ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ DISCRETE TIME SIGNALS AND SYSTEMS Γνωρίζουµε ήδη καλά τα Αναλογικά Σήµατα,, ή Σήµατα Συνεχούς Χρόνου Παραδείγµατα δίνονται πιο κάτω. Στα σήµατα αυτά η τιµή είναι ορισµένη για οποιαδήποτε τιµή χρόνου µε σα σε ένα διάστηµα (t min,t max ) Οµιλία Αναλογικό Video Παραδείγµατα µε Αναλογικά Σήµατα Συνεχούς Πλάτους sagri@di.uoa.gr
Γνωρίζουµε καλά τα Αναλογικά Σήµατα, ή Σήµατα Συνεχούς Χρόνου Παραδείγµατα δίνονται πιο κάτω. Παράδειγµα µε Αναλογικά Σήµατα ιακριτού Πλάτους Το παράδειγµα αυτό στην ουσία αποτελείται από Αναλογικά Σήµατα δυαδικού πλάτους. Σήµατα ιακριτού Χρόνου (Discrete Time Signals.) Στα σήµατα αυτά η τιµή είναι ορισµένη µόνο για διακριτές τιµές του χρόνου. Στη µελέτη µας θα περιοριστούµε σε σήµατα διακριτού χρόνου που ο ορισµός τους γίνεται σε ακέραια πολλαπλάσια χρονικής ποσότητας, της Περιόδου Εµφάνισης Τιµής, Τ S Μηνιαίες Πωλήσεις Παράδειγµα µε ιακριτού Χρόνου Σήµα Συνεχούς Πλάτους: Η τιµή του Σήµατος υπάρχει µόνο για κάθε µήνα. Μπορεί όµως να λάβει οποιαδήποτε τιµή µέσα από ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών. sagri@di.uoa.gr 2
Σήµατα ιακριτού Χρόνου (Discrete Time Signals.) x(nts) t Παράδειγµα µε ιακριτού Χρόνου Σήµα υαδικού Πλάτους: Η τιµή του Σήµατος υπάρχει µόνο για κάθε ακέραιο πολλαπλάσιο του χρόνου. Οι τιµές που λαµβάνει βρίσκονται στο πεπερασµένο σύνολο {-,}. Σε πολλές εφαρµογές το σύνολο των τιµών του σήµατος είναι πεπερασµένο, αλλά περιέχει περισσότερες από δύο τιµές, οπότε λέµε ότι το σήµα λαµβάνει διακριτές τιµές, ή ψηφιακές τιµές. Σήµατα ιακριτού Χρόνου (Discrete Time Signals.) Κατά την Επεξεργασία Ψηφιακού Σήµατος δηµιουργούµε διακριτά σε χρόνο σήµατα δειγµατοληπτώντας αναλογικά σήµατα. Αποδεικνύεται ότι όταν ισχύουν καθορισµένες συνθήκες στη δειγµατοληψία (αναφέρονται πιο κάτω) µπορούµε από το διακριτό σε χρόνο σήµα να λάβουµε το αρχικό αναλογικό σήµα. Παράδειγµα ιακριτού σε Χρόνο Σήµατος που Προκύπτει από ειγµατοληψία Αναλογικού Σήµ. sagri@di.uoa.gr 3
Σήµατα ιακριτού Χρόνου (Discrete Time Signals.) x(nts) Ts=0.5 sec Παράδειγµα ιακριτού σε Χρόνο Σήµατος που προκύπτει από ειγµατοληψία Αναλογικού Σήµ. ΚΥΚΛΩΜΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΗ SAMPLE AND HOLD (S&H) CIRCUIT Για τη δειγµατοληψία ενός Αναλογικού Σήµατος απαιτείται το κύκλωµα του δειγµατολήπτη. Η αρχή λειτουργίας του S&H φαίνεται στο πιο κάτω Σχήµα sagri@di.uoa.gr 4
x(n) Ts Για να αποθηκευτεί στη µνήµη του υπολογιστή σήµα διακριτού χρόνου πρέπει αυτό να λαµβάνει διακριτές τιµές. Είναι αδύνατο να αποθηκευτή στη µνήµη του υπολογιστή διακριτό σήµα συνεχούς πλάτους. Το σήµα στην έξοδο ενός δειγµατολήπτη δεν είναι δυνατόν να αξιοποιηθεί αν προηγουµένως δεν µετατραπεί σε σήµα διακριτού πλάτους. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιείται ο κβαντιστής (quantizer). sagri@di.uoa.gr 5
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΣ ΚΒΑΝΤΙΣΤΗΣ UNIFORMQUANTISER Υποθέστε ότι το πεδίο τιµών της ακολουθίας{x(n)} είναι το [h LO, h HI ]. ιαχωρίζουµε το διάστηµα αυτό σε Νίσα διαστήµατα µε µήκος = h H I N h LO h LO h HI ˆX ˆX 2 ˆX 3 Xˆ N Το καλείται βαθµίδα κβάντισης (quantisation step ). Αργότερα θα το γνωρίσοµε ως resolution ή LSB. Για πρακτικούς λόγους το Ν λαµβάνεται ως δύναµη του 2, Ν=2 ν ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΟΣ ΚΒΑΝΤΙΣΤΗΣ UNIFORMQUANTISER ( n) { x } ΚΒΑΝΤΙΣΤΗΣ Ο κβαντιστής αντικαθιστά την ακολουθία {x(n)} µε την { xˆ ( n) } ως εξής: Για κάθε δείγµα x(n) προσδιορίζει τη στάθµη κβάντισης ώστε Θέτει xˆ ( n) = Xˆ ( ) ( ) x n Xˆ < x n Xˆ j =, 2,..., N, i j i i j Είναι φανερό ότι µε την κβάντιση δηµιουργείται ένας θόρυβος ( ) = ( ) ˆ ( ) xɶ n x n x n sagri@di.uoa.gr 6
ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑΣ ANALOG TO DIGIATAL CONVERTER (ADC) ˆx x(n) ( n) ΚΒΑΝΤΙΣΤΗΣ (QUANTISER) ΥΑ ΙΚΟΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΗΣ Σειριακή Έξοδος Παράλληλη Έξοδος Ο υαδικός Κωδικοποιητής δίνει έξοδο σε κώδικα Μη Προσηµασµένο Ακέραιο, Συµπλήρωµα ως προς 2, ή σε Κώδικα Gray Παράµετροι του ADC. Αριθµός vτων bits της Ψηφιακής Εξόδου: Ο vδηλώνει το πλήθος των bits που χρησιµοποιούνται για την παράσταση της ψηφιακής εξόδου του ΑDC DC. Το πλήθος Ν των διαφορετικών σταθµών κβάντισης ισούται µε Ν=2 v Με το v σχετίζεται επίσης ο θόρυβος κβάντισης και η ποιότητα του ψηφιοποιηµένου σήµατος που δίνεται σε db από τη σχέση: (S/N) db =6v db 2. Άκρα Περιοχής Λειτουργίας, V LO, V ΗΙ : Είναι τα άκρα της περιοχής τάσεων που δέχεται ως είσοδο ο ADC. Η διαφορά. V HI -V LO =E FSR δίνει το µήκος της αναλογικής περιοχής λειτουργίας του ADC. sagri@di.uoa.gr 7
Παράµετροι του ADC 3. Ευκρίνεια (Resolution-R): Η Rδηλώνει την ελάχιστη διαφορά τάσης στην είσοδο που µπορεί να αυξήσει την ψηφιακή έξοδο κατά µία µονάδα. Καλείται επίσης Least Significant Bit (LSB) Ισχύει: R=E FSR /(2 v -) 4. ιαφορική µη Γραµµικότητα (Differential non Linearity-DNL) H DNL δηλώνει το σφάλµα γραµµικότητας που παρουσιάζει ο DAC. Ισούται µε την µεγαλύτερη απόκλιση που παρατηρείται στηδιαφορά µεταξύ δύο αναλογικών τιµών που αντιστοιχούν σε διαδοχικές ψηφιακές τιµές εξόδου. H DNL µετριέται ως ποσοστό toy LSB. Χαρακτηριστική DAC µε απόλυτη γραµµικότητα Χαρακτηριστική DAC µε µη γραµµικότητα Για τον υπολογισµό της DNL εργαζόµαστε ως κάτωθι: Καταγράφουµε την ακολουθία {V i }των διαδοχικών διαστηµάτων κβάντισης (βλέπε δεύτερο σχήµα πιο πάνω.) Υπολόγισε την ακολουθία {δ i } δ i V i+ -V i Υπολογίζουµε το LSB ίσο µε το µέσο όρο της {V i } sagri@di.uoa.gr 8
Υπολογίζουµε την DNL=max( δ i )/LSB 5. Σωρευτική µη Γραµµικότητα (Integral non Linearity-INL) Η INL δίνει τη µέγιστη απόκλιση της χαρακτηριστικής από την ιδανική µορφή. Μετριέται υπολογίζοντας την ακολουθία {s i } s i = V i k = INL = max(s i )/LSB i Ψηφιοαναλογικός Μετατροπέας Digital to Analog Converter- DAC Πριν να περιγράψουµε την αρχή λειτουργίας των αναλογοψηφιακών µετατροπέων θα περιγράψουµε την αρχή λειτουργία του ψηφιοαναλογικού µετατροπέα. Αυτό γίνεται επειδή οι περισσότεροι τύποι των ADC στηρίζουν τη λειτουργία τους σε ένα DAC που εµπεριέχουν. Στο διπλανό κύκλωµα φαίνεται η αρχή λειτουργίας ενός DAC των 4 bits. Αυτός αποτελείται από έναν Αθροιστή κατασκευασµένο µε τελεστικό ενισχυτή. Η έξοδος, σύµφωνα µε τη λειτουργία του κυκλώµατος του Αθροιστή είναι: sagri@di.uoa.gr 9
Το κύκλωµα του DAC µε αθροιστή που περιγράψαµε στην προηγούµενη διαφάνεια παρουσιάζει προβλήµατα στην υλοποίησή του. Πρέπει να χρησιµοποιηθούν αντιστάσεις πολύ µικρού σφάλµατος και σε µια µεγάλη περιοχή τιµών. Έτσι για να υλοποιηθεί ένας DAC των 8 bits απαιτούνται αντιστάσεις,2,4,8,6,32,64,28 ΚΩ, των οποίων οι τιµές θα δίδονται µε σχετικό σφάλµα όχι µεγαλύτερο από 2 8. Οι πιο πάνω συνθήκες πολύ πιο δύσκολα επιτυγχάνονται σε ολοκληρωµένα κυκλώµατα. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιείται αντί του απλού δικτυώµατος του αθροιστή ένα δικτύωµα από αντιστάσεις γνωστό ως R-2R Ladder, το όποιο όµως έχει ισοδύναµο αποτέλεσµα στην έξοδο του ενισχυτή Στο πιο πάνω κύκλωµα δίνεται η υλοποίηση ενός DAC των 4 bits µε δικτύωµα R-2R Ladder.Αποδεικνύεται ότι η τάση εξόδου είναι sagri@di.uoa.gr 0
ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΒΑΘΜΙ ΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑ ADC Flash Converter or Simultaneous ADC: Παρουσιάζει το µικρότερο χρόνο µετατροπής, αλλά και τις µεγαλύτερες µη γραµµικότητες C C2 C3 0 V IN <V/4 0 0 0 V/4 V IN <V/2 0 0 V/2 V IN <3V/4 0 3V/4 V IN Αρχή Λειτουργίας Flash ADC Υλοποίηση του flash ADC ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΒΑΘΜΙ ΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑ ADC Counter Type ADC: Παρουσιάζει το µεγαλύτερο χρόνο µετατροπής, αλλά και τις µικρότερες µη γραµµικότητες DAC Στον µετατροπέα αυτό µόλις τεθεί η είσοδος analog input αρχίζει ο counter µε αρχική τιµή µηδέννα αυξάνει το περιεχόµενό του κατά σε κάθε παλµό του clock. sagri@di.uoa.gr
Αυτόµατα το δυαδικό περιεχόµενο του counter µετατρέπεται σε ισοδύναµη αναλογική τάση µέσο του DAC. Η έξοδος του DAC P είναι µία τάση που αυξάνει σε κάθε παλµό του clock κατά το βήµα κβάντισης. Μετά από ένα πλήθος Μ παλµών του clock, ο counter περιέχει τη δυαδική ένδειξη Μ και η έξοδος P έχει τάση Μ. Όταν η τάση αυτή γίνει ίση µε την τάση εισόδου ο συγκριτής αλλάζει κατάσταση και κλείνει την πύλη έτσι δεν αυξάνει πλέον το περιεχόµενο του counter. Η ψηφιακή αυτή τιµή είναι το ψηφιακό ισοδύναµο του counter. ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΒΑΘΜΙ ΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑ ADC SAR (Successive Approximation Register) Type ADC: Παρουσιάζει µικρό χρόνο µετατροπής, αλλά και µικρή µη γραµµικότητα Vs DAC Η µετατροπή στον SAR γίνεται, όπως και στον τύπο του counter, µε ψηφιακές τιµές στον register SAR, τις οποίες µετατρέπει µέσω του DAC σε αναλογικές τάσεις που συγκρίνει µε την τάση εισόδου. Οι ψηφιακές όµως τιµές του SAR δεν είναι όλοι οι διαδοχικοί δυαδικοί αριθµοί από το 0 µέχρι την τελική τιµή, αλλά ακολουθεί µια διαδικασία που σε v βήµατα βρίσκει τη σωστή ένδειξη. sagri@di.uoa.gr 2
Ο SAR register ακολουθεί τον πιο κάτω αλγόριθµο για να βρει την ψηφιακή τιµή της τάσης εισόδου σε v βήµατα. sagri@di.uoa.gr 3
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Μοναδιαίο είγµα ή Κρουστική Ακολουθία (Unit Sample Signal) ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Μοναδιαία ΒηµατικήΑκολουθία (Unit Step Signal) sagri@di.uoa.gr 4
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ακολουθία Μοναδιαίας Κλίσης (Unit Ramp Signal) ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ακολουθία Πραγµατικού Εκθετικού Σήµατος n ( ) = ( ) x n a u n 6 a<- 6 a> 4 5 2 4 0 3-2 2-4 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0.5 -<a<0.4 0<a<.2 0.5 0.8 0.6 0 0.4 0.2-0.5 0-0.2-0 2 3 4 5 6 7 8 9 0-0.4 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 sagri@di.uoa.gr 5
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ακολουθία Μιγαδικού Εκθετικού Σήµατος Για παράδειγµα x(n)=e jωn Το σήµα λαµβάνει τιµές µιγαδικές που αποδίδονται σαν σηµεία στο επίπεδο. Στο πιο πάνω σήµα όλες οι τιµές του έχουν µέτρο ίσο µε µονάδα γιαυτό αυτές βρίσκονται πάνω στο µοναδιαίο κύκλο. ΠΕΡΙΟ ΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Περιοδικό Σήµα: x(n)=x(n+n) για κάθε n Βάσει του ορισµού µια αρµονική συνάρτηση δεν είναι πάντα περιοδική. Πράγµατι θεωρείστε το x(n)=acos(ωn+ n+φ). Έστω ότι υπάρχει Ν τέτοιο ώστε x(n)=x( x(n+n) Acos(Ωn+ n+φ)= )=Acos[Ω(n+N)+φ] Acos(Ωn+ n+φ)= )=Acos(Ωn+ n+ωn+ N+φ) Για να ισχύει η πιο πάνω ισότητα πρέπει να ισχύει: ΩΝ=k k 2π δηλαδή Ω k = = ό 2π N ρητ ς sagri@di.uoa.gr 6
Συνθήκη για να είναι ένα αρµονικό σήµα περιοδικό Έτσι: Ω k = = ό 2π N ρητ ς Acos[(π/2) π/2)n+ n+φ] Asin[(π/7) [(π/7)n+ n+φ] είναι περιοδικά σήµατα αντίθετα: Acos[3n+ n+φ], Asin[8n+ n+φ] φ]είναι µη περιοδικά σήµατα Ω k = = ό 2π N ρητ ς Παροµοίως και για µιγαδικά εκθετικά σήµατα για να υπάρχει περιοδικότητα πρέπει Έτσι: Ενώ: Ae j5πn/8 είναι περιοδικό σήµα. Ae j5n/8 είναι µη περιοδικό σήµατα Για να υπολογίσουµε την περίοδο ενός περιοδικού σήµατος χρησιµοποιούµε τον τύπο που µας αναδεικνύει τη συνθήκη περιοδικότητας και επιλύουµε ως προς Ν Και για k=7 προκύπτει Ν=7 Ω k = 2π N 2π N = k Ω Στη συνέχεια προσδιορίζουµε την µικρότερη θετική ακέραιη τιµή του k µε την οποία προκύπτει ακέραιος Ν. Για παράδειγµα στο σήµα x(n)=asin[( [(8π/7) π/7)n+ n+φ] 2 2 7 N π π = k = k = k Ω 8π 7 4 Εργαζόµενοι µε παρόµοιο τρόπο βρίσκουµε την αντίσοιχη περίοδο για τα σήµατα: Acos[(π/2) π/2)n+ n+φ] φ]ν=4, Asin[(π/7) [(π/7)n+ n+φ] Ν=4 Ae Ae j5πn/8 n/8 Ν=6 sagri@di.uoa.gr 7
Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι ένα διακριτό στο χρόνο σήµα µιγαδικής εκθετικής, ή αρµονικής µορφής είναι περιοδικό ως προς το Ω µε περίοδο 2π. Αυτό έχει ως συνέπεια η µελέτη των πιο πάνω σηµάτων να περιορίζεται για Ω µόνο στο διάστηµα (-π,π]. Κάθε σήµα µε Ω εκτός του διαστήµατος αυτού απλοποιείται σε ένα σήµα µε Ω στο διάστηµα αυτό. Για παράδειγµα τα σήµατα x (n)=exp(j9πn/2) και το x 2 (n)= ex p(j5π 5πn/2)είναι ακριβώς τα ίδια µε το σήµα x(n)=exp(j exp(jπn/2) Η παράµετρος Ω καλείται Ψηφιακή Κυκλική Συχνότητα και αξίζει να δούµε πώς σχετίζεται µε την γνωστή κυκλική συχνότητα ω των αναλογικών αρµονικών σηµάτων. Θεωρείστε το σήµα x (t)=aexp Aexp(j2πft). ).Αν δειγµατοληπτήσουµε το σήµα µε συχνότητα f S δηλαδή θέτοντας t=n/f S, προκύπτουν το διακριτό σε χρόνο σήµα: x(n)=aexp(jωn) όπου f ω Ω = 2π = f f S Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι η ψηφιακή κυκλική συχνότητα ισούται µε το πηλίκο της κυκλικής συχνότητας προς τη συχνότητα δειγµατοληψίας. S sagri@di.uoa.gr 8
Θεωρείστε τα σήµατα x (t)=aexp[j(9/5)πft]και το x 2 (t)=aexp Aexp[j(9/5)πft]. Καθώς το εύρο ζώνης για κάθε σήµα είναι µηδενικόέχουµε δικαίωµα να δειγµατοληπτήσουµε κάθε σήµα µε συχνότητα f S =f. Τα αντίστοιχα διακριτού χρόνου σήµατα προκύπτουν αντικαθιστώντας t=n/f S =n/f x (n)=aexp[j(9/5)πn] και x 2 (n)=aexp[j(9/5)πn] και µετά την απλοποίηση x (n)=aexp(-j(π/5)n) και x 2 (n)=aexp(-j(π/5)n) n). Παρατηρείστε ότι µε τη δειγµατοληψία απωλέστηκαν πληροφορίες σχετικές µε τα δύο σήµατα και το σήµα που προκύπτει είναι ίδιο και για τα δύο αρχικά σήµατα. Οι πληροφορίες αυτές ανακτώνται όταν χρησιµοποιήσουµε τη συχνότητα δειγµατοληψίας. Ω = 0 2π k N Ω 0 k 2π k Ω 0 sagri@di.uoa.gr 9
Πραγµατικά Σήµατα Συµµετρικά (άρτια) και Αντισυµµετρικά (περιττά) Συµµετρικά: x(n)=x(-n) n), π.χ. x (n)=e n, x 2 (n)=cos(n) Αντισυµµετρικά: x(n)=-x( x(-n), π.χ. x 3 (n)=n, x 4 (n)=sin(n) Παραδείγµατα µη Συµµετρικά ούτε Αντισυµµετρικά: x 5 (n)=x(n-5), x 6 (n)=e n Συµµετρική και ΑντισυµµετρικήΣυνιστώσα του Σήµατος Θεωρείστε σήµα x(n). Το σήµα x e (n)=0.5(x(n)+x (-n)) άρτιο.. Το σήµα x ο (n)=0.5(x(n)-x (-n)) περιττό. Συγχρόνως ισχύει: x(n)=x e (n)+x ο (n) Μιγαδικά HermitianΣήµατα HermitianΣυµµετρία: x(n)=x * (-n) n), δηλαδή: Re[x (n)] άρτιο & Im[x (n)] περιττό. Αιτιατά (Causal) Σήµατα Αιτιατό Σήµα: x(n)=0 για κάθε n<0 Νοµοτελιακά (Deterministic) Σήµατα Τυχαία (Random) Σήµατα sagri@di.uoa.gr 20
lim N N 2 N + Μέση Τιµή Σήµατος x( n) = x( n) Στιγµιαία Ισχύς Σήµατος p( n) = x( n) 2 Ενέργεια Σήµατος E x( n) 2 = n= n= N lim N 2 N + P Μέση Ισχύς Σήµατος ( ) 2 av = x n N n= N Σήµατα Ισχύος Παρουσιάζουν πεπερασµένη µέση ισχύ και άπειρη ενέργεια Σήµατα Ενέργειας Παρουσιάζουν πεπερασµένη ενέργεια και µηδενική µέση ισχύ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ (Discrete-Time Systems) Σύστηµα ιακριτού χρόνου είναι µια µαθηµατική πράξη που απεικονίζει µια δεδοµένη ακολουθία εισόδου x[n] σε µια ακολουθία εξόδου y[n]. y [n] = T{x[n]} x[n] T{.} y[n] Παραδείγµατα Συστηµάτων ιακριτού Χρόνου Κινούµενος Μέσος (Moving Average) y[n] = x[n] + x[n ] + x[n 2] + x[n 3] Maximum { } y[n] = maxx[n],x[n ],x[n 2] Delay System y[n] = x[n n ] o sagri@di.uoa.gr 2
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΜΝΗΜΗ Ένα Σύστηµα είναι χωρίς µνήµη όταν η έξοδός του y[n] για κάθε τιµή του n εξαρτάται µόνο από την είσοδο x[n]. Παράδειγµα Συστήµατος χωρίς Μνήµη Τετράγωνο Πρόσηµο y [n] = y [n] = ( x[n] ) 2 sign{ x[n] } Παράδειγµα Συστήµατος µε Μνήµη Delay System y[n] = x[n n ] o Γραµµικό Σύστηµα Ένα Σύστηµα θεωρείται γραµµικό τότε και µόνο τότε όταν { } = at{ x n } { } { } T{ x [ n] + x [ n]} = T x [ n] + T x [ n] (additivity) και 2 2 T ax[ n] [ ] (scaling) Παραδείγµατα Delay System y[n] = x[n n ] o T{x [n] + x T{x [n]} 2 T + T{ x[n] } = x[n no] + x2[n { ax[n] } = ax[n no] { x[n] } = ax [n n ] at 2 [n]} = x [n n ] + x [n n ] o 2 o o n ] o sagri@di.uoa.gr 22
Χρονικά Αµετάβλητο Σύστηµα (Time-Invariant Systems-TIS) Είναι ένα Σύστηµα στο οποίο καθυστέρηση της ακολουθίας εισόδου κατά n 0 προκαλεί ίση καθυστέρηση στην ακολουθία εξόδου. y[n] Παράδειγµα τετράγωνο y [n] = ( x[n] ) 2 = T{x[n]} y[n n ] = T Χρονικά Μεταβαλλόµενο Σύστηµα o { x[n n ]} o 2 [ n] = ( x n no ) [ ] = ( x n n ) Καθυστέρηση της ακλθ. εισδ. y [ ] Καθυστέρηση της ακλθ. εξδ. y n-n [ ] o o 2 y[ n] = r n x[ n] n [ n] = r x n no n n0 [ ] = r x[ n n ] Καθυστέρηση της ακλθ. εισ. y [ ] Καθυστέρηση της ακλθ. εξ. y n-n o 0 Αιτιατό Σύστηµα (Causal System) Αιτιατότητα Ένα Σύστηµα είναι αιτιατό όταν το τρέχον στοιχείο της ακολουθίας εξόδου εξαρτάται µόνο από το τρέχον ή και από προηγούµενα στοιχεία της ακολουθίας εξόδου ή εισόδου. Παράδειγµα Παράδειγµα µη Αιτιατού y[n] = x[n] x[n ] y [n] = x[n + ] + x[n] sagri@di.uoa.gr 23
Ευσταθή Συστήµατα (Stable Systems) Ένα σύστηµα καλείται ευσταθές όταν κάθε φραγµένη ακολουθία εισόδου δίνει φραγµένη ακολουθία εξόδου. (Bounded Input Bounded Output BiBo Stable System) Παράδειγµα Τετράγωνο x[n] B Παράδειγµα µη Ευσταθούς y[ n] = y n + x n Για x[n]=u(n) προκύπτει εύκολα x y [n] = < y[n] B ( x[n] ) 2 ifinput is bounded by output is bounded by [ ] ( ) [ ] y[ n] = y + n+ x[n] B x y[n] B y 2 x < < < Αντίστροφο Σύστηµα (Inverse System) Ένα σύστηµα H καλείται αντίστροφο του Η αν, όταν τεθεί σε σειρά µε το Η δηµιουργεί το ταυτοτικό σύστηµα. sagri@di.uoa.gr 24
Παράσταση Συστηµάτων ιακριτού Χρόνου µε Βαθµίδες Βαθµίδα Πολλαπλασιαστή Βαθµίδα Πολλαπλασιασµού µε Σταθερά Παράδειγµα Αναπαράστασης DTS Το Σύστηµα y(n)=5y(n-2)+8y(n-)+x(n) Αναπαρίσταται µε τις πιο κάτω βαθµίδες x(n) sagri@di.uoa.gr 25
Κρουστική Απόκριση (Impulse Response) ιακριτού Συστήµατος Κάθε σύστηµα χαρακτηρίζεται από την κρουστική απόκριση h(n). Κρουστική απόκριση είναι η ακολουθία που δίνει η έξοδος του συστήµατος όταν στην είσοδο τεθεί το µοναδιαίο δείγµα. Παράδειγµα Στο σύστηµα y(n)=x(n)+2x(n-)+5x(n-2)-4x(n-3), όταν τεθεί x(n)=δ(n) προκύπτει η κρουστική απόκριση h(n) : h(n)=δ(n)+2δ(n-)+5δ(n-2)-4δ(n-3) h(n)={0 2 5-4 0..} Ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση πεπερασµένης διάρκειας καλείται FIR αλλιώς ΙΙR Σύστηµα Γραµµικό Χρονικά Αµετάβλητο ( Linear System Time Invarient -LTI) Σε ένα LTI Σύστηµα µε γνωστή τη κρουστική απόκριση h(n) µπορούµε να προσδιορίσουµε την έξοδό του y(n) για οποιαδήποτε σήµα εισόδου x(n). Η έξοδος δίνεται από την πιο κάτω σχέση: + ( ) = ( ) ( ) y n h k x n k k= Την πιο πάνω σχέση καλούµε συνέλιξη (convolution) και συµβολίζεται ως: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) y n h n x n h k x n k + k= Και αποδεικνύεται ότι ισχύει: + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y n = h n x n = x n h n = h k x( n k) = x k h( n k) k= k= sagri@di.uoa.gr 26
Ο υπολογισµός της συνέλιξη χωρίς υπολογιστή δεν είναι πολύ απλός. Στην περίπτωση που µια από τις ακολουθίες έχει πεπερασµένη διάρκεια ο υπολογισµός απλοποιείται κάπως, και γίνεται ακόµη ιο απλός στην περίπτωση που και στις δύο ακολουθίες οι µη µηδενικοί όροι είναι πεπερασµένοι. Παράδειγµα ίνεται η κρουστική απόκριση συστήµατος h(n)={... 0 2-5 0 } Και το σήµα x(n)={ 0 2 3-2 - 0 } Να υπολογίσετε την έξοδο του συστήµατος h(n)={... 0 2-5 0 } Και το σήµα x(n)={ 0 2 3-2 - 0 } + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y n = h n x n = h k x( n k) y n = h k x( n k) k= k= 0 Καθώς όµως το x(n) είναι µηδέν για αρνητικά ορίσµατα προκύπτει: y( n ) = 0 για n<0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 0 = h k x(0 k) = h k x( k) = h 0 x 0 = 2 k= 0 k= 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = h k x( k) = h k x( k) = h 0 x + h x 0 = 7 k= 0 k= 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 2 = h k x(2 k) = h 0 x 2 + h x + h 2 x 0 = 6 k= 0 2 sagri@di.uoa.gr 27
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 3 = h k x(3 k) = h 0 x 3 + h x 2 + h 2 x = 20 k= 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 4 = h k x(4 k) = h k x(4 k) = h x 3 + h 2 x 2 = 8 k= 0 k= 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 5 = h k x(4 k) = h k x(4 k) = h 2 x 3 = 5 k= 0 k= 2 y( n ) = 0 για ν > 5 y( n ) = {...0 2 7-6 -20 8 5 0...} Πιο κάτω δίνεται µια δεύτερη τεχνική υπολογισµού µε τα χρήση Πίνακα: k=-2 k=- k=0 k= k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 n=-2 0 0 0 2 3-2 - 0 0 n=- -5 2 y(-)= 0 n=0-5 2 y(0)= 2 n= -5 2 y()= 7 n=2-5 2 y(2)= -6 n=3-5 2 y(3)= -20 n=4-5 2 y(4)= 8 n=5-5 2 y(5)= 5 Σε αυτή η µια από τις δύο ακολουθίες, έστω η h(n), αναδιπλώνεται ως προς το µηδέν καταγράφοντας έτσι την h(-k). (συνήθως την µικρότερη σε µήκος) και στη συνέχεια γίνονται διαδοχικές ολισθήσεις αυτής προς τα δεξιά που αντιστοιχούν στην αύξηση του n. Για κάθε τιµή του n πολλαπλασιάζονται τα µη µηδενικά στοιχεία. sagri@di.uoa.gr 28
Ιδιότητες της Συνέλιξης δύο Σηµάτων:. Αντιµεταθετική (Commutative): + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y n = h n x n = x n h n = h k x( n k) = x k h( n k) 2. Προσεταιριστική (Αssociative): k= k= ( ) ( ) * ( ) = ( )* ( ) ( ) x n x n x n x n x n x n 2 3 2 3 Ιδιότητες της Συνέλιξης δύο Σηµάτων: 3. Επιµεριστική (Distributive): ( ) ( ) + ( ) = ( )* ( ) + ( )* ( ) x n h n h2 n x n h n x n h2 n + + + ( )[ ] ( ) ( ) x k h ( n k) + h ( n k) = x k h ( n k) + x k h ( n k) 2 2 k= k= k= sagri@di.uoa.gr 29
Εξίσωση ιαφορών σε ένα Σύστηµα ιακριτού Χρόνου: Σε ένα γραµµικό Χρονικά Αµετάβλητο (LTI) Σύστηµα η έξοδος είναι εν γένει η διαφορά ενός γραµµικού συνδυασµού εξόδων του συστήµατος και εισόδων, όπως πιο κάτω. M ( ) = k ( ) k ( ) y n b x n k a y n k N k= 0 k= Η πιο πάνω σχέση θεωρείται εξίσωση διαφορών και γράφεται και ως: N M ( ) k ( ) 0 a y n k = b x n k µε a = k k= 0 k= 0 Τάξη (rank) του συστήµατος r=max(n,m) Από την εξίσωση διαφορών είναι δυνατόν να προκύψει η κρουστική απόκριση του συστήµατος. (βλέπε και παράδειγµα) Σε πολλές εφαρµογές υπάρχουν τεχνικές που προσδιορίζονται οι συντελεστές α k και b k ώστε το σύστηµα να αποκτήσει επιθυµητές ιδιότητες. Τα συστήµατα διακρίνονται µε βάση την εξίσωση διαφορών σε: Αναδροµικά (recursive) LTI Συστήµατα N ( ) = k ( ) y n a y n k k= Μη Αναδροµικά (non recursive) LTI Συστήµατα M ( ) = k ( ) y n b x n k k= 0 Παράδειγµα: Θεωρείστε την εξίσωση διαφορών y(n)=0.2y(n-)+x(n) µε y(-)=0. Θεωρούµε είσοδο δ(n)h(0)=y(0)=, y()=0.2, y(n)=0.2 n u(n) sagri@di.uoa.gr 30
Συσχέτιση Σηµάτων (Signal Correlation) Ένα µέτρο της οµοιότητας µεταξύ δύο ενεργειακών σηµάτων x(n) και y(n) αποτελεί η Ετεροσυσχέτιση (crosscorelation) των σηµάτων που ορίζεται ως. r l x n y n l l xy Αντίστοιχα yx ( ) = ( ) ( ) = 0, ±, ± 2,... n= r l y n x n l l ( ) = ( ) ( ) = 0, ±, ± 2,... n= Παρατηρείστε ότι αλλάζοντας µεταβλητή m=n-l ( ) = ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) r l y n x n l = y m l x m = x m y m l = r (- l) yx n= m= m= xy Παρατηρείστε ότι αλλάζοντας µεταβλητή m=n-l ( ) = ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) r l y n x n l = y m l x m = x m y m l = r (- l) yx n= m= m= xy Παρατηρείστε επίσης την οµοιότητα της ετεροσυσχέτισης µε τη συνέλιξη. yx ( ) = ( )* ( ) r l y n x n Στην περίπτωση άρτιας συµµετρίας του x(n) η ετεροσυσχέτιση συµπίπτει µε την συνέλιξη. sagri@di.uoa.gr 3
Αυτοσυσχέτιση Σήµατος (Autocorrelation) r l x n x n l l xx ( ) = ( ) ( ) = 0, ±, ± 2,... n= Παρατηρείστε ότι αλλάζοντας µεταβλητή m=n-l ( ) = ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) r l x n x n l = x m l x m = x m x m l = r (- l) xx n= m= m= xx Παρατηρείστε ότι r xx ( 0) = E x Αυτοσυσχέτιση Σήµατος (Autocorrelation) r l x n x n l l xx ( ) = ( ) ( ) = 0, ±, ± 2,... n= Παρατηρείστε ότι αλλάζοντας µεταβλητή m=n-l ( ) = ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) r l x n x n l = x m l x m = x m x m l = r (- l) xx n= m= m= xx Παρατηρείστε ότι r xx ( 0) = E x sagri@di.uoa.gr 32
Βασικές Ιδιότητες της Συσχέτισης Πρώτον ( ) r l E E xy x y r l E εύτερον ( ) xx Τις πιο πάνω ανισότητες αποδεικνύουµε µε τη σχέση των Cauchy Schwarz: Για δύο ακολουθίες µιγαδικών αριθµών x 2 2 2 a b a b µε ίσον όταν α = λb n n n n n n n= n= n= Την ταυτότητα αυτή εφαρµόζουµε για α n =x(n)και b n =y(n-l) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x n y n l x n y n l r l E E n= n= n= Επιπλέον θέτοντας x(n)=y(n) xx ( ) 2 2 r l E x 2 xy x y συσχέτιση και η ετεροσυσχέτιση ορίζονται επίσης και για σήµατα ισχύος. Για δύο σήµατα ισχύος x(n) και y(n) ορίζεται: M ryx l lim y n x n l M 2 M + ( ) = ( ) ( ) n= M M ryy l lim y n y n l M 2 M + ( ) = ( ) ( ) n= M sagri@di.uoa.gr 33
Για δύο περιοδικά σήµατα x(n)και y(n) µε περίοδο Ν οι ορισµοί της αυτοσυσχέτισης και ετεροσυσχέτισης καταλήγουν. yx yy N ( ) = ( ) ( ) r l y n x n l n= N ( ) = ( ) ( ) r l y n y n l n= Μια βασική εφαρµογή της αυτοσυσχέτισης αποτελεί ο προσδιορισµός της περιόδου περιοδικών σηµάτων που έχουν υποστεί παρεµβολή από λευκό θόρυβο (ασυσχέτιστα δείγµατα θορύβου) Έτσι υποθέστε ότι έχετε ένα περιοδικό σήµα x(n) µε περίοδο Ν, το οποίο έχει υποστεί παρεµβολή από το τυχαίο σήµα w(n), δηµιουργώντας έτσι το σήµα y(n)=x(n)+w(n). Αν υπολογίσουµε την αυτοσυσχέτιση r yy του y(n), ισχύει: Εύκολα προκύπτει: M ryy ( l) = lim y( n) y( n l) l = 0,,... M 2M + n= M M ryy ( l) = lim x( n) + w( n) x( n l) + w( n l) = M 2M + n= M M M = lim x( n) x( n l) + lim x( n) w( n l) + M 2M + M 2M + n= M n= M M M lim w n x n l w n w n l M 2M + M 2M + ( ) ( ) + lim ( ) ( ) n= M n= M sagri@di.uoa.gr 34
( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) r l r l r l r l r l yy xx xw wx ww Η αυτοσυσχέτιση ενός περιοδικού σήµατος είναι επίσης περιοδικό σήµα µε την ίδια περίοδο. Έτσι από την πιο πάνω παράσταση η r xx (l) παρουσιάζει µέγιστο κάθε N δείγµατα ενώ τα r xw (l) και r wx (l) και r ww (l) παίρνουν πολύ µικρές τιµές για l=n. ηλαδή για l>>0 θα ισχύει κατά προσέγγιση r yy (l)=r xx (l) Για να εφαρµόσουµε τα πιο πάνω σε ένα πραγµατικό σήµα φροντίζουµε να λάβουµε Μ δείγµατα από το σήµα y(n), M>>N. Υπολογίζουµε µε καλή προσέγγιση το r yy (l) ώς M l ryy ( l) = y( n) y( n l) l = 0,,... M l n= Έτσι υποθέστε ότι έχετε ένα περιοδικό σήµα x(n) µε περίοδο Ν, το οποίο έχει υποστεί παρεµβολή από το τυχαίο σήµα w(n), δηµιουργώντας έτσι το σήµα y(n)=x(n)+w(n). Φροντίζουµε να λάβουµε Μ δείγµατα από το σήµα y(n), M>>N. Υπολογίζουµε την παράσταση: M l y( n) y( n l) l = 0,,... M l n= Η πιο πάνω παράσταση είναι µια καλή προσέγγιση της r yy sagri@di.uoa.gr 35
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Για Μ=00 sagri@di.uoa.gr 36
Άλλο Παράδειγµα Συνάρτηση Μεταφοράς (Transfer Function) ιακριτού Συστήµατος Έστω ένα γραµµικό σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(n). Υποθέστε ότι στην είσοδο τίθεται το σήµα x(n)=z n. Τότε η έξοδος y(n) ισούται µε: ( ) = ( ) = ( ) = ( ) y n h n z h k z z h k z * n n k n k k k ( ) ( ) n, ( ) ( ) y n H z z H z h k z = = Η συνάρτηση H(z) καλείται Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήµατος. Προφανώς η συνάρτηση µεταφοράς είναι ο µετασχηµατισµός Z της κρουστικής απόκρισης. k k sagri@di.uoa.gr 37