Αναλογιστικά Μαθηµατικά Ασφαλίσεων Ζωής Αλέξανδρος Α. Ζυµπίδης Λέκτορας Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών Αναλογιστής τ. Πρόεδρος της Εθνικής Αναλογιστικής Αρχής Αθήνα, Φεβρουάριος 2009 ii
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ - ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γενικά περί ασφαλίσεων Ζωής...2 1.2 «Παραδοσιακή» µαθηµατική προσέγγιση...3 1.3 «Σύγχρονη» µαθηµατική προσέγγιση...8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΥ 2.1 Γενικά για τη χρονική αξία του χρήµατος...6 2.2 Η έννοια του τόκου...6 2.3 Μαθηµατικό πρότυπο «Απλού Τόκου»...7 2.4 Μαθηµατικό πρότυπο «Σύνθετου Τόκου»...8 2.5 Συνάρτηση συσσώρευσης...9 2.6 Αποτελεσµατικό iκαι Προεξοφλητικό dεπιτόκιο...10 2.7 Προεξοφλητικοί και Συσσωρευτικοί παράγοντες...11 2.8 Ονοµαστικά Επιτόκια: i ( m) και ( m) d...13 2.9 Ένταση Ανατοκισµού...14 2.10 Ράντες Σταθερού Ύψους Προεξόφληση και Συσσώρευση...15 iii
2.11 Ράντες Σταθερού Ύψους µε (m) πληρωµές κάθε έτος...17 2.12 Ράντες Σταθερού Ύψους µε συνεχείς πληρωµές...18 2.13 Ράντες Σταθερού Ύψους µε άπειρες πληρωµές...18 2.14 Ειδικές συναρτήσεις µε ράντες...20 2.15 Παραδείγµατα...27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ 3.1 Συνάρτηση επιβίωσης...40 3.2 Πίνακας θνησιµότητας Ορισµός και βασικές συναρτήσεις...43 3.3 ιάφορες συναρτήσεις του πίνακα θνησιµότητας...45 3.4 Ένταση θνησιµότητας...48 3.5 Κλασικοί νόµοι θνησιµότητας...49 3.6 Στοχαστική προσέγγιση...50 3.7 Αναλογιστικοί πίνακες Συναρτήσεις Μετατροπής...54 3.8 Ασκήσεις...55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΡΑΝΤΕΣ ΖΩΗΣ 4.1 Ενδεχόµενα Επιβίωσης...60 4.2 Ράντες ζωής µε ετήσιες πληρωµές σταθερού ύψους...61 4.3 Ράντες ζωής µε ετήσιες πληρωµές µεταβαλλόµενου ύψους...64 4.4 Ράντες ζωής µε δύο ή περισσότερες πληρωµές ετησίως...67 iv
4.5 Σχέσεις µεταξύ των διαφόρων ραντών...69 4.6 ιακυµάνσεις επιτοκίου και θνησιµότητας...70 4.7 Παραδείγµατα...71 4.8 Ασκήσεις...73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ 5.1 Ενδεχόµενα θανάτου...78 5.2 Ασφαλίσεις ζωής (πληρωτέες στο τέλος του έτους του θανάτου)...79 5.3 Ασφαλίσεις ζωής (πληρωτέες κατά τη στιγµή του θανάτου)...81 5.4 Ασφαλίσεις ζωής µεταβαλλόµενου ύψους...82 5.5 Σχέση µεταξύ των συναρτήσεων ραντών και ασφαλίσεων...85 5.6 ιακυµάνσεις επιτοκίου και θνησιµότητας...87 5.7 Παραδείγµατα...88 5.8 Ασκήσεις...89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ 6.1 Καθαρά ασφάλιστρα...94 6.2 Εµπορικά ασφάλιστρα...97 6.3 Παραδείγµατα...98 6.4 Ασκήσεις...102 v
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒ ΟΜΟ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΩΝ (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΑ) 7.1 Έννοια και υπολογισµός του αποθέµατος Γενικά...108 7.2 Παραδείγµατα υπολογισµού αποθεµάτων...108 7.3 Σχέση µεταξύ διαδοχικών τιµών αποθεµάτων...110 7.4 Τροποποιηµένα Μαθηµατικά Αποθέµατα...111 7.5 Ασκήσεις...114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓ ΟΟ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΕ ΠΟΛΛΕΣ ΖΩΕΣ 8.1 Αναλογιστικές συναρτήσεις επί (µε βάση) δύο ατόµων...118 8.2 Αναλογιστικές συναρτήσεις επί πολλών ατόµων...119 8.3 Ενδεχόµενες αναλογιστικές συναρτήσεις...123 8.4 Μεταβιβαζόµενες ράντες...124 8.5 Πίνακες πολλαπλών εξόδων...125 8.6 Παραδείγµατα...127 8.7 Ασκήσεις...129 vi
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΤΟ ALM Studies ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ 9.1 Πρόλογος...134 9.2 Απόλυτη αντιστοίχιση λήξεων (Complete Matching)...135 9.3 Θεωρία Ανοσοποίησης (Immunization Theory)...139 9.4 Αντιστάθµιση του επενδυτικού κινδύνου (Hedging)...142 9.5 Συµµετρική ιαχείριση Περιουσίας Υποχρεώσεων (Asset Liability Management -ALM)...143 9.6 Πρακτικές λεπτοµέρειες εφαρµογής της µελέτης ALM...146 9.7 Πρακτική εφαρµογή ALM...149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΑΤΟ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΙΝ ΥΝΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ 10.1 Εισαγωγή...152 10.2 Ασφαλιστικοί κίνδυνοι...158 10.3 Επενδυτικοί κίνδυνοι...160 10.4 Λοιποί κίνδυνοι...162 10.5 Εποπτεία της Ασφαλιστικής Αγοράς...165 10.6 Περιθώριο Φερεγγυότητας Ι και ΙΙ (Solvency I & II)...166 vii
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝ ΕΚΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ 11.1 Εισαγωγή...172 11.2 Απόθεµα Μη εδουλευµένων Ασφαλίστρων (ΑΜ Α)...172 11.3 Απόθεµα Κινδύνων Εν Ισχύ (ΑΚΕΙ)...174 11.4 Απόθεµα Εκκρεµών Αποζηµιώσεων (ΑΕΖ)...177 11.5 Απόθεµα IBNR...180 11.6 Run off αποτέλεσµα και απόθεµα...182 11.7 Μεταφερόµενα Έξοδα Πρόσκτησης (ΜΕΠ)...186 11.8 Ειδικοί τεχνικοί έλεγχοι...187 11.9 Έλεγχος Μαθηµατικών Αποθεµάτων...188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ω ΕΚΑΤΟ ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 12.1 Εισαγωγή...192 12.2 Έλεγχος κερδοφορίας (Profit-Testing)...192 12.3 Προϊόντα συνδεδεµένα µε επενδύσεις (Unit-Linked)...194 12.4 Ενσωµατωµένη αξία -Embedded Value χαρτοφυλακίου...195 12.5 Στοχαστική µοντελοποίηση ασφαλιστικών συστηµάτων...196 viii
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ...203 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΠΙΝΑΚΕΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ...271 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ...295 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...301 ix
x