מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5"

Ζωή Μπουκουβαλαίοι
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון ι: ותוך שימוש בטרמינולוגיה של היחסים: פונקציה היא יחס מלא וחד ערכי. נאמר שפונקציה היא חלקית מעל A אם תחומה, f} {x A y. x, y מוכל ב A ואינו בהכרח שווה לו. הגדרה 1.2 התמונה של f A B מוגדת כך: (x)}.imf = {y B x A.y = f ניתן אם כך לומר, כי טווח של פונקציה f היא כל קבוצה המכילה את תמונתה של f. כללי β, η כלל בטא: בהנתן פונקציה המוגדרת באמצעות λx A.t ובהנתן a, A מתקיים (λx A.t) (a) = t (a/x) ( x λx. כאשר a חופשי להצבה ב t במקום.x לדוגמא, = 3 2 (3) 2) ( λx R.x, אך 1) + (y xydy) y+1. למעשה, (y + 1) ydy ( λx. x ) ( xydy (y + 1) = λx. x ) xzdz (y + 1) = y+1 (y + 1) zdz (באיזה כלל השתמשנו?). כלל אטא: אם t ביטוי עבור פונקציות, ו x אינו חופשי ב t, אזי.λx.t (x) = t לדוגמא: λx.r. ( λy R.y 2) (x) = λy R.y 2 בדוגמא הקודמת, כיצד היינו יכולים לקבל את השוויון ללא שימוש בכלל אטא? נשתמש בכללי בטא ואלפא: λx R. ( λy R.y 2) (x) = λx R.x 2 = λy R.y 2 דוגמאות לפונקציות:,a R למעשה לכל.a עם משתנה חופשי R ל R הינה ביטוי עבור פונקציה מ f = λx R.ax 2.R הינה פונקציה מ Rל f = λx R.ax 2.g ( 2, 3 ) = 12 דוגמא להצבה:.R ל R R הינה פונקציה מ g = λx R, a R.ax 2 1

2 2 h = λa R.λx R.ax הינה פונקציה מ R לפונקציות מ R ל.R דוגמא להצבה: 2 h (4) = λa R.16a (h (4)) (2) = 32 } N q = λx R. { ax 2 a הינה פונקציה מ R ל (R).P דוגמא להצבה: ( ) q 2 = {, 2, 4,...} = N even x t = λa P (N).ιa.a A x A.a הינה פונקציה מ (N) P ל N (מדוע?). דוגמא להצבה:.t ( N odd ) = 1 Z s = λf R R.Imf היא פונקציה מ R R ל (R) P (או, לחילופין, ל (Z).(P דוגמא להצבה: s ( λx R.x 2) = {x R x } Z = {x Z x } 2 תמונה של קבוצה, וקבוצת מקורות הגדרה 2.1 תהא.f A B עבור קבוצה U A נסמן ב U} f [U] = {f (x) x התמונה של f תחת U. הגדרה 2.2 תהא.f A B עבור קבוצה,V B המקור של V תחת f A B הינו = ] [V f 1.{a A f (a) V } A = {1, 2} B = {1, 2, 3} U = {1} תרגיל 3 תהא V B,f : A B ו.U A הוכיחו או הפריכו:.f 1 [f [U]] = U.1.U f 1 [f [U]].2.f [ f 1 [V ] ] = V.3 1. הטענה לא נכונה. עבור: אבל, [{1}] 1 f 2 כי = 1 (2) f ולכן אז, {1} = [U].f נגדיר f כך ש = 1 (2) f.f (1) =.f 1 [f [U]] U f 1 [f [U]] = {a A f (a) f [U]} 2. הטענה נכונה. יהא x. U מתקיים: אזי, [U]] x f 1 [f אם"ם U},f (x) f [U] = {f (u) u ומכיוון ש x U הטענה מתקיימת. 2

3 3. הטענה לא נכונה. עבור: A = {4} B = {1, 2, 3} V = {1, 2} נגדיר f כך ש = 1 (4).f אזי, {4} = ] [V,f 1 ו.f [ f 1 [V ] ] = {1} V הוכיחו כי הטענה f [ f 1 [V ] ] V כן נכונה. 3 הרכבת פונקציות. פו' חח"ע על ושקילות. הגדרה 3.1 נגדיר את המושגים הבאים:.f (a) = b כך ש a A קיים b B אם לכל B היא על f A B.1.a 1 = a 2 (f (a 1 ) = f (a 2 )),a 1, a 2 A היא חח"ע אם לכל f A B.2 3. נגיד שפונקציה f היא פונקצית שקילות (או, הפיכה) אם היא חח"ע ועל. בהרצאה ראינו ש f A B היא פונקצית שקילות אם ורק אם קיימת פונקציה 1 f כך ש f 1 f = id A ו.f f 1 = id B אם קיימת פונקצית כזו, היא יחידה..4 עבור f A B ו g B C נגדיר את ההרכבה (x)).g f = λx A.g (f תרגיל 1 תהינה A, B, C קבוצות לא ריקות,.g B C,f A B הוכיחו או הפריכו:.1 אם f, g על אזי g f על..2 אם g f חח"ע אזי f חח"ע. 3. אם g f חח"ע אזי f על או g חח"ע. 1. הטענה נכונה. שימו לב כי g. f : A C יהא c. C מכיוון ש g היא על קיים איבר b B כך ש.g (b) = c מכיוון ש f היא על, קיים איבר a A כך ש.f (a) = b מכאן, ש (g f) (a) = g (f (a)) = c וסיימנו..2 הטענה נכונה. יהיו a 1, a 2 A כך ש ) 2.f (a 1 ) = f (a נפעיל g על שני הצדדים ונקבל = )) 1 g (f (a )) 2,g (f (a כלומר ) 2.(g f) (a 1 ) = (g f) (a מכך ש g f חח"ע, קיבלנו כי a 1 = a 2 וסיימנו. A = {1, 2} B = {3, 4, 5} C = {6, 7} 3. הטענה לא נכונה. נבחר נגדיר f כך ש = 3 (1) f ו = 4 (2).f נגדיר את g כך ש = 6 (3) g ו = 7 (5) g.g (4) = אזי = 6 (1) f) (g ו = 7 (2) f) g f.(g היא חח"ע אך f אינה על (בגלל האיבר (5 ו g אינה חח"ע (בגלל האיברים 3 ו 4). תרגיל 2 הוכיח כי הפונקציות הבאות הן פונקציות שקילות:.f = λx R. (2x + 8) 3.1.E עבור קבוצת "עולם דיון" כלשהי f = λa P (E).χ (E) A.2 3

4 נפתור את התרגיל באמצעות מציאת פונקציה הפכית. נסו להוכיח לבד ע"י הוכחת חח"ע ועל. f = λx R. (2x + 8) 3 g = λy R. 3 y נקח את: ונוכיח כי היא הפונקציה ההפכית שלה. ליתר דיוק נראה רק כי.g f = id R הכיוון f g = id R בדומה. אם כך: g f = λx R.g (f (x)) = λx R.g ((2x + 8) 3) 3 (2x + 8) 3 8 = λx R. 2 = λx R.x = id R שימו לב לשימוש בכלל β ושהנ"ל גם מוכיח כי f ו g הן פונקציות שקילות. היכן ההוכחה היתה נכשלת לו במקום החזקה השלישית היתה חזקה רביעית? χ (E) A = λx E. { 1 x A x / A 2. נזכיר כי אם כך, התחום של f הינו (E) P והטווח הוא {1,} E. כעת, נוכיח כי g = λh E {, 1}. {x E h (x) = 1} היא הפונקציה ההפכית שלה. גם כאן, נראה רק כי P(E) g f = id (נסו את הכיוון השני לבד). ואכן: g f = λa P (A).g (f (A)) ( ) = λa P (A).g = λa P (A). χ (E) A { x E χ (E) A (x) = 1 } = λa P (A). {x E x A} = λa P (A). {x x E x A} = λa P (A). {x x A} = λa P (A).A = id P(E) ודאו כי אתם מבינים את הנימוק לכל מעבר. f U כך ש עבור f : A B ו,U A נגדיר את : U B הגדרה 3.2 נגדיר צמצום של פונקציה..x U לכל f U (x) = f (x) 4

5 תרגיל 3 תהא f X Y ונגדיר [A].F = λa P (X).f.1 מצא את [ ].f.2 הוכיחו כי.f [X] Y 3. הוכיחו כי אם f חח"ע אז גם F חח"ע..4 הוכיחו כי אם f על Y אז F על ) (Y.P.1 לפי ההגדרה, = } a.f [ ] = {f (a).2 מתקיים כי: X}.f [X] = {f (a) a לכל a X מתקיים f (a) Y ולכן.f [X] Y שימו לב ש.Imf היא בדיוק f [X].3 יהיו (X) A, B P כך ש (B).F (A) = F נניח בשלילה כי.A B כלומר, קיים x A\B או שקיים x. B\A נניח כי קיים x A\B (המקרה השני דומה). אזי, מכך ש x A נובע ש (A).f (x) F נניח בשלילה ש (B).f (x) F אזי, קיים y x כך ש (x),f (y) = f וזו בסתירה לחח"ע של.f מכאן, (B),F (A) F בסתירה..4 יהא ) (Y.B P יש להוכיח כי קיים (X) A P כך ש.F (A) = B נגדיר: A = f 1 [B] = {a X f (a) B} נראה שהקבוצה אכן מקיימת את הדרוש. מצד אחד, ברור ש F. (A) B כעת נוכיח (A) B. F יהא,b = f (a) F (A) ו a A מכאן, ש.f (a) = b כך ש a X היא על ולכן קיים f.b B Y כנדרש. H ((B C) A) ((B A) (C A)) H = λh (B C) A. h B, h C תרגיל 4 הינה,A,B C קבוצות לא ריקות. נגדיר: באופן הבא: 1. הוכיחו/הפריכו: H חח"ע..2 מצא תנאי מספיק והכרחי לכך ש H היא על A).(B A) (C.1 הטענה נכונה. תהינה.h 1, h 2 (B C) A מתקיים: H (h 1 ) = H (h 2 ) h 1 B, h 1 C = h 2 B, h 2 C (h 1 B = h 2 B ) (h 1 C = h 2 C ) ( x B.h 1 (x) = h 2 (x)) ( x C.h 1 (x) = h 2 (x)) x B C.h 1 (x) = h 2 (x) h 1 = h 2 5

6 .2 נוכיח כי H היא על A) (B A) (C אם"ם = C B או = 1. A (א) נניח = C B או = 1. A i. אם = 1 A, אז ב (A B) (A C) יש איבר אחד, הזוג הסדור של שתי פונקציות קבועות, ולכן H בהכרח על. h (B C) A יש למצוא. h 1, h 2 (B A) (C A) יהא,B C = אם.ii כך ש 2.H (h) = h 1, h נגדיר: { h 1 (x) x B h = λx B C. h 2 (x) x C הפונקציה מוגדרת היטב, שכן = C B. מתקיים: H (h) = h B, h C = h 1, h 2 ולכן H על. (ב) נניח כי H על. נניח בשלילה כי C B וגם 2. A יהיו x B C ו a, b A כך ש a b (הנ"ל מובטח מהנחת השלילה). יהיו A) h 1, h 2 (B A) (C כך ש h 1 = λx B.a h 2 = λx C.b h (x) = כי מצד אחד, H (h) = h B, h C לא קיימת h (B C) A כך ש 2 h 1, h =,h (x) = h C בסתירה לכך ש h היא (x) = h 2 (x) = b ומצד שני h B (x) = h 1 (x) = a פונקציה. 6

Σχετικά έγγραφα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה