חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

Transcript

1 חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק. כל אחד מהם, בתורו, בוחר את אחד המספרים שappleותרו בשורה ומסיר אותו. המשחק appleמשך עד שלבסוף appleותרים שappleי מספרים בלבד. אם הם זרים זה לזה השחקן הראשון מappleצח. אם יש להם מחלק משותף גדול מ- השחקן השappleי מappleצח. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. דוגמא למשחק: הקלט הוא = N. M =,7 התכappleית תבחר להיות השחקן הפותח, ותוריד את המספר 9. המשתמש יוריד, למשל, את 8. התכappleית תוריד את, ותותיר את 7 ו- 0, הזרים זה לזה, ותappleצח.

2 מבappleי appleתוappleים ויעילות אלגוריתמים (8..05). האלגוריתם של דייקסטרה (Dijkstra) למציאת מסלול קצר ביותר האלגוריתם של דייקסטרה פותר את הבעיה של מציאת מסלולים קצרים ביותר ממקור יחיד עבור גרף ממושקל w(u,v) דורשים שיתקיים > 0 שבו כל משקלות הקשתות הם אי-שליליים. כלומר, אappleחappleו Gבמקרה = (V,E).( u, v) עבור כל קשת E האלגוריתם מappleהל קבוצה S של קודקודים אשר עבורם appleקבעו כבר סופית משקלי המסלולים הקצרים ביותר מן u V המקור s. האלגוריתם בוחר בכל איטרציה את הקודקוד S בעל האומדן המיappleימלי של מסלול קצר ביותר, מכappleיס אתuל- S, ומעדכן את כל הקשתות היוצאות מ- u. האלגוריתם ישתמש בתור קדימויות Q. DIJKSTRA(G,s) for each vertex v V do v.distace 3 v.previous NULL 4 s.distace 0 5 S 6 Q V 7 while Q 8 do u EXTRACT-MIN(Q) {u 9 S S } 0 for each vertex v adjacet to u ad ot i S do if v.distace > u.distace + w(u,v) the v.distace u.distace + w(u,v) 3 v.previous u

3 appleappleתח את סיבוכיות האלגוריתם: הזמן לביצוע האתחול (שורות -5) הוא.Θ(V) אם תור הקדימויותQממומש בתור ערימת מיappleימום heap),(miimum אז שורה 6 לוקחת גם היא.Θ(V) כל פעולת EXTRACT-MINמתבצעת בזמן.Θ(logV) מכיוון שמתבצעות V פעולות כאלה, appleקבל.θ(vlogv) עדכון השדה distaceבשורה דורש לשappleות את מיקומו של הקודקוד בתור Q, וזה ייקח.Θ(logV) מתבצעות לכל היותר E פעולות כאלה, בזמן כולל של.Θ(ElogV) בסך הכל קיבלappleו,Θ((V+E)logV) שהוא.Θ(ElogV) 3

4 .פתרון משוואות appleסיגה ליappleאריות הומוגappleיות ראיappleו כיצד פותרים משוואות appleסיגה ליappleאריות הומוגappleיות. כלומר, משוואות appleסיגה מהצורה: f( ) = c f( ) + c f( ) + c3 f( 3) ck f( k) בכל הדוגמאות שראיappleו עד כה, המשוואה האופייappleית המתקבלת הייתה משוואה ריבועית. כעת, appleראה משוואה ליappleארית הומוגappleית שהמשוואה המאופייappleת שלה היא משוואה ממעלה שלישית. T() = 6T(-) T(-) + 6T(-3) הרקורסיבית עם כלל הappleסיגה: הappleוסחה appleתוappleה ההתחלה = T(). T(0) = 0, T() =, מצאו ביטוי מפורש עבור T().. appleתוappleים תappleאיי בכל appleוסחאות הappleסיגה הליappleאריות ההומוגappleיות שפתרappleו עד כה, פתרוappleותיה של המשוואה האופייappleית היו שוappleים זה מזה. מה עושים כאשר פתרון מסוים aשל המשוואה האופייappleית חוזר על עצמו mפעמים? מתאימים לו את m appleדגים. a, a, a,..., זאת ב הבאה. m a הביטויים השוappleים:. a 0 מצאו ביטוי = 0, a = a = 4a 4a appleתוappleה סדרת הappleסיגה הבאה, ששappleי איבריה הראשוappleים הם a מפורש עבור האיבר הכללי בסדרה. תשובה. α = 4α 4α, a i וappleקבל: i appleציב αבמקום.α. α 4α + 4= 0 =α =. α = 4α 4 appleצמצם ב- α, וappleקבל: appleעביר אגפים, וappleקבל את המשוואה האופייappleית: appleפתור את המשוואה הזו לפי appleוסחת השורשים, וappleקבל: appleשים לב, כי להבדיל מהמצב בשאלות קודמות, כאן למשוואה האופייappleית יש שappleי פתרוappleות שווים. במקרה כזה, a צורת הפתרון היא שוappleה: A = A + appleaשתמש בתappleאי ההתחלה.,A כדי לחשב את ערכם של הקבועים 0= A = 0 appleציב וappleקבל:. A = 0, A = = A + A = appleציב וappleקבל: קיבלappleו מערכת של שתי משוואות בשappleי appleעלמים, שפתרוappleה:. a = ואז הביטוי המפורש של appleוסחת הappleסיגה הוא:. a = לחלופין:. a = Θ( מבחיappleה אסימפטוטית: ) 4

5 appleתוappleה הappleוסחה הרקורסיבית עם כלל הappleסיגה: 6T(-3) appleתוappleים. T() = T(-) + 5T(-) שלושת תappleאיי ההתחלה:, T(i) = i לכלi< >.0 מצאו ביטוי מפורש עבור T(). appleתוappleה הappleוסחה הרקורסיבית עם כלל הappleסיגה: 9T(-3) appleתוappleים. T() = 5T(-) 3T(-) תappleאיי ההתחלה. T() מצאו ביטוי מפורש עבור. T(0) = 6, T() = -8, T() = - appleתוappleה הappleוסחה הרקורסיבית עם כלל הappleסיגה: 4T(-3) appleתוappleים. T() = 5T(-) 8T(-) + שלושת תappleאיי ההתחלה:, T(i) = i לכלi< >.0 מצאו ביטוי מפורש עבור T(). מסמappleים ב- wאת מספר המילים השוappleות באורך, המורכבות רק מהאותיות b,aאו c, כך שמתקיימים לגביהן שappleי התappleאים הבאים: (). המילה appleפתחת ומסתיימת באות a; (). שתי אותיות סמוכות במילה שוappleות זו מזו.. = 0,,, 3, 4, 5 א. חשבו את ערכי w עבור.w ב. w- = w-+ הסבירו מדוע מתקיימת appleוסחת הappleסיגה ג. מצאו פתרון מפורש לappleוסחת הappleסיגה הליappleארית ההומוגappleית מסעיף ב', תוך שימוש בתappleאי ההתחלה שחושבו בסעיף א'. 5