Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Κήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2008 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληοφοιών Information Retrieval (IR) Systems Ποχωημένες Λειτουγίες Επεώτησης Advanced Query Operations Γιάννης Τζίτζικας ιάλεξη : 11 Ημεομηνία : CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 1 Διάθωση Διάλεξης Κίνητο Ανάδαση Συνάφειας (Relevance Feedback) Αναδιατύπωση Επεωτήσεων (Query Reformulation) Αναβάυνση Όων (Term Reweighting) Επέκταση (Διαστολή) Επεώτησης (Query Expansion), Αναδιατύπωση Επεωτήσεων για το Διανυσματικό Μοντέλο Optimal Query, Rocchio Method, Ide Method, DeHi Method Η έννοια του Optimal (or Best) Query Αξιολόγηση Ψευδο-ανάδαση συνάφειας (Pseudo relevance feedback) Επέκταση Επεωτήσεων Αυτόματη Τοπική (Επιτόπια) Ανάλυση (Automatic Local Analysis) Καθολική Ανάλυση Επέκταση Επεώτησης βάσει Θησαυού (Thesaurus-based Query Expansion) Αυτόματη Καθολική Ανάλυση (Automatic Global Analysis) Στατιστικοί Θησαυοί (Statistical Thesaurus) Κατασκευή Θησαυών //Γενετικοί Αλγόιθμοι CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 2

2 Κίνητο Έχει παατηηθεί ότι οι χήστες των ΣΑΠ δαπανούν πολύ χόνο αναδιατυπώνοντας την αχική τους επεώτηση ποκειμένου να βουν ικανοποιητικά έγγαφα Πιθανές αιτίες ο χήστης δεν γνωίζει το πειεχόμενο των υποκείμενων εγγάφων το λεξιλόγιο του χήστη μποεί να διαφέει από αυτό της συλλογής η αχική επεώτηση μποεί να είναι πιο γενική ή πιο ειδική από αυτή που θα έπεπε (καταλήγοντας είτε σε πάα πολλά ή σε πολύ λίγα έγγαφα) Η αχική επεώτηση μποεί να θεωηθεί ως η πώτη ποσπάθεια έκφασης της πληοφοιακής ανάγκης του χήστη Ανάγκη για τεχνικές αντιμετώπισης αυτού του ποβλήματος CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 3 Τόποι Αντιμετώπισης (1) Βελτίωση της αχικής επεώτησης (2) Χήση Ποφίλ Χήστη (3) Βελτίωση παάστασης κειμένων (4) Βελτίωση αλγοίθμου (μοντέλου) ανάκτησης Παατηήσεις Τα (2),(3),(4) έχουν πιο μόνιμο αποτέλεσμα (επηεάζουν την απάντηση και των επόμενων επεωτήσεων) Εδώ θα εστιάσουμε στο (1) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 4

3 Τεχνικές Βελτίωσης της Αχικής Επεώτησης Κατηγοίες: (α) τεχνικές που απαιτούν είσοδο από τον χήστη (β) τεχνικές που δεν απαιτούν είσοδο (β1) που βασίζονται στα κουφαία έγγαφα που ανακτήθηκαν (β2) που βασίζονται σε όλα τα έγγαφα της συλλογής Ανάδαση Συνάφειας (Relevance Feedback): Η βασική ιδέα Βήματα: 1/ Μετά την παουσίαση των αποτελεσμάτων, επιτέπουμε στο χήστη να κίνει (θετικά ή ανητικά) την συνάφεια ενός ή πεισσότεων εγγάφων της απάντησης 2/ Αξιοποιούμε αυτήν την πληοφοία για να αναδιατυπώσουμε την επεώτηση 3/ Κατόπιν δίδουμε στο χήστη την απάντηση της αναδιατυπωμένης επεώτησης 4/ Πήγαινε στο βήμα 1/ CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 6

4 Ανάδαση Συνάφειας (Relevance Feedback): Η βασική ιδέα Αχική Επεώτηση Αναθεωη μένη Επεώτηση Rankings Σύστημα Ανάκτησης Πληοφοιών Αναδιαβαθμισμένα Έγγαφα Ανατοφοδότηση Επαναδιατύπωση Επεώτησης 1. Doc1 2. Doc2 3. Doc3.. Διαβαθμισμένα Έγγαφα 1. Doc1 2. Doc2 3. Doc Doc2 2. Doc4 3. Doc5 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 7 Τμήματα της Αχιτεκτονικής που Εμπλέκονται user need User Interface Text user feedback query retrieved docs logical view Query Operations Searching Text Operations logical view Indexing inverted file Index Text Corpus ranked docs Ranking CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 8

5 q=bike Παάδειγμα ανατοφοδότησης συνάφειας σε σύστημα ανάκτησης εικόνων ( CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 9 Παάδειγμα ανατοφοδότησης συνάφειας σε σύστημα ανάκτησης εικόνων Answer( bike )= CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 10

6 Παάδειγμα ανατοφοδότησης συνάφειας σε σύστημα ανάκτησης εικόνων Μακάισμα των Συναφών (η Επιθυμητών) από τον Χήστη CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 11 Παάδειγμα ανατοφοδότησης συνάφειας σε σύστημα ανάκτησης εικόνων Απάντηση της αναδιατυπωμένης απάντησης = CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 12

7 Αναδιατύπωση επεώτησης βάσει Ανάδασης Συνάφειας (Relevance Feedback: Query Reformulation) Τόποι αναδιατύπωσης της επεώτησης μετά την ανάδαση: Αναβάυνση των Όων (Term Reweighting): Αύξηση των βαών των όων που εμφανίζονται στα συναφή/επιθυμητά έγγαφα και μείωση των βαών των όων που εμφανίζονται στα μησυναφή/επιθυμητά έγγαφα. Επέκταση επεώτησης (Query Expansion): Ποσθήκη νέων όων στην επεώτηση (π.χ. από γνωστά συναφή έγγαφα) Υπάχουν πολλοί αλγόιθμοι για επαναδιατύπωση επεώτησης CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 13 Αναδιατύπωση επεώτησης στο Διανυσματικό Χώο Η έννοια της βέλτιστης επεώτησης Η βέλτιστη επεώτηση (Optimal Query) Ας υποθέσουμε ότι γνωίζουμε το σύνολο C r όλων των συναφών (με την πληοφοιακή ανάγκη του χήστη) εγγάφων. Η «καλύτεη επεώτηση» (αυτή που κατατάσσει στην κουφή όλα τα συναφή έγγαφα), βάσει του διανυσματικού μοντέλου, θα ήταν: 1 1 qopt = d C N C r d C r r d C d r Where N is the total number of documents. (θα αναλύσουμε πεισσότεο αυτό το ζήτημα αγότεα) Αφού όμως δεν γνωίζουμε το σύνολο C r,θα λάβουμε υπόψη την αχική επεώτηση και την είσοδο/ανατοφοδότηση του χήστη. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 14

8 Αναδιατύπωση επεώτησης στο Διανυσματικό Χώο Αφού όμως δεν γνωίζουμε το σύνολο C r,θα λάβουμε υπόψη την αχική επεώτηση και την είσοδο του χήστη. Answer(q)= Answer (q) + user feedback = : Κόκκινα: ο χήστης έδωσε ανητική ανάδαση Πάσινα: ο χήστης έδωσε θετική ανάδαση Μπλε: ο χήστης δεν έδωσε ανάδαση Τόποι αξιοποίησης της ανατοφοδότησης του χήστη (Ι) Rocchio Method (ΙΙ) Ide Method (ΙΙΙ) DeHi Method CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 15 (Ι) Standard Rocchio Method Αφού το σύνολο όλων των συναφών είναι άγνωστο, χησιμοποίησε τα γνωστά συναφή (D r ) και γνωστά μη-συναφή (D n ) έγγαφα (από την απάντηση της αχικής επεώτησης και βάσει της εισόδου από τον χήστη) και επίσης συμπειέλαβε την αχική επεώτηση q. Αναδιατυπωμένη επεώτηση: q m = αq + β D r d Dr d γ D n d Dn α: Tunable weight for initial query. β: Tunable weight for relevant documents. γ: Tunable weight for irrelevant documents. d answer(q): Usually γ < β (the relevant docs are more important) If γ=0 then we have positive feedback only CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 16

9 (ΙΙ) IDE Regular Method Πεισσότεη ανάδαση => μεγαλύτεος βαθμός αναδιατύπωσης. Για αυτό, κατά την IDE Regular μέθοδο δεν κάνουμε κανονικοποίηση (βάσει του ποσού ανάδασης) q m = α q + β d D d r γ d D d n α: Tunable weight for initial query. β: Tunable weight for relevant documents. γ: Tunable weight for irrelevant documents. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 17 (III) IDE Dec Hi Method Τάση για απόιψη μόνο των μη-συναφών εγγάφων που έχουν υψηλό σκο (Bias towards reecting ust the highest ranked of the irrelevant documents:) q m = α q + β d γ max d D r non relevant ( d ) answer(q): α: Tunable weight for initial query. β: Tunable weight for relevant documents. γ: Tunable weight for irrelevant document. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 18

10 q m q m q m Σύγκιση μεθόδων (I) (II) (III) β = αq + D r = α q + β d D d r γ d D = α q + β d γ max d D d Dr r d γ D n d n d Dn non relevant d ( d ) Γενικά, τα πειαματικά δεδομένα δεν δίνουν καθαό ποβάδισμα σε κάποια τεχνική. Όλες οι τεχνικές βελτιώνουν την απόδοση ( recall & precision) Συνήθως α=β=γ=1 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 19 Αξιολόγηση Αποτελεσματικότητας Τεχνικών Ανάδασης Συνάφειας Remarks By construction, reformulated query will rank explicitly-marked relevant documents higher and explicitly-marked irrelevant documents lower. When evaluating such methods, a method should not get credit for improvement on these documents, since it was told their relevance. In machine learning, this error is called testing on the training data. Evaluation should focus on generalizing to other un-rated documents. Fair Process for Evaluating the Effectiveness of Relevance Feedback Remove from the corpus any document for which feedback was provided. Measure recall/precision performance on the remaining residual collection. Compared to complete corpus, specific recall/precision numbers may decrease since relevant documents were removed. Measure recall/precision after relevance feedback (on the residual collection) Relative performance on the residual collection provides fair data on the effectiveness of relevance feedback CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 20

11 Relevance Feedback Evaluation Simulated interactive retrieval consistently outperforms non-interactive retrieval (70% here). CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 21 Relevance Feedback Evaluation: Case Study Example of evaluation of interactive information retrieval [Koenemann & Belkin 1996] Goal of study: show that relevance feedback improves retrieval effectiveness Details 64 novice searchers (43 female, 21 male, native English) TREC test bed (Wall Street Journal subset) Two search topics Automobile Recalls Tobacco Advertising and the Young Relevance udgements from TREC and experimenter System was INQUERY (vector space with some bells and whistles) Subects had a tutorial session to learn the system Their goal was to keep modifying the query until they have developed one that gets high precision Reweighting of terms similar to but different from Rocchio CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 22

12 Credit: Marti Hearst CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 23 Evaluation:Precision vs. RF condition (from Koenemann & Belkin 96) Criterion: p@30 (precision at 30 documents) Compare: p@30 for users with relevance feedback p@30 for users without relevance feedback Goal: show that users with relevance feedback do better Results: Subects with relevance feedback had 17-34% better performance But: Difference in precision numbers not statistically significant. Search times approximately equal Credit: Marti Hearst CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 24

13 Σιωπηές Υποθέσεις της Ανάδασης Συνάφειας A1: User has sufficient knowledge for formulating the initial query. However: User does not always have sufficient initial knowledge. Examples: Misspellings, Mismatch of searcher s vocabulary vs collection vocabulary. A2: Relevance prototypes are well-behaved. Either: All relevant documents are similar to a single prototype. Or: There are different prototypes, but they have significant vocabulary overlap. However: There are several relevance prototypes. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 25 Γιατί η ανάδαση συνάφειας δεν χησιμοποιείται ευέως; Οι χήστες συχνά διστάζουν να δώσουν είσοδο Η ανάδαση έχει ως αποτέλεσμα μεγάλες επεωτήσεις των οποίων ο υπολογισμός απαιτεί πεισσότεο χόνο σε σύγκιση με τις συνηθισμένες επεωτήσεις που διατυπώνουν οι χήστες οι οποίες αποτελούνται από 2-3 λέξεις (search engines process lots of queries and allow little time for each one) Μεικές φοές η νέα απάντηση πειέχει έγγαφα τα οποία δεν μποούμε να καταλάβουμε πως ποέκυψαν CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 26

14 Ανάδαση Συνάφειας στον Παγκόσμιο Ιστό Some search engines offer a similar/related pages feature (simplest form of relevance feedback) Πολλές φοές ο υπολογισμός αυτών των όμοιων/σχετικών σελίδων δεν γίνεται βάσει του πειεχομένου αλλά βάσει της δομής του γάφου (θυμηθείτε την ανάλυση συνδέσμων). Ο υπολογισμός είναι ακετά πιο γήγοος. But some don t because it s hard to explain to average user. Excite initially had true relevance feedback, but abandoned it due to lack of use. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 27 Ψευδοανάδαση Συνάφειας

15 Ψευδοανάδαση Συνάφειας Pseudo Relevance Feedback Χήση μεθόδων ανάδασης αλλά χωίς είσοδο από το χήστη Υπόθεση ότι τα κουφαία m από τα ανακτημένα έγγαφα είναι συναφή (και χήση αυτών για ανάδαση) Μποούμε επίσης να χησιμοποιήσουμε τα τελευταία έγγαφα για ανητική ανάδαση Επιτέπει την επέκταση της επεώτησης με όους που σχετίζονται με τους όους της επεώτησης answer(q): CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 29 Ψευδοανάδαση Συνάφειας Query String Revised Query IR System Rankings ReRanked Documents Query Reformulation Ranked Documents 1. Doc1 2. Doc2 3. Doc Doc2 2. Doc4 3. Doc Doc1 Pseudo 2. Doc2 3. Doc3. Feedback. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 30

16 Αξιολόγηση Ψευδοανάδασης Βέθηκε να βελτιώνει την απόδοση στο διαγωνισμό του TREC (adhoc retrieval task) Δουλεύει ακόμα καλύτεα αν τα κουφαία έγγαφα πέπει να ικανοποιούν και μια boolean έκφαση ποκειμένου να χησιμοποιηθούν για ανάδαση (π.χ. να πειέχουν όλους του όους της επεώτησης) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 31 Αναλύοντας πεισσότεο την έννοια της βέλτιστης επεώτησης (optimal query) Πηγή: Yannis Tzitzikas and Yannis Theoharis, Naming Functions for the Vector Space Model, 29th European Conference on Information Retrieval, Rome 2-5 April 2007

17 The Naming Problem We can view an IR system as a function from set of Queries to set of Answers S: Queries Answers If q Queries, S(q) denotes the answer of q. Classically IR systems are good at solving the equation S(q)=A wrt A, i.e.: S(q) =? The naming problem is the problem of solving the equation wrt q, i.e. : S(?) = A We can distinguish two formulations of the naming problem: For unordered answers (here A is a subset of Ob ) For ordered answers (here A is an ordered subset of Ob). where Ob is the set of stored obects (e.g. documents, web pages, etc) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 33 The Naming Problem for Unordered Sets Basic Notions Exact name Upper name Best Upper Name Lower name Best Lower Name Relaxed name S(upperName(A)) A Ob S(lowerName(A)) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 34

18 The Naming Problem for Ordered Sets Basic Notions Exact name Upper name Best Upper Name Lower name Best Lower Name Relaxed name Example: A = d1, d2, d3 S(exactName(A)) = d1, d2, d3, d8, d9, S(lowerName(A)) = d1, d2, d5, d7, S(upperName(A)) = d1, d9, d2, d5, d3, d8, CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 35 Notations Let A be an answer. Some notations that will be used A(k) : the ordered set comprising the first k elements of A A{k} : the set of elements that appear in A(k) A F : the restriction of A on the set F, i.e. the ordered set obtained if we exclude from A those elements that do not belong to F, Example if A = d1, d2, d3 then A(2)= d1, d2 A{2}= {d1, d2} {A} = A{ A } = {d1, d2, d3} if F={d1,d3}, then A F = d1, d3 CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 36

19 Defining Formally Relaxed/Upper/Lower/Exact Names A query q is a relaxed name of an answer A iff : Case: A is a set : S(q){m} A = where m >0. Case: A is an ordered set: S(q)(m) {A()} = A() where m >0. If m== A then q is an exact name If m>= A then q is an upper name (the best upper name if m is the least possible) If m=< A then q is a lower name (the best lower name if m is the greatest possible) So each query can be characterized by a pair (m,). We can now define an ordering over these pairs. The ordering should reflect the quality of the queries (as solutions for the naming problem). CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 37 Defining a total ordering of queries (m,) > (m, ) iff: (> ) or (= and m<m ) Let Ob =5 and A =3 Let Ob =5 and A =3. The ordering of the corresponding pairs are: So far, we have defined what exact, upper, lower, relaxed names are, and we defined an ordering over them. The next question is whether and how we can compute these names for a given answer A. lower names (1,1) (2,2) (2,1) exact name (3,1) (3,3) (3,2) (4,2) (4,1) upper names (4,3) (5,1) (5,3) (5,2) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 38

20 Investigating possible approaches for solving the Naming Problem for Unordered Sets Let A = {d1, d2, d3,, dn} Possible name queries qa= ½(di,d) where (di,d) = arg max {dist(d,d ) d,d A} qb=1/ A Σ { d d A} qc=1/ A Σ { a d A} - 1/ Ob-A Σ {d d A} Notes qa: minimizes the maximum dist from the elements of A qb: minimizes the average dist from the elements of A qc: is the Rocchio method (avg A, - avg Ob-A) Important remarks: None is guaranteed to be the exact name (they are all relaxed names) However, if an exact name does not exist, then qa is the best upper name Moreover, the evaluation of qa (i.e. the computation if its answer) is faster than the evaluation of qb, qc. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 39 The Naming Problem for Unordered Sets (III) Method (a): Let A = {d1, d2, d3, d4} o1 d1 d2 o2 d3 d4 1st step: Find the pair of most distant documents Here: (d1, d4) 2nd step: Find whether other documents lie in the area specified by (d1, d4) Here: {o1, o2}!= Thus, qa = ½(d1, d4) is an upper name of A If there were no other documents then qa would be an exact name Cost 1 st step: O( A 2 ) computations of similarity 2 nd step: O( Ob ) or compute the answer of qa and check if S(qa){ A }=A CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 40

21 The Naming Problem for Ordered Sets Let A = d1, d2, d3,, dn Let i the max integer for which it holds: sim(d1,d2) > sim(d1,d3) > > sim(d1,di) relaxed name, always d1 is a upper name, exact name, lower name, if i=n if i=n and S(d1)(n)=A if i<n and S(d1)(i)=A(i) Computational cost: O(n) computations of similarity to find i. One query evaluation in order to decide whether d1 is lower/exact name. CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 41 Experimental Evaluation Experiments conducted over the experimental web search engine GRoogle ( ) The set A was selected randomly, the average times are listed in the Table below O : number of documents, T : number of terms ta: time to find the query (fast, depends on A, not the size of the db) tb: time to evaluate the query (this is the only expensive task) tc: time to decide what kind of name it is (fast) CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 42

22 Concluding Remarks and Further Research The naming problem has several applications (e.g. for relevance feedback or for providing a flexible interaction scheme between the system and the users) We expressed formally several variations of this problem and related optimality criteria (to best of our knowledge this analysis is novel) We provided optimal solutions E.g. we provided a method that certainly returns the best upper name for unordered sets (this is not true for the Rocchio method) We described (polynomial) algorithms for solving these problems Future research Extend the problem statement with an additional parameter: the maximum number of words that a name could have, e.g. find the best upper name with no more than 3 words. Indexing structures for efficient computation of names For more see CS463 - Information Retrieval Systems Yannis Tzitzikas, U. of Crete 43

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Πανεπιστήμιο Κήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2007 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληοφοιών Information Retrieval (IR) Systems Ποχωημένες Λειτουγίες Επεώτησης Avance Query Operations Γιάννης Τζίτζικας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ανάκτηση Πληροφορίας Αποτίμηση Αποτελεσματικότητας Μέτρα Απόδοσης Precision = # σχετικών κειμένων που επιστρέφονται # κειμένων που επιστρέφονται Recall = # σχετικών κειμένων που επιστρέφονται # συνολικών

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all

Διαβάστε περισσότερα

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013

Partial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013 The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

The challenges of non-stable predicates

The challenges of non-stable predicates The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

Fractional Colorings and Zykov Products of graphs

Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

Numerical Analysis FMN011

Numerical Analysis FMN011 Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas

Section 7.6 Double and Half Angle Formulas 09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics

Fourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness

Διαβάστε περισσότερα

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set

Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set Every set of first-order formulas is equivalent to an independent set May 6, 2008 Abstract A set of first-order formulas, whatever the cardinality of the set of symbols, is equivalent to an independent

Διαβάστε περισσότερα

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά.

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Διαστημικό εστιατόριο του (Μ)ΑστροΈκτορα Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Μόλις μια παρέα πελατών κάτσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.

2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits. EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations

Προχωρημένες Λειτουργίες Επερώτησης Advanced Query Operations Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη Διάρθρωση Διάλεξης Γιάννης Τζίτζικας ιάλεξη : 11 Ημερομηνία : 31-3- HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Προχωρημένες

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

SCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018

SCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018 Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 3: Ordinal Numbers

Chapter 3: Ordinal Numbers Chapter 3: Ordinal Numbers There are two kinds of number.. Ordinal numbers (0th), st, 2nd, 3rd, 4th, 5th,..., ω, ω +,... ω2, ω2+,... ω 2... answers to the question What position is... in a sequence? What

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions

SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Bayesian statistics. DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science.

Bayesian statistics. DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science. Bayesian statistics DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science http://www.cims.nyu.edu/~cfgranda/pages/dsga1002_fall17 Carlos Fernandez-Granda Frequentist vs Bayesian statistics In frequentist

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΑΓΓΛΙΚΑ Ι. Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education. Ζωή Κανταρίδου Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 7α: Impact of the Internet on Economic Education Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη :

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Srednicki Chapter 55

Srednicki Chapter 55 Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third

Διαβάστε περισσότερα

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +

k A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R + Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Reminders: linear functions

Reminders: linear functions Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U

Διαβάστε περισσότερα

Math221: HW# 1 solutions

Math221: HW# 1 solutions Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin

Διαβάστε περισσότερα

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that

Διαβάστε περισσότερα

CE 530 Molecular Simulation

CE 530 Molecular Simulation C 53 olecular Siulation Lecture Histogra Reweighting ethods David. Kofke Departent of Cheical ngineering SUNY uffalo kofke@eng.buffalo.edu Histogra Reweighting ethod to cobine results taken at different

Διαβάστε περισσότερα

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O Q1. (a) Explain the meaning of the terms mean bond enthalpy and standard enthalpy of formation. Mean bond enthalpy... Standard enthalpy of formation... (5) (b) Some mean bond enthalpies are given below.

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

5.4 The Poisson Distribution.

5.4 The Poisson Distribution. The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας (Information Retrieval IR) ιδακτικό βοήθηµα 2. Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχ. Η/Υ, Τηλ/νιών & ικτύων

Ανάκτηση Πληροφορίας (Information Retrieval IR) ιδακτικό βοήθηµα 2. Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχ. Η/Υ, Τηλ/νιών & ικτύων Ανάκτηση Πληροφορίας (Information Retrieval IR) Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχ. Η/Υ, Τηλ/νιών & ικτύων Ακαδηµαϊκό Έτος 2005-2006 ιδακτικό βοήθηµα 1 Καλύπτει το 60% του 510 σελίδες 1η

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας (Information Retrieval IR)

Ανάκτηση Πληροφορίας (Information Retrieval IR) Ανάκτηση Πληροφορίας (Information Retrieval IR) Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχ. Η/Υ, Τηλ/νιών & ικτύων Ακαδηµαϊκό Έτος 2005-2006 ιδακτικό βοήθηµα 1 Καλύπτει το 60% του αντικειµένου

Διαβάστε περισσότερα

Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Exercise Sheet 5

Solutions to Exercise Sheet 5 Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X

Διαβάστε περισσότερα

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr 9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Storage Devices

Abstract Storage Devices Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD

Διαβάστε περισσότερα

Overview. Transition Semantics. Configurations and the transition relation. Executions and computation

Overview. Transition Semantics. Configurations and the transition relation. Executions and computation Overview Transition Semantics Configurations and the transition relation Executions and computation Inference rules for small-step structural operational semantics for the simple imperative language Transition

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 34 Bootstrap confidence intervals

Lecture 34 Bootstrap confidence intervals Lecture 34 Bootstrap confidence intervals Confidence Intervals θ: an unknown parameter of interest We want to find limits θ and θ such that Gt = P nˆθ θ t If G 1 1 α is known, then P θ θ = P θ θ = 1 α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!

b. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds! MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE)

EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING. Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) EPL 603 TOPICS IN SOFTWARE ENGINEERING Lab 5: Component Adaptation Environment (COPE) Performing Static Analysis 1 Class Name: The fully qualified name of the specific class Type: The type of the class

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

Models for Probabilistic Programs with an Adversary

Models for Probabilistic Programs with an Adversary Models for Probabilistic Programs with an Adversary Robert Rand, Steve Zdancewic University of Pennsylvania Probabilistic Programming Semantics 2016 Interactive Proofs 2/47 Interactive Proofs 2/47 Interactive

Διαβάστε περισσότερα

Assalamu `alaikum wr. wb.

Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα