Χωρητικότητα διαύλου
Τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι
Τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι Οι τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι μπορεί να μεταφέρουν ή αποθηκεύουν πληροφορία Ενσύρματοι (διπλαγωγοί, ομοαξωνικά καλώδια, κυματοδηγοί, ) Ασύρματοι (ελεύθερος χώρος) Οπτικοί (οπτικές ίνες) Ακουστικοί (υποβρύχιοι) Αποθήκευσης (μαγνητικοί δίσκοι, ταινίες DAT, CD) Χαρακτηρίζονται από μια σχέση εισόδου-εξόδου
Παραμορφώσεις Υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους η έξοδος ενός διαύλου είναι διαφορετική από την είσοδο Εξασθένιση Μη γραμμικότητα Περιορισμένο εύρος ζώνης Διαλείψεις (fadig) Διάδοση πολλαπλών διαδρομών Θόρυβος
Μοντέλο διαύλου Συνήθως, η είσοδος και η έξοδος είναι κυματομορφές Λόγω διαλείψεων και θορύβου Η σχέση εισόδου-εξόδου είναι στοχαστική Το εύρος ζώνης κάθε πραγματικού διαύλου είναι περιορισμένο Η δειγματοληψία καθιστά ένα δίαυλο συνεχούς χρόνου ισοδύναμο με δίαυλο διακριτού χρόνου Διακριτός δίαυλος (discrete chael) Οι τιμές εισόδου και εξόδου σε δίαυλο διακριτού χρόνου είναι πεπεραμένες ή αριθμήσιμες
Μοντέλο διακριτού διαύλου Αλφάβητο εισόδου Χ Αλφάβητο εξόδου Υ x x x 1 N p( y x) y y y 1 N Ηέξοδοςy i εν γένει εξαρτάται από την τρέχουσα είσοδο x i και από την ακολουθία των προηγούμενων εισόδων (διασυμβολική παρεμβολή) Οδίαυλοςέχειμνήμη
Μοντέλο διαύλου χωρίς μνήμη Διακριτός δίαυλος χωρίς μνήμη (memoryless) p( y x) = p( yi xi) i= 1 Δυαδικός συμμετρικός δίαυλος p(0 0) = 1 ε p(1 0) p(0 1) ε = ε = ε = πιθανότητα διασταύρωσης (λάθους) p(1 1) = 1 ε
Δίαυλος AWGN Η πιθανότητα λάθους σε δίαυλο AWGN με πολική σηματοδοσία είναι ( ) E b ε = p(1 0) = p(0 1) = Q SNRc = Q N0 E b η ενέργεια bit
Χωρητικότητα διαύλου Είναι δυνατή η αξιόπιστη μετάδοση (δηλαδή, με πιθανότητα σφάλματος μικρότερη από δεδομένη τιμή) πληροφορίας σε δίαυλο με θόρυβο αρκεί ο ρυθμός μετάδοσης να είναι μικρότερος από μια τιμή αποκαλούμενη χωρητικότητα διαύλου (Shao 1948) Ο βασικός περιορισμός που εισάγει ο θόρυβος στον δίαυλο επικοινωνίας δεν τίθεται στην αξιοπιστία μετάδοσης αλλά στο ρυθμό μετάδοσης
Παράδειγμα Εάν ο δέκτης λάβει α, δεν ξέρει κατά πόσο στάλθηκε α ή δ α 1 1 1 α Εάν συμφωνηθεί να στέλνονται μόνο τα α ή γ, τότε ο δέκτης εάν λάβει α ή β ξέρει ότι στάλθηκε το α Αντίστοιχα, εάν λάβει γ ή δ, ξέρει ότι στάλθηκε το γ β γ 1 1 1 1 β γ δ 1 δ
Επέκταση διαύλου Εάν ο δίαυλος είναι δυαδικός συμμετρικός, μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια ιδέα, στον εκτεταμένο δίαυλο Η -στη επέκταση δέχεται έχει ως εισόδους-εξόδους δυαδικά μπλοκ μήκους X = {0,1} Y = {0,1} x p( y x) y
Ακολουθίες που διαφέρουν Για μεγάλο, η έξοδος θα διαφέρει από την είσοδο με πολύ μεγάλη πιθανότητα σε ε θέσεις Ο αριθμός δυνατών ακολουθιών που διαφέρουν με μια ακολουθία μήκους σε θέσεις ε είναι H b ( ε )! exp( ) H ε b π ( ) = log (1 )log(1 ) ε ε ε ε ε
Μη επικαλυπτόμενες ακολουθίες H b ( ε ) Για κάθε μπλοκ εισόδου υπάρχουν πιθανές ακολουθίες εξόδου Ο συνολικός αριθμός πιθανών ακολουθιών εξόδου (τυπικές ακολουθίες) είναι H ( Y ) Ο μέγιστος αριθμός ακολουθιών εισόδου που δεν παράγουν επικαλυπτόμενες ακολουθίες εξόδου είναι M H ( Y ) = = Hb ( ε ) ( H( Y) H ( ε )) και αντιστοιχούν σε ρυθμό μετάδοσης log M R = = H( Y) Hb( ε ) b
Μέγιστος ρυθμός Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε την H(Y) Για δυαδικό συμμετρικό δίαυλο R = 1 H ( ε) b Η χειρότερη επίδοση αντιστοιχεί σε ε=1/, οπότε ο ρυθμός R=0
Θεώρημα κωδικοποίησης διαύλου με θόρυβο Η χωρητικότητα ενός διακριτού διαύλου χωρίς μνήμη είναι C = max I( X; Y) p( x) όπου I(X;Y) είναι η αμοιβαία πληροφορία μεταξύ της εισόδου και της εξόδου Εάν ο ρυθμός μετάδοσης R<C, τότε για κάθε δ>0 υπάρχει κώδικας με μήκος αρκετά μεγάλο, ώστε η πιθανότητα σφάλματος να είναι μικρότερη από δ Εάν R>C, η πιθανότητα σφάλματος για οποιονδήποτε κώδικα οποιουδήποτε μήκους απομακρύνεται από το μηδέν
Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου διακριτού χρόνου
Περιορισμός ισχύος Ένας γκαουσιανός δίαυλος με περιορισμένη ισχύ εισόδου μπορεί να περιγραφεί από την σχέση Y = X + Z Z είναι κανονική τυχαία μεταβλητή μηδενικής μέσης τιμής και μεταβλητότητας P N Ο περιορισμός ισχύος σημαίνει ότι για οποιαδήποτε ακολουθία μήκους 1 xi i = 1 P
Επίδραση του θορύβου Για μεγάλο, από τον νόμο μεγάλων αριθμών, 1 1 zi = ( yi xi) PN i= 1 i= 1 που σημαίνει ότι με πιθανότητα ένα το y θα βρίσκεται μέσα σε -διάστατη υπερ-σφαίρα ακτίνας με κέντρο το x P N y x P N
Περιορισμός ισχύος στην έξοδο Λόγω της ανεξαρτησίας μεταξύ της εισόδου και του θορύβου και του περιορισμού ισχύος 1 y P P i N + = i 1 που σημαίνει ότι με πιθανότητα 1 οι ακολουθίες εξόδου y θα βρίσκονται μέσα σε -διάστατη υπερ-σφαίρα ακτίνας P ( + P) με κέντρο την N αρχή των αξόνων y P ( + P) N
Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου διακριτού χρόνου Επειδή το πλήθος των σφαιρών ακτίνας P N που μπορούμε να στοιβάξουμε σε σφαίρα ακτίνας είναι προσεγγιστικά ο λόγος των όγκων τους Το πλήθος των μηνυμάτων που μπορούν να μεταδοθούν αξιόπιστα είναι P ( + P N ) M ( ( )) N K P P P+ PN K PN + = = ( P ) N = 1+ P P N
Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου διακριτού χρόνου Άρα η χωρητικότητα, bit/σύμβολο, είναι C 1 1 P 1 P = log M = log 1+ = log 1+ PN PN
Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου συνεχούς χρόνου Δειγματοληπτούμε στο ρυθμό Nyquist οπότε 1 P C = log 1 + bit/δείγμα NW 0 και για ρυθμό μετάδοσης W C = Wlog 1+ όπου N P NW 0 W 0 PN = df = WN0 W bit/sec
Όρια στις επικοινωνίες
Ανταλλαγή ισχύος μετάδοσης και εύρους ζώνης Υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής μεταξύ ισχύος μετάδοσης και εύρους ζώνης Η μείωση της μιας παραμέτρου (P) μπορεί να αντισταθμιστεί από αύξηση της άλλης (W) Η αύξηση της χωρητικότητας συναρτήσει της ισχύος είναι αργή (λογαριθμική συνάρτηση) Για να αυξηθεί η ανοσία στον θόρυβο οι στάθμες κβάντισης πρέπει να απέχουν μεγάλη ισχύς Η χωρητικότητα μπορεί να αυξηθεί σε οποιαδήποτε τιμή με την αύξηση της ισχύος
Μέγιστη χωρητικότητα Η επίδραση του εύρους ζώνης είναι διαφορετική: αυξάνοντας το W Μεταδίδουμε περισσότερα δείγματα Μεγαλώνουμε τον θόρυβο στην είσοδο του δέκτη Όταν το εύρος ζώνης W τείνει στο άπειρο P P limc= log e= 1.44 N N W 0 0 Οριακή χωρητικότητα
Όρια λειτουργίας Επειδή R<C σε οποιοδήποτε πραγματικό σύστημα ήισοδύναμα όπου R < Wlog 1+ P NW E b r< log 1+ r N 0 R r = = φασματικόςρυθμός bit W P Eb = =ενέργεια bit R 0
Όρια λειτουργίας οπότε που οδηγεί στο απόλυτο ελάχιστο για αξιόπιστη επικοινωνία E N b 0 E N b r 1 > r 0 mi = l = 0.693 1.6dB
Σχέση με την κωδικοποίηση πηγής Αφού ο ρυθμός μετάδοσης πρέπει να είναι μικρότερος της χωρητικότητας διαύλου, για ικανοποιητική μετάδοση με παραμόρφωση D πρέπει RD ( ) < C Η συνάρτηση ρυθμού-παραμόρφωσης για γκαουσιανή πηγή με φασματική πυκνότητα ισχύος Α είναι AW A, f < W W log, D< AW SX ( f) = R( D) = D 0, αλλιώς 0, αλλιώς
Μετάδοση με παραμόρφωση D Εξισώνοντας τον ρυθμό μετάδοσης για παραμόρφωση D (σε σήμα εύρους ζώνης W) με την χωρητικότητα διαύλου (για εύρος ζώνης μετάδοσης Β) λαμβάνουμε P AW Blog 1+ = Wlog( ) NB 0 D
Λόγος σήματος προς θόρυβο ΟλόγοςB/W καλείται παράγων διεύρυνσης του εύρους ζώνης AW SQNR = = 1+ D P NB 0 Στο βέλτιστο σύστημα, λόγοςσήματοςπρος θόρυβο στην έξοδο αυξάνει εκθετικά ως προς τη διεύρυνση του εύρους ζώνης B W
Μετάδοση με PCM Στο σύστημα PCM Ηπαραμόρφωσηείναιτοάθροισματων παραμορφώσεων λόγω κβαντισμού και σφαλμάτων D total q b d όπου = σ + Pσ R R= νw, B= = νw x x x 4 σ 3 3 4 3 4 3 xmax xmax q = = ν ν 1 max max max q = = =, σ BW / d xmaxp ν ν e
Σηματοθορυβική σχέση στο PCM Η σηματοθορυβική σχέση είναι SNR max 3x 3 = = B B W W x (4P + 4 ) (4P + 4 ) e e S x όπου P e Q = Q ( SNR ) ( SNR ) c c πολική / μονοπολική
Επίδοση PCM Το SNR για μικρές πιθανότητες σφάλματος αυξάνει εκθετικά ως προς τον παράγοντα διεύρυνσης του εύρους ζώνης Η PCM χρησιμοποιεί αποδοτικά το διαθέσιμο εύρος ζώνης! Η FM εμφανίζει μια παρόμοια ιδιότητα ανταλλαγής εύρουςζώνηςπροςισχύεκπομπής, αλλά η αντίστοιχη εξάρτηση είναι τετραγωνική ως προς παράγοντα διεύρυνσης του εύρους ζώνης Η FM δεν είναι τόσο αποδοτική όσο η PCM