ПӘНІ БОЙЫНША ОҚЫТУ БАҒДАРЛАМАСЫ (SYLLABUS)

Transcript

1 Пән бойынша оқыту бағдарламасы SYLLABUS Нысан ПМУ ҰС Н 7.8.4/9 Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті Математика кафедрасы 5В6 «Математика» мамандығынының студенттеріне арналған DGT 3 Дифференциалдық геометрия және топология ПӘНІ БОЙЫНША ОҚЫТУ БАҒДАРЛАМАСЫ SYLLABUS Павлодар 3 ж.

2 Пән бойынша оқыту бағдарламасын Sllabs бекіту парағы Нысан ПМУ ҰС Н 7.8.4/9 БЕКІТЕМІН ФМжАТФ-нің деканы Испулов Н.А. 3ж. Құрастырушы: аға оқытушы Құдайберген М.Қ. 5В6 «Математика» мамандығының ЖОБ негізіндегі күндізгі оқу нысанының студенттеріне арналған DGT 3 Дифференциалдық геометрия және топология пәні бойынша оқыту бағдарламасы Sllabs Бағдарлама 3ж. негізінде әзірленді. бекітілген жұмыс оқу бағдарламасының 3ж. кафедра отырысында ұсынылған Хаттама Кафедра меңгерушісі Джарасова Г.С. 3ж. Физика математика және ақпараттық технологиялар факультетінің оқуәдістемелік кеңесімен мақұлданған 3ж. Хаттама ОӘК төрағасы Искакова А.Б. ж.

3 . Оқу пәнінің паспорты Пәннің атауы Дифференциалдық геометрия және топология Таңдау компонент пәні Кредит саны және меңгеру мерзімі Барлығы 4 кредит Курс: Семестр: 4 Барлығы аудиториялық сабақтар 6 сағат Дәрістер 3 сағат Тәжірибелік сабақтар 3 сағат СӨЖ сағат соның ішінде СОӨЖ 3 сағат Жалпы еңбек сыйымдылығы 8 сағат Бақылау формасы Емтихан 4 семестр Пререквизиттер Осы пәнді меңгеру үшін төмендегі пәндерді меңгеру кезінде алынған білім икемділік және машықтар қажет: математикалық талдау; аналитикалық геометрия; сызықтық алгебраның кейбір тараулары. Постреквизиттер Пәнді меңгеру кезінде алынған білім икемділік және машықтар келесі пәндерді меңгеру үшін қажет: Риман геометриясы; салыстырымдылық теориясы. Оқытушы туралы мәліметтер және байланысу ақпараттары Құдайберген Маржан Құдайбергенқызы Математика кафедрасының аға оқытушысы «Математика» кафедрасы А - 4 аудитория Байланыс телефоны: ішкі тел. - k.maha_k@mail. 3. Пәннің мақсаты және міндеттері Дифференциалдық геометрия және топология пәні келесі тараударды қарастырады: қисықтар теориясы беттер теориясы топология элементтері. Пәннің мақсаты классикалық дифференциалдық геометрияның әдістерін және көрнекті бейнелерді қолданып оқушыларды қазіргі дифференциалдық геометрияның негізгі түсініктемелерімен таныстыру болып табылады. Пәннің міндеті - негізгі түсініктерді толық ашып және оларды студенттерге дұрыс түсіндіру қажет. Бағдарламаның классикалық дифференциалдық геометрияға арналған тараулары әр бөлімі мен қолдануында оқушыларға қажет бейнелік ойлау қабілеті мен геометриялық интуицияны дамыту талабын қоюға мүмкіндік береді. 3. Білім икем дағдылар және құзырларға қойылатын талаптар Осы пәнді меңгеру нәтижесінде студенттердің: түсініктері болуы керек: - фундаменталды ұғымдар заңдар туралы; - абстракті ұғымдарды нақты тәжірибелік мәселелер үшін қолдану туралы. білуі керек: - қисық және жазық беттер теориясының негізгі ұғымдарының анықтамасына жаңа көзқарасын; - дифференциалдық геометрияның негізгі формулаларын және теоремаларын; - топология мен көпбейнелік теорияларының бастапқы тарауларына тән ұғымдар мен анықтамаларды. икемді болуы керек:

4 - классикалық дифференциалдық геометрияның негізгі формулаларын және теоремаларын есептерді шығаруда қолдануында; - дифференциалдық геометрия әдістерін меңгеруінде. тәжірибелік дағдыларды меңгеру: - дифференциалдық геометриялық объектілерді меңгеру және оларды геометрияда және интегралдау теориясында қолдану. құзырлы болу: дифференциалдық геометрия саласында; - топология саласында. 5 Пәннің тақырыптық жоспары Сабақ түрлері бойынша академиялық сағаттардың бөлінуі Тақырыптардың атауы Сабақ түрлері бойынша СӨЖ аудиториялық сағаттардың дәріст ер саны Тәжіри белік Зертхана лық студия лық жеке Бар лығы Соның ішінде СОӨЖ Қисықтар теориясы 48 Беттер теориясы 48 3 Топология элементтері Барлығы: 8 4 кредит Дәріс сабақтарының мазмұны Тақырып. Қисықтар теориясы Жоспар:. Векторлық функциялар.. Дифференциалдық геометриядағы қисықтың анықтамасы. Қисықты берудің әртүрлі тәсілдері. Қисықтың ерекше нүктелері. 3. Доға ұзындығы және натурал параметризация. 4. Жанама түзу жанасушы жазықтық және қисықтың нормалдары. 5. Қисыққа сәйкес үшжақ қисықтың қисықтығы мен бұрылымы Френе формулалары. 6. Қисықтың натурал теңдеулері. Ортақ натурал теңдеулі қисықтар. Қисықтар теориясының негізгі теоремасы. Дифференциалдық геометрия пәнінің объектісі Дифференциалдық геометрияда зертелетін геометриялық объектітілер және оларды зерттеу аймағының ауқымы элементар геомтерия мен аналитикалық геометрияға қарағанда кең себебі дифферениалдық геометрияда кез келген қисық сызықтар мен беттер қарастырылыды және барлық қисықтардың немесе барлық беттердің ортақ қасиеттері табылып зерттеледі. Аналитикалық геометрия мен элементар геометрия дифференциалдық геометрияның алғашқы негізі. Дифференциалдық геометрия пәнінің әдісі. Дифференциалдық геометрияда қисықтар мен беттер теориясын зерттеп баяндауда векторлық есептеулер және дифференциалдаулар қолданылады және дифференциалдық геометрия қисықтар мен беттерді негізінен шағын шексіз аз аймақтағы қасиеттерді зерттейді. Геометриялық объектілердің нүктелерінің локальды шағын аймақтар қарастырылғандықтан дифференциалдық геометрия шексіз аз шамалармен демек дифференциалдық есептеумен тығыз байланыста. Векторлық есептеу векторлық алгебрадан және векторлық анализден тұрады. Векторлық алгебрада еркін бос векторлар тұрақты ал векторлық анализде векторлар

5 айнымалы шама ретінде қарастырылады және векторлық есептеудің ерекшелігі вектор ұғымы дифференциалдық есептеумен ұштастырылуында..скаляр аргументті вектор функция Скаляр аргументті вектор функция ұғымын енгіземіз. Векторлық V 3 кеңістігі евклидтік векторлық кеңістік ал a b қандай да бір интервал болсын. Егер a b интервалының қандай да бір болмасын санына векторлық V 3 кеңістігінің белгілі бір векторы сәйкес болса онда бұл векторды арқылы белгілеп a b интервалындағы скаляр аргументінің вектор-функциясы деп атаймыз. Скаляр айнымалыға тәуелді вектор-функцияны физикадан механикадан көптеп кездестіруге болады. Мәселен егер OM векторы қозғалыстағы М нүктесінің радиусвекторы болса онда бұл векторы уақытқа яғни скаляр шамаға байланысты өзгеріп отырады. Скаляр аргументі -ға тәуелді вектор-функцияны былайша жазып көрсетеміз: О -сызба B { i j k} векторлық V 3 кеңістігінің базисі болсын сонда векторын анықтау үшін бұл вектордың координаталарын осы аргументінің фукнциясы ретінде анықтауымыз керек олай болса векторы В базисі бойынша былай жіктеледі: i j k Бұл теңдікпен берілген вектор-функциясы скаляр аргументіне тәуелді келес үш теңдеудің берілуімен пара-пар: 3. Айнымалы вектордың шегі Шексіз аз векторлар ұғымын енгіземіз. Егер вектордың ұзындығы немесе вектор-функциясының абсолют шамасы нөлге ұмтылса онда мұндай векторды шексіз аз вектор деп атаймыз да мынадай белгілеуді пайдаланамыз: α α. Векторлық функцияның шегі ұғымы математикалық анализ курсындағы шектің анықтамасы тәрізді енгізіледі. Егер аргументі аргументіне ұмтылғанда векторы шексіз аз векор болса демек орындалса онда скаляр аргументі аргументіне ұмтылғанда тұрақты векторы вектор-функциясының шегі деп атап былайша жазамыз: lim немесе немесе α α

6 Вектор-функциясының үздіксіздігі де скаляр анализдегідей анықталады. Егер аргументі аргументіне ұмтылғанда векторы шегіне ұмтылса онда вектор-функциясы аргументтің мәнінде үздіксіз деп аталады. Үздіксіздіктің бұл анықтамасын шектің анықтамасымен былай жазуға болады: Вектор a b интервалының әрбір нүктесінде функциясы үздіксіз болса онда вектор-функциясы a b интервалында үздіксіз деп аталады. Вектор-функциясының қосындысы мен көбейтінділерінің шегінің келесі қасиеттерін атап көрсетейік:. lim ± υ lim ± limυ. lim υ lim limυ Ескерту. Вектор-функцияның туындысын не Лейбництің белгілеуі бойынша штрих не Ньютонның белгілеуі бойынша функцияның үстінен нүкте қойылады белгілейміз: d d & d d 3. Ұзындығы және бағыты тұрақты векторлардың туындысы лемма. Ұзындығы тұрақты берілген вектордан алынған туынды вектор берілген векторға ортогональ. Дәлелдеу. Ұзындығы тұрақты берілсін сонда векторының бағыты өзгергенде cos бұдан cos. Сол және оң жақтарын аргументі бойынша дифференциалдаймыз: d d О -сызба Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің қасиеті бойынша және векторы нөлдік вектордан өзгеше болғандықтан: d d Демек векторы векторына ортогональ. Лемма дәлелденді. Лемма. Вектор-функцияның бағыты тұрақты болуы үшін берілген вектор мен оның туынды векторы коллинеар болуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеу. Қажеттілігі. Егер векторының ұзындығы өзгергенде оның бағыты тұрақты болса онда мұндай векторды былайша жазуға болады: τ мұнда ал векторы τ вектор-функциясының бірлік векторы: τ. теңдікті диффренциалдаймыз сонда теңдіктен d d τ τ d d

7 τ 3 3 теңдеулерден алатынымыз: Егер def λ деп белгілесек онда соңғы теңдеуден: λ 4 Бұл теңдік векторлары коллинеар болатындығын көрсетеді. Жеткіліктілігі. векторлары коллинеар болсын онда 4 формула орындалады. теңдеуді τ векторының бағыты тұрақты емес деп ұйғарып дифференциалдаймыз: τ τ векторының мәнін 4 формула бойынша қойсақ: λ τ τ бұдан векторының мәнін формула бойынша қойып алатынымыз: λ τ τ τ бұл теңдеудің оң және сол жақтарын τ векторына скаляр көбейтеміз: λ ττ ττ τ τ Алдыңғы лемма бойынша τ және τ векторлары ортогональ олай болса τ s τ сондықтан соңғы теңдіктен табатынымыз: dτ dτ немесе d d Олай болса τ cos демек вектор-функциясының бағыты тұрақты. Лемма дәлелденді. 4. Жазық қисық туралы ұғым Қисық ұғымы дифференциалдық геометрияда бір мәнді анықтала бермейтін күрделі ұғымдардың бірі. Қисықты біз интуитивті түрде шексіз аз аймақта түзуге ұқсас деп түсінеміз. Мәселен γ қисығының шексіз өзара жақын А және В нүктелерінің аралығындағы нүктелер жиыны түзудің бөлігіне ұқсас 3сызба. δ γ l түзу А χ В 3-сызба Жазықтықта тік бұрышты координаталар жүйесі берілсін. Аналитикалық геометрия және математикалық анализ курсынан: F теңдеуін қанағаттандыратын жазықтықтың Мху нүктелеренің жиыны белгілі бір фигураны жазықтықта қандай да бір болмасын қисықты анықтайтыны белгілі. Дифференциалдық геометрияның әдісі дифференциалдауға тәуелді болғандықтан қарастырылатын функциялар бір мәнді және қанша рет қажет болса сонша рет дифференциалданады туынды табылады деп ұйғарамыз. Элементтері нүктелер болатын E және F жиындарын қарастырамыз. Егер Е жиынының шексіз жақындайтын нүктелеріне F жиынның шексіз жақындайтын нүктелері

8 сәйкес келетіндей биекция өзара бірмәнді сәйкестік берілсе онда мұндай сәйкестік топологиялық не үздіксіз сәйкестік деп ал екі жиынды топологиялы эквивалентті деп атаймыз 4 сызба. f f Е F 4-сызба Анықтама бойынша егер ρ < ε болса онда ρ f f < ε мұнда ε ε шексіз аз шамалар. Бұл анықтаманы қисыққа байланысты айталық. Егер түзудің бөлігіне кесіндісіне қандай да бір жиын топологиялы эквивалентті болса онда ол қарапайым доға деп аталады. Мәселен 5 сызбада А В жиыны қарапайым доға. B A l A 5-сызба Өзара бірімен бірі жалғасатын шектеулі және санаулы қарапайым доғалардан тұратын жиынды қисық деп атаймыз. Біз әдетте геометриялық объектілерді қисықтар мен беттерді шексіз аз аймақта қарастырамыз бұл дифференциалдық геометрияның әдісі және мұндай микроскопиялық зерттеу қисық пен беттің кейбір ортақ заңдылықтарын байқауға мүмкіндік береді. АВ доғасы түзудің АВ кесіндісіне топологиялы бейнеленді және доғаның бір М нүктесіне кесіндінің бір М нүктесі сәйкестендіріледі деп ұйғарайық. Түзудегі М нүктесі тек абсциссамен анықталады. Егер доғаның нүктелерін кесіндінің нүктелеріне бейнелейтін заңдылық белгілі болса онда кесіндідегі М нүктесінің В абсциссасы М нүктесінің орнын анықтап қана қоймай қисықтағы М нүктесінің де орналасуын анықтайды 6 сызба. М B А B М 6-сызба O Доғаның нүктелері мен сан өсіндегі А В кесіндісінің сандарының арасындағы сәйкестік бір мәнді және үздіксіз. Егер осындай доғаның нүктелері мен түзудегі кесіндідегі сандардың арасында сәйкестік жүзеге асырылса онда доға параметрленеді деп ал параметрі өзіне сәйкес М нүктесінің параметрі деп аталады. Кез келген доғаны берілген кесіндіге шексіз көп әдістермен топологиялы бейнелеуге болады сонда әрбір әдіске доғаның осы әдіске сай белгілі бір параметрленуі сәйкес болады. А

9 5. Қисыққа жанама түзу γ қандай да бір қисық болып ал А нүктесі γ қисығына тиісті нүкте болсын. γ қисығынан А нүктесінен басқа В нүктесін алып АВ қиюшы түзуін жүргіземіз. В нүктесі қисықтың бойымен жылжып А нүктесіне ұмтылғанда АВ қиюшы түзуінің шектік l AB жағдайы γ қисығына А нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады. Егер l AB түзуі А нүктесінде жүргізілген жанама болса онда В нүктесі А нүктесіне ұмтылғанда АВ түзуі мен жанама l AB түзуінің арасындағы бұрыштың шамасы нөлге ұмтылады. Осы айтылғандарды математикалық белгілеулермен былайша жазамыз: В А АВ l AB немесе lim AB l B A Бұл анықтамадан жанама түзу бар болса оның тек жалғыз болатынын көреміз. Қисық парамтерлік теңдеуімен берілсін: γ : γ қисығының А және В нүктелеріне аргументтің және мәндері сәйкес келіп бұл нүктелердің радиус-векторлары және болсын сонда AB. A AB l AB O γ B 7-сызба AB векторы қиюшы АВ түзуінің бағыттаушы векторы. Егер > болса онда және AB векторлары бағыттас ал < болса онда бұл векторлар қарама-қарсы бағыттас болады. Егер В нүктесі қисық бойымен жылжып А нүктесіне ұмтылса онда өсімшесі нөлге ұмтылады және lim Соңғы теңдік математикалық анализ курсынан белгілі. Олай болса векторы l AB жанама түзуінің бағыттаушы векторы. Біз бұдан мынадай қорытындыға келеміз: параметрлік теңдеумен берілген қисықтық нүктесінің радиус-векторынан параметрі бойынша алынған туынды векторы жанама l AB түзуінің бағыттаушы векторы болады. Жанама l AB түзуінің теңдеуін қорытып шығару үшін кеңістікті тік бұрышты O декарт координаталар жүйесін енгіземіз. векторын базистік векторлар бойынша жіктеп жазайық: i j k

10 сонда l AB жанама түзуінің бағыттаушы векторы былайша жазылады: i j k A C i l AB k O j ρ 8-сызба A нүктесі арқылы өтетін бағыттаушы векторы { } болатын жанама l A түзуінің канондық теңдеуі келесі түрде жазылады: X Y Z l A : 3 С нүктесі жанама l A түзуінің ағымды нүктесі ал бұл нүктенің радиус-векторы ρ болсын. AC және коллинеар болғандықтан R нақты сандар жиынында жататын λ саны табылып мына теңдік орындалады екі вектордың коллинеарлық шарты: s AC λ ал OC OA AC 4 OA OC ρ радиус-векторларын және 4 теңдікті ескеріп алдыңғы теңдіктен алатынымыз: ρ λ 5 5 теңдеу қисықтың жанама түзуінің векторлық параметрлік теңдеуі деп аталады. Жазықтықтағы қисық үшін 3 теңдеуі былайша жазылады: X Y 6 Егер қисық айқын теңдеуімен берілсе онда параметрі ретінде х-ті қабылдаймыз сонда: 6 теңдеу мына түрге келтіріледі: Y X 7 Егер қисықтың параметріне сай векторының туынды векторы нөлдік вектор болса онда жанаманың теңдеуін жоғарыда айтылған әдіспен анықтауға болмайды. Алдыңғы кезде қажет болатын бірнеше анықтамаларды берейік Радиус-вектордың туынды векторы нөлдік вектор болатын нүктелер қисықтың ерекше нүктелері деп аталады. Ерекше нүктенің радиус-векторы осы нүктенің маңайында Тейлор формуласына жіктелсе онда жанаманың теңдеуін жоғарыда айтылған әдіспен анықтауға болмайды. Алдағы кезде қажет болатын бірнеше анықтамаларды берейік. Радиус-вектордың туынды векторы нөлдік вектор болатын нүктелер қисықтың ерекше нүктелері деп аталады. γ B

11 Ерекше нүктенің радиус-векторы осы нүктенің маңайында Тейлор формуласына жіктелсе онда мұндай нүкте елеусіз нүкте деп аталады. Тейлор формуласы вектор-функция үшін былай жазылады: R h h h h!...! мұндағы R қалдық мүше:! h R ] [ h Егер нүктесінде вектордың бірінші туындыдан бастап k -ші ретті туындына дейінгі туынды векторлар нөлдік векторлар деп ұйғарсақ онда Тейлор формуласы былайша жазылады: k k k h! α және векторларына сәйкес нүктелерден өтетін қиюшы түзудің бағыттаушы векторын мына түрде табамыз:! α k k k соңғы теңдікте егер онда α векторы шексіз аз векторға ұмтылатын вектор. Нүктелер шексіз жақындағанда қиюшы вектордың шектік орналасуы жанама түзудің бағытын анықтайды сонымен:! lim k T k k векторы елеусіз нүктедегі жанаманың бағыттаушы векторы олай болса жанаманың 3 канондық теңдеуі былай жазылады: Z Y X Жанаманың басқа теңдеулерін алу үшін векторларды координаталары арқылы базистік } { k j i векторлары бойынша жіктеп жазайық: k j i 9 Zk Yj Xi ρ 9 теңдіктерден: Z Y X λ λ λ теңдеулер қисықтың A нүктесіндегі жанаманың параметрлік теңдеулері деп аталады. теңдеуден λ параметрін шығарып жанаманың 3 түрдегі канондық формуласын аламыз. Жазық қисық жазықтықтағы қисық парамтерлік теңдеуімен берілсін. теңдеулерден параметрін шығарып тастап қисықтың F 3 түріндегі айқындалмаған теңдеуін аламыз. болғандықтан қисық O жазықтығында жатыр. теңдеудегі х пен у-тің мәнін 3 теңдеуге қойып параметрінің кез-келген мәнінде орындалатын

12 F тепе-теңдігін аламыз. Тәуелсіз параметрі бойынша дифференциалдаймыз: F d F d 4 d d F F Соңғы теңудегі F F дербес туындылардың ең болмағанда біреуі нөлге тең емес деп ұйғарып жанаманың X Y теңдеуін былайша жазамыз: X Y 5 F 4 теңдеуден. Бұл мәнді соңғы теңдеуге қойып қисық айқындалмаған F теңдеумен берілгендегі A нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуін аламыз: X F Y F 6 Қисықтың берліген M нүктесіндегі нормалі деп осы нүктесі арқылы өтіп осы нүктеде жанамаға жүргізілген перпендикуляр түзуді айтамыз. Жазық қисықтың нормалі деп жазықтықта жататын және жанасу нүктесінде жанамаға пепендикуляр түзуді айтамыз. Аналитикалық геометриядан нормаль түзудің бұрыштық коэффициенті шамасы бойынша жанаманың коэффициентіне кері ал таңбасы бойынша қарама-қарсы екендігі белгілі. 5 және 6 теңдеулер мына түрлерге келтіріледі: Y X 7 F Y X 8 F Нормаль түзулердің теңдеулері төмендегідей болады: Y X F Y X F немесе X Y X Y F F Соңғы теңдеуді азықтықтағы түзудің канондық теңдеумен салыстырып F F } { векторы нормальдің яғни жазық қисықтың бағыттаушы векторы болатынын көреміз. 9 сызба

13 нормаль түзу { F F } А В жанама түзу О ρ 9-сызба γ 6. Қисықтың доғасының ұзындығы Айталық γ тұйық қисық болмасын ал А және В нүктелері γ қисығының АВ доғасының ұзындығы деп А мен В нүктелерінің арасындағы нүктелер жиыны мен А және В нүктелерінен тұратын жиынды айтамыз және оны S [ AB ] деп белгілейміз. Ал АВ доғасының ұзындығы былайша анықталады: доғаның ұзындығын осы доғаға іштей сызылған сынық сызықтардың қосындысының шегі ретінде анықтаймыз және бұл шекті анықтауда келесі екі шарттың орындалуы тиіс орындалуын кадағалаймыз: сынық сызықтардың саны шексіз өседі; әрбір сынық сызықтың ұзындығы нөлге ұмтылады. A A A A i A i Қисық теңдеуімен берілсін. АВ доғасын бөлікке бөліп -сызба [ ] A A... A... Ai B A деп белгілейміз. Бұл нүктелерді қосып сызба A A... A A кесінділерін жүргізіп іштей сызылған сынық сызық аламыз. Бұл сынық сызықтың әрбір бөлігі кішкентай доғалардың хордасы болады. Ai Ai OAi OAi i i Егер деп белгілесек онда i i j О i i A i A i Іштей сызылған сызылған A A сынық сызығының ұзындығы A A A A... A B хордаларының қосындысына тең: i A i B A

14 S [ A A ] i функция өсімшесі i өсімшесіне сәйкес келсе онда формуламен өрнектелетін қосынды былай жазылады: S [ A A ] i i i i i i 3 параметрінің мәні қандай да бір болмасын i аралығына тиісті болса және i нольге ұмтылса онда өсімшелердің қатынасы мен туындының айырымы нольге ұмтылады; келесі айырымды қарастырайық; i i α Бұд абсолют шамалардың айырымы шексіз аз болғандығы ақиқат бұл теңдеуден S[ A ] қосындысын былайша жазамыз: A i α S α [ A A ] i i i i i i өсімшесі нольге ұмтылғанда екінші қосылғыштың нольге ұмтылатыны анық. Сонымен: lim S lim i Ал теңдіктің оң жағындағы қосынды функциясының интегралдық қосындысы демек i i i S lim S d /4/ Сонымен доғаның ұзындығы /4/ формула бойынша есептеледі. Кеңістікте қисық /5/ параметрлік теңдеуімен берілсін сонда Олай болса /4/ формула былай жазылады: S Ал жазықтағы қисық үшін демек /6/ формуладан: S d d /6/ /7/

15 Егер қисық Оху жазықтығында поляр координаталар системасында ρ ρ Полярлық теңдеуімен берілсе онда бұрышын параметр ретінде қабылдап қисықтың параметрлік теңдеуіне көшуге болады: ρ cos ρ si ρ М х у [ -сызба параметрі бойынша туынды табамыз: cos ; ρ si ρ cos. Бұл мәндерді /6/ формулаға қойып есептейік сонда: ρ S ρ ρ ρ si d Егер қисық Y /8/ Айқын теңдеуімен берілсе онда параметрін енгізіп қисықтың /8/ теңдеуін былайша жазамыз: X. Бұдан. /7/ формулаға қойып доғаның ұзындығын есептейтін формуланы аламыз: S d I Мысал. acos asi b винттік сызығының О o нүктесінен бастап доғасының ұзындығын табайық. Ху айнымалыларынан параметрі бойынша туынды табамыз: -asi acos b сонда Демек O d a si a cos b d a b S a a b d b a d b d

16 7. Параметр ретінде доғаның ұзындығын қабылдау Қисықтың қасиеттерін зерттеу үшін біз қисықтың қандай да бір болмасын теңдеуін қарастырамыз ал қисықтың теңдеуін зерттегенде бұл теңдеу қайсыбір /аффиндік тік бұрышты немесе поляр координаталар және т.б системаға/ координаталар системасына тәуелді екенін байқаймыз сонымен қатар қисықтың теңдеуі бойынша қисықтың қасиеттерін атап қайсыбір пайымдауларға нәтижеге келеміз. Енді қисықты координаталар системасынан тәуелсіз теңдеу арқылы анықтап зерттеуге бола ма демек қисықтың теңдеуі қисықтың тек қана геометриялық формасына тәуелді яғни қисықтың геометриялық формасымен анықтауға бола ма деген сұрақтың тууы орынды. Біз бұл тармақта қисықтың мұндай теңдеуін құруға болатынын көрсетеміз. Қисық параметрлік теңдеуімен берілсін. Қисықтан параметріне сай A нүктесін таңдап алып оны қисықтың бастапқы нүктесі деп шартты атайық. Басы A ұшы кез келгена нүктесінде болатын A А доғасының ұзындығы мына формула бойынша есептеледі: Бұдан: S d d d // // Демек доғаның ұзындығы параметріне тәуелді өссе доғаның ұзындығы өсіп кемісе доғаның ұзындығы кемиді және параметрінің белгілі бір мәніне s доғасының бір ғана мәні сәйкес келеді басқаша айтқанда // формула қисықтын s доғасының ұзындығы параметрі бойынша дифференциалданатын бір мәнді функция ретінде анықтайды. // формуладан /d шамасы әр уақытта оң және параметрдің мәні өскенде бұл функция монотонды өспелі екендігін байқаймыз демек қисықтың нүктесі мен доғаның ұзындығының арасында бір мәнді үздіксіз сәйкестік бар. Қисықтың бастапқы нүктесінің әр түрлі жақтарында жатқан нүктелер үшін параметрдің әр түрлі мәндері сәйкес. Осы себепті s шамасын доғаның параметрі ретінде қабылдауһға болады және бұл қисықтың табиғи /натурал/ параметрі деп аталады. Кез келген параметр бойынша алынған туындыдан айырмашылық болу үшін табиғи параметр бойынша алынған туындыны нүктемен белгілейміз сонымен: // формуладан: d Бұдан d & d & & d d /3/ Немесе d d & /4/ Тұжырым: қисықтың нүктесінің радиус-векторынан натурал параметрі бойынша алынған & бірінші туынды вектор жанама түзуі бойынша бағытталған бірлік вектор болады. / сызба.

17 A A O -сызба S параметрі бойынша екінші туындыны табамыз. d& d &. Кеңістіктегі қисықтың жанамасына жанасу нүктесіндегі кез келген перпендикуляр түзу қисықтың нормаль түзуі қысқаша нормалі деп аталады. Вектор & бірлік-вектор /4/ формуласына қараңыз демек бірлік векторының ұзындығы тұрақты олай болса бірінші лемма бойынша & & векторы & вектрына ортогональ: & & & Яғни & & векторы қисықтың қайсыбір нормаль түзуінің бойымен бағытталған бұл түзу қисықтың бас нормалі деп аталады. 8. Жанасушы жазықтық Кеңістікте қисықтың жанама түзуі арқылы өтетін кез келген жазықтық оның жанама жазықтығы деп аталады. Бас нормаль арқылы өтетін жанама жазықтық жанасушы жазықтық деп аталады. Параметрлік теңдеуімен берілген қисықтың жанасушы жазықтығын табу үшін радиус-векторының параметрінен sпараметріне көшу/түрлендіру/ формуласын қарастырамыз: s & s & s & s Біз /3/ формуладан векторы & және & & векторлары анықтайтын жазықтыққа тиісті екендігін байқаймызолай болса және векторлары жанасушы жазықтыққа тиісті. B [ ] векторы жанасушы жазықтыққа перпендикуляр екендігі анық себебі векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы бойынша: B B // // /3/ α М γ ρ О 3-сызба

18 Жанасушы жазықтықтың теңдеуін табамыз. Егер ρ векторы жанасушы жазықтықтың ағымды нүктесінің радиус-векторы болса онда ρ векторы жанасушы жазықтыққа тиісті екендігі түсінікті олай болса ρ векторлары компланар демек бұл векторлардың аралас көбейтіндісі нольге тең: /4/ /4/ формула жанасушы жазықтықтың теңдеуі. Егер ρ векторының координаталары εηζ болса онда үш вектордың компланарлық шартын демек /4/ формуланы координаталар арқылы былайша жазамыз: ε η ζ /5/ /5/ не болмаса /4/ формула B [ ] болатын қисықтың нүктелері үшін мәнін жояды. Қисықтың мұндай нүктелері түзелуші нүктелер деп аталады. Түзелуші нүктелерде жанасушы жазықтық анықталмайды. Мысал. винттік acos asi b сызығының жанасушы жазықтығының теңдеуін жазайық. Винттік сызықтық теңдеуінен: -asi acos b -acos -asi // формулада εηζ айнымалыларының орнына ху айнымалыларын енгізсек // формула былай жазылады: acos asi b asi acos acos asi Бұдан b si bcos a ab. 9. Қисықтың үш жақты серігі /негізгі үлеспелі үш жағы/ Жанасушы жазықтыққа перпендикуляр түзу қисықтың бинормалі деп аталады. Жанама бас нормаль бинормаль қисықтың кез келген нүктесінде өзара перпендикуляр болатын үш жақты анықтайды осы жазықтықтарды жеке-жеке сипаттайық: Жанасушы нормаль және түзелуші жазықтықтарынан тұратын үш жақ негізгі үш жағы немесе ілеспелі /іліктес/ үш жағы немесе серіктес үш жағы деп ал берілген нүктеде осы үш жақ арқылы пайда болған үш жақты бұрыш үшедр деп аталады. Қазіргі геометрияда іліспелі үш жақ қозғалмалы үшжақ деп те аталады. Айталық қисық s Натурал теңдеуімен берілсін.. & вектор ыжанаманың бойымен бағытталған әрі бірлік вектор. Осы себепті жанаманың /абциссасы осінің/ бірлік векторын τ арқылы белгілейміз демек: τ &. бас нормаль бойынша & & векторы анықталған бұл & & векторының бірлік векторын ν арқылы белгілейміз сонда & ν & b Олай болса ν бірлік векторы бас нормаль түзуінің бойымен бағытталған.

19 3. енді β бірлік векторын былай анықтаймыз:ол үшін β векторын τ ν β үштігі оң бағдарланған болатындай етіп таңдап аламыз. τ ν β Сонымен бізге мынау белгілі: τν νβ βτ. τ β γ 4-сызба τν Векторлық теңдеу үшін мынау орындалады: [ ] β [ νβ ] τ енді доғаның керіге өзгерсін демек s -s болсын сонда τ ν β векторларының өзгеруін анықтаймыз /4 сызба/: d d τ τ бұдан τ τ ; d d d d d d демек ν ν β τ ν τν демек β β [ ] [ ] β ; Ұйғарым: доғаның өсу бағыты өзгергенде жанама мен бинормалдың векторларының бағыты өзгеріп ал бас нормалдың векторы бағытын сақтайды.. Серре-френе формулалары Нүкте қисық бойымен жылжығанда оның ілеспелі үшжағы өзгеріп отырады. Осы өзгерісті сипаттау үшін бұл векторлардың натурал параметр бойынша алынған туындысын есептей білуіміз керек. Мәселен d τ d d d & dτ векторы ν векторына Ал & & векторымен ν векторы бағытталған олай болса коллинеар демек R нақты сандар жиынында жататын k саны болып табылып dτ kν // Теңдігі орындалады мұндағы k коэффициенті s параметріне тәуелді оң сан. Енді бинормальдың s параметрі бойынша алынған туындысын табамыз: Демек dβ d ν v М dτ dν dν ν ν k dβ dν τ [ ν ν ] τ

20 dβ Векторлардың векторлық көбейтіндісінің қасиеті бойынша векторы әрбір dβ dβ dν көбейткіш векторларға перпендикуляр демек τ. Сонымен қатар β векторы бірлік вектор болғандықтан β dβ векторы вектрорына да перпендикуляр. Осы dβ айтылғандардан вектор бас нормальдың бірлік ν векторымен коллинеар болатыны шығады пропорционалдық коэффициенті «χ» /каппа/ арқылы белгілеп келесі теңдікті аламыз: dβ χν // // формула Серре-френенің үшінші формуласы. Серре-Френенің екінші формуласы ν [ βτ ] теңдігін s параметрі бойынша дифференциалданғаннан оңай алынады: dν dβ dτ τ β χ[ ν τ ] [ β kν ] Алдыңғы тармақтағы /*/ формуланы ескерсек: dν kτ χβ /3/ Бұл Серре-Френенің екінші формуласы. /////3/ формулаларды жинақтап дифференциалдық геометрияның ең маңызды бір формуласын Серре-Френе формуласын аламыз: dτ kν dν kτ χβ dβ χν Серре-Френе формулалары τ ν β векторларынан s параметрі бойынша алынған туынды-векторларды өрнектейді. Тарихи мағлұмат: жоғарыда аталған Тулуза қаласында Френенің еңбегі басылып шыққанымен бұл формулалар көпшілікке белгісіз болып қалды. 85 жылы француз математигі Серре осы формулаларды Париждің математикалық журналында жарыққа шығарды. Френенің мақаласы осы журналда 964 жылы қайтадан жарыққа шықты. Осы себепті /4 формула кейде Серренің формулалары кейде Френенің формулалары кейде Серре-Френенің формулалары деп аталады.. Иілім және бұралым Лемма /бірлік вектор туралы лемма/. Бірлік m векторы өзгере отырып m өсімшесін қабылдасын: m m m Бірлік m m векторларын О нүктесінде орналастырып олардың ұштарын қосатындай доға жүргіземіз. Сонда A бұрышы m векторының айналу бұрышына тең. Ал A /4/

21 хорданың ұзындығы мынаған тең: AA m. Ал AA доғасының ұзындығы нольге AA ұмтылғанда қатынасының шегі бірге ұмтылады. Демек /5 сызба/ AA A О m m 5-сызба Олай болса lim AA m А s AA m lim Демек m өсімшесін бұрылу бұрышпен алмастыруға болады. Иілім. Нүкте қисықтың бойымен жылжығанда жанаманың бағыты өзгереді. Осы өзгерістің жылдамдығын анықтау үшін доғаның екі нүктесіндегі жанамаларды алып бұл жанамалардығ арасындағы бұрышын ММ доғасының ұзындығына бөлеміз. ММ доғасын s арқылы белгілейік: айталық М нүктесіндегі жанама түзудің бағытының өзгеру жылдамдығын табу үшін М нүктесі М нүктесіне ұмтылғандағы қатынасының s шегін табамыз. O 6-сызба Иілім деп қисықтың түзуден ауытқуын айтамыз. lim k // s s Осы k шамасын берілген нүктедегі қисықтың иілімі деп атаймыз. Қисықтың иілімі Серре-Френе формуласындағы k коэффициентімен беттеседі. Шындығында Серре-Френе формуласынан: dτ τ k lim lim себебі τ s s s s Ал жанама түзудің бірлік векторының өсімшесінің абсолют шамасының оның айналу бұрышына қатынасының шегі бірге тең. Анықтама бойынша k lim s s Жанаманың бағытынң өзгеру тездігін өлшеп біз қисықтың пішіні /формасы/ түзу сызықтан қаншаға ауытқағандығын байқаймыз. Иілім неғұрлым үлкен болған сайын бұл ауытқу соғұрлым үлкен. Түзу сызықтың иілімі нольге тең болатыны анық. Бұралым. Серре-Френе формулаларындағы æ коэффициентін бұралым деп атадық. Енді қисықтың берілген нүктесіндегі бұралымның абсолют шамасы берілген нүктені M s М

22 керетін доғадағы бинормальдың бұрылу бұрышының шегі ретінде анықталатынын көрсетелік. Серре-Френе формулаларының үшіншісінен: dβ χ dβ β Бірақ lim s s Себебі β бірлік векторының β өсімшесін β векторының s доғасындағы бұрылу ψ бұрышымен алмастыруға болады олай болса β ψ χ lim lim // s s s s τ M v β τ β v М 7-сызба O Жазық қисықтың бұралымы нольге тең екендігі ақиқат себебі бинормаль вектор жазықтықтың нормаль векторымен беттеседі де қисықтың өн бойында өзгеріссіз қалады. Керісінше де дұры: егер қисықтың барлық нүктелерінде оның бұралымы нольге тең болса онда мұндай қисық жазық қисық болады.. Иілім мен бұралымның есептеу формулалары Бізге келесі формулалар белгілі: & τ & k ν // Соңғы теңдікті s параметрі бойынша дифференциалдаймыз: dν k s ν k k s ν k s [ k τ χβ ] k τ χ k β k ν // // л // теңдіктердіктерді пайдаланып табатынымыз: [ & & &] k [ τ ν ] k β Және & & [ & & ] k β k τ kχβ k ν k χ [ & & ] kβ; & τ Осы формулаларды біріктіреміз: & τ & k ν [& ] β & k ; & & k χ /3/ Бұл қатынастар арқылы бізге қисықтың иілімі мен бұралымын радиус-вектордың табиғи параметрі бойынша алынған туындылар арқылы өрнектеуге болатынын көреміз. әдетте көп жағдайда қисық параметрлік параметрлік теңдеуімен беріледі де иілім мен бұралымды кез келген параметрі бойынша алынған туындылар арқылы өрнектеуге тура келеді. Осы жағдайда келесі түрлендіру формулаларын білген жөн. β M М β

23 Сонымен & & & & 3 & 3 &&& &&& Бұдан τ & /4/ & & & векторларының векторлық көбейтіндісін есептейміз: [ & & ] [ & & & ] Бұдан /3/ теңдеуді және векторлық көбейтіндісінің қасиетін ескеріп алатынымыз: 3 k β [ & ] /5/ Енді & & векторларының аралас көбейтіндісін есептейміз: k [ & ] 3 χ & && && & 3 &&& 6 k χ & /6/ /4/ формуладан: & τ ; сонда /5/ формула былай жазылады: k β Екі жағынан да абсолют шама алсақ & 3 && &&& &&& [ ] τ 3 [ ] k /7/ 3 Осы сияқты 6 8 k Бұл 7 және 8 формулаларын есептелетін нүктенің координаталары арқылы былайша жазуға болады: de i j k k 3 de. Жазықтықтағы қисықтар үшін иілім мен бұралым келесі түрде жазылады:

24 3 k. Егер қисық айқын теңдеу арқылы берілсе онда иілім төмендегі формула бойынша есептеледі: k Қисықтың натурал теңдеулері Біз бұған дейін қандай да бір болмасын қисықтың теңдеуін қорытып шығару үшін белгілі бір координаталар системасын мәселен аффиндік не тік бұрышты не поляр не болмаса тағы басқа бір координаталар системасын қарастырдық. Өзіміз таңдаған системада қисықтың теңдеуін алып осы теңдеу бойынша қисықтың қасиеттерін көрсетіп пайымдаулар мен тұжырымдарға келдік. Бұдан шығатын қорытынды: қисықтың теңдеуі координаталар системасына тәуелді. Енді мынадай заңды сұрақ туады: қисықты координаталар системасына тәуілсіз яғни координаталар системасына байланыссыз теңдеу арқылы анықтап осы теңдеу арқылы қисықты сипаттауға бола ма? Бұл сұрақты басқаша мағынада былай тұжырымдауға болады: қисықтың теңдеуін оның геометриялық түрімен пішінімен демек формасымен ғана анықтауға бола ма? Жалпы жағдайда алдағы уақытта қисықтың геометриялық түріне ғана тәуелді теңдеу арқылы анықтап сипаттауға болатынын көрсетеміз. Қисықтың координаталар системасына тәуелсіз тек геометриялық формасымен сипатталатын теңдеулері қисықтың натурал табиғи теңдеулері деп аталады. Қисықтың табиғи теңдеулерін қорытпастан бұрын белгілі түсініктерді еске түсіре кетелік. Координаталар системасын түрлендіргенде фигураның өзгеріссіз қалатын қасиеттері инвариант деп аталады. Мәселен кез келген қисықтың доғасының ұзындығы иілімі және бұралымы қисықтың инварианты болып табылады. Үзіліссіз γ қисығының ілеспелі τ ν β үш серігі іліктес үш серігі осы қисықтың доғасының s -ұзындығының вектор-функциясы болады себебі: dτ d β k ν. Олай болса γ қисығы бойынша: k ks s. функцияларын аламыз. Бұл теңдеулер қисықтың натурал немесе табиғи теңдеулері деп аталады. Қисықтың табиғи теңдеулерін табуға мысал келтірелік: Мысал. Гиперболалық винттік сызық келесі теңдеулер бойынша анықталады: ach ash a. Гиперболалық винттік сызықтың натурал теңдеулерін жазу керек. Шешуі. Бұл қисықтың доғасының s ұзындығы a ch sh d a ch d a s d chd a sh. Енді k - иілімді есептейміз; ол үшін әуелі айнымалыларынан параметрі бойынша бірінші екінші ретті туындыларды табамыз: ash ach a; ach ash

25 сонда k ash de ach i ach ash a k 3 a sh a ch a j a shi a ch j a k 3 a sh ch a sh a ch a a ch ch a ch ch a ch ach Сонымен гиперболалық винттік сызықтың иілімі k : k ал s a sh. ach s Соңғы екі теңдеуден параметрін шығарамыз: sh болғандықтан a s a s ch sh a a Бірінші теңдеуге қойсақ: a k s a Осы табылған теңдеу гиперболалық винттік сызықтың табиғи теңдеуі. Мысал. Циклоида a si a cos параметрлік теңдеулерімен берілген. Циклоиданың табиғи теңдеуін жазу керек. Шешуі. параметрі бойынша алынғанг бірінші және екінші ретті туындыларды табамыз: a a cos a si ; si a; a cos. және s 4a cos. Доғаның s ұзындығынан: s cos. 4a Иілім k -ға қойып түрлендіреміз: k k 4a si sa cos si 4a 4a 6a s 6a s cos Циклоиданың табиғи теңдеуі: k s. 6a s тақырып. Беттер теориясы. Дифференциалдық геометриядағы бет ұғымы. Бетті берудің әртүрлі тәсілдері. Беттегі қисықтар. Беттің жанама жазықтығы мен нормалы..

26 . Бірінші квадраттық форма мен қисықтың ұзындығы қисықтар арасындағы бұрыш беттегі облыс ауданы. Беттегі ішкі геометрия ұғымы және оның иілулері 3. Беттің екінші квадраттық формасы. Беттің берілген бағыттағы нормал қисықтығы. Менье теоремасы. Бас қисықтар мен бас бағыттар. Эйлер формуласы. Гаусс және орташа қисықтар. Жанасатын параболоид және регулярлық беттегі нүктелер типтері. Беттің сфералық бейнелеулері және Гаусс қисықтықтары. 4. Қисықтық сызықтары. Асимптоталық сызықтар. Беттегі торлар теориясының негіздері. Чебышев торлары. 5. Беттің деривациялық формулалары. Гаусс формуласы және толық қисықтықтардың беттің ішкі геометриясына тиістілігі туралы теорема. Петерсон Кодаций теңдеуі. Берілген квадраттық формадағы беттің табылатындығы туралы теорема Бонне теоремасы. 6. Беттегі қисықтың геодезиялық қисықтығы геодезиялық сызықтар және олардың экстремалды қасиеттері мен механикалық кескіні. 7. Коварианттық дифференциал және векторды беттегі қисық бойымен параллель көшіру. 8. Тұрақты Гаусс қисықты беттер. 9. Евклид кеңістігінің метрикасы қисық сызықты координаталары. Псевдоевклидтік кеңістіктің метрикасы Минковский кеңістігі. Беттегі Риман метрикасы. Лобачевский жазықтығының метрикасы. Лобачевский жазықтығының Клейн ұсынған моделі. 4. Беттер теориясының алғашқы мәліметтері Бет және оны параметрлеу Беттер теориясын зерттеу үшін қисықтар теориясын зерттегеніміздей беттің қарапайым бөлігі түсінігін анықтап беттің типологиялық анықтамасын береміз. Егер евклидтік E 3 кеңістігінің Ω 3 жиыны топологиялық бейнелеуде қарапайым ω облысының бейнесі болса онда Ω қарапайым бет деп аталады. 8 сызба 8-сызба Аналитикалық геометрия және математикалық анализ курсынан бет F айқындалмаған теңдеуімен берілетіндігі белгілі. Егер теңдеу не не бойынша шешілсе демек f болса онда теңдеу беттің айқын теңдеуі деп аталады. f функциясының графигін құрғандай f теңдеуін де геометриялық тұрғыдан түсіндіруге болады. Кеңістікте тік бұрышты координаталар системасын алайық. O жазықтығында пен -тің өзгеру облысын G деп белгілеп сосын M нүктесінде тұрғызылған перпендикуляр түзудің бойына f мәнін өлшеп салсақ сонда пайда болған нүктелердің геометриялық орны f функциясының

27 кеңістіктегі графигі болады. ω облысындағы α жазықтығында Ì нүктесінің декарттық координаталары v нүктесіне сай M нүктесінің координаталары болсын сонда v v v 3 тәуелділігінің орындалатыны анық. 3 теңдеу Ω бетінің параметрлік теңдеуі деп аталады. Беттің жазық облысқа бейнеленетін бөлігін қарастырайық сонда жазықтықтың Ì нүктесіне беттің M нүктесі сәйкес болып Ì нүктесінің тік бұрышты координаталар болсын. Егер осындай бейнелеу сәйкестік системасындағы координаталары v берілсе онда бет параметрленеді деп ал v шамалары беттегі M нүктесінің қисық сызықты немесе гаусстық координаталары деп аталады сонымен v сандары кеңістіктегі нүктесін анықтайды. Топологиялық бейнелеудің үзіліссіздігі мен бір мәнділігінен жазықтықтағы кез келген сызыққа беттен белгілі бір сызықтың сәйкес келетіндігі шығады дербес жағдайда жазықтықтағы cos v cos Түзулеріне беттен координаталық сызықтар деп аталатын қисықтар сәйкес келеді бұл координаталық қисықтарды v cos деп белгілейміз. Бейнелеу бір мәнді болғандықтан cos беттің әрбір нүктесінен cos v cos координаталық сызықтар үйірінің әрқайсысынан тек бір ғана қисық өтеді. 9 сызба ν ν ν ν i O ν i ν i i ν i 9-сызба O v жазықтығындағы cos v cos түзулеріне сәйкес беттегі cos v cos қисықтары координаталық торшалар деп аталады. 3 теңдеуді бір векторлық теңдеу арқылы былай жазуға болады: v 4 Себебі параметрленген беттің M нүктесінің v қисық сызықты координаталары осы нүктенің орналасуын анықтайды демек бұл қисық сызықты координаталар M нүктесінің OM радиус-векторының да мәнін анықтайды олай болса параметрленген беттің радиус-векторы осы нүктенің қисық сызықты координаталарының функциясы болады. E кеңістігіндегі Ω бетінің кез келген нүктесінің U шағын аймағында v 3 v v функциялары k C класына тиісті k -сыншы ретке дейінгі k туындылары табылып олар үзіліссіз болса онда Ω беті C класты жүйелі бет деп аталады. Дербес жағдайда егер k болса онда мұндай бет жатық бет деп аталады. Беттің U аймағы E кеңістігінің қарапайым облысына бір мәнді бейнелегендіктен

28 ал бұл 5 теңдік v векторлары коллинеар емес екенін білдіреді. ag 5 v v v Егер Ω бетінің M v нүктесі үшін және v векторлары коллинеар болса онда мұндай нүкте беттің ерекше нүктесі деп аталады. Егер v v ψ v 6 теңдеулерін енгізсек онда беттің параметрленуі де өзгереді сондықтан беттің радиус- k жаңа параметрі бойынша өрнектейміз. Беттің C - класты жүйелігін векторын v k сақтау үшін және ψ функцияларын да параметрлерінің табылу шарты былай жазылады: v ψ ψ демек 3 теңдеуден алынатын екінші ретті анықтауыштардың біреуі нольден өзгеше. Анықтау үшін: делік онда 3 теңдеуден жазықтықтағы v v v v C класты деп ұйғарамыз. 6 теңдеуден v v шамалары пен айнымалылары арқылы былайша өрнектеледі: v v. Бұл шамаларды 3 теңдеудің үшіншісіне қойып беттің f айқын теңдеуін аламыз. Көп жағдайда беттің айқындалмаған теңдеуі қарастырылады. Егер F F F дербес туындыларының ең болмағанда біреуі нольден өзгеше мәселен F болса онда M нүктесінің U аймағында айнымалысы пен айнымалыларының функциясы болады яғни f. Дербес F F F туындылары нольге айналатын беттің нүктелері беттің ерекше нүктелері деп аталады. cos v cos түзулеріне беттегі сәйкес қисықтар координаталық торшалар болатыны белгілі сондықтан болады: векторы қисығының ал векторы сызба. v v v v v v векторларына мынадай геометриялық мағына беруге v векторы v қисығының берілген нүктедегі жанама v cos cos

29 cos v cos -сызба 4 векторлық теңдеу тік бұрышты O координаталар системасында былай жазылады: v v i v j v k. 7 Бұл 7 теңдеу келесі үш координаталық теңдеулермен мәндес: v v v. 8 Ал v параметрлер жұбының мәні мен беттің нүктесінің арасындағы сәйкестік бір мәнді олай болса 8 теңдеу параметрлеріне байланысты сонда нүктенің координаталары мынадай қатынаспен өрнектеледі: F 9 9 теңдеу беттің айқындалмаған теңдеуі деп аталады. Эллипсоид сфера цилиндрлік конустық гиперболалық беттер бетке мысал болып табылады. -сызба Біз негізінен өзін-өзі қиып өтпейтін беттің бөліктерін ғана қарастырамыз. 5. Бет және оның жанамалары Беттің нормалі Бет F

30 айқындалмаған теңдеуімен берілсін. Егер түзу бетте жататын қандай да бір болмасын қисыққа жанама болса онда мұндай түзу бетке жанама деп аталады сызба. γ d γ 3 γ Ω -сызба Бетте жататын γ қисығы γ : параметрлік теңдеулерімен берілсін. Түзу мен беттің жанасу шартын табамыз ол үшін γ қисығының нүктелерінің координаталарын беттің теңдеуіне қоямыз сонда γ қисығы бетке тиісті болғандықтан төмендегідей тепе-теңдік аламыз: F { } 3 Бұл 3 теңдеу тепе-теңдік параметрінің кез келген мәнінде орындалатыны анық. 3 теңдікті параметрі бойынша дифференциалдаймыз. F d F d F d 4 d d d 4 теңдеудің сол жағы төмендегідей екі шамалардың көбейтіндісінен тұрады: а беттің теңдеуінен алынған дербес туындылар: F F F F F F және ә қисықтың нүктесінің координаталарынан алынған туындылар: d d d. d d d а және ә пункттегі туындылар қарастырылатын нүктенің бетте орналасуына ғана тәуелді де осы қарастырылатын нүкте арқылы өтетін қисықтардан тәуелсіз. N F i F j F k 5 d векторын енгізсек сонда 4 тепе-теңдік N және d векторларының скаляр көбейтіндісі бойынша былайша жазуға болады: d N. 6 d Егер беттің нүктесі үшін N векторы нольдік вектор демек F F F болса онда беттің мұндай нүктелері беттің ерекше нүктелері деп аталады. d 6 теңдік қисыққа жанама векторы мен қарастырылатын нүктеге тәуелді N d векторының өзара ортогональ екенін көрсетеді ал беттің берілген нүктесі арқылы осы бетте жататын және берілген нүкте арқылы өтетін шексіз көп қисық жүргізуге болады және бұл қисықтар үшін де 6 теңдік орындалады олай болса осы қисықтардың жанама түзулерінің бағыттаушы векторлары тек бір ғана N векторына ортогональ. Мынадай

31 қорытындыға келдік: беттің берілген қарапайым нүктесінде бетке жанасатын барлық түзулер тек бір ғана жазықтыққа тиісті 3 сызба N 3 γ 3 γ 3-сызба Беттің берілген нүктесіндегі жанама жазықтық деп осы нүктеде бетке жанасатын түзулердің геометриялық орнын айтамыз 4-сызба γ 4-сызба Жанасу нүктесі арқылы өтіп жанама жазықтыққа перпендикуляр болатын түзу беттің нормаль түзуі деп ал нормаль түзудің бағыттаушы векторы беттің нормаль векторы деп аталады. Жанама жазықтық теңдеуін алу үшін жанама жазықтықтың беттің берілген { } нүктесі арқылы өтетінін және беттің нормаль N векторы 6 формула бойынша өрнектелетінін ескереміз. Жанама жазықтықтың ағымды нүктесінің радиусвекторын ρ деп белгілесек ρ векторы жанама жазықтықта жатады олай болса N векторлары ортогональ демек бұл векторлардың скаляр көбейтіндісі нольге тең:. ρ N ρ 7 7 теңдеуді ρ ξi ηj k және i j k радиус-векторларының координаталары арқылы өрнектеп жанама жазықтықтың теңдеуін аламыз: F ξ F η F ε 8 Нормаль түзу мен нормаль вектордың анықтамасынан N векторы беттің нормаль векторы болатынын байқау қиын емес 3 сызба. Беттің қарапайым нүктесінде беттің нормаль түзуінің канондық теңдеуі: ξ η ε 9 F F F F F F.

32 6. Кеңістіктегі қисықты екі беттің қиылысуы ретінде анықтау Кеңістіктегі қисыққа жанама Кеңістікте өзара беттеспейтін екі беттің қиылысу нүктелерінің жиыны кеңістікте қандай да бір болмасын кеңістіктегі қисықты анықтайды беттерге қойылатын шарт: олар деңгейлі беттер болмауы керек. Айталық бұл беттер айқындалмаған σ : σ : ψ M нүктесін алайық 5 сызба теңдеулермен берілсін. Қисықтың бойынан онда бұл нүкте теңдеуімен анықталатын теңдеуімен анықталатын σ бетіне де тиісті олай болса координаталары теңдеулерді қанағаттандырады: ψ. σ бетіне де ψ M нүктесінің Алдыңғы тармақтағыдай M нүктесінде σ және σ беттерінің сәйкесінше нормаль N N ψ векторын құрамыз және бұл векторларды өзара коллинеар түзулес емес деп ұйғарамыз сондықтан осы M нүктесінде жүргізілген жанама жазықтықтар өзара беттеспейді. N және N ψ векторлары коллинеар емес олай болса ag ψ ψ ψ. σ σ N Nψ N N ψ 5-сызба векторларын базистік векторлар бойынша жіктелік: N i j k N ψ i ψ j ψ k 3 ψ Егер екі вектордың векторлық көбейтіндісінің екінші қасиетін ескерсек онда γ σ σ қисығының жанама түзуінің T бағыттаушы векторы N N ψ векторларының векторлық көбейтіндісі ретінде анықталатынын байқау қиын емес себебі N векторы да N ψ Т γ векторы да T векторына ортогональ. Сонымен T [ N N ψ ] 4

33 векторы γ қисығының жанама түзуінің бағыттаушы векторы және T векторы келесі формула бойынша есептеледі: k j i T ψ ψ ψ γ қисығының M нүктесінде жүргізілген жанама түзудің теңдеуі: Z Y X ψ ψ ψ ψ ψ ψ 5 мұндағы Z Y X - айнымалылары σ σ γ қисығының ағымды нүктесінің координаталары ал ψ ψ ψ ψ ψ ψ Қисықтың берілген нүктедегі жанама түзуіне перпендикуляр және берілген нүкте арқылы өтетін жазықтық қисықтың нормаль жазықтығы деп аталады және нормаль жазықтықтың теңдеуі былай жазылады: Z Y X ψ ψ ψ ψ ψ ψ 6 Нормаль жазықтықтың 6 теңдеуін анықтауыштың қасиеттеріне сүйене былайша жазуға болады: Z Y X ψ ψ ψ 7. Беттегі қисықтар. Беттегі γ қисығы параметрлік теңдеулерімен берілсін: : γ υ υ мұндағы тәуелсіз айнымалы. Егер беттің параметрлік теңдеуін пайдалансақ онда қисықтың ағымды нүктесінің радиус-векторы былайша жазылады:. υ Егер cos υ болса онда сызығы қандай да бір қисықты ал егер cos болса онда υ сызығы қандай да бір қисықты сызады /6 сызба/: : υ ; cos. cos υ

34 Беттегі мұндай қисықтардың үйірі беттегі торшалар немесе беттегі өрнектер деп аталатыны бізге белгілі /6 сызба/. Беттің кез-келген M нүктесі арқылы осы торшаның тек қана екі қисығы өтеді. теңдеуді айнымалысы бойынша дифференциалдайық: d υ d υ dυ υ мұнда d d d υ υ d және есептелетін нүктеде d d υ дифференциалдарының екеуі ν : cos ν i ν ν : υ cos. і 6-сызба бірдей нөлге тең емес деп ұйғарамыз. Беттегі қисықтың доғасының ұзындығын есептейміз: d олай болса d d υ υ d ddυ dυ. υ υ Белгілеу енгіземіз: E υ G υ υ υ υ F υ υ Бұл белгілеулерден кейін доғаның ұзындығының дифференциалының квадраты былай жазылады: Ed Fddυ Gdυ 3 Бұл өрнек беттің бірінші квадраттық формасы деп аталады. 3 теңдіктің сол оң жақтарынан түбір табамыз: сонда Ed Fddυ Gdυ d d dυ dυ s E F G d 4 d d d d 4 формула беттегі қисықтың доғасының ұзындығын өрнектейді. 8. Беттегі қисықтардың арасындағы бұрыш. Беттің M нүктесі арқылы M γ және γ екі қисық өтсін. γ және γ қисықтарына тиісті M нүктесінің радиус-векторларының дифференциалдарын сәйкесінше d δ деп белгілейміз сонда d d dυ δ δ d υ υ υ d δ векторларының арасындағы бұрыштың косинусы былай есептеледі:

35 бұдан cos d δ cos d δ d δ d δ Ed Ed Fddυ Gdυ d dυ δ δυ Fddυ Gdυ Eδ Edδ F dδυ dυδ Gdυδυ Eδ υ Fδδυ Gδυ υ Fδδυ Gδυ δ M γ γ d 7 сызба Координаталық торшалар үшін: d d υ ; δ δυ олай болса кооординаталық торшалардың арасындағы бұрыш: F cos ω ω d δ Eθ Сонымен қатар бірінші квадраттық форма арқылы беттегі қисық сызықты фигураның ауданын есептеуге болады. Векторлардың векторлық көбейтіндісі үшін Лагранж формуласын пайдаланып [ ] υ өрнегін есептейміз: [ ] EG F. υ υ υ Ал [ υ ] векторы нөлдік вектордан өзгеше болғандықтан EG F теңсіздігінің орындалатыны анық. 9. Беттегі фигураның ауданы Беттен облысын қарастырып бұл облысты ұсақ K облыстарға бөлеміз. Әрбір облыстың ішкі бөлігінде жанама жазықтық жүргізіп сол жанама жазықтыққа бөлікті проекциялаймыз. i 8 сызба Сонда бөліктерінің проекциясының жазық ауданын S арқылы белгілейік онда i i S S i. i шексізге ұмтылғанда осы қосындының шегі фигурасының ауданы деп аталады.

36 9 сызба Бір шағын аймақты алып келесі нүктелерді қарастырамыз /8 сызба/: A υ A υ A υ υ A υ υ. 3 4 Бұл нүктелердің радиус-векторлары: OA υ υ ε 4 υ υ υ υ υ ε υ A A A A A A A 4 4 A υ OA сонда олай болса Бұдан S S i [ ] υ ε υ [ υ ] ddυ S υ lim S және [ ] υ i i lim i υ ал [ ] EG F υ EG F ddυ. Бұл интеграл параметрлеу әдісіне тәуелді емес. Шындығында α β υ i υ болғандықтан басқа қисық сызықты координаталар системасы болып бұл параметрлер параметрлері арқылы мына түрде өрнектелсін: α α υ β β υ сонда α d dυ d dυ υ. β υ dα dα dβ dβ d dυ d dυ α β υ dα dβ dβ dα Бұдан [ ] [ ]. Еселік интегралды есептейміз: dα β [ ] dαdβ [ ] dαdβ α β υ d dυ α Интегралдау теориясында еселік интегралдың астындағы өрнекті түрлендіргеннен не якобиан не түрлендіру анықтауышы шығып интеграл шамасы өзгермейтіні математикалық анализ курсынан белгілі олай болса: d dυ dβ

37 [ ] ddυ [ ] dαdβ. υ α β. Нормаль иілім Бетте орналасқан қисықтардың иілімдерінің арасында көптеген байланыстар мен қатынастар бар. Бұл қатынастарды алу үшін қисықтың іліктес ілеспелі бетке қатысты орналасуын зерттейміз. Біріншіден қисықтың жанама τ векторы әруақытта жанама жазықтыққа тиісті ал екіншіден қисықтың бас нормалі мен бинормалінің векторлары осы жанама жазықтыққа қандай да бір болмасын бұрышпен көлбейді. Бетте орналасқан қисықтың бас нормалінің бағыттаушы векторы және & kv Бұл векторды қисықтың иілім векторы деп те атайды. Сызықтың иілім векторының яғни & & векторының беттің берілген нүктесіндегі беттің нормаль векторына демек N векторына түсірілген проекциясы қисықтың нормаль табиғи иілімі деп аталады. Нормаль иілімді k арқылы белгілейміз және шамасы нормаль иілімнің радиусы деп аталады. Егер алдын-ала нормаль N векторының бірлік векторын таңдап алсақ онда нормаль иілім бағдарланған ориентирленген деп есептеледі. Сонымен нормаль N векторында белгілі бір бағыт таңдап алынғандықтан & & векторының N векторындағы проекциясы не оң не теріс болады. Сонымен нормаль қисықтың: k пр & & Нормаль иілімді есептеу үшін вектор-функциядан натурал S параметрі бойынша туынды табамыз: & d & υ υ& Бұл вектор қисықтың жанама түзуінің бірлік векторы және & векторы жанама жазықтыққа тиісті екендігі белгілі; d& & болғандықтан теңдеуден S параметрі бойынша туынды табамыз: & & && υ& υ&& & υ&. υυ υυ υ Иілім векторының N нормаль векторына түскен проекциясын табу үшін & & векторын векторына скаляр көбейтсек жеткілікті; сонымен қатар υ векторлары жанама жазықтыққа тиісті екенін ескереміз демек. υ Сонымен: k & & & υ& υ& 3 υ υυ Егер Z M N υ υυ деп белгілесек онда 3 теңдік былайша жазылады: d d dυ dυ k Z M N немесе R k