Το παρακάτω άρθρο δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Διάσταση το 1994. Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Α. Γαγάτσης, Χ. Λεμονίδης (1994). Προφορική αρίθμηση: Μια βασική και χρήσιμη γνώση που η διδασκαλία την αγνοεί. Περιοδικό Διάσταση, Τεύχος 4, σσ. 30-40. ΠΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΣΗ: ΜΙΑ ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΗ ΓΝΩΣΗ ΠΟΥ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΝ ΑΓΝΟΕΙ Εισαγωγή Α. Γαγάτσης Μαθηματικό Τμήμα Α.Π.Θ. Χ. Λεμονίδης Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Η παρουσίαση και η μάθηση του αριθμού εμφανίζει μια διπλή υπόσταση. Κατά πρώτον η αρίθμηση είναι ένα οργανωμένο και συγκεκριμένο σύστημα γνώσεων το οποίο λειτουργεί κάθε φορά μέσα στα πλαίσια ενός πολιτισμού. Είναι δηλαδή ένα αντικείμενο κοινωνικής και ιστορικής υπόστασης που καταρχήν είναι εξωτερικό ως προς το παιδί και πρέπει να αναλυθεί, να προσαρμοστεί και να εσωτερικευτεί από αυτό, ώστε να μπορεί να χρησιμοποιείται για τις ανάγκες του. Κατά δεύτερον το σύστημα αυτό αναφέρεται σε μερικές λογικομαθηματικές σχέσεις όπως η διάταξη, η πληθικότητα, η πρόσθεση κτλ., που δομούν και καθορίζουν την εσωτερική του οργάνωση. Οι σχέσεις αυτές αναφέρονται στις λογικές θεμελιώσεις του αριθμού και της αρίθμησης, οι οποίες δεν μπορούν να μεταδοθούν ως μια κοινωνική γνώση, όπως είναι για παράδειγμα η απαγγελία των πρώτων αριθμών της αριθμητικής ακολουθίας. Αυτές οι λογικομαθηματικές σχέσεις θα πρέπει να κατασκευαστούν από το ίδιο το παιδί. Βέβαια σ αυτήν την κατασκευή επιδρούν και την επηρεάζουν κοινωνικοί και πολιτισμικοί παράγοντες, χωρίς τα αποτελέσματά τους να είναι πολύ άμεσα.
Με βάση αυτήν τη διάκριση έχουν αναπτυχθεί δύο διαφορετικές αντιλήψεις όσον αφορά τη γένεση του αριθμού και της αρίθμησης. Υπάρχει δηλαδή μια πρώτη ομάδα από ερευνητές που βασίζονται σε εμπειρικά και πολιτισμικά ρεύματα και τονίζουν περισσότερο τη μάθηση της ακολουθίας των αριθμών και των ιδιοτήτων της. Η δεύτερη ομάδα των ερευνητών αναφέρεται περισσότερο στις λογικές ιδιότητες του αριθμού και ερευνά ουσιαστικά τους καθολικούς γνωστικούς μηχανισμούς οι οποίοι επηρεάζονται ελάχιστα ή και καθόλου από τις πολιτισμικές διαφοροποιήσεις. Αυτοί επιμένουν περισσότερο στην ανάπτυξη των λογικών βάσεων του αριθμού. Παρά τις διαφοροποιήσεις και τις δυσκολίες συνύπαρξης αυτών των δύο διαφορετικών ρευμάτων κατά τη διάρκεια των τελευταίων ετών παρατηρείται μια τάση σύνθεσης και χρησιμοποίησης στοιχείων και από τις δύο αντιλήψεις για τις έρευνες και την ερμηνεία της κατανόησης και μάθησης του αριθμού και της αρίθμησης. Επιγραμματικά αναφέρουμε ότι η σημερινή επίσημη διδασκαλία στην Ελλάδα όσον αφορά τον αριθμό και την αρίθμηση είναι εναρμονισμένη με το δεύτερο ρεύμα και τις αντιλήψεις του Πιαζέ που είναι ο κύριος εκφραστής του ρεύματος αυτού. Η διδασκαλία αυτή δηλαδή υπερτονίζει και αφιερώνει πολύ χρόνο για τις λογικές σχέσεις που συνθέτουν την έννοια του αριθμού (ταξινομήσεις, διατάξεις, εγκλεισμούς των τάξεων κτλ.) και ασχολείται ελάχιστα ή αγνοεί γνώσεις όπως η προφορική αρίθμηση που μπορούν να συμβάλλουν πολύ στην κατανόηση του αριθμού και την εκτέλεση των πράξεων και επιπλέον οι γνώσεις αυτές είναι δεδομένες στις περισσότερες περιπτώσεις από την κοινωνία. Δηλαδή, οι μαθητές από την προσχολική ηλικία ακόμη έχουν οι περισσότεροι πολλές γνώσεις όσον αφορά την απαγγελία της αριθμητικής ακολουθίας χωρίς να έχουν δεχτεί κάποια διδασκαλία γιαυτήν. Η καλή γνώση της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας εκτός του ότι συμβάλλει πολύ στην κατανόηση του αριθμού και τη
λειτουργία της απαρίθμησης είναι βασική γνώση σε ένα πρώτο επίπεδο για την κατανόηση και την εκτέλεση των πράξεων. Για παράδειγμα έχει διαπιστωθεί (βλέπε Χ. Λεμονίδη, 1994) ότι οι μαθητές αλλά ακόμη και οι ενήλικες χρησιμοποιούν αρκετά τις διαδικασίες ευθείας ή αντίστροφης αρίθμησης για να εκτελούν απλές προσθέσεις ή αφαιρέσεις (π.χ. για να εκτελέσουν την αφαίρεση 13-5 αριθμούν αντίστροφα 5 βήματα αρχίζοντας από το 13, "12,11,10,9,8."). Στην εργασία αυτή αφού παρουσιάσουμε τις διάφορες χρήσεις των λέξεων-αριθμών που συγκροτούν την προφορική ακολουθία των αριθμών μέσα στα πλαίσια της έννοιας του εννοιολογικού πεδίου, θα δούμε την εξέλιξη της μάθησης της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας βασιζόμενοι σε διάφορες σύγχρονες έρευνες. Στη συνέχεια θα δούμε κάποια εμπειρικά αποτελέσματα για τις γνώσεις των Ελλήνων μαθητών στην προφορική αρίθμηση και θα τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα σε Αμερικανούς μαθητές. Οι λέξεις-αριθμοί και το εννοιολογικό πεδίο της χρήσης τους Λέξεις-αριθμούς ονομάζουμε τις ειδικές λέξεις που εκφράζουν τους αριθμούς και μπορούν να χρησιμοποιούνται σε διαφορετικές καταστάσεις στην καθημερινή ζωή. Οι καταστάσεις αυτές μπορεί να είναι διαφορετικές μεταξύ τους και από Μαθηματική άποψη. Μπορούμε να πούμε ότι υπάρχουν οι διάφορες καταστάσεις του εννοιολογικού πεδίου της έννοιας των λέξεων αριθμών που δίνουν νόημα στην έννοια αυτή. Το εννοιολογικό πεδίο έχει εισαχθεί ως όρος από το Γάλλο ψυχολόγο G. Vergnaud (1981) και θεωρεί ότι μια έννοια μπορεί να οριστεί ως μια τριάδα τριών συνόλων : C = (S, I, L) S : το σύνολο των καταστάσεων όπου εμφανίζεται και απ'όπου παίρνει το νόημα της η έννοια,
I : το σύνολο των αναλλοίωτων που δίνει νόημα στην έννοια (το σημαινόμενο). Οι αναλλοίωτοι είναι αντικείμενα, ιδιότητες ή σχέσεις. L : το σύνολο των γλωσσικών και μη γλωσσικών μορφών που μας επιτρέπουν να αναπαραστήσουμε συμβολικά την έννοια, τις ιδιότητες της, τις καταστάσεις και τις διαδικασίες χρήσης της (το σημαίνον). Μια κλασική εφαρμογή του εννοιολογικού πεδίου είναι οι προσθετικές σχέσεις που έχουν μελετηθεί και στον Ελληνικό χώρο (Γαγάτσης, 1994). Μέσα στα πλαίσια λοιπόν του εννοιολογικού πεδίου των λέξεων αριθμών υπάρχουν πολλές καταστάσεις που δίνουν διαφορετικές σημασίες και απαιτούν διαφορετικούς τρόπους χρησιμοποίησης αυτών των λέξεων. Σύμφωνα με την ανάλυση της Κ. Fuson (1988) οι μαθητές καταλαβαίνουν και χειρίζονται προοδευτικά τις λέξεις-αριθμούς μέσα στα πλαίσια επτά διαφορετικών καταστάσεων. Τρεις από αυτές τις καταστάσεις είναι Μαθηματικές: η πληθική μορφή, όπου η λέξη-αριθμός αναφέρεται στην ολότητα ενός συνόλου με διακριτά στοιχεία και δείχνει από πόσα στοιχεία αποτελείται. Παράδειγμα τέτοιας πρόωρης πληθικής χρήσης από τα μικρά παιδιά είναι φράσεις όπως "έχω τρεις καραμέλες". η διατακτική μορφή, όπου η λέξη-αριθμός αναφέρεται σ'ένα στοιχείο στα πλαίσια μιας συλλογής διατεταγμένων στοιχείων και περιγράφει τη σχετική θέση αυτού του στοιχείου, π.χ. "θέλω να πάω πρώτος" και η μετρική μορφή, όπου η λέξη-αριθμός αναφέρεται σε μια συνεχή ποσότητα και δείχνει πόσες μονάδες αντιστοιχούν σ'αυτήν π.χ. "είμαι τριών χρόνων". 'Αλλες δύο μορφές με τις οποίες παρουσιάζονται οι λέξειςαριθμοί είναι αυτές της ακολουθίας και της απαρίθμησης. Αυτές δίνουν τα πολιτιστικά εργαλεία που εγγυώνται την ακρίβεια της λέξης-αριθμού που χρησιμοποιείται μέσα σε πληθικά, διατακτικά και μετρικά πλαίσια.
Εάν οι λέξεις-αριθμοί λέγονται μόνο χωρίς καμία αναφορά σε αντικείμενα, τότε λέμε ότι χρησιμοποιούνται σε μια κατάσταση ακολουθίας. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει μια σταθερή σειρά στις λέξεις-αριθμούς της ακολουθίας και οι λέξεις δεν έχουν καμία αναφορά και δεν περιγράφουν τίποτα. Εάν οι λέξεις-αριθμοί λέγονται σε μια κατάσταση οντοτήτων και κάθε λέξη-αριθμός αναφέρεται σε μια οντότητα, τότε η κατάσταση λέμε ότι είναι μια κατάσταση απαρίθμησης. Οι λέξεις της αρίθμησης αναφέρονται σε αντικείμενα στα οποία αντιστοιχούν από τη δραστηριότητα της απαρίθμησης, αλλά αυτές οι λέξεις δεν περιγράφουν τα αντικείμενα και δε δίνουν καμία πληροφορία γι αυτά. Η έκτη μορφή των λέξεων-αριθμών αναφέρεται στην ανάγνωσή τους και είναι η συμβολική μορφή που ανακαλεί την έκφραση μιας λέξης-αριθμού απομονωμένης χωρίς καμιά άλλη πληροφορία. "Αυτό είναι ένα πέντε" ανακοινώνουμε διαβάζοντας ένα 5. Αργότερα, οι αριθμοί παίρνουν μια σημασία πληθική, διατακτική, μετρική, μια σημασία αρίθμησης και μια σημασία ακολουθίας. Τέλος, οι λέξεις-αριθμοί χρησιμοποιούνται επίσης μέσα σε πλαίσια μη αριθμητικά ή το πολύ σε ημιαριθμητικά, όπως όταν σχηματίζουμε τους αριθμούς των τηλεφώνων, τις γραμμές των λεωφορείων, τα κανάλια της τηλεόρασης, σε ένα δρόμο τα νούμερα των σπιτιών και τους ταχυδρομικούς κώδικες. Τα μικρά παιδιά συναντούν τις λέξεις-αριθμούς μέσα στα επτά αυτά διαφορετικά πλαίσια και αρχίζουν να τις χρησιμοποιούν μέσα σ'αυτές τις ποικίλες καταστάσεις. Σε μια πρώτη περίοδο οι διαφορετικές σημασίες είναι ανεξάρτητες η μια από την άλλη. Με την πάροδο του χρόνου, τα παιδιά εγκαθιστούν μεταξύ των αριθμών συνάφειες τέτοιες ώστε η ανακοίνωση μιας μόνο λέξης-αριθμού να καλύπτει περισσότερες από μια σημασίες. Η μάθηση όλων αυτών των σχέσεων απαιτεί χρόνο που διαρκεί από τα 2 μέχρι τα 8 χρόνια στα περισσότερα παιδιά.
Ανάλυση και εξέλιξη της μάθησης της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας Η εξέλιξη στο παιδί της μάθησης της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας σύμφωνα με τους Fuson, Richards και Briars, (1982) ακολουθεί δύο φάσεις οι οποίες δεν είναι ανεξάρτητες και επικαλύπτονται η μια με την άλλη. Στη διάρκεια της πρώτης φάσης το παιδί μαθαίνει να λέει με αποστήθιση (απέξω) το πρώτο μέρος της ακολουθίας των λέξεων των αριθμών. Αργότερα έχουμε τη λειτουργική φάση της μάθησης όπου η προφορική ακολουθία αναπαράγεται με πιο σύνθετους και πολύπλοκους τρόπους. Στην περίοδο αυτήν κατασκευάζονται οι σχέσεις της ισοδυναμίας, της διάταξης και οι λειτουργίες της ακολουθίας των λέξεων-αριθμών. Οι Fuson και Hall (1983), Fuson, Richard & Briars (1982) πραγματοποιώντας πειράματα σε Αμερικανούς μαθητές βρήκαν ότι η μάθηση της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας από το 1 μέχρι το 100 αρχίζει πολύ νωρίς, περίπου σε ηλικία δύο ετών και ολοκληρώνεται στις περισσότερες περιπτώσεις στο τέλος της πρώτης ή την αρχή της δευτέρας χρονιάς της δημοτικής εκπαίδευσης. Η ηλικία της μάθησης είναι πολύ διαφορετική από το ένα παιδί στο άλλο καθώς επίσης και οι περίοδοι ανάπτυξης σ'ένα μόνο παιδί είναι χρονικά πολύ μεταβλητές. Οι διαφορές αυτές σε μεγάλο βαθμό έχουν να κάνουν με τα διαφορετικά ερεθίσματα που δέχεται κάθε παιδί από το εξωτερικό του περιβάλλον. Παρατηρήθηκε ότι κατά τη διάρκεια της περιόδου της μάθησης με αποστήθιση οι προφορικές αριθμητικές ακολουθίες που δίνουν τα παιδιά για απάντηση στην ερώτηση "δείξε μου μέχρι πόσο ξέρεις να μετράς", αποτελούνται από τρία μέρη. Σ'ένα μόνο παιδί που απαντά διαδοχικά στην παραπάνω ερώτηση παρατηρούμε ότι στις απαντήσεις συνυπάρχουν: α) ένα πρώτο μέρος που είναι σταθερό και σωστό, ισοδύναμο μ αυτό των ενηλίκων.
β) ένα δεύτερο μέρος που είναι σταθερό αλλά λανθασμένο, εδώ δηλαδή, είτε είναι λάθος η σειρά των αριθμών είτε λείπουν στοιχεία, και γ) ένα τρίτο μέρος που δεν είναι ούτε σταθερό ούτε σωστό, γιατί μεταβάλλεται σε κάθε απάντηση που δίνει το παιδί. Η μάθηση της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας συνεχίζεται για μεγάλο χρονικό διάστημα ακόμη και μετά που το παιδί είναι ικανό να απαγγέλλει σωστά τις λέξεις-αριθμούς. Αυτή η συνεχής λειτουργική μάθηση που διαρκεί σχεδόν από την ηλικία των 4 μέχρι 8 χρόνων εκδηλώνεται με τη διαδοχική εμφάνιση νέων ικανοτήτων στο παιδί. Οι Fuson και άλλοι (1982) μελέτησαν αυτές τις ικανότητες και προσδιόρισαν πέντε επίπεδα ανάπτυξης της λειτουργικής φάσης της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας. Αυτά τα πέντε επίπεδα είναι τα εξής : α) Το επίπεδο της αλυσίδας, όπου οι λέξεις αριθμοί εμφανίζονται και λειτουργούν σαν ένα συμπαγές και αδιαχώριστο όλο, "εναδυοτριατέσσεραπέντε...". Εδώ πρόκειται για μια απαγγελία που αναφέρεται σ'ένα προφορικό μπλόκ που στερείται κάθε αριθμητικής σημασίας. β) Το επίπεδο της αδιαίρετης αλυσίδας, όπου οι λέξεις είναι διαχωρισμένες αλλά η ακολουθία αναγγέλλεται μόνο σε ευθεία κατεύθυνση και μπορεί να παράγεται μόνο αρχίζοντας από την αρχή. Στο επίπεδο αυτό δηλαδή το παιδί δεν μπορεί να αρχίζει την προφορική αρίθμηση από οποιοδήποτε αριθμό, πάντοτε ξεκινάει από το ένα. Αντίθετα, τώρα μπορεί να σταματάει σε ένα αριθμό που του ορίζουμε από την αρχή, π.χ. "μέτρα μέχρι το εννέα". γ) Το επίπεδο της διασπασμένης αλυσίδας, όπου μπορεί να παράγονται κομμάτια της προφορικής ακολουθίας αρχίζοντας από οποιοδήποτε στοιχείο, αντί να γίνεται η αρχή πάντοτε από το πρώτο στοιχείο. Τώρα επίσης το παιδί γίνεται ικανό να απαντά αυτόματα στην ερώτηση, "ποιος αριθμός βρίσκεται πριν ή μετά από ένα δεδομένο
αριθμό", χωρίς να απαγγέλλει την ακολουθία από την αρχή μέχρι το δεδομένο αριθμό όπως γινόταν στο προηγούμενο επίπεδο. Δύο άλλες ικανότητες που εδραιώνονται σ'αυτό το επίπεδο είναι το να μπορεί το παιδί να απαντάει στις ερωτήσεις: "μέτρησε ξεκινώντας από τον αριθμό ν" και "μέτρησε από το ν μέχρι το μ". δ) Το επίπεδο της αριθμήσιμης αλυσίδας, όπου οι λέξεις-αριθμοί γίνονται ακόμη πιο αφηρημένες και αποτελούν μονάδες με την αριθμητική έννοια, και έτσι κομμάτια της προφορικής ακολουθίας μπορούν να αναπαριστούν μια αριθμητική κατάσταση και μπορεί να αριθμούνται ή να αντιστοιχούνται. Στη διάρκεια του επιπέδου αυτού αναπτύσσεται στο παιδί η ικανότητα να μετράει, κατευθείαν ή αντίστροφα, ν στοιχεία αρχίζοντας από ένα στοιχείο α. Σ'αυτήν την περίπτωση δηλαδή το παιδί θα πρέπει να αριθμεί τα στοιχεία της αριθμητικής ακολουθίας διατηρώντας ταυτόχρονα στη μνήμη του τον αριθμό των στοιχείων τα οποία ήδη έχει αριθμήσει. ε) Το επίπεδο της διπλής κατεύθυνσης, όπου η προφορική ακολουθία μπορεί να παράγεται εύκολα και προς τις δύο κατευθύνσεις. Τα παιδιά μπορούν να μετράνε γρήγορα κατευθείαν ή αντίστροφα από οποιαδήποτε λέξη-αριθμό. Μπορούν εύκολα να αριθμούν αντίστροφα χωρίς τη βοήθεια της ευθείας αρίθμησης. Αυτά τα διαφορετικά επίπεδα χαρακτηρίζονται από μια αύξουσα σειρά ικανοτήτων. Έτσι ο μαθητής γίνεται προοδευτικά ικανός: να αρχίζει και να σταματάει την αρίθμηση σε οποιαδήποτε λέξη-αριθμό της ακολουθίας, να αριθμεί προς τα πάνω για ένα δεδομένο πλήθος από λέξεις-αριθμούς, και να αριθμεί αντίστροφα αρχίζοντας και σταματώντας σε οποιοδήποτε αριθμό ή να αριθμεί αντίστροφα για ένα δεδομένο πλήθος λέξεων-αριθμών. Διαμέσου αυτών των επιπέδων, λοιπόν, το παιδί αυξάνει την ικανότητά του στο να καταλαβαίνει και να παράγει τις σχέσεις της διάταξης των λέξεωναριθμών μέσα στην ακολουθία των αριθμών. Εμπειρικά δεδομένα από Έλληνες μαθητές όσον αφορά τη γνώση της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας
Με σκοπό να διερευνήσουμε τις γνώσεις των Ελλήνων μαθητών στην αριθμητική ακολουθία πραγματοποιήσαμε μια έρευνα σε παιδιά του νηπιαγωγείου και της πρώτης τάξης του δημοτικού. Συνολικά εξετάσαμε 149 μαθητές νηπιαγωγείων (μικρά και μεγάλα νήπια) και 41 μαθητές από δύο τμήματα της πρώτης δημοτικού. Όλοι οι παραπάνω μαθητές ανήκαν σε σχολεία της πόλης της Φλώρινας. Κάθε μαθητής χωριστά υποβαλλόταν σε προσωπική εξέταση και οι απαντήσεις του μαγνητοφωνούνταν. Η εξέταση της πλειοψηφίας των μαθητών του νηπιαγωγείου και του ενός τμήματος της πρώτης τάξης πραγματοποιήθηκε στο τέλος της σχολικής χρονιάς (Μάϊο). 'Αρα αυτοί οι μαθητές είχαν διδαχθεί για τον αριθμό τα προβλεπόμενα από το αναλυτικό πρόγραμμα. Το δεύτερο τμήμα της πρώτης τάξης εξετάστηκε το μήνα Ιανουάριο και η διδασκαλία που είχε δεχτεί ως προς τον αριθμό δεν είχε ολοκληρωθεί και ήταν σχεδόν παρόμοια με αυτήν του νηπιαγωγείου. Όπως γνωρίζουμε σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα στο νηπιαγωγείο προβλέπεται όσον αφορά τους αριθμούς, η αναγνώριση και η γραφή των αριθμών από το 1 μέχρι το 5 και απαρίθμηση συνόλων με αντικείμενα από 1 μέχρι 10. Δηλαδή, σύμφωνα με το πρόγραμμα τελειώνοντας το νηπιαγωγείο τα παιδιά θα πρέπει να ξέρουν να αριθμούν προφορικά μέχρι το 10. Στην πρώτη δημοτικού προβλέπεται η διδασκαλία των αριθμών μέχρι το 20 και στην δευτέρα μέχρι το 100. Στον παρακάτω πίνακα 1 παραθέτουμε τα ποσοστά των μαθητών του νηπιαγωγείου σύμφωνα με την ηλικία τους αλλά και στο σύνολό τους που αριθμούν σωστά απαγγέλλοντας την προφορική ακολουθία για ν<10, 10 ν<14,... αντίστοιχα, απαντώντας στην ερώτηση "Μέτρα όσο πιο πολύ μπορείς". Πίνακας 1
Μέγεθος/ Ηλικία ν<1 0 10 ν ν<14 14 ν ν<20 20 ν ν<30 30 ν ν<72 72 ν ν<101 101 ν ν<201 201 ν 4-4*5 1 54 30,5 15,5 0 0 0 0 0 4*6-4*11 20,5 27,5 24 27,5 0 0 0 0 5-5*5 13 15 24 33,5 11 3,5 0 0 5*6-5*11 5 15,5 23,5 26,5 8 2,5 0 18,5 6-6*5 8,5 25 8,5 25 25 0 0 8,5 Συνολικά Νήπια 16,5 19,5 21,5 27 10,5 3,5 0,5 0,5 Παρατηρούμε στον παραπάνω πίνακα ότι οι περισσότεροι από τους μισούς μαθητές ηλικίας μεταξύ 4 και 4*5 χρόνων ξέρουν τις ακολουθίες των λέξεων-αριθμών που είναι μικρότερες του 10, ένα σημαντικό ποσοστό (30,5%) των παιδιών αυτών φτάνει να αριθμεί σωστά μέχρι τους αριθμούς μεταξύ του 10 και του 14 και ένα μικρό ποσοστό (15,5%) μπορεί να αριθμεί σωστά μέχρι τους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 14 και 20. Στις ηλικίες μεταξύ 4*6 και 4*11 ετών παρατηρούμε ότι μειώνεται σημαντικά το ποσοστό (20,5%) των παιδιών που αριθμούν μέχρι αριθμούς που είναι μικρότεροι του 10 και σχεδόν το ένα τέταρτο των παιδιών αυτών μπορεί να αριθμεί σωστά μέχρι αριθμούς μεταξύ του 20 και 30. Γενικά παρατηρούμε ότι με την αύξηση της ηλικίας τα παιδιά γίνονται ικανά να αριθμούν προφορικά ολοένα και περισσότερους αριθμούς από την ακολουθία των αριθμών. Συνολικά για τα νήπια μπορούμε να πούμε ότι η πλειοψηφία των μαθητών φτάνει να αριθμεί μέχρι αριθμούς που είναι μικρότεροι του 20 ενώ το ένα τέταρτο περίπου των μαθητών φτάνει σε αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 20 και 30. Λίγα νήπια (10,5%) ξέρουν να αριθμούν σωστά μέχρι αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 30 και 72, και ελάχιστα (κάποιες μεμονωμένες περιπτώσεις) αριθμούν μέχρι το 100 ή και παραπάνω. Παρατηρούμε επίσης ότι ένα ποσοστό (16,5%) νηπίων δεν είναι ικανό να αριθμεί σωστά μέχρι το 10. 1 Ο συμβολισμός 4*5 σημαίνει ηλικία 4 ετών και 5 μηνών.
Παρακάτω στον πίνακα 2, παρουσιάζουμε τα αντίστοιχα ποσοστά επιτυχίας στην προφορική αρίθμηση για τους μαθητές της πρώτης τάξης, διαχωρίζοντας τα δύο τμήματα σύμφωνα με τη χρονική περίοδο που εξετάστηκαν. Πίνακας 2 Μέγεθος/ Ηλικία ν<10 10 ν ν<14 14 ν ν<20 20 ν ν<30 30 ν ν<72 72 ν ν<101 101 ν ν<20 1 201 ν Πρώτη Ιανου- 0 21 15,5 37 26,5 0 0 0 άριος Πρώτη Μάϊος 0 4,5 0 18 22,5 41 4,5 9 Συνολικά Πρώτη 0 12 7,5 27 24,5 22 2,5 5 Για την πρώτη τάξη του δημοτικού βλέποντας τον παραπάνω πίνακα μπορούμε να διαπιστώσουμε τα εξής: Καταρχήν δεν υπάρχουν μαθητές που να μην ξέρουν να αριθμούν προφορικά μέχρι το 10. Στην πρώτη τάξη του δημοτικού μέχρι τον Ιανουάριο, όσον αφορά στον αριθμό, ουσιαστικά η διδασκαλία επαναλαμβάνει την ύλη του νηπιαγωγείου αλλά με περισσότερη λεπτομέρεια και σε μεγαλύτερο βάθος, οι μαθητές μέχρι αυτήν τη χρονική περίοδο δεν έχουν προχωρήσει ακόμη στους αριθμούς από το 10 μέχρι το 20. Στο τμήμα λοιπόν της πρώτης τάξης που εξετάσαμε τον Ιανουάριο βλέπουμε ότι η πλειοψηφία των μαθητών ήξερε να αριθμεί μέχρι αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 20 και 30 (37%) και του 30 και 72 (26,5%). Αντίθετα, στο τμήμα της πρώτης που εξετάσαμε στο τέλος της χρονιάς η πλειοψηφία των μαθητών ήξερε να αριθμεί μέχρι αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 30 και 72 (22,5%) και του 72 και 101 (41%). Παρατηρούμε δηλαδή μια εξέλιξη της προφορικής
αρίθμησης προς μεγαλύτερους αριθμούς κατά τη διάρκεια της πρώτης τάξης. Συνολικά, παρατηρούμε για τους μαθητές της πρώτης τάξης ότι: σχεδόν οι μισοί μαθητές ξέρουν να αριθμούν προφορικά μέχρι αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 20 και 30 (27%) και μεταξύ του 30 και 72 (24,5%). Ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών (22%) ξέρει να αριθμεί μέχρι αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 72 και του 101. Ένα μικρό ποσοστό μαθητών πετυχαίνει να αριθμεί μέχρι το 200 ή και παραπάνω. 'Οσον αφορά στην προφορική αρίθμηση 2-2 (2, 4, 6, 8,...) παρατηρήσαμε τα εξής: στο νηπιαγωγείο υπήρχε πλήρης αδυναμία των παιδιών να αριθμήσουν 2-2 στις περισσότερες περιπτώσεις τα παιδιά δεν καταλάβαιναν τι τους ζητούσαμε. Μόνο κάποιες μεμονωμένες περιπτώσεις παιδιών που ήξεραν να αριθμούν ένα-ένα πολύ καλά και μέχρι μεγάλους αριθμούς (π.χ. το 100 και πάνω) κατάφερναν να αριθμήσουν 2-2 το πολύ μέχρι το 20. Στο τμήμα της πρώτης τάξης που εξετάστηκε στο τέλος της χρονιάς από τους 22 μαθητές οι 10 (45,5%) δεν μπόρεσαν καθόλου να αριθμήσουν 2-2. Από τους υπόλοιπους μαθητές αν και οι περισσότεροι μπορούσαν να αριθμούν 1-1 περίπου μέχρι το 100, στην αρίθμηση 2-2 έφταναν σε αριθμούς γύρο στο 20. Επίσης, και για την αντίστροφη αρίθμηση θα πρέπει να πούμε ότι ήταν μια πολύ δύσκολη διαδικασία για τα νήπια και ήταν αδύνατο να την καταμετρήσουμε. Στην πρώτη τάξη επίσης τα παιδιά είχαν πολύ μεγάλη δυσκολία να μετρήσουν αντίστροφα και όσα από αυτά μπορούσαν στην πλειοψηφία τους ήταν ικανά να αριθμήσουν μόνο από το 10 και κάτω. Σύγκριση Ελλήνων και Αμερικανών μαθητών ως προς τη γνώση της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας Στον πίνακα 3 παρουσιάζονται ποσοστά επιτυχίας από Αμερικανούς μαθητές αντίστοιχων ηλικιών που έχουν κωδικοποιηθεί με τις ίδιες ομάδες αριθμών: ν<10, 10 ν<14,
14 ν<20, κτλ. Τα δεδομένα στον πίνακα 3 προέρχονται από την εργασία των Fuson, Richards και Briars (σελ.38, 1982). Πίνακας 3 Μέγεθος/ Ηλικία ν<10 10 ν ν<14 14 ν ν<20 20 ν ν<30 30 ν ν<72 72 ν ν<101 101 ν ν<20 1 201 ν 4-4*5.00.41.35.12.12.00.00.00 4*6-4*11.00.12.47.18.12.12.00.00 5-5*5.00.06.25.13.44.13.00.00 5*6-5*11.00.06.22.17.44.11.00.00 Νήπια.00.07.11.30.26.04.22.00 Πρώτη.00.00.03.14.07.21.48.07 Θα πρέπει να αναφέρουμε στο σημείο αυτό ότι τα Αμερικανικά προγράμματα, όσον αφορά τη διδασκαλία του αριθμού αφιερώνουν περισσότερο χρόνο και δίνουν μεγαλύτερη σημασία απ'ότι τα Ελληνικά στην προφορική αρίθμηση και την απαρίθμηση αντικειμένων. Αν συγκρίνουμε λοιπόν τα ποσοστά επιτυχίας στην προφορική αρίθμηση των Ελλήνων μαθητών από τους πίνακες 1 και 2 με τα αντίστοιχα των Αμερικανών από τον πίνακα 3, διαπιστώνουμε γενικά ότι στις αντίστοιχες ηλικίες οι Αμερικανοί μαθητές ξέρουν να αριθμούν προφορικά μεγαλύτερα κομμάτια της ακολουθίας των αριθμών απ'ότι οι Έλληνες μαθητές. Για παράδειγμα, αν συγκρίνουμε τα αντίστοιχα ποσοστά για την ηλικία μεταξύ των 5 και 5*5 ετών από τους πίνακες 1 και 3 διαπιστώνουμε ότι: Ενώ η πλειοψηφία των Ελλήνων μαθητών ξέρει να μετράει μέχρι τους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 14 και 20 (24%) και του 20 και 30 (33,5%), η πλειοψηφία των Αμερικανών μαθητών φτάνει μέχρι τους αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 20 και 30 (13%) και του 30 και 72 (44%). Επίσης στην ηλικία αυτή στους Έλληνες μαθητές βρίσκουμε ένα ποσοστό (13%) που δεν ξέρει να μετράει μέχρι το 10 ενώ οι Αμερικανοί μαθητές ξέρουν όλοι να μετρούν πάνω από το 10.
Πιστεύουμε ότι σε γενικές γραμμές η καλύτερη απόδοση των Αμερικανών μαθητών στην προφορική αρίθμηση οφείλεται στην διαφορετική διδασκαλία που δέχονται και η οποία όπως αναφέραμε παραπάνω δίνει μεγαλύτερη βαρύτητα στην προφορική αρίθμηση. Συμπεράσματα Η μάθηση λοιπόν της προφορικής αρίθμησης όπως ήδη έχουμε τονίσει είναι μια μακρόχρονη διαδικασία: ξεκινάει από πολύ νωρίς με μορφή κοινωνικής γνώσης που στις περισσότερες περιπτώσεις προσφέρεται από την οικογένεια και μαθαίνεται με αποστήθιση πριν ακόμη το παιδί πάει στο σχολείο και δεχτεί κάποια οργανωμένη διδασκαλία και συνεχίζει μέχρι τις πρώτες τάξεις του δημοτικού όπου η μάθηση αυτή γίνεται πιο λειτουργική και σύμφωνη με τους κανόνες του αριθμητικού συστήματος. Από τα εμπειρικά δεδομένα που είδαμε προηγουμένως όσον αφορά στις γνώσεις των μαθητών στην προφορική αρίθμηση μπορούμε να κάνουμε τις εξής γενικές διαπιστώσεις: - Η κοινωνική προέλευση της προφορικής αρίθμησης γίνεται φανερή από το γεγονός ότι τα νήπια ακόμη και στις πιο μικρές ηλικίες ξέρουν να αριθμούν προφορικά μέχρι πολύ μεγαλύτερους αριθμούς από αυτούς που διδάσκονται. Τα περισσότερα παιδιά έχουν αυτές τις γνώσεις πριν ακόμη δεχτούν κάποια διδασκαλία. Επίσης η εξωσχολική προέλευση αυτής της γνώσης φαίνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν έντονες διαφοροποιήσεις μεταξύ των παιδιών ως προς την ικανότητα της προφορικής αρίθμησης. Για παράδειγμα τα δύο παιδιά του νηπιαγωγείου που παρουσίασαν εκπληκτικές ικανότητες στην προφορική αρίθμηση (αρίθμηση ένα-ένα πάνω από το 100, ικανότητα αρίθμησης δύο-δύο και αντίστροφης αρίθμησης) ήταν παιδιά εκπαιδευτικών. - Σε γενικές γραμμές μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στο νηπιαγωγείο αλλά και στο δημοτικό η πλειοψηφία των μαθητών ξέρει να αριθμεί μέχρι αριθμούς που είναι πολύ μεγαλύτεροι από αυτούς που προβλέπονται μέσα στα προγράμματα διδασκαλίας.
- Το γεγονός ότι με την αύξηση της ηλικίας των παιδιών παρατηρείται ταυτόχρονα και μια μεγάλη αύξηση της ικανότητας προφορικής αρίθμησης προς ολοένα και μεγαλύτερους αριθμούς, μαρτυρεί ότι τα παιδιά αποκτούν και αναπτύσσουν την ικανότητα αυτή εύκολα. Συμπερασματικά όσον αφορά στην διδασκαλία μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Γενικά η διδασκαλία δε χρησιμοποιεί και δεν εκμεταλλεύεται όσο πρέπει τις γνώσεις των παιδιών στην προφορική αρίθμηση που στην αρχή έχουν χαρακτήρα κοινωνικό και προέρχονται έξω από το σχολικό σύστημα. Δηλαδή η διδασκαλία περιορίζει την προφορική αρίθμηση σε μικρούς αριθμούς (μέχρι το 10 στα νήπια, μέχρι το 20 στην πρώτη και μέχρι το 100 στη δευτέρα) εξαιτίας των πλαισίων που θέτει για τη γενικότερη διδασκαλία και κατανόηση του αριθμού. Τουλάχιστον για την προφορική αρίθμηση θα μπορούσε να επεκταθούν κατά πολύ τα μεγέθη των αριθμών. Πρέπει να γίνεται περισσότερη δουλειά και από πιο νωρίς πάνω στην ακολουθία των αριθμών αριθμώντας κατευθείαν και αντίστροφα, αρχίζοντας από τη νοερή απαγγελία της ακολουθίας και προχωρώντας στην ανάγνωση ή τη γραφή της. Το δείγμα των μαθητών που είχαμε για την πρώτη τάξη αν και ήταν πολύ μικρό για να βγάλουμε γενικά συμπεράσματα έδειχνε όμως χαρακτηριστικά την αδυναμία των μαθητών στην αντίστροφη αρίθμηση. Αυτό επιβεβαιώνεται επίσης αν δούμε το μικρό χώρο που αφιερώνει και τις αποσπασματικές περιπτώσεις στις οποίες αναφέρεται η αντίστροφη αρίθμηση στο σημερινό πρόγραμμα διδασκαλίας. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Γαγάτσης Α. (1993). Προβλήματα προσθετικών σχέσεων σύμφωνα με τις εργασίες του G. Vergnaud. Διάσταση, 1-2, σελ. 85-117, 1993.
Fuson, K.-C. (1988). Children's counting and concepts of number. New-York: Springer-verlag. Fuson, K., & Hall, J.W. (1983). The acquisition of early number word meaning: A conceptual analysis and review. In H.P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking. New-York: Academic Press. Fuson K. C, Richards J. and Briars D. J. (1982). The acquisition and elaboration of the nomber word sequence. In C. Brainerd (Ed), Progress in cognitive development. (Vol 1). Children's logical and mathematical cognition. New-York: Springer-Verlag. Λεμονίδης Χ. (1994). Περίπατος στη μάθηση της στοιχειώδους αριθμητικής. Εκδόσεις Αδελφών Κυριακίδη Θεσ/νίκη. Vergnaud G. (1981). Quelques orientations theoriques et methodologiques des recherches francaises en didactique des Mathematiques, Recherches en Didactique des Mathematiques, 2.2, σελ. 215-232.