МАЗМҰНЫ. 13 ерекше (жеке) жағдайда орналасуы 2.6 Түзудегі нүкте. Түзудің ізі Жалпы жағдайда орналасқан түзу кесіндісінің сызбада

Transcript

1 МАЗМҰНЫ КІРІСПЕ 5 1 Проекцияның құрылуы Центрлік проекциялар Параллель проекциялар Монж тәсілі 7 2 Нүкте және түзу Нүкте π 1 π 2 екі проекция жазықтықтары жүйесінде Нүкте π 1 π 2 π 3 үш проекция жазықтықтары жүйесінде Кеңістіктің ширектері мен октанталарындағы нүкте Түзу сызық кесіндісінің проекциялары Проекция жазықтықтарына қатысты түзу сызықтың 13 ерекше (жеке) жағдайда орналасуы 2.6 Түзудегі нүкте. Түзудің ізі Жалпы жағдайда орналасқан түзу кесіндісінің сызбада 21 нақты шамасын салу және түзудің проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтау 2.8 Екі түзудің өзара орналасуы 22 3 Сызбада жазыќтыќтыњ берілу тєсілдері Жазыќтыќтыњ кењістіктегі орны Жазыќтыќтыњ проекция жазыќтыќтарына байланысты 25 орналасуы 3.3 Жазыќтыќтыњ іздері Жазыќтыќтаѓы түзу мен нүкте 27 4 Проекция жазықтықтарын алмастыру тәсілдері Тәсілдің негіздері Айналдыру тәсілі Жазық-параллель жылжыту тәсілі 31 5 Беттер Жақты беттер. Көпжақтар Айналу беттері Түзусызықты айналу беттері Түзусызықтықты емес айналу беттері 39

2 1 ПРОЕКЦИЯНЫҢ ҚҰРЫЛУЫ Сызба геометриясы инженерлік қызмет аясында сызба, кеңістіктік модельдер, көрнекі кескіндер, схемалар және тағы да басқа графикалық модельдерді белгілі бір ережелерге сәйкес орындауды қарастырады Центрлік проекциялар Параллель проекциялар Монж тәсілі 1.1 Центрлік проекциялар Центрлік проекция алу үшін проекция жазықтығы және проекция центрі ретінде - ол жазықтыққа тиісті болмайтын нүкте берілуі керек (1 сурет). Қандай да бір А нүктесін алып, S және А нүктелері арқылы жазықтықпен қиылысқанға дейін түзу сызық жүргізу арқылы А' нүктесін аламыз. Дәл сол секілді В және С нүктелерін де проекциялаймыз. А', В', С' нүктелері - А, В, С нүктелерінің жазықтығындағы центрлік проекциялары болып табылады. 1 сурет Нүктелердің центрлік проекциялары Егер қандай да бір Д нүктесі үшін (1сурет) проекциялаушы түзу проекция жазықтығына параллель болса, онда олар шексіздікте қиылысады деп есептеу қабылданған (Д ). 1.2 Параллель проекциялар Проекциялаушы түзулердің барлығы өзара параллель деп есептейміз. Оларды жүргізу үшін қандай да бір бағыт берілуі тиіс (2 сурет). Осылайша салынған проекциялар параллель проекциялар деп аталады. Параллель проекциялауды проекция центрі өте алыс орналасқан центрлік проекцияның бір түрі деп қарастыруға болады.

3 Нүктенің параллель проекциясы дегеніміз берілген бағытқа сәйкес жүргізілген проекциялаушы түзудің проекция жазықтығымен қиылысқан нүктесі. 2 сурет Нүктелердің параллель проекциялары Қандай да бір түзудің параллель проекциясын салу үшін, оның бірнеше нүктелерінің проекцияларын салып, олар арқылы түзу проекциясын жүргізуге болады. 1.3 Монж тәсілі Гаспар Монж ( ) тарихқа есімі ірі француз геометрі ретінде енген, инженер, жж. Төңкеріс кезіндегі белгілі қоғамдық және мемлекеттік қайраткер. Өз тәсілі баяндалған еңбегінің, әскери маңызы бар сызбаларды орындау үшін тәжірибеде қолданудың үлкен мәні болғандықтан Франция өкіметі елден тысқары шығаруға тыйым салғандықтан, жарыққа шығару мүмкіндігін бірден ала алмаған. Тек 19 ғасырдың аяғында ғана жариялау мүмкін болған. Монж баяндаған тәсіл параллель проекциялау тәсілі (бұл жерде, екі өзара перпендикуляр проекция жазықтықтарына тікбұрышты проекциялары алынады) - жазықтықтағы заттар кескіндерінің көркемдігін, дәлдігін, өлшеу ыңғайлылығын қамтмасыз ете отырып, техникалық сызбаларды салудың негізгі тәсілі болып табылады. Тікбұрыш деген сөз ортогоналды деген сөзбен алмастырылады

4 2 НҮКТЕ ЖӘНЕ ТҮЗУ Жоғарыда айтылғандай нүкте проекциясы оның кеңістіктегі орнын анықтай алмайды, оны анықтау үшін қосымша шарттар қажет. Кейіннен кеңістіктегі нүктенің орны оның екі немесе одан да көп проекция жазықтықтарындағы тікбұрышты проекцияларымен анықталады 2.1 Нүкте π 1 π 2 екі проекция жазықтықтары жүйесінде 2.1 суретте екі өзара перпендикуляр жазықтықтар кескінделген. Оларды проекция жазықтықтары ретінде қабылдаймыз. Олардың біреуі, π 1 деп белгіленгені, горизонталь орналасқан, горизонталь проекция жазықтығы деп аталады. Ал π 2 деп белгіленгені, вертикаль орналасқан, фронталь проекция жазықтығы деп аталады. π 1 және π 2 проекция жазықтықтары π 1 π 2 жүйесін құрайды. Проекция жазықтықтарының қиылысу сызығы проекция осі деп аталады. Проекция осі жазықтықтарды жарты жазықтыққа бөледі. 3,а - суретте қандай да бір А нүктесінің π 1 π 2 жүйесіндегі проекцияларын салу қарастырылған. А нүктесінен π 1 - ге және π 2 ге перпендикуляр түсіру арқылы оның проекцияларын аламыз: А' деп белгіленген горизонталь проекциясы, А'' деп белгіленген фронталь проекциясы. Нүктенің осы екі проекциясы оның осы проекция жазықтықтары жүйесіне қатысты кеңістіктегі орнын толығымен анықтай алады. а ә б 3 сурет π 1 жазықтығын осьті айналдыра 90 - қа бұрсақ, (3,ә - суретте көрсетілгендей), бір жазықтық пайда болады, ол сызба жазықтығы. А' және А'' проекциялары проекция осіне орнатылған бір перпендикуляр бойында байланыс сызығында жатады (3,б - сурет).

5 Эпюрге көшу барысында біз проекция жазықтықтары мен нүктелердің орналасуының кеңістіктік бейнесін жоғалтып алдық. Бірақ, эпюр салулардың өте қарапайым түрінде кескіндердің дәлдігі мен өлшеу қолайлылығын қамтамасыз етеді. 4 сурет Проекция осі болған жағдайда А нүктесінің π 1 π 2 проекция жазықтықтарына байланысты орналасуы белгілі болса, онда А А х кесіндісі А нүктесінің π 2 проекция жазықтығына дейінгі арақашықтығын, ал А А х кесіндісі А нүктесінің π 1 проекция жазықтығына дейінгі арақашықтығын көрсетеді (4 сурет). 2.2 Нүкте π 1 π 2 π 3 үш проекция жазықтықтары жүйесінде π 1 π 2 жүйесіне тағы да бір проекция жазықтығын енгізуді қарастырамыз, оны π 3 деп белгілейміз, ол π 1 және π 2 жазықтықтарына перпендикуляр (5,а - сурет). Ол профиль проекция жазықтығы деп аталады, π 2 секілді вертикаль орналасқан. х осінен басқа z және y осьтері пайда болады, олар х осіне перпендикуляр. О әрпімен үш проекция осьтерінің қиылысу нүктесі көрсетілген. а ә б 5 сурет

6 5 ә суретте π 1 π 2 π 3 жазықтықтарын бір жазықтыққа беттестіру қарастырылған. у осі үшін екі түрлі жағдай берілген (6,а - сурет). 6,ә және 6,б суреттерде А нүктесінің горизонталь, фронталь, профиль проекциялары берілген. Горизонталь және фронталь проекциялар (А және А ) х осіне орнатылған бір перпендикуляр бойында, А А байланыс сызығында жатады, фронталь және профиль проекциялар (А және А ) z осіне орнатылған бір перпендикуляр бойында, А А байланыс сызығында жатады. 6,б суретте фронталь және горизонталь проекциялар бойынша профиль проекцияны салу көрсетілген. О нүктесінен жүргізілетін шеңбер доғасын немесе уоу бұрышы биссектрисасын қолдануға болады. А нүктесінің π 1 жазықтығына дейінгі арақашықтығы сызбада А А х кесіндісімен өлшенеді, π 2 жазықтығынан А А х немесе А А z, ал π 3 жазықтығына дейінгі арақашықтық А А у кесіндісімен немесе А А z кесіндісімен өлшенеді. Сондықтан А проекциясын 6,б суретте көрсетілгендей етіп, А және А байланыс сызығында z осінен оңға қарай А А х кесіндісіне тең аралықты өлшеп саламыз. а ә б 6 сурет А нүктесінен х осіне дейінгі арақашықтық (6,ә - сурет) кеңістікте АА х кесіндісімен өлшенеді. АА х кесіндісі А О кесіндісіне тең, сондықтан А нүктесінен х осіне дейінгі арақашықты анықтау үшін (6,б - сурет) l х кесіндісін алу керек. Сол секілді А нүктесінен у осіне дейінгі арақашықтық l у және А нүктесінен z осіне дейінгі арақашықтық l z. 2.3 Кеңістіктің ширектері мен октанталарындағы нүкте π 1 және π 2 жазықтықтары өзара қиылыса отырып, төрт екі қырлы бұрыш құрайды, оларды кеңістіктің квадранттары немесе ширектері деп атайды. 7,а - суретте қабылданған ширектерді санау реті көрсетілген. Проекция осі әр проекция жазықтығын жарты жазықтыққа бөледі, олар шартты түрде π 1 және π 1, π 2 және π 2 деп белгіленген.

7 Координата жазықтықтары қиылыса отырып сегіз үшқырлы бұрыш сегіз октант құрайды (7,ә - сурет). а ә 7 сурет 1 кесте Октант Координаталар таңбасы Октант Координаталар таңбасы х у z х у z I II III IV V VI VII VIII 1 кестеде сегіз октанттағы нүктелер координаталары таңбалары келтірілген. Тест- тренинг 1.Берілген нүктелердің қайсысы 1-ширекте орналасқан? D " Z Х A " D ' T " B " C " C ' T ' Y

8 А В С D Е 2.Берілген нүктелердің қайсысы ОZ-осінде жатыр? Z Z D " Z Х A " = B " Y C " C ' Y D ' T " T ' Y А В С D E 3.Берілген нүктелердің қайсысы кеңістікте орналасқан? А(60,0,10) В(0,20,40) С(40,10,0) Д (10,40,60) К(10,0,0) 4.Берілген нүктелердің қайсысы П1-горизонталь проекция жазықтығына тиісті болып жатыр? А(20,30,50) В(0,20,40) С(40,0,20) Д(50,10,0) К(10,-20-40) 5.Π 2 - фронталь проекция жазықтығында жатқан нүктенің проекциясын анықтау үшін қандай координаталары беріледі? х,у х, z z, y x, y, z y 2.4 Түзу сызық кесіндісінің проекциялары А және В нүктелерінің горизонталь және фронталь проекциялары берілген делік (8,а сурет). Осы нүктелердің аттас проекциялары арқылы түзу сызықтар жүргізе отырып, АВ кесіндісінің горизонталь (А В ) және фронталь проекцияларын аламыз. Егер А В және А В проекциялары арқылы проекциялаушы жазықтық (сәйкесінше π 1және π 2 -ге перпедикуляр) жүргізілген деп елестетсек (8,ә - сурет), онда осы жазықтықтардың қиылысқан жерінде түзу сызық және оның АВ кесіндісі пайда болады. 8,б суретте АВ кесіндісі сызбасы π 1 π 2 π 3 жүйесінде берілген. А және В нүктелері π 1 π 2 π 3 жүйесіндегі әр проекция жазықтығынан әртүрлі қашықтықта орналасқан, ендеше АВ түзуі олардың біреуіне де параллель емес. Проекцияларының бірде біреуі проекция осіне параллель де,

9 перпендикуляр да емес. Бұндай түзу жалпы жағдайдағы түзу деп аталады. Проекцияларының әрбіреуі кесіндінің өзінен қысқа: А В <АВ, А В <АВ, А В <АВ. а ә б 8 сурет Түзу мен жазықтықтар арасындағы бұрыштарды φ 1,φ 2,φ 3 деп белгілейміз. Егер А В = А В = А В болса, онда түзу проекция жазықтығымен өзара тең бұрыш жасайды. Расында да, (8 сурет) егер А В = А В және А В = А В болса, онда А В В А - теңбүйірлі трапеция және В 1= В 2, осыдан В 3= А 3, А В 3=45 0, ал А В В А - параллелограмм, онда В А 1 және В А 2 бұрыштарының әрбіреуі қа тең. 2.5 Проекция жазықтықтарына қатысты түзу сызықтың ерекше (жеке) жағдайда орналасуы Түзу сызық проекция жазықтықтарына қатысты ерекше жағдайда орналасуы мүмкін. Оларды мынадай екі белгісі бойынша қарастырайық: А. Түзу бір проекция жазықтығына параллель. Б. Түзу екі проекция жазықтығына параллель. Бірінші жағдайда түзудің бір проекциясы оның нақты шамасына тең болады, ал екінші жағдайда түзудің екі проекциясы оның нақты шамасына тең болады. А. Түзу бір проекция жазықтығына параллель.

10 1.Түзу π 1 проекция жазықтығына параллель (9 сурет). Бұл жағдайда түзудің фронталь проекциясы проекция осіне параллель, ал горизонталь проекциясы кесіндінің өзіне тең болады А В = АВ. Бұндай түзу горизонталь түзу деп аталады. 9 сурет Егер, мысалы, А В проекциясы проекция осімен беттесіп жатса, онда АВ кесіндісі π 1 жазықтығында орналасқан. 2. Түзу π 2 проекция жазықтығына параллель (10 сурет). Бұл жағдайда түзудің горизонталь проекциясы проекция осіне параллель, ал фронталь проекциясы кесіндінің өзіне тең болады С Д = СД. Бұндай түзу фронталь түзу деп аталады. Егер, мысалы, С В проекциясы проекция осімен беттесіп жатса, онда СД кесіндісі π 2 жазықтығында орналасқан. 3. Түзу π 3 проекция жазықтығына параллель (11 сурет). Бұл жағдайда түзудің горизонталь және фронталь проекциялары ОХ осіне перпендикулярдың бойында орналасады, ал профиль проекциясы кесіндінің өзіне тең болады Е F = EF. Бұндай түзу профиль түзу деп аталады.

11 10 сурет 11 сурет Ә. Түзу екі проекция жазықтығына параллель. 1. Түзу π 1 және π 2 проекция жазықтықтарына параллель (12,а - сурет), немесе π 3 жазықтығына перпендикуляр. π 3 проекция жазықтығына проекциясы нүкте болады. 2. Түзу π 1 және π 3 проекция жазықтықтарына параллель (12, ә - сурет), немесе π 2 жазықтығына перпендикуляр. π 3 проекция жазықтығына проекциясы кесіндінің өзіне тең болады. 3. Түзу π 2 және π 3 проекция жазықтықтарына параллель (12,б - сурет), немесе π 1 жазықтығына перпендикуляр. π 3 проекция жазықтығына проекциясы Е"F"кесіндіcіне параллель және тең болады. а ә б

12 12 сурет Тест- тренинг 1. Берілген түзулердің қайсысы горизонталь түзу болады? x z a " b " c " z z z z x x x x d " f " a ' b ' c ' d ' f ' y y y y А В С D Е 2.Берілген түзулердің қайсысы жалпы жағдайдағы түзу болады? ' ' ' ' = В " ' ' ' ' = А В С D Е ' 3. Берілген түзулердің қайсы горизонталь-проекциялаушы түзуі болады?

13 ' ' ' ' ' ' ' = B " ' ' = А В С D Е 4. Қай сызбада АВ-кесіндісі П2-фронталь проекция жазықтығын қиып өтеді? A " B " A " A " A " B " = А " B " B " B " = А В С D Е 5.Берілген түзулердің қайсысы профиль-проекциялаушы түзуі болады? ' ' ' ' ' ' ' = B " ' ' = А В С D Е 2.6 Түзудегі нүкте. Түзудің ізі 2.22 суретте қандай да бір А нүктесі арқылы өтетін жалпы жағдайда орналасқан түзудің сызбасы берілген. В нүктесі осы түзуге тиісті екендігі белгілі болса және В нүктесінің горизонталь прокциясы В нүктесінде орналасса, онда оның фронталь проекциясы В 13,а суретте көрсетілгендей анықталады. 13,ә суретте профиль түзудегі нүктені салу көрсетілген. Нүктенің С проекциясы берілген, оның горизонталь проекциясын табу керек. АВ түзуінің А"'В'" проекциясы арқылы салу орындалған. Салу жолдары бағыттауыш арқылы көрсетілген. Алдымен С"' анықталған, сол арқылы С' анықталған.

14 а 13 сурет ә 14, а - суретте АВ кесіндісімен берілген түзу проекция жазықтықтарын қиып өтетін М және N нүктелері көрсетілген. Бұл нүктелер іздер деп аталады: М нүктесі түзудің горизонталь ізі, N нүктесі түзудің фронталь ізі. Горизонталь іздің горизонталь проекциясы іздің өзімен беттесіп жатады, ал оның фронталь проекциясы М" проекция ocі бойында жатады. Фронталь іздің фронталь проекциясы N" іздің өзімен N беттеседі, ал оның горионталь проекциясы N' сол ось бойында жатады. Ендеше, горизонталь ізді табу үшін, түзудің фронталь проекциясын А"В" осьпен қиылысқанға дейін созу керек, М" (горизонталь іздің фронталь проекциясы) нүктесі арқылы оське А'В'-пен қиылысқанға дейін перпендикуляр жүргізіп, М' деп белгілейміз. М' нүктесі горизонталь іздің

15 горизонталь проекциясы, ол іздің өзімен беттеседі. а 14 сурет ә Фронталь ізді табу үшін, түзудің горизонталь проекциясын А'В' осьпен қиылысқанға дейін созып, N' (фронталь іздің горизонталь проекцисы) нүктесі арқылы А"В" түзудің фронталь проекциясымен қиылысқанға дейін перпендикуляр жүргіземіз. N" фронталь іздің фронталь проекциясы, ол іздің өзімен беттеседі. М және N нүктелерінің орналасуына байланысты берілген түзу кеңістіктің қай ширектеріне тиісті екендігі жайлы айтуға болады. 14, а- суретте АВ кесіндісі IV, I, II ширектер арқылы өтіп жатыр. Егер кесінді проекция жазықтығына параллель болса, онда осы жазықтықта оның ізі болмайды. 15,а - суретте түзу π 1 және π 2 проекция жазықтықтарын ғана емес, сонымен қатар, π 3 проекция жазықтығын да қиып өтеді. Р нүктесі түзудің профиль ізі. Бұл із өзінің π 3 проекция жазықтығындағы ізімен беттесіп жатыр, ал горизонталь және фронталь проекциялары сәйкесінше, y және z осьтерінде жатады.

16 а ә 15 сурет Тест- тренинг 1.Қай сызбада А-нүктесі ВС-түзуіне тиісті болады? B " A " A " C " B " B " C " B " B " A " C " C " C " = C ' A " A " C ' C ' C ' C ' А В С D Е 2. Қай сызбада АВ және СД түзулері бір біріне параллель болады? ' ' C '' ' ' C '' D '' D '' ' ' D '' C '' C '' ' ' ' D '' C '' С ' С ' D ' D ' С ' С ' С ' D ' D ' ' D '' D ' А В С D Е 3. Берілген нүктелер арқылы өтетін қай түзу фронталь түзу болады А(25;20;10) А(30;20;10) А(25;20;0) А(20;5;25) А(15;17;5) В(5;5;10) В(5;20;25) В(5;0;20) В(20;25;5) В(10;7;10) А В С D E 4. Түзудің қай ізі қате анықталған?

17 A " N " = N X M " B " N ' M ' = M Г о р и з о н т а л ь i з i ( M ) А Ф р о н т а л ь i з i ( N ) В Г о р и з о н т а л ь н м е н ф р о н т а л ь i з д е р i ( M, N ) С П р о ф и л ь i з i ( P ) D Ф р о н т а л ь м е н п р о ф и л ь i з д е р i ( N, P ) E A B C D E 5. Қай сызбада АВ және СД түзулері өзара қиылысқан болады? ' C '' C '' ' ' ' C '' D '' C '' ' ' ' D '' ' C '' D '' D '' ' C ' D ' C ' C ' C ' C ' D ' D ' D ' ' D '' D ' А В С D Е 2.7 Жалпы жағдайда орналасқан түзу кесіндісінің сызбада нақты шамасын салу және түзудің проекция жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын анықтау

18 16 сурет Суретте жалпы жағдайда орналасқан ВС түзуінің нақты шамасы ВС1 тікбұрышты үшбұрышының гипотенузасы болып табылады.бұл үшбұрыштағы В1 катеті жазықтыққа параллель және ұзындығы кесіндінің горизонталь проекциясына тең, ал екінші катеттің шамасы С және В нүктелерінің жазықтыққа дейінгі арақашықтықтарының айырмасына тең ( С-1 =Zc-Zb= Z). Жалпы жағдайда орналасқан ВС кесіндісінің нақты шамасын табу суретте көрсетілген. Тікбұрышты үшбұрыштың бір катеті ретінде В'С' горизонталь проекциясы алынған, ал екінші катеті В'В* = С"1" = Z. Гипотенузасының ұзындығы В*С' кесінді ұзындығына сәйкес келеді. Фронталь проекцияда да нақты шама табу қарастырылған. Кесіндінің В"С" проекциясы тікбұрышты үшбұрыштың бір катеті ретінде алынған. Басқа катеттің ұзындығы кесінді ұштарының π 2 жазықтығына дейінгі арақашықтықтарының айырмасына тең ( В* В" = y в y с = y). Гипотенуза ұзындығы В* С" кесінді ұзындығына тең. Егер тікбұрыштың бір катеті ретінде кесіндінің горизонталь (фронталь, профиль) проекциясы алынып, ал екінші катеті ретінде кесінді ұштарының горизонталь (фронталь, профиль) проекция жазықтығына дейінгі арақашықтықтар айырмасы алынса, онда кесіндінің нақты шамасын тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы ретінде анықтауға болады. Түзу сызық және проекция жазықтықтары арасындағы бұрыш түзу және оның жазықтықтағы проекциясы арасындағы бұрыш ретінде анықталады. ВС түзуі және π 1 жазықтығы арасындағы бұрыш (<ВМВ'). бұрышы СВ1 бұрышына тең, себебі, үшбұрыштың бір жағы МС екеуіне де ортақ, ал қалған екеуі В1 және МС' параллель. бұрышының мәнін СВ1 үшбұрышынан анықтайды (16 сурет). 2.8 Екі түзудің өзара орналасуы

19 А. Параллель түзулер. Параллель түзулердің горизонталь проекциялары өзара параллель, фронталь проекциялары өзара параллель және профиль проекциялары өзара параллель. Егер А нүктесі арқылы берілген ML түзуіне параллель түзу жүргізу қажет болса, онда А нүктесі арқылы ML-ге параллелль болатын түзу жүргізу қажет (17, а сурет). а 17 сурет ә 17, ә суретте Параллель түзулер екеуіне де ортақ болатын, горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр проекциялаушы жазықтықта жатады, сондықтан бұл түзулердің горизонталь проекциялары бір түзудің бойында орналасқан. Ә. Қиылысатын түзулер.

20 Егер түзу сызықтар қиылысатын болса, онда олардың аттас проекциялары өзара осы түзулердің қиылысу нүктесінің проекциялары болып табылатын нүктелерде қиылысады (18 сурет). 18 сурет Тест- тренинг 1.Қай сызбада АВ-түзуінің нақты шамасы дұрыс анықталмаған? A " B " B " A " A " A " B " A " B " B " A B C D E 2.Қай сызбада АВ және СД түзулері бір біріне перпендикуляр болады? C '' ' C '' ' D '' C '' ' C '' ' ' ' ' D '' C '' D '' D '' ' D '' ' ' D ' C ' D ' D ' D ' C ' D ' C ' А В С D Е 3.Берілген сызбада АВ түзудің X координатасы тұрақты (const) болып проекцияланған? C ' C ' А // А / В // В / В // А // А / А / В // А // В // А // В / В / А В С D E А / В / А // / А В // В /

21 4. Қай сызуда жалпы жағдайдағы түзу берілген? A B C D E 5. Берілген нүктелер арқылы өтетін қай түзу горизонталь-проекциялаушы түзу болады? А(25;20;10) А(30;20;10) А(25;20;0) А(20;5;25) А(15;17;5) В(5;5;10) В(5;20;25) В(5;0;20) В(20;5;5) В(10;7;10) А В С D Е

22 3 СЫЗБАДА ЖАЗЫЌТЫЌТЫЊ БЕРІЛУ ТЄСІЛДЕРІ 3.1 Жазыќтыќтыњ кењістіктегі орны Жазыќтыќтыњ кењістіктегі орны былайша аныќталады (19 сурет): а) бір т зуде жатпайтын ш н кте арќылы; ә) т зу жєне одан тысќары орналасќан н кте арќылы; б) екі ќиылысатын т зу арќылы; в) екі параллель т зулермен; г) кез келген жазыќ пішін проекциясы арќылы д) із арќылы. а ә б в г д 19 сурет 3.2 Жазыќтыќтыњ проекция жазыќтыќтарына байланысты орналасуы

23 Жазыќтыќ проекция жазыќтыќтарына байланысты тµмендегідей орналасады (20 сурет): а) проекция жазыќтыќтарына перпендикуляр емес; б) бір проекция жазыќтыѓына перпендикуляр; в) екі проекция жазыќтыѓына перпендикуляр. Проекция жазыќтыќтарыныњ біреуіне де перпендикуляр емес жазыќтыќ - жалпы жаѓдайдаѓы жазыќтыќ деп аталады. Бір проекция жазыќтыѓына перпендикуляр жазыќтыќ: а) горизонталь проекциялаушы; б) фронталь проекциялаушы; в) профиль проекциялаушы болып бµлінеді. 20 сурет Екі проекция жазыќтыѓына перпендикуляр (егер екі проекция жазыќтыѓына перпендикуляр болса, онда шіншіге параллель орналасады) (21 сурет): 1) горизонталь жазыќтыќ горизонталь проекция жазыќтыѓына параллель, фронталь, профиль проекция жазыќтыќтарына перпендикуляр; 2) фронталь жазыќтыќ фронталь проекция жазыќтыѓына параллель, горизонталь, профиль проекция жазыќтыќтарына перпендикуляр; 3) профиль жазыќтыќ профиль проекция жазыќтыѓына параллель, горизонталь, фронталь проекция жазыќтыќтарына перпендикуляр.

24 а ә б 21сурет 3.3 Жазыќтыќтыњ іздері Жазыќтыќтыњ проекция жазыќтыќтарымен ќиылысу сызыќтары оныњ іздері деп аталады. π 1 - проекция жазыќтыѓымен ќиылысу сызыѓы горизонталь ізі; π 2 - проекция жазыќтыѓымен ќиылысу сызыѓы фронталь ізі; π 3 - проекция жазыќтыѓымен ќиылысу сызыѓы профиль ізі; 22 сурет

25 Жазықтық іздерінің проекцияларын салу үшін қажет мынадай ерекшеліктерді атап өту керек: фронталь із өзінің фронталь проекциясымен, ал оның горизонталь проекциясы х осімен беттеседі, сонымен қатар горизонталь із өзінің горизонталь проекциясымен, ал оның фронталь проекциясы х осімен дәл түседі. Жазықтықтың іздерін салу үшін жазықтықта жатқан кез келген екі түзудің іздерін тауып, аттас іздер арқылы түзулер жүргізу керек (22 сурет). 3.4 Жазыќтыќтаѓы түзу мен нүкте Жазыќтыќта кез келген т зуді ж ргізу: Егер т зу осы жазыќтыќќа тиісті болатын екі н кте арќылы µтсе, онда ол жазыќтыќќа тиісті болады. Егер т зу осы жазыќтыќтыњ бір н ктесі арќылы µтіп, осы жазыќтыќта жататын бір т зуге параллель болса, онда ол жазыќтыќќа тиісті болады. Егер н кте жазыќтыќќа тиісті болса, онда оныњ проекциялары осы жазықтыққа тиісті түзудің бойында орналасады. Осы ережелер мен шарттарға сүйене отырып, мынадай тұжырым жасауға болады: жазықтықтағы түзу мен нүктенің проекцияларын салу үшін, сонымен қатар түзу мен нүктенің жазықтықта жататынын немесе жатпайтынын білу үшін жазықтықты анықтайтын геометриялық элементтердің проекциялары берілуі керек. 4 ПРОЕКЦИЯ ЖАЗЫҚТЫҚТАРЫН АЛМАСТЫРУ ТӘСІЛДЕРІ 4.1 Тәсілдің негіздері Тәсілдің негізгі мәні мынада: нүктелердің, түзулердің, жазықтықтардың кеңістіктегі орны өзгермейді, ал олар қажет жағдайда болу үшін берілген проекциялар жазықтықтарының біреуі немесе екеуі біртіндеп басқа жазықтықтармен алмастырылады. Жаңадан енгізілген проекциялар жазықтығы ескі жүйедегі проекциялар жазықтықтарының біреуіне перпендикуляр болуы шарт. π 1 π 2 жүйесіне π 4 жазықтығын енгізейік. Бұл жазықтық міндетті түрде π 1 немесе π 2 жазықтықтарының біреуіне, мысалы π 2 - ге перпендикуляр болуы керек (23, а сурет). А нүктесінің π 4 проекциялар жазықтығындағы проекциясын табу үшін әдеттегідей осы жазықтыққа перпендикуляр түсіреміз, А 4 нүктесін табамыз. 23, ә-суретте π 1, π 2, π 4 жазықтықтарының бір жазықтықпен - сызба жазықтығымен беттескені көрсетілген; осы жағдайда пайда болған сызба 23, б суретте бейнеленген. А 4 нүктесінің сызбадағы орнын табу үшін А 2 нүктесінен Х осіне перпендикуляр етіп жүргізілген байланыс сызығының бойында А х1 нүктесінен бастап А х1 А 4 = А х А 1 кесіндісін салу керек (А х1 А 4 = А А 2 = А х А 1 екенін 23, а суреттен анықтауға болады).

26 Ал егер жаңадан пайда болған π 2, π 4 жүйесінен π 4, π 5 жүйесіне көшетін болсақ, онда сызбада А нүктесінің π 5 жазықтығындағы проекциясын табу үшін А нүктесі арқылы х 2 осіне перпендикуляр етіп байланыс сызығын жүргізіп, оның бойында А х2 нүктесінен бастап А 5 А х2 = А 2 А х1 кесіндісін саламыз (23, в сурет), яғни мына ережені қолданамыз: жаңа жүйеде нүктенің алмастырылмаған жазықтыққа дейінгі қашықтығы өзгермейді. Проекцияларды түрлендіру тәсілдерін қолданудың негізгі мақсаты орындалу үшін бұл жазықтықтар орналасуына қосымша талаптар қойылады: олар берілген түзуге немесе жазықтыққа параллель немесе перпендикуляр болуы керек. а ә б в 23 сурет а ә 24 сурет

27 24, а суреттегі АВ жалпы жағдайдағы түзу кесіндісінің нақты ұзындығын табу үшін жаңадан енгізілген π 4 жазықтығы осы кесіндіге параллель болуы керек. Сызбада жүргізілген х 1 осі кесінді проекцияларының біреуіне, мысалы, А 1 В 1 -ге параллель болуы керек. Ережеге сәйкес, А және В нүктелерінің π 4 тегі проекцияларын (А 4 пен В 4 ) салса, оларды қосатын кесіндінің ұзындығы АВ- ның нақты шамасына тең болады: А 4 В 4 =АВ (24- сурет). Осы сызбадан АВ-ның π 1 жазықтығына көлбеулік бұрышын табуға болады. Егер х осін А 2 В 2 - ге параллель жүргізсек, онда АВ ның нақты шамасымен бірге оның π 2 жазықтығына көлбеулік бұрышын анықтауға болады. 24, ә суреттегі жалпы жағдайда орналасқан жазықтығы мен а түзуінің өзара қиылысу нүктесін табу керек болса, онда аталған үш амалды орындаудың орнына жазықтықтың ерекше, яғни проекциялаушы жағдайын қарастырған дұрыс. Жазықтық ізі жинақтаушы қасиетке ие болады, сол себептен алдымен К 4 нүктесін табу керек, ал К 2 және К 1 нүктелері нүктенің түзу сызықтың бойында жатқанда орындалатын шарттар көмегімен табылады. А түзуінің жаңа проекциясы (а 4 ) осы түзудің бойынан алынған кез келген 1 және 2 нүктелері арқылы жоғарыда аталған жолдармен табылған, ал жазықтықтың f ізін салу үшін іздердің х осінде тоғысу нүктесі (Х 1 ) және жазықтығының фронталь ізінің бойынан алынған F нүктесінің жаңа проекциясы F 4 пайдаланылған. Жоғарыда келтірілген мысалдарда түзу мен жазықтықтың дербес жағдайлары проекциялар жазықтығын бір-ақ рет алмастыру нәтижесінде табылды. Кейбір есептерде бір рет алмастыру жеткіліксіз. Мысалы, жалпы жағдай жазықтығындағы АВС үшбұрышының нақты шамасын табу үшін (25 сурет) алдымен жазықтықты проекциялаушы жағдайға әкеліп, содан соң жаңа проекциялар жазықтығын үшбұрыш жазықтығына параллель етіп жүргізу керек. Суретте х 1 осі горизонтальдің горизонталь проекциясына перпендикуляр х 1 h 2, сол себептен π 4, ал үшбұрыш А 4 С 4 кесіндісіне проекцияланған. Енді π 5 жазықтығы АВС үшбұрышына параллель болу үшін х 2 осін А 4 С 4 кесіндісіне параллель етіп алу керек. Үшбұрыштың жаңадан пайда болған проекциясы оның нақты шамасына тең: А 5 В 5 С 5 = А ВС.

28 25 сурет 4.2 Айналдыру тәсілі Кез келген геометриялық элементті белгілі бір қозғалмайтын түзу (бұл түзу айналу осі деп аталады) төңірегінде айналдырғанда элемент нүктелерінің әрқайсысы айналу осіне перпендикуляр жазықтықтарда (айналу жазықтықтарында) орналасқан шеңберлер бойларымен қозғалады. Бұл шеңберлердің центрлері айналу жазықтықтары мен айналу осьтерінің қиылысу нүктелерінде (айналу центрлерінде) жатады, ал олардың радиустары (айналу радиустары) айналатын нүктелер мен айналу центрлерінің арақашықтықтарына тең. Егер элемент нүктелері айналу осінде жатса, онда бұл нүктелер қозғалмайды деп есептеледі. Айналу осі берілуі мүмкін немесе оны таңдап алуға болады. Егер мұндай мүмкіндік болса, айналу осін проекциялар жазықтықтарының біреуіне перпендикуляр орналастырған пайдалы, себебі бұл жолы тұрғызу күрделілігі азаяды. Беттерді, жазықтықтарды, сызықтарды айналдыруға алып келеді, сондықтан тәсіл негіздерін нүктені айналдыру мысалы арқылы қарастырған жөн.

29 а 26 сурет ә А нүктесі 1 жазықтығына перпендикуляр i осі төңірегінде айналсын (26, а-сурет). Айналу жазықтығы 1 жазықтығына параллель ( i, i 1 1 ), сондықтан нүктенің қозғалу траекториясы (шеңбер) 1 жазықтығына радиусы R= АО = А 1 О 1 (О айналу центрі), центрі О 1 нүктесінде жатқан шеңбер түрінде, ал 2 жазықтығына жазықтығының фронталь ізінің бойында жатқан ұзындығы 2Р-ге тең кесінді түрінде проекцияланады. Айналу осі 2 жазықтығына перпендикуляр болса, аталған шеңбер 2 жазықтығына шеңбер түрінде, ал 1 жазықтығына х осіне параллель кесінді түрінде проекцияланады, себебі i, i , ә- суретте А нүктесінің 1 жазықтығына перпендикуляр і осі төңірегінде φº бұрышына бұрылғаны көрсетілген. Алдымен А 1 нүктесі арқылы центрі О 1 нүктесінде орналасқан, радиусы R = А 1 О 1 ше4бер доғасы (φº бұрышына сәйкес) жүргізілген де, А 1 нүктесі табылған, ал А 2 нүктесі байланыс сызығы көмегімен А 2 нүктесі арқылы і 2 түзуіне перпендикуляр жүргізілген түзудің (А 2 Оh і 2 ) бойынан табылған. 4.3 Жазық-параллель жылжыту тәсілі Егер пішін кеңістікте қозғалғанда оның барлық нүктелері өзара параллель жазықтықтарда қозғалса, онда мұндай қозғалыс жазық-параллель деп аталады. Жазық-параллель қозғалыстың жеке түрі осьтен айналдыру. Бұл жағдайда нүктелер шеңбер бойымен қозғалады, ал шеңберлер жазықтықтары айналу осіне перпендикуляр болғандықтанөзара параллель орналасады. Проекциялар жазықтығына параллель қозғалу нәтижесінде пішіннің осы жазықтықтағы проекциясы жаңа орынға өзіне-өзі тең күйінде жылжиды,

30 ал оған тиісті нүктелердің басқа проекциялары проекциялар осіне параллель бағытта қозғалады. АВ түзуін фронталь проекциялаушы түзуге түрлендіру керек (27 сурет). Алдымен түзуді горизонталь жағдайға түрлендіреміз. Бұл жағдайда АВ-ның фронталь проекциясының оське параллель болуы шарт, сондықтан [А 1 В 1 ]-ты х-ке параллель кез келген түзуге өлшеп саламыз ( А 1 В 1 = А 1 В 1 ). Ал кесіндінің жаңа жағдайдағы горизонталь проекциясын салу үшін А 2 пен В 2 - тардан байланыс сызықтарын жүргізіп, олардың А 2 мен В 2 ден х- ке параллель етіп жүргізілген түзулермен қиылысу нүктелері А 2 пен В 2 тарды пнықтап, А 2 В 2 кесіндісін тұрғызамыз. 27 сурет Енді кесіндіні есеп шартында көзделген жағдайға әкелуге болады. Бұл жағдайда АВ ның фронталь проекциясы нүктеге айналып, горизонталь " " проекциясы х-ке перпендикуляр болу керек. Расында да, егер А 2 В 2 " кесіндісін х-ке перпендикуляр орналастырсақ, А 2 пен В " 2 - тардан жүргізілген х-ке параллель түзулер де беттеседі, сонда А " 1 = В " 1 табылады. Сонымен, сызбаны түрлендіру нәтижесінде АВ фронталь проекциялаушы түзу болды. Тест-тренинг 1. Қай сызбада жалпы жағдайдағы жазықтық берілген? А В С D Е 2. Қай сызбада профиль-проекциялаушы жазықтық ізбен берілген?

31 f " O f " O f " O f " O f " O X X X X h ' O h ' O h ' O h ' O h ' O А В С D Е 3.Қай сызбада горизонталь-проекциялаушы жазықтық үшбұрыш жазық фигурамен берілген? A " C " B " A " B " B " A " D " C " C " A " C " B " C " = A " C ' D " C ' B " = C ' C ' C ' А В С D Е 4. Қай сызуда К нүктесі берілген жазықтыққа тиісті болады? ' K ' C '' C ' K '' D '' ' ' K '' K '' ' C '' ' C '' D ' C ' K ' K ' C ' D '' ' ' C '' D ' C ' D '' D '' ' K '' C '' ' ' K '' K ' C ' K ' D ' D ' A B C D Е 5. Қай сызбада горизонталь жазықтық қиылысқан түзулермен берілген? А В С D Е

32 5 БЕТТЕР 5.1 Жақты беттер. Көпжақтар Өзара қиылысатын жазықтықтардан құралған беттерді қөпжақтар дейді. Жазықтықтардың қиылысу сызықтары көпжақтардың қырлары, ал барлық жақтардың ортақ нүктесі (бірнеше жазықтықтардың қиылысу нүктесі) қөпжақтар төбесі деп аталады. Сызбада көпжақтар олардың қырларының толық берілумен анықталады. Мысалы, 28 суретте үшқырлы пирамидалық а, b және с көпжақтың қиылысатын қырларымен берілген, S нүктесі беттің төбесі. 29 суретте қырлары бір-біріне параллель m, n және k түзулерімен берілген призмалық беттер көрсетілген. 28 сурет 29 сурет

33 Қырлы беттер өздерінің S төбесімен және кейбір жазық немесе кеңіс сынық а сызығымен берілуі мүмкін. Бұл жағдайда а сынық сызығы қырлы беттің бағыттаушысы болады. Призмалық беттер үшін төбесі (30 сурет) өзіндік емес S нүктесі болады және кеңістікте өз бағытымен беріледі. 30 сурет 31 сурет Беттерді құрайтын жазықтықтар кеңістікті барлық жағынан тұйықтайтын болса, қырлы беттерді тұйық көпжақтар деп атайды. Көпжақтар өздерінің жақтарымен, қырларымен және төбелерімен сипатталады. Егер көпжақтың барлық элементтері оның жағында кез келген жағы жазықтығын орналасқан болса, онда көпжақ дөңес деп аталады. Дөңес көпжақтың жақтары дөңес көпбұрыштар болады. 32 сурет Егер көпжақтың барлық қырлары, жақтары, екіжақты және кеңіс бұрыштары бір-бірімен тең болса, онда ондай көпжақтар дұрыс дөңес көпжақтар (Платон денелері) деп аталады. Дұрыс көпжақтардың бес түрі бар: - тетраэдр (төртжақ), жақтары теңқабырғалы үшбұрыштар болады (33 сурет); - октаэдр (сегізжақ), жақтары сегіз теңқабырғалы үшбұрыштар болады (34 сурет); - икосаэдр (жиырмажақ), жақтары жиырма теңқабырғалы үшбұрыштар (35 сурет);

34 - гексаэдр (алтыжақ) жақтары алты квадрат болатын куб (36 сурет). Дұрыс көпжақтардың барлығына сырттай сфера жүргізуге болады. 33 сурет 34 сурет 35 сурет 36 сурет Көпжақ қарапайым деп аталады, егер: - оның барлық жақтары қарапайым көпбұрыштар болса, яғни сыбайлас емес жақтар жұбының ортақ нүктесі болмайды; - сыбайлас емес екі жақтың ортақ нүктесі болмайды (ортақ төбесінен басқасы); - сыбайлас екі жақтың бір ғана ортақ қыры болады және басқа ортақ нүктелері болмайды. Пирамидалар мен призмалар қарапайым көпжақтарға жатады. Пирамида дегеніміз барлық жақтарының (табанынан басқа) ортақ төбесі бар көпжақты бет. Пирамиданың барлық бүйір жақтары үшбұрыштар (37-сурет) сурет 38-сурет 39-сурет Призма дегеніміз призмалық бетпен және призмаларын қиятын параллель екі жазықтықпен шектелген көпжақты бет. Бұл параллель екі

35 жазықтық призманың табандары деп аталады. Призманың табандары бірдей екі көпбұрыш, ал бүйір қырлары бірі-біріне тең болады (38 сурет). Егер призманың бүйір қырлары табанына перпендикуляр болса, онда оны тік призма деп атаймыз (39 сурет). Призмалар мен пирамидалар көпбұрышты табанының қабырғаларының және бүйір жақтарының санына байланысты бөлінеді. Егер табаны дұрыс көпбұрыш болса, оларды дұрыс призма мен пирамида деп атайды. 5.2 Айналу беттері Айналу беттері l (жасаушы) сызығын айналу осі і түзуінің маңында айналдырғанда алынады. Барлық айналу беттерінің жалпы жағдайда, бірдей анықтауышы болады: - анықтаушының геометриялық бөлігі екі элементтен түрады; алгоритмдік бөлігі і осінің бойымен l жасаушысының айналу шартын құрайды; - l жасаушының нүктелері і осінің маңында шеңбер жасап айналады, сондықтан айналу беттерінің барлығы циклдік (40 а,ә суреттер) болуы мумкін. а) ә) 40-сурет Айналу бетінде жатқан шеңберлер бірі-біріне параллель жазықтарда жатқандықтан, оларды параллельдер, ал беттердің жазықтармен қиылысу осі арқылы өтетін жазық сызықтарын мериандар деп атайды.

36 41-сурет Әрбір параллель барлық меридиандарды тік бұрышпен қиып өтеді. Параллельдер мен меридиандар айналу беттерінде ортогональ сызықтардың торлы қаңқасын береді. Ең үлкен параллель экватор деп, ал ең кішісі мойын деп аталады (41-сурет). Айналу беттері түзусызықты және түзусызықты емес болып бөлінеді. 5.3 Түзусызықты айналу беттері Айналу конусы l түзуін өзімен қиылысатын і осінің төнірегінде айналдырғанда пайда болады. Сызбада конусты геометриялық анықтауышы элементтерінің проекцияларымен (42-сурет). немесе 1 және 2 жазықтықтарындағы очерктерімен беруге болады (42-сурет). Конус бетіндегі нүкте һ параллель көмегімен анықталады. 42 -сурет 43

37 43-сурет Айналу цилиндр l түзуін өзіне параллель осьтің төңірегінде айналдырғанда пайда болады. 43 суретте цилиндр анықтауышы мына элементтерінің проекциясымен және очеркілерімен берілген: Айналу цилиндр беті проекциялаушы. Оның проекциясы 2 жазықтығында 2 шеңберіне айналады. Сондықтан М нүктесі оның бетінде салу жеңілдейді, өйткені М 2 2. Бірқуысты айналу гиперболоиды жасауышысының өзімен айқас ось маңында айналғанда пайда болады. 44- суретте айналу гиперболоиды: - өзінің аңықтауышының проециясымен 45, а - сурет; - очерктерімен, 1 жазықтығында d 1 гиперболосымен, 2 жазықтығында с 2 мойымен 45, б сурет берілген. 44-сурет 5.4 Түзусызықтықты емес айналу беттері Сфера l шеңберін өзінің і диаметрі төңірегінде айналдырғанда пайда болады. Сызбада сфера мына түрде берілуі мүмкін: - анықтауышының элементтерінің проекцияларымен (44, а сурет);

38 - очерктерімен: 1 және 2 жазықтықтарында диаметрлері бірдей (44, б сурет) шеңберлермен: 45-сурет 46-сурет Сфера беіндегі экватор g және бас меридиан l ерекше сызықтар болып саналады. М нүктесін сфера бетінде салу үшін h параллелін қолданады. Тор l шеңберінің өзінің і хордасының (жабық тор) (46, а сурет) немесе шеңбер жазықтығында жататын, бірақ одан тыс орналасқан і түзуінің төңірегінде айналдырғанда пайда болады (46, б сурет). Екінші жағдайда тор ашық тор деп аталады.

39 47-сурет Айналу беттері басқа да екінші реттік қисықтардың айналуынан пайда болуы мүмкін: - эллипсті осьтерінің бірінің төңірегінде айналдырғанда айналу эллипсоиды пайда болады (47, а сурет); - гиперболаны жорамал осінің төңірегінде айналдырғанда бірқуысты айналу гиперболоиды (47, б сурет), ал гиперболаны нақты осінің төңірегінде айналдырғанда екіқуысты айналу гиперболоиды (47, в сурет) пайда болады; - параболаны өзінің осінің төңірегінде айналдырғанда айналу параболоиды (47, г сурет) құрылады.