Σάλτας Βασίλειος ιδάκτωρ Μαθηµατικών A 4 A 6 A N P A A 5 A 3 M Τα προβλήµατα στα αρχαιοελληνικά µαθηµατικά και οι ασκήσεις στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο p p p p,..., p p, p q, 3 k p q k k p p p p, p p,..., p p, p q, 3 k p q k k ηµιθεώρηµα p p, p p p p Καβάλα 0 0 6
Στα µαθηµατικά διαρκώς πρέπει να υπάρχουν δυο σκοποί: Πρώτος διέγερση της εφευρετικότητας, άσκηση της ατοµικής εκτίµησης, του λογικού συλλογισµού και της συνήθειας σταθερής έκφρασης. εύτερος σύνδεση των κλάδων των καθαρών µαθηµατικών µε άλλες εφαρµοσµένες επιστήµες, έτσι ώστε ο µαθητής να µπορεί να κατανοεί την πραγµατική σχέση µεταξύ των αρχών και των πραγµάτων. [. σελίδα 7] ιεθνής Επιτροπή για τη ιδασκαλία των Μαθηµατικών (έτος 9)
Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι, από τα βάθη της αρχαιότητας τα προβλήµατα (ασκήσεις) ήταν αδιαίρετο µέρος, όχι µόνο για την επιστήµη των µαθηµατικών, αλλά και για τη διδασκαλία των µαθηµατικών. Από την Αρχαία Βαβυλώνα και την Αρχαία Αίγυπτο, οι ασκήσεις ήταν βασικό µέσο για τον προσδιορισµό των µαθηµατικών γνώσεων, δηλαδή είναι το βασικό µέσο παρουσίασης και απόδειξης των γνώσεων. Αλλά µαζί µ εκπληρώνουν και διδακτικές λειτουργίες. Σε µαθηµατικές πυγές οι οποίες αναφέρονται στην προελληνική περίοδο των µαθηµατικών, συνήθως συναντιούνται µόνο ασκήσεις (προβλήµατα). Το γεγονός αυτό δίνει την δυνατότητα να ισχυριστεί κάποιος, ότι οι ασκήσεις αυτές είχαν και διδακτικό χαρακτήρα. Για παράδειγµα η 3 η, 4 η, 5 η και 6 η άσκηση από τον πάπυρο του Rind φέρουν την εκφώνηση: «Να διαιρεθούν αντίστοιχα 6, 7,8 και 9 ψωµιά σε 0 ανθρώπους µε τον ελάχιστο αριθµό διαιρέσεων». Οι ασκήσεις αυτές καθώς φαίνεται µάλλον χωρίς πρακτικό χαρακτήρα είναι. Οι ασκήσεις αυτές πιθανότατα λύνονταν για να εξασκηθεί η βασική µέθοδος παρουσίασης των κλασµάτων 6 / 0, 7 / 0, 8 / 0 и 9 / 0 µε κλάσµατα µε αριθµητή τη µονάδα. Το ίδιο ισχύει και για την βαβυλώνια περίοδο των µαθηµατικών. Παρόµοιο συµπέρασµα ισχύει και για πολλές εκ των µαθηµατικών ασκήσεων της Αρχαία Κίνας και της Αρχαίας Ινδίας. Ο ρόλος των ασκήσεων διαφοροποιείται κατά την αρχαιοελληνική περίοδο. Ο όρος «άσκηση» δεν αρµόζει για την περίοδο αυτή, εκτός ορισµένων περιπτώσεων. Πρέπει να χρησιµοποιείται ο όρος «πρόβληµα», γεγονός που αναφέρει και ο Polya, κατά τον οποίο τα προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα είναι αυτό που στα σύγχρονα µαθηµατικά λέγονται ασκήσεις ή προβλήµατα γεωµετρικών κατασκευών. Στην αριθµητική όµως στην Αρχαία Ελλάδα συνεχίζει η παράδοση για την παρουσίας και εδραίωση των σχετικών γνώσεων µε τη βοήθεια ασκήσεων, αφού οι αρχαίοι έλληνες δεν είχαν αναπτύξει την αλγεβρική µηχανή (π.χ. για την επίλυση δευτεροβάθµιων εξισώσεων), ενώ επίσης είχαν µικρό αριθµό θεωρηµάτων. Από την άλλη πλευρά, στη γεωµετρία έχει αναπτυχθεί επαγωγική θεωρία, δηλαδή απόδειξη ισχυρισµών, οι οποίοι απευθύνονται για ακέραιες τάξεις αντικειµένων (για παράδειγµα για όλο το ορθογώνιο ή το τρίγωνο), χρησιµοποιώντας πριν απ αυτούς αποδειγµένα θεωρήµατα. Εν συνεχεία οι ισχυρισµοί αυτοί λαµβάνονταν ως γνωστοί και χρησιµοποιούνταν
αναπόδειχτοι. Με τον τρόπο αυτό γίνεται οικονοµία χρόνου και πνευµατικής ενέργειας. Η προσοχή στη µελέτη αυτή κατευθύνεται πάνω στο ρόλο των προβληµάτων στην Αρχαία Ελλάδα, ως διδακτική κατηγορία και όχι ως µέσο για τη διατύπωση «ξερών» µαθηµατικών γνώσεων. Κατά τον VІ ІV αιώνα π.χ. οι γνωστοί έλληνες µαθηµατικοί Πυθαγόρας, Ιπποκράτης, Ευκλείδης, εργάστηκαν πάνω στα κατασκευαστικά προβλήµατα. Από τον ІV αιώνα π.χ. έχουν διατυπωθεί οι παραδοσιακοί τρόποι σχήµατα για τα λεγόµενα επίπεδα λύσης κατασκευαστικού προβλήµατος (ανάλυση, σύνθεση, απόδειξη και µελέτη). Οι τρόποι αυτοί, µε εµφανείς αλλαγές, µπορούν να χρησιµοποιηθούν και κατά τη λύση οποιαδήποτε µαθηµατικής άσκησης. Κατά την περίοδο αυτή «καθαρά» γεωµετρικές» θεωρούνταν µόνο οι κατασκευές οι οποίες υλοποιούνταν µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη και θεωρούταν «νόµιµο» η επίλυσή τους µε άλλα σχεδιαστικά µέσα. Σε µεταγενέστερη περίοδο, πάλι στην Αρχαία Ελλάδα, χρησιµοποιούνταν και άλλα σχεδιαστικά µέσα για τη λύση κάποιων προβληµάτων. Για παράδειγµα, ο Πλάτωνας έλυσε το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου µε τη χρήση δυο ορθών γωνιών. Ο Αρχιµήδης από την άλλη πλευρά έλυσε το πρόβληµα της τριχοτόµησης γωνίας µε χάρακα και δυο καθορισµένα σηµεία πάνω στο χάρακα. Είναι γνωστό, ότι οι ασκήσεις (και τα προβλήµατα) ήταν αντικείµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών. Μπορεί στα αρχαιοελληνικά µαθηµατικά ο βασικός ρόλος των προβληµάτων ήταν, πιθανότητα, µόνο το µοναδικό µέσο προσδιορισµού των µαθηµατικών πληροφοριών, στη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν έχουν ρόλο µόνο την παρουσίαση των µαθηµατικών πληροφοριών. Έχουν και διδακτικές λειτουργίες και µε τη βοήθεια των ασκήσεων µπορούν να αιτιολογούν, εισάγουν και να εξασκούν νέες γνώσεις, όπως επίσης και να διατηρούν γνώσεις διδασκόµενες νωρίτερα. Οι λειτουργίες των µαθηµατικών προβληµάτων κατά την αρχαιοελληνική περίοδο ανάπτυξης των µαθηµατικών, καθώς επίσης και ο ρόλος και η θέση των προβληµάτων την περίοδο αυτή, θα είναι ένας από τους βασικούς στόχους της έρευνας αυτής. Οι ασκήσεις περιέχουν σύνθεση από δυνατότητες για την ανάπτυξη της σκέψης των µαθητών. Η λύση µαθηµατικών ασκήσεων απαιτεί προβλεπτικότητα, επινοητικότητα και καλές γνώσεις της διδασκόµενης θεωρίας, αλλά µαζί µ αυτό 3
βοηθά για τη διάπλαση µεγαλύτερης εκφραστικότητας και δηµιουργίας στην εργασία των µαθητών. Τα παρουσιαζόµενα γεγονότα, σκέψεις και συλλογισµοί δίνουν τη δυνατότητα να θεωρηθεί, ότι πάντα θα υπάρχει ενδιαφέρον να εξεταστούν διδακτικές ερωτήσεις για τη θέση και το ρόλο των µαθηµατικών ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά, για τις µεθόδους λύσης τους και για τον τρόπο παράδοσής τους. Ενδιαφέρον είναι επίσης και το γεγονός, ότι το σηµαντικότερο για τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων είναι επεξεργαστεί η αντίστοιχη θεωρία, έτσι ώστε ο µαθητής µόνος του να µπορεί να λύνει ασκήσεις, συµπεριλαµβανοµένου και της γραφικής απόδοσης της λύσης µαθηµατικής άσκησης. Μπορεί η θέση και ο ρόλος των προβληµάτων (και των ελάχιστων ασκήσεων) στην Αρχαία Ελλάδα να είναι πιθανότατα πλέον προσδιορισµένος, δεν ισχύει όµως το ίδιο για το περιεχόµενο και τη φόρµα, για τη θέση και το ρόλο των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο. Η γνώση της ιστορία της διδασκαλίας των µαθηµατικών µπορεί να γεννήσεις ιδέες για τη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών, όχι µόνο για το ελληνικό σχολείο, αλλά και σε παγκόσµιο επίπεδο. Τέθηκε ο ακόλουθος σκοπός: Να εξεταστεί η θέση, ο ρόλος και οι διδακτικές λειτουργίες των µαθηµατικών προβληµάτων στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο, να ανακαλυφθούν δυνατότητες και να επεξεργαστούν τακτικές για την αύξηση του επιπέδου διδασκαλίας των µαθηµατικών και συγκεκριµένα τη διδασκαλία λύση ασκήσεων. Αντικείµενα της έρευνας είναι οι ασκήσεις και ο τρόπος λύσεις τους στις αρχαιοελληνικές µαθηµατικές σχολές και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο και οι ικανότητες των µαθητών να λύνουν ασκήσεις, το οποίο συγκροτεί τη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών. Επίσης ως αντικείµενο της έρευνας τέθηκαν η δοµή της λύσης άσκησης, οι ενέργειες λύσης µαθηµατικών ασκήσεων και οι δυνατότητες χρησιµοποίησης των ασκήσεων ως τρόπο τελειοποίησης των µαθηµατικών γνώσεων και ικανοτήτων των µαθητών. Με βάση τη συγκεντρωµένη και µελετηµένη µαθηµατική βιβλιογραφία, µε µοντελοποίηση και θεωρητικούς συλλογισµούς, διατυπώθηκε η ακόλουθη υπόθεση: Συστηµατική ένταξη ιστορικών, παραδοσιακών και διασκεδαστικών µαθηµατικών ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών και η χρήση συστηµάτων ασκήσεων (συστηµατοποίηση γνώσεων) στη βάση των οποίων βρίσκονται οι ασκήσεις 4
θεωρήµατα (ηµιθεωρήµατα), οδηγεί στη ενίσχυση του ενδιαφέροντος και στην τελειοποίηση των ικανοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις. Για την εκπλήρωση του σκοπού και για τον έλεγχο της υπόθεσης έγιναν µελέτες προς στις ακόλουθες κατευθύνσεις:. Εξετάστηκε ο χαρακτήρας, η θέση και ο ρόλος των προβληµάτων στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και στη διδασκαλία των µαθηµατικών σε ιστορικό πλάνο.. Εξετάστηκε η κατάσταση του προβλήµατος για τις ασκήσεις στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία µαθηµατικών µέσης εκπαίδευσης. 3. Έγινε ανάλυση και εκτίµηση της χρήσης ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών και στα σύγχρονα σχολικά βιβλία µαθηµατικών. 4. Με βάση την ανάλυση, εκτίµηση και τις παρατηρούµενες τάσεις για το πρόβληµα των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών, έγινε επεξεργασία µεθοδολογικής αλλαγής για περισσότερο πολύτιµη εφαρµογή των ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο. 5. Ερευνητικά έγινε έλεγχος της διδακτικής εφαρµογής των προτεινόµενων εναλλακτικών µεθόδων διδασκαλίας των ασκήσεων και των λύσης αυτών. Κατά τη λύση των προαναφερόµενων χρησιµοποιήθηκαν οι ακόλουθες µέθοδοι έρευνας: α) Παρατήρηση. β) Εξέταση των θεωρητικών πυγών, µελέτη της σχολικής βιβλιογραφίας. δ) Θεωρητικές µέθοδοι ανάλυση, σύγκριση, σύνθεση, γενίκευση. δ) Μοντελοποίηση. ε) Εξέταση για έλεγχο και προσδιορισµό ορισµένων παραδοσιακά εγκαθιδρυµένων τρόπων στη διδασκαλία των µαθηµατικών. ζ) ιδακτικές έρευνες. η) Στατιστική επεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων. Σε κάθε περίπτωση έγινε προσπάθεια τα εκπληρωµένα θεωρητικά αποτελέσµατα να επαληθεύουν πραγµατικές καταστάσεις των προς µελέτη φαινοµένων. Έγινε πολύπλευρη συζήτηση µε καθηγητές µαθηµατικών και µαθητές κάτι που ήταν σηµαντικό για τις ερευνητικές µας ενέργειες. 5
Περιεχόµενα Εισαγωγή Κεφάλαιο I. Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία 6. Η ύπαρξη των µαθηµατικών ασκήσεων και των λύσεών τους 6. οµή της λύσης µαθηµατικής άσκησης. υσκολία και πολυπλοκότητα της λύσης µαθηµατικής άσκησης 7 3. Σκοπός, διαδικασίες και ρόλος των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών 4 Κεφάλαιο II. Μαθηµατικά προβλήµατα στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά (έως τον 4ο αιώνα µ.χ.) 35. Συνοπτικές πληροφορίες για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στην Αρχαία Ελλάδα (έως των 4 ο αιώνα µ.χ.) 35. Συµβολικός τρόπος γραφής των αριθµών στην Αρχαία Ελλάδα 4 3. Σχετικά µε την εµφάνιση των σχηµάτων για τη λύση προβληµάτων 44 4. ιάσηµα µαθηµατικά προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα (έως τον 4 ο αιώνα µ.χ.) 49 4.. Μαθηµατικές ασκήσεις του Θαλή 50 4.. Πυθαγόρειο Θεώρηµα 53 4.3. Πρόβληµα του Ζήνωνα 55 4.4. Γεωµετρική απόδειξη της ταυτότητας (a + b) = a + ab + b 56 4.5. Κατασκευή των διαγωνίων και πλευρικών αριθµών 57 4.6. Προβλήµατα στα συγγράµµατα του Αρχιµήδη 59 4.7. Η Χρυσή Τοµή και µια υπόθεση για τη θέση ορισµένων αρχαιολογικών µνηµείων στην Ελλάδα 6 4.8. Προβλήµατα στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη 66 4.9. Το πρόβληµα του Απολλώνιου 70 4.0. Ο τύπος του Ήρωνα για τον υπολογισµό του εµβαδού τριγώνου 7 4.. Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του Νικόµαχου 74 4.. Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του ιόφαντου 8 4.3. Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του Ιππόλυτου 84 4.4. Προβλήµατα στα συγγράµµατα του Πάππου 85 373
4.5. Τα τρία άλυτα προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα 86 Κεφάλαιο III: Οι ασκήσεις στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 90. Παρατηρήσεις για την οργάνωση και των µεθόδων διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 90. Χαρακτηριστικά του περιεχοµένου της διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 9.. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας της γεωµετρίας στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία 9.. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας της άλγεβρας στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία 9.3. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών της τρίτης τάξης του Λυκείου Γενικής Παιδείας 93.4. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης 93 3. Τύποι µαθηµατικών ασκήσεων οι οποίες λύνονται στα σύγχρονα ελληνικά σχολεία 95 Κεφάλαιο IV. υνατότητες επέκτασης του ρόλου των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών 0. Οι ασκήσεις ως προετοιµασία για την εµπέδωση νέων µαθηµατικών εννοιών 0.. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις µε γεωµετρικές κατασκευές 0.. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις για απόδειξη 04.3. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις υπολογιστικές. Ασκήσεις για την προπαίδευση νέων µαθηµατικών εννοιών 5.. Ρίζα αριθµού 6.. Αριθµητική συνάρτηση 7.3. Ίσα τρίγωνα 7.4. Θεώρηµα Θαλή 8 3. Ιστορικές, διασκεδαστικές και παραδοσιακές ασκήσεις ως τρόπο για την 9 374
αύξηση του ενδιαφέροντος προς τη µαθηµατική επιστήµη 3.. Ιστορικές ασκήσεις 9 3.. Παραδοσιακές και διασκεδαστικές ασκήσεις 7 Κεφάλαιο V. υνατότητες ανάπτυξης και τελειοποίησης των ικανοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις 3. Προϋποθέσεις για την ανάπτυξη των ικανοτήτων για λύση µαθηµατικών ασκήσεων 3.. ιδακτικός ρόλος των θεωρηµάτων 3.. Προϋποθέσεις για τη συγκρότηση των δυνατοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις 3.3. ιδακτικά επίπεδα της λύσης µαθηµατικής άσκησης 34.4. Επαγωγική δοµή των µαθηµατικών γνώσεων θετικά και αρνητικά 35 35.5. Παράγοντες της συστηµατοποίησης των ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά 35. Συστηµατοποίηση των ορισµών και των θεωρηµάτων 37.. ιδακτικό σύστηµα ικανών συνθηκών (.Σ.Ι.Σ.) 37.. ιδακτικό σύστηµα αναγκαίων συνθηκών (.Σ.Α.Σ.) 38.3. Ο ρόλος των.σ.ι.σ. και.σ.α.σ. στη διδασκαλία των µαθηµατικών 39.4. «υνατές» και «αδύνατες» ιδιότητες των θεωρηµάτων 4.5. Συµπεράσµατα και σχόλια 4 3. Λογική δοµή του διδακτικού συστήµατος ασκήσεων 43 4. Συστηµατοποίηση των υπολογιστικών ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά 48 5. Ηµιτελείς λύσεις 55 6. Τα ηµιθεωρήµατα στα σχολικά µαθηµατικά 60 6. Προκαταρκτικές παρατηρήσεις 60 6.. Η δοµή των ηµιθεωρηµάτων 6 6.3. Η θέση των ηµιθεωρηµάτων στα σχολικά βιβλία µαθηµατικών 63 6.4 «Ισχύς της άσκησης» κριτήριο για να θεωρηθεί µια άσκηση ηµιθεώρηµα 65 65 6.5. ιδακτικά συστήµατα συνδεδεµένα µε τα ηµιθεωρήµατα 66 66 6.6. Παραδείγµατα διδακτικών συστηµάτων από ασκήσεις βασισµένα στη 67 375
ιδέα των ηµιθεωρηµάτων 7. Συµπεράσµατα και σχόλια 7 Κεφάλαιο VI. ιδακτική έρευνα 73. Βασικές ενέργειες και οργάνωση της έρευνας 73. Αποτελέσµατα και ανάλυση 75.. Έρευνα Λύση µαθηµατικών ασκήσεων 75.. Έρευνα Λύση µαθηµατικών ασκήσεων µε τη βοήθεια των ηµιθεωρηµάτων 84.3. Έρευνα 3 Πρακτική εφαρµογή των µαθηµατικών γνώσεων 89 Κεφάλαιο VII. ιδακτικές παρεµβάσεις διδακτική επεξεργασία των µαθηµατικών 94. Λάθη κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 94.. Εισαγωγή 94.. Λογικά λάθη κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 94.3. Περιπτώσεις λαθών κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 96.4. Αίτια των λαθών 00.5. Συµπεράσµατα 00. ιδακτική επεξεργασία του περιεχοµένου των µαθηµατικών 0.. Εισαγωγή 0.. Η συστηµατοποίηση των γνώσεων ως µέσο κατανόησης των µαθηµατικών εννοιών 0.3. Προετοιµασία του περιεχοµένου διδασκαλίας 0.5. Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 04.6. Οργάνωση της διδασκόµενης µαθηµατικής θεωρίας 06.7. Συµπεράσµατα 09 3. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 0 3.. Εισαγωγή 3.. Ύπαρξη των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 3.3. Μορφή των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 3.4. Βαθµολόγηση των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 4 3.5. Συµπεράσµατα 6 376
4. Το µάθηµα των µαθηµατικών στο σχολείο 7 4.. Εισαγωγή 7 4..Βασικές ενέργειες κατά τη διεξαγωγή του µαθήµατος των µαθηµατικών στο σχολείο 7 4.3. Μελλοντικές τάσεις για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σχολείο 4.4. Συµπεράσµατα 7 5. Η εσωτερική σχέση των µαθηµατικών γνώσεων 8 5.. Εισαγωγή 8 5.. Η σχέση των µαθηµατικών γνώσεων µεταξύ τους και µε άλλες επιστήµες 8 5.3. Εφαρµογή των τριγωνοµετρικών γνώσεων στην άλγεβρα 9 5.4. Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 3 5.5. Συµπεράσµατα 3 6. Επίλυση ασκήσεων µε την βοήθεια της συστηµατοποίησης των µαθηµατικών γνώσεων 3 6.. Εισαγωγή 3 6.. Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο 3 6.3. Προσδιορισµός τύπου τριγώνου 34 6.4. Επιπρόσθετες κατασκευές 37 6.5. Συστηµατοποίηση των γεωµετρικών γνώσεων σχετικών µε τα τρίγωνα, τις παράλληλες και κάθετες ευθείες 39 6.6. Συµπεράσµατα 4 7. Ακραίες ασκήσεις υπολογισµού εµβαδού 4 8. Ακραίες ασκήσεις ανισοτήτων 45 0. Η µορφή, η θέση και ο ρόλος των σχολικών βοηθηµάτων κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 9. Πολυωνυµικές ανισώσεις ένα θεώρηµα 49 9.. Θεώρηµα 49 9.. Παρατήρηση 5 9.3. Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 5 0.. Εισαγωγή 5 0.. Σχολικά βοηθήµατα λύσης µαθηµατικών ασκήσεων 53 0.3. ιδακτικές παρατηρήσεις 55 0.4. Συµπεράσµατα 58 377
. ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων εµπέδωσης της έννοια παράγωγος συνάρτησης 59.. Ιστορική αναδροµή της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 59.. Γεωµετρική ερµηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 6.3. Εφαρµογή της παραγώγου συνάρτησης 6.4.Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 64. ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων συνδυαστικής θεωρίας 65.. Εισαγωγή 65.. Η συνδυαστική θεωρία κατά την αρχαιότητα 66.3. Βασικά στοιχεία συνδυαστικής θεωρίας 67.4. Ασκήσεις συνδυαστικής 69 3. ιδακτική επεξεργασία της αριθµητικής και της γεωµετρικής πρόοδος 73 3..Αριθµητική πρόοδος 73 3... Ασκήσεις λυµένες στην αριθµητική πρόοδο 73 3... Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση στην αριθµητική πρόοδο 75 3..Γεωµετρική πρόοδος 76 3... Ασκήσεις λυµένες στη γεωµετρική πρόοδο 76 3... Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση στη γεωµετρική πρόοδο 80 4. ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων µαθηµατικής επαγωγής 8 4.. Εισαγωγή 8 4.. Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής 8 4.3. Ασκήσεις λυµένες µε τη βοήθεια της µαθηµατικής επαγωγής 84 4.4. Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 88 5. ιασκεδαστικές µαθηµατικές ασκήσεις 90 5. Εισαγωγή. 90 5.. Η πορεία των προβλήµατα πρακτικής αριθµητικής στο χρόνο 9 5.3. Ορισµένες ασκήσεις 9 5.4. Προτεινόµενες λύσεις 93 6. Υπολογισµοί µνήµης διδακτική προσέγγιση 94 6.. Εισαγωγή 94 6.. Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού γινοµένου 94 6... Γινόµενο διψήφιων αριθµών των οποίων τα ψηφία των δεκάδων είναι ο αριθµός 94 378
6... Γινόµενο δυο ίδιων διψήφιων αριθµών, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του 5 95 6..4. Γινόµενο αριθµών των οποίων όλα τα ψηφία είναι 96 6..5. Γινόµενο αριθµών των οποίων όλα τα ψηφία είναι 9 και οι δυο αριθµοί έχουν τον ίδιο αριθµό ψηφίων 96 6.3. Μνηµονικοί κανόνες διαίρεσης 97 6.3.. Κριτήρια διαιρετότητας 97 6.3.. ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε το 5, 0,5, 0,05, 0,005, 98 6.3.3. ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε 5, 0,5, 0,05, 0,005, 99 6.3.4. ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε και 0, 99 6.4. Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού διαφόρων γινοµένων και πηλίκων 300 6.4.. Χρησιµοποίηση της διαφοράς τετραγώνου κατά τις αριθµητικής πράξεις 300 6.4.. Άθροισµα φυσικών αριθµών 300 6.4.3. Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού δύσκολων ασκήσεων 300 6.4.4. Γινόµενο τριψήφιων αριθµών των οποίων το ψηφίο των εκατοντάδων είναι 30 6.4.5. Γινόµενο τετραψήφιων αριθµών των οποίων το ψηφίο των χιλιάδων είναι 30 7. Χρήση απλών υπολογιστικών εφαρµογών στη διδασκαλία των µαθηµατικών 30 7.. Εισαγωγή 30 7.. ηµιουργία ενδιαφέροντος για λύση µαθηµατικών ασκήσεων σύγχρονες τάσεις 30 7.3. Η χρήση απλού λογισµικού ηλεκτρονικών υπολογιστών στη διδασκαλία των µαθηµατικών 304 7.4. Υλοποίηση διδακτικού προγράµµατος 305 7.5. ιδακτικές παρατηρήσεις 309 7.6. Η βοήθεια των µαθηµατικών στη διδασκαλία βασικών εννοιών του λογιστικού φύλλου MS-Excel 3 7.6.. Εισαγωγή 3 7.6.. εισαγωγή των λογικών πράξεων στο MS-Excel µε τη βοήθεια 3 379
µαθηµατικών ασκήσεων 7.6.3. Πορεία µαθήµατος 3 7.6.4. Συµπεράσµατα 39 8. ιδακτική αξιοποίηση µαθηµατικών µοντέλων 30 8.. Μαθηµατική µοντελοποίηση 30 8.. Εσωτερική µαθηµατική µοντελοποίηση 3 8.3. Εξωτερική µαθηµατική µοντελοποίηση 34 8.4. Συµπεράσµατα 38 9. ιδακτική τεχνολογία των µαθηµατικών 38 9.. Εισαγωγή 38 9.. ιδακτική τεχνολογία για την εισαγωγή µαθηµατικών όρων 39 9.3. ιδακτική τεχνολογία για την εγκαθίδρυση και εµπέδωση µαθηµατικών ιδιοτήτων. 39 9.4. ιδακτική τεχνολογία για την διάπλαση των ικανοτήτων για εφαρµογή των γνώσεων κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 33 9.5. ιδακτική τεχνολογία για την εισαγωγή και εκµάθηση µαθηµατικών εννοιών 33 9.6. ιδακτική τεχνολογία για την απόδειξη και εφαρµογή των θεωρηµάτων 333 9.7. ιδακτική τεχνολογία για την διάπλαση των ικανοτήτων για λύση µαθηµατικών ασκήσεων 334 Παράρτηµα. Ορισµένα ηµιθεωρήµατα και ασκήσεις που λύνονται µε τη βοήθειά τους 339 Παράρτηµα. Ασκήσεις για τη κατανόηση και σταθεροποίηση των µεθόδων λύσης ασκήσεων γεωµετρικής κατασκευής, υπολογιστικές και απόδειξης διδασκόµενες στο σχολείο 344 Παράρτηµα 3. Ιστορικές, παραδοσιακές και διασκεδαστικές ασκήσεις 35 Παράρτηµα 4. Έρευνα : Λύση µαθηµατικών ασκήσεων 353 Παράρτηµα 5. Έρευνα : Λύση µαθηµατικών ασκήσεων µε 355 380
τη βοήθεια των ηµιθεωρηµάτων Παράρτηµα 6. Έρευνα 3: Πρακτική εφαρµογή των µαθηµατικών γνώσεων 357 Παράρτηµα 7. Αρχαίοι έλληνες µαθηµατικοί (από τον 7ο αιώνα π.χ. έως και τον 9ο µ.χ.) 359 Συµπεράσµατα 36 Πορίσµατα 365 Βιβλιογραφία 367 38
Κεφάλαιο I Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία. Η ύπαρξη των µαθηµατικών ασκήσεων και των λύσεών τους Μια από τις βασικότερες και δυσκολότερες στιγµές στη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι η λύση µαθηµατικών ασκήσεων. Υπάρχουν αρκετές έρευνες και αρκετοί συγγραφείς οι οποίοι υποστηρίζουν ότι οι όροι «ερώτηση», «άσκηση» και «πρόβληµα» είναι συνώνυµες. Την άποψη αυτή δεν υιοθετούν οι έλληνες µαθηµατικοί Θ. Εξαρχάκος [45] και Σ. Καλοµητσίνης [46]. Στα συγγράµµατά τους υποστηρίζουν, ότι οι όροι «άσκηση» και «πρόβληµα» είναι διαφορετικοί, και χρησιµοποιούν κατά πολύ τον όρο «πρόβληµα», όπως και στην Αρχαία Ελλάδα. Ο Βούλγαρος µαθηµατικός Ivan Gantsev, στο µοντέλο του για την έννοια «άσκηση» περιεργάζεται κάθε µαθηµατική άσκηση σαν συνέπεια εκφράσεων µε τη βοήθεια των οποίων δηµιουργείται υποσύνολο του συνόλου των µαθηµατικών αντικειµένων, τα οποία επαληθεύουν συγκεκριµένες συνθήκες[5]. Κοντά στο µοντέλο αυτό είναι και το µοντέλο του Vishin, το οποίο παρατίθεται στο [4]. Στο µοντέλο αυτό άµεσα χρησιµοποιείται η έννοια «σχέση» Για το λόγο αυτό στο [9] ο ρώσος µαθηµατικός Koliagin εύλογα αναφέρεται στο µοντέλο Gantsev Vishin για την έννοια µαθηµατική άσκηση. Κατά τον [46] «Στα µαθηµατικά άσκηση είναι κάθε έκφραση η οποία απαιτεί να βρεθούν αρκετά στοιχεία µε τη βοήθεια κάποιων άλλων». Η µαθηµατική άσκηση είναι συνέχεια από εκφράσεις µε τις οποίες δηµιουργείται ένα σύνολο R M (М είναι το σύνολο των µαθηµατικών αντικειµένων) και απαιτεί:. Το R να αποδοθεί κατασκευαστικά, αν είναι πεπερασµένο.. Να δειχτεί, ότι το R ταυτίζεται µε σύνολο το οποίο θεωρείται γνωστό ή µε σύνολο το οποίο είναι µε διαφορετικό τρόπο δοσµένο. 6
3. Να δειχτεί, ότι τα στοιχεία του R µπορούν να ληφθούν µε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων εφαρµογών ορισµένων κατασκευών µε χαρακτηριστικά κατασκευαστικά µέσα. Για να φτάσουµε στο επιθυµητό R, συνήθως λαµβάνονται διάφορα άλλα σύνολα, τα οποία εντέλει δίνουν τη δυνατότητα να βρεθεί το σύνολο R. Η διαδοχικότητα εµφάνισης αυτών των διαφορετικών συνόλων, έως ότου φτάσουµε στο επιθυµητό σύνολο R, λέγεται λύση της µαθηµατικής άσκησης ενώ η ενέργεια, µε την οποία ανακαλύπτεται η λύση της άσκησης λύσιµο της µαθηµατικής άσκησης. Το µέρος του κειµένου της άσκησης, µε το οποίο δίνεται άµεσα το σύνολο R (και πιθανότατα το σύνολο М), λέγεται εκφώνηση της µαθηµατικής άσκησης.. Το µέρος του κειµένου της άσκησης, στο οποίο φανερώνεται το ζητούµενο σύνολο R, λέγεται συµπέρασµα της µαθηµατικής άσκησης. Μια µαθηµατική άσκηση µπορεί να µην έχει λύση ή να έχει πεπερασµένο αριθµό λύσεων. Αυτό εξαρτάτε και από το σύνολο М. Βάση της λύσης µιας άσκησης λέγεται το σύνολο των γεγονότων τα οποία προσδιορίζουν το σύστηµα λύσεων (αξιώµατα, ορισµοί ή θεωρήµατα). Κατά τον έλληνα µαθηµατικό Θ. Εξαρχάκο, υπάρχουν τρία είδη µαθηµατικών ασκήσεων (προβληµάτων): για απόδειξη, για κατασκευή και για την εύρεση άγνωστων στοιχείων (ή µε άλλα λόγια προβλήµατα εύρεσης). Η ταξινόµηση των διαφόρων τύπων µαθηµατικών ασκήσεων που προτείνει ο Vishin στα συγγράµµατά του διαφέρει απ αυτή του Εξαρχάκου. Συγκεκριµένα οι ασκήσεις κατά τον Vishin διαιρούνται σε: ασκήσεις απόδειξης, ασκήσεις κατασκευών και υπολογιστικές ασκήσεις. Υιοθετείται κατά κάποιον τρόπο η ταξινόµηση των µαθηµατικών ασκήσεων που προτείνει ο Vishin µε τη διαφορά ότι στις ασκήσεις απόδειξης συµπεριλαµβάνονται και οι ασκήσεις εύρεσης.. Κατασκευαστικές ασκήσεις. Είναι οι ασκήσεις όπου τα στοιχεία του συνόλου R είναι γεωµετρικά σχήµατα και ζητείται αυτά να λαµβάνονται µε πεπερασµένο αριθµό εφαρµογής βασικών γεωµετρικών κατασκευών η οποίες υλοποιούνται µε τη βοήθεια προκαθορισµένων, από την εκφώνηση της µαθηµατικής άσκησης, σχεδιαστικών µέσων. Οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής λέγονται και κατασκευαστικά προβλήµατα Στην εκπαίδευση τα κατασκευαστικά µέσα διαφέρουν ανάλογα µε την τάξη του σχολείου. 7
Οι κατασκευαστικές ασκήσεις στη σχολική γεωµετρία λύνονται συνήθως µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη. Στην εκφώνηση της άσκησης τις περισσότερες φορές δεν αναφέρονται τα απαιτούµενα σχεδιαστικά µέσα, αλλά αυτά θεωρούνται αυτονόητα. Υπάρχουν όµως και κατασκευαστικές ασκήσεις στις οποίες είναι φανερή η απαίτηση η κατασκευή και κατά συνέπεια η λύση της άσκησης, να ολοκληρωθεί µε άλλα µέσα. Τα σχεδιαστικά αυτά µέσα µπορεί να είναι για παράδειγµα τα ακόλουθα: µόνο χάρακας, µόνο διαβήτης, µοιρογνωµόνιο, αριθµηµένο ορθογώνιο τρίγωνο κ.τ.λ. Η λύση της κατασκευαστικής άσκησης µε τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη είναι γνωστή µε το όνοµα «Ευκλείδεια κατασκευή» και αυτό γιατί στα χρόνια του Ευκλείδη οι ασκήσεις (προβλήµατα) γεωµετρικής κατασκευής θεωρούνταν λυµένες µόνο αν αυτό γίνει µε τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη. Φυσικά γεννιέται η ερώτηση: «Γιατί µόνο µε χάρακα και διαβήτη και όχι µε άλλα µέσα;» Η απάντηση βρίσκεται πιθανότατα στο γεγονός ότι οι αρχαίοι έλληνες θεωρούσαν την ευθεία και τον κύκλο ως βασικά γεωµετρικά σχήµατα. Ένα πρόβληµα γεωµετρικής κατασκευής λύνεται µε χάρακα και διαβήτη όταν το ζητούµενο σχήµα µπορεί να κατασκευαστεί µε κάποιο από τους ακόλουθους πέντε κανόνες:. Κατασκευή ευθείας διερχόµενης από δυο γνωστά σηµεία.. Εύρεση του κοινού σηµείου δυο γνωστών ευθειών. 3. Κατασκευή κύκλου (ή τόξου κύκλου) γνωστού κέντρου και γνωστής ακτίνας. 4. Εύρεση των κοινών σηµείων γνωστής ευθείας και γνωστού κύκλου. 5. Εύρεση των κοινών σηµείων δυο γνωστών κύκλων. Όταν λέµε ότι ένα σηµείο (ή ευθεία ή κύκλος) είναι γνωστό εννοούµε ότι αυτό είναι δοσµένο στην εκφώνηση του προβλήµατος ή επιλέγεται τυχαία ή έχει οριστεί από κάποια άλλη κατασκευή. Οι προαναφερόµενες πέντε γεωµετρικές κατασκευές ορίζουν το χάρακα και το διαβήτη, µε τα οποία δύναται να κατασκευαστούν ευθείες και κύκλοι. Οι κατασκευαστικές ασκήσεις µε χάρακα και διαβήτη λέγονται και ασκήσεις για κατασκευή δεύτερης δύναµης, επειδή και την αλγεβρική τους λύση, οδηγούνται στη λύση πεπερασµένου αριθµού εξισώσεων δύναµης όχι µεγαλύτερης του δυο. Αν το ζητούµενο σχήµα που πρέπει να κατασκευαστεί σε µια άσκηση δεν µπορεί να ληφθεί µε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων των προαναφερόµενων πέντε βασικών γεωµετρικών κατασκευών, τότε η άσκηση αυτή λέγεται άλυτη µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη. Για παράδειγµα άλυτες είναι τα τρία, γνωστά από την 8
Αρχαία Ελλάδα, προβλήµατα τα οποία παραθέτονται στο Κεφάλαιο ΙΙΙ. Άλυτη είναι επίσης και η ακόλουθη άσκηση: «Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν είναι γνωστές οι τρεις εσωτερικές του διχοτόµοι». Από το σύνολο όλων των λυµένων κατασκευαστικών ασκήσεων µπορούν να διακριθούν κάποιες οι οποίες είναι βασικές, δηλαδή αποτελούν ασκήσεις τµήµατα άλλων ασκήσεων γεωµετρικής κατασκευής µε δυσκολότερη λύση (κατασκευή). Τέτοιες βασικές ασκήσεις, για παράδειγµα, είναι οι ακόλουθες: «Να κατασκευαστεί η µεσοκάθετη δοσµένου ευθύγραµµου τµήµατος» «Να κατασκευαστεί κάθετη ευθεία σε δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα από δεδοµένο σηµείο» «Να κατασκευαστεί η διχοτόµος δεδοµένης γωνίας» «Να κατασκευαστεί εφαπτόµενη ευθεία σε δεδοµένο κύκλο από δεδοµένο σηµείο» Η έτοιµη χρήση των αποτελεσµάτων των λύσεων αυτών των ασκήσεων µειώνει αισθητά τους συλλογισµούς κατά τη λύση άλλων κατασκευαστικών ασκήσεων. Στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών η λύση κατασκευαστικών ασκήσεων αποτελείται από τέσσερα µέρη: α) Ανάλυση όπου υποτίθεται ότι υπάρχει σχήµα το οποίο επαληθεύει τα δεδοµένα του προβλήµατος, δηλαδή υποθέτουµε ότι το πρόβληµα έχει λυθεί (πάντα µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη). Εν συνεχεία βρίσκονται οι σχέσεις µεταξύ δεδοµένων και ζητούµενων στοιχείων. Οι σχέσεις αυτές πρέπει να είναι τόσες στον αριθµό όσες είναι απαραίτητες για να µπορέσει να πραγµατοποιηθεί η γεωµετρική κατασκευή. β) Σύνθεση όπου γίνεται η αντίστροφη διαδικασία από την ανάλυση και µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη κατασκευάζονται, ακριβώς και µε ακριβή σειρά, όλα τα µέρη του ζητούµενου σχήµατος, ώστε στο τέλος να κατασκευαστεί το σχήµα. γ) Απόδειξη όπου µε σύνθετο τρόπο αποδεικνύεται ότι το κατασκευασµένο σχήµα επαληθεύει τα δεδοµένα του προβλήµατος. δ) ιερεύνηση είναι το τελευταίο µέρος της λύσης ενός προβλήµατος γεωµετρικής κατασκευής ελέγχει τα µέρη της ανάλυσης και της σύνθεσης και έχει σκοπό να αποδείξει αν η κατασκευή είναι δυνατή ή όχι. Στην περίπτωση που η κατασκευή είναι δυνατή βρίσκεται ο αριθµός των διαφορετικών λύσεων οι οποίες επαληθεύουν τα δεδοµένα του προβλήµατος. Στην περίπτωση που η άσκηση έχει λύση ανακαλύπτονται οι διαφορετικές λύσεις της, οι οποίες επαληθεύουν την εκφώνηση της άσκησης, δηλαδή 9
ανακαλύπτονται διαφορετικοί εκπρόσωποι της κλάσης ισοδυναµίας, προσδιορισµένες από την εκφώνηση της άσκησης. Στην διδακτική πράξη κατά τη λύση ασκήσεων απλών γεωµετρικών κατασκευών, συνήθως χρησιµοποιείται µόνο το δεύτερο και το τρίτο βήµα («σύνθεση απόδειξη»). Για τον τρόπο λύσης των ασκήσεων γεωµετρικών κατασκευών, δύναται να γίνει η ακόλουθη παρατήρηση: στη σχολική διδασκαλία των µαθηµατικών, τα προβλήµατα γεωµετρικής κατασκευής εκπαιδεύουν και διαπαιδαγωγούν τους µαθητές, αναπτύσσουν τη σκέψη και βοηθούν στην εξακρίβωση του γνωστικού επιπέδου τους. Για το λόγο αυτό αρµόζουν ιδιαίτερης προσοχής και µετά από κάποια αλλαγή, η ένταξή τους στα σύγχρονα διδακτικά προγράµµατα µαθηµατικών είναι απαραίτητη. Η αλλαγή αυτή αφορά τα τέσσερα βασικά στάδια για τη λύση προβληµάτων γεωµετρικής κατασκευής που διατυπώθηκαν προηγουµένως (Ανάλυση, Σύνθεση, Απόδειξη και ιερεύνηση). Συγκεκριµένα, κάθε περίπτωση της διερεύνησης απαιτεί απόδειξη. Γι αυτό η διερεύνηση πρέπει να γίνεται πριν την απόδειξη ή µαζί µ αυτή, έτσι ώστε να καλύπτονται όλες οι περιπτώσεις. Η διαδικασία επίλυσης των προβληµάτων γεωµετρικής κατασκευής µε τη συγχώνευση του τρίτου και τέταρτου σταδίου ( ιερεύνηση Απόδειξη) είναι πιο απλή και εποµένως πιο προσιτή στους µαθητές. Ο προβληµατισµός αυτός αναπτύχθηκε και στο 7 ο Συνέδριο της Βουλγάρικης Μαθηµατικής Εταιρείας [9]. Η προτεινόµενη µέθοδο θα παρουσιαστεί µε το ακόλουθο παράδειγµα: Άσκηση. Έστω κύκλος k (О, r) και σηµείο C εκτός αυτού. Να κατασκευαστεί η εφαπτόµενη του κ, διερχόµενη από το σηµείο C. Λύση k O A M k' C A' Σχήµα 0
α) Ανάλυση: Υποθέτουµε ότι CA είναι η εφαπτόµενη του k από το σηµείο C και C το σηµείο επαφής (Σχήµα ). Κατασκευάζεται ακτίνα ΟΑ. Αφού ΟΑ είναι κάθετη στο ΑC, τότε το τρίγωνο ΑΟC είναι ορθογώνιο µε Αˆ =90. Τα σηµεία Ο, C µπορούν να προσδιοριστούν, αφού το ΟC µπορεί να κατασκευαστεί. Για να κατασκευαστεί η εφαπτόµενη CA αρκεί να κατασκευαστεί σηµείο Α. Το σηµείο А k, αλλά και А k'(м; МС = Εποµένως το σηµείο А k k'. OC ). β) Σύνθεση: i) Με διάµετρο ΟC και κέντρο Μ κατασκευάζουµε κύκλο k'(m; MC = OC ). ii) Ο κύκλος k τέµνει τον k στα σηµεία Α και Α, δηλαδή k k' = {A, A'}. iii) Κατασκευάζουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα CΑ και CΑ. Θα αποδειχτεί ότι CΑ και CΑ είναι εφαπτόµενες στον κύκλο k αντίστοιχα στα σηµεία Α και Α. γ) ιερεύνηση Απόδειξη: Το πρόβληµα αυτό έχει δυο λύσεις, διότι οι κύκλοι k, k τέµνονται στα σηµεία Α, Α, αφού ο k διέρχεται από το εσωτερικό σηµείο Ο και από το εξωτερικό σηµείο C του k. Έτσι έχουµε ότι οι γωνίες OAC και ΟΑ C είναι ορθές, διότι είναι εγγεγραµµένες στον κύκλο k και βαίνουν σε ηµικύκλιο. Τότε ΟΑ και ΟΑ είναι κάθετες στα CΑ και CΑ αντίστοιχα. Άρα CΑ και CΑ είναι εφαπτόµενες στον κύκλο k από το σηµείο C προς τα Α και Α αντίστοιχα. Κατά το Vishin οι κατασκευαστικές ασκήσεις µπορούν να διαιρεθούν σε δυο οµάδες. Τις ορισµένες και τις απροσδιόριστες. α) Ορισµένες είναι οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής στις οποίες ο αριθµός των δεδοµένων είναι ίσος µε τον αριθµό των ζητούµενων τα οποία προσδιορίζουν του ζητούµενο γεωµετρικό στοιχείο (σηµείο, ευθεία κ.τ.λ.) ή το ζητούµενο γεωµετρικό σχήµα. Τέτοια είναι η ακόλουθη άσκηση: Άσκηση. Να κατασκευαστεί κύκλος δεδοµένης ακτίνας, ο οποίος να διέρχεται από γνωστό σηµείο και να εφάπτεται σε γνωστό κύκλο. β) Απροσδιόριστες είναι οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής στις οποίες ο αριθµός των δεδοµένων είναι µικρότερος από τον αριθµό των ζητούµενων τα οποία προσδιορίζουν του ζητούµενο γεωµετρικό στοιχείο ή το ζητούµενο γεωµετρικό
σχήµα. Κατά τη λύση τέτοιων ασκήσεων αρχικά πρέπει να προσδιοριστούν κάποια από τα δεδοµένα στοιχεία (για παράδειγµα γωνία, ευθύγραµµο τµήµα κ.τ.λ.). Αυτό σηµαίνει, ότι από την απροσδιόριστη άσκηση µεταβαίνουµε στην προσδιορισµένη. Η ενέργεια αυτή λέγεται εντοπισµός της απροσδιόριστης άσκησης. Η ίδια απροσδιόριστη άσκηση γεωµετρικής κατασκευής µπορεί να εντοπιστεί µε διαφορετικούς τρόπους. Απροσδιόριστη άσκηση γεωµετρικής κατασκευής είναι η ακόλουθη: Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί τρίγωνο АВС γνωστών διαµέσων m a, m c και ύψους h b.. Υπολογιστικές ασκήσεις. Είναι οι ασκήσεις στις οποίες τα σύνολα R και М είναι αριθµητικά και το σύνολο М συνήθως δεν δίνεται άµεσα, αλλά είναι κατανοητό. Κατά τη λύση υπολογιστικών ασκήσεων επίσης µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος «ανάλυση σύνθεση» που προαναφέρθηκε στις κατασκευαστικές ασκήσεις. Και εδώ επίσης δύναται να ειπωθεί, ότι η άσκηση είναι λυµένη και µετά να οριστούν οι διάφορες σχέσεις µεταξύ των γνωστών και των αγνώστων στοιχείων. Εν συνεχεία, κατά τη σύνθεση, µε τη βοήθεια των ορισµών των µαθηµατικών εννοιών, των θεωρηµάτων για αυτές τις έννοιες και των αξιωµάτων και µε αυστηρά καθορισµένη σειρά, εκτελούνται συλλογισµοί µε φορά αντίθετη της ανάλυσης, µε τη χρήση µόνο αληθών (και όχι υποθετικά αληθών) συλλογισµών, έως ότου φτάσουµε στη λύση της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης. Μπορεί να ειπωθεί, ότι η µέθοδος «ανάλυση σύνθεση» για τη λύση υπολογιστικών ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν φαίνεται σε άµεσα. εν είναι αρκετά φανερή η σχέση µεταξύ της εφαρµογής της µεθόδου αυτής στους δυο τύπους ασκήσεων κατασκευαστικών και υπολογιστικών. Θεωρείται ότι αν η µέθοδος αυτή δειχτεί στους µαθητές θα δηµιουργηθούν οι προϋποθέσεις αυτοί να ανακαλύψουν την οµοιότητα των τρόπων λύσης των διαφόρων τύπων µαθηµατικών ασκήσεων. Συνέπεια αυτού είναι το ότι οι µαθητές ευκολότερα και γρηγορότερα θα προσανατολίζονται προς τη λύση δεδοµένης άσκησης. 3. Ασκήσεις απόδειξης. Αυτές είναι οι ασκήσεις στις οποίες τα στοιχεία του συνόλου R είναι δεδοµένα προκαταβολικά και το µόνο που ζητείται είναι να αποδειχτεί ότι επαληθεύουν την αντίστοιχη εκφώνηση. Και σ αυτές τις ασκήσεις χρησιµοποιούνται τρία επίπεδα κατά τη λύση τους και συγκεκριµένα ανάλυση, σύνθεση και απόδειξη διερεύνηση. Ο σκοπός ορισµένων ασκήσεων απόδειξης είναι
η διαπίστωση, µε τη βοήθεια λογικών συλλογισµών, ότι κάποιοι ισχυρισµοί είναι αληθείς ή όχι αληθείς (ψευδείς). Παράδειγµα άσκησης απόδειξης είναι η ακόλουθη: Άσκηση 4. Να δειχτεί, ότι για κάθε х - και για κάθε n N ισχύει η ανισότητα: ( + х) n + nx. Λύση ) Ελέγχεται αν η ανισότητα ισχύει για n = : ( + x) = + x, το οποίο αληθεύει. ) Υποθέτουµε, ότι η ανισότητα ισχύει για n = k : ( + х) k + kx. 3) Θα αποδειχτεί, ότι η ανισότητα ισχύει n = k + :( + х) k+ + (k + )x. Απόδειξη Ισχύει, ότι: ( + х) k + kx и + x > 0. Άρα ( + х) k+ ( + kx)( + x) ( + х) k+ + x + kx + kx ( + х) k+ + (k + )x + kx +(k + )x. Μέρος των ασκήσεων απόδειξης είναι και οι ασκήσεις στις οποίες πρέπει να δειχτεί, ότι υπάρχει κάποια σχέση ή κάποιος αριθµός. Αυτό το οποίο διαφοροποιεί τα δυο είδη µαθηµατικών ασκήσεων είναι, ότι κατά τις ασκήσεις ύπαρξης δίνεται µέρος του συστήµατος λύσεων, σε διαφορά µε τις ασκήσεις απόδειξης όπου δίνεται εις το ακέραιο το σύστηµα λύσεων. Για παράδειγµα: Άσκηση 5. Έστω x R. Να δειχτεί, ότι υπάρχει τιµή του x, για την οποία η 4 4 x 8 αλγεβρική έκφραση А = x παίρνει θετικές τιµές. x + Υπό τον όρο «αφηγητικές ασκήσεις» εννοούνται οι αριθµητικές, αλγεβρικές ή γεωµετρικές µαθηµατικές ασκήσεις οι οποίες διατυπώνονται όχι µόνο µε τη χρήση µαθηµατικών συµβόλων και εννοιών. Για παράδειγµα: Άσκηση 6. Ο πρώτος, ο τέταρτος και ο 3 ος όρος όρος αριθµητικής προόδου αποτελούν γεωµετρική πρόοδο. Να βρεθούν οι δεκατρείς πρώτοι όροι της αριθµητικής προόδου, αν ο 6 ος είναι ο 3. Οι ασκήσεις αφήγησης δεν πρέπει να λαµβάνονται σαν ξεχωριστός τύπος ασκήσεων. Είναι και αυτές ασκήσεις που ανήκουν σε ένα από τους τρεις τύπους κατασκευαστικές, απόδειξης ή υπολογιστικές, αλλά στη διατύπωσή τους χρησιµοποιούνται όχι µόνο µαθηµατικές έννοιες, µε την αντίστοιχη ορολογία και τους κατάλληλους συµβολισµούς. ύναται να διακριθούν δυο είδη αφηγητικών ασκήσεων: 3
Ι. Αφηγητικές (µαθηµατικές) ασκήσεις οι οποίες αναφέρονται σε µαθηµατικά αντικείµενα (έννοιες) αλλά εκτός της ορολογία και τους συµβολισµούς των µαθηµατικών εννοιών, περιέχουν και λέξεις. Τέτοιες είναι για παράδειγµα οι ασκήσεις γεωµετρικών κατασκευών. Παραδείγµατα: Άσκηση 7. Να βρεθεί αριθµός, η διαφορά του οποίου µε τον αριθµό 3 να είναι ίση µε το γινόµενό του µε το 3. Άσκηση 8. Να βρεθούν δυο αριθµοί αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισµα 40 και ο ένας αριθµός είναι 7 φορές τον άλλο. ΙΙ. Αφηγητικές (µαθηµατικές) ασκήσεις στις οποίες τα θέµατα είναι παρµένα από την πραγµατικότητα ή από άλλες θεωρητικές επιστήµες. Στις ασκήσεις αυτές πρέπει αρχικά να συνταχθεί η µαθηµατική άσκηση, εν συνεχείς να λυθεί η αντίστοιχη, µαθηµατική πλέον, άσκηση και τέλος να γίνει ο έλεγχος ορθότητας των αποτελεσµάτων της δεδοµένης αφηγητικής άσκησης. ιαφορετικά λέγεται, ότι για να λυθεί µια αφηγητική (µαθηµατική) άσκηση, πρέπει να δηµιουργηθεί και να λυθεί η αντίστοιχη µαθηµατική άσκηση, ο οποία λέγεται µαθηµατικό µοντέλο, ενώ η όλη ενέργεια λέγεται µαθηµατική µοντελοποίηση. Στη διδασκαλία υπό τον όρο µοντελοποίηση εννοείται η γνωστική µέθοδο κατά την οποία, καλά αναπτυγµένες και γνωστές έννοιες από ένα τοµέα, αντιπαραθέτονται µε µη αναπτυγµένες και άγνωστες έννοιες από κάποιο άλλο τοµέα. Οι πρώτες έννοιες χρησιµοποιούνται ως ισχυρό µέσο για την επεξήγηση και ανάπτυξη των δεύτερων. Οι γνώσεις οι οποίες χρησιµοποιούνται για τη µελέτη και επεξήγηση άλλων γνώσεων λέγονται µοντέλα, ενώ οι προς µελέτη γνώσεις λέγονται πρωτότυπες. Πρέπει να τονιστεί ότι το µοντέλο περιέχει µόνο µέρος από τις ιδιότητες του πρωτοτύπου, αλλά οι ιδιότητες αυτές είναι αρκετές για να προσδιοριστούν νέες ιδιότητες και νέα χαρακτηριστικά του πρωτοτύπου. Όταν το µοντέλο αποτελείται από µαθηµατικές σχέσεις, ονοµάζεται µαθηµατικό µοντέλο, ενώ η διαδικασία µε την οποία οδηγούµαστε στο µοντέλο αυτό λέγεται µαθηµατική µοντελοποίηση (ή µαθηµατικός προπλασµός). Για την µαθηµατική µοντελοποίηση διακρίνουµε τα ακόλουθα τέσσερα στάδια: α. Μελέτη του πρωτοτύπου και εν συνεχεία καθορισµός των χαρακτηριστικών, των σχέσεων και των παραµέτρων, τα οποία το προσδιορίζουν. β. ηµιουργία του µαθηµατικού µοντέλου. Στο βήµα αυτό «µεταφράζεται» η άσκηση στη µαθηµατική γλώσσα. γ. Λύση της δηµιουργηµένης µαθηµατικής άσκησης. 4
δ. Εκτίµηση της λαµβανόµενης λύσης. Το στάδιο αυτό διαιρείται σε δυο µέρη: δ.. Έλεγχος της σχέσης µεταξύ του λαµβανόµενου αποτελέσµατος και του µαθηµατικού µοντέλου. δ.. Έλεγχος της σχέσης µεταξύ της λαµβανόµενης µαθηµατικής λύσης και του πρωτοτύπου Τα τέσσερα αυτά στάδια δίνουν τη δυνατότητα να εισαχθούν ορισµένες µεταβολές και διευκρινίσεις του µαθηµατικού µοντέλου και έτσι να εξηγηθούν και να εµπεδωθούν καλύτερα. Η χρησιµοποίηση µαθηµατικού µοντέλου δίνει τη δυνατότητα να λυθούν ευκολότερα και επιτυχώς ασκήσεις πρακτικής αριθµητικής ή ακόµη και ορισµένες ασκήσεις φυσικής. Στις περιπτώσεις αυτές συνήθως χρησιµοποιείται η λύση πρωτοβάθµιων ή δευτεροβάθµιων εξισώσεων ή ανισώσεων. Συγκεκριµένα η λαµβανόµενη εξίσωση (ή ανίσωση ή σύστηµα), είναι το µοντέλο της άσκησης, ενώ η λύση αποτελεί το πρωτότυπο. Παραδειγµατικά λύνονται δυο πρακτικές ασκήσεις µε τη χρήση µαθηµατικού µοντέλου Άσκηση 9. Σε διαγώνισµα µε 0 ερωτήσεις για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής λαµβάνει 5 µονάδες, ενώ για κάθε λανθασµένη ή αναπάντητη ερώτηση χάνει 3 µονάδες. Ο µαθητής ολοκλήρωσε το διαγώνισµα και συγκέντρωσε 6 µονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε; Λύση. Έστω µε х να συµβολιστούν οι σωστές απαντήσεις. Τότε οι λανθασµένες (ή οι αναπάντητες) θα είναι 0 x. Οι µονάδες που ο µαθητής έλαβε είναι 5х, ενώ εκείνες που έχασε θα είναι 3(0 x).. Τότε το µαθηµατικό µοντέλο της άσκησης είναι η ακόλουθη πρωτοβάθµια εξίσωση: 5x 3(0 x) = 6. 3. Η προαναφερόµενη εξίσωση λύνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 5х 3(0 x) = 6 5х 30 + 3х = 6 5х + 3х = 6 + 30 56 8х = 56 х = х = 7. 8 4. Θα ελεγχθεί αν х = 7 είναι λύση της δεδοµένης άσκησης: ΟΙ λανθασµένες απαντήσεις (ή οι αναπάντητες) είναι 0 7 = 3. Τότε οι λαµβανόµενες µονάδες είναι 7.5 3.3 = 6, το οποίο είναι σωστό. Κατά συνέπεια х = 7 είναι η λύση της άσκησης. 5
Άσκηση 0. Να κατασκευαστεί ορθογώνια πλατεία εµβαδού µεταξύ 90m και 0m. Το µήκος της πλατείας είναι 5m. Πόσα µέτρα µπορεί να είναι του πλάτος της πλατείας; Λύση Έστω το µήκος της πλατείας να είναι х. Τότε το εµβαδόν της είναι 5.x. Για να είναι το εµβαδόν µικρότερο του0 και µεγαλύτερο του 90, τρέπει το х να είναι λύση του ακόλουθου συστήµατος ανισόσεων: 5x> 90. 5x< 0 Το σύστηµα αυτό είναι µοντέλο για τη δεδοµένη άσκηση. Η λύση του συστήµατος είναι το σύνολο όλων των αριθµών x µε x (6, 8). Τότε ο ζητούµενος αριθµός για το πλάτος της πλατείας είναι ο x, x (6, 8), το οποίο είναι και η απάντηση της προαναφερόµενης πρακτικής άσκησης. Κατά όπως φαίνεται, µια άσκηση η οποία δεν είναι µαθηµατική, µοντελοποιείται µε τη βοήθεια µαθηµατικών µέσων και λύνεται µε τη βοήθεια αλγεβρικών µέσων µε µεθόδων. Η πρακτική φανερώνει, ότι το δυσκολότερο επίπεδο, κατά τη λύση τέτοιων ασκήσεων, είναι η δηµιουργία του µαθηµατικού µοντέλου, δηλαδή η σύνταξη της µαθηµατικής άσκησης. Για το λόγο αυτό προτείνεται πριν τη δηµιουργία του µοντέλου, να εξηγούνται στους µαθητές, οι σχετικές φυσικές ή τεχνικές συσχετιζόµενες έννοιες. Να εξηγούνται ποιες πρακτικές ενέργειες και σχέσεις, ποιες µαθηµατικές πράξεις και σχέσεις αντιστοιχούν. Οι λαµβανόµενες µε τον τρόπο αυτό γνώσεις, χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία της αντίστοιχης µαθηµατικής άσκησης, η οποία λέγεται µοντέλο της πρακτικής άσκησης. Η µαθηµατική µοντελοποίηση µπορεί να εφαρµοστεί και σε ασκήσεις µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο. Για το λόγο αυτό διακρίνονται δυο είδη µοντελοποίησης: εσωτερική και εξωτερική. Το πρώτο είδος αναφέρεται στη δηµιουργία µοντέλου της άσκησης µε µαθηµατικό περιεχόµενο, ενώ το δεύτερο στη µοντελοποίηση πρακτικών ασκήσεων. Τονίζεται ότι η εσωτερική µοντελοποίηση χρησιµοποιήθηκε και από τους Αρχαίους Έλληνες. Τυπικό παράδειγµα αυτού είναι η χρήση της «αλγεβρικής γεωµετρίας», όπου οι αλγεβρικές ασκήσεις λύνονταν µε τη βοήθεια γεωµετρικών γνώσεων. Συγκεκριµένα, στην αλγεβρική γεωµετρία οι πράξεις µε αριθµούς παρουσιάζονταν ως πράξεις µε ευθύγραµµα τµήµατα. 6
Ακολουθεί ένα παράδειγµα στο οποίο είναι φανερή η λύση του µε τη βοήθεια εσωτερικής µοντελοποίησης. Άσκηση. Να υπολογιστούν τα µήκη των πλευρών ορθογωνίου το οποίο έχει περίµετρο 35сm, και η διαφορά των πλευρών του (µήκος µείων πλάτος) είναι,5сm (Σχήµα ) D A х Σχήµα Λύση. Συµβολίζεται µε х το πλάτος του ορθογωνίου, τότε το µήκος του θα είναι х +,5, ενώ η περίµετρός του х +(х+,5).. Αφού η περίµετρος είναι 35, τότε х +(х+,5) = 35. 3. Η τελευταία εξίσωση είναι το αλγεβρικό µοντέλο της γεωµετρικής άσκησης και λύνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 0cm. x +(x+,5) = 35 x + x +5 = 35 x +x = 30 4x = 30 x = C B 30 = 7,5. 4 Για х = 7,5cm λαµβάνεται, ότι το µήκος του ορθογωνίου είναι 7,5 +,5 = 4. Έλεγχος: Για την περίµετρο του ορθογωνίου, µε µήκος 0cm και πλάτος 7,5cm αντίστοιχα, λαµβάνεται ότι:.7,5cm +.0cm = 35cm, το οποίο αληθεύει. Κατά συνέπεια 7,5cm και 0cm είναι τα ζητούµενα.. οµή της λύσης µαθηµατικής άσκησης. υσκολία και πολυπλοκότητα της λύσης µαθηµατικής άσκησης Κατά τον γνωστό Πολωνό µαθηµατικό Polya υπάρχουν έξι βασικά στάδια κατά τη λύση µιας µαθηµατικής άσκησης: α) Έλεγχος της εκφώνησης της δεδοµένης άσκησης, στον οποίο «διαχωρίζονται» τα δεδοµένα από τα ζητούµενα. 7
β) Κατανόηση της άσκησης, αφού πρώτα κατανοηθούν τα επιµέρους στοιχεία της (δεδοµένα και ζητούµενα). γ) ηµιουργία σχεδίου λύσης της άσκησης. Αφού ο µαθητές κατανοήσεις πλήρως την εκφώνηση της άσκησης (ποια είναι τα γνωστά και ποια τα ζητούµενα), απαραίτητο είναι το σχέδιο λύσης µε το οποίο µεταβαίνει από τα δεδοµένα στα ζητούµενα στοιχεία της άσκησης. Το σχέδιο αυτό λύσης της δεδοµένης άσκησης δεν είναι µοναδικό και µπορεί να χρειαστεί να τροποποιηθεί ανάλογα µ αυτό το οποίο πρέπει να αποδειχτεί ή να ληφθεί. δ) Εκτέλεση εφαρµογή του σχεδίου λύσης που ο µαθητής θεωρεί καταλληλότερο. ε) Μελέτη της λύσης και προσδιορισµός του αριθµού των διαφορετικών λύσεων της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης. ζ) Ανακάλυψη (αν είναι δυνατόν) και προσδιορισµός των δυνατοτήτων εφαρµογής της δεδοµένης άσκησης στη λύση άλλων µαθηµατικών ή και όχι µαθηµατικών ασκήσεων (φυσική, χηµεία, πρακτική εφαρµογή κ.τ.λ.). Για τη θεωρία και την πρακτική των λύσεων των µαθηµατικών ασκήσεων, έχει δηµιουργηθεί το ερώτηµα για τη δοµή της λύσης µιας µαθηµατικής άσκησης. Αν µε A n συµβολιστεί η λύση της άσκησης Z n, όταν στη λύση А n της άσκησης Z n χρησιµοποιείται η λύση A k της άσκησης Z k, η άσκηση Z k λέγεται άσκηση τµήµα της άσκησης Z n. Έστω А, А,..., А j,..., А n είναι οι λύσεις αντίστοιχα των ασκήσεων τµήµατα Z, Z,..., Z j,..., Z n της άσκησης Z n. Οι λύσεις А, А,, А j,, А n µπορούν να παρασταθούν οπτικά µε κλειστές γραµµές και µε τα εσωτερικά τους σηµεία. ιακρίνονται τέσσερις περιπτώσεις τέτοιων κλειστών γραµµών διαγραµµάτων: I. Αν η λύση А k της άσκησης Z k περιέχεται στη λύση А k+ της άσκησης Z k+, δηλαδή η Z k είναι άσκηση τµήµα της Z k+, τότε το διάγραµµα της А k περιέχεται στο διάγραµµα της А k+, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 3. А k+ А k Σχήµα 3 II. Αν η λύση А k της Z k δεν περιέχεται στη λύση А k+ της Z k+, δηλαδή η Z k δεν είναι άσκηση τµήµα της Z k+, τότε το διάγραµµα της А k είναι εκτός του 8
διαγράµµατος της А k+, (Σχήµα 4α) ή έχει µη κενή τοµή µε το διάγραµµα αυτής (Σχήµα 4β). A k A k+ A k A k+ Σχήµα 4α Σχήµα 4β ІІІ. Αν η λύση А k της Z k είναι κοινό µέρος των λύσεων А k+ και А k+r αντίστοιχα των ασκήσεων Z k+ και Z k+r, δηλαδή Z k είναι άσκηση τµήµα των Z k+ και Z k+r, αλλά А k+ δεν περιέχεται στη А k+r, τότε το διάγραµµα της А k περιέχεται τόσο σ αυτό της А k+, όσο και στο διάγραµµα της А k+r, Σχήµα 5. A k+ A k A k+r Σχήµα 5 IV. Αν η λύση А περιέχεται στη А, А περιέχεται στη А 3 κ.τ.λ., για κάθε k η λύση А k περιέχεται στη λύση А k+, τότε τα διαγράµµατα λύσεων διαδοχικά περιέχονται το ένα στο άλλο, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 6. A k+ A k A A Σχήµα 6 Για παράδειγµα θα αναφερθεί η δοµή λύσης µιας γεωµετρικής άσκησης, η οποία είναι η ακόλουθη: Άσκηση ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ. Αν οι διχοτόµοι των γωνιών Αˆ, ˆ τέµνονται στο σηµείο Ε, ενώ οι διχοτόµοι των γωνιών Βˆ, Γˆ στο σηµείο Ζ, το οποίο είναι διαφορετικό από το Ε, να δειχτεί ότι ΕΖ// Γ. Η λύση Α της άσκησης Ζ περιέχει τις λύσεις Α, Α, Α 3, Α 4, Α 5, Α 6 των ασκήσεων-µερών Ζ, Ζ, Ζ 3, Ζ 4, Ζ 5 και Ζ 6 αντίστοιχα (Σχήµα 7). 9
Ε Γ Ζ Α Γ Β Σχήµα 7 Ζ : Στο τρίγωνο Α, να δειχτεί ότι το ΑΕ είναι ύψος του. Α : ΑΕ+Ε ˆ ˆ Α Α+ 80 Α = + = = το ΑΕ είναι ύψος του τριγώνου Α. Ζ : Στο τρίγωνο ΒΓ Γ, να δειχτεί ότι το ΒΖ είναι ύψος του. Α : ο =90, άρα Αˆ Ε =90 και κατά συνέπεια ο ˆ ˆ Β Γ Β+Γ 80 Γ ΒΖ+ΖΓΒ= + = = =90, άρα ΓΖ ˆ Β =90 και κατά συνέπεια το ΒΖ είναι το ύψος του τριγώνου ΒΓ Γ. Ζ 3 : Να δειχτεί ότι το σηµείο Ε είναι µέσο του. Α 3 : Στο τρίγωνο Α το ΑΕ είναι διχοτόµος και ύψος. Εποµένως το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, από το οποίο λαµβάνεται ότι το ΑΕ είναι και διάµεσος. Άρα Ε µέσο του. Ζ 4 : Να δειχτεί ότι το σηµείο Ζ είναι µέσο του ΓΓ. Α 4 : Στο τρίγωνο ΒΓ Γ το ΒΖ είναι διχοτόµος και ύψος. Εποµένως το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, από το οποίο λαµβάνεται ότι το ΒΖ είναι και διάµεσος. Άρα Ζ µέσο του ΓΓ. Ζ 5 : Να δειχτεί ότι το τετράπλευρο Γ Γ είναι τραπέζιο. Α 5 : Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι τραπέζιο και εποµένως ΑΒ//Γ. Τα Γ, είναι σηµεία της βάσης ΑΒ από το οποίο λαµβάνεται ότι και Γ// Γ, άρα το Γ Γ είναι τραπέζιο. Ζ 6 : Να δειχτεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΕΖ είναι διάµεσος του τραπεζίου Γ Γ. Α 6 : Επειδή το Γ Γ είναι τραπέζιο µε Γ //Γ και Ε, Ζ τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του, τότε ΕΖ είναι η διάµεσός του. Με τη λύση Α 6 της άσκησης Ζ 6 καταλήγουµε και στη λύση Α της άσκησης Ζ µε τρόπο ευρετικό, εφόσον οι διάφορες ασκήσεις τµήµατα δοθούν για λύση πριν την άσκηση Ζ, σαν υποερωτήµατά της. Με την βοήθεια κλειστών γραµµών µπορεί να εκφραστεί η σχέση µεταξύ των Α, Α, Α 3, Α 4, Α 5, Α 6, εφόσον για κάθ' ένα απ' αυτά αντιστοιχίσουµε µια κλειστή γραµµή (Σχηµ.8). 0
A A 3 A 5 A 4 A A 6 Σχήµα 8 Γεγονός εποµένως είναι ότι κάθε άσκηση για τη λύση της απαιτεί µαθηµατικούς συλλογισµούς οι οποίοι πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους και να χρησιµοποιούνται σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή της εκπαίδευσης. Η µη ύπαρξη αυτών συντελεί στην αύξηση των δυσκολιών κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων. Φυσικά µια µαθηµατική άσκηση µπορεί να έχει περισσότερες από µια λύσεις. Εποµένως η λύση της άσκησης µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε διαφορετικές ασκήσεις τµήµατα και αυτό πάντα σε συνάρτηση µε τη λύσης της. ιαφορετικές θα είναι φυσικά οι γραφικές αναπαραστάσεις των λύσεων των ασκήσεων. Στη διαδικασία γέννησης των δεξιοτήτων των µαθητών για λύση µαθηµατικών ασκήσεων σηµαντικό ρόλο παίζει και επίγνωση των καθηγητών τόσο για τη δοµή λύσης της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης, όσο και οι έννοιες πολυπλοκότητα και δυσκολία λύσης της άσκησης. Αν µε А, А,,А j,,а n συµβολιστούν οι λύσεις των ασκήσεων τµηµάτων της Z n µε λύση A n, τότε ο βαθµός πολυπλοκότητας της λύσης της άσκησης Z n προσδιορίζεται από τον αριθµό n, ενώ ο βαθµός δυσκολίας της λύσης A n εξαρτάτε από το n και επίσης από το ποιες από λύσεις А, А,, А j,, А n ειναι προκαταβολικά γνωστές. Όσο περισσότερες ασκήσεις τµήµατα µιας άσκησης λυθούν αρχικά από κάποιο µαθητή, τόσο η λύση της δεδοµένης άσκησης θα είναι ευκολότερη γι αυτόν. Κατά συνέπεια η πολυπλοκότητα της λύσης µιας άσκησης προσδιορίζεται από την πολυπλοκότητα λύσης και από τον αριθµό των αντίστοιχων ασκήσεων τµηµάτων της, καθώς και από το χρόνο που αυτές λύθηκαν. Αυτό σηµαίνει ότι ενώ η πολυπλοκότητα της λύσης δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης δεν µπορεί να µεταβληθεί, η δυσκολία λύσης της µπορεί να αυξηθεί ή να ελαττωθεί και αυτό σε συνάρτηση µε τις αντίστοιχες ασκήσεις τµήµατα που λύνονται πριν απ αυτήν. Στην πράξη, κατά την εκπαιδευτική διαδικασία και µε ευθύνη του καθηγητή, πρέπει να τακτοποιούν τις διάφορες ασκήσεις σε οµάδες, έτσι ώστε κάθε άσκηση να προετοιµάζεται από άλλες, πριν απ αυτή άλλες ασκήσει τµήµατα. Πρέπει να ειπωθεί, ότι µε το θέµα των βοηθητικών ασκήσεων (δηλαδή τις ασκήσεις τµήµατα) έχουν ασχοληθεί και ακόµη ασχολούνται πολύ µαθηµατικοί (για