Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1. Στοιχειακοί ηµιαγωγοί

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1 Στοιχειακοί ηµιαγωγοί

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική Οµοιοπολικοί δεσµοί στο πυρίτιο Κρυσταλλική δοµή Πυριτίου ιάσταση κύβου για το Si: 0.543 nm

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 3 Η µεταβολή ενέργειας των sp 3 ζωνών συναρτήσει της απόστασης µεταξύ των ατόµων πυριτίου, r. Οι ενεργειακές ζώνες σε µέταλλα, ηµιαγωγούς και µονωτές

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 4 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΖΩΝΕΣ Si, Ge και GaAs Si: Έµµεσο ενεργειακό χάσµα, E G = 1.1 ev ιευθύνσεις υψηλής συµµετρίας

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 5 Ge : Γ L ελάχιστη ενέργεια χάσµατος, E G = 0.67 ev GaAs : Γ Γ άµεσο ενεργειακό χάσµα E G = 1.43eV

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 6 Απλοποιηµένο ενεργειακό διάγραµµα E-k για το πυρίτιο m n 1 1 E = ενεργός µάζα ηλεκτρονίων k m p 1 1 E = k ενεργός µάζα οπών

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 7 Η κατανοµή Fermi f ( E) = 1 ( )/ e E E F kt 1 + Νέφος ηλεκτρονίων το οποίο ακολουθεί τη στατιστική Fermi-Dirac θεωρείται εκφυλισµένο. Η διαφορά µεταξύ της κατανοµής Fermi που ακολουθούν τα κβαντικά σωµατίδια (διακριτό ενεργειακό φάσµα) από την κατανοµή Maxwell-Boltzmann που ακολουθούν τα κλασσικά σωµατίδια (συνεχές ενεργειακό φάσµα) αποτελεί µέτρο του εκφυλισµού.

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 8 Για ενέργειες που υπερβαίνουν κατά 1.5kT την ενέργεια Fermi το επί τοις εκατό σφάλµα δ = 100( f f ) / f που γίνεται όταν αντί της MB FD MB κατανοµής Fermi υιοθετούµε την κατανοµή Maxwell-Boltzmann είναι της τάξης του 10%. Συνήθως ένας ηµιαγωγός θεωρείται ως µη εκφυλισµένος όταν ισχύει : E + 3kT E E 3kT V F C Καθώς κάτω από αυτές τις συνθήκες είναι δυνατό να θεωρηθεί ότι: f FD ( E) 1 = exp[( E E ) / kt ] + 1 f ( E) = exp[ ( E E ) / kt ] MB F F Συνθήκες θεώρησης ενός ηµιαγωγού ως εκφυλισµένου

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 9 ΕΝ ΟΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΟΠΩΝ ΣΤΙΣ ΖΩΝΕΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΘΕΝΟΥΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΕΝΟΣ ΕΝ ΟΓΕΝΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥ E to p E C f ( E ) g ( E ) d E = N = n C C b

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 10 οµοίως για τις οπές και τη ζώνη σθένους ισχύει: E E V bottom [1 f ( E)] g ( E) de = N = p V Vb Πυκνότητα καταστάσεων στη ζώνη αγωγιµότητας ενός ηµιαγωγού: 3/ mn mn( E EC) 8 π mn gc( Ε ) = = E E 3 3 π h C Πυκνότητα καταστάσεων στη ζώνη σθένους ενός ηµιαγωγού: 3/ mp mp( EV E) 8 π mp gv( Ε ) = = E 3 3 V E π h

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 11 Πληθυσµός ηλεκτρονίων που καταλαµβάνει τη ζώνη αγωγιµότητας: n E top m m E E de = NCb = = 1 exp[( E E ) / kt] n n C 3 π + Ε C F m m E E de = 1 exp[( E E ) / kt] n n C 3 π + 0 n n C 3 π 0 F F m m E E de = NC exp[( EF EC) / kt] exp[( E E ) / kt] όπου N C mkt π n = ζώνη αγωγιµότητας. 3/ η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων στη Κατ αναλογία για τις οπές προκύπτει: mkt p p = NV exp[( EV EF) / kt] = exp[( E ) / ] V EF kt π 3/ όπου N V στη ζώνη σθένους. mkt p π = 3/ η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1 Πολλαπλασιάζοντας τις εκφράσεις για n και p µεταξύ τους προκύπτει: np = N exp[( E E )/ kt ] i N exp[( E E )/ kt ] = C F C V V F = N N exp[( E E ) / kt] = N N exp( E / kt) C V V C C V G και µε δεδοµένο ότι στον ενδογενή ηµιαγωγό ισχύει n i = p i προκύπτει: n= n = p = N N E kt = AT E kt 3/ i i C V exp( G / ) exp( G / ) όπου 5/ 3/ ( mπ k) A = = 4.83 10 ηλεκτρόνια / mk 3 h 1 3 3/ Η θέση της ενέργειας Fermi σε ενδογενή ηµιαγωγό n = p N exp[( E E ) / kt] = N exp[( E E ) / kt] i i C F C V V F NC kt ln EC EV EF N = + V 1/ 1 N ( ) ln V EF = EC + EV + kt NC 1 m ( ) ln p EF = EC + EV + kt mn 1/

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 13 1 EF = ( EC + EV ) όταν NC = NV ( ή mp = mn ) Αγωγιµότητα ενδογενούς ηµιαγωγού σ = en ( µ + pµ ) n p µ n σ i = en ( iµ n + piµ p) = eniµ p( b+ 1) όπου b = µ σ = eµ ( b+ 1) N N exp( E / kt) = i p C V G p 3/ mmkt p n = eµ p( b+ 1) exp( E / ) G kt = π = Cexp( E / kt) G H C είναι µια σταθερά ανεξάρτητη της θερµοκρασίας σε ενδογενή ηµιαγωγό δεδοµένων των παρακάτω σχέσεων: b = µ n µ p, µ p T 3/, µ n T 3/

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 14 Μεταβολή του ενεργειακού χάσµατος µε τη θερµοκρασία at Eg( T) = Eg(0) T + β Υλικό γερµάνιο πυρίτιο GaAs E G (0) (ev) 0.7437 1.166 1.519 α (mev/k) 0.477 0.473 0.541 β (Κ) 35 636 04

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 15 Εξάρτηση της συγκέντρωσης φορέων από τη θερµοκρασία σε ενδογενές πυρίτιο n = N N E kt = AT E kt = 3/ i C V exp( G / ) exp( G / ) 3/4 3/ 19 m mp n T (.510 10 ) exp( EG / kt) m0 m0 300 = για 00 Κ Τ 700 Κ ισχύει: m n m 0 = 1.08 + (6.11 10 ) T (3.09 10 ) T 4 7 m p m 0 = 0.610 + (7.83 10 ) T (4.46 10 ) T 4 7 Λαµβάνοντας υπόψη την εξάρτηση του ενεργειακού χάσµατος από τη θερµοκρασία καθώς και τις εκφράσεις για τα n i, m n /m 0, m p /m 0 (m 0 η µάζα του ηλεκτρονίου στον ελεύθερο χώρο) προκύπτουν για την εξάρτηση της συγκέντρωσης φορέων από τη θερµοκρασία στο ενδογενές πυρίτιο τα ακόλουθα δύο διαγράµµατα. Στο πρώτο η συγκέντρωση φορέων παρουσιάζεται σε γραµµική κλίµακα και στο δεύτερο σε λογαριθµική.

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 16 Εξάρτηση συγκέντρωσης φορέων στο ενδογενές πυρίτιο από τη θερµοκρασία Εξάρτηση συγκέντρωσης φορέων στο ενδογενές πυρίτιο από τη θερµοκρασία(γραµµική κλίµακα)

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 17 ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΜΕ ΠΡΟΣΜΙΞΕΙΣ Συγκέντρωση ηλεκτρονίων στις στάθµες των δοτών (συγκέντρωση µη ιονισµένων δοτών): n D ND = 1 1+ exp[( ED EF) kt] Συγκέντρωση οπών στις στάθµες των αποδεκτών (συγκέντρωση µη ιονισµένων αποδεκτών): n A N A = 1 1+ exp[( EF EA) kt] Συνθήκη ηλεκτρικής ουδετερότητας κρυστάλλου: ND NA = n+ nd p pa Στις συνήθεις θερµοκρασίες ο ηµιαγωγός θεωρείται ως µη εκφυλισµένος, η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στους δότες και των οπών στους αποδέκτες θεωρείται αµελητέα (οι προσµίξεις θεωρούνται ιονισµένες) οπότε η συνθήκη ουδετερότητας γράφεται: N N = n p D οπότε: A N exp[( E E ) / kt] N exp[( E E ) / kt] + N N = 0 V V F C F C D A

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 18 ND NA NV exp( EV / kt) [exp( EF / kt)] exp( EF / kt) = 0 N exp( E / kt) N exp( E / kt) C C C C Η εξίσωση δευτέρου βαθµού που προκύπτει έχει την ακόλουθη λύση: 1 ( N ) 1 3 D N kt m A p 1 ( ) ln sinh EF = EV+ EC + + kt 4 mn NN C V exp( EG/ kt) E F i Οι πρώτοι δύο όροι στην προηγούµενη έκφραση δίνουν την ενέργεια Fermi ενδογενούς ηµιαγωγού οπότε: 1 ND N A EF = EFi + ktsinh ni 1 sinh x= ln( x+ x + 1) 1 Aν ND NA 0 sinh x x ND NA E = E + kt E n F Fi Fi i 1 Aν ND NA ni sinh x ± ln x

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 19 E = E ± kt F Fi ln N D n i N A θετικό πρόσηµο: n-type αρνητικό πρόσηµο: p-type Η θέση της ενέργειας Fermi ανάλογα µε τον τύπο της πρόσµιξης παρουσιάζονται στα ακόλουθα δύο σχήµατα: Η θέση της ενέργειας Fermi σε ηµιαγωγό τύπου n

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 0 Η θέση της ενέργειας Fermi σε ηµιαγωγό τύπου p

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1 Εξάρτηση ενεργειακού χάσµατος από τη συγκέντρωση προσµίξεων 3e e N Ε g ( N) = για το πυρίτιο είναι ε=11.7 οπότε: 16πε ε kt N Ε g ( N) =.5 mev 10 18 3 cm

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΜΕ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΡΟΣΜΙΞΕΩΝ Αν σε έναν ηµιαγωγό η κατανοµή φορέων δεν είναι σταθερή τότε παρουσιάζεται ένα ρεύµα διάχυσης που για τις οπές η πυκνότητά του είναι: dp( x) J P = qdp A/ m dx όπου p(x) η κατανοµή της συγκέντρωσης των οπών και q το φορτίο του ηλεκτρονίου. Για τα ηλεκτρόνια µε κατανοµή n(x) ισχύει αντίστοιχα : dn( x) Jn = qdn A/ m dx Αν εντός του ηµιαγωγού εκτός από βαθµίδα συγκέντρωσης υπάρχει και βαθµίδα δυναµικού V(x) τότε για τα ρεύµατα οπών και ηλεκτρονίων θα ισχύουν αντίστοιχα: dp( x) J P = qµ Ρ p( x) E qdp A/ m dx dn( x) Jn = qµ nn( x) E+ qdn A/ m dx όπου η ευκινησία και ο συντελεστής διάχυσης σχετίζονται µεταξύ τους µε βάση την Εξίσωση Einstein:

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 3 DP D µ µ Ρ n = = VT = n T 11600 Κατανοµή των προσµίξεων σε ηµιαγωγό µε απουσία εξωτερικής διέγερσης. Στην περίπτωση µηδενικής διέγερσης, όπου δεν υπάρχει έγχυση φορέων από εξωτερική πηγή, δε µπορεί να συντηρηθεί µια σταθερή κίνηση φορτίων παρά µόνο η τυχαία θερµική κίνηση. Έτσι τόσο το συνολικό ρεύµα των οπών όσο και το συνολικό ρεύµα των ηλεκτρονίων θα πρέπει να είναι ίσα µε µηδέν. Όταν όµως η συγκέντρωση φορέων δεν είναι σταθερή, όπως φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί, σίγουρα υπάρχει ένα ρεύµα διάχυσης. Στην προκειµένη περίπτωση για να µηδενιστεί το συνολικό ρεύµα των οπών θα πρέπει να αναπτυχθεί ένα εσωτερικό ηλεκτρικό πεδίο του οποίου το ρεύµα αγωγιµότητας θα αντισταθµίζει το ρεύµα διάχυσης. Ηµιαγωγός µε ανοµοιόµορφη κατανοµή οπών

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 4 Θέτοντας λοιπόν Jp=0 προκύπτει: dp( x) 0 = qµ Ρ p( x) E qdp A/ m dx και µε βάση την εξίσωση Einstein το ηλεκτρικό πεδίο δίδεται από την ακόλουθη έκφραση: E V T dv ( x) dp( x) = = dx p( x) dx V / m οπότε: dp( x) dv ( x) V V V V V ln = 1 T 1 1 T dx = = p p ( ) p1 = pexp V1/ VT (Εξίσωση Boltzmann) Η διαφορά δυναµικού V 1 µεταξύ δύο σηµείων 1 και εξαρτάται µόνο από τις συγκεντρώσεις σε αυτά τα δύο σηµεία ενώ είναι ανεξάρτητη της απόστασής τους, x -x 1. Με το ίδιο σκεπτικό προκύπτει αντίστοιχη εξίσωση και για τα ηλεκτρόνια:

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 5 ( ) n n V V 1 = exp 1/ T Πολλαπλασιάζοντας την έκφραση για τα ηλεκτρόνια µε αυτήν για τις οπές κατά µέλη προκύπτει np 1 1 = np που καταδεικνύει ότι το γινόµενο np είναι ανεξάρτητο του x. υναµικό επαφής. Η προηγούµενη διαδικασία µπορεί να εφαρµοστεί και για τον προσδιορισµό του δυναµικού επαφής δύο ηµιαγωγών µε διαφορετικό τύπο αγωγιµότητας. Σε κάθε ένα από τα δύο µέρη η συγκέντρωση προσµίξεων θεωρείται σταθερή (N A και N D αντίστοιχα). Οι συγκεντρώσεις φορέων στα δύο µέρη σε συνθήκες θερµικής ισορροπίας θα είναι: p = p = N και p = p = 1 p0 A n0 n N i D

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 6 οπότε το δυναµικό επαφής είναι: p p V = V = επ V = V N N 1 p0 A D T ln T ln T ln p pn0 ni ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Millman J. & Halkias C. Integrated Electronics. Analog and Digital Circuits and Systems. McGraw Hill (197). Millman J. & Grabel A. Μικροηλεκτρονική, η Έκδοση, Τόµος Α, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη (1996). Οικονόµου Ν. Α. & Θαναηλάκης Α. Κ. Φυσική και Τεχνολογία των Ηµιαγωγών, Θεσσαλονίκη (1980). Pierret, R. F. Semiconductor Device Fundamentals, Addison-Wesley, International Edition (1996).