Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ συμβολίζονται με α, β, γ αντίστοιχα, και οι γωνίες ΒAΓ ˆ, ΑΒΓ ˆ και ΒΓΑ ˆ με Â, ˆΒ και ˆΓ. 2. Τι είναι και πως συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Το άθροισμα α + β + γ των πλευρών του τριγώνου, είναι η περίμετρός του και συμβολίζεται συνήθως με 2τ. Σχήμα 1 3. Ποια είναι τα είδη του τριγώνου ως προς τις πλευρές του ; Συγκρίνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου, μεταξύ τους, προκύπτουν τρία είδη τριγώνων: το σκαληνό, το ισοσκελές και το ισόπλευρο. Έτσι, ένα τρίγωνο λέγεται: σκαληνό, όταν έχει όλες τις πλευρές του άνισες (σχ.2), ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές του ίσες (σχ.3). Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρά ΒΓ λέγεται βάση του και το Α κορυφή του, ισόπλευρο, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες (σχ.4). 4. Ποια είναι τα είδη του τριγώνου ως προς τις γωνίες του ; Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, λέγεται οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες (σχ.5), ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή (σχ.6). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές του τριγώνου, αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία (σχ.7). 5. Τι λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του. 6. Τι λέγεται διάμεσος ενός τριγώνου; Διάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Στο σχ.8 το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α του τριγώνου ΑΒΓ και συμβολίζεται με μ α. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ συμβολίζονται με μ β και μ γ αντίστοιχα. 7. Τι λέγεται διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου; Διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Στο σχ.9 το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας A του τριγώνου και συμβολίζεται με δ α. Οι διχοτόμοι των γωνιών B και Γ του τριγώνου συμβολίζονται με δ β και δ γ αντίστοιχα. Σχήμα 8 Σχήμα 9 2

8. Τι λέγεται ύψος ενός τριγώνου; Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμβολίζονται αντίστοιχα με υ α, υ β και υ γ. Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ. Σχήμα 10 9. Πότε δυο τρίγωνα είναι ίσα; Δύο τρίγωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. Συνεπώς: Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. 10. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. 1ο Κριτήριο (ΠΓΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. 2ο Κριτήριο (ΓΠΓ) Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3ο Κριτήριο (ΠΠΠ) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 11. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο να αποδείξετε ότι: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. Απόδειξη Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ (σχ.11). Φέρουμε τη διχοτόμο του ΑΔ. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ έχουν ΑΒ = ΑΓ, ΑΔ κοινή και A ˆ ˆ 1 A2 (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε Β ˆ = Γ ˆ. Από την ίδια ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι ΒΔ = ΔΓ, οπότε η ΑΔ είναι διάμεσος και Δ ˆ ˆ 1 Δ2. Από την τελευταία ισότητα και επειδή Δ ˆ ˆ 1 Δ2 = 180 προκύπτει ότι Δ ˆ ˆ 1 Δ2= 90, οπότε συμπεραίνουμε ότι το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου. Σχήμα 11 12. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Απόδειξη Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒ (σχ.12) και Μ ένα σημείο της. Τα τρίγωνα ΜΚΑ και ΜΚΒ έχουν ΚΑ=ΚΒ, ΜΚ κοινή και Κ ˆ ˆ 1 Κ2 = 90 (ΠΓΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε ΜΑ= ΜΒ. Σχήμα 12 13. Να αποδείξετε ότι, αν δυο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες. Απόδειξη Έστω ΑΒ και ΓΔ δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ο,ρ) (σχ.13). Τότε είναι ΑΟΒ ˆ = ΓΟΔ ˆ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ έχουν ΟΑ = ΟΓ(= ρ), ΟΒ = ΟΔ(= ρ) και ΑΟΒ ˆ = ΓΟΔ ˆ. Επομένως είναι ίσα, οπότε ΑΒ = ΓΔ. Σχήμα 13 3

14. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου,που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος. Απόδειξη Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ η διάμεσός του (σχ.14). Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν ΑΒ=ΑΓ, ΑΔ κοινή και ΒΔ=ΔΓ, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα, οπότε A ˆ ˆ 1 A2, και Δ ˆ ˆ 1 Δ2. Από τις ισότητες αυτές προκύπτει αντίστοιχα ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος και ύψος. Σχήμα 14 15. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. Απόδειξη Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (σχ.15), Μ ένα σημείο, ώστε ΜΑ = ΜΒ και Κ το μέσο του ΑΒ. Τότε το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η ΜΚ διάμεσός του, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα, η ΜΚ θα είναι και ύψος δηλαδή η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ. Σχήμα 15 16. Να αποδείξετε ότι,αν οι χορδές δυο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες τότε τα τόξα είναι ίσα. Απόδειξη Έστω δύο τόξα ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,ρ) μικρότερα του ημικυκλίου, με ΑΒ = ΓΔ. Τότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ (σχ.16) έχουν: ΟΑ= ΟΓ (= ρ), ΟΒ = ΟΔ (= ρ) και ΑΒ = ΓΔ, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα. Επομένως, ˆ ΑΟΒ = ˆ ΓΟΔ, οπότε ΑΒ = ΓΔ. Σχήμα 16 17. Να γράψετε τα κριτήρια ισότητας των ορθογώνιων τριγώνων. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: Δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Μία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. 18. Να αποδείξετε η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. Απόδειξη Ας θεωρήσουμε έναν κύκλο (Ο,ρ), μια χορδή του ΑΒ και την κάθετη ΟΚ της ΑΒ, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ (σχ.17). Επειδή το τμήμα ΟΚ είναι ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ= ΟΒ = ρ), σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα είναι διάμεσος και διχοτόμος, δηλαδή το Κ είναι μέσο του ΑΒ και Ο ˆ ˆ 1 Ο2. Αφού Ο ˆ ˆ 1 Ο2 προκύπτει ότι ΑΜ = ΜΒ. Σχήμα 17 19. Να αποδείξετε ότι δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. Απόδειξη 'Εστω οι ίσες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου (Ο,ρ) και ΟΚ, ΟΛ τα αποστήματά τους αντίστοιχα (σχ.18). Τα τρίγωνα ΚΟΑ και ΛΟΓ, έχουν ˆΚ = ˆΛ = 90, ΟΑ = ΟΓ (= ρ) και ΑΚ = ΓΛ (αφού ΑΒ = ΓΔ). Επομένως είναι ίσα, οπότε ΟΚ = ΟΛ. Αντίστροφα. Έστω ότι τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα. Τότε τα τρίγωνα ΚΟΑ και ΛΟΓ έχουν ˆΚ = ˆΛ = 90, ΟΑ = ΟΓ και ΟΚ = ΟΛ, επομένως είναι ίσα, οπότε AK = ΓΛ ή ΑΒ 2 = ΓΔ 2 ή ΑΒ = ΓΔ. Σχήμα 18 4

20. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. Απόδειξη Έστω μια γωνία ˆ xοy και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ (σχ.19). Φέρουμε MA Ox και MB Oy. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΜ και ΒΟΜ είναι ίσα γιατί έχουν Â = ˆΒ = 90, ΟΜ κοινή και ΜÔΑ = ΜÔΒ, επομένως ΜΑ = ΜΒ. Αντίστροφα. Έστω Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας. Φέρουμε MA Ox και MB Oy και υποθέτουμε ότι ΜΑ = ΜΒ. Τότε τα τρίγωνα ˆ ΑΟΜ και ˆ ΒΟΜ είναι πάλι ίσα, αφού Â = ˆΒ = 90, ΟΜ κοινή και ΜΑ=ΜΒ και επομένως ΜΟΑ ˆ = ΜΟΒ ˆ, οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ. Σχήμα 19 21. Τι λέγεται γεωμετρικός τόπος; Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. 22. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι. Κύκλος Μεσοκάθετος Διχοτόμος. ο κύκλος (σχ.20) είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο. Σχήμα 20 η μεσοκάθετος ενός τμήματος (σχ.21) είναι επίσης ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. Σχήμα 21 η διχοτόμος μιας γωνίας (σχ.22) είναι ένας άλλος γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. 23. Πότε ένα σχήμα λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία; Δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.23), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. Σχήμα 22 24. Πότε ένα σχήμα λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Σχήμα 23 Δύο σχήματα Σ, Σ' (σχ.24) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντίστροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σ'. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Σχήμα 24 5

25. Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας τριγώνου. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. ΠΟΡΙΣΜΑTA i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 180. 26. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών τριγώνου. ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. ΠΟΡΙΣΜΑTA i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές. iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. 27. Τριγωνική ανισότητα. ΘΕΩΡΗΜΑ( Τριγωνική ανισότητα) Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. β - γ <α < β + γ, β γ. ΠΟΡΙΣΜΑ Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου. 28. Να αποδείξετε ότι αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα. Απόδειξη Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κάθετο τμήμα (σχ.25). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = ΚΓ. Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή ΑΒ = ΑΓ. Σχήμα 25 29. Κάθετες και πλάγιες. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. (ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. 30. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου; Θεωρούμε έναν κύκλο (Ο,R) μια ευθεία x'x και την απόσταση δ = ΟΑ του κέντρου Ο από την x'x (σχ.26) Αν δ>r, η ευθεία x'x δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εξωτερική ευθεία του κύκλου. Αν δ=r, η ευθεία x'x έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α.. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική. Αν δ<r, η ευθεία x'x έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο και λέγεται τέμνουσα του κύκλου. Τα κοινά της σημεία με το κύκλο λέγονται σημεία τομής της με τον κύκλο. ΘΕΩΡΗΜΑ Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία και αντίστροφα. Σχήμα 26. 6

31. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. Απόδειξη Τα τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ (σχ.27) έχουν Â = ˆΒ = 90, ΟΡ κοινή και ΟΑ = ΟΒ (= ρ), άρα είναι ίσα, οπότε ΡΑ = ΡΒ. (Έστω ένας κύκλος (Ο, ρ) και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. Τα τμήματα ΡΑ και ΡΒ λέγονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ και η ευθεία ΡΟ διακεντρική ευθεία του σημείου Ρ.) Σχήμα 27. ΠΟΡΙΣΜΑ Αν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική ευθεία του: (i) είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής, (ii) διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής. 32. Τι λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων; Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα δύο κύκλων λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων και συμβολίζεται με δ. 33. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δυο κύκλων Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία (i) Ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), (R > ρ)αν και μόνο αν δ < R - ρ (σχ.28α). (ii) Οι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) βρίσκεται ο ένας στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ > R + ρ (σχ.28ε). Εφαπόμενοι κύκλοι (i) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο κύκλος (Λ, ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του (Κ, R), αν και μόνο αν δ = R - ρ (σχ.28β). (ii) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο και ο ένας βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν δ = R + ρ (σχ.28δ). Το κοινό σημείο δύο εφαπτόμενων κύκλων λέγεται σημείο επαφής και είναι σημείο της διακέντρου. Τεμνόμενοι κύκλοι Οι κύκλοι τέμνονται, δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία, αν και μόνο αν R ρ< δ < R + ρ (σχ.28γ). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που ενώνει τα κοινά σημεία λέγεται κοινή χορδή των δύο κύκλων. Σχήμα 28. 34. Να αποδείξετε ότι η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. Απόδειξη Έστω οι κύκλοι (KR) και (Λ,ρ) του σχ.29 και Α, Β τα σημεία τομής τους. Επειδή ΚΑ = ΚΒ = R, το σημείο Κ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Όμοια από την ΛΑ = ΛΒ = ρ προκύπτει ότι και το Λ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Άρα, η ΚΛ είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής ΑΒ του κύκλου. Σχήμα 29. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην περίπτωση που οι τεμνόμενοι κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) (σχ.30) είναι ίσοι, δηλαδή έχουν R = ρ, τότε και η κοινή χορδή είναι μεσοκάθετος της διακέντρου. Πράγματι, επειδή R = ρ, θα είναι ΑΚ = ΑΛ και ΒΚ = ΒΛ. Άρα τα Α και Β είναι σημεία της μεσοκαθέτου του ΚΑ και επομένως η κοινή χορδή ΑΒ είναι μεσοκάθετος της διακέντρου ΚΛ. Σχήμα 30. 7

Λυμένες ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων του Υπουργείου Θέμα 1 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. (Μονάδες 13) Λύση α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΔΓΜ: 1. ΒΜ = ΓΜ γιατί Μ μέσο της ΒΓ. 2. ΑΜ = ΔΜ από υπόθεση. 3. ΑM Β = ΔM Γ ως κατακορυφήν γωνίες. Συνεπώς τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, άρα ΑΒΜ = ΜΓΔ. β) Φέρνουμε την κάθετη ΑΚ στη ΒΓ και την κάθετη ΔΛ στη ΒΓ. Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΚ = ΔΛ. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΛΔ και ΜΚΑ: 8

1. ΔΜ = ΑΜ από υπόθεση. 2. ΔM Λ = ΚM Α ως κατακορυφήν γωνίες. Συνεπώς τα τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Αρα είναι ίσα και θα έχουν και υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Οπότε ΑΚ = ΔΛ, δηλαδή, τα Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. Θέμα 2 Αν για το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) του σχήματος ισχύουν α = β και γ = δ, να γράψετε μια απόδειξη για καθέναν από τους ακόλουθους ισχυρισμούς: α) Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΓΕΒ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) γ) Η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 9) Λύση α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ: 1. δ = γ από υπόθεση. 2. ΑΒ = ΑΓ από υπόθεση. 3. ΑΕ κοινή πλευρά. Συνεπώς τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές 9

γωνίες ίσες. Αρα είναι ίσα και θα έχουν και υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. β) Από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει άμεσα ότι ΒΕ = ΕΓ. Αρα το τρίγωνο ΓΕΒ είναι ισοσκελές γιατί έχει 2 πλευρές ίσες. γ) Εφόσον ΑΒ = ΑΓ και ΕΒ = ΕΓ, τα σημεία Α και Ε ισαπέχουν από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. Αρα ανήκουν στη μεσοκάθετο του ΒΓ, δηλαδή, η ΑΔ είναι μεσοκάθετος του ΒΓ. Θέμα 3 Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο, ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Οι γωνίες ΜΑ Ο και ΜΒ Ο είναι ίσες. (Μονάδες 13) Λύση α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΒΜ: 1. Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται απο σημείο εκτός αυτού είναι ίσα, άρα ΡΑ = ΡΒ. 2. ΡΜ κοινή πλευρά. 3. Η διάκεντρος ΟΡ διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων άρα ΜΡ Α = ΜΡ Β. 10

Συνεπώς τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες. Αρα είναι ίσα και θα έχουν και υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. β) Φέρνουμε τις ΟΑ και ΟΒ. Οι ΟΑ και ΟΒ ως ακτίνες κύκλου είναι κάθετες στα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Επιπλέον από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει άμεσα ότι ΡΑ Μ = ΡΒ Μ. Αρα ΜΑ Ο = 90 ο - ΡΑ Μ = 90 ο - ΡΒ Μ = ΜΒ Ο. Θέμα 4 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Μ και Κ, Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με ΜΒ = ΜΓ. (Μονάδες 12) β) Να δείξετε ότι ΜΚ = ΜΛ. (Μονάδες 13) 11

Λύση α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές άρα Β = Γ, οπότε και Β εξ = Γ εξ ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών και επειδή ΒΜ, ΓΜ διχοτόμοι των Β εξ, Γ εξ, προκύπτει ότι ΜΒ Γ = 1 Β 2 εξ = 1 Γ 2 εξ = ΜΓ Β. Αρα το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με ΜΒ = ΜΓ. β) Φέρνουμε τις ΜΚ, ΜΛ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΛΓΜ: 1. ΚΒ = ΛΓ ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ. 12

2. ΒΜ = ΜΓ από προηγούμενο ερώτημα. 3. Β = Γ και Β εξ = Γ εξ, οπότε και ΚΒ Μ = Β + Β εξ = Γ + Γ εξ = ΛΓ Μ Συνεπώς τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες. Αρα είναι ίσα και θα έχουν και υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Επομένως ΚΜ = ΛΜ. Θέμα 5 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΚΑΒ (ΚΑ = ΚΒ) και ΚΓ η διχοτόμος της γωνίας Κ. Στην προέκταση της ΒΑ (προς το Α) παίρνουμε σημείο Λ και στην προέκταση της ΑΒ (προς το Β) παίρνουμε σημείο Μ, έτσι ώστε ΑΛ = ΒΜ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Η ΚΓ είναι διάμεσος του τριγώνου ΚΛΜ. (Μονάδες 13) Λύση α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΚΑΛ και ΚΒΜ: 1. ΚΑ = ΚΒ από υπόθεση. 2. ΑΛ = ΒΜ από υπόθεση. 3. ΛΑ Κ = ΜΒ Κ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Α και Β του ισοσκελούς τριγώνου ΚΒΓ. Συνεπώς τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές 13

γωνίες ίσες. Αρα είναι ίσα και θα έχουν και υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Επομένως ΚΛ = ΚΜ και το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. β) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΚΑΒ η ΚΓ είναι διχοτόμος που αντιστοιχεί στη βάση ΑΒ, οπότε θα είναι και ύψος, δηλαδή η ΚΓ είναι κάθετη στην ΑΒ και επομένως κάθετη και στην ΛΜ. Επομένως η ΚΓ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΚΛΜ που αντιστοιχεί στη βάση ΛΜ. Αρα θα είναι και διάμεσος. 14

Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 1. Δύο τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες. 2. Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι διχοτόμος και διάμεσος. 3. Αν δύο κύκλοι τέμνονται, τότε η διάκεντρος τους ισούται με το άθροισμα των ακτίνων τους. 4. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος είναι η μεσοκάθετος του. 5. Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του. 6. Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά τους ίση και δύο γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα. 7. Αν μια ευθεία έχει μόνο ένα κοινό σημείο με ένα κύκλο, τότε είναι εφαπτόμενη του. 8. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. 9. Αν σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, μια γωνία του ισούται με 60 ο, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 10. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει μία οξεία γωνία. 11. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 12. Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι μεταξύ τους ίσα. 13. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση, τότε είναι ίσα. 14. Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει ένα άξονα συμμετρίας και ένα κέντρο συμμετρίας. 15. Αν μια ευθεία εφάπτεται σε ένα κύκλο στο σημείο Α, τότε η κάθετη στην ευθεία που περνάει από το Α θα περνάει και από το κέντρο του κύκλου. 16. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μικρότερη από κάθε μία από τις απέναντι εσωτερικές. 17. Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. 18. Αν δύο κύκλοι εφάπτονται, το σημείο επαφής τους είναι σημείο της διακέντρου. 19. Αν σε ένα τρίγωνο μία διάμεσος είναι και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 15

20. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β γ < α < β + γ με β γ. 21. Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν τα αποστήματα τους είναι ίσα. 16

Ασκήσεις της τράπεζας θεμάτων του Υπουργείου Θέμα 1 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και ΔΖ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) ΕΗ = ΔΖ. (Μονάδες 12) Θέμα 2 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΚ = ΜΛ. (Μονάδες 13) β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. (Μονάδες 12) Θέμα 3 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β και Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) β) Οι γωνίες ΑΙ Γ και ΑΙ Β είναι ίσες. (Μονάδες 10) γ) Η ευθεία ΑΙ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7) Θέμα 4 Εστω δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΑˊΒˊΓˊ (ΑˊΒˊ = ΑˊΓˊ). α) Να αποδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΒ = ΑˊΒˊ και Α = Α ˊ, τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑˊΒˊΓˊ είναι ίσα. (Μονάδες 13) 17

β) Να αποδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΓ = ΑˊΓˊ και Β = Β ˊ, τότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑˊΒˊΓˊ είναι ίσα. (Μονάδες 12) Θέμα 5 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημείο Μ εσωτερικό του τριγώνου, τέτοιο ώστε ΜΒ = ΜΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Η ευθεία ΑΜ διχοτομεί τη γωνία ΒΜΓ. (Μονάδες 13) Θέμα 6 Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Α. Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, η ΔΕ είναι κάθετη στη ΒΓ και η γωνία Γ είναι μικρότερη της γωνίας Β. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ = ΔΕ. (Μονάδες 8) β) ΑΔ < ΔΓ. (Μονάδες 9) γ) ΑΓ > ΑΒ. (Μονάδες 8) Θέμα 7 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και ΜΔ, ΝΕ οι μεσοκάθετοι των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ = ΝΕ, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) 18

β) Αν ΑΒ = ΑΓ, τότε ΜΔ = ΝΕ. (Μονάδες 13) Θέμα 8 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΓΔ = ΒΕ. Από το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην ευθεία ΑΓ και από το Ε φέρουμε ΕΖ κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ = ΑΕ. (Μονάδες 12) β) ΕΖ = ΔΗ. (Μονάδες 13) Θέμα 9 Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες ρ και R (ρ < R). Οι χορδές ΔΓ και ΖΕ του κύκλου (Ο, R) εφάπτονται του κύκλου (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΔΓ = ΖΕ. (Μονάδες 12) 19

β) Αν οι ΔΓ και ΖΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) Θέμα 10 Δίνεται γωνία xαy και η διχοτόμος της Αδ. Από τυχαίο σημείο Β της Αx φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο, η οποία τέμνει την Αδ στο Δ και την Αy στο Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τυχαίο σημείο Ε της Αδ ισαπέχει από τα Β και Γ. (Μονάδες 13) 20

Θέμα 11 Δίνονται τα τμήματα ΑΓ = ΒΔ που τέμνονται στο σημείο Ο έτσι ώστε ΟΑ = ΟΒ, και τα σημεία Η και Ζ στα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΗ = ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες ΑΔ Ο και ΒΓ Ο είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) ΑΖ = ΒΗ. (Μονάδες 13) Θέμα 12 Εστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΕΗ = ΖΘ, όπου Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστοιχα. (Μονάδες 10) 21

Θέμα 13 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στα σημεία Β και Γ της ΒΓ φέρουμε προς το ίδιο μέρος της ΒΓ, τα τμήματα ΒΔ ΒΓ και ΓΕ ΒΓ τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) ΑΔ = ΑΕ. (Μονάδες 13) 22

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Αˊ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΑ 23

Διαγώνισμα 1 στη Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο : Τρίγωνα Θέμα 1 ο α) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσε ς αν και μόνο αν τα αποστήματα τους είναι ίσα. (Μονάδες 25) Θέμα 2 ο Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές του ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ, τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΓ = ΑΒ. (Μονάδες 13) Θέμα 3 ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Κ εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο ώστε ΚΒ = ΚΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑ Γ. (Μονάδες 6) γ) Η προέκταση της ΑΚ διχοτομεί τη γωνία ΒΚ Γ του τριγώνου ΒΚΓ. (Μονάδες 7) 24

Θέμα 4 ο Εστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Από το σημείο Α εκτός του κύκλου, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12) 25

Διαγώνισμα 2 στη Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο : Τρίγωνα Θέμα 1 ο Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της είναι σημείο της διχοτόμου. (Μονάδες 25) Θέμα 2 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ο ) και ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β. Από το Δ φέρουμε ΔΕ ΒΓ, και έστω Ζ το σημείο στο οποίο η ευθεία ΕΔ τέμνει την προέκταση της ΒΑ (προς το Α). Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ = ΒΕ. (Μονάδες 13) β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΖΕΒ είναι ίσα. (Μονάδες 12) Θέμα 3 ο Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΒΑ = ΒΓ και ΔΑ = ΔΓ. Οι διαγώνιοι ΑΓ, ΒΔ του τετραπλεύρου είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. Να αποδείξετε ότι: α) Η ΒΔ είναι διχοτόμος των γωνιών Β και Δ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. (Μονάδες 12) β) Η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ. (Μονάδες 13) 26

Θέμα 4 ο Εστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ του κύκλου. Αν ΑΕ κάθετο στην ΟΓ και ΓΔ κάθετο στην ΑΟ να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΔΟ Ε είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) β) Η ΟΖ διχοτομεί τη γωνία ΑΟ Γ και προεκτεινόμενη διέρχεται από το μέσο του τόξου ΑΓ. (Μονάδες 12) 27