Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 6 η : Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΡΙΖΩΝ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 6 η : Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΡΙΖΩΝ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται η μέθοδος του γεωμετρικού τόπου ριζών. Ο γεωμετρικός τόπος των ριζών (Root locus) μιας χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να προσδιοριστεί με την βοήθεια μιας γραφικής μεθόδου. Ένα διάγραμμα στο οποίο απεικονίζεται ο γεωμετρικός τόπος των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ενός συστήματος καθώς μεταβάλλεται κάποια από τις παραμέτρους του, είναι γνωστό ως διάγραμμα γεωμετρικού τόπον ριζών ή root locus plot. Ο γεωμετρικός τόπος ριζών αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο σχεδίασης και ανάλυσης συστημάτων και είναι το κύριο θέμα που θα μας απασχολήσει στην παρούσα ενότητα. 4

Περιεχόμενα ενότητας Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (Γ.Τ.Ρ.). Κανόνες Προσεγγιστικής Χάραξης του Γ.Τ.Ρ. Κριτήριο Routh. Κριτήριο Routh-Hurwitz. Παραδείγματα. 5

Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (1/4) Ο (Γ.Τ.Ρ) είναι μια γραφική απεικόνιση των θέσεων των πόλων (ρίζες της Χ.Ε) του συστήματος κλειστού βρόγχου στο μιγαδικό επίπεδο-s, για όλες τις τιμές της παραμέτρου Κ (κέρδος) του συστήματος. Είναι γνωστό ότι οι θέσεις των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς στο μιγαδικό επίπεδο επηρεάζουν τη μεταβατική απόκριση του συστήματος καθώς και την ευστάθειά του. Για το σύστημα κλειστού βρόγχου όπως αυτό εικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις. Εικόνα 1: Γεωμετρικό τόπος ριζών. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 6

Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (2/4) Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήματος (Σ.Μ.): G ολ s = C(s) R(s) = G(s) 1+G s H(s) Συνάρτηση Μεταφοράς (Σ.Μ.) του Κλάδου Δράσης: G(s) Συνάρτηση Μεταφοράς (Σ.Μ.) του Κλάδου Ανάδρασης: H(s) Συνάρτηση Μεταφοράς (Σ.Μ.) Ανοιχτού Βρόγχου: G(s)H(s) Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο: 1+ G(s)H(s) Χαρακτηριστική Εξίσωση: 1+G(s)H(s)=0 7

Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (3/4) Αν η συνάρτηση μεταφοράς (Σ.Μ) ανοικτού βρόγχου είναι της μορφής: τότε η Σ.Μ του συστήματος θα είναι: από την παραπάνω σχέση παρατηρούμε ότι η μεταβολή των τιμών της παραμέτρου Κ επηρεάζει τις τιμές των ριζών της Χ.Ε του συστήματος με αποτέλεσμα τη μετατόπισή τους πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτό μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε ένα διάγραμμα πάνω στο μιγαδικό επίπεδο που θα είναι το σύνολο των σημείων που θα είναι ρίζες της Χ.Ε. του συστήματος αν η παράμετρος Κ πάρει όλες τις τιμές από το 0 μέχρι το +. Το διάγραμμα που προκύπτει όταν το Κ πάρει τιμές μεταξύ του - και του μηδενός ονομάζεται συμπληρωματικός Γ.Τ.Ρ.. 8

Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (4/4) Από την Χ.Ε προκύπτουν τα παρακάτω: Συνθήκη φάσης για το Γ.Τ.Ρ. Συνθήκη μέτρου για το Γ.Τ.Ρ. Η παραπάνω σχέση μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παραμέτρου Κ πάνω στο διάγραμμα. 9

Κανόνες Προσεγγιστικής Χάραξης του Γ.Τ.Ρ. (1/3) Οι πόλοι της G(s)H(s) είναι τα σημεία εκκίνησης του Γ.Τ.Ρ. Τα μηδενικά (zeros) της G(s)H(s) και το άπειρο όταν m<n είναι τα σημεία λήξης του Γ.Τ.Ρ. Ο αριθμός των κλάδων του τόπου ριζών ισούται με το max(m,n) όπου m είναι το πλήθος των μηδενικών και n είναι το πλήθος των πόλων της Ο Γ.Τ.Ρ. είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Το σημείο τομής των ασύμπτωτων ευθειών με τον άξονα των πραγματικών αριθμών δίδεται από την σχέση: σ α = i=1 Όπου n i=1 p i = το άθροισμα των τιμών των πόλων της. n m pi i=1 zj n m και m j=1 j = το άθροισμα των τιμών των μηδενικών της. 10

Κανόνες Προσεγγιστικής Χάραξης του Γ.Τ.Ρ. (2/3) Οι γωνίες που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες με τον πραγματικό άξονα δίνεται από τη σχέση. όπου ((n-m)-1) είναι η τελευταία τιμή του μ. Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να είναι τμήμα του Γ.Τ.Ρ. αν το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του τμήματος είναι περιττό. (για K 0). Τα σημεία αποχωρισμού και άφιξης των κλάδων από και προς τον οριζόντιο άξονα ονομάζονται σημεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ. και υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσεις. Κάθε ρίζα της παραπάνω εξίσωσης αποτελεί ένα δεκτό σημείο θλάσης αν είναι ταυτόχρονα και ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος για κάποια τιμή του. 11

Κανόνες Προσεγγιστικής Χάραξης του Γ.Τ.Ρ. (3/3) Οι γωνίες αναχώρησης του Γ.Τ.Ρ. από μιγαδικό πόλο ή άφιξης σε μιγαδικό μηδενικό υπολογίζονται από τη σχέση: Όπου = το αλγεβρικό άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν οι πόλοι ως προς τον αναφερόμενο μιγαδικό πόλο (μηδενικό) = το αλγεβρικό άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν τα μηδενικά ως προς τον αναφερόμενο μιγαδικό πόλο (μηδενικό). Τα σημεία τομής του Γ.Τ.Ρ. με τον άξονα των φανταστικών αριθμών είναι τα σημεία όπου το σύστημα μεταπίπτει από την ευστάθεια στην αστάθεια. Οι τιμές του Κ και του ω για τα σημεία αυτά, ονομάζονται κρίσιμο κέρδος (K cr ) και κρίσιμη συχνότητα (ω cr ) αντίστοιχα. 12

Κριτήριο Routh (1/2) Το κριτήριο ευστάθειας Routh, προσδιορίζει τον αριθμό των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο-s και δίνει απάντηση στο ερώτημα: «είναι το σύστημα ευσταθές;», χωρίς να προσδιορίζει τη σχετική ευστάθεια του συστήματος όπως συμβαίνει με άλλα κριτήρια όπως του Γ.Τ.Ρ. που είδαμε προηγουμένως. Ας θεωρήσουμε ότι η Χ.Ε της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος έχει τη παρακάτω γενική μορφή: όπου όλοι οι συντελεστές στο R και είναι 0 Εφ' όσον όλοι οι συντελεστές είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ, σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα του Routh. 13

Κριτήριο Routh (2/2) Σύμφωνα με το ΚΡΙΤΗΡΙΟ του Routh για να είναι ευσταθές ένα σύστημα πρέπει οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh να είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ. Ο αριθμός των ριζών της Χ.Ε που βρίσκονται στο δεξιό ημιεπίπεδο s ισούται με τον αριθμό αλλαγών του πρόσημου των συντελεστών της πρώτης στήλης του πίνακα Routh. Εικόνα 2: Κριτήριο Routh. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 14

Ειδικές περιπτώσεις για την συμπλήρωση του πίνακα Routh (1/2) α. Όταν ένας όρος της πρώτης στήλης είναι μηδέν, ενώ οι υπόλοιποι όροι της σειράς είναι διάφοροι του μηδενός ή δεν υπάρχουν, τότε, αντικαθίσταται ο μηδενικός όρος, από ένα πολύ μικρό αριθμό ομόσημο με τους προηγούμενους της πρώτης στήλης, και συνεχίζεται η ανάπτυξη του πίνακα. β. Όταν όλοι οι όροι μίας σειράς του πίνακα Routh είναι μηδενικοί, ο πίνακας συμπληρώνεται με την τοποθέτηση, αντί των μηδενικών όρων με τους όρους της παραγωγισμένης βοηθητικής εξίσωσης της αμέσως προηγούμενης σειράς. γ. Όταν τουλάχιστον δύο σειρές έχουν μηδενικούς όρους, τότε το σύστημα είναι ασταθές και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει δύο αντίθετους πραγματικούς πόλους με πολλαπλότητα 2. 15

Ειδικές περιπτώσεις για την συμπλήρωση του πίνακα Routh (2/2) Για την εύρεση της κρίσιμης (οριακής) τιμής του Κ για ευστάθεια αρκεί να μηδενιστεί ο όρος της σειράς s1 και να λυθεί η εξίσωση ως προς Κ=Κcr. ε. Για την εύρεση της οριακής συχνότητας ταλαντώσεων του συστήματος αρκεί να λυθεί η βοηθητική εξίσωση της σειράς s2 ως προς ω=ωcr. Αυτή θα έχει τη μορφή: όπου λ(n)σ2+λ(n-1)=0 οι συντελεστές της σειράς s2 και όπου k θα τεθεί η τιμή Κcr που βρέθηκε. 16

Παράδειγμα 1 :Κριτήριο Routh- Hurwitz Χαρακτηριστική εξίσωση. Πίνακας Routh. 2 πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο. Εικόνα 3: Παράδειγμα 1. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 17

Παράδειγμα 2 :Κριτήριο Routh- Hurwitz Χαρακτηριστική εξίσωση. Πίνακας Routh. 2 πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο. Εικόνα 4: Παράδειγμα 2. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 18

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου (Σ) κλειστού βρόγχου (1/7) ΒΗΜΑ 1ο : Αφού βρω τους πόλους και τα μηδενικάτης G(s)H(s), τα σχεδιάζω πάνω τσο επίπεδο S συμβολίζοντας τους πόλους με (x) και τα μηδενικά με (ο). 3 πόλοι:p1 = 0; p2 = -1; p3 = -2 Κανένα μηδενικό. Εικόνα 5: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 19

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου (Σ) κλειστού βρόγχου(2/7) ΒΗΜΑ 2ο : Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να είναι κλάδος του Γ.Τ.Ρ. αν το πλήθος των πόλων και των μηδενικών που βρίσκονται δεξιά του κλάδου είναι περιττό. (για K>0). Εικόνα 6: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 20

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου ΒΗΜΑ 3o: Υπολογισμός των ασύμπτωτων. (Σ) κλειστού βρόγχου(3/7) Εικόνα 7: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 21

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου (Σ) κλειστού βρόγχου (4/7) ΒΗΜΑ 4o: Υπολογισμός σημείου αποχώρησης Εικόνα 8: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 22

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου (Σ) κλειστού βρόγχου (5/7) ΒΗΜΑ 5o: Υπολογισμός Κcr και ωcr με το κριτήριο Routh- Hurwitz. Για ποιές τιμές του K το σύστημα είναι ευσταθές? Χαρακτηριστική εξίσωση. Εικόνα 9: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 23

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου (Σ) κλειστού βρόγχου(6/7) Χαρακτηριστική εξίσωση. Πίνακας Routh. Σύστημα ευσταθές για: 0 < K < 6. Εικόνα 10: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 24

Σχεδιάστε το Γ.Τ.Ρ του εικονιζόμενου (Σ) κλειστού βρόγχου(7/7) Εικόνα 11: Να σχεδιαστεί ο Γ.Τ.Ρ. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 25

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Εικόνα 12: Γ.Τ.Ρ. Παράδειγμα 1. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 26

Γ.Τ.Ρ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Εικόνα 14: Γ.Τ.Ρ. Παράδειγμα3. Πηγή: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 28

Βιβλιογραφία 1. FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments....31

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Γαύρος Κωνσταντίνος. «Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 34

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 35

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: FEEDBACK INSTRUMENTS LTD, Control and Instrumentation, Modular Servo System Ms150 DC, Synchro & AC Basic Assignments. 36