Το πρόβληµα της σκέδασης

Το πρόβληµα της σκέδασης ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 1 q Θεωρήστε μή φραγμένη κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Ø Σωματίδιο έρχεται από το άπειρο και πηγαίνει στο άπειρο q Υποθέστε ότι F( r) 0 καθώς r Ø H τροχιά προσεγγίζει ευθείες γραμμές για μεγάλα r Ευθύ τμήμα Α b Αλληλεπίδραση Α Θ q Το πρόβλημα: Πως σχετίζονται τα τμήματα Α και Β q Χαρακτηριστικά: b: παράμετρος πρόσκρουσης η κάθετη απόσταση μεταξύ της διεύθυνσης κίνησης του σώματος και μιας παρ/λης ευθείας που περνά από το κέντρο του στόχου Θ: γωνία σκέδασης γωνία μεταξύ της προσπίπτουσας και σκεδαζόμενης ταχύτητας του βλήματος Α: σημείο εγγύτερης απομάκρυνσης

Σηµαντικότητα του προβλήµατος ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 q Όλες οι φυσικές παρατηρήσεις είναι φαινόμενα σκέδασης Ø Σκέδαση φωτονίων σε αντικείμενο Βλέπουμε Ø Ηλεκτρόνια σκεδάζονται σε αντικείμενο Ηλεκτρονικό μικροσκόπιο q Πειράματα σε μικροσκοπική κλίμακα Ø Σκέδαση ηλεκτρονίων - πυρήνων Ø Σκέδαση νετρίνο - ηλεκτρονίων Διερεύνηση δομή πυρήνων Μέτρηση ενέργειας νετρίνων q Κλασική περιγραφή των φαινομένων αυτών αποτυγχάνει Ø Κλασική προσέγγιση αρκετά καλή σε πολλές περιπτώσεις Ø Η συνταγή της κλασικής προσέγγισης χρησιμοποιείται στην κβαντική μηχανική περισσότερο ευκολονόητη διαισθητικά

Η διατοµή σκέδασης στατιστικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 3 q Θεωρήστε ότι έχετε κάποιο σύστημα αποτελούμενο από Ν στ στόχους Ø Πυκνότητα στόχου: n στ = N στ A επιφάνεια, Α Ø Αριθμός στόχων: N στ = n στ A Ø Διατομή στόχων: σ = π R Ø Ολική διατομή στόχων: σ ολ = n στ Aσ ενεργός διατοµή, σ Ø Πιθανότητα κρούσης: σ ολ A = n στ Aσ A = n στ σ Ø Για δέσμη N δεσμης σωματιδίων/βλημάτων: Ν χτυπ. =Ν δεσμης x n στ x σ q Μονάδας μέτρησης ενεργού διατομής, σ: barn = 10-8 m

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 4 Μέση ελεύθερη διαδροµή (mean free path) q Έστω ότι έχετε ένα αέριο αποτελούμενο από Ν μόρια ακτίνας R Ø Μέση ελεύθερη διαδρομή, λ: μέση απόσταση που διανύει ένα βλήμα (μόριο) μεταξύ διαδοχικών συγκρούσεων q Εξετάζουμε ένα μόριο Θεωρούμε τα υπόλοιπα ακίνητα Ø Ενεργός Διατομή σκέδασης: σ = π ( R + R) = 4π R Ø Αριθμός στόχων σε πάχος dx: n στ = N V dx = Nσ Ø Πιθανότητα σκέδασης σε dx: prob dx V dx Ø Πιθανότητα μή σκέδασης σε απόσταση x: prob x Ø Πιθανότητα σκέδασης σε απόσταση dx αφού διανύσει απόσταση x: = prob( x) prob( dx) = prob( x) Nσ V dx = prob( x) prob( x + dx) = d dx prob x Nσ dx = prob( x)dx prob( x) = e ( Nσ V )x prob x, x + dx Ø Αλλά αυτό είναι: prob x, x + dx d dx prob x V q Μέση ελεύθερη διαδρομή: λ = x = x d dx prob( x) dx = x Nσ 0 0 λ = V για μόρια αέρα (R=0.15nm) λ~130nm Nσ V e Nσ V dx x dx

Μοντέλο κακού σκοπευτή ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 5 q Θεωρήστε ότι στοχεύετε σε ένα μικρό στόχο Ø και ότι είστε αρκετά άστοχοι q Τα βλήματα κατανέμονται ομοιόμορφα Ø Ένταση δέσμης: I = N σϕ. At q O αριθμός των χτυπημάτων είναι ανάλογος του μεγέθους του στόχου συχνότητα χτυπημάτων (σφαίρες/sec) =Αριθμός σφαιρών/επιφάνεια/χρόνο N χτυπ. = I σ ένταση (σφαίρες/m /sec) ενεργός διατομή στόχου (m )

Σφαιρικός στόχος Στερεά γωνία ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 6 q Θεωρήστε ότι ο στόχος είναι μια συμπαγής σφαίρα Ø Χρησιμοποιούμε σημειακά βλήματα και η σκέδαση είναι ελαστική q Μελετούμε την γωνία σκέδασης Θ Ø Περισσότερες πληροφορίες για το είδος της αλληλεπίδρασης q Διεύθυνσης σκέδασης Ø Αριθμός βλημάτων σε μικρό κώνο ως προς θ,φ: q Στερεά γωνία ΔΩ: ΔΩ = A R θ,φ γύρω από διεύθυνση πρόσκρουσης Ø Το τμήμα της σφαιρικής επιφάνειας, Α, που ορίζει ο κώνος ως προς το τετράγωνο της ακτίνας της σφαίρας R Θ q Για κώνο με γωνίες [θ,θ+δθ], [φ,φ+δφ] : dω = da r = r sinθdθdϕ r = sinθdθdϕ R O ΔΩ=A/R A

Σφαιρικός στόχος ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 7 q Μελέτη του αριθμού, Ν χτ, των βλημάτων που σκεδάζονται σε dω ( dω) = N δ n στ dσ ( dω) N χτ Ø dσ: ενεργός διατομή του στόχου για σκέδαση σε dω dσ ( dω) = dσ dω διαφορική ενεργός διατομή σκέδασης dω dσ ( θ,ϕ) ( dω) = N δ n dω στ N χτ tot N χτ = N χτ ( dω)dω 4π dω q Ολοκλήρωση των Ν χτ για όλες τις δυνατές dω tot N χτ = N δ n στ σ N δ n στ σ = σ = dσ θ,ϕ N δ n στ dω dω σ = π 0 sinθ dθ π 0 dω dσ θ,ϕ dϕ στόχοι dσ ( θ,ϕ ) dω dω

Υπολογισµός της Διαφορικής ενεργού διατοµής dω = π sinθdθ dσ ( Θ,ϕ) dn δ = N δ dω dω dσ ( Θ) N δ πbdb = N δ π sinθdθ dσ ( Θ) dω = b dω db sinθ dθ ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 8 q Θεωρούμε σφαιρική συμμετρία (συμμετρική σκέδαση ως προς φ) Ø dσ/dω ανεξάρτητη της γωνίας φ q Αριθμός βλημάτων με παράμετρο κρούσης [b,b+db] dn δ = N δ πbdb q Σκεδάζονται σε γωνίες [Θ,Θ+dΘ] στην στερεά γωνία dω q Εξέταση αν το αποτέλεσμα πληρεί την ιδέα περί ολικής ενεργού διατομής Ø Ολοκληρώνουμε ως προς την ολική στερεά γωνία Ολική π α σ T = σ ( Ω)dΩ σ T = π sinθσ ( Θ )dθ σ T = πbdb σ T = πα επιφάνεια 0 0 4π στόχου db b dθ Θ(b)

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 9 Σκέδαση υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης q Πως σχετίζουµε την γωνία Θ µε την παράµετρο b? σ ( Θ) = b sinθ q Xρειάζεται να ξέρουμε την μορφή της τροχιάς για μεγάλα r d u dθ + u + m dv u l du 1 = 0 όπου u = 1 r Ø Η στροφορμή l και η παράμετρος b συνδέονται: l = r! p! Θ 0 = rp 0 sinθ = bp p 0 0 Ø Αν υποθέσουμε ότι V r 0 όταν r E = T = p 0 l = bp m 0 = b me q Γράφουµε την εξίσωση της τροχιάς συναρτήσει της παραµέτρου b και της Ε d u dθ + u + 1 dv ( u 1 ) = 0 Με λύση της µορφής: u = u( θ,b,e) b E du q Για r όταν θ = Θ, τότε u = u Θ,b,E = 0 b = b( Θ,E) q Mε βάση αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε: σ ( Θ,E) = b sinθ b db dθ db dθ

Δύναµη ανάλογη του 1/r ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 10 q Θεωρήστε μια απωστική δύναμη: F( r) = k r V ( r) = k r Ø Ηλεκτροστατική δύναμη μεταξύ ομώνυμων φορτίων q Eξίσωση και λύση ίδια όπως στην περίπτωση του προβλήματος Κepler Ø Mόνο αλλαγή του προσήμου του k 1 r = mk 1+ 1+ El l mk cos θ θ 0 Ø Aκτίνα > 0 e = 1+ El q Η λύση δίνει υπερβολή: Ø e > 1 E > 0 Ø 1/r > 0 cos θ θ 0 < 1 e l = b me θ = 0,r = mk > 1 Υπερβολή E = m!r + k r > 0 q Για θ=0 και θ=θ 0 u=1/r=0 cosθ 0 = 1 e cos θ 0 = 1 e θ 0 θ θ 0 Θ q Η γωνία σκέδασης είναι: Θ = π θ 0 θ 0 = π cot Θ Θ 1+ tan = e 1 = Eb θ 0 = e tanθ 0 = e 1 k b = k E cot Θ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 11 Διαφορική ενεργός διατοµή q Η διαφορική ενεργός διατομή είναι: σ ( Θ) = b sinθ db dθ = 1 sinθ k E cot Θ d dθ cot Θ σ ( Θ) = 1 4 q Η σκέδαση σωματιδίων με φορτία Ζe και Ζ'e δίνει: k = Z Z e σ ( Θ) = 1 4 Z Z e E 1 sin 4 Θ Σκέδαση Rutherford k E 1 Θ sin 4 α-σωματίδια (Ζ'=) σκεδάστηκαν από ατομικούς πυρήνες με Z Aπόδειξη της ύπαρξης πυρήνων q Πριν την ανακάλυψη του Rutherford: Ø Ηλεκτρόνια ήταν γνωστά Ø Θετικά φορτία στο εσωτερικό των ατόμων άγνωστη η κατανομή q Η μέτρηση της ενεργού διατομής σκέδασης Rutherford έδειξε: Ø Θετικό φορτίo +Ζe συγκεντρωμένο σε ένα σωμάτιο Ø Ζ σωμάτια με +e φορτίο το καθένα θα έδιναν: σ Θ Ø Ανακάλυψη πυρήνων = Ζ 4 Z e E 1 sin 4 Θ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 1 Ολική ενεργός διατοµή q Ολοκλήρωση της ενεργού διατομής σκέδασης Rutherford δίνει: σ T = π σ (Ω)dΩ = π sinθ 1 Ζ Ζ e 0 4 E 4π σ T = π Ζ E Ζ e Θ d sin 1 0 Θ sin 3 σ T = 1 sin 4 Θ 4 q Οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις είναι µεγάλης εµβέλειας dθ q Το σωµατίδιο δέχεται πάντοτε κάποια απόκλιση ανεξάρτητα από το πόσο µεγάλη είναι η παράµετρος πρόσκρουσης, b Ø Στην πραγματικότητα: το ηλεκτροστατικό πεδίo προστατεύεται από τα ηλεκτρόνια γύρω από τον πυρήνα η ενεργός διατομή είναι πεπερασμένη και δεν απειρίζεται

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 13 (A) Σκέδαση σύστηµα CM και εργαστηρίου q Οι προηγούμενες εξισώσεις ισχύουν για σκέδαση στο σύστημα CM q Αριθμός σωματιδίων που σκεδάζονται στο CM = αριθμό σωματιδίων που σκεδάζονται στο σύστημα εργαστηρίου (LAB) q Αλλάζει η γωνία σκέδασης θεωρώντας τα συστήματα σ CM σ LAB ( Θ)dΩ CM = σ LAB ( Ψ)d Ω LAB σ CM ( Θ)π sinθdθ = σ LAB ( Ψ)π sinψdψ ( Ψ) = σ CM ( Θ) sinθ sinψ θ ψ u 1 u 1,CM ψ θ V CM V CM < u 1,CM q Μια περίπτωση για ψ και θ (B) u 1,CM ψ V CM dθ LAB dψ m 1 u 1 u = 0 u 1 θ b u 1,CM θ f V CM > u 1,CM q Δυο περιπτώσεις για θ (θ b,θ f ) και 1ψ V CM m m 1 u 1 V CM ψ θ m ζ u π θ m 1 m CM u 1,CM m 1 θ u,cm u,cmm u 1,CM π θ Το σώµα σκεδάζεται πάντοτε µε ψ<π/ στο LAB

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 14 Σύστηµα CM και εργαστηρίου q Από τo σχήμα (A) και τον νόμο των ημιτόνων έχουμε: V CM sinψ sinψ sin θ ψ sin θ ψ = = V CM (1) u 1,CM u 1,CM! q Από τον ορισμό του CM: R = m!! 1r 1 + m r M!!! V CM = m 1 u1 + m u V! CM = m 1 m 1 + m M! q Στο σύστημα αναφοράς του CM u 1,CM = u! 1 V! CM u! m 1,CM =! u1 m 1 + m! u,cm =! u! V CM q Μετά την σκέδαση (CM) u 1,CM = u 1,CM και u,cm sin( θ ψ ) q Από (), (3) και (4) η (1) γίνεται: = m 1 = x sinψ m q Θέτουμε το διαφορικό: dx = 0 x x dψ + ψ θ dθ = 0 dθ sin( θ ψ )cosψ = dψ cos( θ ψ )sinψ +1 dθ dψ = sinθ cos( θ ψ )sinψ u!,cm = m! 1u 1 m 1 + m = u,cm q Αντικατάσταση στην εξίσωση της σ LAB (ψ): σ LAB ( ψ ) = σ CM ( Θ)! u 1 () (3) (4) sin θ cos θ ψ sin ψ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 15 Σύστηµα CM και εργαστηρίου q Πολ/ζουμε την sinψ sin θ ψ = m 1 = x με cos( ψ ) και προσθέτουμε cos( θ ψ ) m sin( θ ψ )cosψ + cos( θ ψ ) = x cosψ + cos( θ ψ ) sinθ = x cosψ + cos( θ ψ ) sinψ sinψ q Αντικαθιστούμε στην σ LAB ( ψ ) = σ CM ( Θ) σ LAB ( ψ ) = σ CM ( Θ) Από sin( θ ψ ) sinψ x cosψ + cos θ ψ cos θ ψ sin θ cos θ ψ sin ψ = m 1 = x cos( θ ψ ) = 1 x sin ψ m σ LAB ( ψ ) = σ CM ( Θ) x cosψ + 1 x sin ψ 1 x sin ψ Τέλος μπορούμε να γράψουμε: θ = sin 1 ( xsinψ ) +ψ

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 16 Ελκτική δύναµη q Απωστικές δυνάμεις μπορούν να σκεδάσουν μόνο κατά γωνίες 0<Θ<π q Μια ελκτική δύναμη μπορεί να κάνει περισσότερα Ø Αν το δυναμικό και η ενέργεια έχουν κάποιες τιμές, το σωματίδιο μπορεί να κάνει πολλαπλές στροφές πρίν εξέλθει Ø Αυτό καλείται σπιροειδές Περιοχή σπιροειδούς κίνησης: Ø E-V μικρή τιμή r αλλάζει πολύ αργά

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 17 Σκέδαση ουράνιου τόξου q Η εξίσωση της διατομής σκέδασης, σ(θ), υποθέτει ότι b(θ) μονότιμη Ø Ισχύει για την περίπτωση της σκέδασης Rutherford q Αν η b(θ) μή μονότονη σ ( Θ) = i b i sinθ db i dθ Άθροισμα για όλα τα πιθανά b b q Στο μέγιστο Θ = Θ m b 1 dθ db = 0 σ ( Θ) = Θ Θ m Ø Oνομάζεται σκέδαση ουράνιου τόξου

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 18 Ουράνιο τόξο q Γνωστός ο μηχανισμός δημιουργίας του ουράνιου τόξου Ø Ωστόσο η γωνία σκέδασης εξαρτάται από τη θέση στην οποία εισέρχεται το φως στην σταγόνα Ø Αν προσθέσουμε όλες τις πιθανές θέσεις εισόδου τότε το ουράνιο τόξο δεν θα δημιουργηθεί q Ο σχηματισμός του ουράνιου τόξου οφείλεται στο φως το οποίο ανακλάται εσωτερικά Ø H ολική αλλαγή διεύθυνσης είναι: Θ = θ 1 4θ + π Ø Αλλά sinθ 1 = b R Ø Νόμος του Snell: sinθ 1 = ηsinθ η = 1.33 Ø Θ έχει ελάχιστο για 137.5 ο : b

ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 19 Ουράνιο τόξο q Αν φωτίσετε μια σταγόνα νερού με ομοιόμορφο φως Ø Η κατανομή της έντασης του φωτός συναρτήσει της γωνίας Θ I ( Θ) b sinθ db dθ απειρίζεται στο σημείο καμπής π 3 Θ q Στο Θ min à Οξεία κορυφή στην ένταση Ι(Θ) Θ min =.40rad I(Θ) r<r min b/r 0 1 b b min r>r min Θ q Ανάκλαση παρατηρείται μόνο στο Θ min αυτό εξαρτάται από το η το η εξαρτάται από το λ q Πραγματικός μηχανισμός δημιουργίας ουράνιου τόξου