PR1ME magazine the. Τεύχος: 5 / Μαϊ-Ιουν

Transcript

1 the PR1ME magazine το περιοδικό των φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Α.Π.Θ Τεύχος: 5 / Μαϊ-Ιουν

2 the PR1ME magazine ΕΝΤΟΣ: 57 ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ Color Code Zones: Προπτυχιακοί φοιτητές, Πτυχιούχοι Μεταπτυχιακοί φοιτητές, Κάτοχοι μεταπτυχιακού Διδακτορικοί φοιτητές, Διδάκτορες Ειδικοί συνεργάτες Ιστορικά - Αφιερώματα ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, μερική ή περιληπτική, ή κατά παράφραση, ή διασκευή του περιεχομένου του περιοδικού με οποιονδήποτε τρόπο, μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογραφήσεως ή άλλον, χωρίς την προηγούμενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόμοι 238/1970, 4301/1979, Ν.100/1975, Ν.Δ 3565/1956 και 4254 και κανόνες του Διεθνούς Δικαίου ΜΑΪ-IOYN _Τα εν οίκω 11_90 χρόνια Σχολή Θετικών Επιστημών _Brain s anatomy 23_Αν4λυσ3 το _Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg 41_myAuth mobile app: Η νέα εφαρμογή για τους φοιτητές του ΑΠΘ _Ήξερε ο Mozart πιθανότητες; 67_ Δείκτης Νοημοσύνης IQ: Τι είναι; Πως μετριέται; 67 79_ Rudolf E. Kalman: Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου _Θεωρία Παιγνίων: Μικτές Στρατηγικές 109_Θεωρίες μάθησης (Β) _Μαθηματική Προτυποποίηση του καρκίνου 137_(Παρα)Λογισμός _Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική: Κόμβοι και DNA 157_Δυσαριθμησία: Η διαταραχή των Μαθηματικών _Ταξιδεύοντας με το μυαλό και το σώμα: Πράγα 173_Math Art by Coral Fang the prime magazine_

3 the PR1ME magazine Το prime magazine αποτελεί πρωτοβουλία φοιτητών και αποφοίτων του Μαθηματικού Τμήματος της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Είναι διαθέσιμο δωρεάν μέσω Διαδικτύου στην ηλεκτρονική σελίδα: 1 Η επίσημη σελίδα του περιοδικού στο facebook είναι: Το του περιοδικού είναι στη διάθεσή σας για επικοινωνία με τους συντάκτες, σχόλια, παρατηρήσεις, λύσεις των ασκήσεων / γρίφων κάθε ενότητας ή ακόμα για να εκδηλώσετε το ενδιαφέρον σας, ώστε να συμμετέχετε στη συντακτική ομάδα του περιοδικού. Τα ονόματα των λυτών θα ανακοινώνονται στο επόμενο τεύχος. A Σ ρχισυνταξία: Βασίλειος Καλέσης the.prime.magazine@gmail.com Τεύχος Φ Σ Ν 5 ο the prime magazine_ υντακτική Ομάδα: 7 Γεωργία Γιαμλόγλου ωτογράφος: Ευάγγελος Ιωαννίδης Αθανάσιος Κουρούπης 8 31 Αθανάσιος Μπεσλίκας Βύρων Μπουλούμης Λάζαρος Μωυσής Αθηνά Νησιώτη Ίρις Παπαδοπούλου Αγγελική Παναγιωτίδου Δέσποινα Τερζοπούλου Παναγιώτα Τσαμτσακίρη 83 9 ομική σύμβουλος: 51 Κατερίνα Χατζηγεωργίου Ελένη Βαρβαρούση Ευσταθ. - Κων/νος Χρόντσιος - Γαρίτσης Γεωργία Ευαγγελίδη κιτσογράφος: Μάγδα Παπαθανασίου

4 Editorial Editorial 7 Φτάσαμε αισίως στο 5 ο και τελευταίο τεύχος της Σε αυτό το 5 ο τεύχος θα περιηγηθείτε στις υπηρεσίες ακαδημαϊκής χρονιάς Κλείνοντας αυτόν του ΑΠΘ μέσω του νέου mobile application (σελ: τον πρώτο κύκλο του περιοδικού των πρώτων 41), θα μάθετε αν ο Μότζαρτ ήξερε πιθανότητες νιώθουμε την ανάγκη να ευχαριστήσουμε όλους (σελ: 53), θα διαβάσετε για την μαθηματική αυτούς τους ανθρώπους που συντέλεσαν στην προτυποποίηση του καρκίνου (σελ: 127), θα 63 επιτυχία της πρώτης μας χρονιάς. προβληματιστείτε με το πρόβλημα των 7 γεφυρών Αρχικά, ευχαριστούμε θερμά τον πρόεδρο του του Königsberg (σελ: 31), θα διεκδικήσετε 10 βιβλία Τμήματος, καθηγητή κύριο Καραμπετάκη για την των εκδόσεων Κανδύλα λύνοντας τον γρίφο του πίστη που έδειξε στο εγχείρημά μας, την αρωγή με Brain s Anatomy (σελ: 19), θα ταξιδέψετε νοερά την οποία το πλαισίωσε αλλά και τις υπέροχες στην Πράγα (σελ: 167), θα γνωρίσετε τον Kalman, φωτογραφίες που μας διέθεσε για να τον θεμελιωτή της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου διακοσμήσουμε τις σελίδες του. (σελ: 79), θα αναλύσετε τον δίσκο του Poincare Ευχαριστούμε επίσης, τον κοσμήτορα της Σχολής (σελ: 23), θα αναθεωρήσετε τις μεικτές στρατηγικές Θετικών Επιστημών, καθηγητή κύριο Χαρίτoνα Σαρλ Χιντήρογλου για την στήριξη που μας σας (σελ: 101), θα διαβάσετε τη συνέχεια των θεωριών μάθησης (σελ: 109), θα γιορτάσετε μαζί παρείχε καθώς και την καθηγήτρια του μας την επέτειο των 90 χρόνων της Σχολής Θετικών Τμήματος κυρία Χαρά Χαραλάμπους για τη Επιστημών (σελ: 11), θα παραλογιστείτε με το συμμετοχή της στη συγγραφική ομάδα. Πρόβλημα της Βασιλείας (σελ: 137), θα μάθετε για Ευχαριστούμε τους συνεντευξιαζόμενους για τις την δυσαριθμησία (σελ: 157), την εφαρμογή της συνεντεύξεις που μας παραχώρησαν, τους φίλους Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική (σελ: 149) και τέλος που επικοινώνησαν μαζί μας με παρατηρήσεις, θα γνωρίσετε τα βασικά χαρακτηριστικά του IQ 83 σχόλια και λύσεις αλλά και όλους αυτούς που (σελ: 67). προώθησαν το περιοδικό μέσω των κοινωνικών Καλή ανάγνωση, καλή εξεταστική καναλιών δικτύωσης και όχι μόνο. και καλό καλοκαίρι! Τέλος, ευχαριστούμε εσάς, τους αναγνώστες μας, που αγαπήσατε το περιοδικό και το φτάσατε να αριθμεί πάνω από 6 χιλιάδες μοναδικά downloads, Βασίλειος Καλέσης σε μόλις 4 τεύχη the prime magazine_

5 Τα νέα: uστις 1/6/2017 και ώρα 10πμ έγινε σε Συνέλευση του Τμήματος η εκλογή του Τομέα της Μαθηματικής Ανάλυσης στο γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματική Ανάλυση, με έμφαση στην Αρμονική Ανάλυση ή Γεωμετρική Ανάλυση ή Διαφορικές Εξισώσεις με μερικές παραγώγους ή Θεωρία Τελεστών ή Μιγαδική Ανάλυση ή Συναρτησιακή Ανάλυση. Εκλέχθηκε με πλειοψηφία στη θέση αυτή ο κ. Ιωάννης Παρίσσης. Καλωσορίζουμε τον κύριο Παρίσση και του ευχόμαστε καλή ακαδημαϊκή σταδιοδρομία στο Τμήμα! τά ἐν οἴκῳ 4 01 Οι διακρίσεις: uσυγχαρητήρια στην ομάδα ποδοσφαίρου του Τμήματος, η οποία κατάφερε να φτάσει ως την προημιτελική φάση του Πανεπιστημιακού Πρωταθλήματος του ΑΠΘ uστις επόμενες ημέρες θα προκηρυχθούν 6 θέσεις μεταδιδακτόρων στα γνωστικά αντικείμενα : Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Άλγεβρα και στην Αλγεβρική Γεωμετρία (Τομέας Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής) Γενική Τοπολογία (Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης) Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης (Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης) Γραμμική Γεωμετρία Ι (Τομέας Γεωμετρίας) Υπολογιστική Γεωμετρία (Τομέας Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης) Στατιστική Συμπερασματολογία (Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας) uπρόσκληση υποβολής υποψηφιοτήτων στο ΠΜΣ του Τμήματος για το ακαδημαϊκό έτος Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να υποβάλουν αιτήσεις από έως Περισσότερες πληροφορίες στο site: 4 uπροκήρυξη μιας (1) κενής θέσης διδάσκοντα στη βαθμίδα του καθηγητή πρώτης βαθμίδας με γνωστικό αντικείμενο «Αριθμητική Ανάλυση Υπολογιστικά Μαθηματικά και εφαρμογές αυτών». Περισσότερες πληροφορίες στο site: uσε Επίτιμο Καθηγητή του Τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του ΑΠΘ αναγορεύτηκε ο απόφοιτος του Τμήματος (1981) και Καθηγητής του Πανεπιστημίου Tübingen, Κωνσταντίνος Δ. Κόκκοτας. Η Τελετή Αναγόρευσης πραγματοποιήθηκε την Τρίτη 23 Μαΐου 2017 και ώρα 18:00, στην αίθουσα Τελετών της παλαιάς Φιλοσοφικής Σχολής του ΑΠΘ uη ορκωμοσία του Τμήματος θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 19 Ιουλίου 2017 και ώρα 9.30 π.μ. στην Αίθουσα Τελετών του Α.Π.Θ. Η online-supporting κοινότητα uεν έτει 2017 με την παρουσία MOOC και e-learning όλο και πιο έντονη στην καθημερινότητα ενός σπουδαστή, η ύπαρξη online σημειώσεων, ασκήσεων, παλαιότερων θεμάτων και λύσεων είναι πιο επιτακτική από ποτέ για μια σχολή που θέλει να ακολουθεί από κοντά τις εξελίξεις στον τομέα του e-learning. Όταν μάλιστα αυτό το υλικό παρέχεται *ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΔΩΡΕΑΝ* σε όλους τους σπουδαστές αποτελεί αναπόφευκτα το σημείο αναφοράς της φοιτητικής κοινότητας. Για τον λόγο αυτό εγκαινιάστηκε ο ΤρελόςΦοιτητής ( trelosfoititis.gr) το Νο1 βοηθητικό φόρουμ φοιτητών, με περισσότερα απο 4000(!) θέματα εξεταστικών, σημειώσεις μαθημάτων, αξιολογήσεις καθηγητών και λύσεις θεμάτων από 63 σχολές από 17 ΑΕΙ/ΤΕΙ της χώρας με την λίστα αυτή να μεγαλώνει καθημερινά. Γραφτείτε τώρα δωρεάν και χρησιμοποιήστε το υλικό που θα βρείτε εκεί για την καλύτερη προετοιμασία σας για την επερχόμενη εξεταστική! the prime magazine_7

6 ΙΣΤΟΡΙΚΟ 90 χρόνια Σχολή Θετικών Επιστημών Η γράφει η Γεωργία Γιαμλόγλου Μαθηματικός ΑΠΘ Φυσικομαθηματική Σχολή, η οποία μετέπειτα Κατά τη διάρκεια των ετών υλοποιήθηκε μετονομάστηκε σε Σχολή Θετικών Επιστημών, και η επέκταση του κτιρίου της Φυσικομαθηματικής. ξεκίνησε να λειτουργεί το 1927 με πρώτο τμήμα αυτό Στο Τμήμα Φυσικής λειτούργησε το πρώτο της Δασολογίας. Η σύσταση της δε, προβλέπεται Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών της Σχολής στον ιδρυματικό του καθιδρύματος νόμο 3341 της Θετικών Επιστημών, διετούς φοίτησης στην 14 ης Μαΐου Στεγάζεται από αρχής στο κτίριο Ηλεκτρονική Φυσική και Ραδιοηλεκτρολογία το του Ιδαδιέ (σημερινό κτίριο Παλαιάς Φιλοσοφικής Σήμερα το Τμήμα καλύπτει ένα μεγάλο εύρος Σχολής) μαζί με τη Φιλοσοφική Σχολή, έως το 1961, επιστημονικών πεδίων και επιλέγει να συνεργάζεται οπότε και εγκαινιάζεται το σημερινό κτίριο της με εθνικούς και διεθνείς φορείς, ώστε οι απόφοιτοί του Φυσικομαθηματικής. Το πρώτο Τμήμα της Σχολής, να έχουν τα καλύτερα εφόδια τόσο για τη συνέχιση αποτέλεσε το τμήμα της Δασολογίας το οποίο των σπουδών τους, όσο και για την επαγγελματική αποσπάστηκε το 1937 και μαζί με το τμήμα της τους αποκατάσταση. Γεωπονίας δημιούργησαν τη Γεωπονοδασολογική Τομείς: Σχολή. Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής, Το ακαδημαϊκό έτος αρχίζει η λειτουργία Πυρηνικής Φυσικής και Φυσικής Στοιχειωδών των Τμημάτων Μαθηματικών και Φυσικής και η Σωματιδίων, Φυσικής Στερεάς Κατάστασης, Σχολή δέχεται τους πρώτους εισακτέους της, πέντε Ηλεκτρονικής και Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, σε αριθμό. Παράλληλα με τη σταδιακή αύξηση των Εφαρμογών Φυσικής και Φυσικής Περιβάλλοντος εισακτέων, το ακαδημαϊκό έτος αυξάνεται το διδακτικό προσωπικό, η βιβλιοθήκη εξοπλίζεται Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: με τα πρώτα της βιβλία, περιοδικά και δημιουργείται Ηλεκτρονικής Φυσικής (Ραδιοηλεκτρολογίας), Σύλλογος Φοιτητών Φυσικής και Μαθηματικών. Φυσικής και Τεχνολογίας Υλικών, Φυσικής Περιβάλλοντος, Νανοεπιστήμες και Νανοτεχνολογίες Κατά την περίοδο της κατοχής επιτάσσεται ο Ιδαδιές, ο οποίος μετατρέπεται σε στρατιωτικό νοσοκομείο και οι παραδόσεις των μαθημάτων γίνονται σε Από τη δεκαετία του 70 ξεκινά η υπέρβαση των ιδιωτικούς χώρους. Το γεγονός αυτό δημιούργησε καθαρά θεωρητικών μαθηματικών και της θεωρητικής λειτουργικά προβλήματα καθώς είχε ως αποτέλεσμα κατεύθυνσης του Τμήματος με ένα άνοιγμα στο χώρο τη μεγάλη αύξηση του αριθμού των εγγεγραμμένων των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών το οποίο έδωσε φοιτητών, λόγω της κατάργησης των εξετάσεων. διαφορετική μορφή στο Τμήμα. Σήμερα, το Τμήμα Τόσο το Μαθηματικό Τμήμα, όσο και το Φυσικό κατά τη μεταπολεμική περίοδο επιχειρούν να διευρύνουν Σπουδών το οποίο ανταποκρίνεται στην εξέλιξη της Μαθηματικών του ΑΠΘ, παρέχει ένα Πρόγραμμα τις προοπτικές τους και τα ερευνητικά ενδιαφέροντα, μαθηματικής επιστήμης και στην ανάγκη παροχής αποκτώντας μεγάλα όργανα όπως μικροσκόπιο και υψηλού επιπέδου γνώσης στους φοιτητές του. εγκαθιστώντας ηλεκτρονικό υπολογιστή (1964) the prime magazine_11

7 Tο έμπειρο διδακτικό, ερευνητικό και διοικητικό Με το ίδιο νομοθετικό διάταγμα θεσμοθετείται και προσωπικό συμβάλει στην ύπαρξη φοιτητών με η ίδρυση του Φυσιογνωστικού Τμήματος. Η μεγάλη υψηλές επιδόσεις εισαγωγής και με δυνατότητες ανάπτυξη των φυσιογνωστικών σπουδών κατά για εξ ίσου υψηλές επιδόσεις κατά τη διάρκεια των την πρώτη εικοσιπενταετία είχε ως αποτέλεσμα σπουδών τους. το διαχωρισμό τους σε Βιολογικό και Γεωλογικό Τομείς: το με μεγάλη αύξηση του αριθμού των Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής σπουδαστών. Το Γεωλογικό Τμήμα όπως και το Λογικής, Μαθηματικής Ανάλυσης, Γεωμετρίας, Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης, Στατιστικής και Επιχειρηματικής Έρευνας Βιολογικό αναπτύσσονται ταχύτητα δημιουργώντας ενδιαφέρον για τους νέους σύγχρονους τομείς. Σήμερα το Τμήμα Γεωλογίας εργάζεται ερευνητικά σε όλους σχεδόν τους τομείς των γεωεπιστημών Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Η εμπειρία και κατάρτιση του διδακτικού και Θεωρητικά Μαθηματικά, Στατιστική και Μοντελοποίηση, Θεωρητική Πληροφορική και Θεωρία ερευνητικού προσωπικού προσφέρει στους φοιτητές τη δυνατότητα να ασχοληθούν με ένα ευρύ φάσμα Συστημάτων και Ελέγχου, ΔΠΜΣ στα Πολύπλοκα γνωστικών αντικειμένων. Είναι σημαντικό να Συστήματα και Δίκτυα (των Τμημάτων Μαθηματικών τονιστεί ότι το Τμήμα βρίσκεται στην πρώτη δεκάδα - Βιολογίας - Γεωλογίας - Οικονομικών Επιστημών) των Τμημάτων του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης ως προς την εισροή πόρων από ερευνητικά προγράμματα Μολονότι το αντικείμενο της Χημείας διδάσκεται στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης από την ίδρυση της Φυσικομαθηματικής Σχολής, Τομείς: η ίδρυση του Χημικού τμήματος ανάγεται στο Γεωλογίας, Ορυκτολογίας - Πετρολογίας - Κοιτασματολογίας, Γεωφυσικής, Μετεωρολογίας και 1943 με το νομοθετικό διάταγμα 430 της 3 ης Αυγούστου. Τα εργαστήρια του Χημικού Τμήματος Κλιματολογίας, Φυσικής και Περιβαλλοντικής αρχικά υλοποιούνταν στο Άσυλο του Παιδιού, ενώ Γεωγραφίας καθοριστική για το Τμήμα εξέλιξη ήταν η εγκατάσταση του στο κτίριο της Φυσικομαθηματικής το 1956, την Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Μετεωρολογία, οποία ακολούθησε η εγκατάσταση μεγάλων οργάνων Κλιματολογία και Ατμοσφαιρικό και η στελέχωση των εργαστηρίων. Η εγκαινίαση του οκταωρόφου κτιρίου Χημείας γίνεται το Περιβάλλον, Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών των Τμημάτων Βιολογίας, Γεωλογίας και Πολιτικών μηχανικών A.Π.Θ., Έρευνα και Τομείς: Γενικής και Ανόργανης Χημείας, Οργανικής Εκμετάλλευση Υδρογονανθράκων του Τμήματος Χημείας και Βιοχημείας, Φυσικής, Αναλυτικής και Γεωλογίας Α.Π.Θ., της Σχολής Μηχανικών Μεταλλείων - Μεταλλουργών Ε.Μ.Π. του Τμήματος Περιβαλλοντικής Χημείας, Χημικής Τεχνολογίας και Βιομηχανικής Χημείας Οικονομικών του Δ.Π.Θ. και του Τμήματος Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Ε.Κ.Π.Α. Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Ανόργανη Χημεία και Χημεία Ανόργανων Υλικών, Το εννεαώροφο κτίριο Βιολογικών Σπουδών Κβαντική και Υπολογιστική Χημεία, Βιοχημεία, εγκαινιάζεται το 1987 και σήμερα στεγάζει Οργανική Σύνθεση - Φυσικά Προϊόντα και Εφαρμογές, πολυάριθμους φοιτητές. Οι υψηλού επιπέδου Χημική Ανάλυση - Βιοανάλυση, Χημεία και Έλεγχος σπουδές διασφαλίζονται από την ενσωμάτωση Ρύπανσης του Περιβάλλοντος, Χημεία Υλικών, των πιο σύγχρονων διδακτικών μεθόδων και την Χημική και Περιβαλλοντική Τεχνολογία, Επιστήμη έμφαση στη θεωρητική κατάρτιση των φοιτητών και Τεχνολογία Πολυμερών και Νανοσύνθετων και στην πρακτική άσκηση στο εργαστήριο ή στο Υλικών, Χημεία, Τεχνολογία και Έλεγχος Τροφίμων, πεδίο. Τα μέλη του Τμήματος παρουσιάζουν πλούσια Χημική Εκπαίδευση και Τεχνολογίες Πληροφορικής ερευνητική δραστηριότητα, τόσο στη βασική όσο και Επικοινωνίας και την εφαρμοσμένη έρευνα, η οποία υποστηρίζεται από σημαντική υποδομή σε επιστημονικό εξοπλισμό the prime magazine_13

8 Τομείς: Τομείς: Βοτανικής, Γενετικής, Ανάπτυξης και Μοριακής Πληροφοριακά Συστήματα, Δίκτυα Επικοινωνίες Βιολογίας, Ζωολογίας, Οικολογίας Μεταπτυχιακά Προγράμματα Σπουδών: Αρχιτεκτονική Συστημάτων, Ψηφιακά Μέσα, Εφαρμοσμένη Γενετική και Βιοδιαγνωστική, Βιοτεχνολογία - Μοριακή και Μικροβιολογική Ανάλυση Τεχνολογίες Πληροφοριών Προϊόντων και Τροφίμων, Υδατοκαλλιέργειες, και Επικοινωνιών στην Καινοτομία και Βιωσιμότητα, Αλιευτική Βιολογία Εκπαίδευση (Τεχνολογίες και Διαχείριση, Οικολογία και Βιολογία Διατήρησης, Μάθησης) ΔΠΜΣ Οικολογική Ποιότητα και Διαχείριση Υδάτων Μεταπτυχιακά σε Επίπεδο Λεκάνης Απορροής, ΔΠΜΣ Ειδίκευση στην Περιβαλλοντική Εκπαίδευση. Παρότι η ίδρυση του Φαρμακευτικού Τμήματος και Παγκόσμιος Ιστός, προβλέπεται από τον ιδρυματικό του πανεπιστημίου, Πληροφορική και Διοίκηση των Τμημάτων το τμήμα ιδρύεται το 1955 με το βασιλικό διάταγμα Πληροφορικής και Οικονομικών Επιστημών του 226, της 17 ης Αυγούστου. Τα πρώτα χρόνια της Α.Π.Θ., Ιατρική Πληροφορική των τμημάτων λειτουργίας του αντιμετώπισε αρκετά προβλήματα Πληροφορικής, Ιατρικής και Ηλεκτρολόγων και είχε μικρό αριθμό διδακτικού προσωπικού και Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Α.Π.Θ. φοιτητών ενώ τελικά αποσπάστηκε από τη Σχολή το 1982 και προσαρτήθηκε στη Σχολή Επιστημών Υγείας με βάση το νόμο 1286 της 16 ης Ιουλίου. Η Φυσικομαθηματική το 1982 μετονομάσθηκε σε Σχολή Θετικών Επιστημών και απέκτησε νέα διοικητική δομή. Το νέο αυτό σχήμα που αποτελείται από τα τμήματα Μαθηματικών, Φυσικής, Χημείας, Βιολογίας, Γεωλογίας και Πληροφορικής έχει ως έμβλημα την προτομή του αρχαίου φιλόσοφου Θεόφραστου (372 π.χ π.χ.), ο οποίος υπήρξε Σε αυτό το κτίριο στεγάζεται και το Τμήμα Πληροφορικής το οποίο ιδρύθηκε το 1991 με το προεδρικό διάταγμα 200 και δέχεται φοιτητές από το ακαδημαϊκό έτος Παρότι το Τμήμα Πληροφορικής λειτουργεί μόλις μια εικοσιπενταετία, η εξέλιξη του είναι μεγάλη. Αυτό φαίνεται και με την κατάταξη του ΑΠΘ στα 200 καλύτερα πανεπιστήμια 37 στην κατηγορία Επιστήμη Υπολογιστών και Πληροφοριακά Συστήματα σύμφωνα με πρόσφατη έρευνα της εταιρίας QS., τον μεγάλο αριθμό πρωτότυπων δημοσιεύσεων σε έγκριτα διεθνή επιστημονικά περιοδικά και συνέδρια και τη συγγραφή και έκδοση μεγάλου αριθμού βιβλίων Πληροφορικής. Επίσης είναι σημαντικός ο αριθμός χρηματοδοτούμενων ερευνητικών και αναπτυξιακών προγραμμάτων που έχει αναλάβει το Τμήμα τόσο από την Ευρωπαϊκή Ένωση όσο και από Ελληνικούς φορείς. Προγράμματα Σπουδών: Πληροφορική και Επικοινωνίες, Διαδίκτυο υποδειγματικός δάσκαλος των Φυσικών Επιστημών και της Φιλοσοφίας. Η Σχολή στεγάζεται στα κτίρια Α, Β & Δ Φυσικομαθηματικής, κτίριο Χημείας (Παλαιό Α & Νέο Β), κτίριο Βιολογίας και κτίριο 4 63 Γραμματειών ΣΘΕ. 4 ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΧΟΛΗΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τμήμα Μαθηματικών: Τμήμα Φυσικής: Τμήμα Χημείας: Τμήμα Γεωλογίας: Τμήμα Βιολογίας: Τμήμα Πληροφορικής: Βιβλιογραφία: [1] 75 χρόνια Φυσικομαθηματικής Σχολής Α.Π.Θ., (2003) επετειακός τόμος, συλλογικό έργο, Θεσσαλονίκη. [2] Σχολή Θετικών Επιστημών Faculties ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. (2017). προσπελάστηκε 5/5/2017. [3] Καστάνης, Ν. (1999). Η 70χρονη πορεία του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη: Ζήτη. the prime magazine_17

9 γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ <Break the code:/> 1, 13, 2, 5, 3, 3, 107, 1, 16, 6, 4, 79, 1, 1, 9, 2, 37, 2, 33, 2, 1, 17, 1, 3, 6, 2, 107, 1, 27, 4, 1, 7, 1, 39, 8, 2, 59, 1, 2, 8, 1, 19, 1, 26, 2, 3, 13, 1,, 2, 1, 13, 1, 4, 3, 3 ος Διαγωνισμός Σπάστε τον κώδικα και στείλτε την απάντησή σας στο του περιοδικού: the.prime.magazine@gmail.com Οι 10 πρώτοι που θα στείλουν τη σωστή απάντηση θα κερδίσουν ένα βοήθημα Μαθηματικών Γ Λυκείου, των εκδόσεων Κανδύλα, χωρίς κλήρωση! 3, 3, 1, 1, 1, 61, 7, 17, 41, 41, 1, 2, 2, 2, 2, 5, 7, 2,, 22, 5, 7, 4, 7, 1. Λεπτομέρειες και όροι του διαγωνισμού στο facebook group του περιοδικού: Λύση γρίφου 4 ου τεύχους: Τα βιβλία είναι ποτισμένα με δηλητήριο και οι μοναχοί σαλιώνουν το δάχτυλο για να γυρίσουν σελίδα. the prime magazine_19

10 (Αν4λυσ3) τ0 προπτυχιακοι 0 51 γράφει ο Θάνος Μπεσλίκας προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού 5 Ο δίσκος του Poincare και η Υπερβολική Γεωμετρία 99 (μέρος Α) Per lhyh γρα οι φ ουν Sto àrjro autï thc st lhc mac ja anaferjo me ston d sko tou P oincare, Ëna basikï montëlo thc uperbolik c gewmetr ac. Ja parousiàsoume meriko c basiko c orismo c,ïpwc oi gewdaisiakëc tou d skou, h uperbolik yeudometrik kai metrik ston d sko autïn, ja d soume kàpoia basikà jewr mata, kai ja parajësoume merikà sq mata-eikïnec ta opo a ja mac bohj soun na katano soume kal tera tic gewmetrikëc Ënnoiec pou diëpoun autï to montëlo. To [1] e nai basikïc odhgïc tou àrjrou auto. Xekinàme me meriko c basiko c orismo c: OrismÏc 1: Wc d skoc tou P oincare onomàzetai o monadia oc d skoc D = {z 2 C : z < 1} e- fodiasmënoc me thn uperbolik metrik. OrismÏc 2: Wc gewdaisiakëc tou sunïlou D or zoume tm mata k klwn tou C = C [ {1}ta o- po a tëmnoun kàjeta ton monadia o k klo. Sto sq ma 1 blëpete merikëc gewdaisiakëc tou D. Sto shme o autï ja or soume thn Ënnoia tou m kouc enïc tm matoc m ac gewdaisiak c pou en nei d o shme a tou monadia ou d skou. OrismÏc 3: Gia to uperbolikï m koc enïc uperboliko eujugràmmou tm matoc γ ston monadia o d sko isq ei o parakàtw t poc: Z Z 2 dz length D (γ) = 1 z 2 = λ D (z) dz OrismÏc 5 H uperbolik yeudometrik or zetai wc ex c: D (z,w) = z w 1 wz,z,w 2 D γ γ Sto [1] ja bre te analutikà ton orismï gia thn yeudometrik Αναφορές: [1] James W. Amderson (2003) Faculty Of Mathematical Studies,University of Southampton, Highfield: Springer the prime magazine_

11 (Αν4λυσ3) τ0 01 Je rhma Gia thn uperbolik metrik ston monadia o d sko isq ei o parakàtw t poc: 1+ D (z,w) d D (z,w) = log, 1 D (z,w) ApÏdeixh: Arqikà ja to de xoume gia 1 <x<y<1. TÏte gia m a kamp lh γ(t) =u(t)+iv(t),t2 [0, 1] h opo a en nei ta x, y isq ei Ïti: length D (γ) = Z 1 2 Upolog zontac to pr to olokl rwma Ëqoume Ïti: length D (γ) log 0 2 γ 0 (t) dt 1 γ(t) 2 1+y 1 x 1 y 1+x Z 1 0 = log 2u 0 (t)dt 1 u 2 (t) 1+ y x 1 xy 1+ y x 1 xy Ant stoiqa jewro me kai thn γ(t) =x+t(y x) kai Ëqoume àmesa thn isïthta. T ra ja to de xoume gia opoiad pote z,w 2 D. ApÏ prohgo meno je rhma gnwr zoume Ïti opoiod pote ze goc shme wn z,w ston monadia o d sko isq ei Ïti oi strofëc wc apeikon seic apotelo n upos nolo thc omàdac Aut(D) kàti pou shma nei Ïti apotelo n isometr ec tou q rou mac.jewro me thn sunàrthsh f(z) = z w 1 wz. H f 2 Aut(D) kai epeid d D (0,z)=d D (0, z ) gia kàje z 2 D Ëqoume Ïti: d D (z,w) =d D (w, z) =d D (f(w),f(z)) = d D (0,f(z)) = d D (0, f(z) ) =d D (0, D (z,w)) Kai Ëqoume to apotëlesma.parathr ste Ïti : 1+ z d D (0,z)=log = 2 tanh 1 z 1 z Σχήμα 1: Γεωδαισιακές στον μοναδιαίο δίσκο! the prime magazine_29

12 οι ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γραφ ουν Το πρόβλημα των 7 γεφυρών του Königsberg γράφει η Παναγιώτα Τσαμτσακίρη Μαθηματικός M.Sc. 6 Τον 18 ο αιώνα η σημερινή πόλη Καλίνινγκραντ της Ρωσίας ονομαζόταν Königsberg και άνηκε στην Πρωσία. Η πόλη μέχρι και σήμερα είναι γνωστή για τον πανέμορφο ποταμό της, τον Pregel, ο οποίος 1 δημιουργεί στο κέντρο της δύο μικρές νησίδες. Εκείνη την εποχή υπήρχαν 7 γέφυρες που συνέδεαν τις όχθες του ποταμού μεταξύ τους και τις νησίδες με την στεριά. 7 Οι κάτοικοι προσπαθούσαν να δουν εάν ήταν εφικτό να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας καθεμία μόνο μια φορά. Παρόλες τις προσπάθειες τους, όμως, πάντα υπήρχε μια γέφυρα που δεν μπορούσαν να προσεγγίσουν. Οπότε είχαν καταλήξει στα εξής συμπεράσματα: ή το παραπάνω πρόβλημα είναι αδύνατο ή δεν είχαν βρεί ως τότε τον τρόπο που θα τους επέτρεπε να τις διασχίσουν όλες από μια φορά. Την λύση στο πρόβλημα τους έδωσε ο Euler και με αυτόν τον τρόπο εγκαινίασε την θεωρία Γραφημάτων και την Τοπολογία. 2 Λίγα λόγια για την θεωρία Γραφημάτων: 8 9 Γράφημα είναι οτιδήποτε μπορεί να παρασταθεί με σημεία (κορυφές) και γραμμές (ακμές). Δηλαδή ένα γράφημα είναι ένα ζεύγος G = (V,E), όπου V = {v 1,,v n }, το σύνολο των κορυφών και Ε = {e 1,,e m } το σύνολο των ακμών. Ένα γράφημα χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των κορυφών του V = n και το πλήθος των ακμών του Ε = m. Μία ακμή μπορεί να είναι κατευθυνόμενη ή μηκατευθυνόμενη. Η κατευθυνόμενη ακμή e=(v 1,v 2 ) λέμε ότι συνδέει την κορυφή v 1 με την κορυφή v 2. Η κορυφή v 1 ονομάζεται ουρά της ακμής και η κορυφή v 2 κεφαλή της ακμής. Η μη-κατευθυνόμενη ακμή e=(v 1,v 2 ) λέμε ότι συνδέει τις κορυφές v 1 και v 2, οι Εικόνα 1: Κατευθυνόμενο γράφημα Εικόνα 2: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα οποίες ονομάζονται και άκρα της. Τέλος δύο κορυφές που συνδέονται με ακμή ονομάζονται γειτονικές. Σε ένα μη-κατευθυνόμενο γράφημα ο βαθμός που αντιστοιχεί σε κάθε κορυφή v είναι το πλήθος των ακμών που εφάπτονται στην κορυφή v και συμβολίζεται με d(v), ενώ σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα διακρίνουμε τον βαθμό εισόδου που είναι ο αριθμός των ακμών που καταλήγουν στην κορυφή v και συμβολίζεται με d in (v) και τον βαθμό εξόδου που είναι ο αριθμός των ακμών που ξεκινούν από την κορυφή v και συμβολίζεται με d out (v). Μονοπάτι P = (v 1,,v n ) μήκους n είναι μια ακολουθία από κορυφές έτσι ώστε να υπάρχουν οι ακμές (v i,v i+1 ) με 1 < i < n-1, όπου όλες οι κορυφές είναι διαφορετικές. Κύκλος C = (v 1,,v n,v 1 ) είναι ένα μονοπάτι όπου ξεκινάει και τελειώνει με την ίδια κορυφή. Μονοπάτι Euler είναι ένα μονοπάτι που περιέχει μια φορά ακριβώς όλες τις ακμές. Κύκλος Euler είναι ένας κύκλος που περιέχει όλες τις ακμές ακριβώς μία φορά και όλες τις κορυφές τουλάχιστον μία φορά. the prime magazine_

13 Λύση του προβλήματος των γεφυρών από τον Euler Το σημαντικό άλμα που πραγματοποίησε ο Euler ήταν να συνειδητοποιήσει ότι οι πραγματικές διαστάσεις της πόλης δεν είχαν καμία απολύτως σχέση με την λύση του προβλήματος. Ο Euler αντικατέστησε τις 4 χερσαίες περιοχές με σημεία ενώ τις 7 γέφυρες με γραμμές που ένωναν τα σημεία όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. Έτσι λοιπόν για να μπορεί να διασχίσει κάποιος κάθε γέφυρα μία μόνο φορά θα έπρεπε να υπάρχει μία γραμμή που ξεκινάει από κάθε σημείο και μια που καταλήγει στο ίδιο σημείο. Δηλαδή ο βαθμός κάθε κορυφής θα έπρεπε να είναι ζυγός αριθμός! Οι μόνες εξαιρέσεις ήταν τα σημεία εκκίνησης και τερματισμού όπου οι βαθμοί των κορυφών αυτών θα ήταν 1. Σύμφωνα με τα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε: d(b) = d(c) = d(d) = 3 και d(a) = 5 Για αυτό και ο εν λόγω περίπατος ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί Σε ποιες περιπτώσεις η λύση του συγκεκριμένου προβλήματος θα ήταν εφικτή; Εικόνα 3: Königsberg in 1736 Εικόνα 4: Γραφική αναπαράσταση του Euler Η μαθηματική ανάλυση του Euler έδειξε ότι εάν υπήρχαν ακριβώς δύο κορυφές με ζυγό βαθμό τότε ένα μονοπάτι θα ήταν εφικτό. Ξεκινάς από το ένα και καταλήγεις στο άλλο έχοντας διασχίσει και τις ενδιάμεσες γραμμές (γέφυρες). Επομένως το πρόβλημα θα λύνονταν εάν δεν υπήρχε η γραμμή που ενώνει τα σημεία C και D ή η γραμμή που ενώνει τα σημεία B και D ή τέλος η γραμμή που ενώνει τα σημεία A και D. H ιστορία των γεφυρών του Königsberg γέννησε έναν νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφερόμαστε για τις αποστάσεις, τις διαστάσεις και τις γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, εστιάζουμε στον τρόπο που είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους. Αυτή είναι και η αρχή της τοπολογίας ενός από τα πιο ισχυρά παρακλάδια της μαθηματικής επιστήμης. Επίσης έκτοτε αναπτύχθηκε περαιτέρω και η θεωρία γραφημάτων Που συναντάμε τα γραφήματα καθημερινά; 7 3 Βιβλιογραφία: [1] Βασικές έννοιες της θεωρίας γραφημάτων, Δημήτρης Φωτάκης, τμήμα ΗΜΜΥ-ΕΜΠ [2] Εισαγωγή στην θεωρία γραφημάτων, Αλέξανδρος Νανόπουλος [3] Οι γέφυρες του Königsberg, Γιώργος Καρουζάκης, Θαλής και φίλοι [4]Οι γέφυρες του Königsberg, Κώστας Γιαννακός [5] Πιθανοθεωρητική προσωμοίωση και γραφήματα, Πολυχρόνης Μωυσιάδης the prime magazine_37

14 Η νέα εφαρμογή για τους φοιτητές του ΑΠΘ 51 νέο app myauth που ανέπτυξε το Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης (ΚΗΔ) του ΑΠΘ, σε συνεργασία με τους εκπαιδευομένους φοιτητές του, έχει ως στόχο την άμεση και προσωποποιημένη ενημέρωσή των φοιτητών του ΑΠΘ για όλα τα θέματα της φοιτητικής τους καθημερινότητας [1]. Έτσι λοιπόν, μέσω μιας ειδοποίησης στο smartphone τους, θα μπορούν πλέον οι φοιτητές του ΑΠΘ να ενημερώνονται σε πραγματικό χρόνο για τα διάφορα θέματα που αφορούν την φοίτησή τους στο πανεπιστήμιο, όπως για παράδειγμα: Η πρώτη εφαρμογή για κινητά, το ΑΠΘ mobile, δημιουργήθηκε το 2012 και αφορούσε γενική πληροφόρηση για το πανεπιστήμιο. Η πληροφόρηση που παρείχε το ΑΠΘ mobile ήταν αντίστοιχη αυτής που παρέχεται στην κύρια ιστοσελίδα του ΑΠΘ. Δεν υπήρχε δηλαδή η λεγόμενη «άμεση και προσωποποιημένη πληροφόρηση» για τους φοιτητές. «Πάρα πολύ μεγάλο μέρος της δουλειάς που έγινε, βασίζεται στην εργασία εκπαιδευόμενων φοιτητών. Τρεις φουρνιές φοιτητών εργάστηκαν στο συγκεκριμένο project, σε διάφορες φάσεις, για να φτάσουμε στο σημερινό αποτέλεσμα» ανέφερε στο ΑΠΕ-ΜΠΕ ο Δημήτρης Δασκόπουλος, υπεύθυνος οι ΔΙΔΑΚΤΟρικοι Το γραφ ουν πληροφορίες για τα τρέχοντα μαθήματα προβολή του προγράμματος μαθημάτων, καθώς και τυχόν έκτακτες αλλαγές αυτού οδηγίες για τις αίθουσες μαθημάτων και τον χώρο που βρίσκονται το πρόγραμμα εξεταστικής εάν πέρασαν και με τι βαθμό, κάποιο συγκεκριμένο μάθημα στην εξεταστική τους αν έχουν προσκομίσει τα απαραίτητα δικαιολογητικά για κάποια συγκεκριμένη αίτηση προς την γραμματεία του τμήματος (π.χ. ορκωμοσία). τις ανακοινώσεις του τμήματος, των μαθημάτων, και των καθηγητών από το elearning.auth.gr το μενού της λέσχης τα στοιχεία επικοινωνίας της γραμματείας σου Το myauth εξασφαλίζει ότι η χρήση των στοιχείων του ιδρυματικού λογαριασμού των φοιτητών γίνεται μόνο μέσα από τα ασφαλή κανάλια επικοινωνίας των ηλεκτρονικών υπηρεσιών του ΑΠΘ [1]. H εφαρμογή είναι διαθέσιμη σε Android στο Google Play Store από τον σχετικό σύνδεσμο [2], και μετρά ήδη περισσότερες από λήψεις με ιδιαίτερα θετικές αξιολογήσεις. myauth mobile app γράφει ο Ευάγγελος Ιωαννίδης Μαθηματικός, Ph.D candidate Εικόνα 1: Ο σχεδιασμός του myauth έγινε με γνώμονα την άμεση και προσωποποιημένη ενημέρωση των φοιτητών. the prime magazine_

15 του Τμήματος Υπηρεσιών στο Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης (ΚΗΔ) του ΑΠΘ [3]. Όπως εξήγησε ο κ. Δασκόπουλος, πριν από 4 χρόνια με την πρώτη εφαρμογή «ΑΠΘ Mobile» το 2012, δεν υπήρχε όλη αυτή η πληροφορία συγκεντρωμένη. Ως εκ τούτου, όλα τα δεδομένα έπρεπε να συλλεχθούν και να καταχωρηθούν σε μία νέα ενιαία βάση. «Στο εξωτερικό κάποια πανεπιστήμια διαθέτουν τέτοιες εφαρμογές, οπότε υπήρξε αυτό το όραμα, μίας αντίστοιχης υπηρεσίας στους φοιτητές του ΑΠΘ και ιδιαίτερα σε ξένους φοιτητές, οι οποίοι έρχονται εδώ χωρίς να γνωρίζουν τη γλώσσα ή τους χώρους, και αναζητώντας πληροφορίες από στόμα σε στόμα προσπαθούν να κινηθούν στο πανεπιστήμιο» σημείωσε ο κ. Δασκόπουλος [3] Η ομάδα του ΚΗΔ του ΑΠΘ εργάζεται ήδη πάνω σε διορθώσεις της νέας εφαρμογής «myauth», τις οποίες τις έχουν προτείνει οι χρήστες της διάρκειας 6 μηνών δοκιμαστικής BETA λειτουργίας της εφαρμογής. Επίσης, σχεδιάζουν τον εμπλουτισμό της με νέες κατηγορίες πληροφοριών, με υπηρεσίες ειδοποίησης (notifications), και εργάζονται για την έκδοση της εφαρμογής σε περισσότερες γλώσσες. Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι ήδη έχει ξεκινήσει η διαδικασία για τη διάθεσή της νέας εφαρμογής «myauth» και μέσω του App Store για συσκευές με λειτουργικό ios Εικόνα 2: Στο myauth μπορείς να δεις εάν περάστηκαν και με τι βαθμό, τα μαθήματα της εξεταστικής σου. Εικόνα 4: Η εφαρμογή ενσωματώνει χάρτη της πανεπιστημιούπολης του ΑΠΘ Εικόνα 3: Το myauth μετρά ήδη περισσότερες από λήψεις και οι αξιολογήσεις είναι ιδιαίτερα θετικές the prime magazine_43

16 Εικόνα 5: Η εφαρμογή ΑΠΘ Mobile, ήταν η πρώτη εφαρμογή για κινητά που αναπτύχθηκε από το ΑΠΘ το 2012, η οποία συνεχίζει να είναι διαθέσιμη στο Play Store και στο App Store. Αναμένεται ότι η νέα υπηρεσία προσωπικών ειδοποιήσεων που σχεδιάζεται, μέσω της αμεσότητας που θα εξασφαλίζει, θα συμβάλλει σημαντικά στην εξοικονόμηση του χρόνου και στην αποτελεσματικότητα της επικοινωνίας των φοιτητών με τις γραμματείες των Σχολών τους είτε με τους καθηγητές τους Εικόνα 6: Το myauth είναι διαθέσιμο σε Android στο Google Play Store από τον σχετικό σύνδεσμο. [2] 8 Κέντρο Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης ΑΠΘ Τηλεφωνική εξυπηρέτηση: Ηλεκτρονική Διεύθυνση: support@auth.gr Δικτυακός τόπος: 9 Αναφορές: [1] [2] [3] ιστότοπος foititikanea.gr εντοπίστηκε την 15/5/2017 στο the prime magazine_

17 Ήξερε ο Mozart πιθανότητες; γράφει η Αθηνά Νησιώτη προπτυχιακή φοιτήτρια Μαθηματικού Θ 7 α ακουγόταν ουτοπικό αν κάποιος σας έλεγε ότι μπορείτε να συνθέσετε το δικό σας μουσικό κομμάτι, καθώς ίσως πιστεύετε ότι απαιτούνται πολλές μουσικές σπουδές, ταλέντο και έμπνευση. Κι όμως... Το μόνο που χρειάζεται είναι δύο ζάρια Κατά το τέλος του 18 ου αιώνα στην Ευρώπη οι μουσικές εκδόσεις ήταν ένας ταχύτατα αναπτυσσόμενος κλάδος. Οι εκδότες προσπαθούσαν λοιπόν να κάνουν τη μουσική προσιτή σε όλους με διάφορους τρόπους. Ένας καινοτόμος τρόπος ήταν να δημοσιεύουν συστήματα που θα επέτρεπαν ακόμη και σε αυτούς που δεν γνώριζαν θεωρία της μουσικής να συνθέτουν. Έτσι πολλοί ήταν οι γνωστοί συνθέτες οι οποίοι προσπαθούσαν να βρουν τρόπους σύνθεσης της μουσικής βασιζόμενοι στα τυχερά παιχνίδια, τα οποία ήταν επίσης διαδεδομένα εκείνη την εποχή. Ένας από αυτούς ήταν και ο Mozart, ο οποίος δημιούργησε μία φημισμένη και επιτυχή σύνθεση την Musikalisches Würfelspiel Ο Mozart πίστευε ότι η μουσική δεν είναι μόνο για τους διανοούμενους γι αυτό και προσπαθούσε να την κάνει προσιτή σε όλους. Έλεγε δε Αν τύχει και βρεθούν δύο ζάρια παραδίπλα σου, ρίξτα και ξεκίνα. Η μουσική του σύνθεση Musikalisches Würfelspiel εκδόθηκε για πρώτη φορά στο Βερολίνο το 1792 (ένα χρόνο μετά το θάνατό του) και πρόκειται για ένα μουσικό παιχνίδι με ζάρια, που αποσκοπούσε στη διασκέδαση και έδινε την ευκαιρία σε όλους να συνθέτουν μουσική. Αποτελείται από = 272 μουσικά μέτρα τα οποία ο ίδιος έγραψε. Τα 16 x 11 = 176 μουσικά μέτρα αριθμημένα τοποθετήθηκαν από τον Mozart σε ένα πίνακα 16 στηλών και 11 γραμμών. Επίσης τα υπόλοιπα 16 x 6 = 96 τοποθετήθηκαν σε ένα δεύτερο πίνακα με 6 γραμμές και 16 στήλες. Από τον πρώτο πίνακα προκύπτουν τα μινουέτα και από το δεύτερο τα Trio, καθένα από τα οποία αποτελείται από 16 μέτρα (1)... Για να φτιάξουμε ένα μινουέτο ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Ρίχνουμε δύο ζάρια και προσθέτουμε τις ενδείξεις τους. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών βρίσκεται μεταξύ του 2 και του 12. Ο πίνακάς μας, όμως, έχει 11 γραμμές γι αυτό και κάθε φορά από το άθροισμα αφαιρούμε 1. Πηγαίνουμε τώρα και βρίσκουμε το στοιχείο της πρώτης στήλης που αντιστοιχεί στον αριθμό μας. Αυτό θα είναι και το πρώτο μέτρο της σύνθεσής μας. Για παράδειγμα για να συντεθεί το πρώτο μέτρο ενός μινουέτου ρίχνουμε 2 ζάρια και έστω ότι το άθροισμα των ενδείξεων είναι 7. Πηγαίνουμε λοιπόν στον πίνακα και βρίσκουμε το στοιχείο της πρώτης στήλης και της 7-1 = 6 ης γραμμής. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία άλλες 15 φορές και έτσι έχουμε καταλήξει σε μία αλληλουχία 16 μέτρων που συνιστούν ένα μινουέτο. Το δικό μας μινουέτο! Στη συνέχεια κάνουμε το ίδιο με ένα ζάρι αυτή τη φορά, για να συνθέσουμε ένα Trio. the prime magazine_ (1) Είδη μουσικών κομματιών

18 "# 11 "# 6 "# 6 "# = 1,3 = 1, *+ * Εικόνα 1: Παράδειγμα σύνθεσης με τη βοήθεια ζαριών Εύλογα, λοιπόν, μπορεί να μας δημιουργηθούν κάποια ερωτήματα μαθηματικής φύσης. Αρχικά 31 αναρωτιόμαστε πόσες μπορεί να είναι οι διαφορετικές συνθέσεις που προκύπτουν. Χρησιμοποιώντας γνώσεις συνδυαστικής παρατηρούμε ότι το μινουέτο μπορεί να προκύψει με διαφορετικούς τρόπους 37 (όσες είναι οι διατάξεις με επανάληψη των 11 ανά 16) ενώ το Trio 11με 6 16 τρόπους = 1,3 10 (όσοι οι διατάξεις με επανάληψη των 6 ανά 16) Έτσι, σύμφωνα με τη Θεμελιώδη Αρχή της Απαρίθμησης μπορούν να συντεθούν: 11 "# 6 "# = 1,3 10 *+ 4 δηλαδή 130 οκτάκις εκατομμύρια 7, συνθέσεις. Σημειώνουμε ότι η γη έχει πληθυσμό 7,3 δισεκατομμύρια ανθρώπους (2013). Έτσι βλέπουμε ότι σε 4 κάθε κάτοικο του πλανήτη αντιστοιχούν: 7,3 10 1,3 10 *+ + = 1,7 10"+ 7, διαφορετικές συνθέσεις, δηλαδή είναι σχεδόν απίθανο δύο διαφορετικά 1,3 10 *+ 10 7,3 άτομα που παίζουν το ίδιο παιχνίδι να κάνουν την ίδια = 1,7 σύνθεση. 10"+ 7, Έχει μάλιστα 58 υπολογιστεί 3ότι 10 είναι *+ 30 πιο sec πιθανό = 1,3 να κερδίσει 3 1 κάποιος το Τζόκερ φορές παρά 3600 να συνθέσει το 1,3 10 ίδιο κομμάτι 2 φορές. *+ = 1,7 10"+ Υπολογίζουμε 7,3 επίσης 10 + =... = 1,23 ότι, αν ένα κομμάτι έχει μέση διάρκεια 303δευτερόλεπτα, 10 sec τότε = 1, για να τα ακούσουμε όλα απαιτούνται: Δηλαδή 1,23 10 *" αιώνες tt = 1,3 10 *+ 1, sec = = h PP 1,6 + PP 2,5 + PP =... = 1,23 10 *2 χρόνια. 1,3 10 = 1,7 10 7, ,3 7, tt = 1,3 10 *+ 1, ,3 30 sec = = 1, *+ *+ = 1,7 3600h 7, = 1,7 10"+ 10"+ 7, =... = 1,23 10 *2 χρόνια. Δηλαδή 1,23 10 *" αιώνες ακόμη tt = 1,3 κι αν 10 καθημερινά *+ 1, tt = 1,3 10 *+ 30 sec ακούμε = 1,3 συνεχώς sec = = 3600h = καινούριες συνθέσεις. 3600h Παρατηρούμε επίσης ότι τα μέτρα στο PP 7 = PP 1,6 =. + PP 2,5 + PP 3,4 + μινουέτο δεν έχουν την =... = ίδια.. 1,23 = πιθανότητα να εμφανιστούν. 1, *2 χρόνια. *2 χρόνια. Δηλαδή 1,23 Για 10 παράδειγμα η πιθανότητα *" αιώνες Δηλαδή +PP 4,3 να 1,23 + έχουμε 10 PP 5,2 άθροισμα ενδείξεων των δύο ζαριών 7 *" αιώνες + PP 1,6 = 6 36 = είναι: PP 7 PP 7 = PP= PP1,6 PP1,6 + PP 2,5 + PP 2 = + PPPP 1,1 2,5 = + 1 PP3,4 3, PP 4,3 + PP 5,2 + PP 1,6 = 6 36 = 1 +PP 4,3 + PP 5,2 + PP 1,6 = = 1 6 ενώ να έχουμε άθροισμα 2 είναι: PP 2 = PP 1,1 = 1 PP 2 = PP 1,1 36 = 1 36 Δηλαδή η πιθανότητα να έχουμε στη σύνθεσή μας μέτρο από τη γραμμή 6 (= 7-1) είναι 6 φορές μεγαλύτερη από το να έχουμε μέτρο από την 1 (= 2-1). Τίθεται, λοιπόν, το ερώτημα, αν ο Mozart είχε τις κατάλληλες γνώσεις πιθανοτήτων ώστε να το προβλέψει αυτό ή αν θεωρούσε όλα τα γεγονότα ισοπίθανα. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δε μπορεί να δοθεί με σιγουριά. the prime magazine_59 Δηλαδή 1,23 10 *" αιώνες

19 Τα τυχερά παιχνίδια με ζάρια υπήρχαν από την αρχαιότητα και απασχολούσαν τους ανθρώπους.την εποχή μάλιστα που έζησε ο Mozart ο κλάδος των πιθανοτήτων βρισκόταν υπό συνεχή εξέλιξη. Μάλιστα ήδη από το 1620 διασώζεται ένα απόσπασμα του Γαλιλαίου στο οποίο απαριθμούνται με σωστό τρόπο οι ρίψεις τριών ζαριών. Οπότε ο Mozart είναι πολύ πιθανό να γνώριζε πιθανότητες και να καταλάβαινε ότι οι διαδικασίες επιλογής των μουσικών μέτρων δεν είναι ισοπίθανες. Όπως και να έχει, όποια και να ήταν η σχέση του Mozart με τα μαθηματικά, κανένας δεν μπορεί να αμφισβητήσει ότι ήταν μία μουσική ιδιοφυία που το έργο του ακόμη και σήμερα μαγεύει τους ανθρώπους. Πολλοί μάλιστα είναι αυτοί που ισχυρίζονται ότι η σονάτα του για δύο πιάνα σε Ρε Ματζόρε (Κ 448) έχει θετική επίδραση στη λειτουργία του εγκεφάλου και βοηθά στην επίλυση λογικών και μαθηματικών προβλημάτων (Mozart effect). Ας την ακούσουμε λοιπόν και ας βγάλουμε τα δικά μας συμπεράσματα... Εικόνα 2: Sonata I Εικόνα 3: Η υπογραφή του Mozart Βιβλιογραφία: [1] Σπυρίδης, Χ. (χ.η.) Musikalisches Würfelspiel. ανακτήθηκε την 25/5/2017 από τον ιστότοπο: [2] Δρούγας, Αθ. (2012). Μαθηματικά αξιοπερίεργα: Ο Μότζαρτ και τα μουσικά αξιοπερίεργα. ανακτήθηκε την 25/5/2017 από τον ιστότοπο: gr/2012/08/blog-post_25.html [3] Ελούλ, Ι. (2011). Αλγοριθμική σύνθεση Ιστορική αναδρομή και βασικές τεχνικές. (Εργασία Μαθήματος). Ιόνιο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Ηχου και Εικόνας: Κέρκυρα. Εικόνα 4: Χειρόγραφη παρτιτούρα του Mozart the prime magazine_61

20 IQ Δείκτης Νοημοσύνης: Τι είναι; Πως μετριέται; γράφει ο Βασίλειος Καλέσης Μαθηματικός, ΑΠΘ Για τη νοημοσύνη έχουν δοθεί πολλοί ορισμοί κατά καιρούς: η ικανότητα ενός ατόμου να αντιλαμβάνεται και να αφομοιώνει με ταχύτητα, να κρίνει σωστά, να ενεργεί αποτελεσματικά, να σκέφτεται, να εκλογικεύει, να αντιλαμβάνεται αφηρημένες έννοιες ομοιότητες διαφορές σχέσεις, να λύνει προβλήματα, να μαθαίνει, να κατανοεί, να προβλέπει και να προσαρμόζεται σε νέες καταστάσεις. Στην επιστήμη της ψυχολογίας ορίζεται ως το σύνολο των πνευματικών λειτουργιών που χρησιμοποιούμε για να αντιμετωπίσουμε νέες καταστάσεις και να λύσουμε προβλήματα, αξιοποιώντας προηγούμενες εμπειρίες. 2 Tο πρώτο ολοκληρωμένο τεστ νοημοσύνης εκπονήθηκε από τον ψυχολόγο Alfred Binet και τον συνεργάτη του, επίσης ψυχολόγο, Theodore Simon, το 1905, όταν του ζητήθηκε από τους αξιωματούχους του γαλλικού Υπουργείου Παιδείας να δημιουργήσει ένα τεστ το οποίο θα εντοπίζει τους «αδύνατους» μαθητές. Τα τεστ νοημοσύνης αποτελούνται από ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής ή και συμπλήρωσης, με εκφωνήσεις σαφείς και σύντομες, ενώ είθισται η πρώτη ερώτηση να δίνεται απαντημένη ως παράδειγμα Ο ψυχολόγος Wilhelm Stern, που καθιέρωσε την έννοια του IQ, χαρακτήρισε τη νοημοσύνη ως η «ικανότητα του ανθρώπου να προσαρμόζει συνειδητά τον νου του σε νέες απαιτήσεις, η πνευματική ικανότητα προσαρμογής σε νέα καθήκοντα και νέους όρους ζωής» (Stern, σ. 2). Στην ίδια λογική ο αμερικανός ερευνητής David Wechsler συμπληρώνει: «Νοημοσύνη είναι η ικανότητα του ατόμου να ενεργεί αποφασιστικά, να σκέφτεται λογικά και να αντιμετωπίζει με επιτυχία το περιβάλλον του» (Wechsler σ. 3). Βάσει των παραπάνω συγγραφέων και των θεωρητικών πλαισίων που αποδίδουν στην έννοια της νοημοσύνης, είναι δόκιμο να ισχυριστούμε ότι νοημοσύνη είναι η ικανότητα αποτελεσματικής μάθησης και διαχείρισης του καινούριου, του νέου. Συμπέρασμα, λοιπόν, το οποίο συνεπάγεται είναι πως ένα άτομο το οποίο μπορεί να λύσει γρήγορα τον κύβο του Rubik, δεν είναι απαραίτητα άτομο υψηλής νοημοσύνης. Αντιθέτως, το άτομο το οποίο έμαθε να λύνει γρήγορα τον κύβο, μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα και μετά από λίγες επαναλήψεις, χαρακτηρίζεται άτομο υψηλής νοημοσύνης. Εργαλείο μέτρησης της νοημοσύνης αποτελούν τα τεστ νοημοσύνης (IQ tests) τα οποία περιγράφονται παρακάτω: Τεστ νοημοσύνης (IQ tests) Παράδειγμα_1: Δίνονται τρεις λέξεις. Ψάχνουμε μια τέταρτη λέξη που να συσχετίζεται με την τρίτη λέξη, κατά τρόπο ανάλογο μ εκείνον που σχετίζεται η δεύτερη λέξη με την πρώτη υγεία : ασθένεια = ημέρα :... 4 α] ήλιος β] μεσημέρι γ] φως δ] νύχτα Σύμφωνα με τη θεωρία του ψυχολόγου Louis L. Thurstone (Thurstone, σ. 3) αντί να αντιμετωπίζουμε τη νοημοσύνη ως μια ενιαία γενική ικανότητα, επικεντρωνόμαστε σε 7 διαφορετικές «πρωτογενείς νοητικές ικανότητες» τις οποίες και εντοπίζουμεμετρούμε με το τεστ νοημοσύνης για να βγάλουμε γενικό συμπέρασμα. Αυτές είναι: Η λεκτική κατανόηση (Verbal comprehension) 2. Η αιτιολόγηση (Reasoning) 3. Η ταχύτητα αντίληψης (Perceptual speed) 4. Η αριθμητική ικανότητα (Numerical ability) 5. Η ευφράδεια λόγου (Word fluency) 6. Η συνειρμική μνήμη (Associative memory) 7. Η χωρική απεικόνηση - αντίληψη (Spatial visualization) the prime magazine_67

21 Ανάλογα με την ηλικιακή ομάδα που θέλουμε να εξετάσουμε ή τη νοητική ικανότητα που θέλουμε να μετρήσουμε, υπάρχουν διαφορετικά τεστ με ερωτήσεις που στοχεύουν σε μια ή περισσότερες από τις παραπάνω νοητικές ικανότητες. (WAIS, WISC, Stanford-Binet.., με τις αντίστοιχες κλίμακές τους) Παράδειγμα_2: χωρική αντίληψη Παράδειγμα_3: Από τις τέσσερις λέξεις που δίνουμε, οι τρεις έχουν παραπλήσιο νόημα, ενώ η μια δεν ταιριάζει με τις άλλες. Ζητάμε αυτή τη λέξη: Οι δείκτες νοημοσύνης, ανάλογα με τη σωματική ηλικία ενός ατόμου, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, το παιδικό και το ενήλικο iq. 37 Παιδικό IQ Για παιδιά ηλικίας μικρότερης των 15 ετών, ο δείκτης νοημοσύνης προκύπτει από το κλάσμα με αριθμητή την πνευματική ηλικία προς τη σωματική, πολλαπλασιαζόμενο επί α] τρέχω β] πηδάω γ] κουτσαίνω δ] κάθομαι λεκτική κατανόηση ππππππππππππππππππή ηηηηηηηηίαα σσσσσσσσσσσσσσή ππππππππππππππή ηηηηηηηηίαα 100 σσσσσσσσσσσσή ηηηηηηηηίαα 1 Για παράδειγμα, ένα 10χρονο παιδί με νοητικές ικανότητες 14χρονου έχει δείκτη νοημοσύνης = = Παράδειγμα_4: Βρείτε το σωστό αποτέλεσμα κατ εκτίμηση και με απλούς αριθμητικούς συλλογισμούς =? α] 9955 β] 9782 γ] δ] 9843 ε] Ενήλικο IQ αριθμητική ικανότητα 6 83 Παράδειγμα_4: ε] Παράδειγμα_3: δ] κάθομαι Aντίστοιχα, για άτομα άνω των 15 ετών, (ενήλικο iq) ορίζεται ως η σπανιότητα μιας πνευματικής επίδοσης ενός ατόμου στο γενικό πληθυσμό. Η σπανιότητα της επίδοσης ορίζεται από την απόσταση της επίδοσης iq από τον μέσο όρο που είναι το IQ 100. Η κατανομή τιμών του iq ακολουθεί την κατανομή του Gauss (Gaussian distribution) Παράδειγμα_2: σχήμα Β Παράδειγμα_1: δ] νύχτα Απαντήσεις: IQ Δείκτης Νοημοσύνης (IQ) the prime magazine_71

22 Ποσοστό πληθυσμού Άτομα με εξαιρετικά υψηλό IQ Για παράδειγμα, αν 2 άτομα στα 100 ενός τυχαίου πληθυσμού, μπορούν να περατώσουν μια νοητική δοκιμασία σε προκαθορισμένο χρονικό διάστημα, τότε τα άτομα αυτά διαθέτουν IQ > 130. Stephen Hawking (IQ 160) θεωρητικός φυσικός, κοσμολόγος Albert Einstein (IQ ) φυσικός, νόμπελ φυσικής Judit Polgar (IQ 170) σκακίστρια, Grandmaster μόλις 15 ετών Garry Kasparov (IQ 194) σκακιστής, πολιτικός ακτιβιστής Evangelos Katsioulis (IQ 205) ψυχίατρος, ψυχοθεραπευτής Kim Ung-Yong (IQ 0) πολιτικός μηχανικός, μίλησε 6 μηνών, 3 ετών διάβαζε 4+ γλώσσες, Guinness record Chris Hirata (IQ 225) αστροφυσικός, 16 ετών προσελήφθη στη NASA Terence Tao (IQ ) μαθηματικός, 20 ετών διδακτορικό, 24 ετών ακαδημαϊκός UCLA, Fields Medal 3 Κάθε τεστ έχει τη δική του κλίμακα αξιολόγησης. Στις μέρες μας τα πιο διαδεδομένα τεστ είναι αυτά των Stanford-Binet (SB5) και Wechsler (WAIS-IV, WISC-V, 2008). 37 Σύμφωνα με το σκορ που επιτυγχάνει κάθε άτομο, κατατάσσεται σε μια από τις παρακάτω κατηγορίες: IQ score 4 63 Stanford - Binet Fifth Edition (SB5) classification IQ Range IQ classification 160+ Extremely gifted Very gifted - Highly advanced Gifted - Very Advanced Superior High average Average Low average Borderline Mildly impaired Moderately impaired πηγή: (Πηγή: Kaufman Kaufma σ Ανάλογη είναι και η κλίμακα Wechsler (WAIS IV, WISC V, WPPSI IV), KAIT 1993, KABC-II 2004 Βιβλιογραφία: [1] Flanagan P. Dawn, Harrison, L. Patti (2012). Contemporary Intellectual Assessment, Theories, Tests, and Issues, Third edition, New York: The Guilford Press [2] Groth-Marnat, G. (2009). Handbook of Psychological Assessment. 5th Edition, Hoboken. New Jersey: Wiley. [3] Kaufman, Alan S. (2009). IQ Testing 101. p. 112, New York: Springer Publishing. [4] Silverman, H. L. & Krenzel, K. (1964). Alfred Binet: Prolific Pioneer in Psychology. The Psychiatric quarterly. Supplement 38, p [5] Stangor, C. (2013). Introduction to Psychology, v.1.0. Εντοπίστηκε στην ιστοσελίδα στις 30/01/2016: ch09_s02 [6] Stern, W. (1914). The phychological methods of testing intelligence, p. 2. Baltimore: Warwick & York, Inc. Thurstone, L. L. (1938). Primary mental abilities, p.3 Chicago: University of Chicago Press Wechsler, D. (1939). The Measurement of Adult Intelligence, p. 3. Baltimore: Williams & Witkins. Εικόνα 1: Πίνακας κατανομής IQ the prime magazine_73

23 οι ΔΙΔΑΚΤΟρεσ γραφ ουν Rudolf E. Kalman Ο θεμελιωτής της Μοντέρνας Θεωρίας Ελέγχου Ο Rudolf Emil Kalman ( ) υπήρξε ένας από τους επιδραστικότερους επιστήμονες και μηχανικούς του περασμένου αιώνα, και ο θεμελιωτής της μοντέρνας θεωρίας συστημάτων ελέγχου. Η σύγχρονη θεωρία συστημάτων ελέγχου είναι ένας ευρύς κλάδος της μηχανικής και των μαθηματικών που ασχολείται με δυναμικά συστήματα που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών, τη μελέτη της συμπεριφοράς τους (ανάλυση) αλλά και τη χειραγώγηση των ελέγξιμων παραμέτρων ή εισόδων ενός συστήματος με σκοπό την επίτευξη της επιθυμητής συμπεριφοράς του (σύνθεση). Κατά τη διάρκεια της μακρόχρονης και δραστήριας επιστημονικής του καριέρας, ο Kalman κατάφερε όχι μόνο να θέσει τα θεμέλια αυτού του κλάδου, αλλά και να κατευθύνει με τις ιδέες του την ανάπτυξή του για πολλές δεκαετίες [1,2,7,16]. Εικόνα 1: Λογότυπο του προγράμματος Apollo Ο R.E. Kalman γεννήθηκε στη Βουδαπέστη στις 19 Μαΐου το 1939 και μετακόμισε στην Αμερική στην ηλικία των δεκατριών χρόνων. Έλαβε το πτυχίο και το μεταπτυχιακό του από το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (MIT) το 1953 και 1954 και το διδακτορικό του δίπλωμα από το Πανεπιστήμιο της Κολούμπια το Οι επόμενες θέσεις που κατείχε ήταν αυτές του ερευνητή στο RIAS (Research Center for Advanced Study) στη Βαλτιμόρη ( ), του καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ ( ), του ερευνητή καθηγητή στο Center for Mathematical System Theory στο Πανεπιστήμιο της Φλόριντα ( ) και ταυτόχρονα του προέδρου της Mathematical System Theory στο Swiss Federal Institute of Technology στη Ζυρίχη ( ). γράφει ο Λάζαρος Μωυσής Μαθηματικός, Ph.D Από τις πιο σημαντικές συνεισφορές του Kalman υπήρξε η ανάπτυξη του φίλτρου Kalman [11-13]. Το φίλτρο Kalman είναι ένας αλγόριθμος που εφαρμόζεται σε συστήματα που διέπονται από 5 99 εξωτερικές διαταραχές (θορύβους), με σκοπό τον «καθαρισμό» των μετρήσεων που γίνονται και την απόκτηση μιας νέας εκτίμησης της κατάστασης του συστήματος, απογυμνωμένη από διαταραχές. Το φίλτρο αρχικά αναπτύχθηκε σε διακριτό χρόνο και η επέκταση του στον συνεχή έγινε αργότερα σε συνεργασία με τον R. Bucy [12]. Η ανάπτυξη αυτής της τεχνικής για την εκτίμηση 6 11 των καταστάσεων ενός συστήματος που υπόκειται σε διαταραχές μπορεί να θεωρηθεί χωρίς υπερβολή μια από τις σημαντικότερες θεωρητικές και τεχνολογικές ανακαλύψεις του προηγούμενου αιώνα. Αυτό γίνεται κατανοητό αν αναλογιστεί κανείς πως στις περισσότερες μηχανικές και τεχνολογικές εφαρμογές οι μετρήσεις είναι θορυβώδεις και υπάρχει συνεχώς η ανάγκη για την απόκτηση καλύτερων εκτιμήσεων, 7 ώστε να εξασφαλίζεται η ορθή λειτουργία τους. Το φίλτρο Kalman επομένως βρίσκει εφαρμογές στην οικονομετρία, στη σεισμολογία, στην μετεωρολογία, στη μηχανική όραση (computer vision), στον έλεγχο στατικής επάρκειας (structural health monitoring), στον έλεγχο κινητήρων, σε όργανα GPS, σε προγράμματα αυτόματης πλοήγησης, στην πλοήγηση δορυφόρων, σε ραντάρ, σε ατομικά ρολόγια (atomic clocks) και σε αναρίθμητες ακόμη εφαρμογές [2,4-6,15]. Ξεχωριστή σημασία ανάμεσα στο πλήθος των παραπάνω εφαρμογών, έχει η ιστορική πρώτη αποστολή ανθρώπων στο φεγγάρι το 1969 με το Apollo 11, στην επιτυχία της οποίας το φίλτρο Kalman έπαιξε καίριο ρόλο, συμβάλλοντας στον ακριβή υπολογισμό των τροχιών του επανδρωμένου αεροσκάφους. Η αρχή της συνεργασίας αυτής ξεκίνησε όταν S. F. Schmidt, ο οποίος ήταν διευθυντής στο Τμήμα Δυναμικής Ανάλυσης της NASA στο Ames Research Center στην Καλιφόρνια προσκάλεσε τον Kalman να τους παρουσιάσει τις ιδέες του, και πίστεψε πως η μεθοδολογία του Kalman θα μπορούσε να εφαρμοστεί στη βελτίωση του προγράμματος πλοήγησης του υπό κατασκευή διαστημικού σκάφους. the prime magazine_

24 (realization) και της αναγνώρισης συστημάτων (system identification), που μελετάει την κατασκευή της κατάστασης ενός συστήματος χρησιμοποιώντας μετρήσεις της εισόδου και της εξόδου [3,9,15]. Για τη συνολική του συμβολή στην επιστήμη, ο R. Kalman τιμήθηκε κατά τη διάρκεια της ζωής του με τα IEEE Medal of Honor (1974), το IEEE Centennial Medal (1984), το Rufus Oldenburger Medal (1976), το Kyoto Prize in Advanced Technology (1985), το Steele Prize της American Mathematical Society (1987), το Richard Bellman Control Heritage Award (1997), το Charles Stark Draper Prize for Engineering (2008) και το National Medal of Science (2008) των Η.Π.Α Εικόνα 2: Απονομή του National Medal of Science. Source: Ryan K. Morris/National Science & Technology Medals Foundation Πέρα από το ομώνυμο φίλτρο, ο R. Kalman συνέβαλε με την έρευνα του σε πάρα πολλά πεδία των μαθηματικών, παρουσιάζοντας συνεχώς νέες ιδέες, αλλά και θέτοντας νέα ερωτήματα των οποίων η απάντηση οδηγούσε σε νέες καινοτομίες [3,7,8,10]. Η ανάπτυξη της θεωρίας των συστημάτων του χώρου των καταστάσεων (state space systems) και των εννοιών της ελεγξιμότητας (controllability) και παρατηρησιμότητας (observability) [14] άλλαξε ριζικά τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων και έθεσε τις βάσεις για τη μελέτη νέων μεθόδων σύνθεσης ελεγκτών (LQR), την απόρριψη διαταραχών (disturbance rejection) και τη δημιουργία παρατηρητών κατάστασης (state observers). Σημαντική ήταν επίσης η συμβολή του στο πρόβλημα της πραγμάτωσης 7 Εικόνα 3: National Medal of Science Ο R. Kalman έφυγε από τη ζωή στις 2 Ιουλίου 2016, σε ηλικία 86 χρονών. Αναφορές: [1] Antoulas, A., Georgiou, T. T., Khargonekar, P. P., Ozguler, A. B., Sontag, E. D., & Yamamoto, Y. (2017). A Tribute to Rudolf Kalman: His Research, Life, and Influence [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 37(2), [2] Antoulas, A., Georgiou, T. T., Khargonekar, P. P., Ozguler, A. B., Sontag, E. D., & Yamamoto, Y. (2017). Prof. Rudolf Emil Kalman [Obitu ary]. IEEE Control Systems, 37(1), [3] Antoulas, A. (Ed.). (1991). Mathematical system theory: the influence of RE Kalman. Springer Science & Business Media. [4] Galleani, L., & Tavella, P. (2010). Time and the Kalman filter. IEEE Control Systems, 30(2), [5] Gelb, A. (1974). Applied optimal estimation. MIT press. [6] Grewal, M. S., & Andrews, A. P. (2010). Applications of Kalman filtering in aerospace 1960 to the present [historical perspectives]. IEEE Control Systems, 30(3), [7] Isidori, A. (2017). Kalman: The Scientist Who Defined Our Field [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 37(2), [8] Kalman, R. (2010). Old and new directions of research in system theory. In Perspectives in Mathematical System Theory, Control, and Signal Processing (pp. 3-13). Springer Berlin Heidelberg. [9] Kalman, R. E. (1982). Identification from real data. In Current developments in the interface: Economics, Econometrics, Mathematics (pp ). Springer Netherlands. [10] Kalman, R. (2003). Discovery and invention: The newtonian revolution in systems technology. Journal of guidance, control, and dynamics, 26(6), [11] Kalman, R. E. (1963). Mathematical description of linear dynamical systems. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathemat ics, Series A: Control, 1(2), [12] Kalman, R. E., & Bucy, R. S. (1961). New results in linear filtering and prediction theory. Journal of basic engineering, 83(3), [13] Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of basic Engineering, 82(1), [14] Kalman, R. (1959). On the general theory of control systems. IRE Transactions on Automatic Control, 4(3), [15] Pincus, S., & Kalman, R. E. (2004). Irregularity, volatility, risk, and financial market time series. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 101(38), [16] Sontag, E. (2010). Rudolf E. Kalman and His Students [Historical Perspectives]. IEEE Control Systems, 30(2), the prime magazine_

25 οι 4 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ προπτυχιακοι γραφ ουν 10 5 Μικτές Στρατηγικές γράφει ο Βύρων Μπουλούμης προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού 5 99 Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Παράδειγμα: Δύο πλοία, ένα εμπορικό και ένα πολεμικό, κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και πλησιάζουν το ένα το άλλο όπως φαίνεται στο σχήμα. Μεταξύ τους υπάρχει ένα νησί. Τα δύο πλοία μπορούν να επιλέξουν αν θα περάσουν βόρεια (Β) ή νότια (Ν) του νησιού. Η στρατηγική μορφή του παιγνίου είναι: Το πολεμικό επιθυμεί να κάνει την ίδια ακριβώς διαδρομή με το εμπορικό, ενώ το εμπορικό θέλει να αποφύγει το πολεμικό. Αν το πολεμικό μπορούσε να προβλέψει με ακρίβεια την επιλογή (στρατηγική) του εμπορικού θα προσάρμοζε ανάλογα τη δική του στρατηγική ώστε να κερδίσει το παίγνιο. Για παράδειγμα, αν το πολεμικό γνώριζε ότι το εμπορικό κάνει πάντοτε την επιλογή Β θα έκανε και αυτό την επιλογή Β. Είναι λοιπόν προς το συμφέρον του εμπορικού πλοίου να κάνει τη συμπεριφορά του απρόβλεπτη επιλέγοντας κάποιες φορές τη διαδρομή Β και άλλες τη διαδρομή Ν. Η αβεβαιότητα που θα αντιμετωπίσει σε μια τέτοια περίπτωση το πολεμικό πλοίο μοντελοποιείται μαθηματικά ως μικτή στρατηγική από την πλευρά του εμπορικού πλοίου. Οι στρατηγικές με τις οποίες έχουμε ασχοληθεί μέχρι τώρα χρησιμοποιούνται από τους παίκτες με βεβαιότητα 100%. Τέτοιες στρατηγικές ονομάζονται αμιγείς στρατηγικές. Ωστόσο υπάρχουν παίγνια στα οποία τα συμφέροντα των παικτών είναι διαμετρικά αντίθετα και κάθε παίκτης είναι δυνατό να αποκομίσει όφελος αν καταφέρει να προκαλέσει σύγχυση στον αντίπαλο σχετικά με τις επιλογές του Β Έστω ότι ο χώρος των διαθέσιμων αμιγών στρατηγικών του παίκτη i είναι: Η μικτή στρατηγική του i είναι μια κατανομή πιθανότητας { 1 k p = p,..., p,..., p K } πάνω στις αμιγείς στρατηγικές του, με the prime magazine_ p 1 ΕΜΠΟΡΙΚΟ Ν ΠΟΛΕΜΙΚΟ 8 31 Στο παραπάνω παίγνιο το εμπορικό δεν επιλέγει την αμιγή στρατηγική Β ή την αμιγή στρατηγική Ν αλλά την πιθανότητα με την οποία θα ακολουθήσει το δρομολόγιο Β. Η μεικτή στρατηγική γράφεται ως 83 {Β,Ν;p} (εννοείται ότι το Ν επιλέγεται με πιθανότητα 1-p). Γενικότερα, ο παίκτης επιλέγει μια κατανομή πιθανότητας πάνω στις αμιγείς στρατηγικές του. Μέχρι στιγμής δεν ασχοληθήκαμε καθόλου με 9 51 τις συναρτήσεις απόδοσης. Θεωρούμε για λόγους ευκολίας, ότι στο παίγνιο λαμβάνουν μέρος δύο παίκτες με χώρους αμιγών στρατηγικών: Εµπορικό Πολεµικό Β Ν Β 0,1 1,0 Ν 1,0 0,1 Ορισμός: Η μικτή στρατηγική για έναν παίκτη σε ένα στρατηγικό παίγνιο είναι μια κατανομή πιθανοτήτων ως προς τις ενέργειες του παίκτη. { 1 k S = s,..., s,..., s K } i i i i k k = 1,2,!, K και p = 1. i i K k = 1 i i i k i

26 S = s,..., s,..., s } S = s,..., s,..., s } p ) u ( s, s ). 2 p = p,..., p,..., p } 2 11 π p, p ) = ( p )( p u ( s, s )) = 3 = p )( p ) u ( s, s ) 37 π p, p ) = ( p )( p ) u ( s, s ) Nash) π (,..., p, p, p..., p ) π 64 π (,..., p, p, p..., p ) p P i f F { και Αν η μικτή στρατηγική του παίκτη 2 είναι η: ο παίκτης 1 χρησιμοποιώντας την αμιγή στρατηγική s f ενάντια στη μικτή του 2 έχει υπoσυνθήκη προσδοκώμενη 1 απόδοση: Όμως ο 1 στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί τη μικτή στρατηγική: αντί για την αμιγή s 1f. Συνεπώς, η προσδοκώμενη απόδοση του 1 είναι: ενώ η προσδοκώμενη απόδοση του 2 είναι: Υπάρχουν παίγνια τα οποία δεν έχουν ισορροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές. Αποδεικνύεται όμως ότι για κάθε πεπερασμένο παίγνιο (δηλαδή παίγνιο με πεπερασμένο αριθμό παικτών όπου κάθε παίκτης έχει πεπερασμένο αριθμό αμιγών στρατηγικών) υπάρχει μία τουλάχιστον ισορροπία Nash πιθανά σε μικτές στρατηγικές (θεώρημα ύπαρξης ισορροπιών Η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές π B ( είναι p, q) = η κατατομή: για την οποία ισχύει: 1 k K p 2 = { p2,..., p2,..., p2 } K k f k ( k = f F { k K { F K f k f k 1( f = 1 k= 1 i Όπως και αυτή σε αμιγείς, η ισορροπία Nash σε μικτές αποτελεί την αμοιβαία άριστη αντίδραση, με την έννοια ότι κάθε παίκτης υιοθετεί μια άριστη μικτή στρατηγική, με δεδομένες τις μικτές στρατηγικές των υπολοίπων the prime magazine_103 2 F K f k f k ( f = 1 k= 1 F K f k f k 2 ( f = 1 k= 1 ( p,..., pi 1, pi, pi+ i * * * * * p 1 i 1 i i+ 1 N * * * * p 1 i 1 i i+ 1 N,. i π A i Η ισορροπία Nash σε μικτές είναι και η λύση του παιγνίου. Η αμοιβαία άριστη αντίδραση υποδεικνύει μια μέθοδο λύσης η οποία βασίζεται στις αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης τα σημεία τομής των οποίων δίνουν όλες (τόσο σε αμιγείς όσο και σε μικτές στρατηγικές) τις ισορροπίες Nash. Παράδειγμα: Ο παίκτης Α της ομάδας Χ ετοιμάζεται να εκτελέσει ένα πέναλτι σε βάρος της ομάδας Υ με τερματοφύλακα τον Β. Είναι γνωστό ότι αν ο Α σκοπεύσει στην αριστερή γωνία του τέρματος και ο Β προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στην αριστερή γωνία, ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.2, ενώ αν (για την ίδια επιλογή του Α) ο Β προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στη δεξιά γωνία ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.8. Αν ο Α σκοπεύσει στη δεξιά γωνία και ο Β προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στην αριστερή (δεξιά) γωνία, ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.7 (0.3). Η στρατηγική μορφή του παιγνίου είναι: (q) (1-q) Αριστερά (L) Δεξιά (R) A (p) Αριστερά (L) 0.2, , 0.2 (1-p) Δεξιά (R) 0.7, , 0.7 Κανένας από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά κυριαρχούμενη στρατηγική και δεν υπάρχει ισορ- Β Αριστερά (L) Δεξιά (R) Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q) ροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές. Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) Έστω ότι είναι η μικτή στρατηγική του Α και είναι η μικτή στρατηγική του Β. Η από κοινού συνάρτηση ( p, q) = (0.20( p)( q) + (0.8)( p)(1 q) + (0.7)(1 p)( q) + (0.3)(1 p)(1 q) = πιθανότητας τότε είναι: ( p)(0.5 q) + (0.4)( q) (0.8)( p)( q) + (0.2)( p)(1 q) + (0.3)(1 p)( q) + (0.7)(1 p)(1 q) = ( q)( p 0.4) 0.5( p) * * * * * , pn ) {( L, R;0.4), ( L, R;0.5)}. Β

27 Β Αριστερά (L) Δεξιά (R) Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q) Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) 0 και από αυτή, η προσδοκώμενη απόδοση για τον Α (δηλαδή, η πιθανότητα επιτυχίας τέρματος) υπολογίζεται ως: 5 99 ( p, q) = (0.20( p)( q) + (0.8)( p)(1 q) + ( p)(0.5 q) (0.4)( q) 0.3 π A + ( 0.7)(1 p)( q) + (0.3)(1 p)(1 q) = ( p, q) (0.20( p)( q) (0.8 A ενώ η προσδοκώμενη απόδοση για τον Β (πιθανότητα απόκρουσης) υπολογίζεται ως: Στο σχήμα παρουσιάζονται οι αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης. Από αυτές προκύπτει ότι η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές είναι: Η υποσυνθήκη προσδοκώμενη απόδοση του Α όταν χρησιμοποιεί την L είναι (0.2)(q)+(0.8)(1-q) και όταν χρησιμοποιεί την R είναι (0.7)(q)+(0.3)(1-q). Από την εξίσωση των δύο προκύπτει q = 0.5. Η υποσυνθήκη προσδοκώμενη απόδοση του Β όταν χρησιμοποιεί την L είναι (0.8)(p)+(0.3)(1-p) και όταν χρησιμοποιεί την R είναι (0.2)(p)+(0.7)(1-p). Από την εξίσωση των δύο προκύπτει p = 0.4, επιβεβαιώνοντας το αποτέλεσμα από την λύση με τις αντιστοιχίες άριστης αντίδρασης. 1 ( p)(0.5 q) + (0.4)( q) ( p, q) = (0.8)( p)( q) + (0.2)( p)(1 q) + ( q)( p 0.4) 0.5( p) 0.7 π B + ( 0.3)(1 π ( p )(, q ) = + (0.8)( (0.7)(1 p )( q p ) )(1 + (0 q) = B 1 ( q)( p 0.4) 0.5( p) {( L, R;0.4), ( L, R;0.5)}. 63 Βιβλιογραφία: 1] Martin J. Osborne (2010), Εισαγωγή στη θεωρία παιγνίων, Εκδόσεις: Κλειδάριθμος. 2] Σημείωσεις του καθηγητή Φουσέκη Π. για το μάθημα Θεωρία Παιγνίων του Οικονομικού Τμήματος του ΑΠΘ the prime magazine_107

28 οι ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γραφ ουν (Μέρος Β) Οι σημαντικότερες θεωρίες μάθησης γράφει η Κατερίνα Χατζηγεωργίου Μαθηματικός M.Sc. 5 Ε 99 νώ στην Αμερική άνθιζε ο συμπεριφορισμός, στην Ευρώπη νέα ρεύματα ψυχολογίας άρχιζαν να εμφανίζονται. Η μορφολογική ψυχολογία, η ψυχανάλυση του Freud και η γνωστικό-εξελεγκτική ψυχολογία ενέπνευσαν νέες θεωρίες μάθησης. Ανάμεσα στο ερέθισμα και στην αντίδραση, παρεμβάλλονται πλέον λειτουργίες του ανθρώπινου νου, όπως η μνήμη, η κριτική και δημιουργική σκέψη, η αντίληψη, η κατανόηση, η γλώσσα, η επίλυση προβλημάτων και η λήψη αποφάσεων. Εμφανίζονται 6 11 λοιπόν ο γνωστικισμός και ο εποικοδομισμός, κλασσικός και κοινωνικός, θεωρίες που στηρίζονται στο φιλοσοφικό πλαίσιο του John Dewey, ο οποίος υποστήριζε τη διδασκαλία με επίκεντρο το μαθητή. 7 Εικόνα 1: John Dewey Οι κυριότεροι αντιπρόσωποι αυτών των θεωριών μάθησης είναι ο Jean Piaget, ο Jerome Bruner, ο Albert Bandura και ο Lev Vygotsky Λογικομαθηματική μάθηση Σύμφωνα με τον Piaget, η μάθηση είναι μία εσωτερική ανάγκη και όχι αποτέλεσμα εξωτερικών ερεθισμάτων. Ο άνθρωπος μαθαίνει στην προσπάθειά του να προσαρμοστεί στο περιβάλλον. Η νοημοσύνη του είναι οργανωμένη σε δομές, οι οποίες είναι μοντέλα δράσεων που ο άνθρωπος χρησιμοποιεί σε παρόμοιες καταστάσεις. Όταν τα μοντέλα αυτά δεν επαρκούν, τότε ο άνθρωπος έρχεται σε μία κατάσταση ανισορροπίας και χρησιμοποιεί δύο διαδικασίες, την αφομοίωση και τη συμμόρφωση για να αναπτύξει τη νοημοσύνη του και να πετύχει μία νέα ισορροπία. Ο 8 31 the prime magazine_ πρότεινε την σπειροειδή διάταξη της ύλης, όπου κάθε Piaget ασχολήθηκε με την εξελεγκτική διαδικασία που ακολουθεί η γνώση και εισήγαγε τέσσερα στάδια ανάπτυξης του παιδιού. Αισθησιοκινητική περίοδος Περίοδος προλογικής σκέψης Περίοδος συγκεκριμένων λογικών πράξεων Περίοδος τυπικών λογικών πράξεων Εικόνα 2: Jean Piaget Ανακαλυπτική μάθηση Ο Brunner υποστήριξε ότι η μάθηση είναι δημιουργία κατηγοριών, ομαδοποίησης και ταξινόμησης, που βοηθούν τον άνθρωπο να μειώσει την πολυπλοκότητα του περιβάλλοντος. Με την κατηγοριοποίηση, το άτομο μαθαίνει τα στοιχεία που συγκροτούν μία έννοια σε δύο φάσεις. Πρώτα ταξινομεί τη νέα γνώση πιο γενικά και έπειτα μελετά αναλυτικά τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές της. Ο Brunner πρότεινε την ανακαλυπτική μάθηση η οποία γίνεται με βάση τρεις διαδικασίες: Ανακάλυψη των γνώσεων και των εννοιών Μετασχηματισμός των γνώσεων Αξιολόγηση, εκτίμηση και έλεγχος των γνώσεων. Η ανακαλυπτική μάθηση επηρεάζεται από τα κίνητρα, την ετοιμότητα και το γνωστικό επίπεδο του μαθητή, καθώς και από τη δομή της γνώσης. Ο μαθητής για να κατανοήσει τις πληροφορίες χρησιμοποιεί: την πραξιακή, την εικονική και τη συμβολική αναπαράσταση και για να μάθει χρησιμοποιεί τη διαισθητική και την αναλυτική σκέψη. Ο Brunner

29 Κίνητρα, τα οποία διακρίνονται σε εξωγενή (κοινωνική αναγνώριση, υλικές απολαβές, 01 βαθμοί) και ενδογενή (συνέπειες, αυτοενίσχυση, θέμα παρουσιάζεται μία φορά, και ανά τακτά χρονικά διαστήματα παρουσιάζεται και πάλι σε πιο προχωρημένο επίπεδο κάθε φορά. προσωπικοί στόχοι). Κοινωνικοπολιτισμική μάθηση Εισηγητής των κοινωνικοπολιτισμικών θεωριών είναι ο Lev Vygotsky. Υποστήριξε ότι η μάθηση είναι μία διαδικασία κοινωνικής αλληλεπίδρασης, όπου βασικό ρόλο παίζει η γλώσσα, η οποία αναπτύσσεται σε τρία στάδια, κοινωνική, εγωκεντρική και εσωτερική γλώσσα. Για να μεταβεί η γλώσσα από την κοινωνική στην εσωτερική, είναι σημαντικός ο προσωπικός μονόλογος. Η κοινωνία και ο πολιτισμός παίζουν τον πρωτεύοντα ρόλο στη διαδικασία της μάθησης, αφού διαμορφώνουν τις δεξιότητες και τις γνώσεις που χρειάζεται να αναπτύξει ο μαθητής, ο οποίος με τις πράξεις του, διαμορφώνει τη γνωστική του πραγματικότητα, μετατρέποντας τις κοινωνικές του σχέσεις σε νοητικές λειτουργίες. Σημαντική θέση στη θεωρία του Vygotsky κατέχει η «Ζώνη Επικείμενης 6 11 Εικόνα 3: Lev Vygotsky Ανάπτυξης», οι δυνατότητες δηλαδή που έχει ο κάθε μαθητής και που μπορεί να τις αξιοποιήσει με τη βοήθεια των συνομηλίκων του ή του δασκάλου, ο οποίος μέσα στο «πλαίσιο στήριξης» τον βοηθάει να Κοινωνική μάθηση Ο Αμερικανός ψυχολόγος Albert Bandura είναι ο εισηγητής της κοινωνικής μάθησης και επηρέασε δώσει νόημα αλλά και να εσωτερικεύσει όλα όσα του τη μετάβαση από το συμπεριφορισμό στη χρειάζονται για να αναπτυχθεί. γνωστική ψυχολογία. Η κύρια θέση του είναι ότι Πώς επηρέασαν οι γνωστικές και οι κοινωνικοπολιτισμικές θεωρίες την εκπαίδευση; ο άνθρωπος μαθαίνει μέσω της παρατήρησης των άλλων, παρακολουθώντας τη συμπεριφορά τους. Η παρατήρηση όμως, έχει μόνο πληροφοριακό Ο μαθητής αποκτά ενεργητικό ρόλο αφού 63 χαρακτήρα, αφού ο ίδιος ο άνθρωπος, έπειτα από οικοδομεί τις γνώσεις του. μία σειρά γνωστικών λειτουργιών, θα επιλέξει αν θα Αναδείχθηκε η σημασία των σχέσεων που εκδηλώσει ή όχι τη παρατηρούμενη συμπεριφορά. αναπτύσσονται μεταξύ του δασκάλου και του Η κοινωνικογνωστική θεωρία του Bandura μαθητή αλλά και των μαθητών μεταξύ τους, διαμορφώνεται με βάση τις ακόλουθες διαδικασίες: προάγοντας τη συνεργατική μάθηση. Στόχος του δασκάλου είναι ο μαθητής να Προσοχή, η οποία εξαρτάται από τη σαφήνεια, αναπτύξει ικανότητες αυτοαξιολόγησης αλλά και τη χρησιμότητα και τη συναισθηματική αξία της να μάθει πώς μαθαίνει. παρεχόμενης γνώσης. Προτείνεται η σταδιακή μείωση της βοήθειας από Διατήρηση της μάθησης με επανάληψη και το δάσκαλο, ώστε ο μαθητής να γίνεται σιγά σιγά οργάνωση των γνώσεων. όλο και πιο αυτάρκης. Παραγωγή, η οποία απαιτεί τις απαραίτητες Ο δάσκαλος λειτουργεί ως πρότυπο, αφού οι δεξιότητες καθώς και ανατροφοδότηση σε μαθητές μαθαίνουν μιμούμενοι τη συμπεριφορά περίπτωση μη αναμενόμενου αποτελέσματος. του. Δόθηκε έμφαση στη διαδικασία της σκέψης και Βιβλιογραφία: στις γνωστικές λειτουργίες. 83 [1] Μόνικα. Α Παπά, Ο Albert Bandura: Η κοινωνικογνωστική μάθηση μέσω προτύπων: παιδαγωγική και ψυχολογική διάσταση, θεωρία και πράξη, Περιοδική ηλεκτρονική έκδοση του Ελληνικού ινστιτούτου εφαρμοσμένης παιδαγωγικής και εκπαίδευσης, τεύχος 6. [2] Ε. Καραδήμας, Πανεπιστημιακές σημειώσεις του μαθήματος «Συμπεριφοριστικές και γνωστικές θεωρίες προσωπικότητας», Εθνικό και Καποδιστριακό πανεπιστήμιο Αθηνών. [3] Ελληνιάδου, Κλεφτάκη, Μπαλκίζας, Η συμβολή των παιδαγωγικών προσεγγίσεων για την κατανόηση του φαινομένου της μάθησης, Πανεπιστημιακό κέντρο επιμόρφωσης Αθήνας [4] Βασίλης Κουλαϊδής, Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις για την Ανάπτυξη Κριτικής - Δημιουργικής Σκέψης για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση the prime magazine_113

30 οι ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γραφ ουν 0 51 Μαθηματική Προτυποποίηση του καρκίνου Τα μαθηματικά είναι μία επιστήμη, η οποία έχει βοηθήσει σημαντικά πολλούς κλάδους των θετικών και τεχνολογικών επιστημών, ανάμεσά τους η βιολογία, η φυσική, η ιατρική και η χημεία. Αυτό επιτυγχάνεται με ποικίλους τρόπους και ένας από αυτούς είναι μέσω της μαθηματικής προτυποποίησης μοντέλων που περιγράφουν και επιλύουν προβλήματα αυτών των κλάδων. Τα στάδια που ακολουθούνται για την επίτευξη αυτής της προτυποποίησης είναι τα εξής: 1] μελέτη των συνθηκών του προβλήματος, 2] συγκέντρωση όλων των πληροφοριών, 3] καθορισμός των άγνωστων παραμέτρων, 4] μετατροπή του προβλήματος σε μαθηματικό πρόβλημα, και έπειτα 5] έλεγχος καλής τοποθέτησης του προβλήματος και 6] εύρεση μαθηματικής τεχνικής για την επίλυση. 7 Μια από τις πιο γνωστές ασθένειες του αιώνα μας που τα μεγαλύτερα επιστημονικά κέντρα του πλανήτη μας προσπαθούν να βρουν την θεραπεία είναι ο καρκίνος. Πρόκειται για μία γενετική ασθένεια που προκύπτει από μεταλλάξεις σε συγκεκριμένα γονίδια για αυτό και θεωρείται νόσος των κυττάρων. Τις τελευταίες δεκαετίες μεγάλος αριθμός επιστημών έχει συγκεντρωθεί γύρω από την έρευνα του καρκίνου. Τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να λείπουν από αυτή την προσπάθεια κατανόησης και γιατί όχι και θεραπείας αυτής της νόσου. Δεν είναι λίγοι οι ερευνητές που έχουν ήδη προχωρήσει στην 8 31 μαθηματική προτυποποίηση του καρκίνου. Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψουμε το μοντέλο που μελετούν οι Donatelli D και Trivisa K. στο paper με τίτλο On an Nonlinear model for tumor growth with drug application. Στην εικόνα 1 βλέπουμε τον υγιή ιστό καθώς και τη περιοχή του όγκου (Ω(t)) και στην εικόνα 2 απεικονίζεται αναλυτικά η δομή του καρκινικού όγκου, που όπως βλέπουμε αποτελείται από το φλοιό των πολλαπλασιαστικών κυττάρων, το φλοιό των αδρανών κυττάρων και τον πυρήνα των νεκρών κυττάρων. Στο σημείο αυτό να τονίσουμε ότι όλα τα κύτταρα ακολουθούν την γενική εξίσωση συνέχειας. Επομένως ο νόμος διατήρησης της μάζας για τις πυκνότητες των πολλαπλασιαστικών P, αδρανών Q και νεκρών κυττάρων D, παίρνει την παρακάτω μορφή στο χωρίο του όγκου: γράφει η Αγγελική Παναγιωτίδου Μαθηματικός, graduate student Εικόνα 1: Yγιής ιστός και περιοχή του όγκου Ω(t) Εικόνα 2: Δομή του καρκινικού όγκου P t + div(p v) =G P Q t + div(qv) =G Q D t + div(dv) =G D the prime magazine_

31 όπου 4 01 G P =[K B C K Q ( C C) K A ( C C)]P + K P CQ i 1 G 1 (W )P όπου ο πρώτος όρος είναι η αύξηση του αριθμού των κυττάρων λόγω νέων γεννήσεων με τη διαθέσιμη τροφή, ο δεύτερος όρος η απώλεια που οφείλεται στην αλλαγή φάσης από πολλαπλασιαστική σε ηρεμίας λόγου έλλειψης τροφής, ο τρίτος όρος η απώλεια λόγω απόπτωσης, εφ όσων τα κύτταρα ολοκλήρωσαν τον κύκλο ζωής τους, ο τέταρτος όρος η αύξηση των πολλαπλασιαστικών κυττάρων που παράγονται από αδρανή κύτταρα, τα οποία βρέθηκαν σε περιβάλλον πλούσιο σε τροφή ώστε να είναι ικανά προς πολλαπλασιασμό και ο τελευταίος όρος είναι ο ρυθμός που τα πολλαπλασιαστικά κύτταρα ή 2 αλλοιώνονται ή μετατρέπονται σε νεκρά λόγω της επίδρασης του φαρμάκου Ομοίως: G Q = K Q ( C C)P [K P C + K D ( C C)]Q i 2 G 2 (W )Q 3 G D = K A ( C C)P + K D ( C C)Q K R D + i 1 G 1 (W )P + i 2 G 2 (W )Q Η γραμμική εξίσωση για την εξέλιξη των θρεπτικών ουσιών δίνεται από την σχέση: 37 C t = v 1 C [K 1 K P CP + K 2 K Q ( C C)Q]C όπου u 1 είναι η ταχύτητα των μορίων του οξυγόνου (η θρεπτική μας ουσία) Η γραμμική εξίσωση για την εξέλιξη του φαρμάκου δίνεται από την σχέση: 4 W = v 2 W [µ 1 G 1 (W )P + µ 2 G 2 (W )Q]W t όπου u 2 είναι η ταχύτητα των μορίων του φαρμάκου. Το μαθηματικό μοντέλο των Donatelli και Trivisa συμπληρώνεται από τις ακόλουθες συνοριακές και αρχικές συνθήκες: (v V) n Γτ =0, τ 0 [S n] tan Γτ =0 C(x, t) Γτ =0,W(x, t) Γτ =0 { } P (0, ) =P0, Q(0, ) =Q 0, D(0, ) =D 0 C(0, ) =C 0 C, W (0, ) =W 0 στο Ω 0 όπου v είναι η ταχύτητα του κυττάρου, V η ταχύτητα του γεωμετρικού συνόρου της ογκικής περιοχής Ω(t), Γτ το σύνορο της ογκικής περιοχής την χρονική στιγμή τ και S ο τανυστής πίεσης. Με την πάροδο του χρόνου οι μαθηματικές προτυποποιήσεις του καρκίνου ορίζουν όλο και καλύτερα τον καρκίνο. Φυσικά δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι ένα τόσο πολύπλοκο ιατρικό ζήτημα περιλαμβάνει πολλές παραμέτρους τις οποίες αν τις λάβουμε όλες υπόψιν μας θα προκύψει, όπως είναι αναμενόμενο, ένα πολύ σύνθετο μαθηματικό πρόβλήμα. Παρ όλα αυτά η επιστήμη δεν θα πάψει ποτέ να προσπαθεί και να κάνει το αδύνατο δυνατό Αναφορές: [1] Donatelli D. & Trivisa K (2015). On an Nonlinear model for tumor growth with drug application. Nonlinearity, 28, the prime magazine_131

32 [Παρα-Λ{o}γισμός] 2 γράφουν οι Θάνος Μπεσλίκας προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού Θανάσης Κουρούπης προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού προπτυχιακοι 51 5 Το Πρόβλημα της Βασιλείας the prime magazine_137 γρα οι φ ουν Στη στήλη του Παραλογισμού για αυτό το τεύχος, ο Θανάσης και ο Θανάσης μελέτησαν ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στην ιστορία των μαθηματικών, το Πρόβλημα της Βασιλείας. Το πρόβλημα αυτό ονομάστηκε έτσι από την Ελβετική πόλη της Βασιλείας. Επιλύθηκε πρώτα από τον L.Euler το Θα παρουσιάσουμε 2 διαφορετικούς τρόπους λύσεις του προβλήματος με τεχνικές Λογισμού ΙΙ και με τεχνικές Μιγαδικής Ανάλυσης. teqnikëc Logismo 2 kai me teqnikëc Migadik c Anàlushc. To prïblhma: Bre te to àjroisma thc seiràc P 1 n=1 1 n 2 L sh me teqnikëc Logismo 2 Gia thn l sh ja qreiasto me kàpoiec basikëc sqëseic : arcsin(x) = P 1 (2n)! x 2n+1 n=0 2 2n (n!) 2 2n+1 R /2 (sin(x)) 2n+1 dx = 22n (n!) 2 0 (2n+1)! Parathro me Ïti: Z 1 x 2n+1 Z /2 p dx = 0 1 x 2 0 (sin(y)) 2n+1 dy = 22n (n!) 2 (2n + 1)!, (1) qrhsimopoi ntac thn allag metablht c x = sin(y). AkÏmh Ëqoume Ïti: Z 1 0 arcsin(x) p 1 x 2 dx = 1 X n=0 (2n)! 1 Z 1 2 2n (n!) 2 2n +1 0 x 2n+1 p 1 x 2 dx me th parapànw sqësh na prok ptei apï th dunamoseira thc arcsin(x) h opo a sugkl nei omoiïmorfa sto [ 1, 1], kai Ëtsi dikaiologe tai h enallag àjroishc-olokl rwshc. T ra me qr sh thc (1) sthn prohgo menh sqësh, lambànoume: 1X Z 1 1 (2n + 1) 2 = arcsin(x) 2 p dx = 1 x 2 8 n=0 Q r zontac àrtiouc kai peritto c Ëqoume Ïti 1X 1 1 n 2 = X 1 (2n + 1) n=1 n=0 kai me aplëc pràxeic katal goume sto apotëlesma pou e nai 1X 1 n 2 = 2 6 n=1 0 1X 1 n 2 n=1

33 [Παρα-Λ{o}γισμός] 2 01 L sh me teqnikëc Migadik c Anàlushc: Ja upolog soume to olokl rwma thc sunàrthshc f(z) = cot( z) se Ëna kleistï tetràgwno me korufëc ta shme a ±(N ) ± (N )i. ApÏ je rhma upolo pwn Ëqoume Ïti: Z! cot( z) X dz =2 i Res(f,z k ) C N z 2 2, me z k ta an mala shme a thc f sto eswterikï auto tou tetrag nou. Oi pïloi thc oloklhrwtëac sunàrthshc br skontai se kàje jetikï akëraio, afo cot( z) = cos( z) sin( z). ApÏ th jewr a, Ëqoume Ïti Res cos( z) sin( z),n = cos( z) cos( z) =1. 'Ara Ëqoume: Z! cot( z) NX 1 z 2 dz =2 i + Res(f(z), 0), (1) (z k ) C N n= N 3 OpÏte, an de xoume Ïti to olokl rwma ep thc kamp lhc t nei sto mhdën Ïso to N!1ja Ëqoume Ïti: + X 1 = Res(f(z), 0) n2 n= 37 Gia na to kànoume autï mporo me na skefto me wc ex c: Ja de xoume Ïti h f(z) = cot( z) z e nai 2 fragmënh sto tetràgwno mac kai ja qrhsimopoi soume to l mma ekt mhshc. Isq ei Ïti cot( z) < 2 gia Re(z) =N +1/2 kai cot( z) < 1 gia Im(z) =N +1/2, (af nontai wc àskhsh ston anagn sth.)sunep c apï to l mma ekt mhshc Ëqoume Ïti: An L to m koc thc kamp lhc olokl rwshc, tïte L =8N +4. 'Ara Z f(z) = cot( z) C N z 2 dz apple (8N + 2)2 max 1 z C N z 2 = C max 1 z C N z! Ïso to N!1. 'Ara apï thn (1) Ëqoume Ïti X 1 = Res(f(z), 0) n2 n= ApÏ to anàptugma Laurent thc f(z) = cot( z) 1 z = 2 z 2 3 3z... Ëqoume Ïti Res(f(z), 0) = 2 epomënwc, X 1 n 2 = kai epeid n= Ëqoume to apotëlesma. X n= z 2 k 1 n 2 =2 X 'Opoioc e nai arketa tolmhrïc ac prospaj sei na upolog sei to àjroisma thc seiràc P n=1 1 n. Kai 3 an brei th l sh tou na thn d sei se emàc pr ta gia na th dhmosie soume sto periodikï mac (kai na plout soume fusikà, diïti apotele akïma anoiqtï prïblhma!) n=0 1 n 2, 3, the prime magazine_139

34 Εισαγωγή: Εφαρμογές της Θεωρίας Κόμβων στην Ιατρική: Κόμβοι και DNA γράφει ο Χρόντσιος - Γαρίτσης Ευστάθιος - Κωνσταντίνος προπτυχιακός φοιτητής Μαθηματικού Στο προηγούμενο τεύχος του περιοδικού είχε παρουσιαστεί μία καθημερινή εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων και πιο συγκεκριμένα ένας εύκολος τρόπος να χρησιμοποιηθούν οι μαθηματικοί κόμβοι στην κρυπτογραφία μηνυμάτων. Ωστόσο, όπως έχει ήδη αναφερθεί σε παλαιότερο άρθρο, η Θεωρία Κόμβων έχει ακόμα περισσότερες εφαρμογές σε άλλες επιστήμες. Στο παρόν άρθρο θα εξεταστεί μία εφαρμογή στην Ιατρική και όπως πάντα όσο απλά και εκλαϊκευμένα γίνεται χωρίς απώλεια της μαθηματικής αυστηρότητας Αρχικά, είναι σημαντικό να δώσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς: 1 67 Ορισμός 1. Έστω ένας κόμβος Κ. Το πλήθος των διασταυρώσεων του διαγράμματος του Κ, στο οποίο υπάρχουν οι ελάχιστες δυνατές διασταυρώσεις, ονομάζεται αριθμός διασταυρώσεων (crossing number) του Κ. 7 Εξορισμού του, ο αριθμός διασταυρώσεων ενός κόμβου είναι μια αναλλοίωτος, η οποία δυστυχώς είναι τις περισσότερες φορές εξαιρετικά δύσκολο να βρεθεί, ειδικά εάν ο κόμβος δεν είναι ένας εκ των γνωστών. Να σημειωθεί ότι όλοι οι γνωστοί έως σήμερα διαφορετικοί κόμβοι έχουν ταξινομηθεί με βάση δύο τους χαρακτηριστικά, με τον αριθμό διασταυρώσεων και με τη σειρά με την οποία ανακαλύφθηκαν. Για παράδειγμα, τον τρίτο σε σειρά κόμβο που ανακαλύφθηκε με 7 διασταυρώσεις τον συμβολίζουμε με Μία εξίσου χρήσιμη έννοια είναι η παρακάτω: Ορισμός 2. Έστω ένας κόμβος Κ με αριθμό διασταυρώσεων N > 0, δηλαδή ο Κ δεν είναι ο τετριμμένος κόμβος. Σε κάθε τυχαίο διάγραμμα του Κ αποδεικνύεται ότι αλλάζοντας κάποιες από τις διασταυρώσεις από άνω σε κάτω και αντίστροφα, μπορεί το εν λόγω διάγραμμα να μετατραπεί σε διάγραμμα ενός ή παραπαπάνω τετριμμένων κόμβων. Αποδεικνύεται επίσης ότι υπάρχει διάγραμμα του Κ στο οποίο το πλήθος των διασταυρώσεων που πρέπει να αλλάξουν ώστε να προκύψουν τετριμμένοι κόμβοι ελαχιστοποιείται. Το ελάχιστο αυτό πλήθος των διασταυρώσεων που χρειάζεται να αλλάξουμε ώστε να προκύψουν τετριμμένοι κόμβοι ονομάζεται αριθμός επίλυσης ή λύσεως (unknotting number) του Κ και είναι πάντα μικρότερος του Ν : 2. Έχοντας τα παραπάνω υπόψη, ας δούμε πως μπορούν οι κόμβοι να εφαρμοστούν στη μελέτη του DNA. Για την πραγματοποίηση σημαντικών λειτουργιών όπως 63 η αντιγραφή, η μεταγραφή και η μετάφραση το DNA χρειάζεται να αλληλεπιδράσει με συγκεκριμένα ένζυμα, τα οποία τροποποιούν τοπολογικά την έλικα. Το ένζυμο το οποίο θα εξεταστεί για το υπόλοιπο του άρθρου είναι η τοποϊσομεράση, ένζυμο απαραίτητο για τη διαδικασία της αντιγραφής του DNA. Έχοντας ένα μόριο DNA, η τοποϊσομεράση δρα με τρόπο τέτοιον ώστε να το παραμορφώνει με έναν ή παραπάνω από τους παρακάτω τρόπους: Σχήμα: 1 Έτσι, έχοντας ένα κυκλικό μόριο DNA, το οποίο μπορούμε να το δούμε σαν τον τετριμμένο κόμβο, μετά τη δράση ενός ενζύμου σε αυτό θα προκύψει ένα πιο μπερδεμένο και περίπλοκο μόριο, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ένας άλλος κόμβος πιθανότατα μη ισοδύναμος με τον τετριμμένο the prime magazine_

35 Πράγματι, για να διαπιστωθεί εάν δύο ένζυμα δρουν με τον ίδιο τρόπο στο DNA, οι επιστήμονες τα αφήνουν να δράσουν σε κυκλικά μόρια DNA και εξετάζουν τους κόμβους που προκύπτουν. Εάν δύο ένζυμα προκαλούν μη ισοδύναμους κόμβους, τότε οι δράσεις τους στο DNA δίνουν διαφορετικά Υπολογίζοντας το πολυώνυμο Alexander για τους Κ1 και Κ2 όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο άρθρο και παίρνοντας τις τιμές τους για t = 1, θα προκύψει ότι P K1 ( 1) = 33 ενώ P K2 ( 1) = 25. Επομένως οι Κ1 και Κ2 είναι διαφορετικοί, πράγμα που σημαίνει ότι τα ένζυμα Ε1 και Ε2 έχουν διαφορετικές ιδιότητες. Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο η Θεωρία Κόμβων εφαρμόζεται στη μελέτη του DNA είναι κάνοντας χρήση του αριθμού λύσεως ενός κόμβου. Έστω ένα μπλεγμένο μόριο DNA, δηλαδή ένας κόμβο ή κρίκος (όπως ονομάζονται 2 ή παραπάνω κόμβοι μπλεγμένοι μεταξύ τους). Εάν θέλουμε να προκαλέσουμε συγκεκριμένες αλλαγές εφαρμόζοντας διάφορα ένζυμα σε αυτό, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τον αριθμό διασταυρώσεως και τον αριθμό λύσεως του αντίστοιχου κόμβου. Για παράδειγμα, ο κόμβος Κ1 στο σχήμα 2 είναι ο κόμβος 815 (πράγμα που μπορούμε να καταλάβουμε υπολογίζοντας το Alexander πολυώνυμό του) με αριθμό διασταυρώσεων ίσο με 8 και αριθμό λύσεως ίσο με 2 (στοιχεία αποτελέσματα. Για παράδειγμα, έχοντας ένα κυκλικό 7 μόριο και εφαρμόζοντας τα ένζυμα Ε1 και Ε2 εάν οι δύο κόμβοι που προκύπτουν είναι μη ισοδύναμοι, τότε τα δύο ένζυμα θα έχουν διαφορετικές ιδιότητες. που μπορούμε να αντλήσουμε από υπάρχουσα κατηγοριοποίηση γνωστών κόμβων, όπως η ιστοσελίδα [3] της βιβλιογραφίας). Αυτό μας δείχνει ότι ένζυμα που προκαλούν την πρώτη μεταβολή από το σχήμα 1 θα δράσουν με παρόμοιο τρόπο σε μόρια που έχουν ισοδύναμη μορφή με αυτήν του Κ1. Επίλογος: Όπως έχει ήδη αναφερθεί λοιπόν, με εργαλεία που δεν απαιτούν ιδιαίτερη μαθηματική εξειδίκευση μπορεί κανείς να βοηθήσει στην ανάπτυξη της Θεωρίας Κόμβων. Με αυτόν τον τρόπο, μόνο με υπομονή και έφεση στους γρίφους έχει τη δυνατότητα να συμβάλει στην πρόοδο και άλλων επιστημονικών κλάδων κοντινότερων στον άνθρωπο, όπως στη Βιοχημεία, τη Φαρμακευτική και την Ιατρική Σχήμα: Βιβλιογραφία: [1] Charles Livingston, Knot Theory [2] Colin Conrad Adams, The knot book [3] [4] gross/bioed/webmodules/dnaknot.html [5] Kunio Murasugi, Knot Theory and its applications the prime magazine_151

36 οι ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ γραφ ουν γράφει η Δέσποινα Τερζοπούλου Μαθηματικός, M.Sc. Δυσαριθμησία (Η διαταραχή των Μαθηματικών) 1 Μαθητές με αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες, σύμφωνα με το άρθρο 3 του νόμου 3699/2008, θεωρούνται: α) οι μαθητές που για ολόκληρη ή ορισμένη περίοδο της σχολικής τους ζωής εμφανίζουν 6 11 σημαντικές δυσκολίες μάθησης εξαιτίας αισθητηριακών, νοητικών, γνωστικών, αναπτυξιακών προβλημάτων, ψυχικών και νευροψυχικών διαταραχών οι οποίες, σύμφωνα με τη διεπιστημονική αξιολόγηση, επηρεάζουν τη διαδικασία της σχολικής προσαρμογής και μάθησης. Συγκαταλέγονται ιδίως όσοι παρουσιάζουν νοητική αναπηρία, αισθητηριακές αναπηρίες όρασης (τυφλοί, αμβλύωπες με 7 χαμηλή όραση), αισθητηριακές αναπηρίες ακοής (κωφοί, βαρήκοοι), κινητικές αναπηρίες, χρόνια μη ιάσιμα νοσήματα, διαταραχές ομιλίας-λόγου, ειδικές μαθησιακές δυσκολίες όπως δυσλεξία, δυσαριθμησία, δυσαναγνωσία, δυσορθογραφία, σύνδρομο ελλειμματικής προσοχής με ή χωρίς υπερκινητικότητα, διάχυτες αναπτυξιακές διαταραχές(φάσμα αυτισμού), ψυχικές διαταραχές και πολλαπλές αναπηρίες. Στην κατηγορία μαθητών με αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες δεν εμπίπτουν οι μαθητές με χαμηλή σχολική επίδοση που συνδέεται αιτιωδώς με εξωγενείς παράγοντες, όπως γλωσσικές ή πολιτισμικές ιδιαιτερότητες. β) οι μαθητές με σύνθετες γνωστικές, συναισθηματικές και κοινωνικές δυσκολίες, 8 31 παραβατική συμπεριφορά λόγω κακοποίησης, γονεικής παραμέλησης και εγκατάλειψης ή λόγω ενδοοικογενειακής βίας γ) οι μαθητές που έχουν μία ή και περισσότερες νοητικές ικανότητες και ταλέντα ανεπτυγμένα σε βαθμό που υπερβαίνει κατά πολύ τα προσδοκώμενα για την ηλικιακή τους ομάδα. the prime magazine_ Η διαταραχή των μαθηματικών, γνωστή ως δυσαριθμησία, ανήκει στο πλαίσιο το ειδικών μαθησιακών δυσκολιών που αφορούν το γνωστικό αντικείμενο της αριθμητικής. Εισηγητής του όρου της δυσαριθμησίας (dyscalculia) ήταν ο R. Cohn με άρθρο του το 1961 στο περιοδικό Archives of Neurology. Ο νευρολόγος όρισε τη δυσαριθμησία σαν μια δυσλειτουργία του κεντρικού νευρικού συστήματος που είναι υπεύθυνη για την ανεξήγητη δυσκολία που παρουσιάζουν κάποια παιδιά στην πρόσκτηση των μαθηματικών εννοιών και δεξιοτήτων και παρουσιάζει παρόμοια αποτελέσματα με τις επίκτητες εγκεφαλικές κακώσεις των ενήλικων. Τα επόμενα χρόνια που ακολούθησαν έγιναν μια σειρά από μελέτες πάνω στο θέμα της δυσαριθμησίας από ερευνητές, όπως οι Johnson & Myklebust (1967), Kosc (1974) και πολλοί άλλοι. Η ανάγκη όλο και περισσότερο για μελέτη πάνω στο τομέα της ειδικής μαθησιακής δυσκολίας στα μαθηματικά, γίνεται εμφανής αν αναλογιστεί κανείς ότι εκτιμάται περίπου το 6% του πληθυσμού πάσχει από δυσαριθμησία (Badian, 1983). Ως προς το φύλο και την εμφάνιση της δυσαριθμησίας οι έρευνες μέχρι στιγμής είναι αντικρουόμενες. Ορισμένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι δεν υπάρχουν διαφορές μεταξύ των φύλων και άλλοι ότι η δυσαριθμησία εμφανίζεται περισσότερο στα αγόρια. Ως προς την κληρονομικότητα, το 2001 οι ερευνητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα παιδιά με γονείς που έχουν δυσαριθμησία έχουν 10 φορές μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανίσουν και τα ίδια, καθώς και όσα άτομα έχουν αδέρφια με δυσαριθμησία, το 50% αυτών αντιμετωπίζει κάποιο σοβαρό θέμα στα μαθηματικά. Ο πρώτος ορισμός της δυσαριθμησίας ήρθε από τον Kosc, το Σύμφωνα με αυτόν, η δυσαριθμησία είναι «μια δομική διαταραχή των μαθηματικών ικανοτήτων, που έχει τις ρίζες της σε μια γενετική ή εκ γενετής διαταραχή εκείνων των τμημάτων του εγκεφάλου, που είναι άμεσα ανατομικο-φυσιολογικά

37 υποστρώματα της ωρίμανσης των μαθηματικών ικανοτήτων, ανάλογα με την ηλικία, χωρίς μια ταυτόχρονη διαταραχή της γενετικής νοητικής λειτουργίας». Με τα χρόνια παρουσιάστηκαν διάφοροι ορισμοί της, ωστόσο αυτός που εμφανίζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι του Geary το Σύμφωνα με αυτόν «μια μαθηματική μαθησιακή αναπηρία μπορεί να εκδηλωθεί με τη μορφή ελλείψεων στις ικανότητες χειρισμού εννοιών ή διαδικασιών που καθορίζουν το πεδίο των μαθηματικών και που, θεωρητικά, οφείλονται σε υποκειμενικές ελλείψεις στην κεντρική εκτελεστική λειτουργία ή στα γλωσσικά συστήματα αναπαράστασης και διαχείρισης πληροφοριών ή στο οπτικοχωρικό πεδίο». Οι δύο αυτοί ορισμοί, του Kosc και Geary παρουσιάζουν ενδιαφέρον, διότι ο πρώτος εστιάζει στο νευρολογικό πλαίσιο της διαταραχής, ενώ ο δεύτερος στις διαδικασίες επεξεργασίας των πληροφοριών. Για να μπορούμε να μιλάμε για δυσαριθμησία θα πρέπει η μαθηματική ικανότητα του ατόμου να είναι σημαντικά κάτω από το αναμενόμενο, δεδομένης της ηλικίας του, της νοημοσύνης του και της εκπαίδευσης στο επίπεδο της 3 ηλικίας του. Επίσης, η μαθηματική αυτή δυσκολία θα πρέπει να εμποδίζει σημαντικά την σχολικά επίδοση του ατόμου ή τους τομείς της ζωής του που απαιτούν μαθηματικές ικανότητες. 37 Η δυσαριθμησία, όπως και η δυσλεξία, εμφανίζουν ποίκιλες μορφές. Ήδη από το 1974 ο Kosc πρότεινε έξι μορφές. Η λεκτική μορφή σχετίζεται με την κατανόηση, χρήση μαθηματικών όρων και λεκτική 4 63 απόδοση των σχέσεων. Η πρακτογνωστική μορφή σχετίζεται με το μαθηματικό χειρισμό αντικειμένων και εικόνων. Η τρίτη μορφή που όρισε καλείται λεξιλογική και σχετίζεται την αναγνώριση 4 μαθηματικών συμβόλων, ενώ η γραφολογική μορφή αφορά τη γραπτή απόδοση των μαθηματικών συμβόλων. Η ιδεογνωστική μορφή εμφανίζεται στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων Τέλος, η έκτη μορφή καλείται λειτουργική και αφορά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων. Η πρώτη αναλυτική περιγραφή της συμπτωματολογίας της δυσαριθμησίας έγινε το 1967 από τους Johnson & Myklebust. Σύμφωνα με αυτούς το άτομο εμφανίζει τα εξής προβλήματα - αδυναμίες: στο σχηματισμό αντιστοιχίσεων ένα προς ένα στη σύνδεση συμβόλων με ποσότητες στη σύνδεση ακουστικών και οπτικών συμβόλων στην ερμηνεία των τακτικών και απόλυτων αριθμών στις σχέσεις μέρους - όλου στην έννοια διατήρησης της ποσότητας στην εκτέλεση πράξεων στην κατανόηση και διάκριση των συμβόλων στις πράξεις στη θεσιακή αξία των αριθμών στους αλγόριθμους στις μετρήσεις μεγεθών, ποσοτήτων, όγκων στην ερμηνεία γραφικών παραστάσεων και χαρτών στην επίλυση προβλημάτων Αυτή η έρευνα αποτέλεσε τη βάση για τα επόμενα χρόνια, στην περιγραφή των συμπτωμάτων των ατόμων με δυσαριθμησία. Οι νέες μελέτες, διατήρησαν τα παραπάνω στοιχεία, ενώ άλλες πρόσθεσαν νέα χαρακτηριστικά. Τέλος η αξιολόγηση του ατόμου που πάσχει από δυσαριθμησία είναι ένα πολύπλοκο και ακόμα προς εξερεύνηση πεδίο για τους ερευνητές, καθώς τα μαθηματικά αποτελούν ένα σύνθετο γνωστικό αντικείμενο Βιβλιογραφία: [1] Αγαλιώτης, Ι. (2011). Διδασκαλία Μαθηματικών στην Ειδική Αγωγή και Εκπαίδευση. Φύση και εκπαιδευτική διαχείριση των μαθηματικών δυσκολιών. Αθήνα: Γρηγόρης. [2] Badian, N.A. (1983). Dyscalculia and nonverbal disorders of learning. In H.R.Myklebust (Ed.), Progress in Learning Disabilities, 5, (pp ). New York: Grune & Stratton, Inc. [3] Cohn, R. (1961). Dyscalculia. Archives of Neurology, 4, [4] Geary, D.C. (2004). Mathematics and Learning Disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37, 1, [5] Johnson, D. & Myklebust, H. (1967). Learning Disabilities. New York: Grune & Stratton. [6] Kosc, L. (1974). Developmental Dyscalculia. Journal of Learning Disabilities, 7, [7] ΦΕΚ 199/Α /08, Νόμος υπ αριθμό the prime magazine_163

38 οι ΔΙΔΑΚΤΟρεσ Ταξιδεύοντας... με το σώμα και το μυαλό γραφ ουν γράφει η Ίρις Παπαδοπούλου Μαθηματικός, Ph.D. 99 Πράγα Η Πράγα ή «Η Πόλη του Κάφκα» αποτελεί εδώ και Ένα από τα πράγματα που αξίζει να κάνει κανείς χρόνια έναν «κλασσικό» προορισμό και είναι ανάμεσα στην Πράγα είναι να δοκιμάσει τσέχικη μπύρα, η στις πρώτες σε επισκεψιμότητα ευρωπαϊκές πόλεις. οποία είναι φθηνότερη από το εμφιαλωμένο νερό και Παρόλο που την είχα επισκεφτεί το καλοκαίρι του πολύ καλής ποιότητας. 1999, μαθήτρια ακόμα, αποφασίσαμε να πάμε και Σε απόσταση περίπου μιάμισης ώρας από την Πράγα, πάλι. στην καταπράσινη κοιλάδα του ποταμού Τέπλα, βρίσκεται η πολύ γνωστή και γραφική λουτρόπολη Η Πράγα, πρωτεύουσα της Τσεχίας και η μεγαλύτερή Karlovy Vary, η οποία ιδρύθηκε το 14ο αιώνα από της πόλη, έχει πληθυσμό 1,2 εκατομμύρια κατοίκους τον Κάρολο τον Δ και είναι επίσης γνωστή για το και είναι χτισμένη πάνω στον ποταμό Μολδάβα. διεθνές φεστιβάλ κινηματογράφου. Ο επισκέπτης Όποιος επισκέπτεται την πόλη αξίζει να περιπλανηθεί μπορεί να δει τις ιαματικές πηγές και να πιεί νερό από στο ιστορικό της κέντρο, το οποίο ανήκει από αυτές. Μπορεί ακόμα να δει το κτήριο του θεάτρου, το 1992 στον κατάλογο μνημείων παγκόσμιας να περπατήσει μέσα στην πόλη πλάι στο ποτάμι αλλά κληρονομιάς της UNESCO. Εκεί θα θαυμάσει την και να επισκεφτεί το πολύ γνωστό Grandhotel Pupp πολύ εντυπωσιακή Πλατεία της Παλιάς πόλης με και να δοκιμάσει ένα από τα φημισμένα γλυκά του. το μεσαιωνικό Δημαρχείο, το αστρονομικό ρολόι Σε απόσταση 2 ωρών από την Πράγα, χτισμένη και την οικία του Τσεχοεβραίου συγγραφέα Φραντς πάνω στον ποταμό Έλβα, βρίσκεται η Δρέσδη, πόλη Κάφκα. Επίσης μπορεί να δει το γοτθικό Πύργο της Γερμανίας και πρωτεύουσα του ομόσπονδου 63 της πυρίτιδας, το Πανεπιστήμιο του Καρόλου, την κρατιδίου της Σαξονίας. Η ιστορία της πόλης όπερα, την πλατεία Václavské και να περιπλανηθεί είναι μακρόχρονη διότι αποτελούσε την έδρα των στην Εβραϊκή συνοικία. Δεν πρέπει να παραλείψει Σαξόνων βασιλιάδων. Κατά τη διάρκεια του Β κανείς να διασχίσει την πέτρινη γέφυρα του Παγκοσμίου Πολέμου καταστράφηκε ολοσχερώς Καρόλου, σήμα κατατεθέν της πόλης, η οποία είναι αλλά πολλά σημαντικά κτήρια χτίστηκαν και πάλι στολισμένη με 30 αγάλματα αγίων και να επισκεφτεί σύμφωνα με τα ιστορικά σχέδια. Μεταξύ αυτών την Καστρούπολη και το Κάστρο. Εκεί θα δει, μεταξύ βρίσκεται η εντυπωσιακή εκκλησία Frauenkirche, άλλων, το Προεδρικό μέγαρο και τον επιβλητικό ναό την οποία αξίζει να επισκεφτεί κανείς. Μπορεί ακόμα του Αγίου Βίτου. Αξίζει κάθε επισκέπτης να κάνει να περιπλανηθεί στο ιστορικό της κέντρο, να δει το βόλτα στον Μολδάβα με ένα καραβάκι, να θαυμάσει βασιλικό συγκρότημα Zwinger, την Brühl Terrace και τα εντυπωσιακά κτήρια της πόλης και να περάσει το «Τείχος των διαδόχων». Από το 2004 η Δρέσδη και με το καραβάκι κάτω από τη γέφυρα του Καρόλου. το τμήμα της κοιλάδας του ποταμού Έλβα αποτελεί Μπορεί, ακόμα, να παρακολουθήσει μια παράσταση μνημείο παγκόσμιας κληρονομιάς της UNESCO. του φημισμένου «Μαύρου Θεάτρου της Πράγας», Η Πράγα μου άρεσε (και πάλι) πολύ ως προορισμός το οποίο είναι ένα μείγμα κινησιολογίας, χορού, λόγω της ζωντάνιας της και της ομορφιάς της. μουσικής και παντομίμας και βασίζεται, σήμερα, Συγκρίνοντας τις αναμνήσεις που είχα από την πρώτη 83 στον φωτισμό του υπεριώδους φωτός. Αξίζει ακόμα μου επίσκεψη με αυτά που έβλεπα σχεδόν 18 χρόνια να κάνει κανείς μια βόλτα στην οδό Parizská, στην αργότερα, παρατήρησα ότι είναι πολύ περισσότερο οποία υπάρχουν η μια δίπλα στην άλλη μπουτίκ τουριστική σε σχέση με τότε. Σύμφωνα με αρκετούς όλων των παγκοσμίως γνωστών οίκων μόδας και ντόπιους τότε ήταν μια διαφορετική πόλη και οι χρυσοχοΐας. Υπάρχουν ακόμα πολλά μουσεία μεταξύ συνθήκες ζωής ήταν διαφορετικές. των οποίων είναι το Μουσείο Σοκολάτας και το Μουσείο Κέρινων Ομοιωμάτων the prime magazine_