ΝΟΕΡΟΙ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί 44. Σοφοκλέους, Π., Λεμονίδης, Χ., (2007). Νοεροί κατ εκτίμηση υπολογισμοί: Μαθηματικές διαδικασίες μέσα από τα σχολικά εγχειρίδια των πρώτων τάξεων του Δημοτικού της Ελλάδας και της Κύπρου. Πρακτικά 9 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης, Πάφος 2-4 Φεβρουαρίου, σελ. 277-290. ΝΟΕΡΟΙ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ Παρασκευή Σοφοκλέους* & Χαράλαμπος Λεμονίδης** *Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ** Καθηγητής Διδακτικής των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία έχει σκοπό να συγκρίνει τα διδακτικά εγχειρίδια των μαθηματικών των πρώτων τάξεων του Δημοτικού σχολείου (Α, Β και Γ τάξης) της Ελλάδας και της Κύπρου ως προς την παρουσίαση των νοερών υπολογισμών. Χρησιμοποιείται η ανάλυση περιεχομένου τόσο στην ποσοτική όσο και στην ποιοτική της μορφή και τα κριτήρια αξιολόγησης που πρότειναν οι ερευνητές του Project 2061. Συγκεκριμένα μέσα από την ποσοτική ανάλυση του περιεχομένου έχει βρεθεί ότι στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών της Ελλάδας των πρώτων τάξεων του δημοτικού γίνεται περισσότερη χρήση νοερών υπολογισμών από ότι στα αντίστοιχα τους στην Κύπρο. Επιπρόσθετα, η χρήση κατ εκτίμηση υπολογισμών είναι η περίπου η ίδια και στις δυο χώρες, όπως και η έμφαση της αναφοράς των νοερών υπολογισμών στις τέσσερις πράξεις. Μέσα από την ποιοτική ανάλυση του περιεχομένου δεν βρέθηκαν αρκετές διαφορές ως προς τη χρήση και οργάνωση της διδασκαλίας των νοερών υπολογισμών στις δυο χώρες. Όμως, επισημάνθηκε ότι στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών της Κύπρου δεν υπάρχουν σαφείς οδηγίες χρήσης των νοερών υπολογισμών, αλλά προσφέρονται αρκετές δραστηριότητες για εξάσκηση και ανάπτυξη των στρατηγικών με την προϋπόθεση ο εκπαιδευτικός να τις εκμεταλλευτεί κατάλληλα. Στα σχολικά εγχειρίδια της Ελλάδας θα μπορούσαν να υπάρχουν περισσότερες δραστηριότητες με εποπτικά μέσα και χρήσης αριθμομηχανής σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι Νοεροί Υπολογισμοί κατά τη διάρκεια των προηγούμενων δεκαετιών αποτελούσαν αντικείμενο μελέτης και έρευνας σε διεθνές επίπεδο. Πολλές από τις έρευνες ασχολούνταν με τον εντοπισμό και την κωδικοποίηση των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές κατά την εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων σε νοερό επίπεδο (Lemonidis & Ligouras, 2006). Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται ότι το ενδιαφέρον σε σχέση μ αυτούς επικεντρώθηκε στη διδασκαλίας τους μέσα από τα αναλυτικά 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 277

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης προγράμματα πολλών χωρών. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε το πρόγραμμα National Numeracy Strategy της Αγγλίας και τα Standards 2000 του Εθνικού Συμβουλίου των Καθηγητών των Μαθηματικών των ΗΠΑ. Μέσο διδασκαλίας των Νοερών Υπολογισμών, είναι φυσικό να αποτελούν τα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών. Αυτό λόγω του ρόλου που επιτελούν ως υποστηρικτές μάθησης (Davis & Hunkins, 1966 αναφορά στην Κουτσελίνη, 2001), αφού περιέχουν δραστηριότητες και υποδεικνύουν με τον τρόπο οργάνωσής τους μεθόδους και στρατηγικές οικοδόμησης της γνώσης και δραστηριοποίησης των μαθητών. Επομένως, μέσα από την ανάλυση και αξιολόγηση των σχολικών εγχειριδίων προκύπτουν σημαντικές πληροφορίες για τις εμπειρίες μάθησης (Ιωαννίδου-Κουτσελίνη, 2001) που προσφέρονται στους μαθητές κάθε χώρας στα μαθηματικά και στη συγκεκριμένη περίπτωση στους νοερούς και κατ εκτίμηση υπολογισμούς, καθώς ερμηνεύεται και ο ρόλος που αποδίδεται στον εκπαιδευτικό κατά τη διαδικασία διδασκαλίας μάθησης (βιβλίο δασκάλου) και στο μαθητή (βιβλίο μαθητή). Τέτοιου είδους μελέτες που αποσκοπούν βασικά στην αξιολόγηση των σχολικών εγχειριδίων η οποία θεωρείται αναγκαία και ικανή προϋπόθεση αναβάθμισης της παρεχόμενης ποιότητας σπουδών, δεν υπάρχουν τόσο στον ελληνικό όσο και στον κυπριακό χώρο. Όμως, υπάρχουν έρευνες σχετικά λιγοστές που επιχείρησαν την αξιολόγηση των διδακτικών εγχειριδίων περιοριζόμενοι σε μια ή το πολύ δύο παραμέτρους (Λουκέρη, 2003), χωρίς να υπάρχει μια συνολική θεώρηση εκείνων των διαστάσεων που συνιστούν το επιστημονικό «προφίλ» ενός σχολικού εγχειριδίου (Μπονίδης & Χοντολίδου, 1995 αναφορά στο Λουκέρη, 2003). Λαμβάνοντας υπόψη τα πιο πάνω, η μελέτη αυτή θα προβεί σε σύγκριση των σχολικών εγχειριδίων των μαθηματικών των πρώτων τάξεων του δημοτικού της Ελλάδας και της Κύπρου με σκοπό να εξετάσει τη χρήση των νοερών και κατ εκτίμηση υπολογισμών σ αυτά, χρησιμοποιώντας την ποσοτική και ποιοτική ανάλυση περιεχομένου σε συνδυασμό με τα κριτήρια αξιολόγησης εγχειριδίων που προτείνονται στο Project 2061. Συγκεκριμένα, έγινε μια προσπάθεια κάλυψης κάποιων ερωτημάτων και επιχειρήθηκε η όσο το δυνατότερο ολοκληρωμένη απάντησή τους. Τα ερευνητικά ερωτήματα που μελετήθηκαν έχουν ως εξής: 1. Πώς παρουσιάζονται οι νοεροί υπολογισμοί στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών των δυο χωρών; 2. Υπάρχουν σημαντικές διαφορές ως προς τη χρήση των νοερών υπολογισμών στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών των δυο χωρών; Στην παρούσα εργασία αρχικά παρουσιάζεται μια μικρή βιβλιογραφική ανασκόπηση για τις υπο-εξέταση έννοιες και τις έρευνες που σχετίζονται με τη διδασκαλία τους. Ακολούθως, παρατίθενται η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε στη συγκριτική αυτή μελέτη, καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Τέλος, αναφέρονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την ανάλυση των αποτελεσμάτων. ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 278

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί Τις τελευταίες δεκαετίες, παρόλο που δόθηκε αρκετή έμφαση στους νοερούς και κατ εκτίμηση υπολογισμούς σε αναλυτικά προγράμματα χωρών, δεν υπάρχει ένας σαφής ορισμός αυτών των εννοιών (Maclellan, 2001). Επιχειρώντας τη διασαφήνιση των υπό εξέταση εννοιών η Maclellan (2001) αναφέρει ότι ο Νοερός Υπολογισμός είναι η διαδικασία υπολογισμού ενός αριθμητικού αποτελέσματος με ακρίβεια (νοερός) ή κατά προσέγγιση (κατ εκτίμηση) χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων υπολογισμού ή γραφής (Λεμονίδης, 2006α; Sowder, 1988 στη Maclellan, 2001). Πιο συγκεκριμένα είναι ο υπολογισμός που γίνεται με το μυαλό και όχι με το χαρτί και το μολύβι (Λεμονίδης, 2006β), χωρίς να παραγνωρίζεται όμως η σημασία της καταγραφής των μαθηματικών συμβόλων για την ανάπτυξη του μαθηματικού συλλογισμού (Harries & Spooner, 2000 αναφορά στη Maclellan, 2001). Αυτός ο υπολογισμός αποτελεί ένα από τα τρία εργαλεία που χρησιμοποιούν οι ενήλικοι για να επιλύσουν καθημερινά τους προβλήματα (Λεμονίδης & Λυγούρας, 2006) και μάλιστα παρουσιάζεται με μεγαλύτερη συχνότητα χρήσης σε σχέση με τα άλλα δυο (αριθμομηχανή και χαρτίμολύβι) (Wandt & Brown, 1957 αναφορά στο Λεμονίδη, 2006α). Σε πολλές έρευνες διεθνώς επισημαίνεται η σημαντική θέση που κατέχουν οι Νοεροί Υπολογισμοί στη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών (Λεμονίδης, 2006α). Ο Ian Thompson (1999, p.147) επισημαίνει τέσσερις βασικούς λόγους για τους οποίους πρέπει να διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί: (1) χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς, (2) η εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της σημασίας των αριθμών (McIntoch, 1990; Sowder, 1990), (3) η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων και (4) βοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού (αναφορά στο Λεμονίδη, 2006α). Έρευνες σχετικές με τη διδασκαλία νοερών και κατ εκτίμηση υπολογισμών Καταρχάς, ο νοερός και ο κατ εκτίμηση υπολογισμός στη βιβλιογραφία τονίζεται ότι αποτελούν μέσα για ανάπτυξη πολλών μαθηματικών εννοιών. Όσον αφορά το νοερό υπολογισμό, ο Λεμονίδης (2006δ) επισημαίνει ότι αυτός αναφέρεται στις τέσσερις πράξεις, στους αριθμούς και στους κανόνες του συστήματος αρίθμησης. Η εκτίμηση της απάντησης, σύμφωνα με τους Φιλίππου & Χρίστου (2004), έχει μεγάλη σημασία στην ανάπτυξη της αξίας θέσης του ψηφίου, στην κατανόηση των τεσσάρων πράξεων, στην ανάπτυξη της επικοινωνίας και στην κατανόηση των δεκαδικών αριθμών. Έχουν πραγματοποιηθεί πολλές έρευνες που σχετίζονται με τη διδασκαλία των στρατηγικών των νοερών υπολογισμών, ειδικά στην Αγγλία στην οποία εισάχθηκε το 1999 το National Numeracy Strategy. Πιο συγκεκριμένα υπάρχουν έρευνες (Cooper et al., 1996a, 1996b; Heirdsfield & Cooper, 1996) που αναφέρουν την επιρροή της διδασκαλίας των γραπτών πράξεων στις αυθόρμητες νοερές στρατηγικές των παιδιών: Πριν από τη διδασκαλία, τα παιδιά παρουσιάζουν μια ποικιλία από αποτελεσματικές νοερές στρατηγικές, ενώ μετά τη διδασκαλία, τα παιδιά έχουν την τάση να χρησιμοποιούν μια νοερή στρατηγική η οποία φαίνεται να αντανακλά τον γραπτό αλγόριθμο που δίδαξε ο δάσκαλος. Επομένως, οι ερευνητές (Kamii, Lewis, & Jones, 1991; Reys et al., 1995) συνιστούν ότι οι μαθητές πρέπει να είναι ελεύθεροι να 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 279

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης διατυπώνουν τις δικές τους νοερές στρατηγικές, έτσι η κατανόηση των αλγορίθμων βελτιώνεται αν τα παιδιά κατασκευάζουν στρατηγικές στην κατεύθυνση των δικών τους φυσικών τρόπων σκέψης (αναφορά στο Λεμονίδη, 2006α). Σε παρόμοια συμπέρασμα κατέληξε και η έρευνα του Murphy (2004), ο οποίος εξέτασε πώς χρησιμοποιούν τις νοερές στρατηγικές που διδάχθηκαν τρεις μαθητές με βάση το αναλυτικό πρόγραμμα της Αγγλίας-National Numeracy. Πιο συγκεκριμένα τονίζει ότι πρέπει να προωθείται η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών στην τάξη με την προϋπόθεση να χρησιμοποιούνται στρατηγικές που σχετίζονται με την προυπάρχουσα γνώση των μαθητών και τις ικανότητες τους. Στην Ολλανδία όπου οι νοεροί υπολογισμοί διδάσκονται πριν από τις τυπικές γραπτές πράξεις, τα προγράμματα για τη διδασκαλία των μαθηματικών δίνουν έμφαση στη χρήση της στρατηγικής με βάση τον πρώτο όρο ή Ν10 ως τον πιο αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού (π.χ. την πράξη 34+25 την υπολογίζουν ως εξής: 34+20=54, 54+5=59). Ωστόσο, οι πιο αδύνατοι μαθητές τείνουν να χρησιμοποιούν τις λιγότερο αποτελεσματικές στρατηγικές του διαχωρισμού δεκάδων μονάδων (Beishuizen, 1993 αναφορά στους Λεμονίδης & Λυγούρας, 2006). Οι Reys, Reys, Nohda, και Emori (1995) διαπιστώνουν ότι η αποτελεσματικότητα στους νοερούς υπολογισμούς συνδέεται με τη χρήση στρατηγικών διαφορετικών από αυτή της νοερής απεικόνισης της χρήσης μολυβιού και χαρτιού. Εν αντιθέσει, οι McIntosh και Dole (2000) δηλώνουν, ότι οι μαθητές επιτυγχάνουν μεγάλη αποτελεσματικότητα, όταν χρησιμοποιούν τη νοερή απεικόνιση του γραπτού αλγόριθμου, παρά όταν επιλέγουν εναλλακτικές στρατηγικές, παρότι αυτές φανερώνουν μεγαλύτερο βαθμό κατανόησης των αριθμών (αναφορά στους Λεμονίδη & Λυγούρας, 2006). Στο ελλαδικό χώρο, υπάρχει η έρευνα του Λεμονίδη (2006α) η οποία εξέτασε την επίδραση μιας μακροχρόνιας διδασκαλίας με νοερούς υπολογισμούς στις τέσσερις πράξεις στην α και β δημοτικού σε δημοτικά σχολεία της Φλώρινας, διαπίστωσε ότι οι μαθητές που υποβλήθηκαν στη συγκεκριμένη διδασκαλία, ανέπτυξαν σε όλες τις πράξεις από πολύ πιο νωρίς και χρησιμοποιούσαν αφηρημένες κατασκευαστικές στρατηγικές. Επιπρόσθετα, αυτοί παρουσίασαν μεγαλύτερη ευκαμψία ως προς τη χρήση στρατηγικών υπολογισμού, χρησιμοποίησαν δηλαδή μεγαλύτερη ποικιλία μεθόδων υπολογισμού των πράξεων από ότι οι μαθητές της κλασικής διδασκαλίας. Όσον αφορά τον κατ εκτίμηση υπολογισμό, τα αποτελέσματα των ερευνών έχουν δείξει ότι οι μαθητές για να μπορούν να εκτιμήσουν αποτελεσματικά και γρήγορα, πρέπει να κατανοήσουν πρώτα τις βασικές μαθηματικές έννοιες και να μάθουν τους βασικούς συνδυασμούς των τεσσάρων πράξεων (Suydam, 1984 αναφορά στους Φιλίππου & Χρίστου, 2004). Συμπληρώνοντας, ο Benton (1986) αναφέρει ότι η ανάπτυξη της ικανότητας για εκτίμηση της απάντησης είναι μια μακρά διαδικασία που απαιτεί αρκετό χρόνο και πρέπει να αρχίζει από τις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου (Φιλίππου & Χρίστου, 2004). Εκτός, αυτού οι στρατηγικές εκτίμησης χρειάζονται συστηματική διδασκαλία, αφού είναι αδύνατον να επινοηθούν και να χρησιμοποιηθούν από τους μαθητές. Έτσι, αφού διδαχθούν όλες τις στρατηγικές ο εκπαιδευτικός επιβάλλεται να δίνει δραστηριότητες στις οποίες οι μαθητές να επιλέγουν την κατάλληλη στρατηγική 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 280

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί που πρέπει να ακολουθήσουν ώστε να δώσουν όσον το δυνατό πιο ικανοποιητική απάντηση (Φιλίππου & Χρίστου, 2004). Συνοψίζοντας, η διδασκαλία των στρατηγικών των νοερών και κατ εκτίμηση υπολογισμών και κατ επέκταση η ανάπτυξη της ικανότητας να υπολογίζουν νοερά αποτελεί μια διαδικασία που χρειάζεται πολύ χρόνο και μεθοδικότητα. Από τη βιβλιογραφία διαφάνηκε ότι πρέπει να διδάσκονται οι στρατηγικές των νοερών και κατ εκτίμηση υπολογισμών ενσωματωμένες στη διδασκαλία των μαθηματικών και συγκεκριμένα στην ενότητα των αριθμών και πράξεων. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη του τις γνώσεις των παιδιών για να μπορεί να χτίζει πάνω σ αυτές και να τους βοηθήσει να σκεφτούν νοερά. Δηλαδή, να τους αναπτύξει αυτή την μεταγνωστική δεξιότητα μέσα από συζητήσεις σχετικές με τη διδασκαλία της ημέρας. Εκτός αυτού, για τον κατ εκτίμηση υπολογισμό τονίζεται ότι πρέπει να διδάσκεται αφού καταλάβουν τις τέσσερις πράξεις (Φιλίππου & Χρίστου, 2004), ενώ για το νοερό υπολογισμό υποστηρίζεται η διδασκαλία του μετά από τις στρατηγικές υπολογισμού με αντικείμενα (Λεμονίδης, 2006α) έτσι ώστε να κατανοήσουν την έννοια των αριθμών και των ιδιοτήτων του συστήματος αρίθμησης, όπως διαφάνηκε να συμβαίνει στη μακροχρόνια μελέτη στους νοερούς υπολογισμούς του Λεμονίδη (2006α). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η μεθοδολογία η οποία εφαρμόστηκε για την ολοκληρωμένη απάντηση των ερευνητικών ερωτημάτων της παρούσας συγκριτικής μελέτης είναι ένας συνδυασμός της ανάλυσης του περιεχομένου τόσο στην ποσοτική όσο και στην ποιοτική του μορφή, με τα κριτήρια που πρότειναν οι ερευνητές του Project 2061, στα πλαίσια του προγράμματος Science for all Americans (American Association for the Advancement of Science, 2000). Είναι αναγκαίος αυτός ο συνδυασμός αφού για τη σωστή και αποτελεσματική ποιοτική ανάλυση περιεχομένου απαιτείται η ύπαρξη ενός συστήματος κατηγοριών ανάλυσης, οι οποίες στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι τα κριτήρια αξιολόγησης σχολικών εγχειριδίων του Project 2061. Πιο συγκεκριμένα, στην ποσοτική ανάλυση του περιεχομένου των σχολικών εγχειριδίων της Ελλάδας και της Κύπρου ως βασικά κριτήρια καταγραφής και ανάλυσης αποτελούν η συχνότητα εμφάνισης δραστηριοτήτων σε αριθμό σελίδων που αναφέρονται στο νοερό υπολογισμό (άμεσα: υπάρχει αναφορά σε κάποιο σημείο του εγχειριδίου στη χρήση νοερού υπολογισμού και έμμεσα: δεν υπάρχει αναφορά η οποία να επιβάλλει τη χρήση νοερού υπολογισμού) και το κατ εκτίμηση υπολογισμό, καθώς και η συχνότητα εμφάνισης δραστηριοτήτων σε αριθμό σελίδων που χρησιμοποιούν νοερό και κατ εκτίμηση υπολογισμό και αναφέρονται είτε στις τέσσερις πράξεις, είτε αισθητοποίηση των αριθμών, είτε στους κανόνες του συστήματος αρίθμησης, είτε στη γεωμετρία και μέτρηση (κατ εκτίμηση). Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι η καταγραφή θα γίνεται αρχικά ξεχωριστά για κάθε χώρα, για κάθε υπολογισμό και για κάθε τάξη-α, Β και Γ -, βασιζόμενη στις δραστηριότητες ανα σελίδα του σχολικού εγχειριδίου που χρησιμοποιεί ο μαθητής (βιβλίο μαθητή και τετράδιο εργασιών) που αναφέρονται στη χρήση νοερού και κατ εκτίμηση υπολογισμού. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ο 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 281

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης συγκεντρωτικός πίνακας των δυο χωρών ώστε να μπορούν να γίνουν συγκρίσεις ως προς τη συχνότητα χρήσης των νοερών και κατ εκτίμηση υπολογισμών. Στην ποιοτική ανάλυση του περιεχομένου θα αναλυθούν οι δραστηριότητες που αναφέρονται στους νοερούς υπολογισμούς με βάση τα κριτήρια του Project 2061 για να δημιουργηθεί μια συνοπτική εικόνα του τρόπου που παρουσιάζονται στα εγχειρίδια των δυο χωρών. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Μέσα από την ποσοτική και ποιοτική ανάλυση του περιεχομένου των τριάντα εννέα σχολικών εγχειριδίων της Κύπρου και της Ελλάδας προέκυψαν κάποια αποτελέσματα σχετικά με την παρουσία σ αυτά δραστηριοτήτων που αναφέρονται στους Νοερούς Υπολογισμούς (που αποτελεί και το σκοπό της μελέτης), τα οποία για σκοπούς παρουσίασης διαχωρίστηκαν σε ποσοτικά-αριθμητικά δεδομένα και ποιοτικά. Σημαντικό να αναφερθεί ότι στο βιβλίο του δασκάλου της Κύπρου και των τριών τάξεων δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην Εκτίμηση ως ένα από τους βασικούς στόχους των Μαθηματικών, ενώ στο βιβλίο του δασκάλου στην Ελλάδας αναφέρεται στους Νοερούς Υπολογισμούς και Κατ εκτίμηση Υπολογισμούς ως βασικά στοιχεία των πράξεων της κάθε τάξης. Εξαίρεση αποτελεί η Α τάξη στην οποία δεν αναφέρεται καθόλου η Εκτίμηση, τονίζεται όμως η προοδευτική μετάβαση από τις διαδικασίες υπολογισμού με αντικείμενα προς διαδικασίες πιο αφηρημένες, οι οποίες εκτελούνται νοερά που αποτελούν και στόχο μιας μακρόχρονης και μεθοδικής διαδικασίας. Στην Β τάξη υπογραμμίζεται ότι «οι νοεροί υπολογισμοί δεν είναι η νοερή εκτέλεση των γραπτών αλγορίθμων, αλλά η εύρεση αποτελέσματος με πολλές διαφορετικές στρατηγικές που χρησιμοποιούμε με το μυαλό» καθώς και ότι η εκτίμηση αποτελέσματος (όχι η στρογγυλοποίηση) χρησιμοποιείται πάρα πολύ στους νοερούς υπολογισμούς. Με βάση τα πιο πάνω, μπορεί να ειπωθεί ως μια πρώτη εκτίμηση ότι στα διδακτικά εγχειρίδια της Κύπρου υπάρχουν περισσότερες δραστηριότητες που αναφέρονται στην Εκτίμηση παρά στους Νοερούς Υπολογισμούς στους οποίους δεν γίνεται καμία νύξη στις Σύγχρονες Προσεγγίσεις για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών του βιβλίου του δασκάλου, ενώ στην Ελλάδα υπάρχουν δραστηριότητες και στους Νοερούς και Κατ Εκτίμηση Υπολογισμούς. ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ Στην ποσοτική ανάλυση περιεχομένου, αφού εξετάστηκαν ένα προς ένα τα διδακτικά εγχειρίδια που χρησιμοποιεί ο μαθητής και σελίδα με σελίδα, καταγράφηκαν και καταμετρήθηκαν οι σελίδες που υπάρχουν ασκήσεις/δραστηριότητες χρήσης και διδασκαλίας των Νοερών Υπολογισμών. Σημαντικό να αναφερθεί ότι υπήρχαν περιπτώσεις (πολύ λίγες) στα σχολικά εγχειρίδια και των δυο χωρών όπου υπάρχουν στην ίδια σελίδα (η μονάδα καταγραφής) δραστηριότητες και των νοερών και των κατ εκτίμηση υπολογισμών με αποτέλεσμα η ίδια σελίδα να καταγράφεται και στις δυο «υποπεριπτώσεις» του Νοερού Υπολογισμού. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 282

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί Στα σχολικά εγχειρίδια της Κύπρου ήταν πολύ δύσκολη η εύρεση δραστηριοτήτων που αναφέρονται στους νοερούς υπολογισμούς. Αυτό γιατί δεν υπάρχει σαφή αναφορά/οδηγία στα βιβλία του μαθητή ότι κάνουν νοερές πράξεις. Εκείνο που τονίζεται πολύ είναι η εκτίμηση της απάντησης. Έτσι, θεωρείται αναγκαίο να διευκρινιστεί ότι οι δραστηριότητες που θεωρήθηκαν ότι αναφέρονται σε νοερό υπολογισμό, όταν δεν υπήρχε άμεση αναφορά σ αυτούς, βασίζονται σ αυτές που προτείνονται στο άρθρο της Lola (1995) και στα βιβλία των Hope et al.(1988): Mental math in the Primary Grades και των Hope, Reys & Reys (1988): Mental Math in Junior High. Επίσης, πρέπει να τονιστεί κάποιες δραστηριότητες θεωρούνταν ότι μπορεί να λύνονται με νοερό υπολογισμό με βάση οδηγίες από το βιβλίο του δασκάλου. Σημαντικό να αναφερθεί ότι στα σχολικά εγχειρίδια της Κύπρου δεν γίνεται νύξη ούτε για διδασκαλία των νοερών υπολογισμών, παρά μόνο σ αυτά της Ελλάδας. ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι Νοεροί Υπολογισμοί στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών Κύπρου και Ελλάδας ΧΩΡΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΣΤΟ ΝΟΕΡΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ Κατ εκτίμηση (κατά προσέγγιση) Νοερά (με ακρίβει α) ΚΥΠΡΟΣ 10.3 % 8.6 % ΕΛΛΑΔΑ 32.2 % 10.2 % Σύνολ ο 18.9 % 42.4 % ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΟΙ ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Κανόνες συστήμα Γεωμε Αριθμός τος τρία αρίθμησ ης Τέσσερις Πράξεις 63.4 % (11.9 %) 80.8 % (34.3 %) 11.5 % (2.2 %) 4.2 % (1.8 %) 1.2 % (0.3 %) 11.6 % (4.9 %) 5.8 % (1.1 %) 1.7 % (0.7 %) Μέτρηση 18.1 % (3.4 %) 1.7 % (0.7 %) Από τα δεδομένα του πίνακα παρουσιάζεται η «υπεροχή» της χρήσης Νοερών Υπολογισμών στα εγχειρίδια της Ελλάδας με ποσοστό 42.4 %, διπλάσιο από το ποσοστό χρήσης νοερών υπολογισμών στα εγχειρίδια των μαθηματικών της Κύπρου. Όσον αφορά τη χρήση των κατ εκτίμηση υπολογισμών είναι σχεδόν η ίδια στις δυο χώρες, ενώ η διαφορά έγκειται στη χρήση των νοερών υπολογισμών (με ακρίβεια). Επίσης, παρατηρείται ότι και στις δυο χώρες οι νοεροί υπολογισμοί αναφέρονται στις τέσσερις πράξεις έχοντας τις περισσότερες αναφορές. Στα υπόλοιπα μαθηματικά θέματα, όμως, δεν συμβαδίζουν οι αναφορές. Συγκεκριμένα, τα ποσοστά (ξεχωριστά) των αναφορών στην αισθητοποίηση των αριθμών και στη γεωμετρία στα σχολικά εγχειρίδια της Κύπρου είναι σχεδόν τριπλάσια των αντίστοιχων ποσοστών στα σχολικά εγχειρίδια της Ελλάδας. Επίσης, το ποσοστό των αναφορών των Νοερών Υπολογισμών στους κανόνες του συστήματος αρίθμησης στην περίπτωση της Ελλάδας είναι πολύ μεγαλύτερο από το αντίστοιχο του στην περίπτωση της Κύπρου. Τέλος, παρατηρείται 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 283

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης ότι οι αναφορές των Νοερών Υπολογισμών στη μέτρηση στα εγχειρίδια της Κύπρου είναι κατά πολύ περισσότερες των αντίστοιχων τους στην Ελλάδα. ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ Ι. Σκοποί και στόχοι του μαθήματος Κάθε επιτυχημένο αναλυτικό πρόγραμμα και κατ επέκταση κάθε σχολικό εγχειρίδιο πρέπει να είναι σχεδιασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ξεκάθαρο σε αυτούς που το εφαρμόζουν η σκοπιμότητα του κάθε θέματος και των δραστηριοτήτων που περιλαμβάνονται (Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Σημαντικό στοιχείο προς αυτή την κατεύθυνση είναι η ύπαρξη «Βιβλίων του Δασκάλου», και για τις τρεις τάξεις στις δυο χώρες, που συνοδεύουν τα αντίστοιχα βιβλία του μαθητή. Αυτά παρουσιάζουν τους στόχους του κάθε μαθήματος, την πορεία εργασίας και πιθανές δραστηριότητες. Όμως, στο βιβλίο του δασκάλου της Κύπρου υπάρχουν στόχοι και προτείνονται δραστηριότητες (για εξάσκηση και εμπέδωση) μόνο για τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς χωρίς να υπάρχει καθορισμένη πορεία εργασίας για τον εκπαιδευτικό: «Οι μαθητές να καταστούν ικανοί να κάνουν εκτιμήσεις για το αποτέλεσμα ενός προβλήματος και να τις ελέγχουν, εκτελώντας τις πράξεις.» (Γ Δημοτικού, βιβλίο του δασκάλου σελ.43 στο μάθημα Εκτίμηση Πρόσθεσης) Φυσικά, υπάρχουν δραστηριότητες στο βιβλίο του δασκάλου που προωθούν το νοερό υπολογισμό, αλλά ποτέ δεν υπάρχει στόχος γι αυτές. Ενώ στο βιβλίο του δασκάλου της Ελλάδας, υπάρχουν στόχοι και για τους νοερούς υπολογισμούς με πορεία εργασίας χωρίς να δεσμεύει τον εκπαιδευτικό να την ακολουθήσει αλλά ανάλογα με τις ανάγκες των μαθητών του και προτείνονται δραστηριότητες γι αυτούς με τη χρήση της τεχνολογίας: «Οι μαθητές να είναι ικανοί να εκτελούν νοερά προσθέσεις και αφαιρέσεις τετραψήφιων αριθμών» (Γ Δημοτικού, βιβλίο του δασκάλου της Ελλάδας σελ.82 στο κεφάλαιο 27 Προσθέσεις και Αφαιρέσεις με τετραψήφιους αριθμούς: Ταξίδι με πλοίο) ΙΙ. Οικοδόμηση μαθηματικών εννοιών σε προϋπάρχουσες γνώσεις και εντοπισμός παρανοήσεων Είναι εμφανής η προσπάθεια σύνδεσης των Νοερών Υπολογισμών με τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών στα σχολικά εγχειρίδια που χρησιμοποιούν οι μαθητές και των δυο χωρών. Τέτοιες συνδέσεις είναι ενισχυτικές για την οικοδόμηση νέων γνώσεων (Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Μέσα από τις σελίδες των διδακτικών εγχειριδίων και των δυο χωρών δίνονται στο μαθητή οι σημαντικότερες πληροφορίες που θα πρέπει να μάθει ανεξάρτητα από το τι γνωρίζει ήδη για το θέμα. Ενδεικτικό αυτής της προσπάθειας στα διδακτικά εγχειρίδια της Κύπρου είναι το γεγονός ότι σε κάθε κεφάλαιο δίνονται λεζάντες σχετικά με το σημείο/θέμα που μελετά, καθώς και στην αρχή του κάθε τεύχους παρουσιάζονται σε γραμμική μορφή οι ενότητες με τα κεφάλαια τους οργανωμένα με βάση το μαθηματικό περιεχόμενο τους. Όσον αφορά τα διδακτικά εγχειρίδια της Ελλάδας και αυτά τα κεφάλαια τους έχουν τις 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 284

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί λεζάντες τους ανάλογα με το τι μελετούν, αλλά στην αρχή κάθε ενότητα παρουσιάζεται με συνοπτικό και σαφή τρόπο το τι θα μελετηθεί στην ενότητα σε συνεχή λόγο και συνοδευόμενο με εικόνες/διαγράμματα από τα κεφάλαια που ακολουθούν. Επίσης, παρουσιάζουν στο μαθητή για κάθε κεφάλαιο το συμπέρασμα που καταλήγουν. Αυτό παρουσιάζεται κυρίως στη Β τάξη, καθώς και η συνοπτική παρουσίαση σε σημεία τι θα μάθουν σε ένα σύνολο κεφαλαίων (τρεις περίοδοι) και τι έμαθαν αφού τελείωσαν κάποια κεφάλαια και αρχίζουν να ασχολούνται με άλλα. Στην Κύπρο κάτι αντίστοιχο δεν υπάρχει και ειδικά στους Νοερούς Υπολογισμούς, αλλά στο τέλος κάθε τάξης, στο βιβλίο του μαθητή υπάρχει ένας συνοπτικός πίνακας για το τι έμαθαν ολόκληρη τη χρονιά. Επιπρόσθετα, για τον εντοπισμό των παρανοήσεων δίνονται και στα βιβλία του δασκάλου και των δυο χωρών, οδηγίες για το τι πιθανόν λάθη να κάνουν οι μαθητές και πώς να τα προσεγγίζουν. ΙΙΙ. Εμπλοκή των μαθητών στα μαθηματικά Η εμπλοκή των παιδιών σε ποικίλα θέματα στα οποία εφαρμόζονται διάφορες μαθηματικές ιδέες, βοηθά στο να αντιληφθούν και να εκτιμήσουν τη δύναμη των μαθηματικών (AAAS, 2000 αναφορά στους Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Η θεματολογία των βιβλίων καθώς και η δυνατότητα άμεσης εμπλοκής των μαθητών στη διερεύνηση των Νοερών Υπολογισμών είναι δύο σημαντικά στοιχεία προς την κατεύθυνση αυτή. Όσον αφορά το πρώτο, η θεματολογία των ασκήσεων που αφορούν τους Νοερούς Υπολογισμούς των εγχειριδίων και των δυο χωρών είναι πλούσια σε δραστηριότητες που προέρχονται κυρίως από καταστάσεις της καθημερινής ζωής αφού αυτό που επιδιώκεται είναι να κατανοήσουν τη χρήση τους στην καθημερινή ζωή, αλλά και από την εφαρμογή μαθηματικών εννοιών σε άλλες επιστήμες με παραδείγματα σχετικά πολύ ελάχιστα σε σχέση με το πρώτο και στις δυο χώρες. Έτσι δίνεται η δυνατότητα στα παιδιά να δουν τη χρησιμότητα και εφαρμογή των Νοερών Υπολογισμών. Ένα άλλο πλεονέκτημα των διδακτικών εγχειριδίων των μαθηματικών σε σχέση με τους Νοερούς Υπολογισμούς είναι η σύνδεση των μαθηματικών εννοιών μεταξύ τους. Συγκεκριμένα, λόγω της φύσης των Νοερών Υπολογισμών που αναφέρονται σε διάφορες μαθηματικές έννοιες (αναφερθήκαν στην ποσοτική ανάλυση περιεχομένου) επιτυγχάνεται αυτή η σύνδεση. Επίσης, στη σύνδεση των μαθηματικών εννοιών μεταξύ τους βοηθά η σπειροειδής διάταξη της ύλης που εφαρμόζεται στα εγχειρίδια και των δυο χωρών. Οι μαθηματικές έννοιες δεν είναι πλέον αφηρημένα θέματα που παρουσιάζονται ξεκομμένα σε ένα εγχειρίδιο. Αποκτούν νόημα μέσω της εφαρμογής της σπειροειδής διάταξης της ύλης, αφού συνδυάζονται ταυτόχρονα περιεχόμενο και διαδικασίες. Όπως επισημάνθηκε και πιο πάνω η επιτυχής ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών είναι συνάρτηση του βαθμού εμπλοκής των μαθητών που επιτρέπει το κάθε βιβλίο. Μέσα από τις δραστηριότητες των εγχειριδίων των μαθηματικών και των δυο χωρών δίνονται αρκετές ευκαιρίες στα παιδιά για άμεση και ενεργό ενασχόληση με τους Νοερούς Υπολογισμούς. Πάντα, το κάθε κεφάλαιο εισάγεται μέσω μιας προβληματικής κατάστασης ή διερεύνησης. Εκτός αυτού, δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 285

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης ελέγξουν τις εκτιμήσεις τους με την εμπλοκή των ιδίων στη διαδικασία π.χ μέτρησης του μήκους των αντικειμένων ή του βάρους τους. ΙV. Ανάπτυξη Μαθηματικών Ιδεών Ένας μαθητής είναι μαθηματικά εναλφάβητος, όταν είναι σε θέση να βλέπει τη σύνδεση μεταξύ εννοιών και διαδικασιών, να μπορεί να εκλογικεύει είτε τις μαθηματικές διαδικασίες είτε τις απαντήσεις του και να μπορεί να εφαρμόζει μαθηματικές διαδικασίες και στρατηγικές (AAAS, 2000). Η επίτευξη αυτού του στόχου στους Νοερούς Υπολογισμούς αναφέρεται στον τρόπο που παρουσιάζονται (με προσοχή και ακρίβεια). Συγκεκριμένα, αν προωθούν την εννοιολογική κατανόηση τους και όχι την απομνημόνευση των στρατηγικών εκτέλεσης τους ή της διαδικασίας του γραπτού αλγορίθμου. Αυτό από ότι φαίνεται επιτυγχάνεται και στις δυο χώρες, λόγω της παρουσίασης και εξάσκησης τους με πολλούς τρόπους εκτέλεσης μιας πράξης (π.χ πολλαπλασιασμός: με δεντροδιάγραμμα, ανάλυσης των αριθμών, ελληνικός πολλαπλασιασμός: εμβαδό ορθογωνίων) και των οδηγιών από το βιβλίο του δασκάλου για έκθεση των ιδεών και τρόπων λύσεων των μαθητών σε διάφορες ασκήσεις. V. Ενίσχυση της μαθηματικής σκέψης Σύμφωνα με πολλούς ερευνητές (AAAS, 2000) ανεξάρτητα από το πόσο ξεκάθαρα παρουσιάζονται κάποιες μαθηματικές ιδέες, οι μαθητές θα οικοδομήσουν την έννοια με το δικό τους τρόπο που μπορεί να συμφωνεί ή και να μην συμφωνεί με τον επιδιωκόμενο στόχο του εκπαιδευτικού. Για αυτό, θεωρείται σημαντικό μέσα στα σχολικά εγχειρίδια να δίνεται η ευκαιρία στους μαθητές να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους (Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Στα εγχειρίδια που χρησιμοποιεί ο μαθητής και στις δυο χώρες δίνουν ευκαιρίες στα παιδιά να προβληματιστούν και να εμβαθύνουν περισσότερο στους Νοερούς Υπολογισμούς είτε λύνοντας ένα πρόβλημα (βιβλίο μαθητή της Κύπρου σελ.83: «Βρίσκουμε πόσο ζυγίζει το κάθε αντικείμενο») είτε εξηγώντας γραπτά (βιβλίο μαθητή της Κύπρου σελ.66: «Μετρούμε το μήκος αντικειμένων») ή προφορικά το τρόπο που εργάστηκαν (βιβλίο δασκάλου της Ελλάδας). Επομένως, από τα παραδείγματα που δίνονται είναι φανερό ότι όλα τα εγχειρίδια των μαθηματικών ενθαρρύνουν το μαθητή να επεξηγεί τη σκέψη του, να ερμηνεύει δραστηριότητες και αποτελέσματα και ειδικά στους Νοερούς Υπολογισμούς που απαιτείται μια τέτοια διανοητική ενέργεια (μεταγνωστική διαδικασία) για την «απόκτηση» τους. VI. Αξιολόγηση της προόδου των μαθητών στα μαθηματικά Μια καλή αξιολόγηση πρέπει να δίνει πληροφορίες για το επίπεδο των μαθητών, το βαθμό που έχουν κατανοήσει κάποιες έννοιες και την ικανότητά των μαθητών να εφαρμόζουν διάφορες διαδικασίες και στρατηγικές σε ποικίλα περιβάλλοντα (Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Στα διδακτικά εγχειρίδια της Κύπρου υπάρχει το επιπρόσθετο υλικό στο τέλος κάθε ενότητας με το οποίο μπορούν να ασχοληθούν οι μαθητές για να εφαρμόσουν τις στρατηγικές που έμαθαν. Για τους Νοερούς Υπολογισμούς υπάρχουν αρκετές δραστηριότητες, όπως μαγικά τετράγωνα ή φιγούρες με απλές προσθέσεις και 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 286

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί αφαιρέσεις και να χρωματίσουν ανάλογα με το αποτέλεσμα το χρώμα που τους δίνεται. Στα διδακτικά εγχειρίδια της Ελλάδας υπάρχει το επαναληπτικό μάθημα με το τέλος της ενότητας και είτε δίνονται δραστηριότητες για εξάσκηση με τους νοερούς υπολογισμούς είτε υπάρχει η δραστηριότητα με τον «Πυθαγόρα» που σκέφτεται και ταυτίζεται με τους νοερούς υπολογισμούς. Επιπρόσθετα, και στις δυο χώρες δεν δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην γραπτή αξιολόγηση, αλλά προτιμώνται άλλοι μέθοδοι αξιολόγησης όπως ο ατομικός φάκελος (εγχειρίδια της Κύπρου), το ατομικό δελτίο αξιολόγησης για κάθε ενότητα ή τέλος περιόδου (και στις δυο χώρες): υπάρχει στην Κύπρο για τις δυο πρώτες τάξεις του δημοτικού αλλά στην Ελλάδα υπάρχει και στις τρεις τάξεις του δημοτικού που εξετάζονται. Εκτός αυτού, στα διδακτικά εγχειρίδια της Ελλάδας υπάρχουν επιστολές προς το γονέα για ενημέρωση του τι θα διδαχθεί στην τάξη στην ενότητα που ακολουθεί και πώς μπορεί να βοηθήσει αυτός. VII. Ενίσχυση του μαθησιακού περιβάλλοντος της τάξης Ένα άλλο κριτήριο με βάση το οποίο μπορεί να κρίνει κανείς ένα σχολικό βιβλίο ή τη διδασκαλία είναι ο βαθμός δημιουργίας ενισχυτικού περιβάλλοντος για τους μαθητές. Το περιβάλλον της τάξης μπορεί να ενισχυθεί είτε με κατάλληλα εποπτικά μέσα ή δραστηριότητες είτε ακόμα με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών και υπολογιστικών μηχανών (Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Στα βιβλία των μαθηματικών της Κύπρου γενικά έχουν περιληφθεί αρκετά θέματα που θα μπορούσαν να διδαχτούν με τη χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή και της υπολογιστικής μηχανής. Ωστόσο, σε κανένα σημείο του βιβλίου δεν προτείνεται η διερεύνηση με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή (Φιλίππου, Πίττα & Χρίστου, 2003). Εναπόκειται στις δυνατότητες του εκπαιδευτικού σε σχέση με την τεχνολογία αλλά και όταν έχει στη διάθεσή του επαρκή αριθμό υπολογιστών, να οργανώνει ανάλογα τη διδασκαλία του. Γίνεται, ωστόσο, αρκετή χρήση της υπολογιστικής μηχανής η οποία μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη στρατηγικών νοερών υπολογισμών, καθώς και εποπτικών μέσων όπως οι κύβοι Dienes οι οποίοι εξυπηρετούν την κατανόηση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και της αξίας θέσης ψηφίου, αλλά και στην εκτέλεση αριθμητικών πράξεων και παράλληλα μπορούν να αναπτύξουν αντίστοιχες στρατηγικές νοερών υπολογισμών με τις κατάλληλες οδηγίες του εκπαιδευτικού. Αντίστοιχες δραστηριότητες δεν υπάρχουν στα ελληνικά εγχειρίδια, αλλά και καμία αναφορά δεν υπάρχει στο αντίστοιχο βιβλίο του δασκάλου. Στα σχολικά εγχειρίδια της Ελλάδας αξιοποιούνται οι νέες τεχνολογίες, όπως αναφέρονται στο βιβλίο του δασκάλου, τόσο με τη χρήση του διαδικτύου-προτείνονται ιστοσελίδες στο βιβλίο του δασκάλου τις οποίες μπορεί να επισκεφθεί ο ίδιος και οι μαθητές του για να αντλήσουν πληροφορίες- όσο και με τη χρήση του προβλεπόμενου εκπαιδευτικού λογισμικού (CD για Γ και Δ τάξη: «Αριθμητική Περιήγηση)-η χρήση του οποίου προβλέπεται από το βιβλίο του δασκάλου για κάθε κεφάλαιο. Επιπρόσθετα, η υπολογιστική μηχανή, ο άβακας και ο μετρητής χιλιομέτρων που λειτουργεί με τη λογική του μετρητή των χιλιομέτρων του αυτοκινήτου και μπορεί να συναρμολογηθεί από τους ίδιους τους μαθητές (υπάρχει στις τελευταίες σελίδες του βιβλίου του μαθητή 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 287

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης της Ελλάδας), χρησιμοποιούνται σε δραστηριότητες που βοηθούν στην ανάπτυξη νοερών στρατηγικών με την κατάλληλη καθοδήγηση από τον εκπαιδευτικό. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι αναλύσεις των αποτελεσμάτων επέτρεψαν τη διατύπωση κάποιων συμπερασμάτων σχετικά με την παρουσία των Νοερών Υπολογισμών στα εγχειρίδια των μαθηματικών των πρώτων τάξεων του δημοτικού της Κύπρου και της Ελλάδας. Καταρχάς, υπάρχουν αρκετές αναφορές των Νοερών Υπολογισμών στα σχολικά εγχειρίδια των Μαθηματικών κυρίως σ αυτά της Ελλάδας, αφού αποτελεί στόχος τους η χρήση Νοερών Υπολογισμών (σχεδόν στις μισές σελίδες υπήρχε αναφορά για νοερό υπολογισμό). Σ αυτά της Κύπρου δεν υπάρχει συχνή χρήση Νοερών Υπολογισμών όπως στα αντίστοιχα εγχειρίδια της Ελλάδας (δραστηριότητα με τον Πυθαγόρα που σκέφτεται) παρόλο που η εκτίμηση (μόνο όχι ο νοερός υπολογισμός) θεωρείται σημαντικός στόχος της μαθηματικής εκπαίδευσης. Αξιοσημείωτο αποτελεί ότι η χρήση κατ εκτίμηση υπολογισμών είναι η περίπου η ίδια και στις δυο χώρες, όπως και η έμφαση της αναφοράς των Νοερών Υπολογισμών στις τέσσερις πράξεις. Το τελευταίο είναι αναμενόμενο λόγω της φύσης των Νοερών Υπολογισμών που χρησιμοποιούνται κυρίως στην καθημερινή ζωή για εκτέλεση νοερών πράξεων. Όσον αφορά τα υπόλοιπα θέματα στα οποία αναφέρεται ο Νοερός Υπολογισμός και στις δυο χώρες είναι η αισθητοποίηση των αριθμών, οι κανόνες του συστήματος αρίθμησης, η γεωμετρία και η μέτρηση. Δεν παρουσιάζονται με την ίδια συχνότητα στα σχολικά εγχειρίδια των δυο χωρών, αλλά με σημαντικές διαφορές. Σ αυτά της Κύπρου υπάρχουν περισσότερες δραστηριότητες που αναφέρονται στη μέτρηση και στη γεωμετρία λόγω της έμφασης στην εκτίμηση. Όμως, στους κανόνες του συστήματος αρίθμησης δεν υπάρχει τόση έμφαση στα διδακτικά εγχειρίδια της Κύπρου όση στα αντίστοιχα της Ελλάδας λόγω της άμεσης χρήσης νοερών υπολογισμών. Επίσης, μέσα από την ποιοτική ανάλυση του περιεχομένου δεν βρέθηκαν αρκετές διαφορές ως προς τη χρήση και οργάνωση της διδασκαλίας των Νοερών Υπολογισμών στις δυο χώρες. Και στις δυο χώρες η διδασκαλία και η χρήση βασίζεται στην άμεση εμπλοκή των μαθητών στη διαδικασία μάθησης, της σύνδεσης των μαθηματικών εννοιών μεταξύ τους και της χρήσης εποπτικών μέσων. Επίσης, εμπλέκονται οι μαθητές σε αρκετές δραστηριότητες των Νοερών Υπολογισμών που σχετίζονται με την καθημερινή ζωή και προωθείται μέσω του βιβλίου του δασκάλου η εξήγηση του τρόπου εύρεσης ενός αποτελέσματος προφορικά από τον μαθητή. Όμως, επισημάνθηκε ότι στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών των πρώτων τάξεων του δημοτικού της Κύπρου δεν υπάρχει σαφής οδηγία χρήσης Νοερών Υπολογισμών, αλλά προσφέρονται αρκετές δραστηριότητες για εξάσκηση και ανάπτυξη στρατηγικών τους με την κατάλληλη προσαρμογή από τον επιμορφωμένο εκπαιδευτικό και στα σχολικά εγχειρίδια της Ελλάδας θα μπορούσαν να υπάρχουν περισσότερες δραστηριότητες με εποπτικά μέσα και χρήσης αριθμομηχανής σχετικά με τους Νοερούς Υπολογισμούς. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 288

Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί Ακόμα, και στις δυο χώρες γίνεται προοδευτική μετάβαση από τις διαδικασίες με αντικείμενα στους Νοερούς Υπολογισμούς έστω και αν δεν υπογραμμίζεται στο βιβλίο του δασκάλου στην Κύπρο και αποτελεί μακροχρόνια διαδικασία λόγω της έμφασης που έχει και στις τρεις τάξεις που μελετήθηκαν. Τέλος, παρόλο που είναι αρκετή η έμφαση στους Νοερούς Υπολογισμούς που δίνεται στα συγκεκριμένα πλαίσια:στους στόχους που τέθηκαν σε κάθε χώρα, θα πρέπει να δοθεί στην Κύπρο άμεση έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς. ΑΝΑΦΟΡΕΣ American Association for Advancement of Science (AAAS) 2000. Middle grades mathematics textbooks: A benchmark-based evaluation. Foxman, D. & Beishuizen, M. (1999). Untaught Mental Calculation Methods Used by 11-year-olds: Some evidence from the Assessment of Performance Unit survey in 1987. Mathematics in School, 28 (5), 5-7. Hope, J. A., Leutzinger, L., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1988). Mental Math in the Primary Grades. USA: Dale Seymour Publications. Hope, J. A., Reys, B. J. & Reys, R. E. (1988). Mental Math in Junior High. USA: Dale Seymour Publications. Ineson, G. (2006). Year 6 children: has the new British mathematics curriculum helped their mental computation?. Early Child Development and Care, 1-15 (Preview article). Κουτσελίνη, Ι. Μ. (2001). Ανάπτυξη Προγραμμάτων Θεωρία-Έρευνα-Πράξη-. Λευκωσία: Κ & Α Lythrodondas Ltd Press. Λεμονίδης, Χ. (2002α). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα Μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Θέματα στην Εκπαίδευση, 3(1), 5-22. Λεμονίδης, X. (2002β). Αριθμητισμός ή Μαθηματικός Γραμματισμός. Κείμενο Προδιαγραφών για τα Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας. Έκδοση του Ινστιτούτου Διαρκούς Εκπαίδευσης Ενηλίκων (Ι.Δ.Ε.Κ.Ε.). Λεμονίδης, Χ. (2003α). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό: μια πειραματική εφαρμογή. Μέντορας, 7, 34-48. Λεμονίδης, Χ. (2003β). Μια διαφορετική διδασκαλία για τους αριθμούς και τις πράξεις στην αρχή του σχολείου. Γέφυρες, 9, 22-29. Λεμονίδης, Χ. (2006α). Μακροχρόνια μελέτη στην ανάπτυξη των νοερών υπολογισμών στις δύο πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. (Υπό δημοσίευση) Λεμονίδης, Χ. (2006β). Οι αρχές για τη διδασκαλία και ο εκσυγχρονισμός των αριθμητικών εννοιών στα νέα βιβλία της Α τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Περιοδικό Γέφυρες. (Υπό δημοσίευση). 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 289

Π. Σοφοκλέους & Χ. Λεμονίδης Λεμονίδης, Χ. (2006γ). Βασικές αλλαγές που πραγματοποιούνται στα νέα βιβλία των Μαθηματικών της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. (Υπό δημοσίευση). Λεμονίδης, Χ. (2006δ). Ο εκσυγχρονισμός των μαθηματικών περιεχομένων στα νέα βιβλία της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Περιοδικό Γέφυρες. (Υπό δημοσίευση). Λεμονίδης, Χ. & Λυγούρας Γ. (2006). Η επίδοση και η ευελιξία μαθητών της Γ Δημοτικού στους νοερούς υπολογισμούς. (Υπό δημοσίευση) Λουκέρη, Δ. (2003). Κριτήρια Αξιολόγησης Σχολικού Εγχειριδίου του μαθήματος της Μελέτης του Περιβάλλοντος. Available online at http://www.pee.gr/e27_11_03/sin_ath/mer_c_th_en_iv/loykeris.htm Lola, M. (1995). Mental Mathematics. Teaching PreK-8, 26, 20-21. Maclellan, E. (2001). Mental Calculation: its place in the development of numeracy. Westminister Studies in Education, 24 (2), 145-154. McIntosh, A. (1998). Teaching Mental Algorithms Constructively. Yearbook: National Council of Teachers of Mathematics (pp.44-48). Murphy, C. (2004). How do children come to use a taught mental calculation strategy? Educational Studies in Mathematics, 56, 3-18. Φιλίππου, Γ., Πίττα, Π. Δ. & Χρίστου, Κ. (2003). Από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο. Η περίπτωση των Μαθηματικών. Πρακτικά 2 ου Συνεδρίου για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών - Πανεπιστήμιο Κύπρου. Φιλίππου, Γ. & Χρίστου, Κ. (2004). Διδακτική των Μαθηματικών. Αθήνα: Εκδόσεις Γ. Δαρδανός. 9 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 290