Διπλωματική Εργασία «ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΚΑΛΥΨΗ Ή ΣΥΜΠΤΥΞΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ» ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Κ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΜΒΑ) «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ» Διπλωματική Εργασία «ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΚΑΛΥΨΗ Ή ΣΥΜΠΤΥΞΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ» ΤΟΥ ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Κ. ΓΕΩΡΓΑΝΤΖΙΝΟΥ ΠΑΤΡΑ, ΙΟΥΝΙΟΣ 2009

Πανεπιστήμιο Πατρών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων «Νέες Αρχές Οργάνωσης & Διοίκησης επιχειρήσεων» Ιούνιος 2009 Διπλωματική Εργασία «ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΟΤΙΚΗ ΚΑΛΥΨΗ Ή ΣΥΜΠΤΥΞΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ» ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Στυλιανός Κ. Γεωργαντζίνος Διπλ. Μηχανολόγος και Αεροναυπηγός Μηχανικός Τριμελής Εξεταστική Επιτροπή: Ιωάννης Γιαννίκος, Αναπληρωτής Καθηγητής Παύλος Πέππας, Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Ανδρουλάλης, Επίκουρος Καθηγητής ΙΟΥΝΙΟΣ 2009 2

. Στυλιανός Κ. Γεωργαντζίνος Διπλωματούχος Μηχανολόγος και Αεροναυπηγός Μηχανικός Πανεπιστημίου Πατρών Copyright Στυλιανός Κ. Γεωργαντζίνος, 2009 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν επίσημες θέσεις του ΠανεπιστημίουΠατρών. ΙΟΥΝΙΟΣ 2009 3

Αφιερώνεται στους γονείς μου Κώστα & Μαρία, που με αγάπη με στήριξαν και με στηρίζουν ΙΟΥΝΙΟΣ 2009 4

Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ..6 1.1 Εισαγωγή....6 1.2 Μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας...7 1.3 Η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων....8 1.4 Γραφική αναπαράσταση 12 1.5 Το δυικό μοντέλο DEA..13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2:ΧΡΗΣΗ DEA ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ....15 2.1 Εισαγωγή.15 2.2 Μοντέλα Χωροθέτησης Εγκαταστάσεων..16 2.3 Μοντέλα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων...20 2.4 Συνδυασμός μοντέλων χωροθέτησης/dea..25 2.5 Παραδείγματα...32 2.6 Συμπεράσματα.42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3:ΧΡΗΣΗ DEA ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΨΗ ΣΥΝΟΛΟΥ....45 3.1 Εισαγωγή...45 3.2 Παράδειγμα Προβλήματος Κάλυψης συνόλου.47 3.3 Συνδυασμός Προβλήματος Κάλυψης Συνόλου με την μεθοδολογία DEA 49 3.4 Παράδειγμα..52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΧΡΗΣΗ DEA ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΜΠΤΥΞΗ ΣΥΝΟΛΟΥ.......65 4.1 Μορφοποίηση....65 4.2 Παράδειγμα..68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ..75 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...78 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (DEA) 1.1 Εισαγωγή Στην σημερινή εποχή, υπάρχει υψηλό ενδιαφέρον για τη μέτρηση και τη σύγκριση της αποτελεσματικότητας των οργανωτικών μονάδων, όπως για παράδειγμα είναι οι υπηρεσίες των τοπικών αρχών, τα σχολεία, τα νοσοκομεία, τα καταστήματα, τα υποκαταστήματα τραπεζών και άλλες παρόμοιες περιπτώσεις οργανωτικών μονάδων, όπου υπάρχει ένα σχετικά ομοιογενές σύνολο μονάδων. Γενικά, η μέτρηση της αποδοτικότητας ενός συστήματος υπολογίζεται ως εξής: εκροές αποδοτικότ ητα = (1) εισροές Αυτός ο τρόπος υπολογισμού είναι συχνά ανεπαρκής, λόγω της ύπαρξης πολλαπλών εισόδων και εξόδων που συνδέονται με διαφορετικούς πόρους, διαφορετικές δραστηριότητες και περιβαλλοντικούς παράγοντες. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να γίνει εμφανές, για παράδειγμα σε αποθήκες λιανικής πώλησης σε ένα μεγάλο οργανισμό, οι οποίες διανέμουν προϊόντα σε σούπερ μάρκετ. Στην περίπτωση αυτή, ως εισροές, όπως αυτές διατίθενται για την υποστήριξη της λειτουργίας των αποθηκών, λαμβάνονται η αξία των αποθεμάτων, οι επαναλαμβανόμενες δαπάνες, κυρίως με τη μορφή μισθών. Οι εκροές αντιστοιχούν στις δραστηριότητες των αποθηκών και μετρώνται με τον αριθμό των παραδόσεων σε πολυκαταστήματα, τον αριθμό των εσόδων από τους προμηθευτές και άλλα. Με δύο εισόδους και τρεις εξόδους η δυσκολία στη σύγκριση της αποδοτικότητας των αποθηκών είναι προφανής. Για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος ένα από τα πιο κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία θεωρείται η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων (Data envelopment analysis-dea). Η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων (ΠΑΔ) είναι μια τεχνική βασισμένη στον γραμμικό προγραμματισμό για τη μέτρηση της σχετικής 6

απόδοσης των οργανωτικών μονάδων, όπου η παρουσία πολλαπλών εισροών και εκροών καθιστά τη σύγκριση δύσκολη. 1.2 Μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας Η μέτρηση της σχετικής αποτελεσματικότητας όπου υπάρχουν πολλαπλές και ενδεχομένως δυσανάλογες εισροές και εκροές, όπως αναφέρθηκε από τον Farrell [1] και αναπτύχθηκε από τους Fieldhouse και Farrell [2], γίνεται με βάση την κατασκευή μιας υποθετικής αποδοτικής μονάδας, που ορίζεται ως ο σταθμισμένος μέσος όρος των αποδοτικών μονάδων, προκειμένου αυτή να ενεργεί ως μέτρο σύγκρισης για μια αναποτελεσματική μονάδα. Ένας συνήθης τρόπος μέτρησης της σχετικής αποδοτικότητας είναι ο κάτωθι: σταθμισμένο άθροισμα εκροών σχετική αποδοτικότητα = (2) σταθμισμένο άθροισμα εισροών στον οποίο αν εισάγουμε τον συνηθισμένο τρόπο συμβολισμού των παραμέτρων γίνεται: u1y1 j σχετική αποδοτικότητα της μονάδας j = v1x1 j + u 2 y2 j +... + v2x2 j +... (3) όπου u y v x 1 1j 1 1j = βάρος εκροής = εκροή j = βάρος εισροής = εισροή j Πρέπει να σημειωθεί ότι συνήθως η τιμή της αποδοτικότητας λαμβάνει τιμές στο κλειστό διάστημα από 0 μέχρι 1. Η αρχική υπόθεση είναι ότι το μέτρο της αποδοτικότητας απαιτεί την ύπαρξη ενός κοινού συνόλου βαρών που πρέπει να εφαρμοστούν σε όλες τις μονάδες. Αυτό προσθέτει, όμως, αμέσως το πρόβλημα του πώς μια τέτοια κοινή ομάδα βαρών μπορούν να ληφθούν ή να υπολογιστούν. Μπορεί να υπάρχουν δύο ειδών δυσκολίες στην απόκτηση του κοινού συνόλου των βαρών. 7

Πρώτα απ 'όλα, μπορεί απλά να είναι δύσκολο να υπολογιστεί η αξία των εισροών ή των εκροών. Για παράδειγμα στην αποθήκη δεδομένων τα βάρη για τα αποτελέσματα σχετίζονται πιθανώς με τις τιμές ή το κόστος της παραγωγής των αποτελεσμάτων, αλλά οι δαπάνες αυτές ή οι τιμές αντίστοιχα μπορεί να είναι δύσκολο να μετρηθούν. Από την άλλη πλευρά, διάφορες αποθήκες μπορούν να επιλέξουν να οργανώνουν τις λειτουργίες τους με διαφορετικό τρόπο έτσι ώστε οι σχετικές τιμές των διαφόρων αποτελεσμάτων μπορεί να είναι από τη φύση τους διαφορετικές. Αυτό μπορεί να γίνει πιο σαφές αν λόγου χάρη γίνει προσπάθεια να συγκριθεί η απόδοση των σχολείων σε σχέση με τα επιτεύγματα τους στη μουσική και τον αθλητισμό μεταξύ των εκροών. Ορισμένα σχολεία μπορεί να μετρούν την αξία των επιτευγμάτων στον τομέα του αθλητισμού ή της μουσικής με διαφορετικό τρόπο σε σχέση με άλλα σχολεία. Εν γένει διαφορετικές μονάδες μπορεί να αξιολογούν τις εισροές και τις εκροές με διαφορετικό τρόπο διαφορετικές μεταβλητές και, συνεπώς, να απαιτούν διαφορετικά βάρη. Με βάση την προηγούμενη συλλογιστική, αυτό το μέτρο της απόδοσης σε συνδυασμό με την υπόθεση ότι απαιτείται ένα και μόνο κοινό σύνολο βαρών είναι ανεπαρκές. 1.3 Περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων Οι Charnes, Cooper και Rhodes [3] αναγνώρισαν τη δυσκολία στην αναζήτηση ενός κοινού συνόλου βαρών για τον προσδιορισμό της σχετικής αποδοτικότητας. Αναγνώρισαν το γεγονός ότι οι διαφορετικές μονάδες μπορεί να αποτιμήσουν τις εισροές και εκροές με διαφορετικό τρόπο και, συνεπώς, να υπολογίσουν διαφορετικά βάρη, και πρότειναν ότι κάθε μονάδα θα πρέπει να επιτρέπεται να εγκρίνει ένα σύνολο των βαρών που αναδεικνύει την μέγιστη αποδοτικότητα σε σύγκριση με τις άλλες μονάδες. Υπό αυτές τις συνθήκες, η αποδοτικότητα της μονάδας j 0 μπορεί να ληφθεί ως λύση για το εξής πρόβλημα: «Μεγιστοποίηση της αποτελεσματικότητας της μονάδας j 0, υπό τον περιορισμό ότι η απόδοση όλων των μονάδων πρέπει να είναι μικρότερη ή ίση με την μονάδα (<= 1).» Οι μεταβλητές του παραπάνω προβλήματος είναι τα βάρη και συνεπώς η λύση 8

παράγει τα πλέον ευνοϊκά βάρη για την μονάδα j0 ενώ παράγει και ένα μέτρο της αποτελεσματικότητας. Το αλγεβρικό μοντέλο για το παραπάνω πρόβλημα είναι το ακόλουθο: Θα χρησιμοποιηθούν τα δεδομένα του επόμενου πίνακα, ως παράδειγμα, ούτως ώστε να μορφοποιηθεί και αριθμητικά η προαναφερθείσα μεθοδολογία. Αποθήκη 1 (depot 1) Αποθήκη 2 Αποθήκη 3 Αποθήκη 4 Αποθήκη 5 Αποθήκη 6 Αποθήκη 7 Αποθήκη 8 Αποθήκη 9 Αποθήκη 10 Αποθήκη 11 Αποθήκη 12 Αποθήκη 13 Αποθήκη 14 Αποθήκη 15 Εισροή 1 Εισροή 2 Εκροή 1 Εκροή 2 Εκροή 3 3 5 40 55 30 2,5 4,5 45 50 40 4 6 55 45 30 6 7 48 20 60 2,3 3,5 28 50 25 4 6,5 48 20 65 7 10 80 65 57 4,4 6,4 25 48 30 3 5 45 64 42 5 7 70 65 48 5 7 45 65 40 2 4 45 40 44 5 7 65 25 35 4 4 38 18 64 2 3 20 50 15 9

Αποθήκη 16 Αποθήκη 17 Αποθήκη 18 Αποθήκη 19 Αποθήκη 20 3 6 38 20 60 7 11 68 64 54 4 6 25 38 20 3 4 45 67 32 5 6 57 60 40 Με βάση τα δεδομένα, η αποτελεσματικότητα της αποθήκης 1 προκύπτει από την επίλυση του παρακάτω μοντέλου: Τα u και τα v είναι οι μεταβλητές του προβλήματος και είναι περιορισμένες να παίρνουν τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με ορισμένες μικρές θετικές ποσότητες έψιλον (ε) προκειμένου να αποφευχθεί να αγνοηθούν κάποιες εισροές ή εκροές εντελώς κατά τον προσδιορισμό της απόδοσης. Η λύση για το παραπάνω μοντέλο δίνει την αξία h 0 την αποδοτικότητα της αποθήκης 1, και τα βάρη της αποτελεσματικότητας που οδηγούν σε αυτό. Αν h 0 = 1 τότε αποθήκη είναι αποτελεσματική σε σχέση με τους άλλους αλλά αν ho αποδεικνύεται ότι είναι μικρότερο από το 1 τότε κάποια άλλη αποθήκη(ες) είναι πιο αποτελεσματική από την αποθήκη l, ακόμη και όταν τα βάρη έχουν επιλεγεί για να μεγιστοποιηθεί η αποδοτικότητα της αποθήκης l. 10

Η ευελιξία στην επιλογή των βαρών είναι ταυτόχρονα η αδυναμία και η δύναμη αυτής της προσέγγισης. Είναι μια αδυναμία, διότι η συνετή επιλογή των βαρών από μια μονάδα που πιθανώς δεν συνδέεται με την αξία της κάθε εισόδου ή εξόδου μπορεί να επιτρέψει σε μια μονάδα να φαίνεται αποτελεσματική αλλά μπορεί να υπάρχει ανησυχία για το γεγονός ότι η λύση έχει να κάνει περισσότερο με την επιλογή των βαρών παρά με την εγγενή αποτελεσματικότητα του συστήματος. Ωστόσο, η ευελιξία αυτή αποτελεί επίσης πλεονέκτημα, για μια μονάδα, εφόσον αποδειχθεί αναποτελεσματική, ακόμη και όταν τα πιο ευνοϊκά βάρη έχουν ενσωματωθεί στο μέτρο της αποδοτικότητας. Αυτό είναι μια ισχυρή δήλωση, και το επιχείρημα ότι τα βάρη είναι λανθασμένα δεν ευσταθεί. Η Περιβάλλουσα Ανάλυση Δεδομένων (ΠΑΔ), επομένως, ενδείκνυται όταν οι μονάδες αξιολογούν τις εισροές ή τις εκροές με διαφορετικό τρόπο, ή όταν υπάρχει υψηλή αβεβαιότητα ή διαφωνία για την αξία ορισμένων εισροών ή εκροών. Το μοντέλο ΠΑΔ (M1) είναι ένα κλασματικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Για να επίλυθεί το μοντέλο πρέπει να προηγουμένως να μετατραπεί σε γραμμική μορφή, ούτως ώστε οι μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού να μπορούν να εφαρμοστούν. Η διαδικασία είναι σχετικά απλή. Η γραμμική απόδοση των περιορισμών της (Ml) εμφανίζεται στο μοντέλο (Μ3). Για την αντικειμενική συνάρτηση είναι απαραίτητο να σημειωθεί ότι για τη μεγιστοποίηση ενός κλάσματος ή ενός λόγου είναι το σχετικό μέγεθος του αριθμητής και του παρονομαστής που παρουσιάζουν ενδιαφέρον και όχι οι ατομικές τους τιμές. Έτσι, είναι δυνατόν να επιτευχθεί το ίδιο αποτέλεσμα, με τον καθορισμό του παρονομαστή ως ίσου με μια σταθερά και τη μεγιστοποίηση του αριθμητή. Συνεπώς το προκύπτων μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού έχει ως εξής: 11

1.4 Γραφική αναπαράσταση Το Σχήμα 1 δείχνει ένα σύνολο μονάδων P1, P2,... P6, όπου κάθε μονάδα καταναλώνει το ίδιο ποσό του ενιαίου πόρου, ενώ παράγουν διαφορετικά ποσά εκροών, y1 και y2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Για ένα δεδομένο ποσό εισροών, οι μονάδες που παρέχουν μεγαλύτερες ποσότητες εκροών θα είναι και οι αποτελεσματικές. Η εφαρμογή της DEA προσέγγισης, σε αυτό το σύνολο των μονάδων, θα προσδιορίσει τις μονάδες P1, P2, P3 και P4 ως αποτελεσματικές και θα δημιουργήσει ένα περίβλημα περιβάλλουσα, που θα περικλείει τις μονάδες P5 και P6, δηλαδή τις μονάδες που είναι εντός της περιβάλλουσας οι οποίες και είναι οι μη αποδοτικές. Η περιβάλλουσα δεδομένων έχει ιδεατά επεκταθεί στο άξονες του ορθοκανονικού συστήματος με την χρήση των γραμμών P1y 2 και P4y 1 ώστε να «εγκλωβίσουν» τα δεδομένα που έχουν τεθεί. Σχήμα 1: Η περιβάλλουσα δεδομένων Η απόσταση μιας μη αποδοτικής μονάδας από το όριο-σύνορο αποδοτικότητας (περιβάλλουσα) εκφράζει σε ποιο βαθμό αυτή μπορεί να βελτιωθεί προκειμένου να καταστεί αποδοτική. Τα σημεία προβολής των μη αποδοτικών μονάδων επί του ορίου αποδοτικότητας αποτελούν στόχους για την επίτευξη της άριστης αποδοτικότητας. Για την μονάδα P5 ο στόχος είναι το P5 (ακτινική προβολή στο τμήμα που ορίζουν τα P1 και P2). Οι στόχοι αυτοί επιτυγχάνονται με την αναλογική αύξηση των αποτελεσμάτων της μονάδας P5. Είναι σαφές ότι υπάρχουν και άλλοι πιθανοί στόχοι 12

για την μονάδα Ρ5. Για παράδειγμα αν η παραγωγή στο επίπεδο Y2 δεν θα μπορούσε να αυξηθεί, για την μονάδα P5 θα μπορούσε να οριστεί ένας νέος στόχος P5" ο οποίος θα βασίζεται εξ ολοκλήρου στην αύξηση της παραγωγής y1. Το σύνολο των στόχων Ρ5 μπορεί να προέλθει από ένα σταθμισμένο μέσο όρο των μονάδων P1 και P2. Έτσι, η P5 μπορεί να θεωρηθεί ως μία σύνθετη μονάδα που αποτελείται από ένα σταθμισμένο μέσο όρο των ομότιμων μονάδων και αυτή η σύνθετη μονάδα παρέχει ένα στόχο για την αναποτελεσματική μονάδα. 1.5 Το δυικό μοντέλο DEA Για κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (ΓΠ) είναι δυνατόν να διατυπωθεί ένα έτερο ΓΠ χρησιμοποιώντας τα ίδια δεδομένα, και η λύση, είτε με το αρχικό ΓΠ (πρώτο) ή το έτερο (δυικό), βασίζεται στις ίδιες πληροφορίες σχετικά με το πρόβλημα που μοντελοποιήθηκε. Η παραπάνω λογική ισχύει και για την DEA. Το δυικό μοντέλο είναι κατασκευασμένο με την λογική της ανάθεσης μιας μεταβλητής (δυική μεταβλητή) σε κάθε περιορισμό του πρωταρχικού μοντέλο και την κατασκευή ενός νέου μοντέλου για τις μεταβλητές αυτές. Αυτή η μορφοποίηση φαίνεται πιο κάτω. 13

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να σημειώσουμε είναι ότι το μοντέλο (Primal) έχει n + t + m + 1 περιορισμούς, ενώ το δυικό μοντέλο έχει m + t περιορισμούς. Όπου n είναι ο αριθμός των μονάδων, ο οποίος είναι συνήθως αισθητά μεγαλύτερος από t + m, που είναι ο αριθμός των εισροών και εκροών. Σε γενικές γραμμές, στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, όσο περισσότεροι είναι οι περιορισμοί τόσο πιο δύσκολο είναι και το πρόβλημα να επιλυθεί. Ως εκ τούτου, είναι συνηθισμένο να επιλύεται το δυικό μοντέλο DEA και όχι το Primal. Από τη θεωρία του γραμμικού προγραμματισμού είναι γνωστό ότι οι τιμές των δυικών μεταβλητών ως αποτέλεσμα της επίλυσης ενός δυικού μοντέλου είναι ίδιες με τις σκιώδεις τιμές στο Primal μοντέλο. Οι δυικές μεταβλητές Lambda(j) είναι, επομένως, οι σκιώδεις τιμές που συνδέονται με τους περιορισμούς, οι οποίοι και περιορίζουν την αποτελεσματικότητα της κάθε μονάδα να μην υπερβαίνει το 1. 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΗΣΗ DEA ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΗΨΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 2.1 Εισαγωγή Στην διεθνή βιβλιογραφία, έχουν αναπτυχθεί πολλοί τύποι μοντέλων χωροθέτησης εγκαταστάσεων με σκοπό την εύρεση της βέλτιστης χωρικής τους διάρθρωσης υπακούοντας σε διάφορα χωρικά κριτήρια όπως είναι, μεταξύ αυτών, το κόστος, ο χρόνος, η κάλυψη και η προσβασιμότητα. Κάποια από αυτά τα μοντέλα έχουν μορφοποιηθεί στα πλαίσια της πολυκριτήριας ανάλυσης και προγραμματισμού, τα οποία πραγματεύονται ενίοτε αντικρουόμενους στόχους και αλληλεπιδράσεις. Οι Klimberg και Ratick [4] χρησιμοποίησαν την έννοια της αποδοτικότητας, όπως ορίζεται από την περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων (DEA) [5], ως ένα άλλο στόχο του προβλήματος της χωροθέτησης ώστε να δώσει πληροφορίες για την απόδοση των εγκαταστάσεων σε διαφορετικές τοποθεσίες. Στην DEA, οι αποδοτικότητες των συγκρίσιμων εγκαταστάσεων, οι οποίες ονομάζονται και μονάδες λήψης απόφασης (decision making units - DMUs) με βάση την ορολογία της DEA, υπολογίζονται ως το άθροισμα των σταθμισμένων εκροών προς τις συνολικές σταθμισμένες εισροές. Η μεθοδολογία DEA βρίσκει τα βέλτιστα βάρη για όλες τις σχετικές εισροές και εκροές της κάθε εγκατάστασης. Συνδυάζοντας το πρόβλημα DEA με το πρόβλημα της χωροθέτησης εγκαταστάσεων, δυο ειδών «αποδοτικότητες» βελτιστοποιούνται: η χωρική αποδοτικότητα - όπως αυτή μετριέται βρίσκοντας το ελάχιστο κόστος της χωροθέτησης των εγκαταστάσεων, και η αποδοτικότητα των εγκαταστάσεων που ικανοποιούν συγκεκριμένες απαιτήσεις όπως μετριέται από την υπολογιζόμενη DEA αποδοτικότητα για τις «ανοικτές» εγκαταστάσεις, όπως επιλέγονται να λειτουργήσουν στην βέλτιστη λύση. Η επιλογή της χωροθέτησης εγκαταστάσεων σε διαφορετικές τοποθεσίες είναι πιθανό να επηρεάζει την απόδοση της εκάστοτε εγκατάστασης, δηλαδή την ικανότητά της να μετατρέψει τις εισροές σε χρήσιμες εκροές, εξ αιτίας διαφόρων παραγόντων όπως είναι, μεταξύ άλλων, οι τοπικές αγορές εργασίας, η διαθεσιμότητα 15

των υποδομών και άλλων απαραίτητων πόρων, η δεκτικότητα και η αντίληψη των τοπικών πληθυσμών. Μια καλή χωροθέτηση σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να βελτιστοποιεί και τα δύο, δηλαδή τη χωρική αλληλεπίδραση μεταξύ των διαφόρων εγκαταστάσεων και τις απαιτήσεις που εξυπηρετούν, και την απόδοση αυτών των εγκαταστάσεων στους επιλεγμένους χώρους. Ενώ και τα δύο από αυτά μέτρα απόδοσης έχουν μελετηθεί ευρέως τόσο στην βιβλιογραφία της χωροθέτησης και της οικονομίας, δεν υπάρχουν μελέτες στις οποίες οι δύο αυτοί στόχοι έχουν εφαρμοστεί ταυτόχρονα. Στην επόμενη ενότητα, παρουσιάζεται μια σύντομη εισαγωγή για τα μοντέλα χωροθέτησης και τα μοντέλα DEA που θα χρησιμοποιηθούν. Στη συνέχεια, αναπτύσσονται και παρουσιάζονται συνθέσεις που συνδυάζουν τα προβλήματα με ή χωρίς περιορισμό χωρητικότητας χωροθέτηση εγκατάστασης, με DEA προβλήματα. Μετέπειτα, τα μοντέλα αυτά εφαρμόζονται σε υποθετικά δεδομένα και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα. Τέλος, συζητούνται τα συμπεράσματα και μελλοντικές επεκτάσεις. 2.2 Μοντέλα Χωροθέτησης Εγκαταστάσεων Ο αρχικός στόχος των μοντέλων του μαθηματικού προγραμματισμού για τα προβλήματα χωροθέτησης εγκαταστάσεων, βασίστηκε πάνω στην χωρική διαθεσιμότητα ενός εξυπηρετητή (server) να ικανοποιήσει μια ζήτηση (για μια πλήρη επισκόπηση στα μοντέλα κάλυψης βλέπε [5,6]. Το κλασικό πρόβλημα μεταφοράς [7], ικανοποιεί χωρικά μια συγκεκριμένη ζήτηση ενός κόμβου από ένα κόμβο παροχής με το ελάχιστο κόστος μεταφοράς. Το πρόβλημα χωροθετήσης εγκαταστάσεων χωρίς περιορισμό στην χωρητικότητα επεκτείνει το πρόβλημα μεταφοράς, με την επιλογή ενός αριθμού από δυνητικές τοποθεσίες, για την εγκατάσταση κόμβων τροφοδοσίας, οι οποίοι ελαχιστοποιούν το κόστος μεταφοράς. Εδώ ως κόστος ορίζεται το άθροισμα του κόστους μεταφοράς και του κόστους ανοίγματος μιας εγκατάστασης [8]. Για μια ολοκληρωμένη ανασκόπηση των προβλημάτων χωροθέτησης σταθερού κόστους, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στην εργασία [9]. Το μοντέλο χωρίς περιορισμό στην χωρητικότητα υποθέτει ότι σε κάθε εγκατάσταση υπάρχει άπειρη χωρητικότητα, με αποτέλεσμα, αν μια εγκατάσταση εξυπηρετεί έναν κόμβο ζήτησης, τότε αυτή να μπορεί να εξυπηρετήσει όλη τη ζήτηση του κόμβου, δηλαδή μόνο μία εγκατάσταση είναι απαραίτητη για να εξυπηρετήσει έναν συγκεκριμένο 16

κόμβο ζήτησης. Από την άλλη μεριά, το πρόβλημα χωροθετήσης εγκαταστάσεων με περιορισμό στην χωρητικότητα λειτουργεί κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς τροφοδοσίας. Έχουν υπάρξει αρκετές επέκτασεις του βασικού πλαισίου μοντελοποίησης [10] του ανωτέρου προβλήματος, οι οποίες συμπεριλαμβάνουν πολυκριτήριες μορφοποίησεις [11], ακόμα και δυναμικές καταστάσεις [12-14]. Για τον συνδυασμό του προβλήματος της περιβάλλουσας αναλύσης δεδομένων με το προβλήμα χωροθετήσης εγκαταστάσεων θα χρησιμοποιηθούν α) το πρόβλημα χωροθέτησης χωρίς περιορισμό χωρητικότητας και β) το αντίστοιχο πρόβλημα χωροθέτησης με περιορισμό στην χωρητικότητα. Η μαθηματική μορφοποίηση του προβλήματος χωροθέτησης εγκατάστασης χωρίς περιορισμό χωρητικότητας είναι η παρακάτω: Μοντέλο: UPLP (Uncapacitated Facility Location Problem) K L K Min ckldeml xkl + Fk yk (4) k = 1l = 1 k = 1 s.t. K x kl = 1 l, (5) k = 1 xkl y k k,l, (6) x kl, y k = 0,1, όπου k = 1,..., K είναι δείκτης που αφορά την χωροθέτηση εγκαταστάσεων, l = 1,..., L είναι δείκτης που αφορά την χωροθέτηση των ζητήσεων. Παράμετροι: ckl = κόστος μεταφοράς 1 μονάδας ζήτησης από μια εγκατάσταση k σε μια ζήτηση l, dem l είναι ο αριθμός των μονάδων ζήτησης στην l, F k = το σταθερό κόστος ανοίγματος-λειτουργίας μιας εγκατάστασης k. 17

Μεταβλητές απόφασης: x kl 1 εαν η εγκατάσταση k εξυπηρετεί ττη ζήτηση l = 0 αλλιώς εαν η εγκατάσταση είναι ανοιχτή y k = 1 k 0 αλλιώς Η αντικειμενική συνάρτηση υπολογίζει το συνολικό κόστος, δηλαδή το κόστος μεταφοράς και το κόστος ανοίγματος μιας εγκατάστασης, που εξυπηρετεί μια ζήτηση σε ένα σύστημα. Το συνολικό κόστος μεταφοράς υπολογίζεται από το άθροισμα, για όλες τις εγκαταστάσεις αλλά και όλες τις ζητήσεις, των γινομένων του ανά μονάδα κόστους μεταφοράς από μία εγκατάσταση k σε μία ζητήση l, του συνολικού αριθμού των μονάδων της ζήτησης, και της ακεραίας μεταβλητής x kl, η οποία είναι μονάδα μόνο εάν η εγκατάσταση του επιλέγει για να εξυπηρετήσει τη ζήτηση βρίσκεται στην βέλτιστη λύση. Το συνολικό σταθερό κόστος από το άνοιγμα των εγκαταστάσεων υπολογίζεται από το άθροισμα για όλες τις εγκαταστάσεις του γινομένου του σταθερού κόστους F k και της ακέραιας μεταβλητής y k, η οποία είναι μονάδα εάν η εγκατάσταση που αντιστοιχεί επιλέγει να είναι ανοιχτή στην βέλτιστη λύση. Επειδή κάθε ανοιχτή εγκατάσταση παρέχει όλες τις απαραίτητες τροφοδοσίες για την ικανοποίηση της ζήτησης σε μια τοποθεσία που αυτή εξυπηρετεί, οι περιορισμοί οι οποίοι αναπαριστώνται στην εξίσωση (5), επιβεβαιώνουν ότι κάθε ζήτηση ικανοποιείται, και οι περιορισμοί στην εξίσωση (6) επιβεβαιώνουν ότι μια μόνο ανοιχτή εγκατάσταση μπορεί να ικανοποιήσει ναι ζήτηση. Αντίστοιχα, η μορφοποίηση του προβλήματος χωροθέτησης εγκαταστάσεων με τον περιορισμό χωρητικότητας δίνεται παρακάτω: Μοντέλο: CPLP (Capacitated Facility Location Problem) K L K Min cklbkl + Fk yk (7) k = 1l = 1 k = 1 s.t. K x kl = 1 l, (8) k = 1 18

xkl y k k,l, (9) K bkl = deml l, (10) k = 1 b kl Min[deml,Capk ] yk k,l, (11) x kl, y k = 0,1, b kl 0, όπου Παράμετροι: Cap k = η δυναμικότητα μιας εγκατάστασης k, Μεταβλητές απόφασης: b kl = αριθμός μονάδων που μεταφέρονται από μια εγκατάσταση k σε μια ζήτηση l, Στο παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, η αντικειμενική συνάρτηση είναι όμοια με αυτή του προβλήματος χωροθέτησης χωρίς περιορισμό χωρητικότητας, εκτός από το ότι τα κόστη μεταφοράς υπολογίζονται ως το άθροισμα των γινομένων του ανά μονάδα κόστους μεταφοράς και του αριθμού των μονάδων που μεταφέρονται από μια εγκατάσταση k σε μία ζητήση l, δηλαδή το b kl. Οι περιορισμοί στην εξίσωση (11) επιβεβαιώνουν ότι η ποσότητα που μεταφέρεται από την εγκατάσταση k στην ζητήση l, b kl, είναι είτε μικρότερη από την ζήτηση που απαιτείται στον κόμβο l, είτε μικρότερη από την τροφοδοσία στην εγκατάσταση k, όποια από τις δύο είναι μικρότερη. Αν η εγκατάσταση k δεν είναι ανοιχτή, τότε το b kl γίνεται μηδέν. Οι περιορισμοί στις εξισώσεις (8) και (9) είναι όμοιοι με τους περιορισμούς στις εξισώσεις (5) και (6), αντιστοίχως, όπως είναι στο πρόγραμμα χωροθετήσης εγκαταστάσεων χωρίς περιορισμό στην χωρητικότητα. Ο περιορισμός στην εξίσωση (10) βεβαιώνει ότι όλες οι ζητήσεις ικανοποιούνται από τις μεταφορές από τις ανοιχτές μόνο εγκαταστάσεις. Ο Current [15] και άλλοι σε ένα άρθρο ανασκόπησης παρουσιάζουν σαράντα πέντε ερευνητικές εργασίες που αφορούν προβλήματα χωροθέτησης εγκαταστάσεων και ισχυρίζονται ότι τα προβλήματα αυτά αποτελούν, ενδογενώς, προβλήματα πολυκριτήριας ανάλυσης. Οι πιο συνηθισμένοι στόχοι για αυτά τα προβλήματα διαχωρίζονται σε τέσσερις κατηγορίες. Αυτές είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους, 19

στόχοι που αφορούν τη ζήτηση, η μεγιστοποίηση του κέρδους, και περιβαντολλογικοί στόχοι. Η ελαχιστοποίηση του κόστους είναι ο παραδοσιακός στόχος για τα περισσότερα προβλήματα χωροθέτησης. Οι στόχοι που αφορούν την ζήτηση επικεντρώνονται στην μέτρηση της εγγύτητας των εγκαταστάσεων σε σχέση με τη ζήτηση, όπου εγγύτητα μπορεί να θεωρηθεί η μέτρηση της κάλυψης, της προσβασιμότητας, ή του χρόνου απόκρισης [6,16]. Η πληθώρα των τύπων των αντικειμενικών στόχων, υποδηλώνει ότι υπάρχουν πολλοί παράγοντες, οι οποίοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μετρήσουν την καλή ή μη χωροθέτηση των εγκαταστάσεων. Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, αρχικά, αναδεικνύεται ένας άλλος στόχος, ο οποίος προτείνεται για να υποδηλώσει την καλή χωροθέτηση ή όχι μιας εγκατάστασης σε σχέση με τις χωρικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των εγκαταστάσεων και των ζητήσεων που αυτές εξυπηρετούν αλλά επιπλέον να βελτιστοποιήσει την αποδοτικότητα των εγκαταστάσεων στις τοποθεσίες που αυτές επιλέγονται. Για να επιτευχθεί αυτό, στις χωρικές αλληλεπιδράσεις, επιπλέον προστίθενται οι μετρήσεις και ο αντικειμενικός στόχος που αναδύεται από την περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων. 2.3 Μοντέλα περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων Η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων είναι μία μη παραμετρική προσέγγιση για τη μέτρηση της σχετικής αποδοτικότητας η οποία υπολογίζεται, σαν ένα μοναδικό μέτρο, από την σχετική αποδοτικότητα μεταξύ ανταγωνιστικών μονάδων, οι οποίες ονομάζονται και μονάδες λήψης απόφασης, και αποτελεί συνάρτηση των εισόδων και εξόδων των διαδικασιών, οι οποίες λαμβάνουν χώρα στις μονάδες λήψης απόφασης. Ένα πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι οι είσοδοι και οι έξοδοι ή αντιστοίχως εισροές και εκροές, μπορούν να παραμείνουν στις φυσικές μονάδες χωρίς την μετατροπή τους σε κάποια κοινή μονάδα μέτρησης όπως είναι π.χ. οι χρηματικές μονάδες. Η περιβάλλουσα ανάλυση δεδομένων ορίζει την σχετική αποδοτικότητα ως τον λόγο του αθροίσματος των σταθμισμένων εκροών προς το άθροισμα των σταθμισμένων εισροών. σταθμισμένο άθροισμα εκροών σχετική αποδοτικότητα = (12) σταθμισμένο άθροισμα εισροών 20

Όσες περισσότερες εκροές παράγονται για μια δεδομένη ποσότητα πηγών τόσο περισσότερο αποδοτική είναι και η διαδικασία. Το πρόβλημα είναι με ποια βάρη θα πολλαπλασιαστούν οι μεταβλητές ξεχωριστά κάθε εισροής και κάθε εκροής, οι οποίες εκφράζονται με τις φυσικές τους μονάδες. Για κάθε μονάδα λήψης απόφασης, η διαδικασία της περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων βρίσκει ένα σύνολο από βάρη τα οποία και μεγιστοποιούν, κατά το δυνατό, την συγκεκριμένη μονάδα λήψης απόφασης. Οι τιμές των βαρών που μπορούν να υπολογιστούν για κάθε μονάδα λήψης απόφασης περιορίζεται από την εκτίμηση εκείνων των βαρών που υπάρχουν στα διανύσματα εισροών και εκροών για όλες τις υπόλοιπες συγκρίσιμες μονάδες λήψης απόφασης, στις οποίες ο υπολογιζόμενος λόγος του αθροίσματος των σταθμισμένων εκροών προς το άθροισμα των σταθμισμένων εισροών περιορίζεται να μην είναι μεγαλύτερος από την μονάδα. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλες τις υπόλοιπες μονάδες λήψης απόφασης ούτως ώστε να υπολογιστούν τα βάρη τους και οι σχετικές τους αποδόσεις. Με αυτόν τον τρόπο παρέχεται μία λίστα κατάταξης από τις σχετικές αποδόσεις όλων των συγκρίσιμων μονάδων λήψης απόφασης. Σχήμα. 2: Παράδειγμα DEA. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τις έξι μονάδες λήψης απόφασης που παρουσιάζονται στο Σχήμα 2 υποθέτουμε ότι η καθεμία περιέχει την ίδια ποσότητα μιας μόνο εισροής αλλά παράγει διαφορετική ποσότητα εκροών y 1 και y 2. Η μέθοδος της περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων βρίσκει μία καμπύλη στην οποία 21

εμπεριέχονται οι βέλτιστες λύσεις, ουσιαστικά μία περιβάλλουσα δια μέσω μαθηματικού προγραμματισμού. Η λύση της περιβάλλουσας ανάλυσης δεδομένων αναγνωρίζει τις μονάδες λήψης απόφασης P 1, P 2, P 3, και P 4 ως αποτελεσματικές. Αυτές οι μονάδες συνδέονται με μια γραμμή και έχουν αποδοτικότητα ίση με την μονάδα. Οι μονάδες λήψης απόφασης που βρίσκονται εντός της περιβάλλουσας, όπως είναι τα σημεία P 5 και P 6, έχουν αποδοτικότητα μικρότερη της μονάδας. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα η αποδοτικότητά τους είναι ίση με το λόγο του μεγέθους του διανύσματος από την αρχή των αξόνων μέχρι το σημείο P 5 προς το μέγεθος του διανύσματος από την αρχή των αξόνων μέχρι τo σημείο το οποίο αντιστοιχεί ακτινικά στην περιβάλλουσα P 5. Ο Farrell [1] ήταν ο πρώτος που περιέγραψε την μέθοδος σαν περιβάλλουσα για τη μέτρηση της αποδοτικότητας παραγωγής αγροτουρισμού στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο Charnes και άλλοι [3] επαναμορφοποίησαν την προσέγγιση του Farell Και την επέκτειναν έτσι ώστε να μπορεί να διαχειριστεί πολλαπλές εξόδους και πολλαπλές εισόδους. Επιπλέον, παρουσίασαν μια μεθοδολογία για την εύρεση της περιβάλλουσας χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο κλασματικού γραμμικού προγραμματισμού, και το μετέτρεψαν από κλασματικό σε ένα ευκόλως επιλύσημο ισοδύναμο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. Η επόμενη μορφοποίηση ακολουθεί την μεθοδολογία του Charnes [3]. Η αποδοτικότητα της rth μονάδας λήψης απόφασης, w r, μπορεί να βρεθεί λύνοντας το ακόλουθο κλασματικό μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού. Μοντέλο: Charnes. Linear Fractional Data Envelopment Analysis Model (DEA1) Max w r J u jo jr j = 1 = I υi Iir i= 1 (13) J u jo jk j = 1 s.t. 1 I υi Iik i= 1 u j 0 j, k, (14) 22

υ i 0 i, όπου i = 1,..., I οι είσοδοι που χρησιμοποιούνται σε μια μονάδα DMU, j = 1,..., J οι έξοδοι που χρησιμοποιούνται σε μια μονάδα DMU, k = 1,..., K οι μονάδες DMUs, Παράμετροι: O jr = η ποσότητα της j εξόδου για την k DMU, I ik = η ποσότητα της i εισόδου για την k DMU. Μεταβλητές απόφασης: u j = ο συντελεστής βαρύτητας που αφορά την j έξοδο, υ i = ο συντελεστής βαρύτητας που αφορά την i είσοδο. Η παραπάνω μορφοποίηση θα βρει το σύνολο των βαρών, u j και υ i που μεγιστοποιούν την αποδοτικότητα, w r, της r DMU, (9) (να σημειωθεί ότι οι σταθμίσεις είναι η απόφαση των μεταβλητών στην μορφοποίηση κατά DEA). Οι περιορισμοί στην εξίσωση (14) απαιτούν το λόγο του αθροίσματος των σταθμισμένων εκροών προς το σταθμισμένο άθροισμα των εισροών (η απόδοση του κάθε DMU, συμπεριλαμβανομένης της rth DMU) να μην είναι μεγαλύτερος από 1, όταν χρησιμοποιείται το σύνολο των μη αρνητικών βαρών u j και υ i. Μια παρόμοια διατύπωση DEA μπορεί να λυθεί διαδοχικά για τον προσδιορισμό της βέλτιστης απόδοσης για το σύνολο των εισροών και εκροών για κάθε DMU. Μια DMU θεωρείται σχετικά αναποτελεσματική (wr <1) εάν είναι δυνατή η αύξηση των αποτελεσμάτων, χωρίς αύξηση των συντελεστών παραγωγής, μείωση των εισροών ή χωρίς μείωση των εκροών,. Με τον τρόπο αυτό, η αναποτελεσματικότητα μιας DMU μετράται σε σχέση με το σύνολο των αποτελεσματικών DMUs που καθορίζουν την μοφή της περιβάλλουσας. Για την επίλυση του προηγούμενου προβλήματος ως ένα γραμμικό πρόγραμμα, ο παρονομαστής στην αντικειμενική συνάρτηση, (13), θεωρείται ότι 23

I είναι ίσος με 1: υ = 1. Επιπροσθέτως, και οι δύο πλευρές των περιορισμών i= 1 i I ik (14) πολλαπλασιάζονται με το άθροισμα των σταθμισμένων εισροών, αποδίδοντας τον επόμενο γραμμικό ισοδύναμο περιορισμό: J j= 1 u j O jk I i= 1 υ I k. i ik Επιπλέον, μια ειδική περίπτωση λύσης, που ονομάζεται ασθενώς αποτελεσματική προκαλεί το υπόδειγμα DEA να τροποποιηθεί στην πράξη. Μια DMU μπορεί να είναι ασθενώς αποτελεσματική (weakly efficient) εάν, κατά τη λύση του γραμμικού μοντέλου DEA, η αποτελεσματικότητα DEA είναι 1 και ένα ή περισσότερα από τα βάρη είναι ίσα με το μηδέν, όμως, στην πραγματικότητα κυριαρχείται από σημεία πάνω στην περιβάλλουσα (π.χ., η DMU P 6 στο Σχήμα. 1 έχει DEA 1, αλλά κυριαρχείται από την P 4 ). Για να αντιμετωπισθεί το πρόβλημα αυτό η μορφοποίηση DEA των Charnes και άλλων απαιτεί από κάθε βάρος να είναι μεγαλύτερο από, μια απειροελάχιστη ποσότητα, για να εξασφαλίσουν ότι ασθενώς αποτελεσματικές DMUs δεν έχουν ταξινομηθεί ως αποτελεσματικές. Η τροποποιημένη γραμμική DEA διατύπωση του Charnes, ως εκ τούτου καθίσταται: Μοντέλο: Charnes et al. Modified Data Envelopment Analysis Model (DEA2) J Max w r = u j O jr (15) j= 1 s.t. I i I ik = 1 k (16) i= 1 J I u jo jk υ i Iik 0 k, (17) j = 1 i= 1 u j, υi ε j,ι, όπου ε είναι μια απειροελάχιστη ποσότητα. Από τη δημοσίευση του Charnes και άλλων [3] και μετά, έχουν παρουσιαστεί πολλές θεωρητικές μελέτες και πρακτικές εφαρμογές σε διάφορους τομείς, 24

χρησιμοποιώντας την μέθοδο DEA [17]. Η DEA έχει εφαρμοστεί σε πολλούς διαφορετικούς τομείς όπως η υγειονομική περίθαλψη, οι στρατιωτικές επιχειρήσεις, ποινικά δικαστήρια, πανεπιστημιακά τμήματα, τράπεζες, επιχειρήσεις κοινής ωφέλειας ηλεκτρικών εξορυκτικών δραστηριοτήτων, στην παραγωγικότητας του κατασκευαστικού κλάδου, καθώς και στην αξιολόγηση σιδηροδρομικών ιδιοκτησιών [17-20], για περιπτώσεις στις οποίες τα δεδομένα εισόδου είναι στοχαστικής μορφής [21] αλλά και σε επεκτάσεις μοντέλων πολυκριτήριας ανάλυσης [18,22,23,30]. Υπήρξαν επίσης εφαρμογές της DEA στην αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας των μοντέλων χωροθέτησης. Βασισμένοι στην έννοια της χωρικής απόδοσης που προτείνουν οι Rushton και Fisher [24], Storbeck και Desai [25], Desai και άλλοι. [26], Αθανασόπουλος και Storbeck [27], σε μια σειρά από δημοσιεύσεις, συσχετίζουν την μέθοδο DEA για τη μέτρηση της σχετικής αποτελεσματικότητας των αποφάσεων χωροθέτησης εγκαταστάσεων. Χρησιμοποιήθηκαν δύο μέτρα ως αρχικές μεταβλητές εισόδου, η σύνολική απόσταση μεταφοράς και ο βαθμός της μη κάλυψης (ο πληθυσμός που βρίσκεται εκτός συγκεκριμένης απόστασης από μια εγκατάσταση). Μια άλλη εφαρμογή της DEA στο πλαίσιο της χωροθέτησης αναπτύχθηκε από τους Shroff και άλλους [28], όπου μελετήθηκε η χωροθέτηση των εγκαταστάσεων μακροχρόνιας υγειονομικής περίθαλψης. Σε αυτήν την εργασία περιγράφεται το πρόβλημα ως " πρόβλημα γεωγραφικής συγκριτικής αξιολόγησης" και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της σχετική βελτίωσης της αποτελεσματικότητας DEA των πιθανών γεωγραφικών περιοχών για να καθορίσουν τη θέση των εγκαταστάσεων μακροχρόνιας υγειονομικής περίθαλψης. 2.4 Συνδυασμός μοντέλων χωροθέτησης/dea Η τυπική λύση της μεθόδου DEA επιτυγχάνεται με την διαδοχική επίλυση του μοντέλου DEA2 για κάθε DMU. Για να εξεταστούν ταυτόχρονα και οι δύο μορφές χωροθέτησης των εγκαταστάσεις και οι σχετικές αποδόσεις των εγκαταστάσεων αυτών σε κάθε θέση, η λύση της DEA διαδικασίας πρέπει να τροποποιηθεί για να καταστεί δυνατή η εύρεση των αποδόσεων DEA όλων των DMUs σε ένα γραμμικό πρόγραμμα, ταυτόχρονα. Στην μελέτη της χωρικής εγκατάστασης, ο Thomas και άλλοι [29] ανέπτυξαν δύο προσεγγίσεις για την επίλυση του μηχανισμού χωροθέτησης και του προβλήματος DEA. Και οι δύο προσεγγίσεις προϋποθέτουν ότι ο αριθμός των εγκαταστάσεων που θα ανοίξει, p, είναι προκαθορισμένος. Σαν πρώτη 25

προσέγγιση αρχικά επιλύεται το πρόβλημα χωροθέτησης εγκαταστάσεων ούτως ώστε να προσδιορίστεί η βέλτιστη σειρά χωροθέτησης των εγκαταστάσεων. Μετά χρησιμοποιείται αυτό το βέλτιστο σύνολο τοποθετήσεων ως εισοδος για ένα τροποποιημένο μοντέλο DEA (το οποίο ονομάζεται πολυεναλλακτικόmultialternative DEA model). Το πολυεναλλακτικό μοντέλο DEA ταυτόχρονα λύνει το μοντέλο DEA για τις βέλτιστες p τοποθεσίες. Αν η απόδοση DEA των επιλεγμένων τοποθεσιών είναι ίση με 1 (μια σχετική απόδοση 100% για κάθε ανοιχτή εγκατάσταση), τότε βρέθηκε η βέλτιστη λύση. Στην αντίθετη περίπτωση, το μοντέλο χωροθέτησης εκτελείται πάλι. Όμως, οι τοποθεσίες που βρέθηκαν στην προηγούμενη βέλτιστη λύση αποκλείονται. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου όλα τα αποτελέσματα οδηγίσουν σε αποδοτικότητα DEA ίση με 1 ή όταν όλοι οι πιθανοί χώροι έχουν ερευνηθεί. Εάν το πρόβλημα αποτελείται από m πιθανές τοποθεσίες και m p εγκαταστάσεις που πρέπει να ανοίξουν, "επαναλήψεις πρέπει να p πραγματοποιηθούν μέχρι όλοι οι συνδυασμοί της DEA αποτελέσματικότητας να γίνουν ίσοι με το 1". Σε μια δεύτερη προσέγγιση, συνδυάζεται η χωροθέτηση και η μέθοδος DEA σε ένα ενιαίο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που μεγιστοποιεί την απόδοση των p εγκαταστάσεων που θα ανοίξουν. Οι πολυκριτήριες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των τοποθεσίων και της αποτελεσματικότητας DEA χάνονται σε αυτή την προσέγγιση. Στις προσεγγίσεις των Thomas et al. 's προκαθορίζεται ο αριθμός των εγκαταστάσεων που θα ανοίξουν, ενώ ταυτόχρονα δεν υπολογίζεται η αύξηση της αποτελεσματικότητας από όλους τους πιθανούς χώρους. Τα ανωτέρω θέματα θα αντιμετωπιστούν με τις ακόλουθες μορφοποιήσεις. Σε πρώτη φάση, ορίζεται μια νέα μεταβλητή d r ως το επίπεδο της αναποτελεσματικότητας μια DMU r (d r =1-w r ), και εισάγεται στον ακόλουθο περιορισμό: J j= 1 I u jo jk υ i Iik + dr = 0 (18) i= 1 Επιπροσθέτως, εφόσον ο περιορισμός (16) εφαρμόζεται για την DMU r, μπορεί να αντικατασταθεί η μονάδα για τις σταθμισμένες εισροές τη DMU r, στην εξίσωση (18), κάτι το οποίο δίνει: 26

J u jo jk + dr = 1 (19) j = 1 Με αυτήν την τροποποίηση του περιορισμού (17), και επιπροσθέτως την τροποποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, η τροποποιημένη DEA μεθοδολογία παίρνει την εξής μορφή: Μοντέλο: Modified Data Envelopment Analysis Model (MDEA2) Max w r = 1 d r (20) s.t. I i I ir = 1 (21) i= 1 J u jo jr + dr = 1, (22) j = 1 J I u jo jk υ i Iik 0 k r, (23) j = 1 i= 1 u j, υi ε j,ι, d r 0 r. Το μοντέλο MDEA2 επεκτείνεται έτσι ώστε να μπορεί να λύσει ταυτόχρονα το πρόβλημα DEA για όλες τις DMUs (το οποίο είναι απαραίτητο ούτως ώστε να μπορούν να πραγματοποιηθούν οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ του προβλήματος της χωροθέτησης εγκαταστάσεων και του DEA προβλήματος το οποίο θα παρουσιαστεί αργότερα). Η επέκταση έχει την ακόλουθη μορφή: Μοντέλο: Simultaneous DEA (SDEA) 27

(1 dr ) = Max w r (24) r r s.t. I ri I ir = 1 r, (25) i = 1 J u rjo jr + dr = 1 r, (26) j = 1 J I urjo jk υ ri Iik 0 k; r; k r, (27) j = 1 i= 1 u rj, υri ε j, ι, r, όπου Μεταβλητές απόφασης: urj = ο συντελεστής βαρύτητας που αφορά την j έξοδο για την r DMU, υ ri = ο συντελεστής βαρύτητας που αφορά την i είσοδο για την r DMU. Για να καταστεί δυνατή η ταυτόχρονη λύση της μεθόδου DEA για όλες τις DMUs, ο στόχος της εξίσωσης (24) τώρα είναι να μεγιστοποιεί το συνολικό άθροισμα των αποδόσεων. Οι περιορισμοί στην εξίσωση (25) απαιτούν το άθροισμα των σταθμισμένων εισροών της DMU r να είναι ίσο με 1, και έχουν συνταχθεί για κάθε DMU. Οι περιορισμοί στο (26) καθορίζουν την αποδοτικότητα ως το άθροισμα των σταθμισμένων εκροών της DMU r. Αυτοί οι περιορισμών αφορούν κάθε DMU. Οι περιορισμοί στην εξίσωση (27), απαιτούν το συνολικό άθροισμα των σταθμισμένων εκροών να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο άθροισμα των σταθμισμένων εισροών (σημειώστε ότι στην εξίσωση (27) υπάρχουν K σύνολα (K - 1) εξισώσεις, λόγω του ότι στους περιορισμοί τα βάρη για κάθε r πρέπει να ελέγχονται με τα βάρη εισόδου / εξόδου για όλους τους άλλους φορείς DMUs, με Κ να είναι ο συνολικός αριθμός των υπό αξιολόγηση DMUs). Ο συνδυασμός του παραπάνω SDEA μοντέλου με το UPLP μοντέλο χωροθέτησης εγκαταστάσεων έχει ως αποτέλεσμα στο ακόλουθο συνδυασμένο πρόβλημα πολυκριτήριας ανάλυσης: 28

Μοντέλο: UFSD model K L Max 1 d kl (28) k = 1l = 1 K L K Min ckldeml xkl + Fk yk (29) k = 1l = 1 k = 1 s.t. K x kl = 1 l, (30) k = 1 xkl y k k,l, (31) I i=1 kli I ikl = xkl υ k, l, (32) J u kljo jkl + dkl = xkl j =1, k,l, (33) J I ukljo jrs υ kli Iirs 0 k, l; r, s; ( k r και l s), (34) j = 1 i= 1 uklj εx kl k, l, j, (35) υkli εxkl k, l, i, (36) ukljo jkl xkl, k, l, j, (37) x kl, y k = 0,1, uklj, υ kli 0 Ο πρώτος στόχος της εξίσωσης (28), μεγιστοποιεί το άθροισμα των αποδόσεων για όλες τους συνδυασμούς (k) εγκαταστάσεων και (l) ζητήσεων που μπορεί να υπάρχουν στη βέλτιστη λύση. Για τον υπολογισμό της αποδοτικότητας DEA της DMU, χρησιμοποιείται ο συνδυασμός της εγκατάστασης k και της ζήτησης l. Μια συγκεκριμένη εγκατάσταση μπορεί να ικανοποιεί μια σειρά από ζητήσεις στην καλύτερη δυνατή λύση και κάθε μία από αυτά τα ζεύγη εγκαταστάσεων / ζήτησεων έχουν μια συγκεκριμένη απόδοση DEA. Η δέυτερη εξίσωση στην αντικειμενική συνάρτηση (29), και τα επόμενα δύο σετ περιορισμών, (30) και (31), είναι τα ίδια με αυτά του μοντέλου UPLP. Οι περιορισμοί (32) και (33) είναι παρόμοιοι με τους 29

περιορισμούς (25) και (26) στο SDEA μοντέλο. Επιπλέον, οι περιορισμοί (34) είναι ανάλογοι με τους περιορισμούς (27) που υπάρχουν στο SDEA μοντέλο. Όταν μια εγκατάσταση k εξυπηρετεί τη ζήτηση l, δηλαδή, x kl = 1, τα αντίστοιχα βάρη των εισροών και εκροών απαιτείται να είναι μεγαλύτερα από ό, τι η ποσότητα ε λόγω των περιορισμών (35) και (36), αντίστοιχα. Οι περιορισμοί στην (37) απαιτούν οι σταθμισμένες εκροές να είναι μικρότερες από το 1, για όλες τις εγκαταστάσεις, όλες τις ζητήσεις, καθώς και της παραγωγής ειδών. Από την άλλη πλευρά, εάν μια εγκατάσταση k δεν εξυπηρετεί τη ζήτηση l (xkl = 0), οι περιορισμοί στην (35) και (36), απαιτούν τα βάρη των εισροών και των εκροών να μην είναι αρνητικά, και οι περιορισμοί στην (32) και ( 37) τα εξαναγκάζει να είναι ίσα με 0. Στο μοντέλο UFSD, αν η εγκατάσταση k εξυπηρετεί τη ζήτηση l, τότε θα εξυπηρετεί όλη τη ζήτηση l. Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ του επιπέδου της λειτουργίας και της DEA αποτελεσματικότητας της εγκατάστασης. Για να συνδυαστεί η ταυτόχρονη DEA μεθοδολογία (SDEA) με το μοντέλο CPLP, και να επιτραπεί κάποια αλληλεπίδραση μεταξύ της χωροθέτησης και της αποτελεσματικότητας, θα θεωρηθεί αυθαίρετα ότι μία από τις εξόδους του διανύσματος εισόδου / εξόδου χρησιμοποιείται για την ικανοποίηση της ζήτησης. Το ποσό της εξόδου χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της αποδοτικότητας DEA για τις εγκαταστάσεις, και στη συνέχεια σε συνάρτηση με το κατά πόσον η εγκατάσταση εξυπηρετεί ή δεν εξυπηρετεί τη ζήτηση, υπολογίζεται και το επίπεδο δραστηριότητας του εν λόγω εγκατάστασης / ζήτησης συνδυασμού. Έτσι, η βελτίωση της αποτελεσματικότητας DEA είναι δυναμικά μεταβαλλόμενη καθώς η γεωγραφικές θέσεις και κατανομές αλλάζουν επειδή το ποσό της εν λόγω εξόδου είναι κυμαινόμενο και εξαρτάται από την χωροθέτηση. (Επειδή δεν πρόκειται να είναι όλες οι εγκαταστάσεις ανοικτές, θα πρέπει να συγκρίνονται στη βέλτιστη λύση, μόνο αυτές που είναι ανοικτές. Η DEA απόδοση για τις εγκαταστάσεις που δεν χρησιμοποιούνται είναι ίση με 0.) Ο συνδυασμός του SDEA μοντέλο με το CPLP έχει ως αποτέλεσμα την μορφοποίηση του παρακάτω SDEA / CPLP μοντέλου (CASD): Μοντέλο: CASD model 30

K L Max 1 d kl (38) k = 1l = 1 K L K Min cklbkl + Fk yk (39) k = 1l = 1 k = 1 s.t. K x kl = 1 l, (40) k = 1 xkl y k k,l, (41) K bkl = deml l, (42) k = 1 b kl Min[deml,Omkl ] yk k,l, (43) I i=1 kli I ikl = xkl υ k, l, (44) J u kljo jkl + dkl = xkl j =1, k,l, (45) J I ukljo jrs υ kli Iirs 0 k, l; r, s; ( k r και l s), (46) j = 1 i= 1 uklj εx kl k, l, j, (47) υkli εxkl k, l, i, (48) ukljo jkl xkl, k, l, j, (49) bkl x kl k,l, (50) x kl, y k = 0,1, bkl, u klj, υ kli 0 όπου m είναι ο δείκτης της παραγωγής που χρησιμοποιείται για την ικανοποίηση της ζήτησης στο μοντέλο CPLP. Ο πρώτος στόχος της αντικειμενικής συνάρτησης στην ανωτέρω διατύπωση, (34), και των αντίστοιχων περιορισμών που συνδέονται με DEA (44-46) είναι ισοδύναμα με την αντικειμενική συνάρτηση (28) και τους περιορισμούς (32-34) στο UFSE μοντέλο. Η δεύτερη αντικειμενική συνάρτηση, (39), και οι ακόλουθοι τέσσερις 31

περιορισμοί, (40-43) είναι παρόμοιοι με την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς στην μορφοποίηση του CPLP μοντέλου. Οι μόνες διαφορές σε αυτούς τους περιορισμούς είναι στο περιορισμό (44), όπου για τη χωρητικότητα των εγκαταστάσεων k χρησιμοποιούμε την ικανότητα μιας από τις εκροές, m. Οι περιορισμοί που συνδέονται με την μεθοδολογία DEA (44-49) αντιστοιχούν ακριβώς με τους DEA περιορισμούς, (32-37), στο UFSE μοντέλο. Οι περιορισμοί (50) απαιτούν τουλάχιστον μία μονάδα που θα αποσταλούν στη ζήτηση l από την εγκατάσταση k, αν x kl = 1, που επιτρέπει την εγκατάσταση αυτή να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αποδοτικότητας DEA. Παρόμοια με το μοντέλο UFSE, αν x kl = 0, τα βάρη των εισροών και εκροών DEA για μια εγκατάσταση είναι ίσα με 0, και οι αντίστοιχες εγκαταστάσεις αποκλείονται κατά τον υπολογισμό της σχετικής αποτελεσματικότητας DEA. 2.5 Παραδείγματα Ένα παράδειγμα με επτά εγκαταστάσεις οι οποίες εξυπηρετούν 15 ζητήσεις, όπου η κάθε μια περιέχει τέσσερις εισόδους και τρεις εξόδους, δημιουργήθηκε και χρησιμοποιείται για τη δοκιμή των δύο μοντέλων DEA / χωροθέτησης εγκαταστάσεων, UFSE και CASD αντίστοιχα. Το Σχήμα 2 δείχνει τις σχετικές χωρικές θέσεις των εγκαταστάσεων και των ζητήσεων. Στον Πίνακα 1 παρατίθενται οι ποσότητες που απαιτούνται σε κάθε ζήτηση των 15 κόμβων. 32

Σχήμα. 3. Χωροθέτηση εγκαταστάσεων (F#) and και ζητήσεων (D#). Η σύνδεση κάθε ζήτησης που εξυπηρετείται από μια εγκατάσταση είναι ένα μοναδικό διάνυσμα εισροών-εκροών. Αρχικά, τονίζονται οι θέσεις και η αποδοτικότητα DEA, σε συγκρίση με τη μέση απόδοση που λαμβάνεται για κάθε μονάδα από το μέσο όρο όλων των αποδοτικοτήτων DEA για όλες τις πιθανές ζητήσεις που μπορούν να εξυπηρετούνται από την εγκατάσταση αυτή, (η τιμή αυτή εμφανίζεται κάτω από κάθε εγκατάσταση στο Σχήμα 3.). Ο Πίνακας 2 περιλαμβάνει τις τιμές εισροών-εκροών για κάθε ένα από τα ζεύγη εγκαταστάση / ζήτηση, και των αντίστοιχων τιμών DEA. Οι υπόλοιπες τιμές των παραμέτρων που απαιτούνται για τα USFD και CASD μοντέλα απαριθμούνται στους Πίνακες 3 και 4. Ο Πίνακας 3 δίνει τις αποστάσεις μεταξύ των εγκαταστάσεων και τις ζητήσεις, ενώ Πίνακας 4 περιλαμβάνει το πάγιο κόστος για κάθε μία από τις εγκαταστάσεις. Πίνακας 1: Ποσότητα ζήτησης σε κάθε κόμβο ζήτησης Κόμβος Ζήτηση 1 8 2 28 3 20 4 17 5 23 6 25 7 50 8 49 33

9 16 10 29 11 45 12 42 13 40 14 8 15 16 Πίνακας 2: Διανύσματα εισόδου/εξόδου για κάθε εγκατάσταση όταν εξυπηρετεί κάθε ζήτηση. Ποσότητα εισόδου Ποσότητα εξόδου Εγκατάσταση Εξυπηρετούμενη Ζήτηση 1 2 3 4 1 2 3 1 1 76 69 63 78 73 4 4 1 2 50 92 75 98 80 35 30 1 3 50 76 64 94 69 37 7 1 4 50 25 24 94 21 36 9 1 5 79 94 98 86 47 71 85 1 6 87 90 57 55 52 40 60 1 7 83 91 23 69 64 32 39 1 8 26 43 21 84 17 20 35 1 9 50 98 73 55 14 61 5 1 10 17 65 24 73 18 10 33 1 11 75 83 29 54 49 42 15 1 12 50 74 92 93 56 19 14 1 13 59 77 68 69 46 5 13 1 14 70 82 68 32 35 19 6 1 15 69 69 85 52 16 28 9 2 1 98 69 41 25 68 34 76 2 2 29 59 75 59 11 82 9 2 3 40 39 18 50 46 60 27 2 4 56 42 90 36 58 82 46 2 5 61 20 86 83 27 61 96 2 6 80 48 98 43 95 74 79 2 7 26 17 34 75 0 46 32 2 8 64 24 73 69 76 11 26 2 9 73 56 39 54 76 78 35 2 10 28 96 21 52 62 18 67 2 11 55 95 8 42 33 64 38 2 12 58 79 81 14 28 71 84 2 13 71 79 51 55 79 89 77 2 14 18 47 91 74 73 8 65 2 15 34 84 88 74 99 69 89 3 1 53 45 25 1 53 95 28 3 2 1 62 76 32 94 59 38 3 3 86 2 67 40 61 87 66 3 4 22 52 41 10 66 63 6 34

3 5 18 51 3 67 71 90 81 3 6 80 17 6 10 85 91 30 3 7 17 6 59 85 80 46 34 3 8 21 32 1 27 7 82 16 3 9 32 8 31 68 49 41 90 3 10 34 37 51 1 53 58 50 3 11 21 93 65 15 71 93 88 3 12 63 5 100 13 51 24 33 3 13 58 87 68 4 93 1 55 3 14 2 92 83 79 100 71 82 3 15 25 18 94 6 10 43 80 4 1 11 96 65 79 82 36 64 4 2 56 69 40 66 46 65 76 4 3 73 72 65 91 18 93 98 4 4 69 82 49 100 19 98 87 4 5 45 31 75 72 17 69 12 4 6 75 51 36 32 69 56 41 4 7 39 74 96 62 84 57 70 4 8 39 84 62 98 23 6 92 4 9 24 83 49 54 48 37 67 4 10 100 74 39 47 52 97 10 4 11 76 29 34 98 19 52 53 4 12 89 16 45 71 56 38 25 4 13 33 79 86 98 87 24 71 4 14 38 41 53 7 2 38 3 4 15 27 62 65 60 64 22 46 5 1 38 41 53 7 2 38 3 5 2 27 62 65 60 64 22 46 5 3 51 26 86 73 52 4 63 5 4 35 61 1 99 11 13 8 5 5 37 69 3 58 1 64 8 5 6 28 28 69 81 41 27 58 5 7 82 98 42 94 89 60 55 5 8 99 81 94 42 86 59 41 5 9 81 83 80 97 93 36 17 5 10 71 52 82 93 23 82 35 5 11 64 18 17 22 3 31 21 5 12 35 95 27 80 15 70 17 5 13 89 84 37 13 1 59 33 5 14 52 94 36 39 9 63 24 5 15 78 70 93 68 34 83 5 6 1 26 65 73 9 79 37 89 6 2 1 2 100 78 86 70 97 6 3 7 50 7 18 73 38 51 6 4 7 97 39 47 8 81 88 6 5 72 5 35 56 66 94 64 6 6 4 84 1 26 87 71 8 6 7 50 11 88 13 15 89 75 6 8 10 25 30 49 63 2 83 6 9 97 5 19 55 7 55 45 6 10 96 52 52 3 1 58 95 6 11 18 5 37 59 45 55 83 6 12 39 62 23 8 16 72 86 6 13 72 73 6 36 36 11 86 35

6 14 97 16 17 74 64 53 95 6 15 23 21 53 7 60 58 93 7 1 26 43 44 91 78 56 68 7 2 22 31 82 66 83 44 19 7 3 85 29 60 45 95 96 52 7 4 21 64 97 80 33 90 93 7 5 31 53 95 49 21 88 31 7 6 10 67 94 90 72 87 57 7 7 32 85 79 14 31 4 90 7 8 30 83 65 69 36 91 99 7 9 18 27 95 30 21 37 67 7 10 75 20 67 62 18 26 91 7 11 95 75 5 56 35 10 57 7 12 27 88 71 62 43 87 82 7 13 46 7 93 79 13 49 77 7 14 80 13 8 39 25 47 11 7 15 92 3 84 83 53 28 56 Πίνακας 3: Πίνακας αποστάσεων από την εγκατάσταση στην ζήτηση. Από την Εγκατάσταση Στη ζήτηση 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 46 69 62 39 57 52 31 48 42 32 37 17 12 60 29 2 11 72 74 87 49 35 76 62 22 27 68 59 63 27 23 3 74 39 28 28 45 89 19 22 75 67 77 24 46 64 53 4 61 17 19 61 11 83 50 13 67 63 90 43 64 36 45 5 41 49 44 46 36 57 34 30 42 35 57 18 33 41 20 6 25 96 99 108 72 32 98 87 30 39 76 81 80 48 45 7 48 108 104 79 91 30 74 90 37 33 18 62 44 81 50 Πίνακας 4: Σταθερό κόστος για κάθε ανοιχτή εγκατάσταση. Εγκατάσταση Σταθερό κόστος 1 250 2 370 3 500 4 330 5 300 6 440 7 430 Πίνακας 5: Λύσεις για το USFD μοντέλο. Ελάχιστο κόστος Μέγιστη αποδοτικότητα DEA 36

Συντ. βαρύτητας για USFD Σχετικό βάρος του κόστος 1 0 Σχετικό βάρος DEA 0 1 Τιμές αντικ. συνάρτησης Συνολικό σταθερό κόστος $1950.00 $940.00 Συνολικό κόστος μεταφοράς $7786.11 $15215.76 Συνιλικό κόστος $9736.11 $16155.76 Αριθμός ανοιχτών εγκαταστάσεων 5 2 Αριθμός συνδέσμων 15 15 Συνολικό άθροισμα αποδοτικότητας για τις ανοιχτές εγκαταστάσεις 10.09 15.00 Μέση αποδοτικότητα DEA 0.6725 1.0000 Ελάχιστη αποδοτικότητα DEA 0.2351 1.0000 Το USFD μοντέλο λύνεται με τα στοιχεία που αναλύθηκαν παραπάνω και δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα τα οποία και παρουσιάζονται στον Πίνακα 5. Επειδή δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ του επιπέδου της επιχείρησης και τη βελτίωση της αποτελεσματικότητας DEA (που έχουν καθοριστεί για το συγκεκριμένο μοντέλο), λύνεται το παρών μοντέλο για το ελάχιστο κόστος και το μέγιστο ποσό της DEA αποδόσης, όπως φαίνεται στον Πίνακα 5. Η στήλη ελάχιστου κόστους του Πίνακα 5, η οποία οπτικά εμφανίζεται στο Σχήμα. 4, προκύπτει σαν λύση, όταν το βάρος για τον στόχο DEA είναι 0 (βλ. σημείωση στον παραπάνω πίνακα). Πέντε εγκαταστάσεις έχουν επιλεγεί για να εξυπηρετήσουν τις ανάγκες των 15 κόμβων ζήτησης. Η μέση βαθμολογία DEA για όλες τις ανοιχτές εγκατάσταση-ζήτηση συνδέσεις είναι λίγο πάνω από το 67% και το ελάχιστο DEA είναι 23,5% (όταν η εγκατάσταση F1 εξυπηρετεί τη ζήτηση 13). Όπως αναμενόταν όλες οι ζητήσεις εξυπηρετούνται από τις πλησιέστερες εγκαταστάσεις, με εξαίρεση τη ζήτηση 15, η οποία πρέπει να εξυπηρετηθεί από την εγκατάσταση F5, ωστόσο, η εξοικονόμηση του κόστους μεταφοράς δεν αντισταθμίζει την επιβάρυνση που οφείλεται στην έναρξη της εν λόγω εγκατάστασης. Η τελευταία στήλη του Πίνακα 5, με την ένδειξη της Μέγιστη αποδοτικότητα DEA, η οποία εμφανίζεται γραφικά στο Σχήμα 5, δείχνει τη λύση, όταν το βάρος για τα έξοδα μεταφοράς είναι 0 (βλ. σχετική σημείωση στον Πίνακα 5). Στην περίπτωση αυτή, μόνο δύο εγκαταστάσεις ανοίγονται και χρησιμοποιούνται 15 συνδέσεις ζήτησης-εγκατάστασης. Μπορούν να επιτευχθούν και να υπολογιστούν η μέση απόδοση DEA, η ελάχιστη βαθμολογία DEA για όλες τις ανοιχτές εγκατάστασεις - οι συνδέσεις ζήτησης είναι 100% - και η μεγαλύτερη σχετική απόδοση DEA. Οι 37

εγκαταστάσεις που επιλέγονται είναι εκείνες με την υψηλότερη μέση DEA και όχι απαραίτητα εκείνες που βρίσκονται πλησιέστερα στους κόμβους ζήτησης ή λιγότερο δαπανηρές για να ανοίξουν. Το σταθερό κόστος είναι σημαντικά μικρότερο στην λύση ελάχιστους κόστους, πάνω από 50%. Ωστόσο, το κόστος μεταφοράς σχεδόν διπλασιάστηκε, με αποτέλεσμα το συνολικό κόστος να είναι σημαντικά υψηλότερο. Σχήμα. 4. Λύση ελάχιστου κόστους για το USFD μοντέλο. Συντελεστής βαρύτητας DEA = 0, συντελεστής βαρύτητας κόστους = 1. 38