Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Χρονική απόκριση συστημάτων, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Χρονική απόκριση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Στα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ως ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος, συνεπώς μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τη συμπεριφορά των συστημάτων ως προς το χρόνο ή απλά τη χρονική απόκριση αυτών. Στην ανάλυση των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου, εφαρμόζεται ένα σήμα εισόδου αναφοράς και η απόδοση του συστήματος εκτιμάται με βάση τη μελέτη της απόκρισης του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Για παράδειγμα, εάν ο σκοπός ενός συστήματος είναι η παρακολούθηση του σήματος εισόδου από τη μεταβλητή εξόδου, ξεκινώντας από κάποια αρχική χρονική στιγμή και με συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες, απαιτείται η σύγκριση των σημάτων εισόδου και εξόδου ως συναρτήσεις του χρόνου. Τα περισσότερα συστήματα αυτομάτου ελέγχου είναι από τη φύση τους δυναμικά και η απόκρισή τους δεν μπορεί να ακολουθήσει ακαριαία ξαφνικές αλλαγές της εισόδου, παρουσιάζουν δηλαδή αδράνεια, με αποτέλεσμα να παρατηρούνται μεταβατικά φαινόμενα σε κάποιο βαθμό πριν φτάσουν στην κατάσταση ισορροπίας. Για το λόγο αυτό η χρονική απόκριση ενός συστήματος περιλαμβάνει συνήθως δύο τμήματα, την μεταβατική απόκριση (transient response) και την απόκριση στη μόνιμη απόκριση (steady state response): αν y(t) είναι η χρονική απόκριση του συστήματος, τότε y(t) = y t (t) + y ss (t) όπου y t (t) η μεταβατική απόκριση και y ss (t) η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση. Η μεταβατική απόκριση ενός συστήματος εξασθενεί με την πάροδο κάποιου χρονικού διαστήματος. Η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση είναι το τμήμα εκείνο της συνολικής απόκρισης του συστήματος που παραμένει μετά την απόσβεση της μεταβατικής κατάστασης, παρακολουθεί τη μεταβολή του σήματος εισόδου και μπορεί ακόμα και να μεταβάλλεται με κάποιο προκαθορισμένο τρόπο, όπως, για παράδειγμα, να έχει τη μορφή ενός ημιτονικού σήματος ή μιας συνάρτησης ράμπας που αυξάνει με το χρόνο. Η μεταβατική απόκριση αποτελεί σημαντικό μέρος της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος. Η απόκλιση μεταξύ της απόκρισης (εξόδου) και της εισόδου του συστήματος ή της επιθυμητής απόκρισης, πριν την επίτευξη της μόνιμης κατάστασης, πρέπει να ελεγχθεί επακριβώς και, για το λόγο αυτό, ο έλεγχος της μεταβατικής κατάστασης ενός συστήματος είναι πολύ σημαντικός. Η απόκριση μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου είναι επίσης πολύ σημαντική. Για παράδειγμα, σε ένα σύστημα ελέγχου θέσης, η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση όταν συγκρίνεται με την επιθυμητή θέση, μας δίνει μια ένδειξη της ακρίβειας του συστήματος. Γενικά, αν η απόκριση μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος δεν συμφωνεί επακριβώς με την επιθυμητή είσοδο αναφοράς, το σύστημα λέγεται ότι παρουσιάζει σφάλμα μόνιμης κατάστασης. Στη σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου συνήθως δίνονται προδιαγραφές οι οποίες περιλαμβάνουν διάφορες παραμέτρους της αντίστοιχης χρονικής απόκρισης σε σχέση με μια καθορισμένη είσοδο και αφορούν στη μεταβατική λειτουργία και στη λειτουργία μόνιμης κατάστασης, καθώς και στη ζητούμενη ακρίβεια στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας. 1

Οι ενεργοποιητές (κατευθυντές) σχεδιάζονται έτσι ώστε το σχεδιαζόμενο σύστημα να καλύπτει στο μέγιστο δυνατό βαθμό αυτές τις προδιαγραφές. Βέβαια, κατά τη σχεδίαση οποιουδήποτε σχεδόν συστήματος, οι ζητούμενες προδιαγραφές μεταβάλλονται πολλές φορές εξαιτίας κάποιων περιορισμών και αναπόφευκτων συμβιβασμών. Επομένως, στην πραγματικότητα, οι προδιαγραφές ενός συστήματος αποτελούν μια πρώτη προσέγγιση των απαιτούμενων παραμέτρων της επιθυμητής συμπεριφοράς του, που καθορίζονται σύμφωνα με τα αντίστοιχα ζητούμενα μέτρα συμπεριφοράς, αποτελούν μια ένδειξη της ποιότητας του συστήματος και μας επιτρέπουν να απαντήσουμε στο ερώτημα: Πόσο αξιόπιστα μπορεί να εκτελέσει το σύστημά μας μια συγκεκριμένη εργασία, την οποία σχεδιάστηκε να εκτελεί; 2. Τυπικά σήματα δοκιμής για την χρονική απόκριση συστημάτων ελέγχου Τα διάφορα συστήματα ελέγχου είναι από τη φύση τους συστήματα που λειτουργούν στο πεδίο του χρόνου και, για το λόγο αυτό, είναι η χρονική απόκριση ενός συστήματος εκείνο το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει περισσότερο. Αρχικά θεωρείται απαραίτητη η διερεύνηση της ευστάθειας ενός συστήματος με τη βοήθεια των μεθόδων που παρουσιάσαμε. Εάν ένα σύστημα είναι ευσταθές, η απόκρισή του σε ένα συγκεκριμένο σήμα εισόδου μας παρέχει πολλές πληροφορίες για τη γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος αυτού. Όμως η πραγματική μορφή των διαφόρων σημάτων εισόδου δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων. Για το λόγο αυτό, επιλέγουμε κάποια τυπικά σήματα δοκιμής (test signals) για τη μελέτη της συμπεριφοράς των συστημάτων ελέγχου. Επιλέγοντας κατάλληλα αυτά τα σήματα, συστηματοποιούμε τη μαθηματική αντιμετώπιση του προβλήματος και, επιπλέον, η μελέτη της απόκρισης του συστήματος στις εισόδους αυτές μας επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς του συστήματος σε άλλα πιο πολύπλοκα σήματα εισόδου. Αυτή προσέγγιση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για γραμμικά συστήματα, γιατί η απόκριση σε πολύπλοκα σήματα εισόδου μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της υπέρθεσης των αποκρίσεων στα απλά τυπικά σήματα δοκιμής. Τα τυπικά σήματα δοκιμής που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι η βηματική συνάρτηση, η συνάρτηση κλίσης ή ράμπας και η παραβολική συνάρτηση. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών και η μαθηματική τους περιγραφή φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. x(t) x(t) x(t) A Κλήση = Α 0 x(t)=au(t) X(s)=A/s t 0 t 0 t x(t)=atu(t) X(s)=A/s 2 x(t)=at 2 u(t) X(s)=2A/s 3 Η συνάρτηση ράμπας είναι το ολοκλήρωμα της βηματικής συνάρτησης και η παραβολική συνάρτηση είναι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ράμπας. Μια άλλη σημαντική συνάρτηση ως τυπικό σήμα δοκιμής είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση, η οποία ορίζεται ως και 2

3. Βηματική απόκριση συστήματος και προδιαγραφές στο πεδίο του χρόνου Η μεταβατική απόκριση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου είναι σημαντική αφού είναι επιθυμητό το μέτρο και η χρονική της διάρκεια να κυμαίνονται μέσα σε ανεκτά όρια. Για γραμμικά συστήματα τα διάφορα τυπικά μεγέθη που αφορούν στη συμπεριφορά τους ορίζονται συνήθως με βάση τη μοναδιαία βηματική απόκριση, δηλαδή την απόκριση του συστήματος όταν η είσοδος είναι η μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η μοναδιαία βηματική απόκριση ενός γραμμικού συστήματος ελέγχου. Είσοδος μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης Μέγιστη υπερύψωση Απόκριση μόνιμης κατάστασης y ss Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss Χρόνος ανύψωσης Χρόνος μεγίστου t Χρόνος ανόδου Χρόνος αποκατάστασης T s Τα τυπικά μεγέθη της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης ενός γραμμικού συστήματος που περιγράφουν τη συμπεριφορά του στο πεδίο του χρόνου είναι τα ακόλουθα: Μέγιστη υπερύψωση: Εάν y(t) η μοναδιαία βηματική απόκριση του συστήματος, M pt η μέγιστη τιμή της y(t) και y ss η τιμή μόνιμης κατάστασης της y(t), τότε Μέγιστη υπερύψωση = M pt - y ss Η μέγιστη υπερύψωση συχνά εκφράζεται ως ένα εκατοστιαίο ποσοστό της τιμής μόνιμης κατάστασης της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης: Η μέγιστη υπερύψωση χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο της σχετικής ευστάθειας ενός συστήματος ελέγχου και μια μεγάλη υπερύψωση είναι συνήθως ανεπιθύμητη. Χρόνος ανόδου T r : Ως χρόνος ανόδου ορίζεται ο χρόνος που απαιτείται έτσι ώστε η μοναδιαία βηματική απόκριση να ανέλθει από το 0% στο 100% της τελικής της τιμής. Χρόνος ανύψωσης T r1 : Ως χρόνος ανύψωσης ορίζεται ο χρόνος που απαιτείται έτσι ώστε η μοναδιαία βηματική απόκριση να ανέλθει από το 10% στο 90% της τελικής της τιμής. Χρόνος μεγίστου T p : Ως χρόνος μεγίστου ορίζεται ο χρόνος που απαιτείται έτσι ώστε να έχουμε τη μέγιστη υπερύψωση της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης. 3

Χρόνος αποκατάστασης T s : Ως χρόνος αποκατάστασης ορίζεται το χρονικό διάστημα που απαιτείται έτσι ώστε η έξοδος του συστήματος να ηρεμήσει γύρω από μια τιμή, η οποία διαφέρει κατά ένα συγκεκριμένο ποσοστό δ σε σχέση με το πλάτος του σήματος εισόδου. Μια συνήθης αποδεκτή τιμή για το δ είναι της τάξης του 5%. Οι ποσότητες που μόλις ορίστηκαν δίνουν ένα άμεσο μέτρο των μεταβατικών χαρακτηριστικών της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Αναλυτικά οι ποσότητες αυτές είναι δύσκολο να τεκμηριωθούν, εκτός από συστήματα μικρότερης από τρίτης τάξης. Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss : Ως σφάλμα μόνιμης κατάστασης ορίζεται η διαφορά μεταξύ της απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση και της εισόδου αναφοράς. Θα πρέπει να τονιστεί ότι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης μπορεί να οριστεί για οποιοδήποτε σήμα εισόδου αναφοράς, όπως η βηματική συνάρτηση, η συνάρτηση ράμπας, η παραβολική συνάρτηση κλπ. 4. Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση Ένας από τους βασικούς λόγους για τους οποίους χρησιμοποιείται ευρύτατα η ανάδραση στα συστήματα ελέγχου, παρά το σχετικά αυξημένο κόστος και την πολυπλοκότητα που προσθέτει στο σύστημα, είναι η σημαντική βελτίωση που επιφέρει μειώνοντας το αντίστοιχο σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση. Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός ευσταθούς συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου είναι συνήθως πολύ μικρότερο από το αντίστοιχο σφάλμα σε ένα σύστημα ανοιχτού βρόχου. Ας θεωρήσουμε το σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου του σχήματος. X(s) + E a(s) = X(s) - R(s) G(s) Y(s) - R(s) F(s) Το σήμα ενεργοποίησης που παράγεται στο σύστημα είναι E a (s) = X(s) R(s). Όμως, το πραγματικό σήμα σφάλματος είναι η διαφορά μεταξύ της εξόδου και της εισόδου αναφοράς στη μόνιμη κατάσταση, E(s) = X(s) Y(s). Για το σύστημα του σχήματος ισχύει: ή και επειδή θα έχουμε: E(s) = X(s) Y(s) 4

Το σφάλμα του συστήματος E(s) ισούται με το σήμα ενεργοποίησης E a (s), όταν έχουμε μοναδιαία ανάδραση F(s) =1. Στην περίπτωση αυτή, για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος προκύπτει: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss ορίζεται ως το όριο του e(t)=x(t)-y(t), όταν το t τείνει στο άπειρο. Επίσης, από το θεώρημα τελικής τιμής του μετασχηματισμού Laplace, γνωρίζουμε ότι: Επομένως, το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, με F(s) =1, θα είναι: Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την τιμή του σφάλματος μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος ελέγχου με μοναδιαία ανάδραση και για τα τρία τυπικά σήματα δοκιμής. Βηματική συνάρτηση εισόδου: Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος του οποίου η είσοδος είναι μια βηματική συνάρτηση πλάτους Α, όταν δηλαδή x(t)=au(t), θα είναι: Παρατηρούμε ότι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης του συστήματος για βηματική είσοδο, προσδιορίζεται με τη βοήθεια της μορφής της αντίστοιχης συνάρτησης μεταφοράς G(s). Η γενική μορφή της συνάρτησης μεταφοράς είναι: Όπου το σύμβολο Π συμβολίζει το γινόμενο των αντίστοιχων όρων που βρίσκονται μέσα στις παρενθέσεις. Επομένως, η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς καθώς η μεταβλητή s τείνει στο μηδέν, εξαρτάται από την τιμή του εκθέτη Ν της μεταβλητής s στον παρανομαστή (ή από το πλήθος των ολοκληρωτών όπως συνηθίζεται να αποκαλείται ο όρος 1/s Ν, που αντιστοιχεί στο μετασχηματισμό Laplace του Ν-πολλαπλού ολοκληρώματος). Αν ο αριθμός Ν > 0, τότε η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς G(s=0) τείνει στο άπειρο, οπότε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης τείνει στο μηδέν. Το πλήθος των ολοκληρωτών που αντιστοιχούν σε ένα σύστημα συμβολίζεται συνήθως με έναν αριθμό, ο οποίος ισούται απλά με το N, δηλώνει τον τύπο του συστήματος. Επομένως, για ένα σύστημα Τύπου-0, δηλαδή με Ν=0, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης είναι: Η σταθερά G(s=0) συμβολίζεται συνήθως με K p, ονομάζεται συντελεστής σφάλματος θέσης και δίνεται από τη σχέση: Επομένως, για ένα σύστημα με βηματική είσοδο πλάτους Α, το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ή σφάλμα θέσης θα δίνεται από τη σχέση: 5

Με βάση τα παραπάνω, για ένα σύστημα με μοναδιαία ανάδραση και βηματική είσοδο Τύπου-1 ή μεγαλύτερου (δηλαδή για Ν 1), το σφάλμα θέσης θα είναι μηδέν, αφού: Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση σε βηματική είσοδο και το σφάλμα θέσης που προκύπτει για ένα σύστημα Τύπου-0, όταν το K p είναι ένας πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός. x(t) y(t) A Είσοδος αναφοράς x(t)=au(t) A e ss = 1 + K p Έξοδος y(t) 0 t Είσοδος ράμπας: Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος του οποίου η είσοδος είναι μια ράμπα με κλίση Α, όταν δηλαδή x(t)=atu(t), είναι γνωστό ως σφάλμα ταχύτητας και δίνεται από τη σχέση: Η τιμή του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση εξαρτάται και πάλι από τον τύπο του συστήματος. Για ένα σύστημα Τύπου-0 (δηλαδή για Ν=0), το αντίστοιχο σφάλμα μόνιμης κατάστασης απειρίζεται, αφού: Για ένα σύστημα Τύπου-1 (δηλαδή για Ν=1), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ή σφάλμα ταχύτητας, θα είναι: όπου K v είναι ο λεγόμενος συντελεστής σφάλματος ταχύτητας και υπολογίζεται με τη βοήθεια της σχέσης: Όταν Ν=1, τo σφάλμα ταχύτητας έχει μια πεπερασμένη τιμή Α/Κ v, η οποία είναι διάφορη του μηδενός. 6

Όταν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος περιλαμβάνει δύο ή περισσότερους ολοκληρωτές (δηλαδή για N 2), το αντίστοιχο σφάλμα ταχύτητας ισούται με το μηδέν: Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση σε είσοδο ράμπας και το σφάλμα ταχύτητας που προκύπτει για ένα σύστημα Τύπου-1, όταν το K v είναι ένας πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός. x(t) y(t) Είσοδος αναφοράς x(t)=atu(t) A Έξοδος y(t) Είσοδος παραβολικής συνάρτησης: Το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ενός συστήματος του οποίου η είσοδος είναι μια παραβολική συνάρτηση της μορφής x(t)=at 2 u(t), είναι γνωστό ως σφάλμα επιτάχυνσης και δίνεται από τη σχέση: Για ένα σύστημα Τύπου-0 (δηλαδή για Ν=0), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης απειρίζεται, αφού: Ομοίως, για ένα σύστημα Τύπου-1 (δηλαδή για Ν=1), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης απειρίζεται, αφού: Για ένα σύστημα Τύπου-2 (δηλαδή για Ν=2), το σφάλμα μόνιμης κατάστασης προκύπτει: όπου K a είναι ο λεγόμενος συντελεστής σφάλματος επιτάχυνσης και υπολογίζεται με τη βοήθεια της σχέσης: 7

Όταν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος περιλαμβάνει τρεις ή περισσότερους ολοκληρωτές (δηλαδή για N 3), το αντίστοιχο σφάλμα ταχύτητας ισούται με το μηδέν: όπου, N 3. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η απόκριση σε είσοδο ράμπας και το σφάλμα επιτάχυνσης που προκύπτει για ένα σύστημα Τύπου-2, όταν το K a είναι ένας πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός. x(t) y(t) 2A Είσοδος αναφοράς x(t)=at 2 u(t) Έξοδος y(t) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται συνοπτικά οι συντελεστές και τα αντίστοιχα σφάλματα μόνιμης κατάστασης για τα τρία τυπικά είδη σημάτων εισόδου (τυπικά σήματα δοκιμής). Τύπος Συστήματος Σταθερές Σφάλματος N K p K v K a Σφάλμα Μόνιμης Κατάστασης e ss Βηματική Είσοδος x(t)=au(t) X(s)=A/s Είσοδος Ράμπας x(t)=atu(t) X(s)=A/s 2 Παραβολική Είσοδος x(t)=at 2 u(t) X(s)=2A/s 3 0 0 0 1 0 0 2 0 0 Να σημειωθεί ότι για γραμμικά συστήματα ελέγχου, στην περίπτωση που το σήμα εισόδου αναφοράς είναι σύνθετο, για παράδειγμα περιλαμβάνει και τα τρία τυπικά σήματα δοκιμής, τη βηματική συνάρτηση, τη συνάρτηση ράμπας και την παραβολική συνάρτηση, η συνολική απόκριση του συστήματος θα είναι η υπέρθεση των αποκρίσεων για κάθε μια είσοδο και, επομένως, το συνολικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss θα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των σφαλμάτων που προκύπτουν για κάθε ένα τυπικό σήμα εισόδου, δηλαδή το αλγεβρικό άθροισμα των e ss,p, e ss,v και e ss,a. 8

Παράδειγμα 11: Έστω ένα γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: i. Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης εάν η είσοδος είναι x(t)=2tu(t). ii. Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης εάν η είσοδος είναι x(t)=2u(t)-2tu(t). Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό του σφάλματος μόνιμης κατάστασης θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι το σύστημα είναι ευσταθές. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος θα είναι: αφού το σύστημα έχει μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Επομένως, η χαρακτηριστικό εξίσωση του συστήματος είναι: ή Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι ο ακόλουθος: s 3 1 7 s 2 5 1 s 1 34/5 0 s 0 1 0 Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα είναι θετικά, άρα το σύστημα ευσταθές. i. Το σύστημα είναι Τύπου-1, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p = 0, πεπερασμένο σφάλμα ταχύτητας, που δίνεται από τη σχέση e ss,v = A/K v, και άπειρο σφάλμα επιτάχυνσης. Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας K v είναι: και επειδή Α=2, το σφάλμα ταχύτητας θα είναι: ii. Όπως είδαμε, το σύστημα είναι Τύπου-1, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p =0, πεπερασμένο σφάλμα ταχύτητας, που δίνεται από τη σχέση e ss,v =A/K v, και άπειρο σφάλμα επιτάχυνσης. Επίσης, το σφάλμα ταχύτητας υπολογίστηκε σε e ss,v =12. Η είσοδος x(t)=2u(t)-2tu(t) είναι η σύνθεση δύο σημάτων, 2u(t) και 2tu(t), επομένως το συνολικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss θα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των σφαλμάτων που προκύπτουν για κάθε ένα τυπικό σήμα εισόδου, οπότε: 9

Παράδειγμα 12: Έστω ένα γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης εάν η είσοδος είναι x(t) = 2 t + t 2. Πρώτα θα εξετάσουμε αν το σύστημα είναι ευσταθές. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: αφού το σύστημα έχει μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Επομένως, η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ή Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: s 3 1 8 s 2 4 8 s 1 6 0 s 0 1 Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα είναι θετικά, άρα το σύστημα ευσταθές. Αναλυτικά, το σήμα εισόδου είναι: x(t) = 2u(t) tu(t) + t 2 u(t). Άρα το σύστημα είναι Τύπου-2, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p = 0, μηδενικό σφάλμα ταχύτητας, e ss,v = 0, και πεπερασμένο σφάλμα επιτάχυνσης που δίνεται από τη σχέση e ss,a = 2A/K a, όπου στην περίπτωσή μας Α=1. Η σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης K a είναι: και επειδή Α=1, το σφάλμα επιτάχυνσης θα είναι: Το συνολικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss θα είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των σφαλμάτων που προκύπτουν για κάθε ένα τυπικό σήμα εισόδου, οπότε: Παράδειγμα 13: Έστω ένα γραμμικό σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και συνάρτηση μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου: 10

Να υπολογιστεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για k=1,5 sec -1 και να προσδιοριστεί η απολαβή k ώστε για είσοδο ράμπας μοναδιαίας κλίσης, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης να είναι μικρότερο του 10%. Πρώτα θα εξετάσουμε θα εξετάσουμε κάτω από ποιες συνθήκες το σύστημα είναι ευσταθές. Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: αφού το σύστημα έχει μοναδιαία αρνητική ανάδραση. Επομένως, η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ή Ο πίνακας Routh του συστήματος είναι: s 3 0,5 1 s 2 1,5 k s 1 (1,5-0,5k)/1,5 0 s 0 k 0 Γνωρίζουμε ότι, για να είναι το σύστημα ευσταθές, πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικά. Άρα, για να είναι το σύστημα είναι ευσταθές, πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες k > 0 και (1,5-0,5k)/1,5 > 0 ή (1 - k/3) > 0. Επομένως, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 3. Το σήμα εισόδου είναι συνάρτηση ράμπας, δηλαδή: x(t) = tu(t). Άρα το σύστημα είναι Τύπου-1, οπότε θα έχει μηδενικό σφάλμα θέσης, e ss,p = 0, πεπερασμένο σφάλμα ταχύτητας, που δίνεται από τη σχέση e ss,v = A/K v, και άπειρο σφάλμα επιτάχυνσης, όπου στην περίπτωσή μας Α=1. Η σταθερά σφάλματος ταχύτητας K v είναι: και, επειδή Α=1, το σφάλμα ταχύτητας θα είναι: Για να επιτύχουμε σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση e ss < 10%, πρέπει να έχουμε Όμως, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 3 (κριτήριο Routh). Επομένως, δεν είναι δυνατό ρυθμίζοντας την απολαβή k του συστήματος να επιτύχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης μικρότερο του 10%. 11

Παράδειγμα 14: Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου μοναδιαία αρνητική ανάδραση F(s) = 1 και ελεγκτή G C (s) = k/s. α. Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και να γραφεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου. β. Να υπολογιστούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα. γ. Να προσδιοριστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του k ώστε το σφάλμα ταχύτητας να είναι μικρότερο του 1%. α. Το δομικό διάγραμμα του συστήματος είναι το ακόλουθο: R(s) Σ + - G C (s) G(s) C(s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: F(s) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: β. Σταθερά σφάλματος θέσης: Σφάλμα θέσης: Σταθερά σφάλματος ταχύτητας: Σφάλμα ταχύτητας: Σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης: 12

Σφάλμα επιτάχυνσης: γ. Πρώτα θα πρέπει να εξετάσουμε το εύρος τιμών του k για να είναι το σύστημα ευσταθές, εφαρμόζοντας το κριτήριο ευστάθειας Routh. Ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 2 1 s 2 3 k s 1 (3-2k)/3 0 s 0 k 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί. Επομένως, για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει: k > 0 και 3-2k > 0 ή k < 3/2, δηλαδή 0 < k < 1,5. Για να έχουμε σφάλμα ταχύτητας μικρότερο του 1%, θα πρέπει: δηλαδή, θα πρέπει k > 100. Όμως, όπως είδαμε με το κριτήριο Routh, το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: 0 < k < 1,5. Επομένως, δεν είναι δυνατό ρυθμίζοντας το k να επιτύχουμε σφάλμα ταχύτητας μικρότερο του 1%. Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Distefano III, Allen R. Stubberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop 13