπεια, το άτοµο καθίσταται πολωµένο και αποκτά µία επαγόµενη διπολική ροπή µ η οποία είναι ανάλογη της έντασης του πεδίου Ε. Η ενέργεια του δίπολου είναι ίση µε µε που είναι ανάλογη του Ε - ή ισοδύναµα του 1/R 4. Εποµένως υπάρχει ένας όρος στην ενέργεια του συστήµατος που ελαττώνεται µε την τέταρτη δύναµη της απόστασης (και που αποτελεί µία διόρθωση για το Ε 0 ). Αυτή η ενέργεια ελαττώνεται µε την απόσταση πιο αργά από ότι η µετατόπιση Α που δίδεται από την παραπάνω εξίσωση. Για κάποια µεγάλη απόσταση R αυτός θα γίνει και ο µόνος σηµαντικός όρος που δίνει µια µεταβολή στην ενέργεια σε συνάρτηση µε το R. εποµένως, είναι και η µόνη δύναµη που παραµένει. Ο ηλεκτροστατικός όρος έχει το ίδιο πρόσηµο και για τις δύο βασικές καταστάσεις (η δύναµη είναι ελκτική και 16

127 εποµένως η ενέργεια είναι αρνητική) και εποµένως το ίδιο θα ισχύει και για τις δύο στάσιµες καταστάσεις, εάν ο όρος ανταλλαγής του ηλεκτρονίου Α δίνει αντίθετο πρόσηµο για τις δύο στάσιµες καταστάσεις. Κυµατοσυναρτήσεις Έχουµε δει πειστικές ενδείξεις ότι σε ατοµική ή υποατοµική κλίµακα ένα σωµατίδιο, όπως το ηλεκτρόνιο, δεν µπορεί να περιγραφεί ως σηµείο µε τρεις συντεταγµένες και τρεις συνιστώσες ταχύτητας. Το σωµατίδιο υπό ορισµένες συνθήκες συµπεριφέρεται ως κύµα, και έχουµε µιλήσει µερικές φορές για τη χρησιµοποίηση µιας κυµατοσυνάρτησης για να περιγράψουµε την κατάσταση του σωµατιδίου. Τώρα µπορούµε να περιγράψουµε πιο συγκεκριµένα την κινηµατική γλώσσα που πρέπει να χρησιµοποιούµε για να αντικαταστήσουµε την κλασική εικόνα των συντεταγµένων και των συνιστωσών ταχύτητας. Η νέα µας εικόνα για την περιγραφή της κατάστασης ενός σωµατιδίου, έχει πολλά κοινά µε τη γλώσσα της κλασικής κυµατικής κίνησης. Εάν ψ παριστά τη µετατόπιση από την ισορροπία ενός σηµείου της χορδής ευρισκόµενου σε απόσταση χ από αρχή των αξόνων τη χρονική στιγµή t, τότε η συνάρτηση ψ = f(x, t) ή ψ(χ, t) παριστά τη µετατόπιση οποιουδήποτε σηµείου χ σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή t. Εφόσον γνωρίζουµε την κυµατοσυνάρτηση για συγκεκριµένη κυµατική κίνηση, γνωρίζουµε οτιδήποτε θέλουµε να µάθουµε για την κίνηση αυτή. Μπορούµε να βρούµε τη θέση και την ταχύτητα οποιουδήποτε σηµείου της χορδής, για κάθε χρονική στιγµή κ.ο.κ. Έχουµε ασχοληθεί µε ειδικές µορφές αυτών των συναρτήσεων για ηµιτονοειδή κύµατα, στα οποία κάθε σωµάτιο εκτελεί απλή αρµονική κίνηση. Γενικά, η Ψ είναι συνάρτηση όλων των χωρικών συντεταγµένων και του χρόνου. Όπως ακριβώς η κυµατοσυνάρτηση ψ (χ, t) για µηχανικά κύµατα σε χορδή παρέχει µια πλήρη περιγραφή της κίνησης, έτσι και η κυµατοσυνάρτηση του σωµατιδίου Ψ(χ, ψ, z, t) περιέχει όλες τις πληροφορίες που µπορεί να γίνουν γνωστές για το σωµατίδιο αυτό. 17

128 Τα µηχανικά κύµατα διαδίδονται σε κάποιο µέσο- η τεντωµένη χορδή είναι το µέσο για τα εγκάρσια κύµατα σε χορδή και ο αέρας είναι το µέσο διάδοσης για τα ηχητικά κύµατα. Όµως, η κυµατοσυνάρτηση για σωµατίδιο δεν περιγράφει κύµα που διαδίδεται σε κάποιο υλικό µέσο. Η κυµατοσυνάρτηση περιγράφει το σωµατίδιο, αλλά δεν µπορούµε να ορίσουµε την ίδια τη συνάρτηση σαν κάποιο χαρακτηριστικό της ύλης. Μπορούµε µόνο να περιγράψουµε πώς σχετίζεται µε τα φυσικώς παρατηρήσιµα φαινόµενα. Ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης Η κυµατοσυνάρτηση µπορεί να δώσει την κατανοµή των θέσεων ενός σωµατιδίου στο χώρο, ακριβώς όπως οι κυµατοσυναρτήσεις για ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα περιγράφουν την κατανοµή των ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων. Το τετράγωνο της κυµατοσυνάρητησης σε κάθε σηµείο παριστά την πιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο κοντά σε αυτό το σηµείο. Ακριβέστερα, πρέπει να πούµε το τετράγωνο της απόλυτης τιµής της κυµατοσυνάρτησης, Ψ. Αυτό είναι αναγκαίο επειδή, καθώς θα δούµε παρακάτω, η Ψ δεν είναι αναγκαστικά µια πραγµατική συνάρτηση. Μπορεί να είναι µιγαδική συνάρτηση µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος. (Το φανταστικό µέρος της συνάρτησης είναι µια πραγµατική συνάρτηση πολλαπλασιασµένη επί τη φανταστική µονάδα i= 1 ) Μια πιο ακριβής διατύπωση είναι ότι για σωµατίδιο κινούµενο στις τρεις διαστάσεις η ποσότητα Ψ dv εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο σε όγκο dv γύρω από το σηµείο στο οποίο υπολογίζεται η Ψ. Η πιθανότητα εύρεσης του σωµατιδίου είναι µεγαλύτερη σε περιοχές όπου η Ψ είναι µεγάλη κ.ο.κ. Για ένα φορτισµένο σωµατίδιο, όπως το ηλεκτρόνιο, η Ψ προς τη πυκνότητα φορτίου σε κάθε σηµείο του χώρου. είναι επίσης ανάλογη Για σωµατίδιο σε ορισµένη κατάσταση, η κυµατοσυνάρτηση Ψ δίνει µια πλήρη περιγραφή αυτής της κατάστασης. ηλαδή, περιέχει όλες τις πληροφορίες που µπορούν να γίνουν γνωστές για αυτή την κατάσταση. Η κυµατοσυνάρτηση ενός ελεύθερα κινούµενου σωµατιδίου είναι συνάρτηση και των χωρικών συντεταγµένων και του χρόνου. Η τιµή του Ψ σε ορισµένο σηµείο µεταβάλλεται εν γένει µε τον χρόνο, γεγονός που δηλώνει ότι η θέση όπου µπορεί να βρεθεί, µε µεγάλη πιθανότητα, ένα σωµατίδιο αλλάζει µε τον χρόνο. Σε µερικές όµως περιπτώσεις, όπως όταν ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε ορισµένη ενεργειακή στάθµη 18

129 ατόµου, η τιµή του Ψ σε κάθε σηµείο είναι σταθερή, ανεξάρτητη του χρόνου. Σε αυτές τις περιπτώσεις η κατανοµή πιθανότητας για το σωµατίδιο δεν αλλάζει µε τον χρόνο. Αυτό ισχύει πάντοτε για τις καταστάσεις που έχουν καθορισµένη ενέργειαονοµάζουµε µια τέτοια κατάσταση στάσιµη κατάσταση. Θα δείξουµε αργότερα ότι τέτοιες κυµατοσυναρτήσεις µπορεί να βρεθούν από τη λύση µιας διαφορικής εξίσωσης που δεν περιέχει εκπεφρασµένα τον χρόνο. Μια τέτοια εξίσωση λύνεται συνήθως πολύ ευκολότερα από µια γενικότερη διαφορική εξίσωση που περιέχει και τις χωρικές συντεταγµένες και τον χρόνο. Φυσικά µεγέθη ως µέσες τιµές τελεστών Τα πάντα στην κβαντοµηχανική µπορούν να εκφρασθούν µέσω γνωστών όρων και τεχνικών Άλγεβρας, παρόλο που σε διάφορα στάδια χρησιµοποιούµε κάποιους ειδικούς τρόπους. Η έννοια του τελεστή είναι αλληλένδετη µε εκείνη της κυµατοσυνάρτησης, και αφού όλες οι πληροφορίες για το σωµατίδιο περιέχονται στην κυµατοσυνάρτηση, η "άντληση" πληροφοριών γίνεται µε την "εφαρµογή" του σχετικού τελεστή στην κυµατοσυνάρτηση. Έτσι για κάθε µετρήσιµη παράµετρο του σωµατιδίου υπάρχει και ο σχετικός κβαντοµηχανικός τελεστής που θα µας οδηγήσει στην "άντληση" των σχετικών πληροφοριών που ενυπάρχουν στην κυµατοσυνάρτηση. Έτσι έχουµε τους τελεστές της θέσης, της ορµής, της στροφορµής, της ενέργειας, του χρόνου, και πολλούς άλλους, κάποιους εκ των οποίων θα περιγράψουµε σε αυτό το κεφάλαιο. Στην κλασσική µηχανική αντικαταστήσαµε συχνά τον αλγεβρικό τρόπο σκέψης και έκφρασης µε διανύσµατα, τα οποία εν συνεχεία συνδέσαµε πάλι µε την Άλγεβρα. Στην κβαντοµηχανική ήδη µιλήσαµε για διανύσµατα κατάστασης, παρόλο που δεν έχουµε τα γνωστά γεωµετρικά διανύσµατα. Το διάνυσµα κατάστασης ψ> περιέχει όλες τις γνωστές ή εν δυνάµει γνωστές πληροφορίες για την κατάσταση. Ένας θεµελιώδης νόµος στην κβαντοµηχανική περιγράφει ότι µια κατάσταση µπορεί να δηµιουργηθεί από τον γραµµικό συνδυασµό άλλων πιο βασικών καταστάσεων γράφεται µε την κβαντοµηχανική σηµειολογία ως: ψ = C i (1) όπου C i είναι ένα σύνολο µιγαδικών αριθµών που δίνουν i i το πλάτος C i = <i ψ> 19

130 και 1>, >, 3>, κ.λ.π. είναι βασικές καταστάσεις, ο γραµµικός συνδυασµός των οποίων δίνει µια πιο περίπλοκη κατάσταση. Το επόµενο βήµα είναι να χρησιµοποιήσουµε την κατάλληλη σηµειολογία και να καθορίσουµε τους κανόνες που διέπουν κάποιες πράξεις που µπορούµε να κάνουµε σε µια κατάσταση. Μπορούµε π.χ. να την περιστρέψουµε, να µετρήσουµε το µήκος της, τον χρόνο κ.λ.π. Γενικά, όταν εκτελούµε µια λειτουργία σε µια κατάσταση προκύπτει µια καινούργια κατάσταση. Η σηµειολογία έχει ως εξής: φ> = A ψ () που σηµαίνει ότι λειτουργώντας πάνω στην κατάσταση ψ µε τον τελεστή Α µας πρόκυψε µια καινούργια κατάσταση φ. Αν πολλαπλασιάσουµε την εξίσωση () µε i και εκφράσουµε την κατάσταση ψ µε την εξίσωση (1) έχουµε: i φ = i A ˆ j j ψ (3) οι καταστάσεις j προέρχονται από το j ίδιο σύνολο που προέρχονται και οι καταστάσεις i. Οι αριθµού <i φ>, γιατί περί αριθµών πρόκειται, µας δίνουν το κατά πόσο συνεισφέρει η κάθε βασική κατάσταση στην καινούργια κατάσταση φ> και συγκεκριµένα είναι η γραµµική υπέρθεση των πλατών <j ψ> σε κάθε βασική κατάσταση. Οι αριθµού <i  j> είναι οι συντελεστές των όρων του γενικού αθροίσµατος: Α ij = <i  j> (4) Παρά τις όποιες οµοιότητες µε αντίστοιχους αλγεβρικούς «τελεστές» οι κβαντοµηχανικοί τελεστές διαφέρουν σηµαντικά από τους αλγεβρικούς και υπακούουν άλλους κανόνες. Κατ αρχάς εφαρµόζονται σε διανύσµατα καταστάσεων που περιέχουν πληροφορίες για την φυσική κατάσταση ενός σωµατιδίου ενώ οι αλγεβρικοί τελεστές εφαρµόζονται σε µαθηµατικές συναρτήσεις που µπορεί να µην έχουν καµία φυσική σηµασία. Και µόνη αυτή η διάκριση επιβάλει περιορισµούς όσον αφορά τον τύπο των αριθµών ή των συναρτήσεων που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για την περιγραφή του φυσικού αντικειµένου που µας ενδιαφέρει. Βέβαια υπάρχουν και κβαντοµηχανικοί τελεστές που έχουν ίδια σηµασία µε τον αλγεβρικό αντίστοιχο, π.χ., η παράγωγος d/dx. Θα επικεντρώσουµε τώρα την προσοχή µας σε µια σηµαντική ιδιότητα των περισσοτέρων κβαντοµηχανικών τελεστών: να είναι δηλαδή Ερµιτιανοί (Hermitian). Τι σηµαίνει αυτό; 130

131 Ας πούµε ότι έχουµε έναν τελεστή A, του οποίου ο πίνακας σε κάποια βάση είναι A ij = <i A j>. Το πλάτος η κατάσταση A φ> να είναι επίσης µια άλλη κατάσταση ψ> βρίσκεται από το <φ Â ψ>. Ο συζυγής µιγαδικός αυτού του πλάτους έχει κάποια σηµασία; ˆ ˆ φ Α ψ * = ψ Α φ (5) + όπου ο τελεστής A έχει την ιδιότητα Α ij = ( Aij )*. Το αστεράκι έχει πάντα την κλασσική σηµασία του συζυγούς µιγαδικού. Ο τελεστής A + ονοµάζεται ο Ερµιτιανός συζυγής τελεστής A + του. Η ιδιότητα αυτή, ο ίδιος ο τελεστής A να είναι και ο Ερµιτιανός συζυγής του εαυτού του κατατάσσει τον τελεστή αυτό ως Ερµιτιανό ή αυτό-συζυγή τελεστή. Ο υπολογισµός µέσων ενεργειών ενός συστήµατος σωµατιδίων που δεν βρίσκονται όµως σε στάσιµες καταστάσεις και συγκεκριµένες ενέργειες έχει εξαιρετικό ενδιαφέρον. Ένας τρόπος είναι να προβάλλουµε τις µη στάσιµες καταστάσεις µας σε µια βάση καταστάσεων µε συγκεκριµένες ενέργειες. Συµβολικά γράφουµε: ψ = C φ i µεση = i i i i E i (6) όπου ψ είναι η µη στάσιµη κατάσταση και φ i είναι οι στάσιµες καταστάσεις µε τις συγκεκριµένες ενέργειες. Τι σηµαίνουν πρακτικά όλα αυτά; Όταν κάνουµε µια µέτρηση της ενέργειας µιας κατάστασης φ i > βρίσκουµε µια τιµή E i. Η πιθανότητα εύρεσης µιας τιµής E 1 είναι ακριβώς η πιθανότητα να βρει κανείς το σύστηµα στην κατάσταση φ 1, και ισούται βεβαίως µε το απόλυτο τετράγωνο του συντελεστή C 1. Γενικώς, P i = C i (7) Η µέση ενέργεια ισούται µε το άθροισµα των ενεργειών από όλες τις µετρήσεις δια του αριθµού των µετρήσεων: E (8) Ο τρόπος που το γράφουµε στην εξίσωση (8) σηµαίνει το άθροισµα των φορών που µετράµε µια συγκεκριµένη ενέργεια επί την συγκεκριµένη ενέργεια δια του συνολικού αριθµού των µετρήσεων. Πιθανότητα εποµένως να συµβεί κάτι είναι να κάνουµε έναν αριθµό µετρήσεων του «συµβάντος» που αναµένουµε να συµβεί και να δούµε σε πόσες από τις µετρήσεις το γεγονός συµβαίνει. 131

132 Κβαντοµηχανικά τώρα, η µέση ενέργειά µια κατάστασης ψ> είναι: * i i i i i i i Eµεση = C E = C C E Έχοντας ήδη αναφερθεί στο C i =<φ i ψ>, ο συζυγής µιγαδικός του είναι C * i, εποµένως το άθροισµα γράφεται πλέον ως: = ψ φi ψ φi Ei φi ψ (10) i Η κατάσταση <ψ όµως µπορεί να βγει από το άθροισµα ως κοινός παράγοντας αφήνοντας στο άθροισµα τους υπόλοιπους όρους: ψ { φ E φ ψ } i i i i (11) Να ξαναθυµηθούµε εδώ ότι οι καταστάσεις φ i > είναι εξ ορισµού στάσιµες καταστάσεις, εποµένως για κάθε στάσιµη κατάσταση H ɶ φi >= E i φi >, όπου Ĥ είναι ο Χαµιλτονιανός τελεστής ο οποίος λειτουργώντας επί της κυµατοσυνάρτησης επιστρέφει την ενέργεια της συγκεκριµένης κατάστασης επί την κυµατοσυνάρτηση. Εποµένως η εξίσωση 11) µπορεί να γραφτεί ως: (9) φ = Hˆ φ φ ψ = Hˆ φ φ ψ = Hˆ ψ i i i i i i i (1) προφανώς φ i ><φ i = 1, έτσι µας προέκυψε η εξίσωση (1). Η µέση ενέργεια βρίσκεται εύκολα πλέον ως: <Ε µέση > = <ψ Ĥ ψ> (13) Η σηµασία της εξίσωσης (13) είναι µεγάλη. Αν γνωρίζουµε ένα σύνολο βασικών καταστάσεων i>, ο γραµµικός συνδυασµός των οποίων µπορεί να εκφράσει πλήρως µια οποιαδήποτε κατάσταση ψ>, τότε η µέση ενέργεια µπορεί να υπολογιστεί από: Ε µεση = ψ i i Hˆ j j ψ i, j Οι εξισώσεις (13) και (14) ισχύουν και για άλλους τελεστές εκτός από τον (14) Χαµιλτονιανό, π.χ. τον τελεστή της z-συνιστώσας της στροφορµής L z : L = ψ L ψ z µεση z (15) 13

133 Γενικότερα τώρα µπορούµε να πούµε πως για κάθε φυσικό µέγεθος που σχετίζεται µε κάποιον κατάλληλο κβαντοµηχανικό τελεστή A, η µέση τιµή του A για την κατάσταση ψ> είναι: Α µεση = ψ Α ψ (16) Η µέση τιµή του ενός τελεστή σε πολλά βιβλία κβαντοµηχανικής αναφέρεται και ως «αναµενόµενη τιµή» (expectation value). Σωµατίδιο σε κουτί Το απλούστερο πρόβληµα κβαντοµηχανικής είναι αυτό ενός σωµατίου παγιδευµένου σε ένα κιβώτιο µε αδιαπέραστους τοίχους. Θεωρούµε το πρόβληµα µονοδιάστατο µε το σωµατίδιο να βρίσκεται µέσα στο πηγάδι δυναµικού του σχήµατος. Η συνάρτηση U(x) (το δυναµικό αλληλεπίδρασης) είναι: 0 όταν 0<x<L U(x) = όταν x 0 ή x L H ψ είναι µηδέν έξω από το κιβώτιο (αφού η πιθανότητα να βρεθεί εκεί είναι µηδενική) οπότε λόγω συνέχειας και οι τιµές στο εσωτερικό του κιβωτίου θα µηδενίζονται στα άκρα του. Εποµένως το µαθηµατικό πρόβληµα είναι να λυθεί η εξίσωση Schrödinger µε V(x)=0 (εσωτερικό του κιβωτίου) και µε την απαίτηση να µηδενίζεται η λύση στα άκρα του. Μέσα στο κιβώτιο η εξίσωση του Schrodinger γίνεται: είναι: V=0. Η εξίσωση έχει λύση της µορφής: ψ= Α sin kx+ Bcos kx µε d ψ m Eψ 0 dx + ħ = me k =. ħ επειδή Με βάση τις συνοριακές συνθήκες ψ=0 για x=0 και x=l, θα έχουµε: ψ(0) = Α 0+ Β 1= 0 Β= 0 και ψ= A sin kx ψ(l) = A sin kl= 0 kl= nπ µε n=1,, Εποµένως: k me n π = = ħ L. Άρα: E π ml n = ħ n. 133

134 Καταλήγουµε πως nπx ψn = Asin, n=1,,... L Για κάθε κβαντικό αριθµό n, η κυµατοσυνάρτηση είναι µια µονότιµη συνάρτηση ψn του x και οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτήσεις. x + L L nπx L Επιπλέον το ολοκλήρωµα ψn dx= ψn dx A sin dx A = 0 =. 0 L L Κανονικοποιούµε την κυµατοσυνάρτηση: ψn dx= 1 A=. 0 L nπx Οι ιδιοσυναρτήσεις για αυτό το σωµάτιο θα είναι: ψn = sin L L π µε n=1,,. και µε ιδιοτιµές για την ενέργεια: En = ħ n. ml ψn Σχήµα 1: Κυµατοσυναρτήσεις και πυκνότητες πιθανότητας σωµατίου περιορισµένου σε κιβώτιο µε συµπαγή τοιχώµατα. Η κυµατοσυνάρτηση που φαίνεται στο Σχήµα 1 µοιάζει µε τις πιθανές δονήσεις µιας τεντωµένης χορδής στερεωµένης και στα δύο άκρα της. Αυτό είναι συνέπεια του γεγονότος ότι τα κύµατα σε µια τεντωµένη χορδή και το κύµα που αναπαριστά ένα 134

135 κινούµενο σωµάτιο περιγράφονται από εξισώσεις της ίδιας µορφής, έτσι ώστε όταν όµοιοι περιορισµοί τίθενται για κάθε είδος κύµατος, τα τυπικά αποτελέσµατα να είναι τα ίδια. Η κβάντωση της ενέργειας είναι ένα καθαρά µαθηµατικό αποτέλεσµα της εξίσωσης Schrödinger. Η εξίσωση έχει λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήµατος µόνο όταν η ενέργεια του σωµατιδίου παίρνει µια διακριτή ακολουθία τιµών. Η ελάχιστη δυνατή ενέργεια του σωµατιδίου µέσα στο κουτί είναι µη µηδενική και γίνεται τόσο µεγαλύτερη όσο το µήκος του σωλήνα µικραίνει. Η ακινησία των παγιδευµένων κβαντικών σωµατιδίων είναι αδύνατη. Και όσο πιο παγιδευµένα είναι τόσο πιο πολύ κινούνται. 135

136 ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ Θα αναζητήσουµε τις στάσιµες καταστάσεις στην κυµατική φυσική. Στάσιµα κύµατα σε χορδή σταθερού µήκους Όταν ένα οδεύον κύµα συναντήσει άπειρη σύνθετη αντίσταση ανακλάται τελείως µε αλλαγή φάσης του πλάτους κατά π. Μια χορδή µε σταθερό µήκος l και µε σταθερά τα δύο της άκρα παρουσιάζει άπειρη αντίσταση και στα δύο άκρα. Θα εξετάσουµε τώρα τη συµπεριφορά κυµάτων σε µια τέτοια χορδή. Ας θεωρήσουµε την περίπτωση ενός µονοχρωµατικού κύµατος µε συχνότητα ω και µε µία συνιστώσα µε πλάτος α που οδεύει κατά τη θετική κατεύθυνση x και µία άλλη µε πλάτος b που οδεύει κατά την αρνητική κατεύθυνση x. Η µετατόπιση της χορδής σε οποιοδήποτε σηµείο θα δίνεται τότε από την έκφραση: i(ωt kx) i(ωt+ kx) ψ αe be = + (1) µε τη συνοριακή συνθήκη ότι ψ = 0 στο χ = 0 και x=1, κάθε χρονική στιγµή. Η συνθήκη ψ = 0 στο x = 0 δίνει 0 = (α + b)e iωt για κάθε t, οπότε a= -b. Αυτό εκφράζει ότι ένα κύµα προς τη µία ή την άλλη κατεύθυνση που συναντά την άπειρη αντίσταση, στο ένα ή στο άλλο άκρο, ανακλάται εντελώς µε µια αλλαγή φάσης π στο πλάτος. Αυτό είναι ένα γενικό αποτέλεσµα για όλες τις µορφές κυµάτων και όλες τις συχνότητες. Έτσι: iωt ikx ikx iωt ψ αe (e e ) ( i)αe sin kx = = () µια έκφραση για το ψ που ικανοποιεί τη χρονικά ανεξάρτητη µορφή στάσιµου κύµατος της κυµατικής εξίσωσης: ψ + kψ = 0 x (3) ωl Η συνθήκη ότι ψ = 0 στο x=l για κάθε t απαιτεί: sin kl= sin = 0 ή c περιορίζοντας τις επιτρεπόµενες τιµές συχνοτήτων στις ω l = n π, c nπc ω n = ή f l n nc c nλn ω = =, δηλαδή l=, που δίνει sin l λ c n n x n π sin x l =. Οι συχνότητες αυτές είναι οι κανονικές συχνότητες ή τρόποι ταλάντωσης -συχνά ονοµάζονται ιδιοσυχνότητες, ιδιαίτερα στην κυµατοµηχανική. 136

137 Οι επιτρεπόµενες αυτές συχνότητες ορίζουν το µήκος της χορδής σαν ακριβές πολλαπλάσιο ηµιµηκών κύµατος και το Σχ. 1 δείχνει τις µετατοπίσεις της χορδής για τις πρώτες τέσσερις αρµονικές (n =1,,3,4). Η τιµή για n = 1 ονοµάζεται θεµελιώδης. Σχ. 1: Οι τέσσερις πρώτες αρµονικές n=1.,3,4 των στάσιµων κυµάτων που επιτρέπονται των δύο σταθερών άκρων µιας χορδής. µεταξύ Όπως και µε το ελατήριο µε σφαιρίδια, όλοι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης µπορούν να υπάρχουν ταυτόχρονα και η γενική µετατόπιση είναι η επαλληλία των µετατοπίσεων για κάθε συχνότητα. Παρατηρούµε ότι για n =1 υπάρχουν κατά µήκος της χορδής ορισµένες θέσεις που παραµένουν συνεχώς ακίνητες. Αυτά τα σηµεία βρίσκονται εκεί όπου ω x n x n π sin = sin = 0, ή n π x = r π (r=0,1,,3, n). c l l Οι τιµές r =0 και r = n δίνουν x=0 και x=l, τα άκρα της χορδής, αλλά µεταξύ των άκρων υπάρχουν n-1 ισαπέχουσες θέσεις κατά µήκος της χορδής, που ταλαντώνεται στην αρµονική η, όπου η αποµάκρυνση είναι πάντοτε µηδέν. Αυτές οι θέσεις καλούνται δεσµοί ή δεσµικά σηµεία και είναι τα σηµεία µε µηδενική αποµάκρυνση σε ένα σύστηµα στάσιµων κυµάτων. Τα στάσιµα κύµατα προκύπτουν από την επαλληλία κυµατικών συστηµάτων που οδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Αν τα πλάτη αυτών των οδευόντων κυµάτων είναι ίσα και αντίθετα (αποτέλεσµα πλήρους ανάκλασης) θα προκύψουν δεσµικά σηµεία. Συχνά όµως, η ανάκλαση δεν είναι πλήρης και τα κύµατα στις αντίθετες κατευθύνσεις δεν αλληλοαναιρούνται εντελώς για να δώσουν απόλυτα δεσµικά σηµεία. Σε αυτή την περίπτωση µιλάµε για ένα λόγο στάσιµων κυµάτων. 137

138 Όταν όµως υπάρχουν δεσµικά σηµεία, γνωρίζουµε ότι τα κύµατα που οδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις είναι ακριβώς τα ίδια από όλες τις απόψεις, οπότε η ενέργεια που µεταφέρεται κατά τη µία κατεύθυνση ισούται µε αυτήν που µεταφέρεται κατά την άλλη. Αυτό σηµαίνει ότι η ολική ενεργειακή ροή, δηλαδή η ενέργεια που περνά µέσα από το µονάδα επιφάνειας ανά δευτερόλεπτο, είναι µηδέν σε ένα σύστηµα στάσιµων κυµάτων. Επιστρέφοντας στην εξίσωση () βλέπουµε ότι η πλήρης έκφραση για την αποµάκρυνση της n-οστής αρµονικής δίνεται από την: ω x ψ α( i)(cos ω t i sin ω t)sin c n n = n + n που µπορούµε να την εκφράσουµε µε τη µορφή: ω x ψ (A cos ω t B sin ω t)sin c n n = n n + n n,όπου το πλάτος του «n-οστού» τρόπου ταλάντωσης δίνεται από το (A + B ) = α. n n 138

139 Σωµατίδιο σε κουτί (κυµατική θεώρηση) Θα µελετήσουµε το σύστηµα το οποίο αποτελείται από ένα σωµατίδιο, που ανακλάται ελαστικά µεταξύ δύο ακλόνητων τοίχων σε απόσταση L. Θεωρούµε το πρόβληµα µονοδιάστατο µε το σωµατίδιο να κινείται κατά µήκος του άξονα x και οι τοίχοι να βρίσκονται στις θέσεις x= 0 και x= L. Οι συγκρούσεις είναι τελείως ελαστικές και εποµένως το σωµατίδιο ποτέ δεν αποκτά επιπλέον ενέργεια ούτε χάνει η ενέργεια του και το µέτρο της ορµής του p παραµένουν σταθερά. Το σύστηµα αυτό περιγράφεται σαν «σωµατίδιο σε κουτί». Επειδή το σωµατίδιο είναι περιορισµένο στο διάστηµα 0 < x< L, αναµένουµε να µηδενίζεται η κυµατοσυνάρτηση του έξω από το παραπάνω διάστηµα. Επιπλέον, φαίνεται λογικό από τη φύση του προβλήµατος, η συνάρτηση ψ να είναι συνεχής συνάρτηση του x. Αν πράγµατι ισχύουν αυτά, θα πρέπει να µηδενίζεται στα σηµεία x = 0 και x= L. Αυτές οι δύο συνθήκες είναι οι συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος. Σχ. 1 Είναι οι ίδιες συνθήκες, που χρησιµοποιήσαµε για να υπολογίσουµε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης µιας παλλόµενης χορδής. Το µέτρο της ορµής του σωµατιδίου είναι σταθερό. Εποµένως, µόνο ένα µήκος κύµατος απαιτείται, και είναι λογικό να υποθέσουµε ότι η ψ(x) είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση της µεταβλητής x. Αν έτσι έχουν τα πράγµατα, µία δυνατή µορφή της είναι ψ(x) κυµαταριθµός k =π/λ. = Α sin kx (1), όπου k είναι ο Η Εξ. (1) ικανοποιεί την απαίτηση του µηδενισµού της ψ (x) στο χx= 0. Είναι επίσης µηδέν στο χ = L αν επιλέξουµε τιµές για τον k τέτοιες ώστε kl = ηπ, (n =1,, 3,...). Οι δυνατές τιµές του k και του λ είναι, εποµένως: nπ k= και λ Σχ. π L λ = k = n. 139

140 Από το λ µπορούµε να προσδιορίσουµε την ορµή p, χρησιµοποιώντας τη σχέση του de Broglie p = h/λ, ενώ η ενέργεια Ε είναι p /m. Για κάθε τιµή του n υπάρχουν αντίστοιχες τιµές των p, λ και Ε. Ας τις ονοµάσουµε ρ n, λ n και E n. h nh Συνδυάζοντας όλα αυτά τα στοιχεία, παίρνουµε: p = n λ = L, n E = p n h m = 8mL. n n Αυτές είναι όλες οι επιτρεπτές ενεργειακές στάθµες ενός σωµατιδίου σε κουτί. Σε κάθε τιµή του η αντιστοιχεί µία κυµατοσυνάρτηση, την οποία συµβολίζουµε µε ψ n. nπx Καταλήγουµε στη σχέση: ψ n (x) = Asin. L Σχ. 3 Το σχήµα 3a δείχνει γραφικές παραστάσεις των κυµατοσυναρτήσεων για n = 1,, 3, 4 και 5, και το Σχ. 3b δείχνει το διάγραµµα ενεργειακών σταθµών του συστήµατος αυτού. ιαδοχικά υψηλότερες ενεργειακές στάθµες, ανάλογες προς το n, απέχουν µεταξύ τους όλο και περισσότερο, ενώ το πλήθος των ενεργειακών σταθµών είναι άπειρο. Είναι απαραίτητο να συζητήσουµε µερικά επιπλέον σηµεία. Πρώτο είναι η ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης ψ (x) σαν πιθανότητα. Στην παρούσα µονοδιάστατη περίπτωση, η ποσότητα ψ dx (µε το ψ υπολογισµένο για µία συγκεκριµένη τιµή 140

141 του χ) είναι η πιθανότητα να βρίσκεται το σωµατίδιο στο µικρό διάστηµα dx κοντά στο x. Στην περίπτωση µας: nπx ψ dx= A sin dx. L Σχ. 4 Η ποσότητα ψ έχει παρασταθεί γραφικά στο Σχ. 7 για η = 1, και 3. Ας σηµειωθεί ότι όλες οι θέσεις δεν έχουν την ίδια πιθανότητα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση µε την κλασική µηχανική, σύµφωνα µε την οποία όλες οι θέσεις µεταξύ x= 0 και x= L έχουν την ίδια πιθανότητα. Γνωρίζουµε ότι το σωµατίδιο πρέπει να βρίσκεται κάπου στο διάστηµα 0 < x< L. Εποµένως, το άθροισµα των πιθανοτήτων για όλα τα dx στο διάστηµα αυτό (η ολική πιθανότητα να βρίσκεται το σωµατίδιο στο διάστηµα αυτό) πρέπει να είναι ίση µε τη µονάδα. ηλαδή, L L nπx ψ dx= A sin dx= 1 L (). 0 0 Το αν ισχύει ή όχι η σχέση αυτή εξαρτάται από την τιµή της σταθεράς Α. Η τιµή του ολοκληρώµατος, το οποίο υπολογίζεται µε τη βοήθεια πινάκων ολοκληρωµάτων, είναι A L /. Ο συσχετισµός της κυµατoσυνάρτησης µε την πιθανότητα απαιτεί A L / = 1, ή 1/ Α= (L). (Ας σηµειωθεί, ότι η σταθερά Α δεν είναι αυθαίρετη αυτό έρχεται σε αντίθεση µε το κλασικό πρόβληµα της παλλόµενης 141