مجلة فيزيك زمين و فضا دوره 33 شماره 1386 صفحة 1-3 قطع بهينة تجزيه مقادير تكين در حل مسي لههاي معكوس خطي *1 علي غلامي و عبدالرحيم جواهريان 1 دانشجوي كارشناسي ارشد ژي وفيزيك مو سسة ژي وفيزيك دانشگاه تهران ايران دانشيار گروه فيزيك زمين مو سسة ژي وفيزيك دانشگاه تهران ايران (دريافت: 84 / 5 / پذيرش نهايي: (85 / 11 / 18 چكيده بهدست آوردن مدل سرعتي زمين با استفاده از معكوسسازي دادههاي لرزهاي از اهميت زيادي برخوردار است. در نظرية معكوس با استفاده از دادههاي اندازهگيري شده حاوي نوفه به استنباط اطلاعات در مورد دستگاههاي فيزيكي پرداخته ميشود. اطلاعات در مورد نوفة موجود در دادهها براي حل هر مسي له معكوسي ضروري است زيرا در نبود چنين اطلاعاتي نميتوان گفت كدام مدل به مدل واقعي نزديكتر است. پس بدون تكرار عمليات برداشت داده توانايي برآورد مو لفة نوفه در دادهها بسيار با اهمي ت است. اما در عمل ندرت برآورد مستقيمي از نوفة موجود در دادهها امكانپذير است. در اين مقاله ابتدا با استفاده از روش تنظيم تيخونف با منحني L يك مدل پايه از دستگاه حاصل ميشود. آنگاه اختلاف دادهه يا پيشبيني شده با اين مدل و دادههاي مشاهده شده برآورد اولية نوفه خواهد بود. سپس از واريانس نوفة برآورد شده براي تعيين قطع بهينة تجزيه مقادير تكين (optmally truncated sngular value decomposton) OTSVD و حل مسي له معكوس استفاده ميشود. اين روش روي دادهه يا مصنوعي لرزه پايينچاهي (downhole) نشان داده شده است. واژههاي كليدي: منحني L تنظيم تيخونف OTSVD لرزه پايينچاهي مقدمه 1 هدف از معكوسسازي دادههاي ژي وفيزيكي اين است كه از تعداد محدودي مشاهدة غير مستقيم و حاوي نوفه اطلاعات كم ي در مورد ساختارهاي زير سطحي حاصل شود. اما در اين ميان براي اينكه بتوان گفت كدام مدل مربوط به دادههاست اطلاعات در مورد نوفة موجود در ضروري دادهها موجود در نوفة است. شامل دادهها مو لفههاي متفاوتي است كه ميتوان آنها را به دو دستة مو لفههاي تصادفي و غير تصادفي تقسيم كرد. بهطور كلي در ژي وفيزيك هر مسي له خطي حالت خاصي از رابطه (1) است. سي وال اينجا است كه چگونه ميتوان در حضور نوفة n پارامترهاي مدل را با استفاده از دادههاي d بهدست آورد شده و x true R m پارامترهاي مدل واقعياند (n و m به ترتيب تعداد دادهها و پارامترهاي مدل هستند). n مو لفة نوفة موجود در دادهها وخود شامل دو مو لفه است. يكي مو لفه مربوط به نوفههاي تصادفي و ديگري مو لفه مربوط به نوفههاي غير تصادفي است. طبق تعريف نوفههاي تصادفي آن تغييرات ايجاد شده در دادهها هستند كه مجددا قابل توليد نباشند و نوفههاي غير تصادفي شامل قوانين وارد نشده در مدلسازي و اثر گسسته كردن عملگر مستقيماند. در اينجا فرض بر اين است كه همة قوانين فيزيكي مسي له در مدلسازي وارد شدهاند و سطح گسستگي به اندازة كافي كوچك هست تا خطاي ناشي از گسستگي به طور قابل ملاحظهاي كوچك باشد. بنابراين از مو لفه غير تصادفي نوفه صرفنظر ميشود. در نبود نوفه حل رابطه (1) آسان است. مشكل x true d = Ax + true n (1) n m n كه d R دادهها A R عملگر مستقيم گسسته E-mal: agholam@ut.ac.r دورنگار: 1-88956 تلفن: 1-89583 * نويسنده رابط:
مجلة فيزيك زمين و فضا دوره 33 شماره 1386 xˆ = (A A + I) T 1 A T d () زماني ظاهر ميشود كه دادهها حاوي نوفه باشند. ميتوان مدلي را بهدست آورد كه دادههاي نوفهدار را بهخوبي پيشبيني كند اما مدل مطلوب نخواهد بود. بنابراين بايد به طريقي اثر نوفه را از بين برد. براي اين كار دو ديدگاه كاملا متفاوت وجود دارد. ديدگاه اول كه قديميتر نيز هست بر اين فرض استوار است كه مدل مورد نظر هم دادهها را بهخوبي پيشبيني ميكند و هم منحني پارامترهاي آن هموار است يا مدلي با كمترين اندازه (norm) است. ديدگاه ديگر (دونوهو 1995) كه بر ت ن كي (sparseness) مدل تا كيد دارد فرض ميكند كه ميتوان با يك تبديل خطي مدل را با تعداد خيلي كمي از ضرايب تبديل نشان داد بهطوري كه بقيه ضرايب صفر باشند. بنابراين اگر نوفهاي در كار باشد اثر آن روي كليه ضرايب خواهد بود با صفر كردن ضرايبي كه اندازه آنها از يك حد آستانه كمتر است و گرفتن عكس تبديل مدل مورد نظر بهدست ميآيد. در اين مقاله از ديدگاه اول براي حل مسي له استفاده شده است. بدين صورت كه ابتدا با استفاده از روش منحني L براي بهدست آوردن پارامتر تنظيم در روش تيخونف يك مدل مرجع بهدست ميآيد آنگاه با استفاده از دادهه يا با اين مدل يك برآورد اوليه از پيشبيني شده نوفه حاصل ميشود. سپس نوفة برآوردشده براي بهدست آوردن مقدار قطع بهينه از مقادير تكين براي حل مسي له معكوس مورد استفاده قرار ميگيرد. مدل حاصل از قطع مقادير تكين با اين مقدار مدلي خواهد بود كه به مدل واقعي نزديك است و نوفة موجود در دادهها را خيلي بهتر برآورد ميكند. معكوسسازي دادهها يكي از راه حلهاي رابطة (1) استفاده از روش اراي ه شده تيخونف (1963) است. جواب مسي له معكوس در روش تيخونف كه در نقش مدل پايه نوفة مورد استفاده قرار ميگيرد ˆx براي برآورد اوليه صورت زير است كه پارامتر تنظيم تيخونف نام دارد و باعث ايجاد تعادل بين اندازة بردار باقيمانده و اندازة بردار پارامترهاي مدل ميشود. ساختار مدل بهدست آمده با اين روش به مقدار بستگي دارد كه در اين مقاله (هانسن 1998) بهدست ميآيد. راه حل ديگر استفاده از روش روش منحني با L truncated x ) k 1 k = s = 1 TSVD (sngular value decomposton است. u,d v. (3) u كه بردارهاي ويژة AA T v بردارهاي ويژة A T A و s ريشة دوم مقادير ويژة A T A هستند (اسكيلز و اسميت.(1 همچنين, نشان دهنده ضرب داخلي است. اما مشكلي كه در اينجا ظاهر ميشود پيدا كردن مقدار بهينه براي k است. براي رفع اين مشكل ميتوان از تابع استفاده كرد كه بهصورت زير محاسبه ميشود χ χ (k) = n 1 σ~ L Ax k d. (4) n كه تعداد دادهها و ~σ L دادههاست كه بايد برآورد شود. بار σ واريانس نوفه موجود در در وان ويجك و همكاران (1998) روشهاي آماري متفاوتي براي برآورد واريانس نوفه هنگامي كه عمليات برداشت داده فقط يك صورت ميگيرد پيشنهاد شده است. يكي از اين روشها برآورد واريانس بردار نوفة دادهها است. واريانس براي -امين داده به معني توانايي تغيير d حول ميانگين آن است. در اين حالت همانطور كه در رابطه زير ديده ميشود نوفهاند. (5) -امين μ دادة بدون نوفه A و كه ميانگين دادهها همان دادههاي بدون μ = (Axtrue) x true نيز همانند رابطة (1) است. در اين مقاله با فرض اينكه واريانس ثابت است
3 قطع بهينة تجزيه مقادير تكين در حل مسي لههاي معكوس خطي 3 = σ σ براي برآورد اولية آن از روش تيخونف استفاده ميشود. واريانس بردار باقيماندة برآورد اوليه از با بهدست آوردن xˆ از رابطه () Axˆ d (6) σ مورد استفاده قرار ميگيرد. d) در حكم يك ~ σl = var(axˆ هنگام حل مسي له با رابطه () بهدليل آنكه هيچ محدوديتي روي همواري مدل اعمال نميشود پاسخ مسي له xˆ نوسانهاي زيادي را حول مدل واقعي نشان ميدهد. اما همانطور كه غلامي (1384) اراي ه كرده است همين مدل ميتواند واريانس نوفه موجود در دادهها را بهطور قابل ملاحظهاي درست برآورد كند. براي آن اگر برآورد واريانس دادهها صحيح باشد مدلي كه 1= χ دادهها را در حد ميانگين يك انحراف معيار استاندارد پيشبيني خواهد كرد. اما منحني χ براي مقادير متفاوت k ممكن است طوري باشد كه براي بهبود پيشبيني دادهها پيچيدگي ساختار مدل x k را طلب كند. بنابراين از شرط (Akake Informaton Crteron) AIC براي جلوگيري از ساختارهاي اضافي در مدل استفاده ميشود (تي ساكاموتو و كيتاگاوا 1986). AIC(k) = χ (k) e a.k / n (7) كه a تعيينكننده حساسيت نسبي ساختارهاي اضافي به تعداد مقادير تكين بهكار برده شده است. k تعداد مقادير تكين در رابطة (3) و n تعداد دادهها است. مقدار k كه به ازاي آن منحني AIC كمينه شود بايد ساختارهاي اضافي كمتري را به مدل اعمال كند. بنابراين با دو k مقدار روبهرو هستيم يكي k كه به ازاي آن 1= χ باشد و ديگري k مربوط به نقطة كمينه منحني.AIC انتظار ميرود سطح قطع بهينه مقادير تكين كمترين مقدار بين اين دو k باشد. با پيدا كردن k بهينه ميتوان مدل بهينه را از رابطه (3) بهدست آورد. تحليل عدم قطعيت مدل نهايي براي تحليل عدم قطعيت پارامترهاي مدل نهايي از مقادير يك برآوردكننده بايد مقادير اريبي و واريانس برآوردكننده تعيين شود. يك برآوردكننده (اگر داراي واريانس كوچك باشد) ميتواند براي تغييرات تصادفي در دادهها پايدار باشد. از طرف ديگر يك برآوردكننده (اگر داراي واريانس بزرگ باشد) حتي بدون اريبي ممكن است نسبت به تغييرات دادهها بسيار حساس باشد. اگر مدل باشد و A عملگر تصويركننده از فضاي داده به فضاي x o بردار پارامترهاي مدل نهايي آنگاه با توجه به آنكه رابطه (3) يك تبديل خطي است ميتوان نوشت x k = s = 1 1 u,d v = A d (8) k كه مقدار قطع بهينة مقادير تكين بنابراين است. ماتريس كواريانس بهصورت زير خواهد بود (گوويا و cov(x ) = E[x (x = A ) T ] cov(d)a T اسكيلز 1997). (9) حالا به فرض اينكه كواريانس دادهها بهصورت زير باشد ~ cov(d) = σ I (1) آنگاه واريانس خواهد آمد (11) -امين پارامتر مدل T ( AA ) به صورت زير در Var[(x ) ] = σ~ ريشه دوم واريانس بهدست آمده برابر مقدار انحراف معيار پارامتر مدل است كه به صورت ميله خطا روي آن رسم ميشود. اگر مدل حاصل از الگوريتم OTSVD بدون اريبي باشد اين ميلهها عدم قطعيت نهايي پارامترها را نشان ميدهند. در غير اينصورت پارامترهاي بهدست آمده ممكن است به اندازة ميزان اريبي مدل جابهجا شوند.
ه ب ه ب مجلة فيزيك زمين و فضا دوره 33 شماره 1386 4 متا سفانه ميزان اريبي مدل نهايي را نميتوان بهدست آورد زيرا طبق رابطة (1) محاسبة آن منوط به دانستن مدل اصلي است (وان ويجك و همكاران ). Bas(x ) E x [ x ] true = E[(A A I)x = (A A I)x true true + A e] = Bx true (1) اين نتيجه با توجه به اينكه ميانگين مقادير نوفه برابر صفر است بهدست ميآيد. همانطور كه ملاحظه ميشود نميتوان ميزان 4 اريبي را محاسبه كرد. است كه محدودههايي را براي ميزان اريبي تنها راهكار اين دست آورد. اما از آنجايي كه در اينگونه مساي ل تعداد مجهولات از تعداد معادلات بيشتر است نميتوان محدودههاي بستهتري را نسبت به اطلاعات اوليه در مورد مقدار پارامترهاي مدل بهدست آورد. ولي شرايط اولية اضافي در مورد حدود مقدار پارامترهاي مدل و همچنين ميزان همواري منحني پارامترهاي مدل به بازههاي اطمينان بستهتري خواهد انجاميد (غلامي 1384). ساخت مسي له مسي له انتخاب شده در اين مقاله معكوس كردن زمان اولين رسيدهاي امواج كشسان در دادههاي لرزة پايينچاهي با دورافت صفر سرعتي زمين در امتداد چاه براي بهدست آوردن مدل است. در يك لرزه پايينچاهي يك تك چشمة قابل تكرار انرژي امواج كشسان در سطح زمين به فاصلة كمي از چاه در بالاي سر گيرندههايي كه به فواصل متفاوت يا يكسان در درون چاه قرار ميگيرند عمل ميكند. اين چشمه پالس انرژي را به درون زمين ميفرستد و زمان سير امواج با گيرندهها ثبت ميشود. رسيد زمان امواج پايينرونده براي ساخت يك مدل سرعتي بهصورت تابعي از عمق كه به بهترين وجه زمان سيرهاي برداشت شده را كند پيشبيني به كار برده ميشود. در اينجا براي ساخت مسي له معكوس زميني حاوي پنج لايه با ضخامتهاي يكسان در نظر گرفته شده است. سرعت طور خطي با عمق افزايش مييابد طوريكه سرعت در سطح زمين 5 متر بر ثانيه و در انتهاي چاه متر بر ثانيه است اما در لايههاي دوم و چهارم سرعت ثابت و كمتر از لايههاي اطراف است (شكل 1). در اين حالت جواب مسي له معكوس غير يكتا خواهد بود. عمق چاه در نظر گرفته شده در اين مقاله چهل متر است كه تعداد 1 گيرنده با فاصلههاي يكسان زمان رسيد امواج پايينرونده را ثبت ميكنند. زمان سير امواج پايينرونده در طول يك پرتوي خاص از چشمه به گيرنده با انتگرال زير محاسبه ميشود (اسكيلز و اسميت 1) 1 t = dl ray v(z) (13) با معرفي پارامتر كندي كه عكس سرعت محيط است s = /1 v انتگرال زمان سير را ميتوان بهصورت سادهتر نوشت. در اين حالت انتگرال نسبت به پارامتر كندي خطي خواهد شد t = s(z) dl ray (14) اگر مدل سرعتي (يا مدل كندي) و مسير پرتو مشخص باشند زمان سير را ميتوان با انتگرالگيري سرعت (يا كندي) در طول مسير پرتو بهدست آورد. اما در اينجا به فرض مستقيم بودن مسير پرتوها عملگر مستقيم گسسته شده كه دادهها را از فضاي مدل به فضاي دادهها تصوير ميكند يك ماتريس A به ابعاد n m است. عناصر A j اين ماتريس طول پرتوي ام در قطعه مسير j ما است كه در آن سرعت ثابت در نظر گرفته ميشود. براي برداشت با دورافت غير صفر رابطة (14) به علت شكسته شدن امواج در فصل مشترك لايهها نسبت به s غيرخطي
5 قطع بهينة تجزيه مقادير تكين در حل مسي لههاي معكوس خطي شدت در عمل اما خواهد بود. غيرخطي بودن رابطه متوسط است و با خطيسازي تناوبي بر طرف ميشود (وان ويجك و همكاران ). يك مو لفه نوفه از نوع شبه گوسي با ميانگين صفر ثانيه و مقدار معيار انحراف استاندارد / ميلي ثانيه به دادهها اضافه شده است. شكل نمودار دادههاي حاوي نوفة را نشان ميدهد. شكل 1. مدل سرعتي مصنوعي به كار برده شده. شكل. نمودار دادههاي زمان سير مصنوعي ساخته شده. يك مو لفة نوفة تصادفي شبه گوسي با ميانگين صفر ميلي ثانيه و انحراف معيار استاندارد / ميلي ثانيه به دادهها اضافه شده است.
ه ب مجلة فيزيك زمين و فضا دوره 33 شماره 1386 6 5 معكوسسازي دادهها براي معكوسسازي دادههاي بهدست آمده ابتدا به برآورد اوليه از نوفه پرداخته ميشود. براي اين كار رابطة () براي مجموعهاي از مقادير كمينه شده است. با رسم اندازة بردار باقيمانده d Ax - در مقابل اندازة بردار پارامترهاي مدل x منحني L دست آمده است كه در شكل 3 نشان داده شده است. طبق تعريف پارامتر تنظيم تيخونف بهينه نقطهاي از منحني با بيشترين انحنا است (هانسن 1998). با اين مقدار تنظيم تيخونف منجر ˆx از زمين شده است كه از اين مدل به يك مدل اوليه ~σ L براي بهدست آوردن يك برآورد اوليه از واريانس استفاده شده است. در اين مثال برآورد اوليه از واريانس تقريبا %93 مقدار واقعي آن است. اما مدل سرعتي بهدست آمده (شكل 4) در حكم مدل زمين انتخاب نميشود زيرا منحني پارامترهاي آن نوسان بسيار زيادي را حول مدل واقعي نشان ميدهند. با اين برآورد اوليه از نوفه الگوريتم OTSVD براي بهبود برآورد نوفه اجرا شده است. منحني AIC در شكل 5 نشان داده شده است. نمودار دادههاي برآورد شده براي مدل حاصل از روش تيخونف و مدل حاصل از الگوريتم OTSVD به همراه دادههاي بدون نوفه در شكل 6 نشان داده شده است. ملاحظه ميشود كه دادههاي برآورد شده با دو روش تفاوت چنداني با هم ندارند اما مدلهاي مربوط به آنها كاملا با هم متفاوتاند. عدم قطعيتهاي برآورد شده براي دادهها در جدول 1 خلاصه شدهاند. ملاحظه ميشود كه برآورد عدم قطعيت دادهها حاصل از الگوريتم σ ~ OTSVD نسبت به برآورد σ~ L بهبود يافته است. اوليه جدول 1. از سمت راست عدم قطعيتهاي اصلي (ستون اول) برآورد شده با مدل بهدست آمده از روش تيخونف (ستون وسط) و OTSVD (ستون آخر) برحسب ميلي ثانيه. مدل سرعتي بهدست آمده از الگوريتم OTSVD به همراه بازه پايداري پارامترهاي آن در شكل 7 و ماتريس كواريانس پارامترهاي مدل در شكل 8 نشان داده شده است. ريشه دوم دادههاي روي قطر اصلي ماتريس كواريانس عدم قطعيت پارامترهاي مدل كندياند كه بهصورت ميلههاي خطا روي پارامترهاي مدل رسم شدهاند. اين ميلههاي خطا بيان كنندة اين مطلباند كه در اثر تغييرات تصادفي در دادهها پارامترهاي مدل به چه ميزان تغيير ميكنند. اگر مدل OTSVD بدون اريبي باشد اين ميلهها عدم قطعيت نهايي مدل بهشمار ميآيند. اما پارامترهاي مدل كندي به اندازة ميزان اريبي محاسبه شده با رابطة (1) جابهجا ميشوند. شكل 9 منحني پارامترهاي مدل سرعتي اما تصحيح شده از اريبي را نشان ميدهد. همانطور توافق دارد. 6 كه ملاحظه ميشود اين مدل با مدل واقعي نتيجه گيري يكي از روشهاي بهدست آوردن اطلاعات از دادهها روش معكوسسازي است. در مساي ل معكوس دست آوردن نوفة موجود در دادهها از اهميت خاصي برخوردار است. در لرزهشناسي هنگامي كه عمليات برداشت داده فقط يك بار صورت ميگيرد جدا كردن سيگنال از نوفه (زماني كه باند بسامدي آنها همپوشاني داشته باشد) مشكل است. در الگوريتم OTSVD پيشنهاد شده در اين مقاله براي حل مساي ل معكوس خطي برآورد اوليه از واريانس دادهها با روش منحني L بدون هيچ اطلاعاتي در مورد خطاي موجود در دادهها صورت پذيرفت. ديده شد كه برآورد نهايي واريانس دادهها با مدل حاصل از الگوريتم يادشده بسيار به مقدار واقعي آن نزديكتر است (%99 مقدار واقعي). بنابراين اين روش ميتواند براي برآورد خطاي موجود در دادهها بسيار كارا باشد. همچنين مدل بهدست آمده با اين روش همخواني خوبي با مدل اصلي زمين دارد. σ ~ ~σ L σ 1/87 / 1/98
7 قطع بهينة تجزيه مقادير تكين در حل مسي لههاي معكوس خطي شكل 3. منحني L دست آمده براي انتخاب بهينه در تنظيم تيخونف. شكل 4. منحني پارامترهاي مدل سرعتي اصلي (منحني مقطع سياه رنگ). منحني پارامترهاي مدل سرعتي حاصل از تنظيم تيخونف (منحني آبي رنگ). همانطوريكه ملاحظه ميشود پارامترهاي مدل برآورد زده شده نوسان زيادي از خود نشان ميدهند.
ه ب مجلة فيزيك زمين و فضا دوره 33 شماره 1386 8 شكل 5. منحني AIC k ac انتخاب ميشود در اينجا =a در نظر گرفته شده است. دست آمده در اين مثال. k مربوط به نقطة كمينه منحني در حكم شكل 6. منحني دادههاي مصنوعي بدون نوفه (رنگ سياه) منحني دادههاي برآورد شده با مدل دست آمده از روش تيخونف (منحني آبي رنگ) و منحني دادههاي برآورد شده با مدل حاصل از الگوريتم.OTSVD ملاحظه ميشود كه دو منحني تفاوت چنداني با هم ندارند و هر دو دادههاي اصلي را بهخوبي پيشبيني ميكنند.
9 قطع بهينة تجزيه مقادير تكين در حل مسي لههاي معكوس خطي شكل 7. متوسط نتيجه مدل OTSVD با بازة پايداري مدل. شكل 8. ماتريس كواريانس پارامترهاي مدل نشان داده شده در شكل 7.
مجلة فيزيك زمين و فضا دوره 33 شماره 1386 3 شكل 9. منحني پارامترهاي مدل سرعتي نهايي حاصل از OTSVD تصحيح شده از اريبي. Hansen, P. C., 1998, Rank-Defcent and Dscrete Ill-Posed Problems, SIAM. USA. Scales, J. A., and Smth, M., L., 1, Introductory geophyscal nverse theory, Samzdat Press, Colorado School of Mne, Denver. T. Sakamoto, M. I., and Ktagawa, G., 1986, Akake nformaton crteron statstcs, D. Redel, Holand. Tkhonov, A. N., 1963, Soluton of ncorrectly formulated problems and the regularzaton method: Sovet Math: Dokl., 4, 135-138. Van Wjk, K., Scales, J. A., Navd, W., and Roy- Chowdhury, K., 1998, Estmatng data uncertantes for least squares optmzaton, n Annual Project Revew, vol. CWP 83, Center for Wave Phenomena, Colorado School of Mnes, Denver. Van Wjk, K., Scales, J. A., Navd, W., and Tenoro, L.,, Data and model uncertanty estmaton for lnear nverson: Geophys. J. Int., 149, 65-63. تشكر و قدرداني اين مقاله از محل اعتبارات پژوهشي دانشگاه تهران در قالب طرح پژوهشي شماره 614/1/4 است. گرفته بدين وسيله از حوزه صورت معاونت پژوهشي دانشگاه تهران و مو سسه ژي وفيزيك تشكر مينماييم. منابع غلامي ع. 1384 بررسي عدم قطعيت در حل مساي ل معكوس لرزهاي از طريق معكوسسازي دادههاي پروفيل لرزهاي قاي م پايان نامة كارشناسي ارشد ژي وفيزيك مو سسه ژي وفيزيك دانشگاه تهران. Donoho, D. L., 1995, Nonlnear Soluton of Lnear Inverse Problems by Waveletvaguelette Decomposton. Appl. Comput. Harmon. A., no., 11-16. Gouvea, W. P., and Scales, J. A., 1997, Resoluton of sesmc waveform nverson: Bayes versus Occams: Inverse Probl, 13, 33-349.