санын айтамыз. Бұл сан екі тік және екі жатық жолдардан тұратын а а

Transcript

1 Сызықтық лгебр және нлитиклық геометрия элементтері Екінші және үшінші ретті нықтуыштр Аныктм Екінші ретті нықтуыш деп снын йтмыз. Бұл сн екі тік және екі жтық жолдрдн тұртын кестесі түрінде белгіленеді және бұл кесте де нықтуыш деп тлды. Мұндғы ij (i ; j ) - нықтуыштың элементтері. ij элементінің бірінші і индексі нықтуыштың жтық жолының л екінші j индексі тік жолының нөмері. Мыслы - -жтық тік жолының қиылысуындғы элемент. Кестенің және элементтері рқылы өтетін «түзу» нықтуыштың негізгі дигонлы л және элементтері рқылы өтетін «түзу» қослқы дигонлы деп тлды. Анықтм бойынш екінші ретті нықтуыш өзін белгілейтін кестенің негізгі дигонлындғы элементтерінің көбейтіндісі мен қослқы дигонлындғы элементтері көбейтіндісінің йырымын тең. Демек Анықтм Үшінші ретті нықтуыш деп снын йтмыз. Бұл сн үш тік және үш жтық жолдрдн тұртын

2 кестесі ретінде белгіленеді және бұл кесте де нықтуыш деп тлды. Мұндғы ij (i ; j ) - нықтуыштың элементтері і жтық л j тік жолдрының нөмірі. Үшінші ретті нықтуыш өзін белгілейтін кесте элементтерінен үшбұрыш немесе Сррюс ережесі бойынш есептеледі. Бұл ереже бойынш плюс тңбсымен лынғн үш қосылғыш төменде келтірілген «+» сұлб л минус тңбсымен лынғн үш қосылғыш «-» сұлб бойынш есептеледі: «+» сұлб «-» сұлб Сррюс ережесінің екінші түрі:.үшінші ретті нықтуышты есептеу үшін оның брлық тік жолдрын осы нықтуыштың бірінші және екінші тік жолдрын жлғстырып кесте кұрмыз ( төмендегі кесте). Осы кестенің негізгі дигонлы және оғн прллель түзулердің бойынд жтқн элементтердің көбейтіндісі «+» тңбсымен л кослқы дигонлы және оғн прллель түзулердің бойынд жтқн элементтердің көбейтіндісі «-» тңбсымен лынды. Сонд үшінші ретті нықтуыш нықтм бойынш осы сұлбд көрсетілген тңблрымен лынғн лты снның қосындысын тең болды =. Екі белгісізді екі және үш белгісізді үш теңдеулер жүйесі Анықтм Екі белгісізді екі теңдеулер жүйесі деп () сызықты теңдеулер жүйесін йтмыз.

3 Мұндғы белгісіз шмлр ij - і нөмірлі теңдеудегі j нөмірлі белгісіздің коэффициенті ( i ; j ) i (i ) і нөмірлі теңдеудің бос мүшесі. Мыслы - екінші теңдеудегі - дің коэффициенті - осы теңдеудегі бос мүше. Анықтм Егер белгісіздердің мәндері жүйесіндегі екі теңдеуді де қнғттндырс онд осы сндр жүйенің шешімі деп тлды және деп белгіленеді. Анықтм Егер сызықты теңдеулер жүйесінің ең кемінде бір шешімі бр болс онд бұл жүйе үйлесімді л бірде бір шешімі болмс үйлесімсіз деп тлды. Егер үйлесімді жүйенің тек қн бір шешімі бр болс онд бұл жүйе нықтлғн л кемінде екі шешімі бр болс онд нықтлмғн деп тлды. в в в в деп лйық. берілген теңдеулер жүйесінің нықтуышы деп тлды. -осы нықтуыштың бірінші тік жолын л -екінші тік жолын бос мүшелермен лмстыру рқылы жслғн нықтуыштр. Негізгі тұжырымдр: ) Егер болс онд берілген жүйе үйлесімді нықтлғн л болып мен -нің ең кемінде біреуі нөлге тең болмс онд бұл жүйе үйлесімсіз болды; ) Егер ij коэффициенттерінің ең кемінде біреуі нөлге тең болмй болс онд берілген жүйе нықтлмғн үйлесімді жүйе. Мұндй жүйенің бір прметрден тәуелді шексіз көп шешімі бр болды. Крмер әдісі: Анықтлғн жүйенің шешімі формуллры рқылы нықтлды Анықтм 4 Үш белгісізді үш теңдеулер жүйесі деп () сызықтық теңдеулер жүйесін йтмыз. Мұндғы белгісіз шмлр ij -i нөмерлі теңдеудегі j нөмерлі белгісіздің коэффициенті i ; j i - i нөмірлі

4 теңдеудің бос мүшесі. Бұл жүйе үйлесімді немесі үйлесімсіз болуы мүмкін. Үйлесімді жүйе нықтлғн немесе нықтлмғн болды. деп лйық мұндғы -берілген жүйенің нықтуышы к к -осы нықтуыштың k-нөмірлі тік жолын бос мүшелермен лмстыру рқылы жслғн нықтуыштр. Негізгі тұжырымдр: ) Егер болс онд үйлесімді нықтлғн жүйе л болып к к нықтуыштрының ең кемінде біреуі нөлге тең болмс онд үйлесімсіз жүйе; ) Егер болып нықтуышының элементтерінен тік және жтық жолдрының реттерін сқтп жслғн нөлге тең болмйтын екінші ретті нықтуыш бр болс онд үйлесімді нықтлмғн жүйе. Мұндй жүйенің бір прметрден тәуелді шексіз көп шешімі бр болды; ) Егер ij коэффициентерінің ең кемінде біреуі нөлге тең болмс нықтуышының элементтері мен бос мүшелерінен тік және жтық жолдрының реттерін сқтп жслғн брлық екінші ретті нықтуыштр нөлге тең болс онд үйлесімді нықтлмғн жүйе. Бұл жүйенің екі прметрге тәуелді шексіз көп шешімдері бр болды. Крмер әдісі: Анықтлғн жүйенің шешімі формуллры рқылы нықтлды. Бұл формуллр Крмер формуллры деп тлды.. Координттр жүйесі Оң бғыты нықтлғн түзүді өс деп тймыз (суретте оң бғыт стрелк рқылы көрсетіледі). Сызықтық бірлік ретінде тңдлып лынғн кесіндіні мсштб л өстің белгіленіп лынғн О нүктесін координт бсы дейміз. Координт бсы сызықтық бірлігі (мсштбы) нықтлғн өсті сндр өсі дейміз. Егер сндр өсіндегі кесіндінің А бстпқы нүктесі мен В соңғы нүктесі қөрсетілсе онд бұл кесінді бғыттлғн деп тлды д АВ деп белгіленеді. Бғыттлғн АВ кесіндісі өспен бғыттс болғнд «+» тңбсымен л өске кері бғыттлғнд «-» тңбсымен лынғн осы кесіндінің ұзындығы оның шмсы деп тлды. АВ кесіндісінің 4

5 шмсы АВ деп белгіленеді. Әлбетте АВ ВА және АВ-ның ұзындығы өз шмсының модуліне тең демек АВ -ғ. Сндр өсінінің кез келген АВС нүктелері үшін АВ+ВС=АС және бұл теңдік осы нүктелердің сндр өсінде орнлсу ретінен тәуелсіз. Сндр өсіндегі М нүктесінің координты деп ОМ кесіндісінің шмсын йтмыз. Егер ОМ болс онд бұл нүктені М деп белгілейміз. Сонымен сндр өсіндегі кез келген М нүктесі снын л кез келген сны осы өстегі М нүктесін нықтйды. Сндр өсіндегі М және М нүктелері үшін ММ л осы нүктелердің р қшықтығы ММ снын тең. Ескерту: және модульдері өзр тең болғндықтн ММ деп те луғ болды. Егер жзықтықтғы кез келген нүктенің орнын сндр рқылы белгілеу тәсілі берілсе онд жзықтықт координттр жүйесі нықтлды деп йтылды. Тікбұрышты декрт жүйесі белгілі ретпен өзр перпендикуляр орнлсқн екі сндр өсі рқылы нықтлды (демек қй өстің бірінші қй өстің екінші екені белгілі деп есептеледі). өстердің қиылысу нүктесі координт бсы деп тлды д О деп белгіленеді л осы өстер координттық өстер делінеді. өстердің біріншісі бсцисс л екіншісі ординт деп тлды д бсцисс өсі О ординт өсі Оу деп белгіленеді. Суретте у әріптері өздеріне сәйкес өстердің оң бғытын қойылды ( сурет). у М у О М -сурет Тік бұрышты декрт жүйесі нықтлғн жзықтықты декрт жзықтықтығы деп тймыз. М - декрт жзықтығының кез келген нүктесі М және М у осы нүктеден О және Оу өстеріне түсірілген перпендикулярдың тбндры болсын. ОМ у ОМ у сндры М нүктесінің координттры деп тлды д М у деп белгіленеді. Мұндғы - нүктенің бсцисссы у ординтсы. Сонымен декрт жзықтығындғы кез келген нүкте реттелген у қос снын л реттелген у қос сны осы жзықтықтғы М нүктесін нықтйды. Декрт жзықтығындғы М у және М у нүктелері рсындғы қшықтық 5

6 М у М у формулсы рқылы есептеледі. Декрт жзықтығының М у және М у нүктелері берілсін. Осы нүктелер рқылы өтетін түзудің бойынд жтқн М у нүктесі үшін М М ММ болс онд М нүктесі М М кесіндісін қтынст бөледі деп йтды. М М кесіндісін қтынст бөлетін М у нүктесінің координттры у у у формуллры рқылы нықтлды. Кеңістікте тікбұрышты координттр жүйесі бір нүктеде қиылыстын өзр перпендикуляр үш координттр өсі рқылы беріледі. Осы өстердің қиылысу нүктесі О - координт бсы деп тлды л өстердің өзі координт өстері деп тлды д ООуО деп белгіленеді. Әдетте О бсцисс О ординт О пликт деп тлды. Сүретте у өстердің оң бғытын қойылды (7 сүрет ). Егер О өсінің оң бғытындғы нүктеден қрғнд О тен О ке дейінгі ең кіші йнлу бұрышы сғт тілінің қозғлу бғытын қрсы болс онд бұл жүйе оң деп л керісінше жғдйд сол деп тлды (7 суретте оң жүйе көрсетілген). М М у М деп М нүктесінің О Оу О µстеріндегі проекциялрын белгілейік. ОМ у ОМ у ОМ сндры М нүктесінің координттры деп тлды д М у деп белгіленеді және координттрдың орнлсу реті сқтлды. Oу уo O координт жзықтықтры деп тлды. Суретте М у М у М деп - М нүктесінің өздеріне сәйкес координттр жзықтығындғы проекциялры белгіленген. Бұл жүйе кеңістіктегі тікбұрышты декрт жүйесі деп тлды М М у М М О М у М М у 6

7 -сурет Кеңістіктегі М у және у қшықтығы М М нүктелерінің р у у М формулсы рқылы нықтлды. Мжәне М нүктелері рқылы өтетін түзудің бойынд жтып М М кесіндісін қтынст бөлетін М у нүктесінің координттры у у у формуллры рқылы нықтлды. Мұндғы ММ ММ және М М..4 Жзықтықтғы түзулер Тікбұрышты декрттық жүйеде екі йнымлыдн тәуелді кез келген сызықтық теңдеу жзықтықт түзуді нықтйды. А Ву С түзудің жлпы теңдеуі деп тлды.абсцисс өсінің оң бғыты мен берілген түзудің рсындғы бұрышы түзудің көлбеулік бұрышы деп тлды. Бұл бұрыш бсцисс µсінің оң бғытынн бстлып есептелінеді және бұрышты есептеу сғт тілінің қозғлу бғытын қрсы болс «+» тңбсымен кері жғдйд «-» тңбсымен лынды. Көлбеулік бұрыштың тнгенсі түзудің бұрыштық коэффициенті деп тлды. Әдетте бұл коэффициент k tg деп белгіленеді. Түзудің жзықтықт берілу тәсілдері: )Бұрыштық коэффициенті k және түзудің ординт µсінен қиып өтетін кесіндісі рқылы түзуді у k теңдеуі рқылы нықтлы (-сурет). у α 7

8 ) М ; және ; у у -сурет М нүктелері рқылы өтетін түзу у у у у теңдеуі рқылы нықтлды және бұрыштық коэффициенті k формулсы рқылы есептеледі (4-сурет). у у М у М М у 4-сурет ) Координт µстерінен және кесінділері рқылы өтетін түзу теңдеуі рқылы нықтлды. (5-сурет) және б±л теңдеу түзудің кесінділердегі теңдеуі деп тлды (мұндғы О өсінен Oу өсінен түзудің қиып өтетін кесінділері). у 5-сурет Түзудің толық емес теңдеулері: ) егер түзудің жлпы теңдеуіндегі бос мүше С= болс онд теңдеу түрінде жзылды д 8

9 түзу координт бсы рқылы өтеді; ) егер түзудің жлпы теңдеуіндегі В А болс онд теңдеу А С түрінде жзылды д С А түріне келтіріледі. Бұл түзу ординт өсіне прллель болып бсцисс өсінен -ғ тең кесіндіні қиып өтеді; ) егер түзудің жлпы теңдеуіндегі А В болс онд теңдеу Ву С түрінде жзылды д у түріне келтіріледі. Бұл түзу бсцисс өсіне прллель болып ординт өсінен -ғ тең кесіндіні қиып өтеді; 4) егер түзудің жлпы теңдеуіндегі В С A болс онд теңдеу түрінде жзылды д ординт өсін нықтйды; 5) егер түзудің жлпы теңдеуіндегі А С В болс онд теңдеу у С B түрінде жзылды д бсцисс µсін нықтйды; 6) егер түзудің жлпы теңдеуінің брлық коэффициенттері нөлге тең болмс онд жлпы теңдеу түріне келтіріледі. Бұл түзудің кесінділердегі теңдеуі. у Мұндғы С А C B болды д бсцисс өсінен -ғ тең және ординт өсінен -ғ тең кесінділерді қиып өтеді. Егер екі түзудің k және k бұрыштық коэффициенттері белгілі болс онд осы түзулердің рсындғы бұрыш k k tg k k формулсы рқылы нықтлды. Егер екі түзу A B C және A B C жлпы теңдеулері рқылы берілсе онд бұл түзулердің бұрыштық коэффициенттері 9

10 k А В k А В формуллры рқылы нықтлды. Түзулер өзр прллель болуы үшін k k демек шрттры орындлу керек. Түзулер өзр перпендикуляр болуы үшін демек шрттры орындлу керек. Егер k k А A B B немесе A A BB C C k k А A B B болс түзулер прллель болды л А A B B C C болс онд түзулер беттеседі..5 Векторлр Бғыттлғн кесіндіні геометриялық вектор қысқш вектор деп тйды. Вектор бғыттлғн кесінді ретінде өзінің бс нүктесі А мен соңғы нүктесі В рқылы берілсе АВ деп белгіленеді. Осымен қтр вектор үстіне сызықш қойылғн кіші лтын әріппен немесе толыќ лтын єріппен де белгіленеді мыслы немесе. Бс нүктесі мен соңғы нүктесі түйіскен вектор нөлдік вектор деп тлды. Бір түзудің немесе өзр прллель түзулердің бойынд жттын векторлр коллинерлы деп тлды. Коллинерлы ұзындықтры мен бғыттры бірдей векторлрды тең деп тйды. Берілген екі вектордың әрқйсысы үшінші векторғ тең болс онд бұл векторлр өзр тең болды. Сондықтн берілген векторын тең кез келген Р нүктесінен шығтын тек қн бір вектор бр болды. Демек вектор өзінің бс нүктесіне дейінгі дәлдікпен нықтлды. Еркін векторлр турлы ұғып осы мғынд қолднылды. Берілген мсштбт нықтлғн векторының ұзындығы оның модулі деп тлды д деп белгіленеді. Әлбетте болс болды. Модульдері тең векторлрдың өзр тең болуы міндетті емес. Кез келген u сндр өсі берілсін. АВ векторының бс нүктесі А мен соңғы нүктесі В-дн u өсіне түсірілген перпендикулярдың сәйкес тбндры А пен В болсын. Бғыттлғн А В кесіндісінің АВ

11 шмсы АВ векторының u өсіндегі проекциясы деп тлды д пр u AB AB деп белгіленеді. Кеңістіктің кез келген S нүктесінен шығып АВ векторы мен u µсіне прллель және бғыттс болтын екі сәуленің рсындғы бұрышы АВ векторының u өсіне көлбеулік бұрышы деп тлды. Осы бұрыш рқылы АВ векторының u µсіндегі проекциясы AB пр u АВ cos формулсы бойынш нықтлды. Кез келген векторының кеңістікте нықтлғн координттр жүйесінің µстеріндегі проекциялры деп белгіленеді де түрінде жзылды. Егер берілген жүйе тікбұрышты декрттық жүйе болс онд вектордың декрттық координттры деп тлды. Егер векторы өзінің А у бс нүктесі мен B соңғы нүктесі рқылы берілсе онд формуллры бойынш есептеледі. векторының модулі өзінің координттры рқылы у формулсы бойынш нықтлды. Әлбетте у AB. Демек векторының модулі оның бс нүктесі А мен соңғы нүктесі В-ның р қшықтығын тең. векторының ООуО өстеріне көлбеулік бұрыштры болсын. () формулсы бойынш сos сos сos болды. Бұл формуллрдғы cos cos бғыттушы косинустры деп тлды. Бғыттуышы косинустр cos векторының сos cos cos тепе-теңдегін қнғттндырды. Векторлр рсындғы сызықтық млдр. Егер векторының бс нүктесі векторының соңғы нүктесімен тұйіссе онд -ның бс нүктесінен шығып -ның соңғы нүктесінде яқтлтын

12 вектор мен векторлрының қосындысы деп тлды д деп белгіленеді (үшбұрыш ережесі 6- сурет). 6 - сурет 7 - сурет Егер мен векторлры бір нүктеден шықс онд осы векторлр бойынш құрлғн прллелогрмның дигонлі осы векторлрдың қосындысын тең болды (прллелогрмм ережесі 7-сурет). Соңғы ережеден теңдігі туындйды. Бірнеше векторлрдың қосындысы үшбұрыш ережесін біртіндеп қолдну рқылы нықтлды. Мыслы c d векторлрының c d c теңдігі бойынш орындлды (8- сурет). қосындысы d с c d с d 8-сурет Коллинерлы ұзындықтры тең және крм-қрсы бғыттлғн екі вектор өзр крм-қрсы векторлр деп тлды. Егер берілген вектор болс оғн крм-қрсы вектор - деп белгіленеді. мен векторлрының йырымы деп векторымен қосындысы -ғ тең болтын с векторы йтылды д с деп белгілінеді. Әлбетте c демек мен векторлрының йырымы мен -ғ қрм-қрсы вектордың қосындысын тең. векторының снын көбейтіндісі деп векторын коллинерлы ұзындығы снын тең болғнд - мен бғыттс болтын болғнд -ғ қрм-қрсы бғыттлғн векторын йтды. Векторлрдың проекциялры тұрлы төменде келтірілген теоремлр орындлды: Теорем Векторлр қосындысының қндй болмсын бір µске проекциясы осы векторлрдың осы өстегі проекциялрының қосындысын тең:

13 пр пр u пр u пр u u. Теорем Векторды снғ көбейткенде оның проекциясы д осы снғ көбейтіледі: пр пр u. Бұл теоремлрдн егер u болс онд болтынын көреміз. Осымен қтр мен векторлры коллинерлы болуы үшін теңдігініњ орындлуы қжетті және жеткілікті ( мен нөлдік векторлр емес). Егер i j k векторлры: ) i векторы О өсінде j - Оу өсінде k - О µсінде жтс; ) i j k өздері жтқн өстермен бғыттс болс; ) i j k болс онд i j k бзистік векторлр деп тлды. Бұл векторлрды бірлік бзистік деп те тйды. Бзистік векторлр рқылы кез келген векторы i j k түрінде өрнектеледі. Векторлрдың склярлық көбейтіндісі Анықтм мен векторлрының склярлық көбейтіндісі деп cos () снын йтмыз. Мұндғы - мен векторлры рсындығы бұрыш. Анықтм бойынш cos. Бұл сн вектордың склярлық квдрты деп тлды. Егер мен векторлры өзр перпендикуляр болс онд Бірлік бзистік векторлр үшін.

14 i i i j i k j j j k k k теңдіктері орындлды. Координттры рқылы берілген және векторлрының склярлық көбейтіндісі (4) формулсы рқылы нықтлды. cos пр немесе сos пр болғндықтн мен векторлрының склярлық көбейтіндісін пр немесе пр түрінде жзуғ болды. () және (4) формуллрынн cos немесе координттры рқылы мен векторлры рсындғы бұрыш нықтлды. u кез келген өс e осы өс бойымен бғыттлғн бірлік вектор болсын. Егер u µсі координт өстерімен бұрыштрын құрс онд e сoscos cos және болды..6 Кеңістіктегі жзықтықтр пр u cos cos cos Декрттық координттр бойынш бірінші дәрежелі теңдеу кеңістіктегі жзықтықты нықтйды және керісінше кез келген жзықтық бірінші дәрежелі теңдеу рқылы нықтлды. Бұл теңдеу А+Ву+С+D= () түрінде жзылды д жзықтықтың жлпы теңдеуі деп тлды. Мұндғы АВСD нқты сндр. Кеңістікте жзықтықты нықтйтын белгілер. 4

15 М нүктесі рқылы өтетін нормль векторы A B C болтын тек қн бір жзықтық бр болды. Бұл жзықтықтың теңдеуі ) Берілген B C А () түрінде жзылды. ) Бір түзудің бойынд жтпйтын М М және М нүктелері рқылы тек қн бір жзықтық жүргізуге болды. Бұл жзықтықтың теңдеуі: () ) Координт өстерінен нөлге тең емес c кесінділерін қиып өтетін теқ қн бір жзықтық бр болды. Бұл жзықтықтың теңдеуі c түрінде жзылды д жзықтықтың «кесінділердегі» теңдеуі деп тлды. Жзықтықтың толық емес теңдеулері: ) егер D= болс онд жзықтықтың жлпы теңдеуі A B C түрінде жзылды д жзықтық координт бсы рқылы өтеді; ) егер С= болс онд жзықтықтыњ теңдеуі A B D түрінде жзылды д О осіне прллель болды; ) егер В= және С= болс онд жзықтық A D теңдеуі түрінде жзылды д Оу координт жзықтығын прллель болды; 4) егер жлпы теңдеудің брлық коэффициенттері нөлге тең болмс онд теңдеу түріне келтіріледі. D A D B D C Мұндғы D D D c A B C сндры жзықтықтың координт өстерінен қиып өтетін кесінділердің шмсын нықтйды. Жзықтықтрдың кеңістікте өзр орнлсуы: Кеңістіктегі екі жзықтық өздерінің жлпы теңдеулері: A B C D A B C D 5

16 рқылы берілсін. Егер A A B B C C болс онд жзықтықтр өзр прллель болды л егер A A B B C C D D болс онд жзықтықтр беттеседі. Өзр прллель болмйтын екі жзқтық түзу бойымен қиылысды. B C D A B C D A теңдеуі ( -нқты прметрлер) кеңістікте бір түзу рқылы өтетін брлық жзықтықтрды нықтйды д жзықтықтр шоғының теңдеуі деп тлды. Коэффициенттері AA BB CC шртын қнғттндыртын екі жзықтық өзр перпендикуляр болды. Жзықтықтрдың A B C және A B C нормль векторлры рсындғы бұрыш жзықтықтр рсындғы екі жқты бұрыш деп тлды д формулсы рқылы нықтлды...7 Кеңістіктегі түзу Берілген сos М нүктесі рқылы берілген m векторын прллель тек қн бір түзу жүргізуге болды. Бұл түзудің теңдеуі m түрінде жзылды. Мұндғы m түзудің бғыттушы векторы деп тлды д оның координттры түзудің бғыттушы прметрлері л бғыттуышы косинустры осы түзудің бғыттушы косинустры деп тлды. () теңдеуі түзудің кнондық теңдеуі деп тлды. m деп лып (t-нқты прметр) түзудің теңдеуін t () 6

17 t mt t () түріне келтіреміз. Теңдеудің бұл түрі прметрліқ теңдеу деп тлды. M түзу бойындғы ғымдғы нүкте болс онд () теңдеуі t M M ; t () түрінде жзылды. Бұл теңдеу түзудің векторлық теңдеуі деп тлды. Егер түзу өзінің бойымен қиылыстын екі жзықтықтың жлпы теңдеулері рқылы берілсе D C B A D C B A (4) онд түзудің (4) жлпы теңдеуі болды. Кеңістіктегі кез келген М М нүктелері рқылы тек қн бір түзу жүргізуге болды. Бұл түзудің теңдеуі түрінде жзылды д екі нүкте рқылы өтетін түзудің теңдеуі деп тлды. Кеңістікте кнондық теңдеулері рқылы m m екі түзу берілген. Бұл түзулердің бғыттуышы векторлры m m. Екі түзудің прллель болу белгісі: m m. Екі түзудің перпендикуляр болу белгісі: m m. Екі түзудің рсындғы бұрыш 7

18 cos m m m m формулсы рқылы нықтлды. Түзу мен жзықтықтың өзр орнлсуы. m түзуі және A B C D жзықтығы берілсін. m - түзудің бғыттуышы A B C -жзықтықтың нормль векторы. Егер мен өзр перпендикуляр болс онд түзу жзықтығын прллель болды л бұл векторлр прллель болс онд түзу жзықтыққ перпндикуляр болды. Сондықтн Түзу мен жзықтықтың прллель болу белгісі: A Bm C. Түзудің жзықтыққ перпендикуляр болу белгісі: Түзу мен жзықтықтың рсындғы бұрыш: A B C m. формулсы бойынш нықтлды. Сызықтық лгебр элементтері -ретті нықтуышы және оның қсиеттері: -ден -ге дейінгі нтурл сндрдың кез келген орнлсуы лмстыру деп тлды. нтурл сннн! лмстыру қуруғ болды. Егер лмстыруд үлкен сн кіші снның лдынд тұрс онд бұл сндр инверсия (ретсіздік) қ±рйды. Егер j j j лмстыру болс онд осы лмстырудғы инверсия сны j j j деп белгіленеді. Егер инверсия сны жұп болс лмстыру жұп л тқ болс тқ деп тлды. Анықтм - ретті нықтуыш деп j j j - j j қосындыны йтмыз және оны былй белгілейміз j 8 j j j - j j j ()

19 Мұндғы қосу белгісі сндрынн құрлғн брлық j j j лмстырулры бойынш лынды демек нықтуышт! қосылғыш бр олрдың жртысы «+» жртысы «-» тңбсымен лынды. Анықтуышты белгілейтін кесте де нықтуыш деп тлды. Бұл кесте тік және жтық жолдрдн тұрды. Кестенің ij элементінің бірінші i индексі -жтық л екінші j индексі тік жолының номері ij - осы жолдрдың қиылысуындғы элемент. Егер нықтуыштың екі жтық (тік) жолының сәйкес элементтері өзр тең болс бұл жолдр тең деп тлды. Егер нықтуыштың екі жтық (тік) жолдры өзр пропорционл элементтерден тұрс демек i k i k i k i k j l j l j l j l теңдігі орындлс бұл жолдр пропорционл деп тлды. Жтық (тік) жолдың α снын көбейтіндісі деп брлық элементтері α снын көбейтілген осы жолды йтмыз. Анықтуыштың жтық жолдрын орнлсу ретін сқтп тік жолдрымен лмстыру нықтуышты трнспонирлеу деп тлды. Трнспонирленген нықтуыш элементінің бірінші индексі тік екіншінің индексі жтық жолының нөмерін көрсетеді. Анықтуыштың қсиеттері: ) Анықтуышты трнспонирлеу оның мәнін өзгертпейді; ) Өзр тең екі жтық (тік) жолы бр нықтуыш нөлге тең болды; ) Егер нықтуыштың қндй д болмсын бір жтық (тік) жолын бір α снын көбейтсе онд осы снғ нықтуышт көбейтіледі; 4) Егер нықтуыштың жтық (тік) жолындғы брлық элементтердің ортқ көбейткіші болс онд бұл көбейткішті нықтуыштың сыртын шығруғ болды; 5) Егер нықтуыштың екі жтық(тік) жолы пропорционл болс онд бұл нықтуыш нөлге тең болды; 6) Егер нықтуыштың k нөмірлі жтық (тік) жолының әрбір элементі екі снның қосындысынн тұрс онд бұл нықтуыш бсқ элементтері өзгерусіз сқтлғн k нөмерлі жтық (тік) жолы бірінші нықтуышт қосылғышының бірінші екінші нықтуышт екінші қосылғышымен лмстырылғн екі нықтуыштың қосындысын тең; 7) Егер нықтуыштың кез келген жтық (тік) жолын бір снғ көбейтіп бсқ бір жтық (тік) жолын қоссқ онд бұл түрлендіру нықтуыштың мәнін өзгертпейді; 8) Егер нықтуыштың екі жтық (тік) жолдры орындрын лмстырс онд нықтуыш бсолют шмсын сқтп тңбсын қрм-қрсы өзгертеді. 9

20 Минорлр мен лгебрлық толықтуыштр: Анықтм Берілген -ретті i i j j ij j i нықтуышының ij элементінің M ij миноры деп осы нықтуыштың i нөмерлі жтық жолы мен j нөмерлі тік жолын сызып тстғннн кейінгі қлғн ретті нықтуышты йтды. Анықтм Δ нықтуышының ij элементінің лгебрлық i j толықтуышы деп - тңбсымен лынғын M ij миноры йтылды д A ij ij деп белгіленеді: Aij - Mij. Егер Δ нықтуышының i нөмерлі жтық ( j нөмерлі тік) жолының ij -ден бсқ элементтері нөлге тең болс онд бұл нықтуыш ге тең: A ij ij - ij A ij () Анықтуыш i нөмерлі жтық жолының элементтері бойынш ia i ia i ia i () қосындысы ретінде өрнектеледі. Анықтуыштың кез келген k нөмерлі жтық ( l нөмерлі тік) жолының элементтері мен осы элементтерге сәйкес бсқ i нөмерлі жтық ( j нөмерлі тік) жолының лгебрлық толықтуыштры көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең: k A i kai k Ai k i. Мтриц және оның рнгі: Анықтм 4 m жтық және тік жолдрдн тұртын m m m

21 кестесі m ретті мтриц деп тлды. Әдетте мтриц бір бс әріппен белгіленеді мыслы М деп. Осы мтрицның кез келген k жтық және k тік жолдрын белгілеп лып осы жолдрдың қиылысуындғы элементтерден олрдың берілген мтрицдғы орнлсу ретін сқтп құрылғн k - ретті нықтуыш k - ретті минор деп тлды ( k mi m. Егер М мтрицсынд нөлге тең емес r ретті минор бр болс л реттері r -ден жоғры брлық минорлр нөлге тең болс онд r сны осы мтрицның рнгі деп тлды және r rg M. rg M деп белгіленеді: Брлық элементтері нөлге тең мтриц нөлдік мтриц деп тлды. Келісім бойынш нөлдік мтрицның рнгі нөлге тең. m ретті сәйкес элементтері өзр тең екі мтриц тең мтрицлр деп тлды. Рнгті есептеу әдістері: ) Көмкерген минорлр әдісі. Берілген мтрицның r -ретті минорының көмкеруі деп осы минор енетін кез келген ( r + ) ретті минорын йтды. Теорем Егер берілген М мтрицсының нөлге тең емес r -ретті миноры бр болс және осы минорды көмкеретін брлық ( r + ) ретті минорлр нөлге тең болс онд бұл мтрицның рнгі r -ге тең: rg M r. ) Рнгті берілген мтрицның элементтерін түрлендіру рқылы есептеу. Бұл әдіс төмендегі теоремлрғ негізделген. ) Жтық жолдрдың орнын лмстыру; ) Кез келген жтық жолын нөлге тең емес снғ көбейту; ) Кез келген жтық жолын осы мтрицның бсқ жтық жолын бір снғ көбейтіп қосу; 4) Бірыңғй нөлден тұртын жолын лып тсту мтрицныњ рнгін өзгертпейді. Бс дигонлы стындғы элементтері нөлге тең мтриц стылы деп тлды. Квдртты мтрицның стылы түрі үшбұрышты деп тлды. Теорем Стылы түрге келтірілген мтрицның рнгі оның бс дигонолындѓы нөлге тең емес элементтерініњ снын тең. Мтрицлр рсындғы млдр: ) Мтрицлрды қосу: Тең ретті

22 A m m m және B m m m мтрицлры берілген. Қысқш бұл мтрицлрды A = ( ij ) m B ij m деп белгілейміз. Мұндғы m -мтрицның жтық -тік жолдрының сны. А және В мтрицлрының қосындысы деп элементтері cij ij ij i m j формуллры бойынш есептелетін C c ij m мтрицны йтмыз. Сонымен C A B ij ij ij ij c ij m m m m ) Мтрицлрды снғ көбейту: A = ( ij ) m мтрицсының α снын көбейтіндісі деп элементтері d i m j ij ij формуллры рқылы нықтлтын ( d ij ) m Сонымен D A ij d ij m m. ) Мтрицны мтрицғ көбейту: m ретті ( ij ) m D = мтрицсын йтмыз. A = және l ретті B = ( jk ) l мтрицлры берілсін. А мтрицсының В мтрицсын көбейтіндісі деп элементтері с ij j ij jk i m k l формуллры бойынш нықтлтын йтмыз. Сонымен m l ретті C = ( c ik ) ml мтрицсын C AB j ij jk ml i k i k i k ml c ik ml. 4) Мтрицны трнспонирлеу: Мтрицның жтық жолдрын орнлсу ретін сқтп тік жолдрымен лмстыру мтрицны трнспонирлеу деп тлды. Егер болс онд A m m m ij m

23 A m m m ij m трнспонирленген мтриц болды. 5) Квдрт мтриц. Жтық жолдр сны тік жолдр снын тең ( m = ) мтриц квдртты деп тлды. A ij квдртты мтрицсы берілген. Егер A A демек ij = ji болс онд А симметриялы мтриц деп тлды. Квдртты А мтрицның нықтуышын A деп белгілейміз. Әлбетте A A. Анықтуышы нөлге тең мтриц ерекше деп тлды. бірлік мтриц деп тлды. E ретті А және В мтрицлры берілсін. Егер В мтрицсы үшін A B B A E (4) теңдігі орындлс онд В мтрицсы А-ғ кері мтриц деп тлды д B A деп белгіленеді. Осы белгі рқылы (4) теңдігі AA A A E т рінде жзылды. Егер А өзгеше мтриц болмс демек A болс онд А-ғ кері бірден-бір мтриц бр болды және кері мтриц формулсы бойынш нықтлды. A A A A A A A A A A A A A. A A A A A A (5) A A A A A A A A A A Сызықты теңдеулер жүйесі: белгісізі бр m теңдеулер жүйесі мын түрде беріледі:

24 . m m m m (6) Мұндғы j - белгісіз шмлр ij -i нөмерлі теңдеудегі j нөмерлі белгісіздің коэффициенті i - i нөмерлі теңдеудің бос мүшесі i m j. (6) теңдеулер жүйесінің коэффициентерінен құрылғн мын мтриц A m m m ij m негізгі мтриц деп тлды л мын мтриц * (7) m m m m A (8) осы жүйенің кеңейтілген мтрицсы делінеді. Егер (6) теңдеулер жүйесінің брлық бос мүшелері нөлге тең болс онд бұл жүйе біртекті деп тлды.. пунктініњ -ші және -ші нықтмлрд тлѓн теңдеулер жүйесінің шешімі үйлесімді үйлесімсіз нықтлғн және нықтлмғн теңдеулер жүйесі турлы ұғымдр өздерінің мғынлрын толық сқтйды. (6) теңдеулер жүйесінің белгісіздері мен бос мүшелерінен X және B мтрицлрын құрып осы жүйені мын мтрицлық теңдеу түрінде жзмыз: A X B. (9) 4

25 белгісізі бр теңдеулер жүйесін шешу әдістері: ) Крмер әдісі: Біртекті емес белгісізді теңдеулер жүйесі берілсін:. () Осы ж йеніњ негізгі мтрицсыныњ ныќтуышы нөлге тең болмсын. Осы нықтуыштың k нөмерлі тік жолының элементтерін () жүйесінің сәйкес бос мүшелерімен лмстырғнд шыққн нықтуышты k деп белгілеік: k k k k k k k k Осы нықтуыштр бойынш () теңдеулер жүйесінің шешімі Крмер формуллры рқылы нықтлды: k k k. ) Гусс әдісі Гусс әдісі мтрицның рнгін өзгертпейтін элементр түрлендірулерге негізделген. Бұл түрлендірулер теңдеулер жүйелерінің эквивленттігін сқтйды. Шешімдері бірдей немесе екеуі де үйлесімсіз болтын теңдеулер жүйелері эквивлентті деп тлды. Гусс әдісінің сұлбсы: Алдымен () теңдеулер жүйесінің кеңейтілген мтрицсы құрлды: m m m m 5

26 Элементр түрлендірулер рқылы бұл мтриц үшбұрышты түрге келтіріледі: * * * * * * * * m () Элементр түрлендірулердің қсиеті бойынш () теңдеулер жүйесі () жүйесіне эквивлентті. () жүйесінің ең соңғы теңдеуінен -ді бір қдм жоғры көтеріліп келесі теңдеуден -ді тбмыз. Осылй тбылғн белгісіздерінің мәндері () жүйесінің шешімі болды. Ескерту: () теңдеулер жүйесіне қойылғн негізгі шрт осы жүйенің нықтлғндығы демек жүйенің нықтуышы болуы. * * * Сондықтн. Бұл шрт мтрицлр әдісінде де сқтлды. ) Мтриц әдісі. () теңдеулер жүйесін мтрицлық түрде жзмыз A X B. (9 теңдеуі) (5) формулсы бойынш А мтрицсын кері A мтрицсын тбмыз. Енді (9) теңдеуін сол жғынн A -ге көбейтіп және A A E екенін ескеріп X A B түрінде (9) теңдеуінің шешімін тбмыз. белгісізі бр m теңдеулер жүйесін зерттеу және үйлесімді болғн жғдйд шешімін тбу әдісі: Кронекер-Кпелли теоремсы. Біртекті емес (6) сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болу үшін осы жүйенің негізгі мтрицсының рнгі оның кеңейтілген мтрицсының рнгіне тең болуы: * rga rga қжетті және жеткілікті. Бұл теорем рқылы жүйенің үйлесімді немесе үйлесімсіз болтыны шешіледі. Жүйе үйлесімді болғн жғдйд төмендегі екі жғдй қрстырылды: * ) rga rga r - белгісіздер сны m. Бұл жғдйд теңдеулер жүйесі үйлесімді және нықтлғн. Сондықтн жүйенің шешімі жоғрыд тлғн үш әдістің біреуі рқылы нықтлды. * ) rga rga r - белгісіздер сны m. Бұл жғдйд теңдеулер жүйесі үйлесімді және нықтлмғн. А мтрицсының кез 6

27 келген r -ретті нөлге тең емес минорын негізгі деп жриялп осы минордың элементтері коэффициенттері болтын r белгісізді негізгі белгісіздер деп лмыз. Мыслы негізгі минор: r r r r rr болс негізгі белгісіздер r болды. Қлғн r r белгісіздер еркін прметрлер рөлін тқрып теңдеулер жүйесі мын түрде жзылды: r r - r r - - r - r r - -. r r rr r r - r r r r. Бұл жүйеден Крмер Гусс мтриц әдістерінің біреуін қолднып r белгісіздерін тбмыз. Белгісіздердің мәні r еркін прметрлерден тәуелді болды. Біртекті теңдеулер жүйесі осығн ұқсс шешіледі. Бұл жүйе әрқшн үйлесімді. Себебі негізгі мтрицғ біріңғй нөлден тұртын тік жолды қосу оның рнгін өзгертпейді. Демек rga rga r. Бұл жүйе үшін де төмендегі екі жғдй қрстырылды: ) Бұл жғдйд біртекті теңдеулер жүйесінің бірден-бір нөлдік () шешімі болды. Бұл шешім йқын деп тлды. ) r. Бұл жғдйд біртекті теңдеулер жүйесінің r прметрден тәуелді шексіз көп шешімі болды. Бұл шешімдер жоғрыд келтірілген сұлб бойынш нықтлды. Бір йнымлы функцияны дифференцилдық есептеу *. Мтемтиклық тлдуғ кіріспе r Нқты сндр жиыны рционл және иррционл сндр жиындрының біріктірілуінен тұрды. Рционл сн деп екі бүтін снның қтнсы ретінде өрнектелетін снды йтды. Бұл сн шекті ондық бөлшек немесе периодты шексіз ондық бөлшек түріне келтіріледі. Иррционл сн периодты емес шексіз ондық бөлшек түрінде өрнектеледі. Егер сндр өсіндегі нүктенің координт бсын дейінгі қшықтығы бірлік кесіндімен (мсштбпен) өлшемдес болс онд бұл нүкте рционл снның өлшемдес болмс иррционл снның бейнесі болды. 7

28 Рционл сндр жиыны Q иррционл сндр жиыны I л нқты сндр жиыны R әріпімен белгіленеді және R Q I болды. Анықтм Элементтері нөмірленген және нөмірлерінің өсу ретімен орнлсқн жиын тізбек деп тлды. Тізбек мын түрде жзылды: () немесе қысқш { }. Егер тізбек элементтері сндр болс онд () сндр тізбегі деп тлды. Біз сндр тізбегін қрстырумен шектелеміз. Анықтм Егер кез келген кішкене оң сны үшін осы сннн тәуелді нтурл N снын теңсіздігі N шртын қнғттндыртын брлық нтурл дер үшін орындлтындй етіп тбуғ болс онд сны () тізбегінің шегі деп тлды д. немесе lim деп белгіленеді. Анықтм Егер () тізбегінің элементтері үшін теңсіздіктері орындлс онд бұл тізбек өспелі теңсіздіктері орындлс кемімейтін теңсіздіктері орындлс кемімелі теңсіздіктері орындлс өспейтін тізбек деп тлды. Осы тлғн тізбектер түрін бірсрынды деп тйды. Сонымен бірсрынды тізбек өспелі кемімейтін кемімелі немесе өспейтін болуы мүмкін. Егер () тізбегі үшін M теңсіздігін қнғттндыртын М сны тбылс онд бұл тізбек шенелген деп тлды. Теорем Егер () тізбегі жоғрыдн (төменнен) шенелген кемімейтін (өспейтін) бірсрынды тізбек болс онд оның қырлы шегі болды. Анықтм 4 Шегі нөлге тең йнымлы шм қырсыз з деп тлды. Егер қырсыз з шм болс онд: ) йнымлы шм; ) lim. Егер қырсыз з шм { } тізбегі ретінде берілсе онд lim болды. Егер lim болс онд қырсыз з шм болды д тізбек элементтері түрінде өрнектеледі. Ақырсыз з шмның қсиеттері ) Ақырсыз з шмлрдың лгебрлық қосындысы қырсыз з шм болды; ) Ақырсыз з { }-нің шенелген { } тізбегіне көбейтіндісі { } қырсыз з шм болды; ) Ақырсыз з шмның тұрқты снғ көбейтіндісі қырсыз з шм болды; 4) Ақырсыз з шмның қырсыз з шмғ көбейтіндісі қырсыз з шм болды; Анықтм 5 Егер кез келген үлкен A сны үшін осы сннн тәуелді N снын A теңсіздігі N теңсіздігін қнғттндыртын брлық нтурл үшін орындлтындй етіп тбуғ болс онд { } қырсыз үлкен шм деп тлды д немесе lim деп белгіленеді. Егер қырсыз з шм болс онд қырсыз үлкен шм болды. Шекке көшу ережелері. Егер егер болс онд ; және онд: ) ; ) ; ) 8

29 Теорем. { } { } және { } тізбектері берілсін. Егер белгілі бір нөмірінен бстп брлық үшін теңсіздігі орындлс және онд { } тізбегінің шегі бр болды және. Бұл теорем тізбек шегі бр болуының бір белгісі. Ақырсыз з шмлрды слыстыру. Ақырсыз з } және } шмлры { { берілсін ). Осы шмлрды слыстыру денеміз ( қтнсының шегін тбу. Бұл қтынс түріндегі нықтлмғндық деп тлды. Анықтм 5 Егер қырсыз { } және { } шмлры үшін: ) lim болс онд { } шмсы -мен слыстырғнд жоғрғы ретті қырсыз з шм деп тлды л шмсы -мен слыстырғнд төменгі ретті қырсыз з шм деп тлды. б) lim A A болс онд мен деп тлды. в) lim болс онд мен тлды. Жиі қолднылтын шектер si lim бірінші тмш шек. (-теорем рқылы дәлелденеді). lim e бір ретті қырсыз з шмлр эквивлентті қырсыз з шмлр деп - екінші тмш шек. (-теорем рқылы дәлелденеді). тізбегі үшін тењсіздігі орындлды. Сондықтн { } жоғрыдн шенелген µспелі тізбек. Демек екінші теорем бойынш. lim шегі бр болды. е снының жуық мәні е 7 болтыны дєлелденген. Бұл сн Непер сны деп тлды. e. Бір йнымлыдн тәуелді функция Егер X йнымлысын белгілі бір ереже бойынш бірмәнді нықтлғн Y сәйкестендірілсе онд йнымлысы тен тәуелді функциясы деп тлды тәуелсіз йнымлы немесе функцияның ргументі деп тлды. Ал Х жиыны функцияның нықтлу облысы У жиыны функцияның өзгеру облысы деп тлды. Мысл у функциясының нықтлу облсы ; л өзгеру облсы ;. 9

30 Функция үш түрлі тәсілмен беріледі: Анлитиклық тәсіл; яғни пен рсындғы бйлныс координттр жүйесінде формул түрінде беріледі. 5 c Мыслы r V т.с.с Мұндѓы rvp йнымлы 5 p шмлр.. Грфиктік тәсіл; яғни пен рсындғы бйлныс координттр жүйесінде функцияның грфигі түрінде беріледі.. Кестелік тәсіл. Тәуелсіз йнымлының нықтлу облысынн лынғн кез келген мәндері мен олрғ сәйкес функцияның мәндері кесте түрінде беріледі. Мыслы тригонометриялық логрифмдік тғы д бсқ функциялр мәндерінің кестелері. Функцияның жиі кездесетін түрлері:. Алгебрлық және трнсценденттік (лгебрлық емес) функциялр. Мыслы - лгебрлық л log 5 5 si rg tg т.б трнсценденттік функциялр. Бір мәнді және көп мәнді функциялр. si 5 бір мәнді л Arg si Argtg көп мәнді функциялр. Кері функция. Берілген функцияғ кері функцияның болу шрты: Егер f () функциясы ; рлығынд бірсрынды және бір мәнді болып осы рлықт с ; d рлығынд бейнеленсе онд кері функция () бр болды және ( c;d) рлығынд бір мәнді жєне бірсрынды функция болды. Мыслы 4 сндр өсінде нықтлғн және осы рлықт өспелі 4 функция. Сондықтн ; рлыѓынд нықтлғн кері функция бір мєнді жєне бірсрынды. Осы функциядѓы ргументі мен функцияныњ әдеттегідей у 4 деп белгілесек бұл функция түрінде жзылды. Демек 4 4 пен - функциялры өзр кері болды. Дәл сол сияқты және log функциялры өзр кері. 4 Күрделі функция. () функциясы ( ;) рлығынд нықтлып өзгеру облсы (с;d) болсын жєне ( с;d) рлығынд f () функциясы нықтлсын. Соңғы теңдіктегі - ті оның мәнімен уыстырып f ( ()) функциясын келеміз. Бұл жң функция ( ;) рлығынд нықтлғн. Осы функцияны функциядн функция лу әдісімен нықтлғн күрделі функция деп тйды. (Функциялр суперпозициясы). Мыслы: деп лып ( ) - күрделі функциясын кұрмыз. 5. Айқындлғн және йқындлмғн функциялр. f () түрінде берілген фуекция йқындлғн деп тлды. Мыслы lcos йқындлғн функциялр. F ( ) түрінде берілген функция йқындылмғн деп тлды мыслы 5 йқындлмғн функциялр. 6. Элементр және элементр емес функциялр. Негізгі элементр функциялрғ: - дәрежелік: ; - көрсеткіштік: ; - тригонометриялық: si cos tg ctg т.б - кері тригонометриялық rcsi rccos rctg rcctg ;

31 - логрифмдік log ( ) функциялр жєне осы функциялрдн лгебрлық оперциялр мен және олрдың суперпозициялры рќылы жслѓн функциялр жтды. Мыслы si l cos т.с.с.- функциялр элементр функциялр тобын енеді. Функцияның шегі. Бір жқты шектер. Функцияның үзіліссіздігі: f () функциясы нүктесінің мнйынд мүмкін сол нүктенің өзінен бсқ нықтлсын. Анықтм Егер кішкене сны үшін осы сннн тәуелді () снын теңсіздігін қнғттндыртын брлық нүктелерінде f () A теңсіздігі орындлтындй етіп тбуғ болс онд А сны f () -тің limf () А нүктесіндегі шегі деп тлды д деп белгілінеді. Атлғн шек f () A түрінде де жзылды. Мыслы lim( 5) 7 екенін дәлелдейік. Кез келген сны үшін ( 5) 7 деп лып болтынын көреміз. Демек. Яғни болс ( 5) 7 болды. Шектер турлы теоремлр және олрды шешу тәсілдері : Теорем lim( ) lim lim. Қосындының шегі шектердің қосындысын тең. Теорем lim( ) lim lim. Көбейтіндінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең. lim Теорем lim lim у. Егер lim у болс онд бµлшектіњ шегі lim лымының шегін бөлімнің шегіне бөлгенге тең. Теорем 4 limc C. Тұрқты шмның шегі сол шмның өзіне тең. Теорем 5 limc C lim. Тұрқты шмны шектің сыртын шығруғ болды. Шектерді есептеуге мыслдр: Мысл Шек стындғы бөлшекті (-)-ге қысқртып lim Ескерту: lim e 4 lim lim 5 lim si шегі нықтлмғндығын л шектері нықтлмғндығын йқындйды. lim e және Анықтм f () функциясының болып -тің -ге ұмтылғндғы A - lim f () A ге тең шегі осы функцияның сол жқты шегі деп тлды д деп белгіленеді л болып -тің -ге ұмтылғндғы A -ге тең шегі функцияның lim f () A оң жқты шегі деп тлды д деп белгіленеді.

32 Егер f () функциясы нүктесінде және осы нүктенің мңйынд нықтлып lim f () lim f () f ( ) теңдігі орындлс онд f () функциясы нүктесінде үзіліссіз болды. Егер осы екі теңдіктің ең кемінде біреуі орындлмс онд үзіліс нүктесі деп тлды. Үзілістің екі түрі бр:. Секірме үзіліс егер А А болып f ( ) A f ( ) A немесе f ( ) A f ( ) немесе нүктесінде f () нықтлмс.. Шексіз үзіліс. A Мысл () f функциясы үшін lim f () lim( ) lim f () lim теңдіктері орындлды демек - секірме үзіліс нүктесі; секіріс -ге тең. у - Сурет.. Функцияның туындысы және дифференцилы. Дифференцилду. f () функциясы белгілі бір рлықт нықтлсын. - осы рлықтың белгіленіп лынғн нүктесі болсын. ге өсімшесін беріп оғн сәйкес функция өсімшесін тбйық: f ( ) f ( ). Функция өсімшесі - тің ргумент өсімшесі - ке қтнсы [ f ( ) f ( ] кесіндісіндегі ортш өзгеру жылдмдығын нықтйды. ) осы функцияның Функцияның нүктесіндегі өзгеру жылдмдығын нықту үшін қтнсының дғы шегін тбуымыз керек. Егер lim бр болс онд бұл

33 шек функцияның нүктесіндегі өзгеру жылдмдығын нықтйды. Көрсетілген тәсілмен тбылғн шекті берілген f () функциясының нүктесіндегі туындысы деп тйды д d немесе белгілейді. Туындыны есептеу млы d дифференцилду деп тлды л нүктесінде туындысы бр функцияны осы нүктеде дифференцилднды деп тйды. Мысл осы лгоритм бойынш функциясының туындысын тбйық. Осы мқстпен -ке өсемшесін беріп функцияның өсімшесін тбмыз ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) Осы өсімшені - ке бөліп d ( ) теңдігіне келеміз. Енді -ті d нөлге ұмтылдырып берілген функцияның туындысын тбмыз:. Туындылр кестесі. (C). (). ( ) 4. ( ) 5. (si ) cos 6. (cos ) si 7. (tg) cos 8. (ctg) si 9. (log ) l Дифференцилду ережелері:. (l ) ( ) l. ( e ) e. (rcsi ). (rccos ) 4. (rctg) 5. (rcctg). ( u v) u v. Қосындының (йырмның) туындысы туындылрдың қосындысын (йырмсын) тең.. (uv) u v v u. Ережені йтып шық ждыңд сқт.. ( Cu) Cu. Тұрқты шмны туындының сыртын шығруғ болды. u u v v u 4.. Ережені йтып шық ждыңд сқт. v v Күрделі функцияны дифференцилду ережесі: f[ ()] күрделі функциясы берілсін. Енді () деп лсқ берілген функция f() түрінде жзылды. Бұл функциялр өз нықтлу облыстрынд дифференцилднс онд туындысы d d d немесе ; формулсы бойынш есептеледі. d d d

34 Мыслы күрделі l rccos функцияның туындысын тбу үшін берілген функцияны үш функцияның суперпозициясы деп қрстырмыз. l rccos t л t. Сондықтн ереже бойынш (l ) (rccos t) t () t rccos t 4 rccos 4. Күрделі көрсеткіштік функцияның туындысы: v u күрделі көрсеткіштік функция деп тлды мұндғы u u() v v() Белгілі v v ереже бойынш u l u v vu u si Мыслы функцияның туындысы si si si si Si Si l (si ) si ( ) l cos si Cos. Прметірлік түрде берілген функцияны дифференцилду: () функциясы (t) (t) түрінде берілсін. Мұндй функцияның туындысы. (t) d яғни t формлсы бойынш есептеледі. (t) d t cost si t Мыслы болсын (si t) cos t тбйық. ctgt; ( cos t) si t Функцияның дифференцилы және оның геометриялық мғынсы: f () функциясының дифференцилы деп d f () немесе d f () d өрнегін тйды. Функция дифференцилы оның грфигіне ( f ()) нүктесінде жүргізілген жнм ординтсының ке сәйкес өсімшесі. (келісім бойынш d деп лынды). Мыслы 5; Функцияның дифференцилын тбйық. Аныќтм бойынш d f ()d ( 5)d. Функцияның туындысы осы функция грфигінің ( f ()) нүктесінде жүргізілген жнмның O өсінің оң бғытымен жсйтын бұрыштың тнгенсіне тең бсқш йтқнд осы жнмның бұрыштық коэффициенті: f () tg. Жоғры ретті туындылр мен дифференцилдр: Функция туындысы берілген рлықт үзіліссіз және дифференцилднтын болс онд екінші ретті туынды деп бірінші ретті туындыныњ туындысын йтмыз д f ( ) белгілейміз. Демек f " () (f. ()) lim f 4

35 d d f () Б±л туынды деп те белгіленеді. Жлпы f () функциясының d d -ші ретті туындысы деп (п-)-ретті туындыныњ туындысын йтмыз: ( ) ( ) f () (f ()) Мыслы функциясын біртіндеп дифференцилдп оныњ тµмендегі туындылрын тбмыз: l ; " l ; ( Сол сияқты екінші ретті диференцил т.с.с. d d( d) d " -ші ретті дифференцил: d () d( ( ) d) () d.4 Дифференцилдық есептеудің функцияны зерттеуге қолднылуы Функцияны өзінің туындылры рқылы зерттеу төмендегі теоремлр рқылы орындлды. Ферм теоремсы (П.Ферм Фрнцуз мтемтигі). Егер f () функциясы интервлынд үзіліссіз болып осы интервлдың ішкі нүктесінде өзінің ең үлкен (ең кіші) мәнін қбылдс және осы нүктеде f ( ) туындысы бр болс онд f ( ) болды. Ролль теоремсы (М.Ролль Фрнцуз мтемтигі). Егер f () функциясы сегментінде үзіліссіз болып осы сегменттің брлық ішкі нүктелерінде дифференцилднс және f () f ( ) теңдігі орындлс онд интервлынд осы функция туындысы нөлге тең болтын ең кемінде бір нүктесі тбылды: f ( ). Лгрнж теоремсы (Ж.Лгрнж Фрнцуз мтемтигі). Егер f () функциясы сегментінде үзіліссіз болып осы сегменттің брлық ішкі нүктелерінде дифференцилднс онд интервлынд f ( ) f () f ( ) теңдігі орындлтын ең кемінде бір нүктесі бр болды. Коши теоремсы (О.Коши Фрнцуз мтемтигі). Егер f () және () функциялры сегментінде үзіліссіз болып осы сегменттің брлық ішкі нүктелерінде дифференцилднс және осы нүктелерде ( ) болс онд интервлынд f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) теңдігі орындлтын ең кемінде бір нүктесі бр болды. Анықтм Егер рлығының кез келген нүктелерінде f () f ( ) болс онд f () осы рлықт өспелі деп тлды л f () f ( ) болс кемімелі делінеді. Анықтм рлығынд өспелі немесе кемімелі функция бірсрынды деп тлды. 5

36 Теорем ( Функцияның бірсрынды болуының қжетті белгісі) Егер рлығынд f () өспелі болс онд осы рлықт оның туындысы нөлден кіші болмйды: f () ; Егер рлығынд f () кемімелі болс онд осы рлықт оның туындысы нөлден үлкен болмйды: f () ; Егер рлығынд f () өзгермесе демек тұрқты болс онд осы рлықт оның туындысы нөлге тепе-тең болды: f (). Теорем (Функциясының бірсрынды болуының жеткілікті белгісі) Егер рлығынд f () болс онд осы рлықт f () өспелі болды; Егер рлығынд f () болс онд осы рлықт f () кемімелі болды; Егер рлығынд f () болс онд осы рлықт f () тұрқты болды. Анықтм Егер нүктесінің қндй д болмсын бір мңйының брлық нүктелерінде f () f ( ) теңсіздігі орындлс онд осы функцияның мксимум нүктесі деп тлды л f () f ( ) теңсіздігі орындлс минимум нүктесі делінеді. Функцияның мксимум және минимум нүктелері осы функцияның экстремум нүктелері деп тлды. Осы нүктелерде функция өзінің экстремл (мксимль немесе минимль) мәндерін қбылдйды. Теорем (экстремумның қжетті белгісі). Егер f () функциясы нүктесінде экстеремл мәнін қбылдс онд осы нүктеде f () -тің туындысы нөлге тең болды ( f () ) немесе бұл туынды болмйды f ( ). Теорем (экстремумның бірінші жеткілікті белгісі). Егер f () -тің экстремл нүктесі болып солдн оңғ қрй осы нүкте рқылы өткенде f () тңбсын + тен - уыстырс онд бұл нүкте f () -тің мксимл нүктесі л - тен + ке уыстырс минимл нүктесі болды. Теорем (экстремумның екінші жеткілікті белгісі) f ( ) және f () болс онд f () болс -минимум нүктесі л f () болс мксимум нүктесі болды. Ескерту: Экстремумның екінші жеткілікті белгісі тек қн өзінің экстремл нүктесінде екі рет үзіліссіз дифференцилднтын функция үшін қолднылды. Анықтм 4 Өзінің кез келген қиюшысымен тек қн екі нүктеде қиылыстын доғ дөңес деп тлды. Дөңес доғ өзінің кез келген нүктесіндегі жнмның бір жғынд орнлсды. (Әрине мұндй жнмлр бр болс). Келісім бойынш дөңесі жоғры қрй бғыттлғн доғ дөңес деп л төмен қрй бғыттлғн доғ ойыс деп тлды. Анықтм 5 Қисықтың дөңес доғсын оның ойыс доғсынн жыртып тұрғн нүкте осы қисықтың ирең нүктесі деп тлды. Теорем (дөңестіктің жеткілікті белгісі). Егер f () функциясының екінші ретті туындысы f () белгілі бір рлықт тек қн теріс мән қбылдс онд f () сызығының осы рлыққ сәйкес доғсы дөңес болды л тек қн оң мән қбылдс ойыс болды. 6

37 Теорем (ирең нүктенің қжетті белгісі). Егер f () сызығының ирең нүктесінің бсцисссы болс онд f () немесе бұл нүктеде f ( ) бр болмйды. Теорем (ирең нүктенің жеткілікті белгісі). Егер f () сызығының ирең нүктесі болып нүктесі рқылы солдн оңғ қрй өткенде f () тңбсын - тен + ке уыстырс онд сызықтың дөңестігі ойыстыққ уысды л + тен - ке уыстырс ойыстық дөңестікке уысды. Анықтм 6 Егер L сызығы нүктелерінің Т түзуіне дейінгі қшықтығы нөлге ұмтылс онд Т түзуі L сызығының ссимптотсы деп тлды. Асимптотны тбу ережелері: Егер im f () болс онд түзуі f () сызығының вертикль сиптотсы болды; Егер im f ( ) болс онд түзуі f () функциясының горизонтль симптотсы болды. f () Егер im және im f ( ) болс онд түзуі f () сызығының көлбеу симптотсы болды. Функцияны зерттеудің жлпы сұлбсы: f () функциясы төмендегі сұлб бойынш зерттеледі: ) Функцияның нықтлу облысы; ә) Функцияның үзіліссіздік интервлдры мен үзілісті нүктелері; б) Үзілісті нүктенің мңйынд функцияның өзгеру зңдылығы; вертикль симптот; г) Функцияның грфигінің координт µстерімен қиылысу нүктелері; д) Функцияның жұптығы немесе тқтығы. е) Функцияның периодтылығы. Функцияның монотондық интервлдры; экстремум нүктелері және экстремл мәндері. Функцияның дөңестік және ойыстық интервлдры; ирең нүктелері. 4 Функцияның шексіздікте өзгеру зңдылығы. Горизонтль вертикль және көлбеу симптотлры. Функцияны зерттеу оның грфигін сызумен яқтлды. 7