Курстың мақсаты: - Математикалық физика теориясының іргелі ұғымдарымен таныстыру, негізгі әдістерді үйрету және оларды қолдану білуге дайындау, әр

Transcript

1 Курстың мақсаты: - Математикалық физика теориясының іргелі ұғымдарымен таныстыру негізгі әдістерді үйрету және оларды қолдану білуге дайындау әр түрлі жеке дара ұғымдар мен зерттеулерді бір жүйеге келтіру нәтижесінде қойылған есептерде шығара білу қабілетін арттыру; - Студенттердің логикалық ойлау математикалық пайымдау дәрежелерін және математикалық мәдиниетін физика техника және басқа да жаратылыстану ғылымдарында кезлесетін есептерді шеше алатындай деңгейге жеткізу; Пәннің міндеттері: - Математиканың әр түрлі жеке пәндер құралымы емес тұтас бір ғылым екенін және сол ғылымның ішінде «математикалық физика теңдеулерінің» алатын орны туралы мағлұмат алу; - Бұл пәннің математикалық аппаратының дұрыстығы тұтастығы қуаты қатаң логикалық құрылымға байланысты болса екіншіден олар практика жүзінде тексеріліп отыратындығын білу; - Теориялық негіз болып саналатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің белгілі топтарына қойылатын Коши есебі және шекаралық есептердің шешімдерінің бар болуы және олардың жалғыздығы туралы мағлұматтарды білуі тиіс. Білімге икемділікке және дағды-машықтарға қойылатын талаптар: Бағдарламаның талаптарына сәйкес математикалық және функционалдық талдаулар жоғары геометрия алгебра және жай дифференциалдық теңдеулер пәндерінің негізгі салаларын; - Осы математикалық ұғымдар арасындағы өзара байланыстарды терең түсінуі тиіс; - Ойын дәл және тиянақты түрде түсіндіре алатындай; - Меңгерген теориялық материалдарды түрлі салаларда қолдана білу физикалық есептердің дифференциалдық теңдеулердің жазып оның әртүрлі шешімдерін таба білетіндей дәрежеге жетуі тиіс; Пайдалану қабілетін көрсету: - Математикалық физика теңдеулерін дұрыс топтастыру бастапқы және шекаралық шарттарға байланысты шешімдерді табуға қол жеткізетін әдістерді талдау; - Дифференциалдық теңдеулердің теориясы мен практикалық ауқымында кездесетін арнаулы әдебиеттерді оқи білу. Пререквизиттер: Математикалық талдау алгебра аналитикалық геометрия дифференциалдық теңдеулер кешен айнымалылар функциясының теориясы функциялық талдау интегралдық теңдеулер дифференциалдық теңдеулер Постреквизиттер: математикалық физика теңдеулерінің сандық әдістері.

2 Пәннің тақырыптар тізімі: Тақырып. Математикалық физиканың негізгі теңдеулері оларды сыныптау және канондық түрге келтіру. Негізгі теңдеулер үшін Коши есебінің және шекаралық есептердің қойылуы. Сипаттауыштар туралы ұғым. Кеңейтіліп қойылған Коши есебі. Коши Ковалевская теоремасы. Әдебиет: [] тарау б. [] тарау б Тақырып. Гиперболалық типті теңдеулер. Негізгі есептердің қойылуы. Тербелістер теңдеуін қорыту. Толқындық теңдеулер. Толқындардың таралуы. Даламбер формуласы. Шеттік есептерді шешу әдістері. Толқындық теңдеулер үшін Коши есебі және толқынның кеңістікте таралуы. Шешімнің бар болуы және оның жалғыздығы. Тербеліс теңдеулері үшін қойылған шеттік есептер. Энергия интегралы жалғыздық және орнықтылық туралы теоремалар. Шеттік есептерді шешудің айнымалыларды бөлу әдісі. Шешімнің бар болуы туралы теорема. Штурм Лиувилль есебінің меншікті мәндері мен меншікті функциялары. Арнайы функциялар және олардың математикалық физика есептерін шығаруға қолданылуы. Әдебиет: [] тарау.. -8 б. [] тарау б Тақырып 3. Параболалық типті теңдеулер. Негізгі есептердің қойылуы. Жалғыз шешімнің бар болуы және орнықтылығы туралы теоремалар. Жылуөткізгіштік теңдеуінің іргелі шешімі. Пуассон интегралы. Негізгі есептерді шешу әдістері. Параболалық типті теңдеулер үшін алғашқы және шекаралық шарттардың қойылуы. Максимум мәндер қағидасы. Шешімнің жалғыздығы туралы теорема. Фурье әдісі. Біртекті емес алғашқы және шекаралық шарттар. Біртекті емес дифференциалдық теңдеулердің берілген шарттарды қанағаттандыратын шешімін анықтау. Әдебиет: [] 3 тарау б. [] 3 тарау б Тақырып. Эллипстік типті теңдеулер. Негізгі есептердің қойылуы. Гармоникалық функциялар. Дирихе Нейман есептері. Грин формулалары. Негізгі шеттік есептердің шешімінің бар болуы туралы теорема. Лаплас және Пуассон теңдеулері. Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі. Гармоникалық функциялардың негізгі қасиеттері. Шар мен дөңгелек үшін қойылған Дирихле есебінің шешімі. Пуассон формуласы. Пуассон формуласының кейбір салдары. Гармоникалық функциясының шексіздіктегі бағасы. Лаплас теңдеуі үшін қойылған шекаралық есептердің шешімдерінің жалғыздығы туралы теоремалар. Математикалық физика есептерінің жалпыланған шешімдері туралы ұғым. Әдебиет: [] тарау б. [] тарау б Тақырып 5. Потенциал теориясы. Эллипстік типті теңдеулердің шеттік есептерін интегралдық теңдеулерге келтіру. Математикалық физиканың шеттік есептерінің қойылуының қисындылығы. Көлемдік потенциал және оның қасиеті. Жай және екі қабатты потенциалдардың негізгі қасиеттері. Лаплас теңдеуі үшін

3 қойылған шекаралық есептерді потенциал әдісімен шешу. Жай қабатты потенциалдың нормаль бойынша туындысы. Әдебиет: [] тарау б. [] тарау б Есеп шығару мысалдары -мысал. Дербес туындылы теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Берілген теңдеуді түрінде жазайық. Осыдан туындысының бойынша туындысы нөлге тең болғандықтан ол ке тәуелді функция екендігі шығады яғни f Сондықтан f d. Мұндағы кез келген f функциясының интегралы -ке тәуелді функциясы мен тұрақты деп саналатын кез келген -ке тәуелді функциясының қосындысынан тұрады. Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы -мысал. Екінші ретті.

4 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек. Шешуі: Теңдеуді түрінде жазайық. Сонда яғни ол тен тәуелсіз функция екендігі көрінеді. Интегралдаудан кейін шешімін аламыз. яғни ψ 3-мысал қарастырайық. Даламбер теңдеуi үшiн Коши есебiн a t ( ) ( ) t t ( ); Егер ;5 шарты орындалғанда ( ) ( ) болса t болғанда есептiң шешiмi ( t) нөлге тең болатын облысты көрсету керек. ( t ) 3 5 ( -at ) ( +at ) 7-сурет Шешуi O өсiнiң және 5 нүктелерiнен тиiсiнше солға және оңға қарай сипаттауыштар жібереміз. Осы сипаттауыштардың төменгi жағындағы облыста шешiм нөлге тең болады. Шынында да осы сипаттауыштардан төмен орналасқан ( t) нүктесі үшін тәуелділік облысы ;5

5 кесіндісімен қиылыспайды. Сондықтан бұл облыста ( ) ( ). Осыдан ( t). -мысал. Жылуөткізгіштік теңдеуінің берілген = a t Шекаралық шарттарын және t t t болса болса алғашқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек. Шешуі: Шешімді t e a t si түрінде іздейміз. Мұндағы si d si d Осы интегралды есептейміз si d cos si si d cos si Сонда мәні алынады. si Ал si болғандықтан ге тең. Сондықтан

6 Сонымен есептің шешімін былай жазуға болады e t t a si. 5-мысал Дөңгелек үшiн Дирихле есебiн қарастырайық: ; Шешуi Есептiң шешiмiн түрiнде iздейiк. Осы қатарды шекаралық шартқа қойып мынадай теңдiк аламыз cos si cos B Мұнда cos cos cos cos r Осы теңдiктiң екi жағындағы Фурье коэффициенттерiн салыстырып барлық және B коэффициенттерi және болғанда нөлге тең екенiн көремiз. C Осыдан болады да есептiң шешiмiн мына түрде жазамыз. = B r si cos

7 r r cos B si r cos cos si Әдебиеттер ) Рамазанов М.И. Мұхтаров М. Әділбек Н. Математикалық физиканың негізгі теңдеулері. Оқу құралы.-қарағанды: ҚарМУ баспасы 9-3 бет. ) Мұхтаров М. Әділбек Н.А. Математикалық физика есептері және олардың шешімдерін табу әдістері. Оқу құралы.-павлодар: ПМУ7-9 бет.