2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ» ΜΠΑΚΑΤΣΕΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΠΥΡ. ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ ΠΑΤΡΑ 9

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η.

3 3 «Αν αυτά τα καταραµένα κβαντικά άλµατα πρόκειται στ αλήθεια να παραµείνουν στην φυσική, τότε εγώ το µετανιώνω που ανακατεύτηκα ποτέ µου µε την κβαντική θεωρία». E.SCHR O DINGER (συνοµιλία µε τον Bohr)

4 4 Εισαγωγή Η κβαντοµηχανική είναι µια θεωρία µε την οποία περιγράφουµε, προβλέπουµε και ερµηνεύουµε αλληλεπιδράσεις και φαινόµενα που αφορούν από τα µικρότερα στοιχεία της ύλης µέχρι το Bing Bang, τους ηµιαγωγούς, το Σύµπαν. Τα άτοµα και τα σωµατίδια που τα αποτελούν συµπεριφέρονται µε τρόπο απροσδόκητο και ανεξήγητο στο πλαίσιο των αντιλήψεων της κλασικής φυσικής,όπως εκφράζεται από τη Νευτώνεια µηχανική και την ηλεκτροµαγνητική θεωρία του Maxwell. Παραδείγµατα αυτής της παράξενης συµπεριφοράς,όσον αφορά τις καθηµερινές µας παραστάσεις, µελετώνται στην παρούσα διπλωµατική εργασία.θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η εργασία αυτή αποτελεί επιχείρηµα εκπαιδευτικής παρουσίασης της σύγχρονης επιστηµονικής βιβλιογραφίας και όχι αποτέλεσµα πρωτότυπης έρευνας δικής µας. Σ αυτή την εργασία κατ αρχήν επιχειρείται η παρουσίαση των βασικών εννοιών και του φορµαλισµού της κβαντοµηχανικής µε όσο το δυνατόν απλούστερο τρόπο ώστε να αποφεύγεται η χρήση πολύπλοκης µαθηµατικής περιγραφής.καταβλήθηκε µεγάλη προσπάθεια η απλούστευση να µην επηρεάσει σηµαντικά την επιστηµονική ουσία και την ορθότητα της περιγραφής. Συγκεκριµένα µελετάται η συµπεριφορά φυσικών συστηµάτων δύο καταστάσεων, όπως για παράδειγµα το µόριο της αµµωνίας, το ιονισµένο µόριο του υδρογόνου, το µόριο του υδρογόνου, το µόριο του βενζολίου. Τα συστήµατα αυτά εξελίσσονται µεταπίπτοντας από µία στάσιµη κατάσταση σε µία άλλη και περιγράφονται πιθανοκρατικά εν είδει ταλαντώσεων πιθανότητας. Κατά την ανάλυση αυτή προσπαθήσαµε να βαδίσουµε στα βήµατα της εκπαιδευτικής µεθόδου που ανέπτυξε ο Richard Feynman στις διαλέξεις του. Όσον αφορά το φορµαλισµό έγινε χρήση της έννοιας του πλάτους πιθανότητας για να περιγραφεί η µετάβαση ενός δυναµικού συστήµατος δύο καταστάσεων από τη µία στάσιµη κατάσταση στην άλλη καθώς παρέρχεται ο χρόνος. Αυτή η µέθοδος αντιµετωπίζει όλες τις δυνατές «εξελίξεις» που οδηγούν στην ίδια τελική κατάσταση µε απόλυτη ισοτιµία, ανεξάρτητα από τις λεπτοµέρειες και την πολυπλοκότητα της κάθε µιας.

5 5 Είναι χαρακτηριστικό ότι ο J.A.Wheeler αναφέρει στον Albert Einstein ότι [η χρήση] «του πλάτους πιθανότητας για να κατανοήσουµε την µετάβαση ενός δυναµικού συστήµατος δύο καταστάσεων από έναν καθορισµένο σχηµατισµό κάποια χρονική στιγµή σε ένα άλλο σχηµατισµό µια κατοπινή χρονική στιγµή. Ο Feynman αντιµετωπίζει όλες τις διανοητές ιστορίες που οδηγούν στην τελική κατάσταση σε καθεστώς απόλυτης ισότητας,ανεξάρτητα από το πόσο τρελή ενδέχεται να είναι η κίνηση στο χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί [ ] πως θα µπορούσε ποτέ κανείς να ζητήσει έναν απλούστερο τρόπο για να δει σε τι συνίσταται όλη η ουσία της κβαντικής µηχανικής ;» [] Ένα άλλο παράδειγµα που µελετήθηκε, αναφέρεται στον κόσµο των στοιχειωδών σωµατιδίων και στην περιγραφή τους στο πλαίσιο του Καθιερωµένου Μοντέλου (Standard Model). Συγκεκριµένα παρουσιάζονται οι ταλαντώσεις του συστήµατος των ουδετέρων καονίων µεταξύ των δύο ιδιοκαταστάσεων µάζας K,K. Το ίδιο φαινόµενο µελετάται στον «κόσµο» των νετρίνων, παρουσιάζοντας τα αποτελέσµατα του πειράµατος SuperKamiokande και τη συνταρακτική (το οι Raymond Davis και Masatoshi Koshiba ο οποίος καθοδηγούσε πειράµατα στην Ιαπωνία, τιµήθηκαν µε το βραβείο Nobel) συνέπεια τους ό,τι δηλαδή τα νετρίνα έχουν µάζα. Η εργασία αυτή στοχεύει να συµβάλλει στην ανάπτυξη διαύλων µεταφοράς της επιστηµονικής γνώσης και του επιστηµονικού επιτεύγµατος στην Β/θµια Εκπαίδευση, προσφέροντας κατάλληλα οργανωµένο εκπαιδευτικό υλικό, έντυπο και ηλεκτρονικό, κυρίως για τη γνωσιολογική και µεθοδολογική επιµόρφωση του εκπαιδευτικού. Εύχοµαι η προσπάθειά µου να µεταφέρω τη γνώση µεταξύ των δύο αυτών αλληλοσυµπληρούµενων αλλά διαφορετικών κόσµων, να µην πάσχει από επιζήµιες για την επιστηµονική ουσία απλουστεύσεις και να συµβάλλει ουσιαστικά στην επιµόρφωση του εκπαιδευτικού και ως εκ τούτου στην αναβάθµιση της Εκπαίδευσης. Εν τοιαύτη περιπτώσει ζητώ προκαταβολικά από τον αναγνώστη την επιείκεια του. Επίσης, θα ήθελα να εκφράσω ευχαριστίες στους Καθηγητές του Προγράµµατος «Μεταπτυχιακή Εξειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών» του ΕΑΠ, κ.κ. Γεώργιο Καραϊσκάκη, Βύρωνα Καλδή. Κυρίως δε, στον Καθηγητή κ. Σπύρο Ευστ. Τζαµαρία ο οποίος ως διδάσκων υπήρξε εξαίρετος και ως επιβλέπων καθηγητής ακούραστος αρωγός αυτής της προσπάθειας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια µου για την αµέριστη βοήθεια και την υπερβολική κατανόηση που µου προσέφεραν όλο αυτό το διάστηµα.

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 8 Κλασική φυσική, Kβαντοµηχανική 8. Η αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού 8. Κύµα πιθανότητας, πλάτος πιθανότητας.3 Κλασική φυσική Κβαντοµηχανική.4 Η αρχή του κυµατοσωµατιαδιακού δυϊσµού σήµερα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 4 Βασικές έννοιες και φορµαλισµός 4. Κβαντοµηχανική κατάσταση 4. ιάνυσµα κατάστασης - συµβολισµός Dirac 4.3 Πλάτος πιθανότητας 5.4 Βάση, παράσταση του διανύσµατος κατάστασης ως γραµµικού συνδυασµού καταστάσεων βάσης 5.5 Αναλογία ανάµεσα στα µοναδιαία διανύσµατα και στα διανύσµατα κατάστασης 8.6 Κυµατοσυνάρτηση 9.7 Κυµατοσυνάρτηση δύο σωµατίων.8 Εξίσωση Schrödinger.9 Αρχή της επαλληλίας ( υπέρθεσης ) 4. Τελεστές, τελεστής Hamilton 4. Ιδιοτιµές ιδιοδιανύσµατα 6. αρχή απροσδιοριστίας Heisenberg 9.3 αξιώµατα της κβαντικής µηχανικής 33.4 Τι ξέρουµε µετά τη µέτρηση; 34.5 ιαφορική εξίσωση µεταβολής των πλατών µε το χρόνο 35.6 Φαινόµενο σήραγγας 38 Συστήµατα δύο ενεργειακών καταστάσεων 4.7 Στάσιµες καταστάσεις 4.8 Χρονική εξέλιξη ενός συστήµατος δυο καταστάσεων 44.9 Μεταπτωτική κίνηση σωµατιδίου µε spin ½ σε µαγνητικό πεδίο - µιόνιο 49. Στοιχειώδης θεωρία του χηµικού δεσµού 53

7 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 5 5 Παραδείγµατα συστηµάτων δυο ενεργειακών καταστάσεων Αµµωνία, αντιστροφή του µορίου Πως εξελίσσονται µε το χρόνο οι πιθανότητες P( t ), P( t ) να µεταπέσει σε άλλη κατάσταση; 3.3 Το µόριο της αµµωνίας σε ηλεκτροστατικό πεδίο Πως µπορούµε να διαχωρίσουµε τα µόρια των δυο καταστάσεων ; Το µόριο της αµµωνίας σε µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο Συντονισµός Μεταπτώσεις εκτός συντονισµού maser αµµωνίας Το ιόν + H Το µόριο του υδρογόνου Το µόριο του βενζολίου 8 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο 8 5 Στοιχειώδη σωµατίδια Ποια είναι πραγµατικά τα στοιχειώδη σωµάτια και ποιες είναι οι αλληλεπιδράσεις τους Νόµοι διατήρησης Τα quarks Το Καθιερωµένο Μοντέλο Καόνια ταλαντώσεις K,K 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο Νετρίνα Φυσική των νετρίνων 5.3 Ταλαντώσεις Νετρίνων πειράµατα µε νετρίνα 7 Κοσµολογική σηµασία 4 ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ L I N K S

8 8 Κεφάλαιο ο Κλασική φυσική, Kβαντοµηχανική. Η αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού Η ανάγκη δηµιουργίας της κβαντικής µηχανικής αναδύθηκε από την αποτυχία της κλασικής µηχανικής να ερµηνεύσει φαινόµενα όπως η ακτινοβολία του µέλανος σώµατος, το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, το φάσµα του υδρογόνου, η ατοµική σταθερότητα, το φαινόµενο Compton. To 93 o Bohr παρουσίασε το µοντέλο του για το άτοµο του υδρογόνου, συνδύασε όµως κλασικές και νέες ιδέες που ήταν ασυµβίβαστες µε την κλασική θεωρία.και ενώ απάντησε σε µερικά ερωτήµατα, προκάλεσε άλλα τόσα. Χρειάζονταν πιο δραστικές αποκλίσεις από τις κλασικές έννοιες. Έτσι προέκυψε η θεωρία που ονοµάζεται κβαντική µηχανική, ο φορµαλισµός της οποίας παρουσιάστηκε γύρω στο 95. Πρόκειται για το αποτέλεσµα µιας απίστευτης συνεργασίας ευφυιών ανθρώπων όπως οι Louis de Broglie, Schrödinger, Heisenberg, Max Born, Dirac, Pauli, και Hilbert.Ποτέ πριν, στη φυσική, δεν υπήρξε τέτοια συνεργατική προσπάθεια να βρεθούν ιδέες για να εξηγήσουν φυσικά φαινόµενα. Την κατάρρευση της κλασικής φυσικής στα φαινόµενα του µικρόκοσµου προκάλεσε η αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού []. Η κλασική φυσική χαρακτηρίζεται από µια απόλυτη διχοτόµηση του κόσµου σε δυο αλληλοαποκλειόµενες φυσικές οντότητες : τα σωµατίδια και τα κύµατα η οποία διχοτόµηση δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα. Κλασικά, το σωµατίδιο, ένας τέλεια εντοπισµένος και αδιαίρετος κόκκος ύλης, που κινείται πάνω σε καλά καθορισµένες τροχιές, ενώ το κύµα διαδίδεται σύµφωνα µε τους νόµους της κυµατικής κίνησης, είναι διάχυτο στον χώρο και µπορεί να διασπαστεί σε δυο ξεχωριστά κύµατα που το καθένα τους παίρνει ένα µέρος από την ενέργεια ή την ορµή του αρχικού κύµατος. Επίσης τρέχοντα κύµατα µε διαφορετικά µήκη κύµατος µπορούν να συνδυαστούν για να δηµιουργήσουν εντοπισµένες κυµατικές διαταραχές στο χώρο, τα κυµατοπακέτα.

9 9 Με λίγα λόγια, κλασικά, ένα σωµατίδιο είναι εντοπισµένο και αδιαίρετο ενώ ένα κύµα είναι εκτεταµένο και διαιρετό ενώ παράλληλα µπορεί να δηµιουργεί εντοπισµένα κυµατοπακέτα. Με την υπόθεση του Einstein για τα φωτόνια, αυτή η κλασική διχοτόµηση του κόσµου φαίνεται να καταρρέει. Μια φυσική οντότητα όπως το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο, που στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής έχει αποκλειστικά κυµατικό χαρακτήρα, αποκτά ταυτόχρονα και σωµατιδιακό. Η διάκριση σωµατίδιο-κύµα δεν είναι και τόσο απόλυτη. Έτσι φτάνουµε στην περίφηµη αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού της ύλης (de Broglie [3], 93) : Όλα τα φυσικά σωµατίδια έχουν και κυµατικό χαρακτήρα ταυτόχρονα. Οι σχέσεις που συνδέουν τα σωµατιδιακά χαρακτηριστικά Ε και p µε τα κυµατικά f και λ είναι οι h E= hf p= λ () ή f E h = λ= h p () Σύµφωνα µε την (), ένα ΗΜ κύµα, συχνότητας f και µήκους κύµατος λ συµπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως ρεύµα σωµατιδίων, ένα ρεύµα φωτεινών κβάντων, που το κάθε ένα τους έχει ενέργεια E = hf και ορµή p= h / λ. Ενώ σύµφωνα µε την (), ένα σωµατίδιο ενέργειας Ε και ορµής p συµπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύµα µε συχνότητα f = E / h και µήκος κύµατος λ= h / p. Και στις δυο περιπτώσεις το h είναι µια παγκόσµια σταθερά η σταθερά του Plank, η οποία είναι συνδετικός κρίκος που ενώνει τις δύο ασυµβίβαστες όψεις των πραγµάτων την κυµατική και τη σωµατιδιακή. Μπορούµε να γράψουµε αντί των σχέσεων () τις σχέσεις E= ħω p k ό h, = ħ που ħ = π (3) Υπενθυµίζουµε ότι οι ποσότητες ω (κυκλική συχνότητα ) και k (κυµατάριθµος ) ορίζονται ως ω= π k = π Τ, λ

10 και η χρησιµότητα τους βρίσκεται στο γεγονός ότι µπορούµε να γράψουµε την συνήθη έκφραση ενός ηµιτονοειδούς κύµατος π π π u( x, t) = A sin( x π f t) = A sin( x t) λ λ T στην απλούστερη µορφή u( x, t) = A sin(kx ωt) όπου οι ποσότητες kxκαι ω t δηλώνουν µετατόπιση φάσης ϕ που προκύπτει από µια µετακίνηση στο χώρο κατά x ή µια µετακίνηση στο χρόνο κατά t. Η κυµατική αναπαράσταση ενός κινούµενου σωµατιδίου αντιστοιχεί σε ένα πακέτο κυµάτων. Το κυµατοπακέτο αυτό είναι ένα κύµα που προκύπτει µε επαλληλία (υπέρθεση) δύο ή περισσοτέρων κυµάτων διαφορετικών µηκών κύµατος και το οποίο ταξιδεύει µε την ίδια ταχύτητα που κινείται το σωµατίδιο.. Κύµα πιθανότητας, πλάτος πιθανότητας Θεωρώντας την αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού ως τον θεµελιώδη νόµο της κβαντοµηχανικής έχουµε δυο ερωτήµατα : o πως µπορούµε την φυσική οντότητα φως που είναι κύµα - η κυµατική περιγραφή γίνεται µε τις εξισώσεις Maxwell - να την περιγράψουµε ταυτόχρονα και ως σωµατίδιο; o η σωµατιδιακή περιγραφή εκφράζεται από την εξίσωση του Νεύτωνα πως θα δοθεί και η κυµατική περιγραφή;

11 Με άλλα λόγια η κβαντική αναδόµηση της κλασικής φυσικής έθεσε δυο παράλληλα και αλληλένδετα ζητήµατα: την «κβάντωση» της κλασικής ηλεκτροµαγνητικής θεωρίας και την «κβάντωση» της νευτώνειας µηχανικής. Ενώ πάντα ηχεί αλλόκοτο το πως είναι δυνατόν να συνυπάρχουν στο ίδιο φυσικό αντικείµενο κλασικά ασυµβίβαστες ιδιότητες κύµατος και σωµατιδίου [4] ; Τελικά η δηµιουργία µιας συνεπούς κβαντικής θεωρίας του φωτός της κβαντικής ηλεκτροδυναµικής, ολοκληρώθηκε επιτυχώς γύρω στα Η δε κβάντωση της νευτώνειας µηχανικής, η κβαντοµηχανική, ήταν ήδη έτοιµη από το έτος 97 µαζί µε τη φυσική της ερµηνεία.: Την περίφηµη σήµερα στατιστική (ή πιθανοκρατική) ερµηνεία, σύµφωνα µε την οποία η συνύπαρξη κυµατικών και σωµατιδιακών ιδιοτήτων στο ίδιο φυσικό αντικείµενο γίνεται µόνο µε την ερµηνεία του κύµατος ως κύµατος πιθανότητας. ηλαδή ως ενός πολύ αφηρηµένου µαθηµατικού κύµατος που δεν αντιπροσωπεύει µια µετρήσιµη φυσική διαταραχή αλλά µόνο την πιθανότητα να βρούµε το σωµατίδιο στη µία ή στην άλλη περιοχή του χώρου ή στην µια ή στην άλλη κατάσταση φυσικών ιδιοτήτων. Ο τρόπος που υπολογίζουµε την πιθανότητα π.χ. ένα ηλεκτρόνιο να βρεθεί στη θέση y, γίνεται µε βάση την πρώτη αρχή της κβαντοµηχανικής, η οποία παραδέχεται την ύπαρξη µιας µιγαδικής συνάρτησης ψ, του πλάτους πιθανότητας ή «κυµατοσυνάρτησης», η οποία περιγράφει πλήρως το σύστηµα και της οποίας το τετράγωνο του µέτρου είναι η πυκνότητα πιθανότητας. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα η ψ είναι συνάρτηση της συντεταγµένης y, δηλαδή ψ (y) και ψ (y) dy είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωµάτιο στη περιοχή dy γύρω από τη θέση y. Η ψ δεν προσδιορίζει µονοσήµαντα το αποτέλεσµα µιας µέτρησης αλλά το ποσοστό εµφάνισης όλων των πιθανών αποτελεσµάτων. ηλαδή πριν πάρουµε τη µέτρηση δεν γνωρίζουµε ακριβώς την τιµή του µετρούµενου µεγέθους αλλά την πιθανότητα που έχει αυτό να πάρει κάθε µια από τις δυνατές τιµές του.θα αναφερθούµε αναλυτικά σε επόµενες παραγράφους. Η κβαντοµηχανική των σωµατιδίων περιγράφει µεταξύ των άλλων πως κινούνται τα ηλεκτρόνια στα άτοµα και έχει εποµένως την δυνατότητα να προσφέρει πειστικές

12 εξηγήσεις σε εκείνο ακριβώς το πρόβληµα που προκάλεσε µηχανικής, το πρόβληµα της ατοµικής δοµής. την πτώση της κλασικής.3 Κλασική φυσική Κβαντοµηχανική H κβαντοµηχανική είναι η θεωρία που περιγράφει και προβλέπει φαινόµενα που η κλασική µηχανική και η κλασική ηλεκτροδυναµική αδυνατούν να αναλύσουν, όπως: o Την κβάντωση πολλών φυσικών ποσοτήτων, όπως για παράδειγµα της ενέργειας, στην κίνηση του ηλεκτρονίου µόνο σε συγκεκριµένες ενεργειακές καταστάσεις σε ένα άτοµο. o Τον κυµατοσωµατιδιακό δυϊσµό, δηλαδή την εκδήλωση, κυµατικής συµπεριφοράς από σωµατίδια ύλης. o Την κβαντική επαλληλία, που σχετίζεται µε την περιγραφή της κατάστασης ενός συστήµατος από γραµµική επαλληλία καταστάσεων. o Το φαινόµενο σήραγγος, χάρη στο οποίο σωµατίδια µπορούν να υπερπηδήσουν φράγµατα δυναµικού γεγονός απαγορευµένο από την κλασική µηχανική. Η κλασική µηχανική θεωρείται οριακή περίπτωση της κβαντοµηχανικής αφού όταν µελετώνται µακροσκοπικά σώµατα, οι νόµοι που περιγράφουν τα κβαντικά φαινόµενα συγκλίνουν µε τους νόµους της κλασικής µηχανικής. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της αντιστοιχίας, που αρχικά διατύπωσε ο Νiels Bohr. Η κβαντοµηχανική σε έναν αιώνα πειραµατισµού δεν έχει διαψευστεί. Κρύβεται πίσω από πολλά φυσικά, χηµικά φαινόµενα, τη φυσική της στερεάς κατάστασης, στα άστρα, στην εξέλιξη του σύµπαντος, στις κοσµικές ακτίνες, στα ηλεκτρονικά, στην οπτική, στους επιταχυντές..4 Η αρχή του κυµατοσωµατιαδιακού δυϊσµού σήµερα Μετά την πειραµατική επιβεβαίωση της κυµατικής φύσης των ηλεκτρονίων, µια αλυσίδα νέων πειραµάτων υπέβαλε σε εµπειρικό έλεγχο και την κυµατική φύση όλων των άλλων γνωστών σωµατιδίων. έσµες σωµατιδίων πχ ηλεκτρονίων ή νετρονίων, πρωτονίων, µιονίων αποτελούν σήµερα ένα εργαλείο της «µικροσκοπίας» εξίσου κοινό µε τις φωτεινές δέσµες.

13 «Βλέπουµε» πλέον όχι µόνο µε φως µε φωτεινά κύµατα- αλλά και µε µια, διαρκώς διευρυνόµενη, ποικιλία υλικών κυµάτων. 3 o Τι γίνεται µε την άλλη πλευρά του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού, τη σωµατιδιακή φύση φυσικών οντοτήτων τις οποίες θεωρήσαµε πριν αποκλειστικά ως κύµατα; o Ποια άλλα κύµατα εκτός από τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα υπάγονται σε αυτή την κατηγορία; Πρόκειται για τα πεδιακά κύµατα που αντιστοιχούν σε όλες τις θεµελιώδεις δυνάµεις της φύσης. Εποµένως η βαρυτική αλληλεπίδραση θα πρέπει να διαδίδεται στον χώρο µε κύµατα βαρύτητας, η ισχυρή πυρηνική µε κύµατα ισχυρής δύναµης και η ασθενής αλληλεπίδραση µε αντίστοιχα ασθενή κύµατα. Και αφού η αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού έχει καθολική ισχύ, όλα αυτά τα κύµατα έχουν ταυτόχρονα και σωµατιδιακή υπόσταση δίπλα στην κυµατική. Έτσι, αν η ηλεκτροµαγνητική δύναµη έχει ως σωµατιδιακό φορέα το φωτόνιο, αντίστοιχα σωµατίδια-φορείς θα πρέπει να υπάρχουν και για τις άλλες θεµελιώδεις δυνάµεις της φύσης. Υπάρχουν όντως αυτά τα σωµατίδια; Για τις ισχυρές και τις ασθενείς πυρηνικές δυνάµεις τα σωµατίδια φορείς έχουν πράγµατι ανακαλυφθεί και αποτελούν πλέον οργανικό τµήµα της σηµερινής φυσικής. Οι ισχυρές δυνάµεις έχουν ως φορέα τους τα λεγόµενα γλοιόνια (gluons), ενώ οι ασθενείς δυνάµεις φέρονται από τα σωµατίδια W± και Είναι µάλιστα ενδιαφέρον να σηµειώσουµε ότι λόγω της πολύ µικρής τους εµβέλειας αυτές οι δυο θεµελιώδεις δυνάµεις δεν έχουν τη δυνατότητα να πραγµατοποιηθούν ως κλασικές αλληλεπιδράσεις µε αντίστοιχα ισχυρά ή ασθενή κύµατα- και µας γίνονται γνωστές κατευθείαν στο κβαντικό επίπεδο. ηλαδή ως κβαντικά πεδία που φέρονται από αντίστοιχα σωµατίδια-φορείς. Z. Η αρχή του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού είναι σήµερα τόσο εδραιωµένη όσο και κάθε άλλη αρχή της σύγχρονης φυσικής.

14 4 Κεφάλαιο ο Βασικές έννοιες και φορµαλισµός. Κβαντοµηχανική κατάσταση Η κβαντική θεωρία περιλαµβάνει δυναµικές µεταβλητές όπως τη θέση, την ορµή, το χρόνο, την ενέργεια όσο και καταστάσεις ενός φυσικού συστήµατος. Η θεωρία, ωστόσο, δεν περιέχει φυσικές καταστάσεις στις οποίες όλες οι δυναµικές µεταβλητές έχουν ακριβείς µετρήσεις. Για παράδειγµα, κάθε κατάσταση όπου η θέση είναι πλήρως ορισµένη, αποτελεί µια κατάσταση όπου η ορµή είναι τελείως απροσδιόριστη. Η κβαντική θεωρία µπορεί να καθορίσει την ακρίβεια µε την οποία κάθε επιτρεπτή κατάσταση µπορεί να καθορίσει τη θέση και την ορµή, όπως επίσης την ενέργεια και το χρόνο.. ιάνυσµα κατάστασης - συµβολισµός Dirac Η κβαντοµηχανική αντικαθιστά την κλασική περιγραφή της κατάστασης ενός συστήµατος π.χ. ενός ηλεκτρονίου, µε ένα διάνυσµα κατάστασης ενός ειδικά ορισµένου χώρου που ονοµάζεται χώρος Hilbert. Το σύµβολο ψ είναι το διάνυσµα κατάστασης της κατάστασης ψ και παίζει τον ίδιο ρόλο στην κβαντοµηχανική όπως το συνηθισµένο διάνυσµα στην κλασική µηχανική. Για την αναπαράσταση του χρησιµοποιείται ο φορµαλισµός του Dirac. Το ψ ονοµάζεται ket-ιδιοδιάνυσµα και το ψ ονοµάζεται bra-ιδιοδιάνυσµα (συζυγής ποσότητα). Ένα κλασικό διάνυσµα π.χ της επιτάχυνσης α, δείχνει την επιτάχυνση ενός σωµατιδίου χωρίς να καταδεικνύει τον προσανατολισµό του συστήµατος συντεταγµένων στο οποίο µετρήθηκε. Το διάνυσµα κατάστασης ψ δείχνει την κατάσταση του συστήµατος ανεξάρτητα από την βάση ή την αναπαράσταση στην οποία κάποιος το εκφράζει.

15 5.3 Πλάτος πιθανότητας Με τη χρήση των bra και ket και αν η αρχική κατάσταση είναι x και η τελική κατάσταση είναι ψ, το πλάτος πιθανότητας να µεταβεί από την x στην ψ γράφεται ψ x. Είναι εντελώς διαφορετικό από τον προσανατολισµό αρχική κατάσταση ψ, τελική x. Παρόλα ταύτα αυτά τα δυο πλάτη (οι προσανατολισµοί) συνδέονται µε τη σχέση ψ x = x ψ..4 Βάση, παράσταση του διανύσµατος κατάστασης ως γραµµικού συνδυασµού καταστάσεων βάσης Σε ένα µιγαδικό διανυσµατικό χώρο Ν διαστάσεων θα ονοµάζουµε ένα σύνολο Ν διανυσµάτων {,,..., N } βάση αν µε µοναδικό τρόπο µπορούµε να γράψουµε ένα τυχαίο διάνυσµα του χώρου αυτού α =α +α α N = α n. N n n= N Η κατάσταση ενός συστήµατος π.χ. ενός ηλεκτρονίου, περιγράφεται από το διάνυσµα ψ. Τα διανύσµατα βάσης αντιστοιχούν σε διακριτές καταστάσεις του συστήµατος (π.χ.,, 3,. n ) τέτοιες ώστε κάθε πιθανή κατάσταση που µπορεί να βρεθεί το σύστηµα να παρίσταται ως γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων βάσης. Κατ αναλογία µε τα διανύσµατα του Ευκλείδειου χώρου, κάθε διάνυσµα κατάστασης γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων βάσης. ψ = i i i ψ όπου ψ i το πλάτος πιθανότητας το σύστηµα που βρίσκεται στην κατάσταση ψ να βρίσκεται επίσης και στην κατάσταση i.

16 Λόγω της αναλογίας αυτής οι κβαντοµηχανικές καταστάσεις αναφέρονται ως διανύσµατα κατάστασης. Σε ένα διανυσµατικό χώρο µπορούµε να έχουµε διαφορετικές βάσεις. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε τη βάση { α, α,..., α N } και τη βάση { N } b, b,..., b. Για τα διανύσµατα κάθε µιας απ αυτές ισχύουν οι σχέσεις ορθοκανονικότητας και πληρότητας : α α =δ α α = Î i j ij i j i= N, b b =δ b b = ˆI i j ij i j i= Το πλάτος πιθανότητας µια κατάσταση βάσης να συµπίπτει µε µια άλλη κατάσταση ισούται µε δ ij, δ - Kronecker, δηλαδή : N 6 i j =δ i j µε δ = i j όταν οι καταστάσεις είναι ταυτόσηµες σ άλλη περίπτωση Το πλάτος πιθανότητας ώστε το σύστηµα που βρίσκεται στην κατάσταση βάσης j να βρίσκεται και στην κατάσταση βάσης i είναι µηδέν. Ή µε άλλα λόγια όταν η πιθανότητα προβολής για κάποια κβαντική κατάσταση j, σε µια άλλη κατάσταση i είναι µηδέν, λέµε ότι η i είναι ορθογώνια στην κατάσταση j j i = ενώ i i = Σε κάθε πλήρες σετ x φ + φ x =. Μπορούµε να γράψουµε C i ψ = i όπου i i C πλάτη πιθανότητας Ci = i ψ Τα διανύσµατα βάσης αντιστοιχούν σε διακριτές καταστάσεις του συστήµατος (π.χ.,, 3,..., n ) τέτοιες ώστε : κάθε πιθανή κατάσταση που µπορεί να βρεθεί το σύστηµα να περιγράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων βάσης επί κάποιους συντελεστές που είναι το πλάτος πιθανότητας το σύστηµα να βρίσκεται στη συγκεκριµένη κατάσταση βάσης.

17 7 Το πλήθος των καταστάσεων βάσης εξαρτάται από τη φυσική του συστήµατος καταστάσεις βάσης θα πρέπει να αποτελούν ορθοκανονικό και πλήρες σύνολο. αλλά οι Αν το ψ και το ϕ είναι δύο διανύσµατα καταστάσεων, το πλάτος πιθανότητας το ψ να εξελιχθεί και να γίνει ϕ αντιστοιχεί στο εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων ϕ ψ = ϕ i i i ψ () Μια κατάσταση βάσης είναι ανεξάρτητη από το χρόνο. Η σχέση () αληθεύει για οποιοδήποτε από τις ψ, ϕ διαλέξουµε σαν αρχική και τελική κατάσταση. Μπορούµε να πάµε από τη µια βάση στην άλλη, αν για καθένα από τα διανύσµατα b i γράψουµε όπου N N b = b δ = b α α = Uˆ α i j ij j j i i j= j= N b j j ο τελεστής, (θα εξηγήσουµε σε επόµενη παράγραφο τους j= Û= α τελεστές), που µετασχηµατίζει τα διανύσµατα της µιας βάσης στα ανύσµατα της άλλης. Έστω κάποιο τυχαίο άνυσµα f στη βάση α i γράφεται f fi i όπου fi i i= = α = α f οι συνιστώσες του. Στη βάση b i γράφεται f fi bi i= = και οι συνιστώσες του είναι N N i = i = j α j α j = ji j j= j= f b f b f U f.

18 8.5 Αναλογία ανάµεσα στα µοναδιαία διανύσµατα και στα διανύσµατα κατάστασης Μοναδιαίο διάνυσµα Â Σε επίπεδο -διαστάσεων xy Ανάλυση σε xy συντεταγµένες Aˆ = x(x ˆ ˆ A) ˆ + y(y ˆ ˆ A) ˆ Ή σε x y Aˆ = x ˆ (xˆ A) ˆ + y ˆ (yˆ A) ˆ Ή γενικά σε οποιοδήποτε σύστηµα ορθογωνίων συντεταγµένων Aˆ = ˆi(i ˆ A) ˆ ολα i Ορθογωνιότητα µε (i ˆ A) ˆ πάντα πραγµατικά Τα µοναδιαία διανύσµατα σε κάθε σύστηµα συντεταγµένων είναι κάθετα Π.χ ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ) x y = x y = ιάνυσµα κατάστασης ψ Ανάλυση ψ σε xy αναπαράσταση ψ = x x ψ + y y ψ Ή σε x y ψ = x x ψ + y y ψ Ή γενικά σε οποιοδήποτε σύστηµα ορθογωνίων καταστάσεων ψ = ολα i µιγαδικά i i ψ µε i ψ µπορεί και Οι καταστάσεις βάσης σε κάθε αναπαράσταση είναι ορθογώνιες x y = Πληρότητα Το άθροισµα των τετραγώνων των συνιστωσών του Âδίνει µονάδα. ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) x A + y A = sin θ+ cos θ= Το άθροισµα των τετραγώνων των πλατών προβολής του ψ σε οποιοδήποτε πλήρες σύστηµα καταστάσεων δίνει µονάδα x ψ + y ψ =

19 9.6 Κυµατοσυνάρτηση Όπως ακριβώς το διάνυσµα κατάστασης περιγράφει συνολικά την κατάσταση του σωµατιδίου έτσι και η κυµατοσυνάρτηση εµπεριέχει όρους που µεταφέρουν όλη την απαιτούµενη πληροφορία για να περιγραφεί η κατάσταση που βρίσκεται το φυσικό σύστηµα. Το σύµβολο n ket συµβολίζει την κατάσταση κυµατοσυνάρτησης ποσότητα ψnσυµβολίζεται µε το bra n. Χρησιµοποιούµε την m n ψmψndτ και είναι m n =δ mn. σύµβαση ψ n. Η συζυγής Ορίζουµε ως κυµατοσυνάρτηση το πλάτος πιθανότητας ( ) ( ) ψ x C x = x ψ ψ το διάνυσµα κατάστασης ψ ενός σωµατίου να αντιστοιχεί στον εντοπισµό του σωµατίου γύρω από τη θέση x (η πιθανότητα να βρίσκεται το σωµάτιο σε συγκεκριµένη θέση είναι. µηδέν ) σε περιοχή [ x x /, x+ x / ] Η πιθανότητα είναι ( ) = ψ = ψ( ) prob x, x x x x x Το µέτρο του πλάτους πιθανότητας στο τετράγωνο όσο και το µέτρο της µε x. κυµατοσυνάρτησης στο τετράγωνο συµπεριφέρεται όπως ακριβώς και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στη στατιστική δηλαδή πιθανότητα ανά µονάδα µήκους ή όγκου ( ) = ψ ( ) =ψ ( ) ψ ( ) P x x x x να βρούµε το σωµατίδιο σε µια περιοχή του χώρου. Για να έχει νόηµα η ερµηνεία θα πρέπει το άθροισµα των πιθανοτήτων ευρέσεως του σωµατιδίου σε κάθε µέρος του σύµπαντος να είναι µονάδα, δηλαδή ψ ( x) ψ ( x) dx =. Παραλείψαµε τη χρονική µεταβλητή επειδή όσον αφορά τη στατιστική ερµηνεία, ο χρόνος t είναι µόνο µια παράµετρος χωρίς ιδιαίτερη σηµασία. Όταν γράφουµε ψ ( x) θα εννοούµε στιγµιότυπο της κυµατοσυνάρτησης ( x, t) χρονική στιγµή t= t. ψ για µια

20 Ένα κύµα µε καθορισµένη συχνότητα περιγράφεται µε συνάρτηση της µορφής u( x, t) = A sin(kx ω t) ή σε µιγαδική µορφή u ( x, t ) i ( k x ω t ) = e. Ένα υλικό κύµα καθορισµένης ενέργειας και ορµής περιγράφεται από την ψ ( x, t ) = e i ( p x E t ) / ħ Το πλάτος πιθανότητας ένα σωµάτιο καθορισµένης ορµής να βρίσκεται στην θέση x είναι µια µιγαδική συνάρτηση της συντεταγµένης της θέσης : ( ) x ψ = C x e i p x / ħ Αυτή η σχέση συνδέει τις καταστάσεις βάσης που αντιστοιχούν σε καθορισµένη ορµή µε τις καταστάσεις που αναφέρονται στη θέση. Ένα παράδειγµα Ας φανταστούµε µια µονοδιάστατη ράβδο και ας υποθέσουµε ότι ξέρουµε τη γραµµική πυκνότητα της µάζης της. Η µάζα πάνω σε ένα υλικό σηµείο της ράβδου είναι µηδέν. Μπορούµε να ορίσουµε τη µάζα που έχει ένα στοιχειώδες τµήµα της ράβδου, αν πολλαπλασιάζουµε το στοιχειώδες τµήµα επί τη γραµµική πυκνότητα. Με τον ίδιο τρόπο ορίζουµε την πιθανότητα και τη συνάρτηση της πυκνότητας πιθανότητας..7 Κυµατοσυνάρτηση δύο σωµατίων Οι καταστάσεις βάσης r, r αντιστοιχούν στις θέσεις καθενός από τα σωµατίδια. Η κυµατοσυνάρτηση ( r r ) ψ, = r, r ψ εκφράζει την κατάσταση του συστήµατος και όχι τα δύο σωµατίδια χωριστά. εν εκφράζει δυο ανεξάρτητα κύµατα (ή δύο ανεξάρτητα κυµατοπακέτα ) σε τρισδιάστατο χώρο αλλά ένα σύνθετο σύστηµα µε δύο αλληλεπιδρώντα µέρη σε ένα χώρο έξι διαστάσεων [5].

21 .8 Εξίσωση Schrödinger Η εξίσωση Schrödinger προτάθηκε το 95 για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση κβαντοµηχανικών συστηµάτων. Για την εξαγωγή της εξίσωσης Schrödinger θα χρησιµοποιήσουµε τα πιο κάτω επιχειρήµατα που µε κανένα τρόπο δεν συνιστούν απόδειξη, γιατί η κβαντοµηχανική δεν προκύπτει από την κλασική κυµατική. Η κβαντοµηχανική βασίζεται πάνω σε ορισµένα αιτήµατα, η ισχύς των οποίων µπορεί να επιβεβαιωθεί µόνον από την ακρίβεια των προβλεποµένων αποτελεσµάτων. Από την κλασική µηχανική γνωρίζουµε ότι η σχέση που συνδέει την ορµή και την ταχύτητα ενός σωµατιδίου µέσα σε ένα διατηρητικό πεδίο µε δυναµικό V είναι p E= + V και λόγω της E= ħ ω m p ħ ω= + V () m σχέση που ισχύει για σωµάτια, πλην φωτονίων, µε µάζα ηρεµίας m και υπό συνθήκες για τις οποίες η κινητική ενέργεια είναι µικρότερη από V =. mc. Ας θεωρήσουµε ελεύθερο σωµάτιο καθορισµένης ενέργειας και ορµής, στην () Ένα κλασικό κύµα που ταξιδεύει στην +x διεύθυνση περιγράφεται από την u( x, t) = A sin(kx ω t). Η u(x, t)µπορεί να είναι µετατόπιση,πίεση,ηλεκτρικό πεδίο κ.λ.π. σαν συνάρτηση της θέσης και του χρόνου. Αν την παραγωγίσουµε προκύπτουν οι : u = ka cos(kx ω t) x και Από τις οποίες συµπεραίνουµε ότι κύµατος. u = ω A cos(kx ω t) t u k u u = = x ω t υ t όπου υ η ταχύτητα του Εύκολα επαληθεύεται ότι οποιαδήποτε διαταραχή της µορφής f (x υ t) µπορεί να είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης. Υπάρχει όµως το πρόβληµα της διάδοσης του κύµατος κατά την αντίθετη διεύθυνση, αφού η f (x+υ t) επαληθεύει την u u =+ x υ t.

22 u u Αν θεωρήσουµε την διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης = () µπορούµε να x υ t έχουµε σαν λύσεις κύµατα που ταξιδεύουν και προς τις δύο κατευθύνσεις. Η () από ότι ήδη γνωρίζουµε, εκφράζει την φυσική του προβλήµατος. κυµατάριθµο k Κατ αντιστοιχία, µε σκοπό να περιγράψουµε ένα σωµατίδιο-κύµα µε = pħ και συχνότητα ω=εħ χρησιµοποιούµε την Ψ ( x, t) = A sin(kx ω t).(3) Και αφού το k είναι ανάλογο της ορµής, για να έχουµε και τις δυο κατευθύνσεις διάδοσης παίρνουµε την δεύτερη παράγωγο Ψ k A sin(kx t) = ω x (4) ενώ στην διαφόριση ως προς το χρόνο µόνο την πρώτη παράγωγο Ψ = ω A cos(kx ω t) t (5) αφού ω=ħ k. m i(kx ωt) Αν αντί της (3) πάρουµε την ( x, t) Ae Ψ = δεν θα έχουµε ηµιτονοειδείς και συνηµιτονοειδείς εξισώσεις όπως είναι οι (4) και (5), αλλά θα έχουµε τις : Ψ = x i(kx ωt) p k Ae Ψ = ω i Ae t = Ψ ħ i(kx ωt) ie = Ψ ħ (6) και (7). Συνδυάζοντας τις (6) και (7) προκύπτει η Ψ x me m Ψ = Ψ= i ħ ħ t (8). Γενικά, όταν η ολική ενέργεια περιλαµβάνει και όρους δυναµικής ενέργειας, βάζουµε ( ) p = m E V =ħ k. Και έτσι η (8) γίνεται Ψ x ( ) m E V m Ψ m = Ψ= i + VΨ ħ ħ t ħ,

23 3 η οποία µπορεί να γραφεί µε δυο διαφορετικούς τρόπους : ħ Ψ + VΨ= EΨ m x (9) ħ Ψ Ψ + VΨ= iħ () m x t Η (9) είναι η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger σε µια διάσταση, και είναι η βάση της ανάλυσης των στάσιµων καταστάσεων των ατοµικών συστηµάτων. Ενώ η () είναι η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger που χρησιµοποιείται σε προβλήµατα όπως η κίνηση σωµατιδίων από θέση σε θέση. Ένα υλικό κύµα καθορισµένης ενέργειας και ορµής και για V = περιγράφεται από την ψ ( x, t ) = e i ( p x E t ) / ħ ψ ħ ψ iħ =. t m x που ικανοποιεί, λόγω της (), την εξίσωση Schrödinger V r t (, ) Γενικά, για σωµατίδιο µάζας m µε δυναµική ενέργεια που δίνεται από την, περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger, η χρονική εξέλιξη της Ψ( r, t) Η Ψ( r, t) Ψ ħ t ( r, t) ħ = Ψ + Ψ m i r, t V r, t r, t ( ) ( ) ( ) παίρνει αναγκαστικά µιγαδικές τιµές, αν ήταν πραγµατική συνάρτηση, το δεύτερο µέλος στην εξίσωση θα ήταν καθαρά πραγµατικό, ενώ το πρώτο καθαρά φανταστικό. Η κυµατοσυνάρτηση δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικά παρατηρήσιµο κλασικό κύµα αλλά ένα «κύµα πιθανότητας». Η πιθανότητα να βρούµε το σωµατίδιο που περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ ( x) στο διάστηµα dx γύρω από το x, είναι ( x) ψ dx.

24 4.9 Αρχή της επαλληλίας ( υπέρθεσης ) Η εξίσωση Schrödinger είναι γραµµική άρα αν ψ, ψ είναι δύο κυµατοσυναρτήσεις λύσεις τότε και ο γραµµικός συνδυασµός ψ=αψ +βψ όπου α, β µιγαδικοί αριθµοί, είναι κυµατοσυνάρτηση λύση. Ο συνδυασµός αυτός είναι συνδεδεµένος µε το κυµατικό φαινόµενο της συµβολής.. Τελεστές, τελεστής Hamilton Για κάθε δεδοµένη κυµατοσυνάρτηση ψ η µέση τιµή των αποτελεσµάτων των µετρήσεων ενός τυχόντος φυσικού µεγέθους Α δίνεται από τον τύπο ( ˆ ) Aˆ = ψ Aψ dx όπου ο ˆΑ κατάλληλος για το κάθε φυσικό µέγεθος τελεστής. Τελεστής είναι απλώς µια οδηγία πράξης π.χ. πολ/σµου, διαφόρισης κλπ. Γενικά µε τον τελεστή π.χ. ˆQ, ορίζουµε τον κανόνα µε τον οποίο µια συνάρτηση f σχετίζεται µε µια άλλη συνάρτηση φ. Συµβολικά γράφουµε: f = Qˆ φ. Το σύµβολο ενός τελεστή κρύβει σύνθετους υπολογισµούς µε τους οποίους η αρχική συνάρτηση ( φ ) µετασχηµατίζεται σε µια άλλη συνάρτηση f. Ο τελεστής x αντιστοιχεί στη θέση και εκφράζει πολλαπλασιασµό επί τη συντεταγµένη x. Η γραµµική ορµή θα ερµηνευθεί ως τελεστής παραγώγισης ως προς x, ή ακριβέστερα ˆp = iħ x Η κβαντική µηχανική απαιτεί να κάνουµε τους υπολογισµούς µας µε τους τελεστές, οι οποίοι αντιστοιχούν στα παρατηρήσιµα µεγέθη και όχι µε αυτές καθαυτές τις παρατηρήσιµες ποσότητες. Σε κάθε παρατηρήσιµο µέγεθος αντιστοιχεί ένας γραµµικός ερµιτιανός τελεστής.

25 Το αποτέλεσµα της µέτρησης ενός παρατηρήσιµου µεγέθους είναι µια από τις ιδιοτιµές του τελεστή που αντιστοιχεί αυτό το παρατηρήσιµο µέγεθος. Η συνθήκη ότι οι τελεστές είναι ερµιτιανοί προκύπτει από την απαίτηση ότι τα αποτελέσµατα µιας µέτρησης πρέπει να είναι πραγµατικές ποσότητες. Ο τελεστής Â περιγράφεται από πίνακα Aij 5 i Aˆ j όπου το A ij είναι το στοιχείο του πίνακα Α που βρίσκεται στην i γραµµή και στην j στήλη, Ο πίνακας αναπαριστά τον τελεστή στη βάση ιδιοδιανυσµάτων του, µε την ίδια έννοια που µια στήλη αριθµών (οι συντεταγµένες) αναπαριστάνει ένα διάνυσµα. A A Aj A = Ai Ai Aij ij i j i j j i ji και ( ) ( ) ( ) A = ψ, Aψ = A ψ, ψ = ψ, Aψ = A δηλαδή τα συµµετρικά ως προς τη διαγώνιο στοιχεία είναι συζυγείς µιγαδικοί. Σε ειδικές περιπτώσεις, ένας τελεστής µπορεί να παριστάνει τον πολλαπλασιασµό της αρχικής συνάρτησης φ µε µια συνάρτηση U. ηλαδή: f = Uˆ φ= Uφ. Σε αυτή την περίπτωση: Uˆ = U. Αν θεωρήσουµε την συνάρτηση της δυναµικής ενέργειας U σαν τελεστή του οποίου η επίδραση στη συνάρτηση Ψείναι να την πολλαπλασιάσει επί U, η εξίσωση του Schrödinger : ħ m Ψ+ UΨ= EΨ γίνεται: ĤΨ= EΨ. Στην παραπάνω σχέση το σύµβολο Ĥ είναι τελεστής άθροισµα του τελεστή της κινητικής ενέργειας µε τον τελεστή της δυναµικής ενέργειας και ονοµάζεται Hamiltonian. Κλασικά ως χαµιλτονιανή ονοµάζουµε τη συνάρτηση την ολική ενέργεια και είναι το παρατηρούµενο µέγεθος. p H= H(x, p) = + V(x) που δίνει m

26 6 Ορίζουµε τον τελεστή Ĥ κατ αντιστοιχία της ολικής ενέργειας, αντικαθιστώντας φυσικές ποσότητες µε τελεστές, p pˆ = iħ ( x) pˆ pˆ pˆ = = iħ iħ = ħ x x x και έχουµε ˆp ħ Ĥ r, t V r, t V r, t m m ( ) = + ( ) = + ( ) Και η τρισδιάστατη εξίσωση Schrödinger είναι ψ i = ħ ψ ħ ψ+ V( r m ) ψ, Ĥψ= iħ t t ψ Ĥψ= iħ t οπότε Η εφαρµογή του τελεστή Hamilton στο διάνυσµα κατάστασης ψ εκφράζει τη δυναµική αλληλεπίδρασης και κατά συνέπεια τη µεταβολή του διανύσµατος κατάστασης. d i Hˆ Έτσι η ħ dt ψ = ψ δίνει τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης ψ και παίζει κεντρικό ρόλο στην κβαντοµηχανική θεωρία, µε σηµασία ανάλογη του δεύτερου νόµου του Νεύτωνα στην κλασική µηχανική. Για τις κυµατοσυναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση HΨ= EΨ η µέση ενέργεια του σωµατιδίου είναι ίση µε Ε και η αντίστοιχη αβεβαιότητα ίση µε µηδέν.. Ιδιοτιµές ιδιοδιανύσµατα Έστω τελεστής Â µε δυο διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις : ψ α µε ιδιοτιµή a α και ψ β µε ιδιοτιµή a β. Ισχύει δηλαδή Aˆ ψ = a ψ, Aˆ ψ = a ψ α α α β β β ή µε φορµαλισµό Dirac Aˆ α = a α, Aˆ β = a β α Το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός τελεστή συνοψίζεται στην εξίσωση Â α =λα α η οποία εντοπίζει εκείνα τα διανύσµατα του χώρου επάνω στα οποία εάν δράσει ο τελεστής θα τα πολλαπλασιάσει µε έναν αριθµό. β ()

27 Στην περίπτωση που ο τελεστής είναι ερµιτιανός, οι ιδιοτιµές του είναι πραγµατικοί αριθµοί, και τα ιδιοδιανύσµατα συγκροτούν µια πλήρη και ορθοκανονική βάση στο διανυσµατικό χώρο Ν διαστάσεων. Σε κάθε καλώς ορισµένο µέγεθος της φυσικής, όπως η θέση, η ορµή, η ενέργεια ενός κλειστού συστήµατος, η στροφορµή, ο αριθµός των σωµατιδίων κλπ. αντιστοιχεί ένας ερµιτιανός τελεστής, έστω Â. Η κατάσταση του συστήµατος 7 αντιστοιχεί σε κάποιο από τα διανύσµατα του χώρου στον οποίο ορίζεται ο εν λόγω τελεστής. Σε µια µέτρηση του µεγέθους Α αυτό το οποίο θα προκύψει θα είναι κάποια, ας πούµε λ α από τις τιµές του αντίστοιχου τελεστή (οι οποίες, ως πειραµατικώς προσδιορίσιµες ποσότητες, είναι πραγµατικοί αριθµοί). Αµέσως µετά την µέτρηση η κατάσταση του συστήµατος µας αντιπροσωπεύεται από το ιδιοδιάνυσµα α του τελεστή. Πριν από την µέτρηση το µόνο που µπορούµε να πούµε είναι ότι η κατάσταση του συστήµατος µας είναι ένας γραµµικός συνδυασµός όλων των ιδιοδιανυσµάτων του τελεστή Â. Είναι δηλαδή, µια επαλληλία όλων των δυνατών αποτελεσµάτων που µπορούν να προκύψουν αν µετρηθεί το µέγεθος Α. Αυτό το οποίο δεχόµαστε είναι ό,τι η κατ αυτόν τον τρόπο οριζόµενη κατάσταση εξαντλεί όλη την πληροφορία που µπορούµε να έχουµε για το υπό µελέτη σύστηµα και το περιγράφει πλήρως. εχόµαστε δηλαδή, ότι η φυσική δεν µπορεί να αναφερθεί σε χαρακτηριστικά ενός συστήµατος τα οποία δεν µπορούν να µετρηθούν. Η παραδοχή αυτή διατυπωµένη αλλιώς, µας λέει ότι τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή πρέπει να σχηµατίζουν ένα πλήρες σύνολο διανυσµάτων. Η φορµαλιστική περιγραφή της µέτρησης πραγµατοποιείται χρησιµοποιώντας ως διανύσµατα βάσης τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή { n } για κάθε διάνυσµα κατάστασης N α = c n. n= n Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα µεταξύ τους. Αν δηλαδή Â α i =λi α i τότε αi α j = για i j.

28 Οποιοδήποτε διάνυσµα του χώρου Hilbert µπορεί να αναπτυχθεί στα ιδιοδιανύσµατα οποιουδήποτε αυτοσυζυγούς τελεστή και ισχύει για το διάνυσµα ψ, 8 ψ = ci αi όπου i i c = α ψ i, µε την κατάσταση ψ κανονικοποιηµένη στη µονάδα δηλ. ci. i ψ ψ = = Η µέση τιµή A = ψ Aˆ ψ = λ c i i i και το φυσικό περιεχόµενο των συντελεστών c i δίνεται από το ότι ci είναι η πιθανότητα εύρεσης τιµής i λ για το φυσικό µέγεθος Α όταν το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση που περιγράφεται από το άνυσµα ψ. Ισοδύναµα Α. c i είναι τα πλάτη πιθανότητας να βρεθεί τιµή λ i σε µια µέτρηση του µεγέθους Με τον συµβολισµό του Dirac για τις εξαρτηµένες από τον χρόνο καταστάσεις ψ ( t) η εξίσωση µπορεί να γραφεί: Ĥ t t i t t ( ) ψ ( ) = ħ ψ( ) ή Ĥ ψ n = Eψ n Οι λύσεις της αντιπροσωπεύουν φυσικές καταστάσεις µόνο αν η Ε παίρνει µια διακριτή ακολουθία τιµών Ε,Ε, Ε n,..με αντίστοιχες λύσεις ψ,ψ,.,ψ n,...οι πρώτες αποκαλούνται ιδιοτιµές (eigenvalues) της ενέργειας και οι δεύτερες ιδιοσυναρτήσεις (eigenfunctions) του τελεστή. o p e i g e n f u n c t i o n o Τελεστής p e r a t o r ( E Ĥ ) ψ = E ψ e i g e n v a l u e Η εξίσωση Schrödinger είναι µια εξίσωση ιδιοτιµών του τελεστή ενέργειας. ( t) i t En ħ dψn iħ = Enψn( t) ψ n( t) = e ψ() όπου ο δείκτης n συµβολίζει την dt αντίστοιχη κατάσταση του συστήµατος.

29 9 Επιγραµµατικά Αν κάνουµε µέτρηση µιας φυσικής ποσότητας Α, το αποτέλεσµα της µέτρησης ανήκει σε ένα σύνολο από ιδιοτιµές { α} του τελεστή Â που αντιστοιχεί σ αυτό το φυσικό µέγεθος. ψ. Κάθε ιδιοτιµή σχετίζεται µε µια ιδιοσυνάρτηση ( r) r r t Αν ψ ( ) =ψ(, ) α α τότε µια µέτρηση του Α σε t= t θα παράγει την ιδιοτιµή α. Κάθε ψ(, ) µπορεί να αναλυθεί µε όρους ιδιοσυναρτήσεων ψ ( r t ) = c ψ ( r) r t Η πιθανότητα µια µέτρηση σε t= t να παράγει την ιδιοτιµή α είναι P α cα = c α α., α α α Αν µια µέτρηση της Α παράγει α, τότε η κυµατοσυνάρτηση αµέσως µετά την µέτρηση θα είναι ( r) ψ. α. αρχή απροσδιοριστίας Heisenberg Η κβαντοµηχανική περιλαµβάνει δυναµικές µεταβλητές όπως τη θέση, την ορµή, το χρόνο, την ενέργεια όσο και καταστάσεις ενός φυσικού συστήµατος. Η θεωρία, ωστόσο, δεν περιέχει φυσικές καταστάσεις στις οποίες όλες οι δυναµικές µεταβλητές έχουν ακριβείς τιµές. Για παράδειγµα, κάθε κατάσταση όπου η θέση είναι πλήρως ορισµένη, αποτελεί µια κατάσταση όπου η ορµή είναι τελείως απροσδιόριστη - αρχή απροσδιοριστίας Heisenberg -. Η αρχή της απροσδιοριστίας αποτελεί συνέπεια της αρχής του κυµατοσωµατιδιακού δυϊσµού της ύλης και δικαιολογεί την σταθερότητα των ατόµων. όπου x p ħ /, E t ħ / για την αβεβαιότητα (διασπορά ή τυπική απόκλιση µιας στατιστικής κατανοµής) Α ενός µεγέθους Α ισχύει ( ) A = A - A και A = ψ (Aψ)dx A = ψ (Aψ)dx.,

30 3 Το t δεν είναι αβεβαιότητα.ο χρόνος δεν είναι ένα δυναµικό µέγεθος αλλά µια παράµετρος εξωτερική του φυσικού συστήµατος που συνοδεύει τις µετρήσεις.το t ερµηνεύεται ως ο χαρακτηριστικός χρόνος εξέλιξης του εξεταζόµενου συστήµατος, ο χρόνος δηλ αισθητής µεταβολής στις ιδιότητές του. Όσο πιο αργά µεταβάλλεται το σύστηµα τόσο πιο καλά είναι καθορισµένη η ενέργεια του. Ένα εντοπισµένο σωµατίδιο µπορεί να αναπαρασταθεί από ένα κυµατοπακέτο που σχηµατίζεται µε επαλληλία ενός µεγάλου αριθµού κυµάτων διαφόρων µηκών κύµατος. Εποµένως, ένα επακριβώς εντοπισµένο ηλεκτρόνιο έχει απολύτως απροσδιόριστη ορµή.. µικρό x µεγάλο p Αν στο σχήµα το κυµατοπακέτο παριστάνει σωµατίδιο, η περιοχή x δείχνει την αβεβαιότητα στη θέση του σωµατιδίου.η ταχύτητα του σωµατιδίου είναι επίσης αβέβαιη. σταθερότητα. Ας κάνουµε εδώ µια παρένθεση, για να αναφερθούµε στην ατοµική Αν ένα σωµατίδιο είναι δέσµιο σε ένα φυσικό σύστηµα µε έστω µόνο γραµµική διάσταση, τότε η θέση του είναι γνωστή µε πολύ µεγάλη ακρίβεια Όµως για την ορµή του θα ισχύει p και x α µε α πολύ µικρό. ħ α και η µέση ορµή του θα είναι µηδέν.(αν ήταν διάφορη του µηδενός θα είχε κάποια κατεύθυνση, έτσι υποχρεωτικά το σωµάτιο θα εκινείτο προς τα εκεί, άρα δεν θα ήταν δέσµιο). Αλλά p = ( ) ( ) p = p - p p = p. Η µέση κινητική του ενέργεια είναι ( p) p ħ K = = m m m α που σηµαίνει ότι όσο µικρότερη είναι η περιοχή εγκλωβισµού του σωµατιδίου τόσο µεγαλύτερη είναι η κινητική

31 3 του ενέργεια. Έτσι παρά το τεράστιο ενδοατοµικό κενό τα ατοµικά ηλεκτρόνια όχι µόνο δεν πέφτουν στον πυρήνα αλλά αντιστέκονται σε κάθε προσπάθεια σµίκρυνσης του ατοµικού όγκου λόγω εξωτερικών πιέσεων. Ανάλογη είναι και η εξήγηση της συµπεριφοράς των πυρηνικών σωµατιδίων. Ως εγκλωβισµένα σε µια τροµερή µικροσκοπική περιοχή είναι κατά πολλές τάξεις µεγέθους πιο ενεργητικά από τα ατοµικά ηλεκτρόνια. Ο πυρήνας είναι γίγαντας ενέργειας επειδή είναι νάνος σε µέγεθος. Η κλασική φυσική πραγµατεύεται µε τη θέση, τη γραµµική ορµή και άλλα παρατηρήσιµα µεγέθη τα οποία λαµβάνονται ως χρονικές συναρτήσεις. Κατόπιν η χρονική εξέλιξη του συστήµατος υπολογίζεται λύνοντας τις κατάλληλες εξισώσεις και εκφράζοντας,. τα αποτελέσµατα ως συναρτήσεις x( t) p( t) Παραδείγµατος χάριν, στην περίπτωση ενός σωµατιδίου µάζας το οποίο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, η βασική εξίσωση είναι ο νόµος Νεύτωνα Μια λύση είναι η d x m dt = F ενώ η δύναµη είναι F= kx( t). ( ) = cosω µε ω= ( k m ) / ενώ ( ) x t A t του σωµατιδίου. p t = ma sinω t είναι η γραµµική ορµή Με τις δυο αυτές συναρτήσεις x( t) και p( t ) µπορούµε να αρχίσουµε τη διερεύνηση των ιδιοτήτων του ταλαντωτή. Σε ορισµένες ιδιότητες υπεισέρχεται το γινόµενο xp το οποίο είναι = ω cosω sinω = ω sin( ω ). xp ma t t ma t Προφανώς ισχύει xp px=. Το προηγούµενο αποτέλεσµα δεν είναι αληθές.η συνεισφορά του Heisenberg στην κβαντική µηχανική είναι ισοδύναµη µε το να πούµε ότι το δεξιό µέλος της εξίσωσης στην πραγµατικότητα είναι µη µηδενική ποσότητα. [6]. Η κλασική µηχανική αγνοεί αυτή την ποσότητα ενώ η κβαντική µηχανική την λαµβάνει υπ όψη. H εξίσωση Νεύτωνα δεν είναι παρά µόνο προσέγγιση της αληθούς εξισώσεως κίνησης. Το να βρούµε την αληθή εξίσωση καταλήγει να είναι το ίδιο µε τη εύρεση της εξίσωσης Schrödinger.

32 Η εισήγηση Heisenberg ισοδυναµεί µε την απαίτηση xp px=ħ i. Τα x και p δεν µπορούν πλέον να θεωρούνται συναρτήσεις, διότι οι συναρτήσεις πάντοτε µετατίθενται, αλλά πρέπει να θεωρηθούν ως τελεστές. Γενικά για τους τελεστές θέσεως-ορµής: 3 [ ˆ ˆ] ( ˆ ˆ ˆ ˆ) ( ψ) dψ d x x, p ψ= xp px ψ= i ħ x + i = i ψ dx ħ dx ħ ηλαδή [ ˆ, ˆ] x p = iħ πράγµα που σηµαίνει πως οι τελεστές αυτοί δεν αντιµετατίθενται. Το γεγονός αυτό σχετίζεται µε το ότι δεν µπορούµε να µετρήσουµε ταυτόχρονα τις τιµές της θέσης και της ορµής. Γενικά, έστω δυο φυσικά µεγέθη Α και Β. Κβαντοµηχανικά αντιπροσωπεύονται από ερµιτιανούς τελεστές τους οποίους και συµβολίζουµε Â και Bˆ.Οι αβεβαιότητες (διασπορές) στα δύο αυτά µεγέθη ορίζονται ως ( ) ( ˆ ) Α = ψ Α Α ψdx και ( ) = ψ ( ˆ ) B B B ψdx Ως µεταθέτης (commutator) των δύο τελεστών ορίζεται Aˆ,ˆ B = AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ. εν ισχύει πάντα η αντιµεταθετική ιδιότητα. ηλαδή: AB δεν είναι πάντα ίσο µε BA. Στις ειδικές περιπτώσεις που ο µεταθέτης δύο τελεστών είναι µηδέν, λέµε ότι οι τελεστές αντιµετατίθενται. Το γινόµενο της διασποράς τους για την ίδια κυµατοσυνάρτηση, έχει µια ελάχιστη τιµή που δίδεται από την µέση τιµή του µεταθέτη τους Α Β A, ˆ Bˆ Αυτή είναι και η γενικευµένη σχέση αβεβαιότητας. [7] Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι η απόδειξη της πιο πάνω σχέσης χρησιµοποιεί την ίδια κυµατοσυνάρτηση. Αυτό υποδηλώνει ταυτόχρονη µέτρηση των ποσοτήτων Α και Β. Αντίθετα, αν πρώτα µετρήσουµε την ποσότητα Α, η κυµατοσυνάρτηση αµέσως

33 33 µετά την µέτρηση αυτή θα είναι, σύµφωνα µε τις αρχές της κβαντοµηχανικής, µια από τις ιδιοσυναρτήσεις της Α. Ακόλουθες µετρήσεις της Β (σε πολλά τέτοια συστήµατα )θα δώσουν διασπορά η οποία δεν έχει να κάνει µε την αρχική διασπορά του Α. Είναι η σύγχρονη γνώση των Α και Β που δεν µπορεί αν είναι απόλυτη αν οι αντίστοιχοι τελεστές δεν µετατίθενται. Τελικά ας ανακεφαλαιώσουµε τα.3 αξιώµατα της κβαντικής µηχανικής. Η κατάσταση ενός συστήµατος περιγράφεται πλήρως από την κυµατοσυνάρτηση [8] ( t) Ψ r, r,..., όπου r, r,... είναι οι συντεταγµένες των σωµατιδίων,, ( ) τα οποία απαρτίζουν το σύστηµα, t είναι ο χρόνος Ψ r, r,... η χρονικά ανεξάρτητη συνιστώσα.. Παρατηρήσιµα µεγέθη όπως η θέση και η ορµή, παριστώνται µε τελεστές, οι οποίοι οφείλουν να ικανοποιούν τον µεταθέτη xp px=ħ i. Παρόµοιες σχέσεις ισχύουν ως προς τις y- και z- συνιστώσες. Με σκοπό την ανάπτυξη του περιεχοµένου του αξιώµατος ακολουθεί η εισαγωγή ορισµένων εννοιών : Συνάρτηση f είναι ιδιοσυνάρτηση δεδοµένου τελεστή Ω αν ικανοποιεί τη σχέση Ω f =ωf εξίσωση ιδιοτιµής όπου ω αριθµός Αν f n είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Ω και ικανοποιούν τις εξισώσεις ιδιοτιµής Ωf =ω f τότε η συνάρτηση g που παριστά οποιαδήποτε κατάσταση του συστήµατος, n n n µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα (ή γραµµικός συνδυασµός) g= cnfn όπου c n οι συντελεστές ανάπτυξης. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις ενός τελεστή αποτελούν πλήρες σύνολο. n 3. α) η µέση τιµή του παρατηρησίµου µεγέθους Ω ενός συστήµατος το οποίο περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση Ψ, ισούται µε την αναµενόµενη τιµή του αντιστοίχου τελεστή.

34 34 Όπου ως αναµενόµενη τιµή τελεστή Ω εννοούµε το ολοκλήρωµα Ω µε ψ κανονικοποιηµένη ως προς την µονάδα. = ψωψdτ [9] β) όταν ψ ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ω ο οποίος αντιστοιχεί σε ένα παρατηρήσιµο µεγέθους που µας ενδιαφέρει, ο προσδιορισµός του Ω πάντοτε δίνει σαν αποτέλεσµα την αντίστοιχη ιδιοτιµή ω. Όταν η ψ δεν είναι ιδιοσυνάρτηση του Ω, µια και µοναδική µέτρηση του Ω δίνει σαν µοναδικό αποτέλεσµα µια από τις ιδιοτιµές του Ω, η δε πιθανότητα εύρεσης της συγκεκριµένης ιδιοτιµής ω n ισούται µε c n, όπου cnείναι ο συντελεστής της ιδιοσυνάρτησης ψnστο ανάπτυγµα της κυµατοσυνάρτησης..4 Τι ξέρουµε µετά τη µέτρηση; Ο µη ντετερµινιστικός [] χαρακτήρας της κβαντοµηχανικής, ο οποίος εκφράζεται κύρια µέσω της στατιστικής ερµηνείας της κυµατοσυνάρτησης, είναι το αδύνατο σηµείο της θεωρίας. Τα διάφορα «παράδοξα» που προέκυψαν (γάτα Schrödinger [], EPR, κβαντική µέτρηση, κ.τ.λ.) οδήγησαν πολλούς φυσικούς (π.χ. Einstein) στην αµφισβήτηση της πληρότητας, ή ακόµη και της ίδιας της θεωρίας. Το πρόβληµα είναι το εξής: Η κυµατοσυνάρτηση δεν προσδιορίζει µονοσήµαντα το αποτέλεσµα µίας µέτρησης, αλλά το ποσοστό συµµετοχής όλων των πιθανών αποτελεσµάτων. ηλαδή πριν πάρουµε τη µέτρηση δε γνωρίζουµε ακριβώς την τιµή του µετρούµενου µεγέθους, αλλά την πιθανότητα που έχει αυτό να πάρει κάθε µία από τις δυνατές τιµές του! Προκύπτει λοιπόν το ερώτηµα αν το σύστηµα έχει από πριν την εξεταζόµενη ιδιότητα την οποία η µέτρηση µας αποκαλύπτει, ή αν η ίδια η διεργασία της µέτρησης επηρεάζει το σύστηµα και από µόνη της «δηµιουργεί» την ιδιότητα αυτή. Υπάρχουν οι εξής ερµηνείες: Για τους «ρεαλιστές» η κβαντοµηχανική είναι µία µη πλήρης περιγραφή της φυσικής πραγµατικότητας. Ακόµη και αν γνωρίζουµε τα πάντα που η κβαντοµηχανική µπορεί να µας πει για το σύστηµα, δεν µπορούµε να προσδιορίσουµε όλα τα στοιχεία του. Συνεπώς θα πρέπει να υπάρχουν άλλες πληροφορίες εξωτερικές της κβαντοµηχανικής οι

35 35 οποίες είναι απαραίτητες µαζί µε την κυµατοσυνάρτηση ψ για την πλήρη περιγραφή της φυσικής πραγµατικότητας. Ενώ για τους «ορθόδοξους» η διαδικασία της µέτρησης αναγκάζει το σύστηµα να πάρει µία συγκεκριµένη τιµή, την ιδιοτιµή του. Η µέτρηση δηλαδή βοηθά το σύστηµα να εµφανίσει µία συµπεριφορά η οποία πριν δεν υπήρχε (ο Bohr παροµοίωσε τη συµπεριφορά αυτή µε εκείνη απρόβλεπτων εφήβων...). Ακόµη, αν επαναλάβουµε τη µέτρηση αµέσως µετά θα πάρουµε το ίδιο αποτέλεσµα, οπότε φτάνουµε στο συµπέρασµα ότι η ίδια η διαδικασία της µέτρησης αναγκάζει την κυµατοσυνάρτηση να καταρρεύσει σε µία ιδιοσυνάρτηση κατά έναν «µαγικό» τρόπο. (Η ερµηνεία αυτή είναι γνωστή ως η ερµηνεία της Σχολής της Κοπεγχάγης) Ένας άλλος τρόπος µέσω του οποίου ανακύπτει η απροσδιοριστία στην κβαντοµηχανική σχετίζεται µε τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης Ψ. Η βασική εξίσωση για τη χρονική εξέλιξη ενός κβαντικού συστήµατος, η εξίσωση Schrödinger, δίνει λύση για κάθε χρονική στιγµή. Σύµφωνα µε τον von Neuman, η κβαντική κατάσταση µεταβάλλεται συνεχώς και ντετερµινιστικά µέχρι να γίνει µια µέτρηση. Τότε η κατάσταση µεταπηδά ασυνεχώς κα µε τρόπο απροσδιόριστο στην ιδιοκατάσταση στην ιδιοτιµή ϕ i που αντιστοιχεί α i, η οποία αντιπροσωπεύει το αποτέλεσµα µέτρησης του µεγέθους Α πρόκειται για αυτό που ονοµάζεται κατάρρευση της υπέρθεσης. Γεγονός είναι ότι έστω και εάν η «οντολογία» της κβαντικής θεωρίας επιδέχεται διάφορες ερµηνείες και φιλοσοφίες, η κβαντοµηχανική είναι µια πολύ επιτυχηµένη θεωρία που προβλέπει το αποτέλεσµα της µέτρησης και κάθε µέτρησης..5 ιαφορική εξίσωση µεταβολής των πλατών µε το χρόνο Έστω τη χρονική στιγµή t ό,τι η κατάσταση που περιγράφει το σύστηµα είναι η Ψ (t). Αν U(t+ t, t) τελεστής χρονικής εξέλιξης τότε ( t t) U( t+ t, t) Ψ( t) Ψ + = µετά χρόνο t. Το πλάτος πιθανότητας µετά χρόνο t, η κατάσταση να είναι x δίνεται από τη σχέση x U( t+ t, t) Ψ ( t) = x Ψ ( t+ t) Αν η τελική κατάσταση θέλουµε να είναι η i ( ) ( + ) Ψ( ) i Ψ t+ t = i U t t, t t

36 36 Αν αναλύσουµε την Ψ( t ) σε καταστάσεις βάσης έχουµε ( ) ( ) ( ) i Ψ t+ t = i U t+ t, t j j Ψ t j και θέτοντας Uij = i U j καταλήγουµε όπου : + t) ( + ) = ( + ) ( ) C t t U t t, t C t i ij j j () C j( t ) η κατάσταση τη χρονική στιγµή t, i ( ) C t+ t το πλάτος πιθανότητας που αντιστοιχεί στην κατάσταση i για την (t Παρατηρούµε ότι lim t U t ( + t, t) =δij ij Γράφουµε U ij =δ ij+ K ij t για t, η χρονική εξέλιξη θα είναι ανάλογη του χρονικού διαστήµατος Αν δούµε το U ij t όροι µεγαλύτερης τάξης θα µηδενίζονται σαν συνάρτηση του t και µετά από ανάπτυγµα Taylor και καθώς οι για λόγους συµβολισµού µπορούµε να γράψουµε K H ( t) Και είναι Η () γίνεται i U ij( t+ t, t) = δij H ij( t) t ħ i Ci t t ij Hij t t C j t j ħ ( + ) = δ ( ) ( ) το δ ij είναι µόνο όταν i j άρα δ C ( t) = C j ij ij j i i ħ ij Οπότε Για t, ( + ) ( ) Ci t t Ci t i = Hij t C j t t ħ ( t) j ( ) ( ) dc ħ. ( ) ( ) i i = H ij t C j t dt j

37 37 Συµπερασµατικά Όταν ένα κβαντοµηχανικό σύστηµα βρίσκεται τη χρονική στιγµή t στην κατάσταση Ψ (t), αναλύεται στα ορθοκανονικά διανύσµατα πλήρους βάσης Ψ (t) = C i (t) i, i µε τους συντελεστές C i(t) να είναι λύσεις του συστήµατος διαφορικών εξισώσεων d iħ C (t) = H (t) C (t) και dt i ij j j µε τα στοιχεία πίνακα H ij(t) να εκφράζουν την δυναµική του συστήµατος. Εάν η Hamiltonian δεν εξαρτάται από τον χρόνο και τα µη διαγώνια στοιχεία είναι µηδέν τότε το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων d iħ C (t) = H (t) C (t) dt i ij j j καταλήγει στο σύστηµα d iħ C i(t) = Hii C i (t) dt C (t) = const e ħ µε λύση της µορφής ( ) i (i/ )H t Επειδή H ij = H τα διαγώνια στοιχεία της Hamiltonian είναι πραγµατικοί αριθµοί και * ji Ψ (t) = C i(t) i i τότε εάν το σύστηµα για t = βρίσκεται στην κατάσταση k θα πρέπει και άρα η σταθερά θα είναι µηδέν για i k. C i () = i k Η χρονική εξέλιξη του συστήµατος θα δίνεται από την Ψ = = (i/ ħ )H t (i/ ħ)et (t) e i e i που παριστά κατάσταση καθορισµένης ενέργειας. Το σύστηµα θα παραµένει στάσιµο στην ίδια κατάσταση βάσης στους επόµενους χρόνους.

38 38.6 Φαινόµενο σήραγγας Μια περιοχή σταθερής δυναµικής ενέργειας U, που περιβάλλεται από περιοχές χαµηλότερης ή µηδενικής δυναµικής ενέργειας είναι ένα ορθογώνιο φράγµα δυναµικού (σχήµα). Το πρόβληµα συνίσταται στην εύρεση της πιθανότητας ένα σωµατίδιο που προσπίπτει πάνω στο φράγµα να το διαπεράσει ή να ανακλαστεί από αυτό ή ισοδύναµα στην εύρεση του ποσοστού των σωµατιδίων που διαπερνούν το φράγµα ή ανακλώνται, θεωρώντας πρόσπτωση πάνω στο φράγµα ρεύµατος σωµατιδίων. Στην κλασική φυσική ένα σωµατίδιο ενέργειας Ε µεγαλύτερης από το ύψος του φράγµατος θα το διαπεράσει µε πιθανότητα µονάδα, ενώ αν Ε < U θα έχει µηδενική πιθανότητα να το διαπεράσει αφού το φράγµα είναι κλασικά απαγορευµένη περιοχή. Στην κβαντοµηχανική, σωµατίδιο µε Ε < U έχει µια µη αµελητέα πιθανότητα να διέλθει µέσω του φράγµατος. (για Ε > U η κβαντοµηχανική πιθανότητα διέλευσης δεν είναι πάντα µονάδα). Ακόµα και για Ε << U υπάρχει µία µη µηδενική πιθανότητα το σωµατίδιο να περάσει το φράγµα. Το φαινόµενο αυτό της διέλευσης σωµατιδίων µέσω φραγµάτων δυναµικού λέγεται φαινόµενο σήραγγας και έχει εξαιρετικές εφαρµογές. Φράγµα δυναµικού και κυµατοσυνάρτηση σωµατιδίου που προσπίπτει σε αυτό, ερχόµενο από αριστερά.

39 39 Για την κβαντοµηχανική µελέτη του φράγµατος δυναµικού χρειάζεται η επίλυση της εξ. Schrödinger για το σύστηµα. Λύνοντας την εξ. Schrödinger για τις περιοχές Ι και ΙΙΙ (δηλ. απουσία δυναµικού) και θεωρώντας πρόσπτωση των σωµατιδίων ενέργειας E από αριστερά του φράγµατος, βρίσκουµε για τις αντίστοιχες κυµατοσυναρτήσεις τη µορφή Ι ( ) ikx -ikx =, ψ x Ae + Be ΙII ( ) ψ x ikx = Ce me και k= ħ (το εκθετικό µε το + δηλώνει κύµα που οδεύει προς τα δεξιά και εκείνο µε το - κύµα που οδεύει προς τα αριστερά). Ο λόγος B R= λέγεται συντελεστής ανάκλασης και δίνει την πιθανότητα A ανάκλασης του σωµατιδίου (ή αλλιώς το ποσοστό των σωµατιδίων που ανακλώνται σε ένα πείραµα σκέδασης) και ο λόγος C T= λέγεται συντελεστής διέλευσης και δίνει την πιθανότητα το A σωµατίδιο να περάσει το φράγµα και να φθάσει στο άπειρο (ή αλλιώς το ποσοστό των σωµατιδίων που διέρχονται από το φράγµα). Επειδή µόνο αυτές οι δυο πιθανότητες υπάρχουν, το σωµατίδιο ή θα ανακλαστεί ή θα προχωρήσει, ισχύει R+ T=. Γενικά τα R και Τ έχουν σχετικά σύνθετη µορφή και για τον υπολογισµό τους απαιτείται η λύση της εξ. Schrödinger και στην περιοχή ΙΙ, και η εφαρµογή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών.

40 4 Συστήµατα δύο ενεργειακών καταστάσεων.7 Στάσιµες καταστάσεις Ας θεωρήσουµε ένα αποµονωµένο σύστηµα τέτοιο ώστε η δυναµική του ενέργεια να µην εξαρτάται από το χρόνο, οπότε η Hamiltonian του συστήµατος δεν θα εξαρτάται από το χρόνο. Οι καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας, ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, δεν έχουν αβεβαιότητα ως προς την ενέργεια δηλαδή Ε =. Μια µόνο κατάσταση βάσης είναι απαραίτητη για την περιγραφή. Και η εξ. Schrödinger είναι dc iħ dt = H C µε λύση C ( i ) Ht = (const) e ħ που είναι η έκφραση του πλάτους πιθανότητας που αντιστοιχεί σε µια κατάσταση καθορισµένης ενεργείας όπου ο συντελεστής H πίνακα πρέπει να είναι πραγµατικός αριθµός για να είναι ενέργεια. ηλαδή : = E και συνεπώς αυτό το στοιχείο του Ένα σωµατίδιο καθορισµένης ενέργειας αντιστοιχεί σε πλάτος πιθανότητας µε ορισµένη συχνότητα ω, το δε πλάτος πιθανότητας δίνεται από την έκφραση iωt iωt iet/ ( ) =ψ ( ) =α = Ψ x, t x e e e ħ µε E= ħ ω () Η χρονική εξάρτηση δεν είναι παρά απλή διακύµανση της φάσης της κυµατοσυνάρτησης e ietħ = cos(et / ħ) i sin(et / ħ) µεταβάλλεται περιοδικά από + έως i έως - έως i και επιστρέφει στο µε συχνότητα E /ħ και περίοδο από την ενέργεια της. ħ / E, που καθορίζεται Αν και η φάση των κυµατοσυναρτήσεων Ψ δεδοµένης ενέργειας µεταβάλλεται, το γινόµενο Ψ Ψ Ψ ανεξάρτητο του χρόνου. = παραµένει σταθερό ( iet / ħ iet / ħ Ψ Ψ e )( e ) = ψ ψ = ψ ψ, Κβάντωση ενέργειας Η εξίσωση Schrödinger έχει φυσικά παραδεκτές λύσεις ψ n, που σηµαίνει ότι µηδενίζονται στο ±

41 4 µόνο για µια διάκριτη [] ακολουθία τιµών E,... En..., (που είναι και οι µόνες δυνατές τιµές ενέργειας που µπορούν να µετρηθούν). Οι ιδιοσυναρτήσεις ψ n έχουν καθορισµένη ενέργεια E n και καθορισµένη συχνότητα ω n = E n / ħ. Η χρονική τους εξέλιξη είναι της µορφής iω n t (, ) ( ) ( ) ψ x t = ψ x e = ψ x e n n n ie t n ħ () µε ( x) ψ λύση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger n (όπως στα στάσιµα κλασικά κύµατα) και δεν έχει καµία φυσική επίπτωση στις καταστάσεις που περιγράφονται από την (), τις στάσιµες καταστάσεις που λέγονται έτσι επειδή η κατανοµή πιθανότητας του σωµατιδίου στο χώρο ientħ (, ) ( ) ( ) P = Ψ x t = ψ x e = ψ x n n n n είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Η µέση τιµή τυχόντος φυσικού µεγέθους Α είναι ie n t ħ (, )( ( )) ( ) ( ( )) n n, n n ( x) ( A n( x) ) d x n A x t A x t d x x e A x e d x = ψ ψ = ψ ψ = (3) = ψ ψ n ie t ħ ανεξάρτητη του χρόνου. Καταστάσεις περιγραφόµενες από χωριζόµενες κυµατοσυναρτήσεις όπως οι () και για τις οποίες η χρονική εξέλιξη δεν έχει καµία φυσική επίπτωση ονοµάζονται στάσιµες καταστάσεις. Έτσι αν ένα σύστηµα έχει καθορισµένη ενέργεια, η πιθανότητα είναι ανεξάρτητη από το χρόνο παρόλο που το πλάτος πιθανότητας µεταβάλλεται µε το χρόνο και θα λέγαµε ότι το σύστηµα είναι παγωµένο στο χρόνο. ιευκρινίζουµε ότι η στασιµότητα δεν ισχύει για τη γενική λύση της Schrödinger n ( x, t) c ( x) e ± ψ = ψ n n n i E t/ ħ (4)

42 4 Ας πάρουµε τη µέση τιµή σε χρόνο t, για τυχόν κβαντικό µέγεθος Α ± i En t/ ħ ± i Em t/ ħ A = ψ ( x, t) ( Aψ ( x, t) ) dx= cnψne A cmψme dx n m n,m ωnm ( ) ( ) i E E t/ ħ i t n m n m n m nm n,m = ψ ψ * ( n m ) * * c c e A dx c c A e 5 όπου nm ( ) m τα στοιχεία πίνακα του τελεστή Α και A = ψ Aψ dx ω nm = (En E m ) / ħ. Από τη (5) βλέπουµε ότι η χρονική εξέλιξη έχει µετρήσιµες συνέπειες, αφού οι µέσες τιµές των φυσικών µεγεθών µεταβάλλονται µε τον χρόνο, όταν το σύστηµα δεν βρίσκεται σε στάσιµη κατάσταση. Αν Α = x, η µέση θέση του σωµατιδίου κατά τη χρονική στιγµή t τότε, σύµφωνα µε τα προηγούµενα x c c x e ω t = n,m * n m nm i nm t και αν ειδικότερα η αρχική κυµατοσυνάρτηση ήταν µια επαλληλία δύο µόνο ιδιοσυναρτήσεων της µορφής ψ= cψ + cψ (6) τότε για τη µέση θέση είναι, (από το διπλό άπειρο άθροισµα θα µείνουν οι όροι µε n και m από ένα έως δύο ) * i ω t * ω i t x = c x + c x + c c x e + c c x e για ω =ω (7) Ισχύει ( ) * * * = ψ ψ = ψ ψ = x (x )dx (x )dx x και αν αντικαταστήσουµε µε z c c x e iϕ * iϕ = =ρ τότε z = cc x =ρe

43 43 η (7) θα γράφεται όπου θέσαµε t ( ) x =α+βcos ω t+ϕ (8) α= c x + c x β= ρ Αποδείξαµε ότι η µέση θέση του σωµατιδίου σε µια κατάσταση υπέρθεσης, ταλαντώνεται περιοδικά µε το χρόνο µε συχνότητα ( ) ω= E E / ħ ίση µε την συχνότητα Bohr που αντιστοιχεί στην ενεργειακή διαφορά των δύο καταστάσεων της επαλληλίας. ιαπιστώνουµε έτσι ότι για τις επαλληλίες των ιδιοκαταστάσεων, η χρονική εξέλιξη έχει πλέον ουσιώδεις επιπτώσεις στα µετρήσιµα µεγέθη του συστήµατος. Η επαλληλία δυο στάσιµων καταστάσεων µε διαφορετικές ενέργειες E και E [3] δίνει ( x, t) c e ħ c e ie t/ ie t/ ħ Ψ = + (9) µε πιθανότητα θέσης ( ) Ψ x στην οποία οι διαγώνιοι όροι εξαρτώνται από το χρόνο. Για ένα τέτοιο σύστηµα Ε, η ενέργεια δεν είναι καθορισµένη. Προκειµένου να περιγράψουµε συστήµατα τα οποία είναι εντοπισµένα στο χώρο θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε επαλληλία στάσιµων καταστάσεων δηλ. γραµµικό άθροισµα πλατών πιθανότητας (, ) Ψ x t = c e N i= i ( / ħ) i E i t που το κάθε ένα αντιστοιχεί σε καθορισµένη ενέργεια, όµως η επαλληλία (το άθροισµα ) δεν αντιστοιχεί σε καµιά καθορισµένη ενέργεια. Για να µεταβάλλεται η πιθανότητα µε το χρόνο, για να προκαλείται κυµατισµός στην πιθανότητα ο οποίος θα κινείται στο χώρο µε ταχύτητα ίση µε την ταχύτητα κλασικού σωµατιδίου µε αυτή την ενέργεια, πρέπει να υπάρχει η συµβολή τουλάχιστον δύο πλατών πιθανότητας καθορισµένων ενεργειακών καταστάσεων µε διαφορετικές συχνότητες, το οποίο συνεπάγεται ότι δεν µπορούµε να προσδιορίσουµε την ενέργεια µε

44 44 µηδενική αβεβαιότητα.. Το σύστηµα θα έχει ένα πλάτος πιθανότητας να βρίσκεται σε µία κατάσταση µε κάποια ενέργεια και ένα άλλο πλάτος πιθανότητας να βρίσκεται σε µία κατάσταση µε διαφορετική ενέργεια..8 Χρονική εξέλιξη ενός συστήµατος δυο καταστάσεων Έστω ένα σύστηµα το οποίο περιγράφεται µε τη βοήθεια των καταστάσεων βάσης και. Οποιαδήποτε κατάσταση του συστήµατος εκφράζεται συναρτήσει αυτών των δύο καταστάσεων βάσης ως ψ = ψ + ψ = C+ C Τα στοιχεία πίνακα Hamilton H H H H δίνονται από τους αριθµούς ij i( j) H = ψ Hψ dx i, j=,. είξαµε ότι τα πλάτη πιθανότητας C, C µεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου σύµφωνα µε τις διαφορικές εξισώσεις dc ħ dt i = HC + HC dc ħ dt i = HC + HC Για να περιγράψουµε την κατάσταση του συστήµατος κάποια χρονική στιγµή διάφορη του µηδενός πρέπει να λύσουµε τις εξισώσεις. Είναι όµως το ίδιο µε το να αναζητήσουµε τις στάσιµες καταστάσεις, τις καταστάσεις δηλ καθορισµένης ενέργειας, επειδή ξέρουµε πως εξελίσσονται αυτές µε το χρόνο, όπως επίσης ξέρουµε ότι αν τη χρονική στιγµή t = θέσουµε το σύστηµα σε µια κατάσταση καθορισµένης ενέργειας θα παραµείνει σ αυτή την κατάσταση.

45 45 Επίσης, επειδή οι στάσιµες καταστάσεις αποτελούν πλήρη ορθοκανονική βάση, µπορούµε να εκφράσουµε κάθε κατάσταση του συστήµατος ως γραµµική επαλληλία των στασίµων καταστάσεων. Αναζητούµε λύσεις για τα C, C τέτοιες ώστε να εξαρτώνται από το χρόνο µε τον ίδιο τρόπο. Έστω C C ( ħ) =α e i/ E t ( ħ) =α e i/ E t γιατί τότε µε αντικατάσταση στην ψ ( ) ( ) + = + ( ) ( ) i/ ħ E t i/ ħ E t i/ ħ E t ψ =α e α e α α e βγαίνει στάσιµη κατάσταση. Από το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων προκύπτει : dc ie -(i/ ħ)et ie = - α e = - C dt ħ ħ dc ie -(i/ ħ)et ie = - α e = - C dt ħ ħ Και λόγω των προηγουµένων ie -iħ C = HC + HC Eαe Hαe Hαe h ( ) Eα = H α + H α E - H α - H α = όµοια (-Hα ) + ( E - H) α = -(i/ ħ)et -(i/ ħ)et -(i/ ħ)et = + Είναι σετ οµογενών αλγεβρικών εξισώσεων,για το οποίο θα υπάρχουν µη µηδενικές λύσεις για τα α, α µόνο αν ισχύει E - H -H Det = ( )( ) -H E - H E - H E - H - H H = Η εξίσωση αυτή έχει λύσεις (πραγµατικούς αριθµούς αφού H, H πραγµατικοί και * H H = H H = H πραγµατικοί, θετικοί).

46 46 Παίρνουµε έτσι τις τιµές E I, E II της υψηλότερης και της χαµηλότερης τιµής ενέργειας ( H - H ) H + H E = ± + H H 4 I,II που αναφέρονται σε δύο στάσιµες καταστάσεις. Οι E I και E II είναι οι E E H + H H H = + + H H I H + H H H = + H H II που αναφέρονται στις καταστάσεις ψ = I e I ( ħ) I - i E t και ψ = II e II ( ħ) II - i E t Αυτές οι καταστάσεις έχουν C,C τα προαναφερθέντα. Και για χρονική στιγµή t = οι στάσιµες καταστάσεις θα συνδέονται µε τις καταστάσεις βάσης και µε τον εξής τρόπο ( α,i α,i ) I = + ( α,ii α,ii ) II = + Οι συντελεστές α προσδιορίζονται από τους λόγους α / α και την διατήρηση της συνολικής πιθανότητας δηλαδή : α α H E H = = E H H, Ι I, Ι I α + α =, Ι, Ι και α α H E H = = E H H, ΙI II, Ι II α + α =, ΙI, ΙI

47 47 Οι δυο στάσιµες καταστάσεις θα εκφράζονται συναρτήσει των καταστάσεων βάσης και ( ) ( ) I = + e ħ ψ α α I,I,I ( ) i/ E t ( ) II ψ = α + α e ħ II,II,II i/ E t Αν το σύστηµα βρεθεί σε µια από τις στάσιµες I, II για χρονική στιγµή t = τότε συνεχίζει να παραµένει σ αυτή την κατάσταση. Το ερώτηµα που τίθεται είναι άραγε πως µπορούµε να εξαναγκάσουµε το σύστηµα να µεταπίπτει από τη µια στάσιµη κατάσταση στην άλλη ; Προφανώς θα πρέπει να επιδράσουµε µε εξωτερικό αίτιο διότι έχουµε δείξει ότι ένα αποµονωµένο σύστηµα σε µια στάσιµη κατάσταση παραµένει επ άπειρο στην ίδια κατάσταση. Επιγραµµατικά πως περιγράφουµε µαθηµατικά την εξέλιξη ενός συστήµατος δύο καταστάσεων: Η κατάσταση µπορεί να γραφεί σαν γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων βάσης και, που επιλέγουµε κατάλληλα, και C, C είναι τα πλάτη πιθανότητας η κατάσταση ψ να είναι η κατάσταση, η ψ να είναι η κατάσταση : ψ = ψ + ψ = C+ C Η διαφορική εξίσωση που δίνει τη χρονική εξέλιξη αυτών των πλατών πιθανότητας µε τη βοήθεια των στοιχείων πίνακα Hamilton, είναι: dc dt = i iħ HijC j.

48 48 Όταν τα στοιχεία του πίνακα δεν εξαρτώνται από το χρόνο οι στάσιµες καταστάσεις του συστήµατος, δηλ. οι καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας γράφονται : ψ = I I e ( ħ) i/ E I t και ψ = II II e ( ħ) i/ E II t (χαρακτηριστική εξάρτηση από το χρόνο µέσω της µιγαδικής εκθετικής συνάρτησης). Οι ενέργειες των στασίµων καταστάσεων εκφράζονται υπό την µορφή E E H + H H H = + + H H I H + H H H = + H H II Οι στάσιµες καταστάσεις την χρονική στιγµή t = δίνονται ως γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων, : I = α + α II = α + α µε H α = και α + α = α E H ' H ' EII H α = α. ' ' α + α = Για σύστηµα συµµετρικό ισχύει για τα διαγώνια στοιχεία H= H = E και για τα µη διαγώνια στοιχεία H = H= A, όπου Α εκφράζει το πλάτος πιθανότητας να µεταπέσουµε από τη µια κατάσταση βάσης, στην άλλη κατάσταση και το ανάποδο. Τότε οι στάσιµες καταστάσεις για την χρονική στιγµή t =, που συµβολίζονται I, II, ως γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων βάσης, είναι : I = II = + µε E = E + A I E = E A II αντισυµµετρική ή κατά σταση υψηλ. ενέργειας συµµετρική ή κατά σταση χαµηλ. ενέργειας

49 49 Τελικά οι στάσιµες καταστάσεις θα είναι ψ = I ψ = II I e II e ( ħ) i/ E t I ( ħ) i/ E t II.9 Μεταπτωτική κίνηση σωµατιδίου µε spin ½ σε µαγνητικό πεδίο - µιόνιο Β µ Φορτισµένο σωµατίδιο µε µαγνητική ροπή µ µέσα σε µαγνητικό πεδίο θα έχει δυναµική ενέργεια U= µ B σύµφωνα µε την κλασική φυσική. p Από την µεριά της κβαντοµηχανικής ένα ελεύθερο σωµάτιο, έξω από το µαγνητικό πεδίο, µε ορµή p περιγράφεται από το πλάτος πιθανότητας e i ħ p t p x m. Όταν εισέλθει σωµάτιο µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο µε ένταση κατά την διεύθυνση z, προσθέτουµε και την δυναµική ενέργεια i ħ i p p µ B t p x t p x i m z ( B z ) t m µ ħ e = e e Βλέπουµε ότι τότε µπαίνει ένας παράγοντας φάσης λόγω αλληλεπίδρασης µε το µαγνητικό πεδίο στο πλάτος πιθανότητας. ħ Αν υποθέσουµε ότι το σωµατίδιο µε ( spin ½ ) [4] είναι µέσα σε ένα πεδίο µε ένταση κατά τον άξονα z και χρησιµοποιούµε τον άξονα z για να ορίσουµε την πόλωση του σωµατιδίου µε spin ½, δηλαδή τον προσανατολισµό του spin, θα έχω δυο καταστάσεις

50 5 βάσης για να περιγράψω αυτό το σωµάτιο, µια up, που συµβολίζουµε προσανατολισµένη δηλαδή παράλληλα µε τον άξονα z και µια down, + z, z, αντιπαράλληλα. Και οι αντίστοιχοι όροι στο πλάτος πιθανότητας που θα αντιπροσωπεύουν την αλληλεπίδραση µε το µαγνητικό πεδίο θα είναι οι δυο παράγοντες φάσης e i ( µ B z ) t ( µ B ħ z ) z e i ħ + t + z (9) Μπορούµε να περιγράψουµε την κατάσταση σωµατιδίου µε spin ½ µέσα σε µαγνητικό πεδίο σαν γραµµικό συνδυασµό των καταστάσεων. Οι δυο καταστάσεις έχουν φάσεις που µεταβάλλονται µε το χρόνο µε διαφορετικό ρυθµό. παράδειγµα Ας µελετήσουµε ένα µιόνιο. Το µιόνιο είναι ένα στοιχειώδες σωµάτιο χωρίς δοµή, από τα βασικά συστατικά της ύλης που διασπάται εκπέµποντας ένα ηλεκτρόνιο και δύο νετρίνα µ e+ν+ν Ας υποθέσουµε ότι το µιόνιο µπαίνει µέσα σε µια περιοχή Α όπου σταµατάει σε ένα υλικό και χάνει την ενέργεια του. Έστω ότι το spin του ήταν αρχικά πολωµένο κατά τον άξονα x, δηλ. spin στη διεύθυνση +x, ενώ το µαγνητικό πεδίο είναι κάθετο, παράλληλο στον z. Για t = λοιπόν έχουµε κατάσταση + x. Αφού σταµατήσει µετά θα διασπαστεί. Τα ηλεκτρόνια θα εκπεµφθούν προς διαφορετικές διευθύνσεις υπό διαφορετικές γωνίες, σε σχέση µε την αρχική διεύθυνση πόλωσης του µιονίου. Κάποιες από αυτές τις διευθύνσεις θα είναι πιο πιθανές από άλλες.

51 5 Το ερώτηµα είναι, αν ενεργοποιήσουµε το µαγνητικό πεδίο η γωνιακή κατανοµή των ηλεκτρονίων θα αλλάξει; Μπορούµε να ρωτήσουµε το ίδιο πράγµα µε άλλο τρόπο. Αρχικά, για t =, όταν εφαρµόσουµε το µαγνητικό πεδίο, το µιόνιο βρίσκεται στην + x κατάσταση. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι στην ίδια κατάσταση και µετά από χρόνο t = τ ; Γιατί αν µετά από χρόνο t = τ το µιόνιο βρίσκεται στην κατάσταση + x, η γωνιακή κατανοµή θα είναι ακριβώς ίδια. Αν την χρονική στιγµή t = τ δεν βρίσκεται σ αυτή την κατάσταση πόλωσης η γωνιακή κατανοµή θα είναι διαφορετική, επειδή η γωνιακή κατανοµή εξαρτάται απ την κατάσταση πόλωσης, λόγω διατήρησης στροφορµής αφού και το e έχει spin ½. Έστω ότι η ψ ( t) περιγράφει την κατάσταση του µιονίου.όταν εισέρχεται στη περιοχή Α, η κατάσταση του είναι η ψ ( ) και θέλουµε να ξέρουµε την ψ( τ ) που αντιστοιχεί σε χρόνο τ. Αν πάρουµε ως καταστάσεις βάσης τις ( + z ), ( z), ξέρουµε τα πλάτη πιθανότητας + z ψ( ) και z ψ ( ), αφού η ( ) κατάσταση. ψ είναι η κατάσταση µε spin στην (+x) Αυτά τα πλάτη πιθανότητας είναι C +,C και C+ + C = είναι ισοπίθανα άρα C = C =. + Ισχύει λοιπόν + z + x = C = z + x = C = + µπορούµε να τα πούµε και ως C+ ( ),C ( ). και τα οποία εξελίσσονται µε το χρόνο, λόγω (9), σύµφωνα µε

52 5 ( ) = ( ) C t C + + ( ) = ( ) C t C e e + ( i ) µ Bt ħ ( i ) µ Bt ħ Τη χρονική στιγµή t = η κατάσταση είναι ψ = + = = + + ( ) x ( z x z z x z ) ( z z ) Για τη χρονική στιγµή t ( ) ( ) ( ) ( i µ Bt + i µ Bt ) ħ ħ ψ t = + z + z e e Το πλάτος πιθανότητας αυτή η κατάσταση να είναι + x θα είναι: µε ( ) = + ψ ( ) = ψ ( ) + + ψ( ) A t x t x z z t x z z t + ( ) = + + ( ) + + ( ) ( ) A t x z C t x z C t x + z = + x z = Λόγω της σχέσης φ x = x φ είναι ( i ) Bt ( i ħ ħ) C+ ( t) = e και C ( t) = e µ µ Bt Έτσι από την () το πλάτος πιθανότητας A ( t) στιγµή t + να είναι στην κατάσταση +x τη χρονική A + ( t) ( i ) B t ( i ) e e µ µ B t ħ ħ µβ = + = cos ħ t

53 53 Η πιθανότητα P + το µιόνιο να βρίσκεται στη +x κατάσταση τη χρονική στιγµή t είναι P + µ B = cos t ħ Η πιθανότητα ταλαντώνεται, συχνότητα µ B / ħ Η πιθανότητα ταλαντώνεται ανάµεσα στις τιµές και. Ξαναπαίρνει την τιµή µετά χρόνο ( µ Bt ħ ) =πκαι µε συχνότητα ( B ) µ ħ. Η πιθανότητα να ανιχνεύσουµε ένα ηλεκτρόνιο µε τον ανιχνευτή (σχήµα) µεταβάλλεται περιοδικά µε το χρόνο που έχει παραµείνει το µιόνιο στο µαγνητικό πεδίο. Η συχνότητα εξαρτάται από τη µαγνητική ροπή. Το µιόνιο περνά µέσα από διαδοχικές καταστάσεις που αντιστοιχούν στην πλήρη πόλωση σε µία διεύθυνση που διαρκώς περιστρέφεται γύρω από τον z-άξονα. Μπορούµε να το περιγράψουµε αυτό ως µεταπτωτική κίνηση του spin του µιονίου µε συχνότητα µ B ωp = ħ.. Στοιχειώδης θεωρία του χηµικού δεσµού Η βασική ιδέα της κβαντοµηχανικής ανάλυσης του οµοιοπολικού χηµικού δεσµού είναι απλή. Όταν δύο άτοµα έρχονται κοντά, τα ηλεκτρόνια σθένους παύουν να παραµένουν εντοπισµένα στο άτοµο τους και κινούνται γύρω και από τα δύο άτοµα κάτω από την επίδραση της έλξης των πυρήνων τους. Αυτό προϋποθέτει τη συνεχή διέλευσή τους µέσα

54 από την κλασικά απαγορευµένη περιοχή µεταξύ των δύο ατόµων, κλασικά ανέφικτο, αλλά εφικτό στην κβαντοµηχανική. Το µοριακό τροχιακό πάνω στο οποίο συνυπάρχουν τα ηλεκτρόνια σθένους είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των ατοµικών τροχιακών των ηλεκτρονίων που συµµετέχουν στον δεσµό. Εποµένως η µοριακή κυµατοσυνάρτηση δηλ η λύση της εξίσωσης Schrödinger για το δυναµικό των πυρήνων είναι, αν και είναι τα άτοµα του χηµικού δεσµού ψ= Cψ + C ψ και C, C συντελεστές που περιγράφουν τον βαθµό συµµετοχής των επιµέρους ατοµικών τροχιακών ψ, ψ. Η µέθοδος ονοµάζεται γραµµικός συνδυασµός ατοµικών τροχιακών LCAO. 54 Οι P = C, P = C δίνουν τις πιθανότητες να βρίσκονται τα ηλεκτρόνια σθένους στην περιοχή του ενός ή του άλλου ατόµου, τότε C + C =, που είναι η συνθήκη κανονικοποίησης της µοριακής κυµατοσυνάρτησης. Η άρτια υπέρθεση των δύο ατοµικών τροχιακών αντιστοιχεί στη θεµελιώδη στάθµη του µορίου τη λεγόµενη δεσµική, ενώ η περιττή υπέρθεση τη διεγερµένη, τη γνωστή και ως αντιδεσµική κατάσταση του µορίου.

55 55 Κεφάλαιο 3 ο Παραδείγµατα συστηµάτων δυο ενεργειακών καταστάσεων 3. Αµµωνία, αντιστροφή του µορίου. Με τη γνωστή ηλεκτρονική διάταξη [ ] N = s s p p p, µε τροχιακά σθένους x y z px, py, pz, το Ν θα ενώνεται µε τρία άτοµα Η κατά τις διευθύνσεις x, y, z και εποµένως το µόριο της αµµωνίας (NH 3 ) θα έχει τη γεωµετρική µορφή του σχήµατος.

56 56 Αν όλες οι παράµετροι που χαρακτηρίζουν το µόριο της αµµωνίας µένουν σταθερές έτσι ώστε να έχουµε µόνο καταστάσεις ως προς το άτοµο του αζώτου µε κατάσταση µε το άτοµο Ν πάνω ως προς το επίπεδο των 3 Η και το άτοµο κάτω. Κάθε κατάσταση ψ γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός αυτών των δύο καταστάσεων βάσης ψ = ψ + ψ = C+ C Με C, C τα πλάτη να είναι στην κατάσταση και στην κατάσταση αντίστοιχα, δηλαδή C = ψ C = ψ. Τα πλάτη πιθανότητας C i µεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου σύµφωνα µε την dc ( t) = ( ) i iħ HijC j t dt j όπου τα στοιχεία H ij, πίνακα Hamilton H H E A H H A E µε τα διαγώνια στοιχεία να αφορούν την ενέργεια του µορίου στην ή ενώ τα άλλα στοιχεία αφορούν το πλάτος πιθανότητας που έχει το άτοµο του Ν να µεταπέσει από την µια κατάσταση στην άλλη (µε ένα φαινόµενο σήραγγας).

57 57 Ας υποθέσουµε ότι δεν υπάρχει δυνατότητα το άτοµο του Ν να υπερπηδήσει το επίπεδο των 3 ατόµων Η, το φράγµα δυναµικού και να περάσει στην άλλη κατάσταση. Τότε H = H =. Και θα είχαµε δυο αποσυζευγµένες εξισώσεις, τις dc iħ = H C dt dc iħ = H C dt µε λύσεις C C = = ( ħ) const e ( ) ( ħ) const e ( ) i/ Ht i/ Ht. Αυτές είναι δυο στάσιµες καταστάσεις µε ενέργειες H, H αντίστοιχα. εν υπάρχει τίποτα στην διάταξη που να διαφοροποιεί τις ενέργειες των δύο καταστάσεων, θα πρέπει λοιπόν τα διαγώνια στοιχεία να είναι ίσα µεταξύ τους, δηλαδή H= H = E. Αν λόγω φαινόµενου σήραγγας υπάρχει ένα µικρό πλάτος πιθανότητας Α το άτοµο του αζώτου να περάσει το φράγµα δυναµικού, να περάσει από την κατάσταση στην, τότε λόγω συµµετρίας οι µη διαγώνιοι όροι θα είναι H = H= A και εκφράζουν το πλάτος πιθανότητας να περάσει το φράγµα δυναµικού και να φθάσει στην άλλη κατάσταση. Έτσι H = H = A H = H = E Οι εξισώσεις για την χρονική εξέλιξη των πλατών C, C είναι dc ħ dt dc ħ dt i = EC AC = i EC AC

58 58 µε λύσεις α b C ( t) = e + e α b C ( t) = e e ( i / ħ)( Ε Α) t ( i / ħ)( Ε +Α) t ( i / ħ)( Ε Α) t ( i / ħ)( Ε +Α) t () Από όπου παίρνουµε την χρονική εξάρτηση του πλάτους πιθανότητας C i συναρτήσει των ενεργειακών όρων E, του πλάτους πιθανότητας που εκφράζει την µετάπτωση από την κατάσταση στην κατάσταση και ανάποδα και από συντελεστές α, b που καθορίζονται από τη φυσική του συστήµατος. Για b =, οι όροι έχουν την ίδια συχνότητα ω= ( E A ) / ħ, µε ενέργεια ( E A) οπότε α C = e α C = e πιθανότητας. ( i/ ħ)( Ε Α) t ( i/ ħ)( Ε Α) t C = C ίδιες µιγαδικές συναρτήσεις για τα πλάτη Στην ψ = C+ C βγαίνει ο εκθετικός όρος κοινός παράγων και η κατάσταση αντιστοιχεί σε στάσιµη κατάσταση µε ενέργεια EII = E A. Αυτή η στάσιµη κατάσταση έχει το ίδιο πλάτος πιθανότητας να είναι η κατάσταση και ίδιο πλάτος να είναι η δηλαδή το άτοµο Ν πάνω ή κάτω. Επίσης στάσιµη κατάσταση προκύπτει για α=, οι όροι έχουν συχνότητα ( ) ω = E + A / ħ. Οπότε αν για τα πλάτη πιθανότητας ισχύει C C στάσιµη κατάσταση µε ενέργεια E ( E A) = +. I = υπάρχει

59 59 Από τις καταστάσεις βάσης,, δηµιουργούµε τις καταστάσεις I, II ώστε: I II = = ( ) ( + ) µε C C I II = = ( C C ) ( C + C ) Οι νέες αυτές καταστάσεις αποτελούν επίσης βάση για την περιγραφή του µορίου της αµµωνίας και έχουν την ιδιότητα να διαγωνοποιούν την χαµιλτονιανή: H I, I = E H I II, I = E = + A H II, II H I, II = E II = = E A Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι οι I, II αποτελούν ιδιοκαταστάσεις της χαµιλτονιανής ή ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις, µε ιδιοτιµές Ε +Α και Ε -Α. Καταλήγουµε στο συµπέρασµα ο,τι επειδή υπάρχει κάποια πιθανότητα το άτοµο του Ν να µεταπηδήσει από την µια θέση στην άλλη, η ενέργεια του µορίου δεν είναι E, όπως θα περιµέναµε, αλλά υπάρχουν δύο ενεργειακά επίπεδα ( E + A) και ( E A) µε διαφορά Α. Αν το µόριο της αµµωνίας είναι στη χαµηλή ενεργειακά κατάσταση και το διεγείρουµε µε µια συχνότητα ħ ω= A, το σύστηµα µπορεί να µεταβεί από τη µια κατάσταση στην άλλη. Αν είναι στην κατάσταση υψηλότερης ενέργειας µπορεί να µεταβεί στην χαµηλότερη εκπέµποντας ένα φωτόνιο. Πειραµατικά έχει βρεθεί ότι η διαφορά των δυο ενεργειακών επιπέδων είναι της τάξης του -4 ev που αντιστοιχεί σε συχνότητα 4 MHz και µήκος κύµατος,5 cm. Έτσι έχουµε εκποµπή µικροκυµάτων. Για να συµβούν τέτοιες µεταπτώσεις, θα πρέπει ένας φυσικός τρόπος να συνδέσει τις καταστάσεις, όπως η ύπαρξη ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου.

60 6 P ( t ), P( t) 3. Πως εξελίσσονται µε το χρόνο οι πιθανότητες άλλη κατάσταση; να µεταπέσει σε Έστω ότι τη χρονική στιγµή t =, το µόριο βρίσκεται στην κατάσταση, δηλαδή αν C () = C () =. Από τις () προκύπτει α+ b α b C( ) = = C, ( ) = = Τότε όµως οι () δίνουν τα πλάτη πιθανότητας ( ħ) i/ E t C (t) = e cos At ħ και ( ħ) i/ E t C (t) = ie sin που έχουν ίδιο µέτρο και µεταβάλλονται αρµονικά µε το χρόνο. At ħ Οι πιθανότητες το µόριο να βρεθεί στην κατάσταση ή στη κατάσταση από τις σχέσεις At P ( t) = C( t) = cos ħ At P( t) = C( t) = sin ħ Οι οποίες παριστάνονται γραφικά άρα α= b=. δίνονται P η πιθανότητα το µόριο της αµµωνίας στην κατάσταση για t =, να βρίσκεται στην και σε χρόνο t. P η πιθανότητα να βρίσκεται στην κατάσταση. Η περίοδος εξαρτάται από το Α δηλαδή από το πλάτος πιθανότητας να µπορεί να µεταβεί από την κατάσταση στην κατάσταση.

61 6 Αν A= τότε το P = P =. Επειδή A οι πιθανότητες θα ακολουθήσουν αυτή την περιοδική µορφή. Μοιάζει, ως προς τα µαθηµατικά του, µε το κλασικό ανάλογο, συζευγµένα εκκρεµή µε ένα ελατήριο, χωρίς να υπάρχει αντιστοιχία φυσικών νόµων. Εκτρέπουµε το ένα εκκρεµές ενώ το άλλο είναι ακίνητο. Λόγω της σύζευξης αρχίζει να λαµβάνει ενέργεια και το δεύτερο εκκρεµές και να ταλαντώνεται. Όταν όλη η ενέργεια περάσει στο δεύτερο εκκρεµές το πρώτο σταµατά κοκ. Σε ένα σύστηµα συζευγµένων εκκρεµών υπάρχουν οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης δηλαδή ή εκτρέπουµε και τα δύο προς την ίδια διεύθυνση και τα αφήνουµε να ταλαντώνονται ή το ένα αντίθετα από τα άλλο. Σ αυτή την περίπτωση τα εκκρεµή θα συνεχίσουν να ταλαντώνονται χωρίς να ανταλλάσσουν ενέργεια. Το ίδιο βλέπουµε και στις στάσιµες καταστάσεις.τότε θα συνεχίσουν να εξελίσσονται µε το χρόνο χωρίς να επηρεάζει η µια την άλλη. 3.3 Το µόριο της αµµωνίας σε ηλεκτροστατικό πεδίο Το µόριο της αµµωνίας αλληλεπιδρά µε το ηλεκτρικό πεδίο επειδή η κατανοµή του ηλεκτρικού φορτίου δεν είναι συµµετρική, το άζωτο έλκει και µετατοπίζει περισσότερο προς το µέρος του τα ηλεκτρόνια. Η εµφάνιση αυτής της ηλεκτρικής ροπής έχει σαν αποτέλεσµα την αλληλεπίδραση της αµµωνίας ως ηλεκτρικού δίπολου µε το ε που αντιστοιχεί σε δυναµική ενέργεια µε. H Αλλάζουν έτσι οι διαγώνιοι όροι του πίνακα Hamilton σε = E + µ ε και H = E µ ε.

62 6 Το πλάτος πιθανότητας το άζωτο να περάσει το φράγµα και να βρεθεί στην άλλη µεριά του επιπέδου, δηλαδή από την κατάσταση να πάει στην κατάσταση δεν επηρεάζεται από το ηλεκτρικό πεδίο, αφού η γεωµετρία του µορίου δεν αλλάζει, και θα αφήσουµε τα µη διαγώνια στοιχεία να είναι Α H = H= A. Λύνοντας τις διαφορικές εξισώσεις για τη χρονική εξέλιξη dc dt dc ħ dt iħ = HC+ HC = + i HC HC καταλήγουµε, όπως δείξαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, στις σχέσεις για τις ενέργειες των δύο στασίµων καταστάσεων E E H + H H H = + + H H I H + H H H = + H H II µε H, H R και = = H H H H H Βάζοντας H = E+µε, H = E µε και H = H= A Παίρνουµε ε E = E + A +µ E = E A +µ I II ε () Όπου E η ενέργεια της κατάστασης βάσης, ίδια µε την κατάσταση βάσης, έξω από το ηλεκτρικό πεδίο.

63 63 Για τιµές µηδενικού ηλεκτρικού πεδίου, οι δυο στάσιµες καταστάσεις του µορίου της αµµωνίας έχουν ενέργεια E+ A, E A. Όµως για ισχυρά πεδία, το ηλεκτρικό πεδίο µεγαλώνει, και ο όρος Α δεν είναι σηµαντικός µε αποτέλεσµα οι () να δίνουν ενέργειες ε E = E +µ = H E = E µ = H I II ε που εξαρτώνται από το µέτρο της έντασης, µε γραµµική µορφή και η ενεργειακή διαφορά των δύο καταστάσεων είναι σχεδόν ανεξάρτητη του πλάτους µεταπήδησης Α του ατόµου του Ν. Και για µικρές τιµές του πεδίου δηλαδή όταν µε < A η ανάλυση κατά Taylor δίνει µ A +µ ε A + A ε Συνεπώς ε µ µ E = E + A+ E = E A A A ε I II

64 Πως µπορούµε να διαχωρίσουµε τα µόρια των δυο καταστάσεων ; Αέριο αµµωνίας αφού περάσει από δυο φράγµατα, ώστε να έχουµε µια στενή δέσµη εισέρχεται σε περιοχή που υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο.τα ηλεκτρόδια που παράγουν το πεδίο είναι τέτοια ώστε το ηλεκτρικό πεδίο να µεταβάλλεται απότοµα κατά µήκος της δέσµης, όπως φαίνεται στο σχήµα. Έστω το µόριο βρίσκεται σε κάποια κατάσταση, γραµµικό συνδυασµό στάσιµων καταστάσεων I, II. Επίσης έστω όπως φαίνεται στο σχήµα. µε < A, και ότι το ε δεν είναι οµογενές αλλά αυξάνεται κατά µέτρο, Οι στάσιµες καταστάσεις µέσα σε αυτό το πεδίο θα έχουν ενέργειες ε µ µ E = E + A+ E = E A A A I, II ε σε µια θέση γιατί ε είναι συνάρτηση της θέσης. Η δυναµική ενέργεια οφείλεται στους όρους αλληλεπίδρασης ε ε µ µ A +, A A A

65 65 και συνεπώς η δύναµη στα µόρια είναι ή µ F I = ε Α ή αντίθετη της αύξησης της έντασης και το µόριο θα καµφθεί προς τα κάτω F II µ Α = ε δύναµη παράλληλη προς την αύξηση, άρα στην κατάσταση ΙΙ τα σωµάτια θα στραφούν προς τα πάνω αντίθετα στην Ι. Ένα µόριο στην κατάσταση έχει ενέργεια που αυξάνει µε το µέρος της δέσµης θα εκτρέπεται προς την περιοχή του χαµηλότερου ε. ε και έτσι αυτό το Ένα µόριο της κατάστασης θα εκτρέπεται προς την περιοχή του µεγαλύτερου ε,καθώς η ενέργεια του µειώνεται όσο το ε µεγαλώνει. Συµπέρασµα Η δέσµη της αµµωνίας µπορεί να διαχωριστεί από ένα ηλεκτρικό πεδίο στο οποίο το ε έχει βαθµίδα κάθετη στην δέσµη. 3.5 Το µόριο της αµµωνίας σε µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο Έστω ότι δέσµη µορίων στην κατάσταση I και µε ενέργεια E I, βγαίνει από µη οµογενές πεδίο και οδηγείται σε κοιλότητα στην οποία υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο που µεταβάλλεται χρονικά µε συχνότητα ω σύµφωνα µε την ε ε ε iωt iωt ( ) = cosω t= e + e

66 66 Η συχνότητα ω θα είναι πολύ κοντά στη συχνότητα συντονισµού του µορίουω = Aħ. Τα µόρια παρόλο που ήταν σε στάσιµη κατάσταση, δεν θα είναι πλέον σε στάσιµη κατάσταση. Ορίζουµε νέες καταστάσεις βάσης (που δεν είναι στάσιµες) τις I, II που συνδέονται µε τις αρχικές καταστάσεις βάσης µέσω των σχέσεων I = II = + Τα πλάτη πιθανότητας C I,C II ώστε κάποια κατάσταση να είναι στις νέες καταστάσεις βάσης συνδέονται µε τα C,C µε τις σχέσεις CI = C C C = C + C [ ] [ ] II Μια κατάσταση του µορίου της αµµωνίας µπορεί να περιγραφεί είτε ως ψ = C I + C II I II καταστάσεις βάσης. ψ = C είτε ως + C ανάλογα µε τις χρησιµοποιούµενες Έχουµε τις διαφορικές εξισώσεις dc ħ dt dc ħ dt ( ) II i = E A CII+µ CI ( ) ε ε I i = E+ A CI+µ CII () όπου ε= ε ( t), µε λύσεις της γενικής µορφής I II ( ) = γ ( ) C t t e ( ) = γ ( ) C t t e I II ( ) i Ε t / ħ I ( ) i Ε t / ħ II οι συντελεστές γi, γ II είναι συναρτήσεις του χρόνου. () που δεν αντιστοιχούν σε στάσιµες καταστάσεις γιατί

67 67 Η πιθανότητα να είναι στην κατάσταση I ή II είναι I γ και II γ αντίστοιχα. Αν αρχικά για t= είναι στην κατάσταση I τότε γ I = και γ II =. Για ηλεκτρικό πεδίο ασθενές δηλαδή µε< A οι λύσεις µπορούν να γραφούν όπως οι () αλλά οι παράγοντες γi, γ II είναι συναρτήσεις που µεταβάλλονται µε το χρόνο αργά σε σχέση µε τις εκθετικές συναρτήσεις των σχέσεων ().Χρησιµοποιούµε αυτό το γεγονός για να αναζητήσουµε µια προσεγγιστική λύση. Για το γ I =γ I( t) έχουµε dc dt ie t/ ħ ie t/ ħ I I I iħ = E γ e + iħ e I I dγ dt Οπότε µε αντικατάσταση στη δεύτερη από τις () έχουµε dγ E i e E e ε e dt Όµοια ie t/ ħ ie t/ ħ ie t/ ħ Iγ I+ = Iγ I +µ γii I I I II ħ (3) dγ E i e E e ε e dt ie t/ ħ ie t/ ħ ie t/ ħ IIγ II + = IIγ II +µ γ I Πολλαπλασιάζοντας την (3) επί εξισώσεις C I από τις () και δεδοµένου ότι II II II I ħ (4) dγι iω t iħ ε( ) dt dγιι ω i t iħ ε( ) dt =µ t e γιι =µ t e γι ieit/ e + ħ και την (4) επί (5) I ieiit/ e + ħ προκύπτουν οι µε ω την κυκλική συχνότητα που αντιστοιχεί στη διαφορά των ενεργειακών καταστάσεων EI EII = A= ħ ω ενώ το ω είναι η συχνότητα της συνηµιτονοειδούς µεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου. Μας ενδιαφέρει να λύσουµε τις (5) στην περίπτωση ταλαντούµενου ηλεκτρικού πεδίου ε ε ε iωt iωt ( ) = cosω t= e + e οπότε οι (5) γίνονται dγι iħ dt ε e e dγιι iħ dt ε e e ( ω+ω ) ( ω ω ) i t i t =µ + γ ( ω ω ) ( ω+ω ) i t i t =µ + γ ΙΙ Ι

68 68 Όταν ε µικρό, οι ρυθµοί µεταβολής των γi, γ II είναι επίσης µικροί, ενώ οι εκθετικοί όροι µεταβάλλονται πολύ πιο γρήγορα. Αυτοί οι εκθετικοί όροι έχουν πραγµατικά και φανταστικά µέρη που ταλαντώνονται µε συχνότητα ω+ω ή ω ω. Οι όροι µε ω+ω ταλαντώνονται πολύ γρήγορα γύρω από µια µέση τιµή µηδέν. Κάνουµε την προσέγγιση να τους αντικαταστήσουµε µε τη µέση τιµή τους δηλαδή το µηδέν και τότε dγ Ι iħ =µ dt dγιι iħ dt ε ε e ( ) i ω ω ( ω ω ) i =µ e γ t t γ ΙΙ Ι (6) Ακόµα και οι παραµένοντες όροι µε εκθέτες ανάλογους του ω ω, µεταβάλλονται γρήγορα εκτός αν ωκοντά στο ω. Μόνο τότε το αριστερό µέρος των (6) θα µεταβαλλόταν αρκετά αργά ώστε να προέκυπτε µια ποσότητα υπολογίσιµη µετά την ολοκλήρωση. Με άλλα λόγια µε ένα ασθενές ηλεκτρικό πεδίο οι µόνες συχνότητες που είναι σηµαντικές είναι οι κοντά στοω, E ω ω = I E II ħ. Αν δεν υπάρχει πεδίο δηλ ε = οι εξισώσεις θα έδιναν γi, γ II σταθερά, ανεξάρτητα του χρόνου και τότε τα C I,C II θα εξέφραζαν στάσιµες καταστάσεις. Τώρα δεν εκφράζονται στάσιµες καταστάσεις, το ότι περιµένουµε µεταπτώσεις από τη µια κατάσταση στην άλλη, οφείλεται αποκλειστικά και µόνο στο ηλεκτρικό πεδίο.

69 Συντονισµός Ας εξετάσουµε την περίπτωση του τέλειου συντονισµού. Αν πάρουµε ω=ω θα έχουµε ε dγ Ι iµ dt dγ ΙΙ ħ iµ dt ħ µε γενικές λύσεις = γ ε ΙΙ = γ Ι ε µ µ γ Ι =α + ħ ħ µ ε µ ε γ ΙΙ = ħ ħ cos t bsin t ib cos t iα sin t ε Όπου τα α και b καθορίζονται από τις αρχικές οριακές συνθήκες του προβλήµατος. Αν τη χρονική στιγµή t = εισάγουµε στην κοιλότητα µόρια στην ενεργειακή κατάσταση I δηλ. ( ) I ψ = τότε CI =, CII = οπότε γ I() =, γ II () =. Η πιθανότητα είναι I I P = γ () =α = και II II P = γ () = b =, άρα α=, b= Η πιθανότητα το µόριο να είναι στην κατάσταση I µετά χρόνο t είναι P cos t I ε µ = γ I = ħ ενώ η πιθανότητα να είναι στην II είναι P sin t II ε µ = γ II = ħ. Γραφική παράσταση των πιθανοτήτων των δυο καταστάσεων του µορίου της αµµωνίας σε µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο

70 7 Ας υποθέσουµε ότι το µόριο χρειάζεται χρόνο τ για να περάσει από την κοιλότητα. µ ετ ħ =π Αν έχουµε φτιάξει την κοιλότητα µε τέτοιο µήκος ώστε ( ) τότε το µόριο που όταν εισέρχεται στην κοιλότητα είναι στην κατάσταση I, όταν θα εξέρχεται από αυτήν θα είναι στην κατάσταση II., Πρόκειται για µεταπτωτική κίνηση όπως εκείνη του µιονίου µε spin ½ µέσα σε µαγνητικό πεδίο που µελετήσαµε. Αν εισέρχεται την κοιλότητα ευρισκόµενο στην κατάσταση υψηλότερης ενέργειας, όταν εξέρχεται από αυτή θα βρίσκεται στην κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας. Η ενέργεια ελαττώνεται και η απώλεια ενέργειας δεν µπορεί να πάει πουθενά αλλού εκτός από το σύστηµα που δηµιουργεί το πεδίο. Επιγραµµατικά : Με φίλτρο χωρίζουµε τη δέσµη αµµωνίας έτσι ώστε να εισέλθουν στην κοιλότητα µόνο τα µόρια υψηλότερης ενέργειας. Το ηλεκτρικό πεδίο της οποίας προκαλεί µεταπτώσεις από την κατάσταση υψηλότερης στην κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας και η ενέργεια που απελευθερώνεται τροφοδοτεί το ταλαντούµενο πεδίο. 3.7 Μεταπτώσεις εκτός συντονισµού Θα θέλαµε να ξέρουµε πως µεταβάλλονται οι καταστάσεις συχνότητα της κοιλότητας είναι κοντά στη συχνότητα συντονισµού ω. µ ε Ας υποθέσουµε ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι µικρό και τ. ħ στην περίπτωση που η Τότε ακόµα και στην περίπτωση τέλειου συντονισµού η πιθανότητα εκποµπής είναι µικρή.

71 Ας ξεκινήσουµε µε γ I =, γ II =. Κατά τη διάρκεια του χρόνου τ θα περιµέναµε το γ I να µείνει κοντά στη µονάδα και το γiiνα παραµένει πολύ µικρότερο της µονάδας. Υπολογίζουµε το γ II από τις (7), θέτοντας γ I = και ολοκληρώνοντας από µηδέν έως τ. 7 Έτσι i( ) τ ( ω ω ) γ = II ε µ e ω ω ħ Που δίνει το πλάτος πιθανότητας να έχουµε µετάπτωση από την κατάσταση I στην κατάσταση II κατά τη διάρκεια του χρόνου τ. Ενώ η πιθανότητα δίνεται από τη ε ( ω ω ) τ ( ω ω ) τ / sin I II = γ II = / P µ. ħ Πιθανότητα µετάπτωσης στο µόριο της αµµωνίας συναρτήσει της συχνότητας µεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου Υπάρχει µια πολύ µικρή περιοχή συχνοτήτων µεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου για τις οποίες η πιθανότητα µετάπτωση είναι σηµαντική. Η καµπύλη πέφτει απότοµα στο µηδέν ω ω = πτ. Το µεγαλύτερο µέρος της περιοχής κάτω από την καµπύλη για ( ) βρίσκεται σε εύρος ±πτ. Για συχνότητα κοντά στο ω υπάρχει σηµαντική πιθανότητα µετάπτωσης.

72 7 Αυτή η παρατήρηση µας βοηθά να σχεδιάσουµε µια συσκευή (maser αµµωνίας) µε το οποίο µπορούµε να επιλέγουµε συχνότητες µε πάρα πολύ καλή προσέγγιση. Ας υποθέσουµε ότι τα µόρια µένουν στην κοιλότητα για χρόνους της τάξης του ms, τότε για f = 4GHz µπορούµε να υπολογίσουµε ότι η πιθανότητα µετάπτωσης πέφτει στο µηδέν. Μπορούµε να υπολογίσουµε την απόκλιση γύρω απ την συχνότητα µετάπτωσης του µορίου της αµµωνίας ως προς την συχνότητα της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας που θα εκπεµφθεί από αυτή την µετάπτωση και είναι Έτσι f - f f = = f 4 τ 4 8 είναι η ακρίβεια µε την οποία µπορούµε να επιλέξουµε συχνότητες του ηλεκτρικού πεδίου για τις οποίες να έχουµε σηµαντική πιθανότητα µετάπτωσης. Προφανώς η συχνότητα πρέπει να είναι πολύ κοντά στην ω για να έχουµε µια σηµαντική πιθανότητα µετάπτωσης. Αυτή είναι η βάση της µεγάλης ακρίβειας των ατοµικών ρολογιών που δουλεύουν µε την αρχή του maser. [5] maser αµµωνίας Ελλείψει ενός ηλεκτρικού πεδίου υπάρχουν δύο στάσιµες καταστάσεις µε ενέργεια Ε +Α και Ε -Α αντίστοιχα., η διηγερµένη και η χαµηλότερης ενέργειας. Για να φτιάξουµε ένα maser, θα αναγκάσουµε µόρια που βρίσκονται στην κατάσταση I να δώσουν πίσω την ενεργειακή διαφορά (E + Α) (E Α) = A, µεταπίπτοντας στην κατάσταση II. Πρέπει να τα αναγκάσουµε, επειδή αυθόρµητα αυτά τα µόρια θα µεταπηδήσουν στην II αλλά θα το κάνουν πολύ αργά., σε ένα µήνα. Η συχνότητα αυτής της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας είναι A /ħ. Αλλά αυτή είναι η ω. Η ενεργειακή διαφορά αυτών των δυο καταστάσεων είναι περίπου κύµατος ο 8 4,, cm 4 evκαι αντιστοιχεί σε µήκος ο λ Α = = Α= που ανήκει στην περιοχή των µικροκυµάτων. Ο τρόπος αυτός είναι stimulated emission (της υποκινούµενης εκποµπής).

73 Το ιόν + H Ας θεωρήσουµε σύστηµα πρωτονίων τα οποία βρίσκονται αρκετά αποµακρυσµένα το ένα από τα άλλο και ενός ηλεκτρονίου. Το ηλεκτρόνιο θα είναι είτε γύρω από το ένα πρωτόνιο είτε γύρω από το άλλο πρωτόνιο. Αγνοούµε όλες τις άλλες φυσικές παραµέτρους όπως είναι ο προσανατολισµός του spin και µε αυτό τον τρόπο µπορούµε να ορίσουµε τις δύο καταστάσεις βάσης : κατάσταση βάσης είναι αυτή στην οποία το ηλεκτρόνιο ανήκει στο ένα πρωτόνιο και αυτή που το ηλεκτρόνιο ανήκει στο άλλο πρωτόνιο. H Τα διαγώνια στοιχεία της Hamiltonian θα είναι = H = E ενέργεια ενός ατόµου υδρογόνου αποµακρυσµένα το ένα από το άλλο. H Τα µη διαγώνια στοιχεία = H= A και εκφράζουν την και ενός πρωτονίου που βρίσκονται αρκετά εκφράζουν το πλάτος πιθανότητας το ηλεκτρόνιο να εγκαταλείψει το άτοµο στο οποίο βρίσκεται και να πάει στο άλλο πρωτόνιο και να µεταπέσουµε από την µια κατάσταση στην άλλη κατάσταση. Προφανώς και κλασσικά αυτή η µετάπτωση είναι απαγορευµένη, η ενέργεια ιονισµού είναι 3,6 ev, η κινητική του ενέργεια είναι πολύ µικρότερη απ αυτή την ενέργεια. Κβαντοµηχανικά µπορεί να συµβεί µε ένα φαινόµενο σήραγγος.το ηλεκτρόνιο µπορεί να περνά το φράγµα δυναµικού και να βρίσκεται στην άλλη κατάσταση. Βεβαίως το πλάτος πιθανότητας είναι µικρό. Κάθε κατάσταση του ιονισµένου µορίου του Η µπορεί να γράφεται ψ = ψ + ψ = C+ C Και η χρονική εξέλιξη των πλατών σκέδασης δίνεται από την dci iħ dt = j H C ij j

74 74 Μπορούµε να αναζητήσουµε στάσιµες καταστάσεις. Τη χρονική στιγµή t = οι στάσιµες καταστάσεις εκφράζονται I = EI = E+ A II = + µε EII = E A αντισυµµετρική ή κατά σταση υψηλ. ενέργειας συµµετρική ή κατά σταση χαµηλ. ενέργειας οπότε ψ = I ψ = II I e II e ( ħ) i/ E t I ( ħ) i/ E t II Οι στάσιµες καταστάσεις είναι γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων και, συνεπώς το ηλεκτρόνιο δεν ανήκει σε ένα από τα πρωτόνια, και εκφράζουν µια συλλογική συµπεριφορά των πρωτονίων και του ηλεκτρονίου. Αν βάλουµε κοντά ένα άτοµο υδρογόνου και ένα πρωτόνιο, το ηλεκτρόνιο δε θα µείνει στο άτοµο του υδρογόνου, αλλά θα ταλαντώνεται µεταξύ των δύο πρωτονίων, δίνοντας µια χρονοµεταβαλλόµενη λύση. Για να έχουµε τη λύση χαµηλής ενέργειας, που δε µεταβάλλεται µε το χρόνο, θα πρέπει να ξεκινήσουµε το σύστηµα µε ίδια πλάτη πιθανότητας το ηλεκτρόνιο να βρίσκεται γύρω από κάθε πρωτόνιο. Υπάρχει µόνο ένα e και έχει το ίδιο πλάτος πιθανότητας να είναι σε κάθε µια από τις δυο καταστάσεις. Το πλάτος πιθανότητας Α ενός ηλεκτρονίου που είναι κοντά σε ένα πρωτόνιο να µεταβεί στο άλλο, εξαρτάται από την απόσταση που χωρίζει τα δύο πρωτόνια. Όσο πιο κοντά είναι τα πρωτόνια, τόσο µεγαλύτερο είναι το πλάτος. [6] Το Α µεγαλώνει για µικρές αποστάσεις µεταξύ πρωτονίων. Έτσι αν το σύστηµα είναι στην κατάσταση I, η ενέργεια Ε + Α µεγαλώνει µικραίνοντας την απόσταση. Αυτό το κβαντοµηχανικό φαινόµενο έχει σαν αποτέλεσµα να αναπτύσσεται απωστική δύναµη µεταξύ των πρωτονίων. Αντίθετα, αν είναι στην κατάσταση II η συνολική ενέργεια µειώνεται και τα πρωτόνια τείνουν να πλησιάσουν. Υπάρχει ελκτική δύναµη µεταξύ των πρωτονίων. ίνεται έτσι µια κβαντοµηχανική εξήγηση του δεσµού στο ιόν H +.

75 75 Η µεταβολή των ενεργειών µε την απόσταση. Όµως υπάρχει και ηλεκτροστατική άπωση µεταξύ των δύο πρωτονίων. Όσο το πρωτόνιο είναι µακριά από το άτοµο του υδρογόνου, «βλέπει» µια ουδέτερη κατανοµή φορτίου. Σε πολύ κοντινή απόσταση,το πρωτόνιο κατά µέσο όρο βρίσκεται πιο κοντά στο άλλο πρωτόνιο παρά στο ηλεκτρόνιο.υπάρχει τότε µια επιπλέον ηλεκτροστατική δυναµική ενέργεια θετική, η οποία εξαρτάται από την απόσταση, περίπου όπως φαίνεται στο πιο πάνω σχήµα µε τη διακεκοµµένη γραµµή. Αθροίζοντας και αφαιρώντας την ενέργεια διαχωρισµού Α από τη νέα αυτή ενέργεια Ε, έχουµε µια νέα εικόνα, που ποιοτικά φαίνεται στο σχήµα. E-E άτοµο + p 3.6eV εξάρτηση των ενεργειών από τη απόσταση µεταξύ των πρωτονίων. (Σε µικρές ενδοπρωτονικές αποστάσεις η κβαντοµηχανική προβλέπει και φαινόµενα όπως η «πόλωση του κενού».) ιαπιστώνουµε ότι η κατάσταση II παρουσιάζει ένα ενεργειακό ελάχιστο. Αυτή θα είναι η κατάσταση ισορροπίας. Η ενέργεια σε αυτό το σηµείο είναι µικρότερη απ ότι σε ένα

76 άτοµο υδρογόνου και ένα πρωτόνιο ξεχωριστά, οπότε το σύστηµα καθίσταται δέσµιο. Το ηλεκτρόνιο κρατά τα δύο πρωτόνια µαζί. 76 Μπορούµε να δούµε και µε ένα διαφορετικό τρόπο, το λόγο που το ιονισµένο µόριο του υδρογόνου έχει χαµηλότερη ενέργεια από ένα άτοµο υδρογόνου και ένα πρωτόνιο. Η αρχή της αβεβαιότητας p x ħ επιβάλλει στο ηλεκτρόνιο, στο άτοµο του υδρογόνου, µεγάλη χωρική διασπορά, και συνεπώς µικρή αβεβαιότητα στην ορµή, σε αντίθετη περίπτωση θα είχε πάρα πολύ µεγάλη κινητική ενέργεια. Συγχρόνως το ηλεκτρόνιο πρέπει να έχει χαµηλή δυναµική ενέργεια Coulomb. Όταν βρίσκεται µε δύο πρωτόνια υπάρχει περισσότερος χώρος, όπου το ηλεκτρόνιο µπορεί να έχει χαµηλή δυναµική ενέργεια. Μπορεί να έχει µεγάλη διασπορά, χαµηλώνοντας την κινητική του ενέργεια, χωρίς να αυξάνει τη δυναµική του ενέργεια. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα µικρότερη ενέργεια από το άτοµο του υδρογόνου. Όµως γιατί η κατάσταση I έχει µεγαλύτερη ενέργεια; Αυτή η κατάσταση προέρχεται από τη διαφορά των δύο συµµετρικών καταστάσεων και, I =. Λόγω συµµετρίας των καταστάσεων και, η διαφορά πρέπει να έχει µηδενικό πλάτος πιθανότητας να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στο µέσον της απόστασης των δύο πρωτονίων. Εποµένως, αναγκάζεται να είναι περισσότερο εντοπισµένο στο χώρο και ως εκ τούτου η κατάσταση I έχει µεγαλύτερη ενέργεια. 3. Το µόριο του υδρογόνου Στο µόριο του υδρογόνου υπάρχουν δύο ηλεκτρόνια. Θεωρούµε τα δυο πρωτόνια καλά διαχωρισµένα και έχουµε να προσθέσουµε δυο ηλεκτρόνια. Χαρακτηρίζουµε το ένα ηλεκτρόνιο α και το άλλο b.θα αγνοήσουµε τις καταστάσεις και τα δύο ηλεκτρόνια να βρίσκονται κοντά στο ίδιο πρωτόνιο, οποίες θα έχουν µεγαλύτερη ενέργεια, λόγω της ισχυρής απωστικής δύναµης Coulomb µεταξύ των ηλεκτρονίων και της απαγορευτικής αρχής Pauli.

77 77 Έχουµε λοιπόν, µόνο δυο πιθανές καταστάσεις, όπως φαίνονται στο σχήµα., και, οι οποίες, λόγω συµµετρίας ατόµων υδρογόνου. είναι ενεργειακά ισότιµες. Θα δούµε όµως ότι η ενέργεια του συστήµατος, δεν είναι η ακριβώς ενέργεια των δυο Κάθε κατάσταση θα περιγράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων φ = βάσης, i i i φ. Υπάρχει κάποιο πλάτος πιθανότητας Α τα ηλεκτρόνια να κινηθούν στον ενδιάµεσο χώρο και να ανταλλάξουν θέσεις. Αυτή η πιθανότητα ανταλλαγής σηµαίνει ότι η ενέργεια του συστήµατος διαχωρίζεται,όπως και στα άλλα συστήµατα δύο καταστάσεων. Ο διαχωρισµός είναι πολύ µικρός όταν η απόσταση των δυο πρωτονίων είναι µεγάλη. Απωστικό δυναµικό έσµια κατάσταση Οι ενέργειες του Η για διαφορετικές αποστάσεις µεταξύ των πρωτονίων. Ε Η =3,6EV Καθώς τα πρωτόνια πλησιάζουν το ένα το άλλο, το πλάτος πιθανότητας τα ηλεκτρόνια να µεταπηδούν, από το ένα πρωτόνιο στο άλλο, αυξάνει.η µείωση της χαµηλότερης ενεργειακά κατάστασης σηµαίνει ότι υπάρχει µια ελκτική δύναµη που τραβά τα άτοµα κοντά. Όταν τα πρωτόνια πλησιάζουν, λόγω άπωσης Coulomb, υπάρχει αύξηση ενέργειας. Το αποτέλεσµα είναι ότι οι δυο στάσιµες καταστάσεις έχουν ενέργειες που µεταβάλλονται και ξεχωρίζονται όπως φαίνεται στο σχήµα. Με διαχωρισµό γύρω στα,74 Α, το χαµηλότερο ενεργειακό επίπεδο παίρνει ελάχιστη τιµή. Αυτή είναι η πραγµατική απόσταση µεταξύ των πρωτονίων στο µόριο υδρογόνου.

78 78 Οι στάσιµες καταστάσεις είναι : II = + ( ) και I = ( ) Αν στην κατάσταση αλλάξουµε θέσεις στα ηλεκτρόνια, θα καταλήξουµε στην κατάσταση και αντιθέτως. Η στάσιµη κατάσταση II είναι συµµετρική, µε αλλαγή παίρνουµε την κατάσταση ( + ). Αν και τα δυο ηλεκτρόνια έχουν ίδιο spin η µόνη επιτρεπτή κατάσταση είναι I = ( ) Αλλά η στάσιµη κατάσταση I είναι αντισυµµετρική, αν ανταλλάξουµε τα ηλεκτρόνια παίρνουµε την κατάσταση ( ) = I. Έτσι αν φέρουµε δυο ηλεκτρόνια µε ίδιας κατεύθυνσης spin κοντά,θα βρίσκονται στην κατάσταση I και όχι στην II. Όµως η κατάσταση I έχει µεγαλύτερη ενέργεια από τα δύο ξεχωριστά άτοµα του υδρογόνου.η καµπύλη της δεν έχει ελάχιστη τιµή και ως εκ τούτου θα οδηγούσε σε άπωση µεταξύ τους. Το µόριο του υδρογόνου δεν µπορεί να υπάρχει µε τα δύο ηλεκτρόνια να έχουν την ίδια τιµή spin. Η κατάσταση II που είναι συµµετρική, µπορεί να υπάρξει µόνο στην περίπτωση που το ηλεκτρόνιο α και το ηλεκτρόνιο b έχουν spins διαφορετικά προσανατολισµένα.

79 79 Έτσι η κατάσταση II µε αντιπαράλληλα spins, είναι κατάσταση ισορροπίας λόγω απαγορευτικής αρχής Pauli και η µόνη δέσµια κατάσταση. Ο δεσµός στο µόριο Η πρέπει να έχει ένα ηλεκτρόνιο µε spin πάνω και ένα µε κάτω. Το µόριο του Η είναι πιο σύνθετο αν λάβουµε υπ όψιν και τα spins των πρωτονίων. Τότε πρόκειται για ένα σύστηµα 8 καταστάσεων : υπάρχουν 4 διαφορετικές διατάξεις για κάθε µια από τις καταστάσεις και. Η επαλληλία θα δώσει 4 εκφυλισµένες καταστάσεις δέσµιες. Αγνοώντας τα spin αυτά κάνουµε προσέγγιση. Τα τελικά µας όµως συµπεράσµατα είναι σωστά. Βρήκαµε ότι η κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας, η δέσµια κατάσταση, έχει δύο ηλεκτρόνια µε spin αντιπαράλληλα. Αν υποθέσουµε ότι τα δύο πρωτόνια αντικατασταθίστανται από δύο ιόντα. Οι ενέργειες των καταστάσεων και παραµένουν ίσες, επειδή σε κάθε µία έχουµε ένα ηλεκτρόνιο δέσµιο σε κάθε ιόν. Η διαφοροποίηση των ενεργειακών επιπέδων είναι ανάλογη του Α. εξιά και αριστερά είναι οι θεµελιώδεις στάθµες των ελευθέρων ατόµων και στο µέσον οι δυο πρώτες στάθµες του µορίου. Το ενεργειακό κέρδος από τον σχηµατισµό του µορίου είναι ίσο µε ( ) Ε Ε A = A

80 8 Η κβαντοµηχανική εικόνα του µορίου Η. (α) τα επικαλυπτόµενα ατοµικά τροχιακά s που συµµετέχουν στο δεσµό (β) ένα απλοποιηµένο σκίτσο του µοριακού τροχιακού που προκύπτει από τη «συνένωση» τους. Τα δυο ηλεκτρόνια σθένους συγκατοικούν πάνω σε αυτό το µοριακό τροχιακό µε αντίθετα spin. Το Η είναι το κλασικό παράδειγµα οµοιοπολικού δεσµού. Τέλος, πρέπει να αναφέρουµε, ότι αν η έλξη του ιόντος α προς ηλεκτρόνιο είναι πολύ µεγαλύτερη από του b, το να αγνοήσουµε τις άλλες πιθανές καταστάσεις δεν είναι πια σωστό. Μπορεί η συνολική ενέργεια να είναι χαµηλή, ακόµα και στην περίπτωση που και τα δύο ηλεκτρόνια βρίσκονται στο ίδιο ιόν α και κανένα ηλεκτρόνιο στο b. Η ισχυρή έλξη του α µπορεί να ξεπεράσει την αµοιβαία απώθηση των ηλεκτρονίων. Αν συµβαίνει αυτό, η κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας µπορεί να είναι αυτή που και τα δύο ηλεκτρόνια βρίσκονται στο ένα ιόν και κανένα στο άλλο. Η κατάσταση µοιάζει µε εκείνη ενός θετικού και ενός αρνητικού ιόντος. Αυτό συµβαίνει στην περίπτωση του «ιοντικού µορίου» NaCl. Στην πράξη υπάρχουν όλες οι ενδιάµεσες δυνατότητες µεταξύ του ιοντικού δεσµού και του δεσµού ανταλλαγής ηλεκτρονίων που περιγράψαµε παραπάνω. Πολλά από αυτά που µελετώνται στη χηµεία µπορούν να γίνουν κατανοητά µε όρους κβαντοµηχανικής περιγραφής.

81 8 3. Το µόριο του βενζολίου Το µόριο του βενζολίου είναι ένα κυκλικό οργανικό µόριο, που αποτελείται από έξι άτοµα άνθρακα και έξι άτοµα υδρογόνου, δεσµευµένα ένα σε κάθε άτοµο άνθρακα. Ο συντακτικός τύπος του βενζολίου που προτάθηκε από τον Kekule το 865 είχε χαρακτηριστική µορφή εξαγώνου µε εναλλάξ απλούς και διπλούς δεσµούς. Με τη συµβατική εικόνα των δεσµών σθένους, πρέπει να υποθέσουµε διπλούς δεσµούς για τα µισά άτοµα άνθρακα και στην περίπτωση της χαµηλότερης ενέργειας υπάρχουν δύο πιθανότητες, φυσικά υπάρχουν και καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας. Όπως έχουµε δει στο µόριο η κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας δεν είναι ούτε η µία, ούτε η άλλη του σχήµατος αλλά µια χαµηλότερη ενεργειακά, µιας ποσότητας ανάλογης του πλάτους πιθανότητας να µεταπηδήσει από την µια από αυτές τις καταστάσεις στην άλλη. Ας υποθέσουµε ότι οι δεσµοί στο µόριο του βενζολίου µπορούν να εναλλάσσονται µε τους δυο αυτούς τρόπους, οι οποίοι αντιστοιχούν στην ίδια ενέργεια. Μπορούµε να δούµε τότε το βενζόλιο σαν σύστηµα δύο καταστάσεων υπάρχει λοιπόν ένα πλάτος πιθανότητας Α να µεταπίπτει από την µια διάταξη ηλεκτρόνιων στην άλλη. Όπως έχουµε δει αυτή η δυνατότητα µεταπήδησης φτιάχνει µια µικτή κατάσταση µε ενέργεια χαµηλότερη από εκείνη που θα υπολογίζαµε κοιτάζοντας την κάθε κατάσταση χωριστά. Αντ αυτού υπάρχουν δυο στάσιµες καταστάσεις, µια µε ενέργεια µεγαλύτερη και µια µε ενέργεια µικρότερη από την αναµενόµενη τιµή. Έτσι η αληθινή, χαµηλής ενέργειας, κατάσταση του βενζολίου δεν είναι καµία από τις δύο πιθανές αλλά έχει πλάτος πιθανότητας να είναι σε κάποια από αυτές. Υπάρχει και η κατάσταση υψηλότερης ενέργειας, αφού το βενζόλιο απορροφά υπεριώδη ακτινοβολία συχνότητας ( ) ω= EI E II / ħ.

82 8 Στο µόριο της αµµωνίας υπήρχαν 3 πρωτόνια που µεταπηδούσαν και η εκπεµπόµενη ακτινοβολία ανήκε στη περιοχή των µικροκυµάτων. Στο µόριο του βενζολίου µεταπηδούν τα ηλεκτρόνια και επειδή είναι ελαφρύτερα κάνουν τον συντελεστή Α πολύ µεγάλο και η εκπεµπόµενη ακτινοβολία ανήκει στο υπεριώδες. Ας δούµε το ίδιο µόριο από µια διαφορετική προσέγγιση. Ας υποθέσουµε τώρα, την ακόλουθη εικόνα. Τα έξι άτοµα άνθρακα ενώνονται µε απλούς δεσµούς όπως στο σχήµα. Κάθε δεσµός αντιστοιχεί σε δύο ηλεκτρόνια. Έχουµε λοιπόν «αποµακρύνει» 6 ηλεκτρόνια εποµένως στην εικόνα αυτή, έχουµε ιονίσει το µόριο του βενζολίου έξι φορές. Τι θα συµβεί αν αρχίσουµε να επιστρέφουµε ένα ηλεκτρόνιο κάθε φορά, θεωρώντας ότι µπορούν να κινηθούν ελεύθερα στο δακτύλιο του βενζολίου; Υποθέτουµε ακόµη, ότι όλοι οι δεσµοί που φαίνονται στο σχήµα είναι καλυµµένοι, οπότε δε θα τους υπολογίσουµε. Στο δακτύλιο του βενζολίου, το ηλεκτρόνιο,µπορεί να µπει σε µία οποιαδήποτε από τις έξι ελεύθερες θέσεις οι οποίες αντιστοιχούν σε έξι καταστάσεις βάσης. Θα έχει κάποιο πλάτος να µεταβεί από τη µία θέση στην άλλη. Αν αναλύσουµε τις στάσιµες καταστάσεις, θα βρούµε τα ενεργειακά επίπεδα που θα τους αντιστοιχούν. Αν Ε είναι η ενέργεια για να βάλλουµε ένα ηλεκτρόνιο και Α το πλάτος πιθανότητας να µεταπηδήσει στην επόµενη θέση Οι πιθανές ενέργειες για το πρώτο ηλεκτρόνιο είναι E A, E + A. Έπειτα ας βάλουµε ακόµη ένα ηλεκτρόνιο και ας θεωρήσουµε ότι δεν αλληλεπιδρά µε το πρώτο, αγνοώντας την απωστική δύναµη Coulomb.

83 Ας θυµηθούµε ότι η πιθανή κατάσταση µε ενέργεια E 83 Aείναι στην πραγµατικότητα διπλή. υο ηλεκτρόνια µπορούν να πάνε στην ίδια κατάσταση αρκεί να έχουν αντιπαράλληλα spins. Έτσι η κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας και για τα δυο ηλεκτρόνια είναι η ( E A).Πρόκειται περί διπλού δεσµού. Κάθε µία από τις καταστάσεις και έχει 3 διπλούς δεσµούς Κάθε ένας από αυτούς έχει ενέργεια ( E A) 6(E A)., τότε η ενέργεια θα είναι περίπου Ας δούµε αν η ενέργεια του βενζολίου είναι µικρότερη από εκείνη των 3 διπλών δεσµών, από άλλη άποψη. Αρχίζουµε µε έναν έξι φορές ιονισµένο δακτύλιο βενζολίου και προσθέτουµε ένα ηλεκτρόνιο. Έχουµε ένα σύστηµα έξι καταστάσεων.μπορούµε να γράψουµε έξι εξισώσεις µε έξι πλάτη πιθανότητας. Μπορούµε να πούµε ότι µοιάζει µε την διάδοση ενός ηλεκτρονίου σε µια άπειρη γραµµή από άτοµα, αλλά θα επιβάλλουµε επιπλέον τη συνθήκη της περιοδικότητας ανά έξι θέσεις ατόµων. Είναι γνωστό ότι το ηλεκτρόνιο σε µια σειρά ατόµων, έχει καταστάσεις καθορισµένης ενέργειας µε πλάτος πιθανότητας για κάθε θέση e ikx n = e ikbn E= E Για κάθε k η ενέργεια είναι: A cos kb Αν θέλουµε να χρησιµοποιήσουµε µόνο τις λύσεις που έχουν περιοδικότητα, ανά Ν άτοµα, τότε το () ikbn e kbn s = = π όπου s ακέραιος. Γνωρίζουµε ότι δεν έχει νόηµα να παίρνουµε το k έξω από την περιοχή ±π b. Αυτό σηµαίνει ότι παίρνουµε όλες τις δυνατές καταστάσεις δίνοντας τιµές στο s σε µια περιοχή ± N. Για ένα δακτύλιο Ν ατόµων, υπάρχουν Ν καθορισµένες ενεργειακές καταστάσεις µε κυµατικούς αριθµούς ενέργεια που δίνεται από την (). k s που δίνονται από τη σχέση k s π = s.κάθε κατάσταση έχει Nb

84 84 Το ενεργειακό φάσµα του βενζολίου είναι : s=- s=3 s= s=- s= s= Πρέπει να µπουν 6 ηλεκτρόνια. Στην κατάσταση χαµηλότερης ενέργειας πάνε δύο για s= και από δύο για s=+ και s=. Μπορούµε να βάλουµε δύο ηλεκτρόνια για κάθε τιµή του κυµατικού αριθµού, καθώς υπάρχουν δύο καταστάσεις spin σε κάθε κατάσταση. Εποµένως σύµφωνα µε την προσέγγιση ελεύθερων σωµατιδίων για την κατάσταση Eground = E A + 4 E A = 6E 8A. χαµηλότερης ενέργειας θα έχουµε ( ) ( ) Συνεπώς η ενέργεια είναι χαµηλότερη,συγκρινόµενη µε εκείνη των 3 ξεχωριστών διπλών δεσµών κατά την ποσότητα Α. Μπορούµε από το σχήµα να υπολογίσουµε το φάσµα απορρόφησης του βενζολίου. Η χαµηλότερη ενέργεια διέγερσης, αντιστοιχεί στη µετάβαση από την υψηλότερη συµπληρωµένη στάθµη στη χαµηλότερη µη συµπληρωµένη και εποµένως σε ενέργεια Α. Θα απορροφά επίσης φωτόνια ενέργειας 3Α, και 4Α. Το φάσµα απορρόφησης του βενζολίου έχει προσδιοριστεί πειραµατικά και ταιριάζει ποιοτικά µε την παραπάνω περιγραφή. Από την προσαρµογή του όµως προκύπτει µια σταθερά Α που είναι δύο µε τρεις φορές µεγαλύτερη από την τιµή που προκύπτει από την ενέργεια του χηµικού δεσµού. Είναι σαφές, ότι η προσέγγιση του ελεύθερου σωµατιδίου δεν είναι κατάλληλη για την περίπτωση του βενζολίου. Παρά ταύτα, στα κβαντοµηχανικά προβλήµατα της οργανικής χηµείας, τέτοιου είδους προσεγγίσεις σε συνδυασµό µε εµπειρικές διορθώσεις, είναι που οδηγούν στην κατανόηση της συµπεριφοράς των πολύπλοκων οργανικών ενώσεων.

85 85 Κεφάλαιο 4 ο Στοιχειώδη σωµατίδια 4. Ποια είναι πραγµατικά τα στοιχειώδη σωµάτια και ποιες είναι οι αλληλεπιδράσεις τους. Ως το 94 οι φυσικοί πίστευαν ότι τα πιο στοιχειώδη σωµατίδια είναι τα πρωτόνια, τα νετρόνια, τα ηλεκτρόνια και τα νετρίνα, µε τα αντισωµάτιά τους. Από το 945, σε κρούσεις µεταξύ σωµατιδίων υψηλής ενέργειας, ανακαλύφθηκαν πολλά νέα σωµατίδια µε πολύ µικρή διάρκεια ζωής ( sec).σήµερα τίθεται έντονα το ερώτηµα αν όλα αυτά τα σωµατίδια είναι στοιχειώδη. Τα σωµατίδια δεν είναι µόνιµα, µπορούν να δηµιουργούνται και να καταστρέφονται.κάθε σωµατίδιο έχει το αντισωµατίδιο του.σε µερικές περιπτώσεις το σωµατίδιο είναι ίδιο και απαράλλακτο µε το αντισωµατίδιό του. Πολλά σωµατίδια είναι ασταθή και διασπώνται αυθόρµητα σε άλλα σωµατίδια. Από τα πειράµατα και τις ως τώρα αποδεκτές θεωρίες, θεωρούµε ότι υπάρχουν δύο οικογένειες στοιχειωδών σωµατιδίων, τα quarks και τα λεπτόνια. Όλα τα σωµατίδια στη φύση υπόκεινται σε τέσσερις βασικές δυνάµεις, µε τη έννοια ότι όχι µόνο αλληλεπιδρούν µέσω αυτών αλλά και παράγονται µέσω αυτών των δυνάµεων. Οι δυνάµεις αυτές είναι η ισχυρή, η ηλεκτροµαγνητική, η ασθενής και η βαρυτική. Ισχυρή αλληλεπίδραση : Μικρής εµβέλειας (- fm), υπεύθυνη για την πυρηνική δύναµη και την παραγωγή πιονίων και αρκετών άλλων σωµατιδίων σε συγκρούσεις υψηλών ενεργειών. Έχει ως σωµατίδιο φορέα το γκλουόνιο ή γλοιόνιο Ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση: Μεγάλης εµβέλειας (~/r ), ισχύς: ισχυρή/, υπεύθυνη για το σχηµατισµό ατόµων και µορίων, µε φορέα το φωτόνιο

86 Ασθενής αλληλεπίδραση: Μικρής εµβέλειας (- fm), ισχύς: ισχυρή/9, υπεύθυνη για την διάσπαση β και για τη διάσπαση πολλών ασταθών σωµατιδίων, πιονίων σε µιόνια, µιονίων σε ηλεκτρόνια κλπ., µε φορείς ± W, Z 86 Βαρυτική αλληλεπίδραση : Μεγάλης εµβέλειας (~/r ), ισχύς: ισχυρή/38, υπεύθυνη για την κίνηση πλανητών, γαλαξιών, supernova µε φορέα το βαρυτόνιο. Οι φορείς αυτοί έχουν spin ακέραιο, µποζόνια, αντίθετα µε τα στοιχειώδη σωµατίδια που αποτελούν τα δοµικά συστατικά της ύλης, τα οποία είναι φερµιόνια (spin ηµιακέραιο). Η δηµιουργία των σωµατιδίων (εκ του µηδενός) είναι κάτι που παραβιάζει τη αρχή διατήρησης της ενέργειας. Ο λόγος που είναι δυνατή αυτή η δηµιουργία είναι ότι η αρχή της αβεβαιότητας χρόνου-ενέργειας επιτρέπει τέτοιες παραβιάσεις, µε την προϋπόθεση ότι θα διαρκούν πολύ µικρό χρόνο τ, Ε τ=ħ όπου τ είναι ο χρόνος µεταξύ εκποµπής του σωµατίου-φορέα από το ένα αλληλεπιδρόν σωµάτιο και απορρόφησής του από το άλλο. Το διάγραµµα που ακολουθεί αποτελεί µια κατάταξη των σωµατιδίων που έχουν παρατηρηθεί πειραµατικά, µε βάση το αν µπορούν να αλληλεπιδρούν µέσω της ισχυρής δύναµης ή όχι.

87 87 Τα σωµατίδια χωρίζονται σε αδρόνια : τα οποία µπορούν να αλληλεπιδρούν ισχυρά, δεν είναι στοιχειώδη, συντίθενται από quarks και σε λεπτόνια : τα οποία δεν αλληλεπιδρούν ισχυρά και είναι στοιχειώδη σωµάτια. Τα αδρόνια διακρίνονται σε βαρυόνια (spin ηµιακέραιο) και σε µεσόνια (spin ακέραιο). Τα λεπτόνια διακρίνονται στις εξής οικογένειες : o του ηλεκτρονίου, ηλεκτρόνιο και νετρίνο ηλεκτρονίου, o του µιονίου, µιόνιο και νετρίνο µιονίου o του σωµατίου ταυ, ταυ και νετρίνο του. Τα χαρακτηριστικά τους αναφέρονται στον πίνακα που ακολουθεί. Τα αντισωµάτια των παραπάνω λεπτονίων έχουν ίδια µάζα, αντίθετο φορτίο και αντίθετους λεπτονικούς αριθµούς

88 88 4. Νόµοι διατήρησης Τα περισσότερα από τα αδρόνια του διαγράµµατος του προηγούµενου εδαφίου είναι εξαιρετικά ασταθή. ιασπώνται πολύ γρήγορα (σε sec), δίδοντας άλλα σωµατίδια. Τα βαρυόνια διασπώνται δίδοντας ως τελικό προϊόν πρωτόνιο (το ελαφρότερο βαρυόνιο). Εν γένει, η συνήθης ύλη συντίθεται µόνο από πρωτόνια, νετρόνια και ηλεκτρόνια. ίνουµε κάποια παραδείγµατα αλληλεπιδράσεων - διασπάσεων στοιχειωδών σωµατιδίων. p+π K +Λ p + +π K +Σ n p+ e +ν e Κατά τις διασπάσεις των στοιχειωδών σωµατιδίων, εκτός από τους νόµους διατήρησης ενέργειας, ορµής, στροφορµής, και φορτίου, ισχύουν κάποιοι επιπλέον νόµοι διατήρησης. Π.χ. ο νόµος διατήρησης του βαρυονικού αριθµού και του λεπτονικού αριθµού κάθε οικογένειας. Η διατήρηση του βαρυονικού αριθµού µας λέει ότι ο αριθµός των βαρυονίων θα πρέπει να διατηρείται κατά την αντίδραση, και η διατήρηση του λεπτονικού αριθµού ότι ο αριθµός των λεπτονίων κάθε οικογένειας θα πρέπει να διατηρείται. Έτσι στα βαρυόνια αποδίδουµε έναν νέο κβαντικό αριθµό, τον βαρυονικό - ίσο µε µονάδα για κάθε βαρυόνιο -, που θα πρέπει να διατηρείται. Ανάλογα, στα λεπτόνια αποδίδουµε τρεις λεπτονικούς αριθµούς, έναν για κάθε οικογένεια - π.χ. το ηλεκτρόνιο έχει λεπτονικό αριθµό ηλεκτρονίου και τους υπόλοιπους λεπτονικούς αριθµούς µηδέν. Τα αντιβαρυόνια έχουν βαρυονικό αριθµό αντίθετο από αυτόν του αντίστοιχου βαρυονίου. Το ανάλογο ισχύει και για τα αντιλεπτόνια κάθε οικογένειας.) Εκτός από τους νόµους διατήρησης βαρυονικού και λεπτονικών αριθµών υπάρχουν και κάποιοι επιπλέον νόµοι διατήρησης, που αφορούν µόνο τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Αυτοί είναι η διατήρηση της παραδοξότητας, της χάρης και της οµορφιάς, η οµοτιµία.

89 Τα quarks Το 963, οι Gell-Mann και Zweig (ανεξάρτητα) διατύπωσαν την άποψη ότι τα αδρόνια αποτελούνται από πιο στοιχειώδη σωµατίδια, τα οποία ονόµασαν quarks. Τα quarks που ανακαλύφθηκαν ήταν τα u (up), d (down) και s (strange), τα c (charm), b (bottom ή beautifull), t (top ή truth). Για κάθε quark υπάρχει και το σχετικό antiquark. Για την ερµηνεία των αλληλεπιδράσεων στις οποίες εµπλέκονται τα quarks χρειάζεται να εισαχθούν τρεις νέοι κβαντικοί αριθµοί, η παραδοξότητα, η οµορφιά και η αλήθεια, και τρεις αντίστοιχοι νόµοι διατήρησης (µόνο για τις ισχυρές και ΗΜ αλληλεπιδράσεις). Τα quarks quark φορτίο (q/e) spin (s) Βαρυονικός παραδοξότητα (S) χάρη (C) οµορφιά αλήθεια αριθµός u /3 / /3 d -/3 / /3 s -/3 / /3 - c /3 / /3 b -/3 / /3 t /3 / /3 4.4 Το Καθιερωµένο Μοντέλο Το Καθιερωµένο Μοντέλο είναι η θεωρία που προσπαθεί να περιγράψει τις ισχυρές, ασθενείς και ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις, δηλαδή να τις περιγράψει µε έναν ενιαίο τρόπο. Αποτελεί συνδυασµό της θεωρίας ηλεκτρασθενών αλληλεπιδράσεων (η οποία ενοποίησε τις ηλεκτροµαγνητικές (ΗΜ) µε τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις) και της Κβαντικής Χρωµοδυναµικής (η οποία περιγράφει τα quarks και τις αλληλεπιδράσεις τους). Είναι µια Κβαντική Θεωρία Πεδίου συµβατή τόσο µε την Κβαντοµηχανική όσο και µε την Σχετικότητα.

90 9 Η προσπάθεια ενοποίησης µε τις παραπάνω αλληλεπιδράσεις και της βαρύτητας, οδηγεί στη θεωρία που είναι γνωστή ως Μεγάλη Ενοποιηµένη Θεωρία, GUT. Το Καθιερωµένο Μοντέλο προβλέπει ότι τα στοιχειώδη σωµατίδια ανήκουν σε δύο µεγάλες οµάδες α) Τα λεπτόνια, που είναι έξι : ηλεκτρόνιο, νετρίνο ηλεκτρονίου,( σωµατίδια πρώτης γενιάς) µιόνιο, νετρίνο µιονίου, ταυ, νετρίνο του ταυ και τα quarks, που επίσης είναι έξι up, down ( θεωρούνται πρώτης γενιάς) strange, charme, bottom, top Η ύλη/µάζα - συγκροτείται από τα 4 σωµατίδια α γενιάς, Τα άλλα στοιχειώδη σωµατίδια θεωρούνται δεύτερης και τρίτης γενιάς. e, ν e, up, down β) To Καθιερωµένο Μοντέλο αποδέχεται τις 4 αλληλεπιδράσεις βαρυτική, ηλεκτροµαγνητική, ανταλλαγή βαρυτονίων ανταλλαγή φωτονίων ασθενή ανταλλαγή σωµατιδίων W ±, Z ισχυρή ανταλλαγή gluons, γλοιονίων

91 9 γ) υπέρ η θεωρία επαληθεύεται στο ότι τα πρωτόνια και τα νετρόνια προκύπτουν σαν συνδυασµοί των δύο quark, η ηλεκτροµαγνητική αλληλεπίδραση λειτουργεί µε φωτόνια και η ασθενής µε τα διανυσµατικά µποζόνια W ±, Z. δ) κατά αδύνατα σηµεία.: αδυνατεί να συµπεριλάβει τη βαρύτητα σε µια συνολική θεωρία για όλες τις αλληλεπιδράσεις αδυνατεί να δώσει ερµηνεία στο γεγονός ότι : «κάθε σωµατίδιο έχει τη µάζα που έχει» και αδυνατεί να απαντήσει στο «γιατί το Σύµπαν διαστέλλεται µε επιταχυνόµενο ρυθµό καθώς και στο συναφές «τι είναι η σκοτεινή ύλη; σκοτεινή ενέργεια ;» 4.5 Καόνια ταλαντώσεις K, K Θα περιγράψουµε ένα σύστηµα δυο καταστάσεων από τον κόσµο των παράδοξων σωµατίων για το οποίο η κβαντοµηχανική δίνει µια σηµαντική πρόβλεψη. Τα στοιχειώδη σωµατίδια εκτός από τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις, εµφανίζουν ισχυρές και ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Με την ισχυρή αλληλεπίδραση, αν δύο σωµατίδια βρεθούν επαρκώς κοντά ώστε να µπορούν να αλληλεπιδράσουν, παράγονται εύκολα και µε έντονο τρόπο άλλα σωµατίδια.

92 9 Από την άλλη πλευρά, µε την ασθενή αλληλεπίδραση, όπως η διάσπαση β, τα όποια φαινόµενα συµβαίνουν, γίνονται πολύ αργά σε σχέση µε τη χρονική κλίµακα των ισχυρών αλληλεπιδράσεων. Όταν άρχισε η µελέτη των ισχυρών αλληλεπιδράσεων στους επιταχυντές, οι ερευνητές διαπίστωσαν µε έκπληξη, ότι κάποια αναµενόµενα φαινόµενα, όπως κάποιες από τις διασπάσεις, δεν συνέβαιναν. Το φαινόµενο ερµηνεύτηκε µε την εισαγωγή µιας νέας αρχής διατήρησης: Τη διατήρηση της παραδοξότητας. Η παραδοξότητα, που είναι µία από τις γεύσεις των quarks, διατηρείται στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, αλλά δε διατηρείται στις ασθενείς διασπάσεις φορτισµένου ρεύµατος, όταν δηλαδή η αλληλεπίδραση έχει ως φορέα το µποζόνιο W ±. Αλλά, όπως είπαµε και παραπάνω, οι ασθενείς διασπάσεις είναι αργές (~ - s), οπότε τα παράδοξα µεσόνια ή βαρυόνια τα οποία είναι υποχρεωµένα να διασπαστούν ασθενώς έχουν σχετικά µεγάλο χρόνο ζωής µέσα στον ανιχνευτή. Ένα από αυτά τα παράδοξα σωµατίδια µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι το ουδέτερο µεσόνιο ή καόνιο K ( ds ) και το αντισωµάτιο του K ( ds ). Είναι φτιαγµένα από ένα quark και ένα αντι-quark.,και υπάρχουν πιθανά είδη Κ. Μπορεί να είναι είτε ένα strange anti-quark και ένα down quark δηλαδή ds που λέγεται Κ, ή ένα strange quark και ένα down anti-quark δηλαδή ds που λέγεται K, το ένα αντισωµάτιο του άλλου. Το παράδοξο strange quark (s) έχει φορτίο -/3, το ίδιο και το κάτω down quark (d). Τα µεσόνια Κ παράγονται σε συγκρούσεις υψηλής ενέργειας π.χ. π + p και το Κ δηµιουργείται πάντοτε µε ένα άλλο σωµάτιο που περιέχει strange quark συνήθως υπερόνιο. H αφθονία της παραγωγής τους φανέρωνε πως επρόκειτο για διαδικασία ισχυρής αλληλεπίδρασης, αλλά οι σχετικά µεγάλοι χρόνοι ζωής αυτών των σωµατιδίων έδειχναν ότι η διάσπαση τους ήταν διαδικασία ασθενούς αλληλεπίδρασης. Το K εµφανιζόταν να έχει δύο µέσους χρόνους ζωής, ένα (περίπου 9 s ) χαρακτηριστικό των διασπάσεων µε ισχυρή αλληλεπίδραση και έναν άλλο, περίπου 6 φορές µεγαλύτερο. Ήταν τα µεσόνια Κ αδρόνια ή όχι ; H έρευνα για την απάντηση αυτής της ερώτησης οδήγησε στην εισαγωγή µιας νέας ποσότητας, που ονοµάστηκε παραδοξότητα.

93 93 o Στα υπερόνια, αδρόνια µε spin ½ που έχουν strange quark, ±, Λ,Σ έδωσαν τιµή παραδοξότητας S = - και στα σύνοδα τους µεσόνια K, K τιµή S = +. + o Τα αντίστοιχα αντισωµάτια έχουν αντίθετη παραδοξότητα, S =+ τα ±, Λ,Σ και S = - τα K, K. o Η παραδοξότητα διατηρείται σε διαδικασίες παραγωγής µε ισχυρή αλληλεπίδραση όπως η p+π Σ +Κ και p+π Λ +Κ. o Η διαδικασία p +π p +Κ δεν διατηρεί την παραδοξότητα και δεν παρατηρείται. o Όταν τα παράδοξα σωµατίδια διασπώνται, η παραδοξότητα συνήθως δεν διατηρείται. Τυπικές τέτοιες διαδικασίες είναι οι + + Σ n+π Λ p+π + Κ π +π +π o Σε κάθε µια από αυτές, η αρχική παραδοξότητα είναι ή - και η τελική τιµή της είναι µηδέν. Όλες οι παρατηρήσεις της συµπεριφοράς αυτών των σωµατιδίων οδηγούν στο συµπέρασµα πως η παραδοξότητα διατηρείται στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, αλλά µπορεί να µεταβληθεί κατά µια µονάδα ή να µη µεταβληθεί καθόλου στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις. Το K διασπάται ασθενώς σε δύο φορτισµένα πιόνια: K π + +π - Αλλά και το αντισωµάτιο του διασπάται µε τον ίδιο τρόπο: K π - +π + Οπότε ιδωµένα µέσα από τις διασπάσεις τους, ταυτίζονται ως σωµατίδια, µόνο οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις τους διαφέρουν. Οι Gell-Mann και Pais αντιλήφθηκαν, ότι εφόσον µπορούν να διασπαστούν στα ίδια σωµατίδια, θα πρέπει να υπάρχει ένα πλάτος, ώστε το να K µετατραπεί σε K και αντίστροφα. + - K π +π K. Υπάρχει λοιπόν ένα πλάτος ανά µονάδα χρόνου, έστω i / ħφορές το K W K να µετατραπεί το K, µέσω της ασθενούς αλληλεπίδρασης σε K,

94 94 και ένα αντίστοιχο πλάτος K W K για την αντίστροφη διαδικασία. εδοµένου δε ότι η ύλη και η αντιύλη συµπεριφέρονται µε τον ίδιο τρόπο, τα πλάτη αυτά θα πρέπει να είναι ίσα: K W K = K W K = A Εποµένως, αντί για δύο διαφορετικές κβαντοµηχανικές καταστάσεις, το K και το µέσω της ασθενούς αλληλεπίδρασης, απαρτίζουν ένα σύστηµα δύο καταστάσεων. Επιλέγοντας ως βασικές καταστάσεις τις K και K, κάθε κατάσταση του συστήµατος του ουδέτερου καονίου, µπορεί να περιγραφεί όπως είδαµε και νωρίτερα, από τα πλάτη: K, = C K ψ, C = + K ψ Στη συνέχεια πρέπει να υπολογιστούν οι χαµιλτονιανές εξισώσεις. Αν δεν υπήρχε η ζεύξη µεταξύ των δύο καταστάσεων του ουδέτερου καονίου τα πλάτη θα δίνονταν από τις εξισώσεις: dc iħ dt dc iħ dt + = EC = E C + () εδοµένου όµως, ότι υπάρχει το µη µηδενικό πλάτος K W K, πρέπει να προσθέσουµε στο δεξιό µέλος της πρώτης εξίσωσης από τις () τον επιπλέον όρο: K W K C = AC και τον όρο AC +, αντίστοιχα στη δεύτερη. Αλλά, δεν έχουµε ακόµη τελειώσει. Θα πρέπει να λάβουµε υπόψη και το πλάτος να µετατρέπεται η κατάσταση K σε K.

95 95 Το πλάτος όµως K W K πρέπει να είναι ίσο µε το πλάτος K W K, αφού τα K και K δεν διαφέρουν από την πλευρά της ασθενούς αλληλεπίδρασης. Προσθέτοντας λοιπόν και αυτούς τους όρους στο δεξιό µέλος των (9), καταλήγουµε στις ακόλουθες εξισώσεις για το σύστηµα K - K : dc iħ dt dc iħ dt + = EC = E C + + AC + AC + + AC + AC + Όπως και στις άλλες περιπτώσεις συστηµάτων δύο καταστάσεων που έχουµε συναντήσει, περιµένουµε να έχουµε δύο καταστάσεις βάσης, σε µια άλλη αναπαράσταση, που θα έχουν ιδιαίτερα απλή συµπεριφορά. Θέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις σε ένα σύστηµα µονάδων µε ħ = και το ενεργειακό επίπεδο από Ε, για τη βασική κατάσταση, µετά από πράξεις καταλήγουµε στο σύστηµα: d i dt d i dt ( C + C ) = A( C + C ) + ( C C ) = + Οι καταστάσεις ( C + +C -) και ( + -) σε στάσιµες καταστάσεις. + C - C είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και αντιστοιχούν Εποµένως η µελέτη του συστήµατος των ουδέτερων καονίων διευκολύνεται χρησιµοποιώντας, ως βάση, τις καταστάσεις: K = ( + K K ), = ( ) K K K () Ας υποθέσουµε ότι C, C είναι τα πλάτη πιθανότητας κάποια κατάσταση ψ να είναι ένα Κ ή ένα Κ µεσόνιο δηλαδή C = K ψ C, = K ψ λόγω των () C = C +C C = C - C, ( ) ( )

96 Εκφράζοντας οποιαδήποτε κατάσταση του συστήµατος µε τις νέες καταστάσεις βάσης, θα έχουµε τις εξισώσεις για τα πλάτη: dc i dt dc dt = AC i = (3) Αν ένα ουδέτερο καόνιο, τη χρονική στιγµή t =, είναι στην κατάσταση K, µετά από χρόνο t, τα πλάτη θα είναι: -iat ( ) ( ) C t = e C t =, 96 Επειδή ο Α είναι µιγαδικός αριθµός, θέτουµε Α = α-i β, και : ( ) ( ) -βt -iat C t = C e e Αν έχουµε ένα καόνιο στο t = στην κατάσταση K,η πιθανότητα να έχουµε το καόνιο στην ίδια κατάσταση K µειώνεται εκθετικά (e - β t ) µε το χρόνο, ενώ η πιθανότητα να έχουµε το καόνιο στην κατάσταση K οποιαδήποτε στιγµή παραµένει µηδέν,. Τι συµβαίνει λοιπόν; Το καόνιο κατάστασης K διασπάται σε δύο πιόνια µε µέσο χρόνο ζωής τ =/β, που µετριέται πειραµατικά σε ~ - s. Από την άλλη πλευρά, η εξίσωση (3) µας λέει ότι αν έχουµε ένα καόνιο στην κατάσταση K θα παραµείνει σε αυτή για πάντα. Έχει όµως αποδειχτεί πειραµατικά ότι και αυτό διασπάται σε τρία πιόνια, αλλά 6 φορές πιο αργά, από τη διάσπαση στα δύο πιόνια. Σε πρώτη προσέγγιση, η κβαντοµηχανική µας πρόβλεψη των διασπάσεων σε δύο µόνο πιόνια, είναι σωστή. Η κατάσταση K έχει ονοµαστεί K s (short) αφού διασπάται σε µικρότερο χρονικό διάστηµα, ενώ για την κατάσταση K, έχει επικρατήσει η ονοµασία K l (long). Οι Gell-Man και Pais εξέτασαν τι συµβαίνει όταν ένα Κ-σωµατίδιο παράγεται µε ένα Λ σωµατίδιο σε µια ισχυρή αλληλεπίδραση. Τότε πρέπει να έχει παραδοξότητα +,

97 97 πρέπει λοιπόν να παράγεται στην κατάσταση Κ. Έτσι στο t = δεν είναι ούτε K l αλλά µίγµα και των δύο. Οι αρχικές συνθήκες δίνουν : C Αυτό σηµαίνει ( ) =, C- ( = + ) C ( ) = C ( ) = C ( ) = C ( ) = s l, K s ούτε οπότε, από τις (3) θα έχουµε: βt iαt C s( t) = e e, C l ( t) = (4) Το K s και το K l, τώρα είναι γραµµικοί συνδυασµοί των K και K. Τη χρονική στιγµή t = τα πλάτη πιθανότητας,στις (4), έχουν επιλεγεί έτσι ώστε η συµβολή τους να µηδενίζεται στο Το πλάτος πιθανότητας K, αφού η αρχική µας συνθήκη έχει µόνο K. C s όµως µεταβάλλεται µε το χρόνο, ενώ το C l µένει αµετάβλητο. Σε επόµενη χρονική στιγµή η συµβολή τους θα δώσει πλάτη πιθανότητας τόσο για το όσο και για το K. Το πλάτος πιθανότητας ένα αρχικά K να µετατραπεί σε K, θα δίνεται από τη σχέση: K, ( ) ( ) βt iαt t s l ( e e ) C = C - C = Συνεπώς η πιθανότητα το ουδέτερο καόνιό µας, που παράχθηκε ως συµπεριφέρεται στη συνέχεια ως K, θα είναι: ( ) ( β t e t β e t cos t) C = + α (5) 4 που προβλέπει την ταλάντωση µεταξύ των δύο ιδιοκαταστάσεων K, να K και K και προέκυψε χωρίς την παραµικρή γνώση της εσωτερικής δοµής του ουδέτερου καονίου, αλλά µόνο χρησιµοποιώντας τη λογική και τις βασικές αρχές της κβαντοµηχανικής.

98 98 Στο σχήµα βλέπουµε τη συνάρτηση της σχέσης (5) για δύο διαφορετικές τιµές α Η µορφή εξαρτάται από το λόγο των σταθερών α / β. Αρχικά δεν υπάρχει πιθανότητα για το K. Στη συνέχεια αυξάνεται και αν το α είναι µεγάλο, θα παρατηρούµε ισχυρές ταλαντώσεις. Αν το α είναι µικρό θα δούµε µικρές ή και καθόλου ταλαντώσεις και η πιθανότητα για το K θα πλησιάσει οµαλά την τιµή /4. Σε πειράµατα στοιχειωδών σωµατιδίων σε επιταχυντές το ουδέτερο καόνιο, θα κινείται µε περίπου σταθερή ταχύτητα, πολύ κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Αυτό σηµαίνει ότι οι καµπύλες, που απεικονίζονται στη γραφική παράσταση, παριστούν επίσης την πιθανότητα κατά µήκος της τροχιάς του σωµατιδίου, τυπικά της τάξης αρκετών εκατοστών.

99 99 Κεφάλαιο 5 ο 5. Νετρίνα Tο νετρίνο είναι στοιχειώδες σωµάτιο µε ηλεκτρικό φορτίο µηδέν, spin ½ και κινείται µε την ταχύτητα του φωτός. εν αισθάνεται την ηλεκτροµαγνητική και την ισχυρή αλληλεπίδραση, µε αποτέλεσµα να είναι το στοιχειώδες σωµάτιο για το οποίο έχουµε τις λιγότερες πληροφορίες. Ο Enrico Fermi προτείνει το όνοµα "νετρίνο" για το σωµατίδιο που θεωρητικά ανακάλυψε ο Pauli για να εξηγήσει µια φαινοµενική µη διατήρηση της ενέργειας, σε πυρηνικές διασπάσεις πχ στην διάσπαση του νετρονίου σε πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο. Ο Fermi επεξεργάστηκε την κβαντική θεωρία της ασθενούς αλληλεπίδρασης µεταξύ σωµατιδίων, στην οποία το νετρίνο παίζει ένα σπουδαίο ρόλο. Μεταξύ άλλων και τη β-διάσπαση,η οποία είναι γνωστή από τις ραδιενεργές αντιδράσεις που ανακαλύφθηκαν από τον Beckerel και το ζεύγος Curie. Aπό τα πειράµατα, διαπιστώθηκε ότι κατά τη β-διάσπαση, ένας πυρήνας µετασχηµατίζεται σε έναν ελαφρότερο, µε ταυτόχρονη εκποµπή ακτίνων β. Aπο µετρήσεις του λόγου q/m (όπου m η µάζα των σωµατίων β και q το φορτίο τους) διαπιστώθηκε το 99 από τον Beckerel ότι η ακτινοβολία β αποτελείται από ηλεκτρόνια. Eπίσης, βρέθηκε ότι ο ατοµικός αριθµός Z, ο οποίος προσδιορίζει τον αριθµό των πρωτονίων ενός πυρήνα, αυξάνει κατά τη διάρκεια της αντίδρασης. X Ψ + A A Z Z+ e µε χαρακτηριστικά παραδείγµατα τον µετασχηµατισµό του άνθρακα σε άζωτο, του καλίου σε ασβέστιο, του χαλκού σε ψευδάργυρο και του τριτίου σε ήλιο. [7] Σήµερα παραδεχόµαστε ότι το σωµατίδιο που συνοδεύει την ανωτέρω διάσπαση ονοµάζεται αντινετρίνο του ηλεκτρόνιου. o Το 957 ο Bruno Pondecorvo προβλέπει τις «ταλαντώσεις» των νετρίνων. o Το 959, οι Clyde Cowan και Fred Reines ανακαλύπτουν πράγµατι το νετρίνο κι έτσι η θεωρία των Pauli-Fermi γίνεται πραγµατικότητα. o Το 96 ανακαλύπτεται ο δεύτερος τύπος, το νετρίνο του µιονίου.

100 o Το 968 διαπιστώνεται ότι µόνο τα µισά από τα νετρίνο που παράγονται στον Ήλιο παρατηρούνται στη Γη, κι έτσι το νετρίνο γίνεται κι Αστρονοµικό πρόβληµα, µε την "Αστρονοµία νετρίνων". o Το 985 µια οµάδα Ρώσων Φυσικών υπαινίσσεται ότι το νετρίνο έχει µάζα. Μέχρι τότε η Θεωρία υποστήριζε ότι το νετρόνιο ήταν άµαζο όπως και το φωτόνιο. o Το 998 σε ένα µεγάλο πείραµα µε πολλές συµµετοχές, στην πόλη Kamioka της Ιαπωνίας, γίνεται ένα πείραµα σταθµός, µε το όνοµα Super-Kamiokande. Στο πείραµα αυτό, βρέθηκε τελικά ότι το νετρίνο έχει µάζα. Tο 967, ο φυσικός Weinberg προσπαθώντας να µελετήσει την πιθανή ενοποίηση των ηλεκτρικών δυνάµεων µε τις ασθενείς που προκαλούν τη β-διάσπαση, θεώρησε την ύπαρξη µιας συµµετρίας, η οποία ισχύει πάνω από ένα σχετικά ψηλό ενεργειακό επίπεδο, όπου το ηλεκτρόνιο δεν ξεχωρίζει από το αντίστοιχό του νετρίνο. Tο ίδιο υπέθεσε και για τα άλλα δύο ζεύγη (βραχύβιων) λεπτονίων που συναντώνται στη φύση: το µιόνιο, µ, πού έχει ίδιο φορτίο µε το ηλεκτρόνιο συνοδεύεται από το αντίστοιχό νετρίνο του και το σωµάτιο ταυ επίσης µε το αντίστοιχό του νετρίνο. Mε άλλα λόγια, όταν µελετάµε τη φυσική πάνω από ενέργειες της τάξης των GeV, τα ηλεκτρόνια και τα νετρίνα είναι ένα και το αυτό σωµάτιο ως προς τις ασθενείς δυνάµεις. Πριν τη ρήξη της αρχικής συµµετρίας, όλα τα λεπτόνια παραµένουν χωρίς µάζα. Σύµφωνα µε τη θεωρία αυτή όροι µάζας γεννιώνται στη συνέχεια για το ηλεκτρόνιο και τα άλλα δύο φορτισµένα σωµατίδια, δηλ. το µιόνιο και το σωµάτιο ταύ. (Καθιερωµένο Πρότυπο). Εµφανίζονται τέτοιες µάζες για τα νετρίνα; Τουλάχιστον στα πλαίσια του Καθιερωµένου Προτύπου, η απάντηση είναι όχι. Tην ύπαρξη µάζας ή όχι στα νετρίνα θα φανερώσει µόνο το πείραµα. Tα πειραµατικά δεδοµένα, δεν αποκλείουν τα νετρίνα να έχουν µάζα, η οποία όµως αν τελικά υπάρχει, θα πρέπει να

101 είναι αµελητέα. Κάτι που βάζει σε αµφισβήτηση το Καθιερωµένο Πρότυπο περιγραφής των στοιχειωδών σωµατιδίων, όπου τα νετρίνα παρουσιάζονται χωρίς µάζα.. Είναι δυνατόν νετρίνα µε µάζα να περιγραφούν από το Καθιερωµένο Πρότυπο ή έχουµε τις πρώτες ενδείξεις µιας "νέας φυσικής" πέραν αυτού; Οποιοδήποτε και αν είναι το αποτέλεσµα χρειαζόµαστε και άλλα πειραµατικά δεδοµένα. 5. Φυσική των νετρίνων Σήµερα, θεωρούµε ότι το σωµάτιο αυτό υπάρχει σε τρεις διαφορετικές µορφές. Aποτελεί ένα από τα κυριότερα συστατικά του σύµπαντος, ενώ επίσης παράγεται σε επιταχυντές. Μια ιδιαιτερότητα των νετρίνων είναι ότι δεν διαθέτουν φορτίο. Είναι τα µοναδικά στοιχειώδη σωµάτια που δεν αλληλεπιδρούν ηλεκτροµαγνητικά. Εποµένως, αν αγνοήσουµε τη βαρυτική αλληλεπίδραση που είναι αµελητέα, η µόνη αλληλεπίδραση που κάνουν τα νετρίνα είναι η ασθενής. Άρα, όλα τα νετρίνα που εµφανίζονται στη φύση είναι νετρίνα που έχουν προκύψει από ασθενή αλληλεπίδραση. ηλαδή είναι νετρίνα ν e, ν µ και ν τ, που σηµαίνει ότι στη φύση δεν υπάρχει ούτε ένα νετρίνο µε καλά ορισµένη µάζα. Όλα τα νετρίνα είναι γραµµικοί συνδυασµοί των ιδιοκαταστάσεων µάζας. Όπως θα δείξουµε, βασική συνέπεια του παραπάνω γεγονότος είναι το ότι τα νετρίνα ταλαντώνονται. Η ταλάντωση σηµαίνει ότι ένα ν α µπορεί να µετατραπεί σε ένα ν α από µόνο του, χωρίς να γίνει κάποια αλληλεπίδραση. Το φαινόµενο έχει ονοµαστεί «ταλάντωση» διότι έχει παλινδροµικό χαρακτήρα. Για παράδειγµα µπορεί να γίνει η «µεταµόρφωση» ν ν α ' α

102 Έτσι αν τη στιγµή t = διαθέτω ένα πλήθος Χ από πανοµοιότυπαν α τότε, αν επανεξετάσω αυτόν τον πληθυσµό σε µετέπειτα χρόνο t, ένα ποσοστό x(t)% από τα Χ θα έχει µετατραπεί σε α ν. Η παραπάνω παρατήρηση πηγάζει κατ ευθείαν από την κβαντοµηχανική. Μια δέσµη νετρίνων παραγόµενη από έναν επιταχυντή µπορεί να αλληλεπιδράσει µε ένα νετρόνιο σε έναν πυρήνα και να έχουµε τις αντιδράσεις: ν e+ n p+ e ν µ + n p+µ ν e+ n p+µ () Αντιδράσεις ν + n p+ e µ ποτέ δεν παρατηρούνται Οι οποίες στην πράξη χρησιµοποιούνται µε σκοπό την ανίχνευση νετρίνων. Όµοια ένα π µεσόνιο µπορεί να διασπασθεί ως εξής : π µ+ν π e+ν µ e () Αντιδράσεις π µ+ν π e+ν e µ δεν παρατηρούνται επίσης Στις () εισαγάγαµε τα αντισωµάτια νµ, νe. Υπάρχει µια σχεδόν αυστηρή συµµετρία ανάµεσα στα σωµάτια και τα αντισωµάτια τους. Έτσι µε τον ίδιο τρόπο που το ηλεκτρόνιο συνδέεται µε το νετρίνο ποζιτρόνιο (αντιηλεκτρόνιο) µε το αντινετρίνο ν e. ν e, συνδέεται το Η πειραµατική ανακάλυψη του αντινετρίνου 956 οι οποίοι παρατήρησαν την αντίδραση ν eοφείλεται στους Cowan και Reines το ν e+ p n+ e + ν και όχι την e+ n p+ e. Τα ν e αντινετρίνα προέρχονται από β- διασπάσεις του τύπου

103 n p+ e+ν στον αντιδραστήρα. (Η δεύτερη δεν συµβαίνει επειδή το ηλεκτρόνιο είναι συνδεδεµένο µε το νετρίνο του και όχι µε το αντινετρίνο ν eπου είναι συνοδός του 3 ποζιτρονίου e + ). το µιόνιο. Το 975, ένα τρίτο λεπτόνιο, το τ, ανακαλύφθηκε, εκτός από το ηλεκτρόνιο και Έχει περισσότερη µάζα και είναι συνδεδεµένο µε το δικό του νετρίνο ν τ, και υπακούει στους ίδιους νόµους µε τα δύο ελαφρύτερα. Μέχρι τη δεκαετία του 99, µετρήσεις στο LEP colliding ring του CERN έχουν δείξει ότι τα τρία αυτά νετρίνα νe, νµ, ν τ και τα αντισωµάτια τους είναι τα µόνα του είδους τους (τουλάχιστον για µάζες µικρότερες από GeV / c ). Για πολύ καιρό οι σωµατιδιακοί φυσικοί πίστευαν ότι τα νετρίνα είναι σωµάτια χωρίς µάζα όπως το φωτόνιο. Σε οποιαδήποτε περίπτωση, οι µάζες τους (πολλαπλασιασµένες επί c ) είναι σηµαντικά µικρότερες από τις ενέργειες που εµπλέκονται στα πειράµατα στα οποία παρατηρούνται. Γι αυτό το λόγο πολλά πειραµατικά όρια σε αυτές τις µάζες είναι στο µηδέν. Εντούτοις, αµφότερα θεωρητικά και κοσµολογικά επιχειρήµατα υποθέτουν ότι δεν είναι έτσι. Η απόδειξη ότι η µάζα των νετρίνων δεν είναι µηδέν είναι µια µεγάλη ανακάλυψη της δεκαετίας του 99. Για αυτή την ανακάλυψη τιµήθηκαν το µε το Nobel οι Raymond Davis και Masatoshi Koshiba ο οποίος καθοδηγούσε πειράµατα στην Ιαπωνία. Οι διαφορές µάζας στα νετρίνα διαφορετικού τύπου, µπορούν να µετρηθούν από το κβαντικό φαινόµενο ταλάντωσης, της σταδιακής µετατροπής σε άλλες µορφές : η ιδέα είναι ότι τα «αρώµατα» - flavors νετρίνων νe, νµ, ν τ που παράγονται ή ανιχνεύονται πειραµατικά δεν είναι ιδιοκαταστάσεις της µάζας αλλά ένας γραµµικός συνδυασµός των ιδιοκαταστάσεων µάζας ν, ν, ν 3 µε µάζες m, m,m 3.

104 4 5.3 Ταλαντώσεις Νετρίνων Ας θεωρήσουµε ταλαντώσεις ανάµεσα σε δύο τύπους νετρίνων του νe, ν µ. Έστω m η µάζα του νετρίνου και p, E είναι η ορµή και η ενέργεια του, αλλά η µάζα είναι τόσο µικρή, σε σύγκριση µε την ενέργεια (διαιρούµενη από c ), έτσι 4 4 m c E= p c + m c pc+ pc και το νετρίνο διαδίδεται µε την ταχύτητα του φωτός c. Έστω ν, ν σηµειώνουµε τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Ĥ του ελεύθερου νετρίνου ορµής p Ĥ ν = E ν j j j 4 mj c Ej = pc+ j=,, pc m, m είναι οι µάζες στις καταστάσεις ν, ν και υποθέτουµε ότι m m. µε Οι ταλαντώσεις των ελεύθερα διαδιδόµενων νετρίνων προκύπτουν από το ακόλουθο κβαντικό φαινόµενο: οι φυσικές καταστάσεις των νετρίνων µε καθορισµένο λεπτονικό αριθµό που παράγονται (όπως στις ()) ή ανιχνεύονται (όπως στις ()), δεν είναι οι ν, ν αλλά γραµµικός συνδυασµός αυτών: ν = ν cosθ+ ν sinθ e ν = ν sinθ+ ν cosθ µ όπου θ µια γωνία που καθορίζεται. Τα πλάτη πιθανότητας είναι cos θ, sinθ. Προφανώς cos θ+ sin θ=.

105 5 Αυτοί οι γραµµικοί συνδυασµοί των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας θα ταλαντώνονται µε το χρόνο και θα οδηγήσουν σε µετρήσιµα αποτελέσµατα Το ενδιαφέρον είναι ότι στα νετρίνα οι ταλαντώσεις δεν οφείλονται σε γεωµετρικές διατάξεις όπως στο µόριο της αµµωνίας, αλλά εµφανίζονται ανάµεσα σε σωµατίδια διαφορετικού τύπου. Αναλύουµε τα δεδοµένα που λαµβάνονται µε τους πυρηνικούς αντιδραστήρες. Η µέση ενέργεια των αντινετρίνων που παράγονται σε αντιδραστήρες είναι E διασπορά της ίδιας τάξης. = 4MeV µε Σε χρόνο t =, παράγεται νετρίνο ορµής p στην κατάσταση Αυτή η κατάσταση είναι ν e. ν ( ) = ν e = ν cosθ+ ν sinθ Σε χρόνο t έχουµε ( t) cos exp( ie t / ħ) sin exp( ie t / ħ) ν = ν θ + ν θ Το πλάτος πιθανότητας να βρούµε αυτό το νετρίνο στην κατάσταση ν µ σε χρόνο t είναι ( ) ( ( ħ) ) ( ħ) α = ν ν t = cosθsinθ exp ie t / + exp ie t / ) µ µ Ως εκ τούτου η πιθανότητα να ανιχνευτεί νετρίνο ν µ σε χρόνο t είναι Έχουµε (( ) ) Pµ µ sin sin E E t / E νετρίνων. = α = θ ħ E = ( ) m m c m c pc E 4 4 όπου E = pc η ενέργεια της δέσµης

106 6 Κανείς µπορεί να ορίσει το πλάτος ταλάντωσης L = 4πħpc 4ħE m m c m c ( ) 3 3 m ( m m ) και Για ενέργεια E= pc= 4MeV και διαφορά µάζας 4 4 m c = ev προκύπτει L = km Εποµένως, η πιθανότητα P µ να ανιχνευθεί ένα νετρίνο στην κατάσταση ν µ σε χρόνο t είναι P sin sin π ct µ = θ L Η πιθανότητα P e να ανιχνευθεί ένα νετρίνο στην κατάσταση P P sin sin π ct e = µ = θ L ν e είναι Αν ο ανιχνευτής είναι σε απόσταση l από το σηµείο παραγωγής, οι πιθανότητες είναι π l Pµ = sin θ sin Pe = Pµ L Παρατηρούµε ότι ένα ν µ ενέργειας µόλις 4MeV είναι κάτω από το κατώτατο όριο της αντίδρασης ν µ + n p+µ. Εποµένως κάποιος δεν µπορεί να µετρήσει τη ροή των ν µ σε αυτή την αντίδραση µε νετρίνα αντιδραστήρα, εξαιτίας της διατήρησης της ενέργειας.

107 7 5.4 πειράµατα µε νετρίνα Τα νετρίνα που παρατηρούνται στη γη έχουν διαφορές προελεύσεις. Μπορούν να παράγονται σε επιταχυντές, σε πυρηνικούς αντιδραστήρες και επίσης στην ατµόσφαιρα από κοσµικές ακτίνες, ή θερµοπυρηνικές αντιδράσεις µέσα στα αστέρια, ιδιαίτερα στην καρδιά του ήλιου και στις εκρήξεις supernovae. Οι κοσµικές ακτίνες που φθάνουν στα εξωτερικά στρώµατα της ατµόσφαιρας παράγουν πιόνια, τα οποία στην συνέχεια δηµιουργούν µια αλυσίδα αντιδράσεων όπου αρχικά διασπώνται σε µιόνια και νετρίνα ν µ, ενώ στη συνέχεια τα µιόνια διασπώνται σε ηλεκτρόνια και νετρίνα ν µ και ν e. Τα πειράµατα µε νετρίνα γίνονται κάτω από το έδαφος, αφού αν τα πειράµατα γινόταν στην επιφάνεια της Γης, θα ανιχνεύαµε όχι µόνο τα νετρίνα, αλλά και πλήθος άλλων σωµατιδίων. Επειδή δε τα νετρίνα αντιδρούν µε ασθενή µόνο αλληλεπίδραση, η πιθανότητα να ανιχνευτούν, αφού αντιδράσουν µε «στόχους» είναι πολύ µικρή. Τα πειράµατα γίνονται λοιπόν σε περιβάλλον προστατευµένο από την άλλη ακτινοβολία, για να αποκλείσουµε τα µιόνια, τα οποία θα απορροφούνται πριν φτάσουν στους ανιχνευτές. Τα µιόνια λόγω του αρνητικού τους φορτίου, και ενώ αυτά δεν εισχωρούν στην ύλη σαν δραστικότερα από τα νετρίνα, έχουν όµως αρκετή ενέργεια για να φθάσουν σε αξιοσηµείωτα βάθη.

108 8 Το πείραµα Super-Kamiokande γίνεται σε βάθος περίπου km, σ ένα Ιαπωνικό µεταλλείο, όπου 5 κιλοτόννοι νερού δέχονται την «επίθεση» φυσικών νετρίνων.. σωλήνες φωτοπολλαπλασιασµού, διαµέτρου 5 cm ανιχνεύουν ακτινοβολία Cherenkov από σχετικιστικά φορτισµένα σωµατίδια που δηµιουργούνται ή διέρχονται από το νερό.(αναλυτικότερα στην παραγραφο κοσµικά νετρίνα). Η εξωτερική περιφέρεια του νερού ενεργεί ως παθητική ασπίδα κατά των χαµηλής ενέργειας σωµατιδίων που εισάγονται από το εξωτερικό του ανιχνευτή. Επιπλέον, είναι εξοπλισµένη µε 8 σωλήνες φωτοπολλαπλασιασµού για προστασία από τα µιόνια.. Μερικά από τα νετρίνα προέρχονται από τη σύγκρουση των κοσµικών ακτίνων µε τα µόρια της γήινης ατµόσφαιρας, παράγοντας επίσης σωµάτια Κ και π.από αυτά τα νετρίνα περιµένουµε διπλάσια σε αριθµό νετρίνα ν µ παρά ν e, δηλαδή αναλογία :. Στα πειράµατα όµως ο λόγος αυτός µετρήθηκε :. Η ασυµφωνία αυτή µπορεί να εξηγηθεί αν το ν µ είναι µια µίξη ιδιοκαταστάσεων µη µηδενικής µάζας.

109 9 Ατµοσφαιρικά νετρίνα : Ατµοσφαιρικά νετρίνα παράγονται οµοιόµορφα πάνω στη γη Αυτό το φαινόµενο ονοµάζεται ταλάντωση νετρίνων. Ο αριθµός των ατµοσφαιρικών νετρίνων που παρατηρήθηκαν προβλέπεται να είναι ενιαίος, ανεξάρτητα από τη γωνία ζενίθ. Ωστόσο, το 998, στο Super-Kamiokande διαπίστωσε ότι ο αριθµός των «ανοδικών» ν µ (που παράγονται στην άλλη πλευρά της γης) είναι το ήµισυ του αριθµού των «καθοδικών» ν µ. Αυτό το αποτέλεσµα µπορεί να εξηγηθεί από το ότι ορισµένα από τα ν µ µεταβλήθηκαν ή ταλαντώθηκαν σε άλλο τύπο νετρίνα που δεν παρατηρήθηκαν. Η ανακάλυψη της ταλάντωσης ν µ δείχνει την πεπερασµένη µάζα των νετρίνων και προτείνει να επεκταθεί το Καθιερωµένο Μοντέλο. Το σχήµα δείχνει κοσµικές ακτίνες να ρίχνονται στη γη. Ατµοσφαιρικά νετρίνα που παράγονται στην ατµόσφαιρα παντού στη γη, διέρχονται εύκολα µέσω αυτής και φτάνουν στον ανιχνευτή Super-Kamiokande. Ως εκ τούτου ο Super-Kamiokande παρατηρεί ν µ καιν e διαφορετικές αποστάσεις για τις γωνίες ζενίθ. που έχουν διατρέξει Ηλιακά νετρίνα : Σύµφωνα µε το Θεµελιώδες Hλιακό Πρότυπο της αστροφυσικής, η ηλιακή ακτινοβολία διατηρείται από µια σειρά θερµοπυρηνικών αντιδράσεων, στις οποίες συµµετέχουν κυρίως πρωτόνια. H κύρια ακολουθία των αντιδράσεων που λαµβάνουν χώρα, είναι η σύντηξη του υδρογόνου σε δευτέριο ( D) και αυτό µε τη σειρά του σε ήλιο ( 3 He) και στη συνέχεια σε βαρύτερα στοιχεία.

110 Στις παραπάνω αντιδράσεις, τόσο κατά την σύντηξή του H όσο και σε επόµενα στάδια, παράγονται νετρίνα. Tα νετρίνα αυτά, διασχίζουν το εσωτερικό του ήλιου και φτάνουν στη γη όπου καταγράφονται από πειράµατα που γίνονται στην Eυρώπη, HΠA και Iαπωνία. Eπειδή ο ρυθµός αντίδρασης των νετρίνων µε την ύλη είναι εξαιρετικά αργός, έχει οριστεί διαφορετική µονάδα µέτρησής του: αυτή είναι η µονάδα ηλιακών νετρίνων SNU (solar neutrino unit) που αντιπροσωπεύει γεγονός ανά δευτερόλεπτο σε 36 άτοµα-στόχους. Σύµφωνα µε τους υπολογισµούς του ηλιακού προτύπου, ο ρυθµός αντίδρασης των νετρίνων υπολογίζεται σε 8 SNU. Όµως τα πειράµατα µετρούν µόνο SNU. H ασυµφωνία αυτή ανάµεσα στη θεωρία και το πείραµα, είναι γνωστή ως πρόβληµα των ηλιακών νετρίνων. Ή το ηλιακό πρότυπο δεν είναι σωστό και προβλέπει λανθασµένη ροή ν e ή το ηλεκτρονικό νετρίνο αποτελείται στην πραγµατικότητα από µια µίξη ιδιοκαταστάσεων. ιάφορα πειράµατα στα νετρίνα που παράγονται από τις εγκαταστάσεις πυρηνικής ενέργειας έχουν εκτελεσθεί κυρίως στην Chooz και στην Bugey στη Γαλλία. Τα πιό πρόσφατα στοιχεία προέρχονται από τη συνεργασία KamLAND, στην Ιαπωνία. Τα αποτελέσµατα δίνονται στο σχήµα Για µια µέγιστη θ = π/4, έχουµε Pµ = sin (πl /L). Παριστάνεται ο λόγος ανάµεσα στα νούµερα των παρατηρουµένων νετρίνων και αυτών που περίµεναν τη απουσία ταλαντώσεων, συναρτήσει της απόστασης l. Όλα τα πειράµατα εκτός του KamLAND δίνουν πιθανότητα κοντά στο. Οι ταλαντώσεις αποσβέννυνται γρήγορα. Σε όλα τα πειράµατα εκτός από KamLAND, η απόσταση είναι µικρότερη από km. Εποµένως, σε όλα αυτά τα πειράµατα Pµ = sin (πl /L3) 3, και το Pe = Pµ. Το αποτέλεσµα ταλάντωσης δεν είναι ανιχνεύσιµο εάν η εκτίµηση m c 4 4 ev είναι σωστή.

111 Προκειµένου κάποιος να δει το αποτέλεσµα πρέπει να έχει Pµ. δηλαδή sin (πl /L). ή l km. Οι απαραίτητες χαρακτηριστικές αποστάσεις προκειµένου να παρατηρηθεί αυτό το φαινόµενο είναι της τάξης του µήκους ταλάντωσης. Το πείραµα KamLAND, που εκτελέσθηκε το, και δηµοσιεύτηκε τον Ιανουαρίου 3, είναι µια συνεργασία µεταξύ Ιαπώνων, Αµερικάνων, και Κινέζων φυσικών. Ο ανιχνευτής είναι ένα σφαιρικό κιβώτιο m 3 γεµισµένο µε ένα οργανικό υγρό C-H. Το όνοµα σηµαίνει KAMioka Liquid scintillator Anti-Neutrino Detector. Tο πείραµα ήταν µετρήσεις των νετρίνων σε λήψη µιας µέσης απόστασης Και έδωσε το αποτέλεσµα Για Pe =, 6±,. l = 8km. 4 4 m c = ev, sin θ= και l = 8km P λαµβάνουµε e =,63 άριστη συµφωνία µε το πείραµα. Βάζοντας µαζί αυτά τα στοιχεία και τα αποτελέσµατα των πολυάριθµων πειραµάτων που εκτελέσθηκαν στα ηλιακά νετρίνα, οι φυσικοί του Kamland έφτασαν στα ακόλουθα αποτελέσµατα, 4 5 m c = (7,±, 4) ev tan θ =, 45±, Για αυτές τις τιµές, βγαίνει η κεντρική τιµή µε τις µετρήσεις του σχήµατος. Pe =, 49 σε η οποία είναι επίσης σε συµφωνία Ας παρατηρήσουµε ότι στην περίπτωση των νετρίνων, τα φαινόµενα της κβαντοµηχανικής ταλάντωσης µπορούν να παρατηρηθούν σε µακροσκοπικές αποστάσεις εξαιτίας της πολύ µικρής διαφοράς µάζας. Είναι αξιοπερίεργο ότι φαινόµενα τόσο µακρινά από την συνήθη διαίσθηση µπορούν µόνο να παρατηρηθούν σε κλίµακα πολύ µεγάλων αποστάσεων. Τα νετρίνα του Σύµπαντος Τα νετρίνα σχηµατίστηκαν σε τεράστιους αριθµούς κατά την αρχική φάση του Big Bang και σήµερα έχουν µικρές κινητικές ενέργειες, καθώς το σύµπαν ψύχθηκε κατά τη διαστολή του. Υπολογίζεται ότι υπάρχουν κατά µέσον όρο σε όλο το χώρο, τουλάχιστον

112 4 νετρίνα ανά κυβικό εκατοστόµετρο. Στην περιοχή µας θα υπάρχουν ακόµη περισσότερα καθώς συµπυκνώνονται από τη βαρύτητα του γαλαξία µας. Σήµερα, έχουµε µόνο µια εκτίµηση για το κάτω όριο της συνολικής τους µάζας, αλλά ακόµα κι έτσι, η µάζα αυτή είναι σχεδόν της ίδιας τάξης µε τη συνολική µάζα όλων των ορατών άστρων στο σύµπαν. Το πρόβληµα που προκύπτει όταν θέλουµε να παρατηρήσουµε αυτά τα λείψανα των νετρίνων είναι ό,τι η πιθανότητα να αλληλεπιδράσουν τα νετρίνα µε τον ανιχνευτή µας, ελαττώνεται µε το τετράγωνο της ενέργειας των νετρίνων, για νετρίνα χαµηλών ενεργειών. Ή και στη σπάνια περίπτωση της αλληλεπίδρασης µε τον ανιχνευτή το σήµα είναι πάρα πολύ µικρό. Έτσι ακόµη δεν έχουν ανιχνευτεί νετρίνα µικρής ενέργειας αλλά και η προοπτική για ένα τηλεσκόπιο νετρίνων χαµηλής ενέργειας δεν είναι καλή, τουλάχιστον για το κοντινό µέλλον. Κοσµικά νετρίνα υψηλής ενέργειας Νετρίνα υψηλής ενέργειας παράγονται σε ενεργούς γαλαξιακούς πυρήνες. Υπάρχουν επίσης αινιγµατικά αντικείµενα όπως οι εκρήξεις ακτίνων γ, τα οποία ίσως να είναι οι ισχυρότερες εκρήξεις που παρατηρούµε, και οι οποίες σε συµβαίνουν σε αποστάσεις κοσµολογικής κλίµακας. Αυτές παράγουν ακτίνες γάµα πολύ υψηλής ενέργειας αλλά δεν είναι σίγουρο αν είναι επίσης ισχυρές πηγές νετρίνων. Αυτό εξαρτάται από το µηχανισµό που εκπέµπει την ακτινοβολία, ο οποίος προς το παρόν παραµένει µυστηριώδης. Τα τελευταία χρόνια έχουν παρατηρηθεί κοσµικές ακτίνες µε ενέργειες εκατοµµύρια φορές µεγαλύτερες από αυτές που αναπαράγονται στους επιταχυντές µας (περισσότερο από ev). Αυτά τα µυστηριώδη σωµατίδια δεν προέρχονται από το γαλαξία µας, και η προέλευσή τους παραµένει άγνωστη. Μετά από έναν αιώνα σχεδόν παρατηρήσεων, δεν γνωρίζουµε γενικά την προέλευση των κοσµικών ακτίνων, ιδιαίτερα αυτών που έχουν ενέργεια άνω των 5 ev, αν και έχουν προταθεί πολλά µοντέλα. Όποια και αν είναι η πηγή τους, ο µηχανισµός εκείνος που είναι ικανός να επιταχύνει σωµατίδια σε τόσο ψηλές ενέργειες, θα παράγει οπωσδήποτε και νετρίνα. Σ' αυτές τις πολύ υψηλές ενέργειες έχουν προταθεί πολλά µοντέλα ως πηγές των νετρίνων. Σ' αυτά περιλαµβάνονται και διασπάσεις σωµατιδίων µε µάζες στην κλίµακα Planck που ξέµειναν από την εποχή του Big Bang, καθώς και ακτινοβολία από υπεραγώγιµες κοσµικές

113 3 χορδές. Τα ευρήµατα αυτά αν επιβεβαιωθούν θα αποτελέσουν πρώτου µεγέθους ανακαλύψεις για τη φυσική σωµατιδίων και την κοσµολογία. Γνωρίζουµε λοιπόν ότι νετρίνα υψηλής ενέργειας φτάνουν ως εµάς από το µακρινό σύµπαν, και µπορούν να µας διδάξουν αρκετά πράγµατα για την κατεύθυνσή τους, την ενέργειά τους, τον τύπο τους και τη µεταβολή τους µε το χρόνο. Η καίρια όµως ερώτηση των δυνητικών αστρονόµων των νετρίνων είναι αν υπάρχουν αρκετά τέτοια νετρίνα για να τα ανιχνεύσουµε. ύο πράγµατα κάνουν ευτυχώς την προοπτική της αστρονοµίας νετρίνων υψηλής ενέργειας πιο ευοίωνη από αυτή των χαµηλών ενεργειών. Κατ' αρχήν η πιθανότητα αλληλεπίδρασης για τα νετρίνα αυξάνει µε την ενέργεια. Λόγω αυτής της αύξησης στην πιθανότητα αλληλεπίδρασης, τα νετρίνα παρουσιάζουν και µια άλλη ιδιορρυθµία. Άνω του PeV η Γη γίνεται αδιαφανής στα νετρίνα και κανείς πρέπει να ψάξει γι αυτά, κοιτάζοντας µόνο προς τον ουρανό. Σε χαµηλότερες όµως ενέργειες, κάνουµε αστρονοµία νετρίνων κοιτάζοντας αντίθετα από τη συµβατική αστρονοµία. Κοιτάζουµε σε κατεύθυνση προς το εσωτερικό της Γης, χρησιµοποιώντας τη Γη για να φιλτράρει τα άλλα σωµατίδια και να αφήσει να περνάνε τα νετρίνα. Η περιοχή αυτή ενεργειών µεταξύ του TeV ( ev) και του PeV, προτιµάται για να ξεκινήσουµε προσπάθειες συνήθους αστρονοµίας νετρίνων. Επίσης, οι συνέπειες της αλληλεπίδρασης των νετρίνων µε τον ανιχνευτή ή τη Γη, γίνονται περισσότερο ανιχνεύσιµες καθώς η ενέργεια που εκλύεται σ' αυτές αυξάνεται. Η αγαπηµένη µέθοδος είναι η ανίχνευση µιονίων που παράγονται από τα νετρίνα. Αυτά τα µιόνια, αντίθετα από τα ηλεκτρόνια ή τα ταυ, κινούνται για µεγάλες αποστάσεις µέσα στη Γη, στην ίδια κατεύθυνση µε το αρχικό νετρίνο, πριν να ακινητοποιηθούν. Η απόσταση αυτή είναι της τάξης του Km για ενέργεια περίπου TeV. Τα φορτισµένα αυτά σωµατίδια παράγουν ακτινοβολία Cherenkov, δηλαδή ένα βραχύβιο παλµό φωτός µέσα σε καθαρό νερό ή πάγο, ανιχνεύσιµο από απόσταση δεκάδων µέτρων µε φωτοπολλαπλασιαστές. Η ακτινοβολία Cherenkov εµφανίζεται όταν σωµατίδια κινούνται µέσα σε κάποιο διαφανές µέσο µε ταχύτητες µεγαλύτερες από αυτή που έχει το φως στο ίδιο µέσον. Το φαινόµενο αυτό µοιάζει µάλλον µε ηλεκτροµαγνητικό ανάλογο ενός υπερηχητικού αντικειµένου. Έτσι ένας ανιχνευτής µπορεί να συλλέξει τα αποτελέσµατα των αλληλεπιδράσεων των νετρίνων από µια περιοχή του χώρου την οποία κατοπτεύει, και η οποία είναι αρκετά µεγαλύτερη από την περιοχή που καταλαµβάνει ο ίδιος ο ανιχνευτής.

114 4 Κοσµολογική σηµασία Το νετρίνο, είναι µία οντότητα µε ιδιαίτερη σηµασία τόσο για την φυσική στοιχειωδών σωµατιδίων, όσο και για την κοσµολογία και την αστροφυσική. Η επιβεβαίωση της µη-µηδενικής µάζας και µίξης των νετρίνων, σχετίζεται µε θεµελιώδη ερωτήµατα, είναι ο στόχος µιας µεγάλης σειράς πειραµάτων για τα επόµενα χρόνια. Όσον αφορά στην αστροφυσική, αυτό που καθιστά τα νετρίνα χρησιµότατα σωµάτια είναι ότι παράγονται σε υπεραφθονία στους αστέρες και στους γαλαξίες και, από τη στιγµή που δεν αλληλεπιδρούν ισχυρά ή ηλεκτροµαγνητικά, προχωρούν σχεδόν ανεπηρέαστα µέσα στο σύµπαν. Οι τροχιές τους επηρεάζονται µόνο από δύο παράγοντες: α) τη βαρύτητα που καµπυλώνει το χωροχρόνο δηµιουργώντας τους λεγόµενους βαρυτικούς φακούς και β) τις ασθενείς αλληλεπιδράσεις που έχουν τα νετρίνα µε την ύλη, οι οποίες όµως είναι ελάχιστες σε σχέση µε τις ηλεκτροµαγνητικές αλληλεπιδράσεις που έχουν τα φωτόνια, που µέχρι σήµερα αποτελούν τους κύριους φορείς πληροφορίας για τους αστροφυσικούς. Για παράδειγµα, κατά την έκρηξη ενός υπερκαινοφανούς (supernova) τα νετρίνα δραπετεύουν από το σηµείο παραγωγής τους σχεδόν ανεµπόδιστα, ενώ τα φωτόνια παραµένουν µέσα στην εκρηγνυόµενη ύλη για αρκετό χρόνο και υπόκεινται σε πολλαπλές σκεδάσεις µέχρι να βγουν προς το ανοιχτό διάστηµα, εάν στο µεταξύ δεν έχουν απορροφηθεί πλήρως. Καταλαβαίνουµε λοιπόν γιατί η κατασκευή τηλεσκοπίων που παρατηρούν νετρίνα είναι ένας από τους τοµείς που υπόσχεται πολλά για τις επόµενες δεκαετίες.

115 5 Όχι µόνο θα µπορεί κανείς να παρατηρήσει την «καρδιά» των αστέρων και των γαλαξιών, από την οποίαν είναι αδύνατον να δραπετεύσουν φωτόνια, αλλά θα αυξήσει τον ορατό ορίζοντα του σύµπαντος κατά πολύ. Ο λόγος είναι η ύπαρξη του υποβάθρου ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Λόγω αυτού, το σύµπαν µοιάζει µε ένα τεράστιο ηλεκτροµαγνητικό απορροφητή, µε την έννοια ότι οτιδήποτε αλληλεπιδρά µε τα φωτόνια του µικροκυµατικού υποβάθρου είναι καταδικασµένο να απορροφηθεί µετά από µια πεπερασµένη διαδροµή µέσα στο σύµπαν. Για παράδειγµα, τα πρωτόνια πολύ υψηλής ενέργειας (της τάξης των ev) αλληλεπιδρούν µε τα µικροκυµατικό υπόβαθρο χάνοντας ενέργεια. Το ίδιο κάνουν και φωτόνια πολύ υψηλής ενέργειας που κατά την αλληλεπίδραση µε το υπόβαθρο παράγουν e+e-. Αντιθέτως, τα νετρίνα αλληλεπιδρούν τόσο ασθενώς που η µέση ελεύθερη διαδροµή τους είναι κοσµολογικής τάξης µεγέθους.