Άσκηση 05: Ψηφιακά Φίλτρα τύπου Κτένας. (Comb filters)

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ / ΣΤΕΦ / ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Μάθημα: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ (Εργαστήριο) Ε εξάμηνο Εξάμηνο: Χειμερινό 014-015 Άσκηση 05: Ψηφιακά Φίλτρα τύπου Κτένας ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΤΥΠΟΥ ΚΤΕΝΑΣ (Comb filters) Τα ψηφιακά φίλτρα τύπου κτένας ( comb filters ) πήραν το όνομά τους από το σχήμα της απόκρισης συχνότητάς τους, που μοιάζει με χτένα για τα μαλλιά, στραμμένη είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω. Προτάθηκαν το 1960 περίπου από τον διάσημο Γερμανό επιστήμονα Manfred Schroeder (196-009), το έργο του οποίου συνέβαλε καθοριστικά στην εξέλιξη της (ψηφιακής) πλέον επιστήμης και τεχνολογίας του ήχου, της ακουστικής και της ψηφιακής μετάδοσης φωνής. Δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα φίλτρων τύπου κτένας μελετήθηκαν ήδη στην Άσκηση 03 «Ηχώ και Αντήχηση». Το πρώτο ήταν το σύστημα ψηφιακής παραγωγής του φυσικού φαινομένου της ηχούς (echo), και το δεύτερο της αντήχησης (revereberation). Η απόκριση συχνότητας του καθενός απ αυτά επαναλαμβάνεται και σχολιάζεται στη συνέχεια. (α) Ψηφιακό Σύστημα Παραγωγής Ηχούς: Απόκριση Συχνότητας (Καμπύλη μέτρου μόνο) και Διάγραμμα Πόλων - Μηδενικών Η καμπύλη μέτρου της απόκρισης συχνότητας (άνω διάγραμμα στην εικόνα), έχει τη μορφή χτένας στραμμένης προς τα κάτω. Παρατηρούμε ότι σε μια σειρά από ισαπέχουσες συχνότητες η καμπύλη μέτρου εμφανίζει οξύ 1

ελάχιστο (πρακτικά μηδενίζεται). Οι συχνότητες αυτές ονομάζονται «μηδενικά» (notch frequencies) της Συνάρτησης Μεταφοράς του ψηφιακού συστήματος παραγωγής ηχούς. Αυτές οι συχνότητες δεν θα εμφανιστούν ποτέ στην έξοδο του συστήματος διότι «φιλτράρονται», πρόκειται συνεπώς για ψηφιακό φίλτρο επιλεκτικής αποκοπής συχνοτήτων. Στο διάγραμμα Πόλων Μηδενικών (κάτω διάγραμμα στην εικόνα), τα μηδενικά συμβολίζονται με o και βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου Ζ, ( = 1 ), σε 4 ισαπέχουσες θέσεις (διότι το συγκεκριμένο ψηφιακό σύστημα είχε ρητή συνάρτηση μεταφοράς με πολυώνυμο βαθμού Ν = 4 στον αριθμητή, βλ. Άσκηση 03). ΣΧΟΛΙΟ: Το φίλτρο αυτό έχει επίσης ίσο πλήθος (στο συγκεκριμένο παράδειγμα, 4) «πόλων» στην αρχή των αξόνων, δηλαδή στη μηδενική συχνότητα. Οι πόλοι συμβολίζονται με «x» και είναι συχνότητες όπου η Συνάρτηση Μεταφοράς απειρίζεται (πρακτικά λαμβάνει πολύ μεγάλη τιμή), δηλαδή συχνότητες συντονισμού (resonant frequencies). Παρατηρούμε ότι το ψηφιακό φίλτρο παραγωγής ηχούς δεν διαθέτει συχνότητες συντονισμού, παρά μόνο το dc (μηδενική συχνότητα). (β) Ψηφιακό Σύστημα Παραγωγής Αντήχησης: Η καμπύλη μέτρου της απόκρισης συχνότητας (άνω διάγραμμα στην εικόνα), έχει τη μορφή χτένας στραμμένης προς τα πάνω. Παρατηρούμε ότι σε μια σειρά από ισαπέχουσες συχνότητες η καμπύλη μέτρου εμφανίζει οξύ μέγιστο (θεωρητικά απειρίζεται, πρακτικά εδώ έχει ενίσχυση +15 db). Οι συχνότητες αυτές ονομάζονται «πόλοι» (resonant frequencies) της Συνάρτησης Μεταφοράς του ψηφιακού συστήματος παραγωγής αντήχησης. Αν εμφανιστούν στην είσοδο, διεγείρουν το σύστημα σε συντονισμό, οπότε επιλεκτικά εκεί το σύστημα παράγει έξοδο πολύ μεγάλου (θεωρητικώς άπειρου) πλάτους. Πρόκειται συνεπώς για ψηφιακό φίλτρο επιλεκτικής ενίσχυσης συχνοτήτων.

Στο διάγραμμα Πόλων Μηδενικών (κάτω διάγραμμα στην εικόνα), οι πόλοι συμβολίζονται με x και βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου Ζ, ( = 1 ), σε 4 ισαπέχουσες θέσεις (διότι το συγκεκριμένο ψηφιακό σύστημα είχε ρητή συνάρτηση μεταφοράς με πολυώνυμο βαθμού Ν = 4 στον παρονομαστή, βλ. Άσκηση 03). ΣΧΟΛΙΟ: Το φίλτρο αυτό έχει επίσης ίσο πλήθος (στο συγκεκριμένο παράδειγμα, 4) «μηδενικών» στην αρχή των αξόνων, δηλαδή στη μηδενική συχνότητα. Τα μηδενικά συμβολίζονται με «ο» και είναι συχνότητες όπου η Συνάρτηση Μεταφοράς μηδενίζεται (πρακτικά λαμβάνει πολύ μικρή τιμή), δηλαδή συχνότητες αποκοπής (notch frequencies). Παρατηρούμε ότι το ψηφιακό φίλτρο παραγωγής αντήχησης δεν διαθέτει συχνότητες αποκοπής, παρά μόνο το dc (μηδενική συχνότητα). Κύριες λειτουργίες των comb filters Τα comb filters έχουν δύο κύριες λειτουργίες: 1. Λειτουργούν ως μονάδες ψηφιακής καθυστέρησης, και. Σχηματίζουν (μορφοποιούν) την απόκριση συχνότητας (βαθυπερατή, ζωνοπερατή / ζωνοφρακτική, υψιπερατή) ώστε να έχουμε το ψηφιακό φίλτρο της αντίστοιχης κατηγορίας. Τα φηψιακά comb filters μπορούν να παραχθούν χρησιμοποιώντας ψηφιακές βαθμίδες ενίσχυσης, καθυστέρησης και άθροισης. Σκοπός της άσκησης Να εξετάσουμε και να κατανοήσουμε τα comb filters και την ψηφιακή καθυστέρηση. Να σχεδιάσουμε ζωνοπερατά ψηφιακά φίλτρα και ψηφιακά φίλτρα αποκοπής ζώνης (ζωνοφρακτικά) χρησιμοποιώντας ψηφιακές καθυστερήσεις. Να υλοποιήσουμε τα comb filters με το Texas Instruments TMS30C5505 USB Stick και να πειραματιστούμε, χρησιμοποιώντας ως είσοδο το σήμα από το μικρόφωνο και ακούγοντας το φιλτραρισμένο αποτέλεσμα στο ακουστικά ή στα ηχεία του υπολογιστή. ΜΕΡΟΣ Ι: ΑΝΑΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΧΡΟΝΟΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ 1. Απλή Αναλογική Μονάδα Καθυστέρησης Μια απλή αναλογική μονάδα καθυστέρησης του σήματος εισόδου μπορεί να υλοποιηθεί χρησιμοποιώντας μια αντίσταση και έναν πυκνωτή (παθητικό κύκλωμα): 1 Vout jc 1 1 1 ( j), 0 V 1 in R 1 j RC 1 j RC jc 0 3

Αν θεωρήσουμε ότι ο παρονομαστής 1+jωRC παριστάνει σύνθετη αντίσταση με πραγματικό μέρος 1 και φανταστικό μέρος ωrc, τότε μπορεί η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος μπορεί να γραφτεί ως 1 Vout jc 1 1 ( j) V 1 in R 1 jrc j C Η απόκριση συχνότητας του κυκλώματος λαμβάνεται υπολογίζοντας χωριστά το μέτρο (σε λογαριθμική κλίμακα) και τη φάση V 0log ( j) 0log 0log ( db) out 10 10 0 10 Vin V V out 1 ( j) (1 j ) tan ( ) in 0 0 της παραπάνω ποσότητας και σχεδιάζοντας τις δύο καμπύλες ως προς τη συχνότητα ω (rad/sec): 1 Παρατηρούμε ότι στην περιοχή συχνοτήτων (ω >> ω 0 ή ω / ω 0 >> 1) προσεγγιστικά το κύκλωμα αυτό προσθέτει σταθερή φάση 90 0 στην αρχική φάση με την οποία εισέρχεται το σήμα εισόδου (ενώ ταυτόχρονα αποσβαίνει το πλάτος του κατά απόσβεση ανάλογη της συχνότητας), εξ ου και ο ρόλος του χρονο-καθυστερητή.. Απλή Ψηφιακή Μονάδα Καθυστέρησης 4

Ένα ψηφιακό σύστημα απλής καθυστέρησης πρέπει να δέχεται στην είσοδο το σήμα διακριτού χρόνου x(n) και να παράγει στην έξοδο το ίδιο σήμα καθυστερημένο κατά ένα (Ν = 1) χρονικό δείγμα, δηλαδή το x(n-1). Η διάρκεια της καθυστέρησης ενός (Ν = 1) δείγματος σε φυσικό χρόνο είναι t = T s = 1 T s, όπου T s = 1 / f s είναι η περίοδος δειγματοληψίας, δηλαδή η απόσταση δύο διαδοχικών δειγμάτων του ψηφιακού σήματος. Άρα το ψηφιακό σύστημα καθυστέρησης κατά ένα χρονικό δείγμα περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y(n) = x(n-1). Μετασχηματίζοντας είσοδο και έξοδο στο πεδίο της (ψηφιακής) συχνότητας Ζ, έχουμε: n n X ( ) x( n) και Y( ) y( n) x( n 1) n n Ορίζουμε τη νέα μεταβλητή n = n 1. Όταν το n μεταβάλλεται από - έως +, το ίδιο κάνει και το n. Έτσι έχουμε n n n' 1 1 n' 1 ( ) ( 1) ( ') ( ') ( ). Y x n x n x n X n n' n' Συνεπώς η Συνάρτηση Μεταφοράς του ψηφιακού συστήματος απλής καθυστέρησης είναι H() Y() X() 1. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι το αποτέλεσμα γενικεύεται για καθυστερήσεις Ν δειγμάτων, με Ν > 1: Y() y( n) x( n ) H( ). X() Σε επίπεδο Διαγράμματος Βαθμίδων, μια τέτοια βαθμίδα καθυστέρησης συμβολίζεται ως εξής, για Ν = 1, και 0 δείγματα, αντίστοιχα: n Τέλος, σε επίπεδο πραγματικού κυκλώματος, μια τέτοια βαθμίδα μπορεί να υλοποιηθεί με Delay flip-flops. Καθυστέρηση σε καρτεσιανές και σε πολικές συντεταγμένες Μοναδιαία καθυστέρηση Η γενική μορφή της μιγαδικής μεταβλητής στο πεδίο της (ψηφιακής) συχνότητας Z είναι 5

a jb ή j e σε καρτεσιανές ή σε πολικές συντεταγμένες, αντίστοιχα. Προφανώς, η σχέση μεταξύ τους είναι η 1 b j tan ( ) j a e a b e. Αν περιοριστούμε στις μοναδιαίες καθυστερήσεις, θα πρέπει η μεταβλητή να κινείται αποκλειστικά πάνω στον Μοναδιαίο Κύκλο του επιπέδου Ζ, δηλαδή σύμφωνα με τον τύπο του Euler, j 1 e cos( ) j sin( ). Πρόκειται για ένα καθαρό παράγοντα φάσης, ο οποίος βρίσκεται πάνω στο Μοναδιαίο Κύκλο, σε γωνία σχέση με τον οριζόντιο άξονα. Άρα Υπενθυμίζεται ότι ισχύει 1 j e j j j cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ). analogue F, όπου F η κανονικοποιημένη συχνότητα F. f f sampling σε Η μορφή του Ω μας επιτρέπει τον υπολογισμό της απόκρισης συχνότητας ενός ψηφιακού φίλτρου, καθώς οι προδιαγραφές της σχεδίασης δίνονται επί των τιμών της Ω. ΣΧΟΛΙΟ : Ένας πρακτικός τρόπος να υπολογίσουμε την απόκριση συχνότητας μιας ολόκληρης σειράς ψηφιακών φίλτρων από τις συναρτήσεις μεταφοράς των αντίστοιχων αναλογικών, είναι να αξιοποιήσουμε την παραπάνω σχέση e e 1 j j αντίστροφα, δηλαδή στη συνάρτηση μεταφοράς του αναλογικού φίλτρου να αντικαθιστούμε τους παράγοντες j φάσεις e 1 με ψηφιακές μονάδες καθυστέρησης. ΜΕΡΟΣ ΙΙ: ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Comb Filters II.a Φίλτρο Σχισμής (otch Filter) Το Φίλτρο Σχισμής έχει στόχο να αποκόψει («φιλτράρει») συγκεκριμένες συχνότητες του σήματος εισόδου, ώστε αυτές να μην εμφανιστούν στην έξοδο. Στις συχνότητες αυτές η συνάρτηση μεταφοράς του πρέπει να έχει μηδενικά, άρα η απόκριση συχνότητάς του (καμπύλη μέτρου) να παρουσιάζει οξείες βυθίσεις. Στη συνέχεια φαίνεται το διάγραμμα βαθμίδων ενός τέτοιου φίλτρου: 6

Εν γένει η καθυστέρηση είναι δείγματα, οπότε αντιστοιχεί σε φυσικό χρόνο t = T s, όπου T s = 1 / f s είναι η περίοδος δειγματοληψίας, δηλαδή η απόσταση δύο διαδοχικών δειγμάτων του ψηφιακού σήματος, οπότε το Διάγραμμα γίνεται Σημειώνεται ότι ο πολλαπλασιαστικός παράγων G έχει εισαχθεί για να προσφέρει επιπλέον ευελιξία. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συμπεριληφθεί στο φίλτρο αυτό είτε η περίπτωση ενίσχυσης πλάτους (G > 1), είτε η περίπτωση απόσβεσης πλάτους (G < 1) είτε η περίπτωση απλής καθυστέρησης, χωρίς επίδραση στο πλάτος, (G = 1) που μας ενδιαφέρει εδώ κυρίως. Mε βάση το Διάγραμμα Βαθμίδων που έχει δύο παράλληλους κλάδους, η σχέση εισόδου-εξόδου προκύπτει ως oπότε η συνάρτηση μεταφοράς είναι Y( ) [1 G ] X ( ) H( ) X ( ), G H( ) 1 G, όπου η τελευταία μετατροπή έγινε για να εκφραστεί το H() σε θετικές δυνάμεις του. Παρατηρούμε ότι πρόκειται για ρητή συνάρτηση του, με πολυώνυμο βαθμού στον αριθμητή (άρα το πλήθος «μηδενικά» (notch frequencies) ως ρίζες του) και πολυώνυμο Ν βαθμού στον παρονομαστή, με Ν ρίζες, όλες στο = 0 (αρχή των αξόνων, μηδενική συχνότητα, dc). Προκειμένου να χαράξουμε τις καμπύλες μέτρου και φάσης, δηλαδή την απόκριση συχνότητας ενός τέτοιου συστήματος, για G = 1, υπολογίζουμε το μέτρο και τη φάση ως εξής: j j j j j j ( ) 1 1 cos( ) H e e e e e e, j j όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι e e 1καθώς και τον τύπο του Euler, 7

j j e e cos( ) j sin( ) cos( ) j sin( ) cos( ). Συνεπώς το μέτρο και η φάση της μιγαδικής H() είναι, αντίστοιχα, και H e e j j ( ) cos( ) cos( ) cos( ) j H ( ) [ e cos( )] Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι καμπύλες μέτρου και φάσης για δύο απλά παραδείγματα καθυστέρησης = και Ν = 4 δειγμάτων, πάντα με G = 1. II.a.1 Παράδειγμα με G = 1 και Ν = Για G = 1 και καθυστέρηση = δείγματα, το Διάγραμμα Βαθμίδων γίνεται όπου το Gain = 0.5 μετά τον αθροιστή έχει προστεθεί ώστε η ισχύς του σήματος στην έξοδο να είναι αντίστοιχο με εκείνο του σήματος στην είσοδο, και δεν συμπεριλαμβάνεται στην ανάλυση που ακολουθεί. Η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται j j j j j j H( ) 1 1 e e e e e e cos( ), j j όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι e e 1καθώς και τον τύπο του Euler, j j e e cos( ) jsin( ) cos( ) jsin( ) cos( ). Προκειμένου να χαράξουμε την απόκριση συχνότητας του συστήματος (καμπύλες μέτρου και φάσης) υπολογίζουμε το μέτρο και τη φάση της συνάρτησης μεταφοράς: και j j H( ) e cos( ) e cos( ) cos( ) H ( ) [ e j cos( )] Χαράζουμε τις δύο καμπύλες συναρτήσει της κανονικοποιημένης συχνότητας Ω και έχουμε 8

Παρατηρούμε δύο σημαντικά χαρακτηριστικά: (α) την οξεία βύθιση της καμπύλης μέτρου στην κανονικοποιημένη συχνότητα Ω = π F = 0.5π rad /sec, που σημαίνει F = f_analogue / f_sampling = 1 / 4, δηλαδή αντιστοιχεί σε φυσική συχνότητα f_analogue = (1 / 4) f_sampling, ήτοι σε 000 H για f_sampling = 8000 H, και (β) την γραμμική φάση, η οποία έχει σταθερή αρνητική κλίση ως προς τη συχνότητα Ω. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται και πάλι οι καμπύλες μέτρου και φάσης, με τον οριζόντιο άξονα «μεταφρασμένο» σε φυσική συχνότητα f_analogue (H). Λόγω του θεωρήματος δειγματοληψίας, η μέγιστη φυσική συχνότητα που διατηρείται σε ένα σήμα δειγματοληπτημένο με f_sampling = 8000 H είναι η f_sampling / = 4000 H, όπως βλέπουμε στο δεξί άκρο του οριζόντιου άξονα. 9

Τέλος, στο επόμενο σχήμα φαίνεται πάλι η καμπύλη μέτρου (μόνο) με σημειωμένες τις συχνότητες πόλων και μηδενικών, ενώ στο κάτω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται ο χάρτης πόλων και μηδενικών. Οι πόλοι και τα μηδενικά μπορούν να υπολογιστούν εύκολα από τη μορφή της συνάρτησης μεταφοράς H() 1 από την οποία βρίσκουμε ότι έχει δύο μηδενικά στις θέσεις j 1 0 1, j e j cos( ) j sin( ) j και φυσικά δύο πόλους στο μηδέν (αρχή των αξόνων). Από το κάτω διάγραμμα του σχήματος επιβεβαιώνονται οι υπολογισμοί μας για τις θέσεις πόλων και μηδενικών. Οι καμπύλες της απόκρισης συχνότητας μπορούν να χαραχθούν χρησιμοποιώντας την εντολή freq(b, a) του Matlab, και δίνοντας τα κατάλληλα πολυώνυμα αριθμητή και παρονομαστή, b() και a(), αντίστοιχα, μέσω των συντελεστών τους, b() =[ 1 0 1] και a() = 1. Στην επόμενη εικόνα φαίνεται το αρχείο του κώδικα στο Matlab: 10

II.a. Παράδειγμα με G = 1 και Ν = 4 Για G = 1 και καθυστέρηση = 4 δείγματα, η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται 4 j4 j j j j j H( ) 1 1 e e e e e e cos( ), όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι e e j j 1καθώς και τον τύπο του Euler, j j e e j j cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ). Προκειμένου να χαράξουμε την απόκριση συχνότητας του συστήματος (καμπύλες μέτρου και φάσης) υπολογίζουμε το μέτρο και τη φάση της μιγαδικής συνάρτησης μεταφοράς: H e e j j ( ) cos( ) cos( ) cos( ) και H ( ) [ e j cos( )] Χαράζουμε τις δύο καμπύλες συναρτήσει της κανονικοποιημένης συχνότητας Ω και έχουμε 11

Παρατηρούμε και πάλι τα δύο χαρακτηριστικά των notch filters: (α) την οξεία βύθιση της καμπύλης μέτρου στις δύο () τώρα κανονικοποιημένες συχνότητες Ω 1 = π F 1 = 0.5π rad / sec, Ω = π F = 0.75π rad / sec, που σημαίνει F 1 = f 1 _analogue / f_sampling = 1 / 8, F = f _analogue / f_sampling = 3 / 8, δηλαδή για f_sampling = 8000 H αντιστοιχούν σε φυσικές συχνότητες f 1 _analogue = (1 / 8) f_sampling = 1000 H, f _analogue = (3 / 8) f_sampling = 3000 H, και (β) την γραμμική φάση, η οποία έχει σταθερή αρνητική κλίση (-) ως προς τη συχνότητα Ω. Στο επόμενο σχήμα φαίνονται και πάλι οι καμπύλες μέτρου και φάσης, με τον οριζόντιο άξονα «μεταφρασμένο» σε φυσική συχνότητα f_analogue (H). Λόγω του θεωρήματος δειγματοληψίας, η μέγιστη φυσική συχνότητα που διατηρείται σε ένα σήμα δειγματοληπτημένο με f_sampling = 8000 H είναι η f_sampling / = 4000 H, όπως βλέπουμε στο δεξί άκρο του οριζόντιου άξονα. 1

Τέλος, στο επόμενο σχήμα φαίνεται πάλι η καμπύλη μέτρου (μόνο) με σημειωμένες τις συχνότητες πόλων και μηδενικών, ενώ στο κάτω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται ο χάρτης πόλων και μηδενικών. Οι πόλοι και τα μηδενικά μπορούν να υπολογιστούν εύκολα από τη μορφή της συνάρτησης μεταφοράς H() 4 1 4 από την οποία βρίσκουμε (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το roots([ 1 0 0 0 1]) στο Matlab) ότι έχει τέσσερα μηδενικά στις θέσεις 4 1 0 [ ( j )] [ ( j )] [ ( j )] [ ( j )] 0 { 1, j } και { 3,4 j } j j { e 1, j } και { e 3,4 j } {cos( 1, ) j sin( 1, ) j } και {cos( 3,4) j sin( 3,4) j } 3 { 1, } και { 3,4 } 4 4 13

και φυσικά τέσσερεις πόλους στο μηδέν (αρχή των αξόνων). Από το κάτω διάγραμμα του σχήματος επιβεβαιώνονται οι υπολογισμοί μας για τις θέσεις πόλων και μηδενικών. Οι καμπύλες της απόκρισης συχνότητας μπορούν να χαραχθούν χρησιμοποιώντας την εντολή freq(b, a) του Matlab, και δίνοντας τα κατάλληλα πολυώνυμα αριθμητή και παρονομαστή, b() και a(), αντίστοιχα, μέσω των συντελεστών τους, b() =[ 1 0 0 0 1] και a() = 1. Γενικεύοντας, μπορούμε να πούμε συνοπτικά για τα notch filters τάξης, όπου Ν ζυγός αριθμός, ότι 1. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ρητή και περιέχει παράλληλους κλάδους αλλά όχι βρόχο ανατροφοδότησης, άρα υλοποιεί ένα μη αναδρομικό φίλτρο,. Η συνάρτηση μεταφοράς έχει Ν πόλους στην αρχή των αξόνων, 3. Η συνάρτηση μεταφοράς έχει Ν μηδενικά πάνω στο μοναδιαίο κύκλο, στις Ν-οστές ρίζες της μονάδας, 4. Η καμπύλη μέτρου της απόκρισης συχνότητας έχει μορφή χτένας στραμμένης προς τα κάτω, και παρουσιάζει οξεία βύθιση σε (/) το πλήθος συχνότητες (τις οποίες «φιλτράρει» και αποκόπτει πρακτικά από την έξοδο), 5. Οι (Ν/) αυτές συχνότητες και οι (Ν/) κατοπτρικές (αντίθετές) τους, όλες μαζί Ν το πλήθος, ισοκατανέμονται στο διάστημα της κανονικοποιημένης συχνότητας Ω [-π, +π] (rad / sec), και έτσι μπορούν να υπολογιστούν ακριβώς οι θέσεις τους, δηλαδή οι τιμές τους, 6. Η καμπύλη φάσης της απόκρισης συχνότητας είναι γραμμική ως προς τη συχνότητα Ω, με αρνητική κλίση [- (Ν/)], άρα προστίθεται στο σήμα εισόδου αρνητική φάση (καθυστέρηση φάσης, phase lag), τόσο περισσότερο αρνητική όσο μεγαλύτερη η συχνότητα. Η κλίση μεγαλώνει με την τάξη Ν του φίλτρου. 14

II.b Φίλτρο Επιλεκτικής Ενίσχυσης Συχνοτήτων (Comb Bandpass Filter) Το Φίλτρο Επιλεκτικής Ενίσχυσης Συχνοτήτων ή Ζωνοπερατό Φίλτρο τύπου κτένας (Comb Bandpass filter) ενισχύει σημαντικά συγκεκριμένες συχνότητες του σήματος εισόδου, οι οποίες αποτελούν τις συχνότητες συντονισμού του φίλτρου. Στις συχνότητες αυτές η συνάρτηση μεταφοράς του πρέπει να έχει πόλους, άρα η απόκριση συχνότητάς του (καμπύλη μέτρου) να παρουσιάζει οξείες κορυφές. Στη συνέχεια φαίνεται το διάγραμμα βαθμίδων ενός τέτοιου φίλτρου: Εν γένει η καθυστέρηση είναι δείγματα, οπότε αντιστοιχεί σε φυσικό χρόνο t = T s, όπου T s = 1 / f s είναι η περίοδος δειγματοληψίας, δηλαδή η απόσταση δύο διαδοχικών δειγμάτων του ψηφιακού σήματος, οπότε το Διάγραμμα γίνεται Σημειώνεται ότι ο πολλαπλασιαστικός παράγων G έχει εισαχθεί για να εξασφαλίσει την ευστάθεια του συστήματος. Όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω, για G = 1 οι πόλοι του συστήματος αυτού βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο (σύστημα οριακά ευσταθές) ενώ για G > 1 οι πόλοι βρίσκονται εκτός μοναδιαίου κύκλου (σύστημα ασταθές). Συνεπώς για να εξασφαλιστεί η ευστάθεια (πόλοι εντός του μοναδιαίου κύκλου) θα πρέπει G < 1. Μια τυπική τιμή είναι G = 0.8. Mε βάση το Διάγραμμα Βαθμίδων που περιέχει ένα βρόχο ανατροφοδότησης ή ανάδρασης (feedback loop), η σχέση εισόδου-εξόδου προκύπτει ως Y( ) 1 Y( ) X ( ) G Y( ) Y[1 G ] X ( ) H( ), X ( ) 1 G oπότε η συνάρτηση μεταφοράς είναι 1 H(), 1G G όπου η τελευταία μετατροπή έγινε για να εκφραστεί το H() σε θετικές δυνάμεις του. Παρατηρούμε ότι πρόκειται για ρητή συνάρτηση του, με πολυώνυμο βαθμού στον αριθμητή (άρα το πλήθος «μηδενικά» στο = 0 (αρχή 15

των αξόνων, μηδενική συχνότητα, dc) και πολυώνυμο Ν βαθμού στον παρονομαστή, με Ν ρίζες, ή «πόλους» ή συχνότητες συντονισμού (resonant frequencies). Προκειμένου να χαράξουμε τις καμπύλες μέτρου και φάσης, δηλαδή την απόκριση συχνότητας ενός τέτοιου συστήματος, υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς και στη συνέχεια το μέτρο και τη φάση της ως εξής: 1 1 1 1 H( ) j 1G 1Ge j j j j j j j e e Ge e e [ e Ge ], 1 j e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin )] j j όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι e e 1καθώς και τον τύπο του Euler, j j e Ge cos( ) j sin( ) G cos( ) jgsin( ) (1 G)cos( ) j(1 G)sin( ). Συνεπώς το μέτρο και η φάση της μιγαδικής H() είναι, αντίστοιχα, και 1 1 H( ) j j e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin( ) e (1 G)cos( ) j(1 G)sin( ) 1 1 G G (1 G) cos ( ) (1 G) sin ( ) (1 ) cos( ) j H ( ) 0 e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin( )] Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι καμπύλες μέτρου και φάσης για δύο απλά παραδείγματα καθυστέρησης = και Ν = 4 δειγμάτων, πάντα με G = 0.8. II.a.1 Παράδειγμα με G = 0.8 και Ν = Για G = 0.8 και καθυστέρηση = δείγματα, το Διάγραμμα Βαθμίδων γίνεται 16

όπου το Gain = 1.8 πριν την έξοδο έχει προστεθεί ώστε η ισχύς του σήματος στην έξοδο να είναι αντίστοιχη με εκείνο του σήματος στην είσοδο, δηλαδή το όλο σύστημα να έχει gain = 1 (0 db) και δεν συμπεριλαμβάνεται στην ανάλυση που ακολουθεί. Η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται 1 1 1 1 H( ) j j j j j j j j 1 G 1 Ge e e Ge e e [ e Ge ] 1 j e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin )] j j όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι e e 1καθώς και τον τύπο του Euler, j j e Ge cos( ) jsin( ) Gcos( ) jgsin( ) (1 G)cos( ) j(1 G)sin( ). Προκειμένου να χαράξουμε την απόκριση συχνότητας του συστήματος (καμπύλες μέτρου και φάσης) υπολογίζουμε το μέτρο και τη φάση της συνάρτησης μεταφοράς: H() 1 1 1 j e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin( ) (1 G ) Gcos( ) (1 G) G cos( ) j H ( ) 0 e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin( )] Χαράζουμε τις δύο καμπύλες συναρτήσει της κανονικοποιημένης συχνότητας Ω και έχουμε 17

Παρατηρούμε δύο σημαντικά χαρακτηριστικά: (α) το οξύ μέγιστο της καμπύλης μέτρου στην κανονικοποιημένη συχνότητα Ω = π F = 0.5π rad /sec, που σημαίνει F = f_analogue / f_sampling = 1 / 4, δηλαδή αντιστοιχεί σε φυσική συχνότητα f_analogue = (1 / 4) f_sampling, ήτοι σε 000 H για f_sampling = 8000 H, και (β) την σχεδόν γραμμική φάση, η οποία έχει σταθερή θετική κλίση ως προς τη συχνότητα Ω (για G = 1 η φάση θα προέκυπτε ακριβώς γραμμική, αλλά δυστυχώς αυτή η τιμή του G φέρνει το σύστημα στα όρια της ευστάθειας, οπότε αποφεύγεται). Στο επόμενο σχήμα φαίνονται και πάλι οι καμπύλες μέτρου και φάσης, με τον οριζόντιο άξονα «μεταφρασμένο» σε φυσική συχνότητα f_analogue (H). Λόγω του θεωρήματος δειγματοληψίας, η μέγιστη φυσική συχνότητα που διατηρείται σε ένα σήμα δειγματοληπτημένο με f_sampling = 8000 H είναι η f_sampling / = 4000 H, όπως βλέπουμε στο δεξί άκρο του οριζόντιου άξονα. 18

Τέλος, στο επόμενο σχήμα φαίνεται πάλι η καμπύλη μέτρου (μόνο) με σημειωμένες τις συχνότητες πόλων και μηδενικών, ενώ στο κάτω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται ο χάρτης πόλων και μηδενικών. Οι πόλοι και τα μηδενικά μπορούν να υπολογιστούν εύκολα από τη μορφή της συνάρτησης μεταφοράς H() G από την οποία βρίσκουμε ότι έχει δύο πόλους στις θέσεις j G 0 1, j G r e 1, j G r [cos( 1, ) j sin( 1, )] j G r G και 1, και φυσικά δύο μηδενικά στο μηδέν (αρχή των αξόνων). Από το κάτω διάγραμμα του σχήματος επιβεβαιώνονται οι υπολογισμοί μας για τις θέσεις πόλων και μηδενικών. Οι καμπύλες της απόκρισης συχνότητας μπορούν να χαραχθούν χρησιμοποιώντας την εντολή freq(b, a) του Matlab, και δίνοντας τα κατάλληλα πολυώνυμα αριθμητή και παρονομαστή, b() και a(), αντίστοιχα, μέσω των συντελεστών τους, b() =[ 1 ] και a() = [1 0 0.8]. Στην επόμενη εικόνα φαίνεται το αρχείο του κώδικα στο Matlab: 19

II.b. Παράδειγμα με G = 0.8 και Ν = 4 Για G = 0.8 και καθυστέρηση = 4 δείγματα, η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται 1 1 1 1 H( ) 4 j4 j j j j j j j 1 G 1 Ge e e Ge e e [ e Ge ] 1 [(1 )cos( ) (1 )sin )] j e G j G όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι e e j j 1καθώς και τον τύπο του Euler, j j e Ge j G jg G j G cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) (1 ) cos( ) (1 )sin( ). Προκειμένου να χαράξουμε την απόκριση συχνότητας του συστήματος (καμπύλες μέτρου και φάσης) υπολογίζουμε το μέτρο και τη φάση της συνάρτησης μεταφοράς: H() 1 1 1 j e [(1 G) cos( ) j(1 G)sin( ) (1 G ) Gcos(4 ) (1 G) G cos( ) j H( ) 0 e [(1 G)cos( ) j(1 G)sin( )] Χαράζουμε τις δύο καμπύλες συναρτήσει της κανονικοποιημένης συχνότητας Ω και έχουμε 0

Παρατηρούμε και πάλι τα δύο χαρακτηριστικά των bandpass comb filters: (α) τo oξύ μέγιστο της καμπύλης μέτρου στις δύο () τώρα κανονικοποιημένες συχνότητες Ω 1 = π F 1 = 0.5π rad / sec, Ω = π F = 0.75π rad / sec, που σημαίνει F 1 = f 1 _analogue / f_sampling = 1 / 8, F = f _analogue / f_sampling = 3 / 8, δηλαδή για f_sampling = 8000 H αντιστοιχούν σε φυσικές συχνότητες f 1 _analogue = (1 / 8) f_sampling = 1000 H, f _analogue = (3 / 8) f_sampling = 3000 H, και (β) την σχεδόν γραμμική φάση, η οποία έχει σταθερή θετική κλίση (+) ως προς τη συχνότητα Ω (με G = 1 η φάση προκύπτει ακριβώς γραμμική, αλλά η τιμή αυτή φέρνει το σύστημα στα όρια της ευστάθειας). Στο επόμενο σχήμα φαίνονται και πάλι οι καμπύλες μέτρου και φάσης, με τον οριζόντιο άξονα «μεταφρασμένο» σε φυσική συχνότητα f_analogue (H). Λόγω του θεωρήματος δειγματοληψίας, η μέγιστη φυσική συχνότητα που διατηρείται σε ένα σήμα δειγματοληπτημένο με f_sampling = 8000 H είναι η f_sampling / = 4000 H, όπως βλέπουμε στο δεξί άκρο του οριζόντιου άξονα. 1

Τέλος, στο επόμενο σχήμα φαίνεται πάλι η καμπύλη μέτρου (μόνο) με σημειωμένες τις συχνότητες πόλων και μηδενικών, ενώ στο κάτω διάγραμμα του σχήματος φαίνεται ο χάρτης πόλων και μηδενικών. Οι πόλοι και τα μηδενικά μπορούν να υπολογιστούν εύκολα από τη μορφή της συνάρτησης μεταφοράς H() 4 4 0.8 από την οποία βρίσκουμε (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το roots([ 1 0 0 0 0.8]) στο Matlab) ότι έχει τέσσερεις πόλους στις θέσεις 4 0.8 0 [ (0.668 j0.668)] [ (0.668 j0.668)] [ ( 0.668 j0.668)] [ ( 0.668 j0.668)] 0 { 0.668 j0.668} και { 0.668 j0.668} 1, 3,4 { r e 0.668 j0.668} και { r e 0.668 j0.668} j j 1, 3,4 { r [cos( 1, ) jsin( 1, )] 0.668 j0.668} και { r [cos( 3,4 ) j sin( 3,4 )] 0.668 j0.668} 0.668 3 r 4 4 ( ) 4 = 0.8 και { 1, } και { 3,4 } και φυσικά τέσσερα μηδενικά στο μηδέν (αρχή των αξόνων). Από το κάτω διάγραμμα του σχήματος επιβεβαιώνονται οι υπολογισμοί μας για τις θέσεις πόλων και μηδενικών.

Οι καμπύλες της απόκρισης συχνότητας μπορούν να χαραχθούν χρησιμοποιώντας την εντολή freq(b, a) του Matlab, και δίνοντας τα κατάλληλα πολυώνυμα αριθμητή και παρονομαστή, b() και a(), αντίστοιχα, μέσω των συντελεστών τους, b() =[ 1] και a() = [1 0 0 0 0.8]. Γενικεύοντας, μπορούμε να πούμε συνοπτικά για τα bandpass comb filters τάξης, όπου Ν ζυγός αριθμός, ότι 1. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ρητή και περιέχει βρόχο ανατροφοδότησης, άρα υλοποιεί ένα αναδρομικό φίλτρο,. Η συνάρτηση μεταφοράς έχει Ν μηδενικά στην αρχή των αξόνων, 3. Η συνάρτηση μεταφοράς έχει Ν πόλους στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, σε απόσταση ακτίνας G^(1/) από την αρχή των αξόνων και σε γωνίες πάνω στις Ν-οστές ρίζες της μονάδας, 4. Η καμπύλη μέτρου της απόκρισης συχνότητας έχει μορφή χτένας στραμμένης προς τα πάνω, και παρουσιάζει οξύ μέγιστο σε (/) το πλήθος συχνότητες (τις οποίες ενισχύει επιλεκτικά καθώς αποτελούν συχνότητες συντονισμού του φίλτρου), 5. Οι (Ν/) αυτές συχνότητες και οι (Ν/) κατοπτρικές (αντίθετές) τους, όλες μαζί Ν το πλήθος, ισοκατανέμονται στο διάστημα της κανονικοποιημένης συχνότητας Ω [-π, +π] (rad / sec), και έτσι μπορούν να υπολογιστούν ακριβώς οι θέσεις τους, δηλαδή οι τιμές τους, 6. Η καμπύλη φάσης της απόκρισης συχνότητας είναι σχεδόν γραμμική ως προς τη συχνότητα Ω, με θετική κλίση [+(Ν/)], άρα προστίθεται στο σήμα εισόδου θετική φάση (προήγηση φάσης, phase lead), τόσο περισσότερο θετική όσο μεγαλύτερη η συχνότητα. Η κλίση μεγαλώνει με την τάξη Ν του φίλτρου. 3

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ Comb Filters (Α) Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αφορά την υλοποίηση σε γλώσσα C μίας σειράς από ψηφιακά φίλτρα τύπου κτένας, την εφαρμογή τους πάνω στο σήμα που εισάγεται από το μικρόφωνο και την ακρόαση του αποτελέσματος, δηλαδή του φιλτραρισμένου σήματος, στα ακουστικά ή τα ηχεία του υπολογιστή. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί ο κώδικας σε γλώσσα C που βρίσκεται στο αρχείο combfilters.c και περιέχει: Comb notch filters: comb_notch_filter( input, length); Bandpass comb filters: comb_band_pass_filter( input, length); Η παράμετρος length είναι το πλήθος των δειγμάτων καθυστέρησης, και μπορεί να οριστεί μεταξύ και 3. Τέλος, για την επιβεβαίωση της ορθής λειτουργίας των comb filters χρειάζεται: είτε μία εξωτερική γεννήτρια σήματος, είτε μία εσωτερική γεννήτρια σάρωσης (sweep generator) που υλοποιείται μέσω λογισμικού. (Β) Η συνδεσμολογία του TMS30C5505 Με εσωτερική γεννήτρια σάρωσης (λογισμικό) Με εξωτερική γεννήτρια (Γ) Συνοπτικά βήματα Χρησιμοποιήστε τα αρχεία προγράμματος (τον κώδικα) που δίνεται στην Άσκηση 05 «Ψηφιακά Φίλτρα τύπου κτένας». Αν δεν υπάρχουν ήδη στο φάκελο Desktop -> My Documents -> Workspace -> example_05, δημιουργείστε το φάκελο αυτό και αντιγράψτε τα αρχεία της άσκησης μέσα σ αυτόν. Ακολουθήστε ΟΛΑ τα βήματα και τις ρυθμίσεις παραμέτρων που δίνονται στο φυλλάδιο «Εισαγωγή και Εκτέλεση Προγραμμάτων στο CCS». Συνοπτικά: 1) Πραγματοποιούμε την ζητούμενη συνδεσμολογία, που φαίνεται στο Σχήμα. ) Ανοίγουμε το Code Composer Studio (CCS). 3) Εντοπίζουμε το example_05, και το θέτουμε SET AS ACTIVE PROJECT 4) Ανοίγουμε τα αρχεία της άσκησης επιλέγοντας το [+] 4

5) Κάνουμε διπλό κλικ στο main.c της άσκησης 6) Από το Project->Properties ρυθμίζουμε τα Properties (όπως στο φυλλάδιο «Εισαγωγή») 7) Επιλέγουμε Project->Build Active project 8) Επιλέγουμε Target->Launch Τ.Ι. Debugger (Target configuration και save, όπως στο φυλλάδιο «Εισαγωγή») 9) Επιλέγουμε Target->Debug active project 10) Επιλέγουμε Target->Run 11) Για να τερματίσουμε την εκτέλεση του προγράμματος, επιλέγουμε Target->Halt. (Δ) Εκτέλεση του κώδικα ως έχει: (Δ.1) Για να εκτελέσουμε τον κώδικα με χρήση της (εσωτερικής) γεννήτριας σάρωσης, χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα main.c και αποκλείουμε το πρόγραμμα main1.c. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: Επιλέγουμε το αρχείο main1.c, με δεξί κλικ πάνω στο όνομα του αρχείου βλέπουμε το μενού επιλογών και από αυτές επιλέγουμε το "Exclude File(s) from Build". Το αποτέλεσμα φαίνεται ως εξής: Στο Tab Console (Κονσόλα) η εικόνα επεξηγεί τη λειτουργία του προγράμματος, όταν εκτελείται ως έχει (χωρίς τροποποίηση του κώδικα). Χρησιμοποιούμε τον κώδικα που βρίσκεται στο main.c. Αφήνουμε τη γεννήτρια σάρωσης να τρέξει και όταν φτάσει στο μηδέν, επιλέγουμε Target -> Halt. Κατά την εκτέλεση, το πρόγραμμα μεταβαίνει κυκλικά ανά 0 sec μεταξύ έξι (6) διαφορετικών σεναρίων, ενώ κάθε μετάβαση σηματοδοτείται από flash του LED. Το πρώτο σενάριο δεν χρησιμοποιεί φίλτρο, οπότε στα ακουστικά φτάνει ο ήχος που εισέρχεται από το μικρόφωνο. Στα επόμενα 5 σενάρια χρησιμοποιούνται notch filters με Ν =, 4, 8, 16 και 3, αντίστοιχα. 5

(Δ.) Για να εκτελέσουμε τον κώδικα με χρήση της (εξωτερικής) γεννήτριας σήματος, χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα main1.c και αποκλείουμε το πρόγραμμα main.c. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: Επιλέγουμε το αρχείο main.c, με δεξί κλικ πάνω στο όνομα του αρχείου βλέπουμε το μενού επιλογών και από αυτές επιλέγουμε το "Exclude File(s) from Build". Το αποτέλεσμα φαίνεται ως εξής: Στο Tab Console (Κονσόλα) η εικόνα επεξηγεί τη λειτουργία του προγράμματος, όταν εκτελείται ως έχει (χωρίς τροποποίηση του κώδικα). Σαρώνουμε χειροκίνητα με την εξωτερική γεννήτρια ημιτονοειδών κυμάτων τις συχνότητες από 100H έως 4000H, ακούμε το αποτέλεσμα και σημειώνουμε τις συχνότητες που η ένταση του σήματος εξόδου πέφτει στο μηδέν (notch frequencies). Κατά την εκτέλεση, το πρόγραμμα μεταβαίνει κυκλικά ανά 0 sec μεταξύ έξι (6) διαφορετικών σεναρίων, ενώ κάθε μετάβαση σηματοδοτείται από flash του LED. Το πρώτο σενάριο δεν χρησιμοποιεί φίλτρο, οπότε στα ακουστικά φτάνει ο ήχος που εισέρχεται από το μικρόφωνο. Στα επόμενα 5 σενάρια χρησιμοποιούνται notch filters με Ν =, 4, 8, 16 και 3, αντίστοιχα. 6

Διαβάστε την τιμή της τρέχουσας συχνότητας από τη μεταβλητή frequency στο παράθυρο παρατήρησης, watch window: (Ε) Εκτέλεση του κώδικα μετά από τροποποίηση Συνοπτικά βήματα τροποποίησης του κώδικα και εκτέλεσης του προγράμματος: 1) Μεταβαίνουμε στην οθόνη C/C++ Projects (και όχι στην οθόνη Debug), επιλέγοντάς την από τον επιλογέα οθόνης άνω δεξιά. Επιλέγουμε το αρχείο που θα τροποποιήσουμε (π.χ. main.c) και με διπλό κλικ πάνω στο όνομά του, το ανοίγουμε στην κεντρική οθόνη. Με χρήση του editor, τροποποιούμε τον κώδικα C, κατά το επιθυμητό κάθε φορά. Στο τέλος αποθηκεύουμε τις αλλαγές (save). ) Επιλέγουμε Project->Rebuild Active project. (Στην ερώτηση για overwrite απαντάμε yes). 3) Επιλέγουμε Target->Debug Active project. 4) Επιλέγουμε Target->Run. 5) Για να τερματίσουμε την εκτέλεση του προγράμματος, επιλέγουμε Target->Halt. ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η : Αλλαγή notch comb filter σε bandpass comb filter Τα notch comb filters που καλούνται σε καθένα από τα 5 σενάρια του προγράμματος main.c ή του προγράμματος main1.c, μπορούν να μεταβληθούν σε bandpass comb filters: 7

Πραγματοποιείστε την τροποποίηση και ακούστε το αποτέλεσμα και με τις δύο γεννήτριες. (ΣΤ) Ερωτήσεις 1. Γιατί τα συγκεκριμένα φίλτρα ονομάζονται τύπου κτένας (comb filters);. Γιατί ο όρος -1 χρησιμοποιείται για μοναδιαία καθυστέρηση; 3. Πώς υπολογίζεται η απόκριση συχνότητας ενός comb filter; 4. Κατά την εφαρμογή ενός ζωνοπερατού comb filter, γιατί είναι σημαντικό το κέρδος να είναι G < 1; 8