ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις Ενότητα 6 Περιστροφική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Eφαρμογές Περιστροφική κίνηση
Άσκηση 1 Η κυματοσυνάρτηση ψ(φ) για την κίνηση σωματιδίου σε δακτύλιο είναι της Ne im μορφής. Να προσδιοριστεί η σταθερά κανονικοποίησης Ν. Η απαίτηση είναι: * d 1 Για κίνηση σε δακτύλιο και πολικές συντεταγμένες: 0 im im N e e d 1 N d N 0 1 N 1
Άσκηση Το μοντέλο του σωματιδίου σε δακτύλιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη της κίνησης των ηλεκτρονίων στο δακτυλιοειδές μόριο της πορφυρίνης. Έστω ότι τα π ηλεκτρόνια του μορίου κινούνται σε δακτύλιο με ακτίνα ίση με εκείνη του μορίου (440 pm). Θεωρώντας ότι στη θεμελιώδη κατάσταση του μορίου κάθε στάθμη καταλαμβάνεται από ηλεκτρόνια, να υπολογιστούν: image_ur (α) Η ενέργεια και η τροχιακή στροφορμή ενός ηλεκτρονίου στην υψηλότερη κατειλημμένη στάθμη. (β) Η συχνότητα και το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που απαιτείται για τη διέγερση ενός ηλεκτρονίου από την υψηλότερη κατειλημμένη στη χαμηλότερη μη κατειλημμένη στάθμη. m E m m e im 1/ I m Jz m IE 1/ (β) m 0, 1,,... 14 5, 10 Hz 570 nm
Άσκηση 3 Να προσδιοριστούν οι τιμές ενέργειας και συνολικής στροφορμής για τα 4 χαμηλότερα ενεργειακά επίπεδα ενός σωματιδίου μάζας m, το οποίο κινείται στην επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα r. Πόσες καταστάσεις αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση; Η ενέργεια και η στροφορμή είναι κβαντωμένες και οι τιμές τους δίνονται από τις σχέσεις: E ( 1) I J ( 1) I mr 0, 1,,... 1 Για κάθε ενεργειακή στάθμη υπάρχουν τιμές για το και, επομένως, ο εκφυλισμός είναι g 1 m
Άσκηση 3 Να προσδιοριστούν οι τιμές ενέργειας και συνολικής στροφορμής για τα 4 χαμηλότερα ενεργειακά επίπεδα ενός σωματιδίου μάζας m, το οποίο κινείται στην επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα r. Πόσες καταστάσεις αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση; Η ενέργεια και η στροφορμή είναι κβαντωμένες και οι τιμές τους δίνονται από τις σχέσεις: E I ( 1) I mr J ( 1) 0, 1,,... g 1 E /( / I ) J / m g 0 0 1 0 0 1 0, 1 3 6 6 0, 1, 5 3 1 1 0, 1,, 3 7
Άσκηση 4 Η κατάσταση ενός στερεού στροφέα περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση Οι σφαιρικές αρμονικές image_ur 3 3, cos c sin 16 8 i e (α) Να κανονικοποιηθεί η Φ(θ,φ) (β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να παρατηρήσουμε το σύστημα σε μία κατάσταση που αντιστοιχεί στους κβαντικούς αριθμούς,. 1 m 0 Η Φ(θ,φ) μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός δύο σφαιρικών αρμονικών 1 Y cy, 1,0 1,1 Από τη συνθήκη κανονικοποίησης προκύπτει ότι: c 3 Η ζητούμενη πιθανότητα υπολογίζεται από τον αντίστοιχο συντελεστή: P 1,0 1 5%
Άσκηση 5 Δείξτε ότι η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου στροφέα (rigid rotator) δίνεται από τη σχέση I r όπου μ είναι η ανηγμένη μάζα του. image_ur Κέντρο μάζας: 1 1 r1 r r (1) r r r1 m r m r r m r 1 (1) m r m r r mr m1r I m1 m m1 m m1 m m r (1) I m r m r 1 Ροπή αδρανειας: () 1 r mr 1 m m 1 1 1 1 mr r1 m1 m (3) (4) m1m m m1 r m m m m m m 1 1 1 1 r
Άσκηση 6 Όταν το διατομικό μόριο 1 C 3 S περιστρέφεται, δημιουργεί ενεργειακό φάσμα το οποίο μπορεί να μετρηθεί. Να υπολογιστούν: (α) Οι επιτρεπτές τιμές της ενέργειας ενός τέτοιου συστήματος (β) Το μήκος του δεσμού του μορίου, αν η γραμμή απορρόφησης για τη ενεργειακά χαμηλότερη μετάπτωση (Ε 0 Ε 1 ) εμφανίζεται σε συχνότητα 48991 ΜΗz. Δίνονται: m m 1 ( C) 1 amu 3 ( S) 31,97 amu -7 1 amu=1,66054 10 kg 34 1,05457 10 J s
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.0.
Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών. Αναπληρωτής Καθηγητής, Δημήτρης Κονταρίδης. «Φυσικοχημεία Ι». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://ecass.upatras.gr/courses/cmng17/
Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/icenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.