ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2010-2011 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035457

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Στοχαστικά χρηµατοοικονοµικά, Βασιλείου Π. Χ., Εκδόσεις ΖΗΤΗ, 1 η έκδοση, 2001, Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 11280. Προτεινόµενη Βιβλιογραφία 1. Στοιχειώδης εισαγωγή στα χρηµατοοικονοµικά µαθηµατικά, Ross S., ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ, 1η έκδοση, 2007. 2. An Elementary Introduction to Mathematical Finance: Options and other Topics, Ross, S., Cambridge University Press; 2 nd edition, 2002. 3. Options, Futures and Other Derivatives, Ηull, J., 5 th edition, Prentice Hall, 2003. 4. The Mathematics of Financial Derivatives, Willmott, P., Howison, S., Dewynne, J., Cambridge University Press..1997. 5. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, Neftci, S. N., Academic Press, 2000.

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή-Ε ανάληψη Θεωρίας Πιθανοτήτων Ε ιτόκια-χρονική Αξία Χρήµατος Χρηµατο ιστωτική Αγορά και Παράγωγα Τιµολόγηση Κέρδους Martingales Αυτοχρηµατοδοτούµενες ιαδικασίες Κεφαλαίου ιαδικασία Wienner-Κίνηση Brown Στοχαστική Ολοκλήρωση Τιµολόγηση Ευρω αϊκού ικαιώµατος σε συνεχή Χρόνο

Πειράµατα Αιτιοκρατικά ειράµατα Πειράµατα τύχης Πειράµατα στα ο οία η γνώση των συνθηκών κάτω α ό τις ο οίες αυτά εκτελούνται, καθορίζει λήρως το α οτέλεσµα Α οσταγµένο νερό θερµαινόµενο σε 100 0 C, υ ό ίεση 760 χιλιοστών υδραργύρου, θα βράσει 10000 µε ε ιτόκιο 5% γίνονται σε 2 χρόνια: 10000(1+0.05) 2 Πειράµατα στα ο οία η γνώση των συνθηκών κάτω α ό τις ο οίες αυτά εκτελούνται, καθορίζει ένα σύνολο α ό δυνατά α οτελέσµατα Το α οτέλεσµα της ρίψης ενός νοµίσµατος είναι κορόνα ή γράµµατα Χρόνος αναµονής σε µια στάση λεωφορείου Κατανάλωση ρεύµατος µιας όλης

Ορισµός Πιθανότητας- Προτάσεις Το σύνολο όλων των δυνατών α οτελεσµάτων ενός ειράµατος τύχης ονοµάζεται δειγµατοχώρος ή δειγµατικός χώρος Κάθε δειγµατοχώρος Ω εφοδιάζεται µε ένα σώµα F υ οσυνόλων του. Τα στοιχεία του F καλούνται γεγονότα. Σε κάθε γεγονός Α αντιστοιχεί µια αριθµητική οσότητα Pr(Α) η ο οία ορίζεται ως ιθανότητα του Α Έστω Ω ένας δειγµατοχώρος και F µια συλλογή (κλάση) υ οσυνόλων του. Τότε αν ισχύουν οι αρακάτω ιδιότητες λέµε ότι το F είναι µια άλγεβρα: ΩŒF Αν Α Œ F τότε και A c Œ F Αν Α Œ F και ΒŒF τότεa«b Œ F Ορισµός Έστω Ω ένας δειγµατοχώρος και F µια συλλογή υ οσυνόλων του. Τότε το F είναι µια σ-άλγεβρα αν ισχύουν οι αρακάτω ιδιότητες: 1. ΩŒF 2. Αν ΑŒFτότε και A c Œ F 3. Αν {Α i } iœi είναι µια οικογένεια συνόλων της F τότε UAi F i= 1

Ορισµός Πιθανότητας- Προτάσεις Ορισµός (Αξιωµατικός Ορισµός Kolmogorov) Μια ιθανότητα Pr είναι µια συνολοσυνάρτηση Pr: F IR ου έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: i) Pr(Ω))=1 ii) "AŒF, Pr(A) 0 iii) "A,BŒF, A»B=,Pr(A«B)=Pr(A)+Pr(B) Η τριάδα (Ω, F, Pr) ονοµάζεται ιθανοθεωρητικός χώρος Ορισµός Έστω Ω ένας δειγµατοχώρος και F µια συλλογή υ οσυνόλων του ου είναι µια σ- άλγεβρα. Ένα µέτρο ιθανότητας Pr( ) είναι µια συνάρτηση ου α εικονίζει το F στο [0,1] µε τις ακόλουθες ιδιότητες: i)pr(a) 0,"AŒF, ii)pr(ω))= 1 iii) Αν {Α i } iœi είναι µια οικογένεια συνόλων στο F µε Α i» Α j = για iπjτότε Pr U i I A i = i I Pr ( A ) i

Ορισµός Πιθανότητας- Προτάσεις Ορισµός Έστω Ω ένας ε ερασµένος δειγµατοχώρος. Ονοµάζουµε φιλτράρισµα µια ακολουθία α ό σ-άλγεβρες του δειγµατοχώρου Ω, F 0, F 1,, F n τέτοιες ώστε F 0 Õ F 1 Õ Õ F n Προτάσεις 1. Pr(A c ) = 1-Pr(A) 2. Pr(A«B)= Pr(A) + Pr(B)- Pr(A»B) 3. Αν ΑÃΒτότε Pr(A) Pr(B) 4. Pr(A) = Pr(A»B) + Pr(A»B c ) καιγενικά Pr(A) = Σ n Pr(A»B n ) αν Ω =«n B n

εσµευµένη ιθανότητα Ορισµός Για κάθε ζεύγος γεγονότων Α και Β µε Pr(B) > 0, ορίζεται η δεσµευµένη ιθανότητα του Α δοθέντος του Β ου συµβολίζεται µε Pr(A B), µε Pr ( A B) ( A B) Pr = Pr(B) Είναι η ιθανότητα του Α γνωρίζοντας ότι έχει συµβεί το Β Αν τα γεγονότα Α και Β είναι ασυµβίβαστα (δηλ. Α Β = «) τότε Pr(A B) = 0 Αν ΒÃΑτότε Pr(A Β) = 1 Pr(A»B)= Pr (B) Αν ΑÃΒτότε Pr(A Β) = Pr(A) / Pr(B) Pr(A»B)= Pr (A) Παραδείγµατα 1. Ρίχνουµε 2 ζάρια, το ρώτο δίνει 3, οια είναι η ιθανότητα το σύνολο των α οτελεσµάτων των 2 ζαριών να ξε ερνάειτο 6; 2. Ποια είναι η ιθανότητα ώστε 2 αιδιά µιας οικογένειας να είναι αγόρια γνωρίζοντας ότι τουλάχιστον ένα είναι αγόρι;

Ανεξαρτησία γεγονότων Ορισµός ύο γεγονότα Α και Β λέγονται στοχαστικά ανεξάρτητα ή ανεξάρτητα κατά ιθανότητα ή α λά ανεξάρτητα όταν Pr(A» B) = Pr(A) Pr(B) εσµευµένη ιθανότητα και ανεξαρτησία: Pr(A Β) = Pr(A) Γενικότερα ένα ε ερασµένο σύνολο ή µη ε ερασµένο αριθµήσιµο υ οσύνολο γεγονότων (Α i, iœi ) λέγεται ανεξάρτητο αν για ο οιοδή οτε ε ερασµένο υ οσύνολο J του I έχουµε: Pr I j J A j = ( A ) Παρατηρήσεις: 1. Η ανεξαρτησία ανά 2 των γεγονότων δεν αρκεί για την ανεξαρτησία όλων των γεγονότων j J Pr 2. Αν 2 γεγονότα Α και Β είναι ασυµβίβαστα, δεν είναι α αραίτητα και ανεξάρτητα. Αντιθέτως αν Pr(A) Pr(B) 0 τότε ΕΝ είναι ανεξάρτητα. j

Βασικές ροτάσεις Πρόταση (Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας) Έστω (Β n, nœi) µια διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω και Α ένα γεγονός, ισχύει: Pr ( A) = Pr( A B ) = Pr( A B ) Pr( ) n I n n Bn n I Η δεύτερη ισότητα ισχύει αν Pr(Β n ) > 0 για όλα τα nœi Πρόταση (Τύ ος Poincare) Για µια ε ερασµένη σειρά γεγονότων Α 1, Α 2,, Α n ισχύει: Pr UAi = Pr Ai Pr Ai A j + K+ 1 n 1 i n 1 i< j n Πρόταση (Τύ ος του Bayes - διαδοχικός) n 1 ( ) ( ) ( 1) Pr IA i i n i 1 Για µία ε ερασµένη σειρά γεγονότων: Α 1, Α 2,, Α n, µε Pr(Α 1 Α n-1 ) > 0, ισχύει: Pr ( 1 i n Α i ) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A n A 1 A 2 A n-1 ) Πρόταση (Τύ ος του Bayes) Έστω (Β n, n I) µία διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω µε Pr(Β n ) > 0 για όλα τα n I, και Α ένα γεγονός µε Pr(A) > 0, τότε ισχύει, Pr(Β j A) = Pr(A Β j ) Pr(Β j ) / Σ k I Pr(A Β k ) Pr(Β k )

ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Μία τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) ορίζεται µε βάση ένα τυχαίο είραµα ως µία συνάρτηση, Χ, η τιµής της ο οίας εξαρτάται α ό το α οτέλεσµα ω αυτού του συγκεκριµένου ειράµατος. Παράδειγµα : στο είραµα µε τα 2 ζάρια, το άθροισµα, το γινόµενο και η διαφορά των α οτελεσµάτων ορίζουν διαφορετικές τ.µ. : Χ(ω) = x+y, Y(ω) = xy, Z(ω) = x-y, ό ου ω = (x,y). Μιγαδική τ.µ. : Ζ = Χ+iY ό ου Χ,Υ είναι.τ.µ. είκτρια τ.µ. : Α F, ορίζουµε την δείκτρια τ.µ. της, ου συµβολίζεται µε 1 Α, µε 1 αν ω Α 1 Α (ω) = 0 αν όχι

ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Ιδιότητες : 1. 1 Ω = 1 και 1 = 0 2. 1 Α Β = 1 Α. 1 Β 3. 1 Α Β = 1 Α + 1 Β - 1 Α. 1 Β 4. 1 Α c = 1-1 Α 5. Α B 1 Α 1 B και Α = Β 1 Α = 1 B Μία α λή τ.µ. µ ορεί να ανα αρασταθεί µε την βηµατική συνάρτηση : Χ = Σ 1 i n x i.1 Α i ό ου τα γεγονότα Α i είναι µία διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω.

Κατανοµή µίας διακριτής τυχαίας µεταβλητής Έστω µία τ.µ. Χ : Ω Ε ΙR. Για x E, ορίζεται το γεγονός {ω: Χ(ω) = x} (η ιο α λά {Χ = x}), για το ο οίο συµβολίζουµε µε p X (x) την ιθανότητα του, δηλαδή p X (x) = Pr(Χ = x). Ορισµός (κατανοµή µίας διακριτής τ.µ.) : Το σύνολο αριθµών (p X (x), x E) έτσι ώστε p X (x) = Pr(Χ = x) λέγεται κατανοµή της τ.µ. Χ. Ιδιότητες : 1. p X (x) 0 2. Σ x E p X (x) = 1 Το λεονέκτηµα στην χρήση µίας κατανοµής µίας τ.µ. είναι ότι ε ιτρέ ει κατευθείαν, χωρίς την χρήση του δειγµατοχώρου, να υ ολογισθούν οι ιθανότητες των γεγονότων ου ορίζονται α ό την τ.µ. Χ.

Κατανοµή µίας διακριτής τυχαίας µεταβλητής Παραδείγµατα : Ένα ζάρι : η κατανοµή της τ.µ. Χ(ω) = ω είναι p X (ω) = 1/6 για ο οιοδή οτε ω Ω, και λέγεται οµοιόµορφη κατανοµή (διακριτή ερί τωση). ύο ζάρια : η κατανοµή της τ.µ. Χ(ω) = ω 1 + ω 2 και δίνεται α ό τον ακόλουθο ίνακα: x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Αν υ οτεθεί ότι 2 τ.µ. Χ και Υ ορίζονται άνω στο ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο µε τιµές στο Ε 1 και Ε 2 : Ορισµός : (Ανεξαρτησία 2 τ.µ.) Οι τ.µ. Χ και Υ λέγονται ανεξάρτητες εάν για ο οιαδή οτε x Ε 1 και y Ε 2, ισχύει: Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y)

Μέση τιµή και ρο ές Ορισµός : Η µέση τιµή µίας τ.µ., συµβολίζεται µε ΕΧ η Ε[Χ]. Αν η τ.µ. Χ είναι διακριτή µε τιµές στο Ε και µε κατανοµή p = (p X (x), x Ε), η µέση τιµή της δίνεται µε Ιδιότητες : 1. Ε[αΧ] = αε[χ]. 2. Ε[Χ +Υ] = Ε[Χ] + Ε[Υ]. ΕΧ = Σ x E x p(x) 3. Εάν Χ 0 τότε Ε[Χ] 0, η εάν Χ Υ, τότε ΕΧ ΕΥ. Παραδείγµατα : Η µέση τιµή της δείκτριας τ.µ. : Ε 1 Α = 1. Pr(1 Α = 1) + 0. Pr(1 Α = 0) = Pr(A). Η µέση τιµή της α λής τ.µ. Χ = Σ 1 i n x i.1 Α i : ΕΧ = Σ 1 i n x i Pr(Α i ).

Μέση τιµή και ρο ές Ορισµοί : 1. Η k-οστή ρο ή (k IN*), ορίζεται µε : µ k = E[Χ k ] = Σ x E x k p(x) εάν η σειρά συγκλίνει α όλυτα. 2. Η k-οστή κεντρική ρο ή (k IN*), ορίζεται µε : m k = E[(X - EΧ) k ] = Σ x E (x - EX) k p(x) Η δεύτερη κεντρική ρο ή, m 2, συµβολίζεται ε ίσης σ 2 (Χ) ήvar(x) και λέγεται διασ ορά (Variance) της τ.µ. Χ. Μετράει την διασ ορά η την διασ αρµένη µάζα γύρω α ό την µέση τιµή της τ.µ.. Η τετραγωνική ρίζα της διασ οράς λέγεται ε ίσης τυ ική α όκλιση. Πρόταση : Εάν Χ είναι µία τ.µ. µε τιµές στο IN, τότε ΕΧ = Σ n 1 Pr(X n).

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανοµές Κατανοµή του Bernoulli 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 X = 0 X = 1 Κατανοµή Bernoulli παραµέτρου p = 0,8 Η τ.µ. Χ ακολουθεί µία κατανοµή Bernoulli αραµέτρου p (0 < p < 1), και συµβολίζεται : Χ ~ Β(p), εάν αίρνει τις τιµές τις µέσα στο {0,1} µε Pr(X = 1) = p και Pr(X = 0) = 1 p. Το γεγονός {Χ = 1}, λέγεται ε ιτυχία και το γεγονός {Χ = 0} λέγεται α οτυχία. Η µέση τιµή δίνεται : και η διασ ορά ΕΧ = p Var(X) = σ 2 = p(1 p).

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανοµές ιωνυµική κατανοµή Όταν ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό ε ιτυχιών σε µία ε ερασµένη σειρά ειραµάτων του Bernoulli, τότε αυτό µ ορεί να εριγραφεί α ό µία διωνυµική τ.µ.. Ο αριθµός ε ιτυχιών σε µία σειρά n ειραµάτων Bernoulli µ ορεί να είναι : 0, 1, n. Μία τ.µ. Υ έχει µία διωνυµική κατανοµή αραµέτρου (n,p) (n>0 και 0 < p < 1), και συµβολίζεται : Υ ~ Β(n,p). H κατανοµή της δίνεται α ό : p(k) = Pr(Y = k) = C nk p k (1-p) n-k, (k = 0, 1,, n) 0,25 0,2 0,15 0,1 ιωνυµική κατανοµή Αν Υ ~ b(n,p), τότε µ ορεί να ανα αρασταθεί µε το άθροισµα n τ.µ. του Bernoulli αραµέτρου p και ανεξάρτητες : Y = X 1 + X 2 + +X n Η µέση τιµή δίνεται : ΕY = np και η διασ ορά Var(Y) = σ 2 = np(1 p). 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανοµές Γεωµετρική κατανοµή 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Γεω µετρική κατανοµή Η γεωµετρική κατανοµή έχει άµεση σχέση µε µία ά ειρη σειρά ανεξάρτητων ειραµάτων Bernoulli. Η ραγµατο οίηση µίας γεωµετρικής τ.µ., δείχνει την ρώτη στιγµή ραγµατο οίησης µίας ε ιτυχίας. Η τ.µ. Υ ακολουθεί µία γεωµετρική κατανοµή αραµέτρου p (0 < p < 1), και συµβολίζεται : Υ ~ G(p), όταν η κατανοµή της δίνεται α ό p(k) = Pr(Y = k) = p (1-p) k-1, (k > 0) Εάν υ οτεθεί µία ά ειρη σειρά τ.µ. Bernoulli : X 1, X 2, ~ B(p), τότε η γεωµετρική τ.µ. Υ µ ορεί να ανα αρασταθεί ως ακολούθως : {Y = n} = {X 1 = 0,, X n-1 =0, X n = 1} Η µέση τιµή δίνεται : ΕY = 1 / p και η διασ ορά : Var(Y) = σ 2 = (1 p) / p 2.

Μερικές κλασσικές διακριτές κατανοµές Κατανοµή Poisson 0,25 0,2 0,15 0,1 Kατανοµή POISSON 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Μία τ.µ. Χ ακολουθεί µία κατανοµή Poisson αραµέτρου λ IR* +, και συµβολίζεται : Χ ~ P(λ), όταν η κατανοµή της δίνεται α ό : p(k) = Pr(Χ = k) = e -λ λ k / k! (k IN) Η µέση τιµή δίνεται: ΕΧ = λ και η διασ ορά : Var(Χ) = σ 2 = λ.

Συνεχής τυχαία µεταβλητή Ορισµός : (Τυχαία µεταβλητή α όλυτα συνεχής) Μία ραγµατική τ.µ. Χ είναι α όλυτα συνεχής εάν υ άρχει µία συνάρτηση f X : IR IR +, έτσι ώστε η κατανοµή να δίνεται ως ακολούθως : P X (Β) = Β f X (x) dx για ο οιοδή οτε διάστηµα Β του IR. Η συνάρτηση f X λέγεται υκνότητα ιθανότητας του P X ή της τ.µ. Χ. Έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. x IR, f X (x) 0. 2. IR f X (x) dx = 1. Παρατηρήσεις : 1. Μία ερµηνεία της υκνότητας ιθανότητας είναι η ακόλουθη : Pr(x < X x + x) = f X (x) x + ο( x) ή f X (x) = lim x 0 Pr(x < X x + x) / x 2. Εκτός α ό τις διακριτές τ.µ., υ άρχουν και άλλες τ.µ. ου δεν είναι α όλυτα συνεχείς.

Συνεχής τυχαία µεταβλητή Ορισµός : (Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής) Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ορίζεται για ο οιοδή οτε x IR, ως ακολούθως : F X (Β) = P X ( ] -, x] ) = Pr( X x ) Συνε ώς, για ο οιοδή οτε διάστηµα [a, b] του IR, έχουµε : Pr( x ]a, b] ) = F X (b) - F X (a) Έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. Η F X είναι αύξουσα στο IR. 2. F X (- ) = lim x - F X (x) = 0, και F X ( ) = lim x F X (x) = 1. 3. F X (. ) είναι συνεχής δεξιά. Παρατηρήσεις : 1. Εάν η τ.µ. Χ είναι α όλυτα συνεχής, τότε F X (x) = ] -, x] f X (u) du Εάν x είναι ένα σηµείο συνέχειας της f X, τότε έχουµε : f X (x) = d/dx [F X (x)]

Συνεχής τυχαία µεταβλητή Παράδειγµα : (η οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, 1]) f 1 1 F 0 1 0 1 Η υκνότητα αυτής της κατανοµής δίνεται µε : f(x) = 1 [0, 1] (x). Και η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής µετά α ό υ ολογισµό δίνει : 0 εάν x < 0 F X (x) = x εάν 0 x 1 1 εάν x > 1

Συνεχής τυχαία µεταβλητή Ορισµός : (Μέση τιµή µίας ραγµατικής τ.µ. µε υκνότητα) Η µέση τιµή µίας ραγµατικής τ.µ. µε υκνότητα ορίζεται : και στην ερί τωση µίας διακριτής τ.µ. έχουµε : ό ου p(x) είναι η κατανοµή της Χ. EX = IR x f(x) dx EX = x x p(x) Ορισµοί : ( ιασ ορά και ρο ές µίας ραγµατικής τ.µ. µε υκνότητα) Η διασ ορά µίας ραγµατικής τ.µ. µε υκνότητα ορίζεται ό ως και στη διακριτή ερί τωση : Var(X) = E[(X - EX) 2 ] = IR (x - ΕΧ) 2 f(x) dx και η ρο ή βαθµού k : µ k = E[X k ] = IR x f(x) dx Μία ιο ρακτική σχέση : Var(X) = E[X 2 ] (EX) 2 Μερικές ιδιότητες της διασ οράς : 1. Var(aX + b) = a 2 Var(X), (a,b IR) 2. Αν Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Οµοιόµορφη κατανοµή 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 a=1 b=2 Μία τ.µ. ακολουθεί µία οµοιόµορφη κατανοµή σε ένα διάστηµα [a, b], ου συµβολίζεται Χ U[a, b], εάν η υκνότητα ιθανότητας δίνεται µε : f(x) = 1 / (b-a) εάν x [a, b] και 0 αλλιώς, Και η αθροιστική συνάρτηση ιθανότητας δίνεται µε : F(x) = (x-a) / (b-a) εάν x [a, b], 0 εάν x a, 1 εάν x b. EX = (a+b)/2 Var(X) = (b-a) 2 / 12

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Γενική κανονική κατανοµή -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 Έστω Ζ Ν(0, 1), (µ,σ) IRx IR +, και Χ = σζ + µ. Τότε EΧ = µ και Var(Χ) = σ 2. Α οδεικνύουµε ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί µία γενική κανονική κατανοµή, ου συµβολίζεται : Χ Ν(µ, σ 2 ) Η υκνότητα ιθανότητας δίνεται µε : Και η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής : f( x ) = 1 e 2πσ ( x µ ) 2σ 2 2 F( x) = 1 2πσ z e ( u µ ) 2σ 2 2 du

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Εκθετική κατανοµή 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Η τ.µ. Χ ακολουθεί µία εκθετική κατανοµή αραµέτρου λ IR + *, ου συµβολίζεται Χ Ε(λ), εάν η υκνότητα ιθανότητας δίνεται : Και η αθροιστική συνάρτηση ιθανότητας δίνεται : f(x) = λ exp(-λx) 1 IR + (x) F(x) = 1 - exp(-λx). EX = 1/λ Var(X) = 1/λ 2

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Κατανοµή γάµµα Η τ.µ. Χ ακολουθεί µία κατανοµή γάµµα αραµέτρων (α,β) IR + *x IR + *, ου συµβολίζεται Χ γ(α,β), εάν η υκνότητα ιθανότητας δίνεται : 1 α 1 β f ( x ) = x e 1 α β Γ( α ) = IR x + ( x ) 0,03 0,02 0,01 Ό ου Γ(.) είναι η συνάρτηση γάµµα, ου δίνεται µε : a Γ a = 1 ( ) t e a C Εάν a ΙΝ*, Γ(a) = (a-1)! Εάν α ΙΝ*, τότε γ(α,β) είναι µία κατανοµή Erlang. Για α=1, έχουµε Χ Ε(1/λ) Εάν Χ γ(α 1,β) και Υ γ(α 2,β) τότε Χ+Υ γ(α 1 +α 2,β) EX = αβ Var(X) = αβ 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 t dt

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Κατανοµή χι τετράγωνο (χ2(n)) : 0,04 Η τ.µ. Χ ακολουθεί µία κατανοµή χι τετράγωνο µε n βαθµούς ελευθερίας (n IN*) ου συµβολίζεται Χ χ 2 (n), εάν Χ γ(n/2,2). Μία τ.µ. Χ χ 2 (n) είναι το άθροισµα των τετράγωνων n τυ ικών κανονικών και ανεξάρτητων τ.µ., δηλαδή εάν Χ χ 2 (n), έχουµε : Χ = Ζ 12 + +Ζ n2 και Ζ i N(0,1). 0,03 0,02 0,01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 EX = n Var(X) = 2n

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Λογάριθµοκανονική κατανοµή Η τ.µ. Χ ακολουθεί µία λογάριθµοκανονική κατανοµή αραµέτρου (µ, σ 2 0,35 ) IR + x IR +, εάν Χ = e Y και Υ Ν(µ, σ 2 ) 0,3 και η υκνότητα ιθανότητας δίνεται µε : 0,25 0,4 ( log x µ ) 1 2 f( x ) e 2σ 1 2πσx = IR 2 + ( x ) 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 EX = e µ+σ 2/2 Var(X) = e 2(µ+σ 2) e 2µ+σ 2

Μερικές κλασσικές συνεχείς κατανοµές Κατανοµή Weibull 0,07 Η τ.µ. Χ ακολουθεί µία κατανοµή Weibull αραµέτρου (β,η) IR + *xir + *, ου συµβολίζεται Χ W(β,η), εάν η υκνότητα ιθανότητας δίνεται µε : 0,06 0,05 0,04 0,03 f( x) β 1 x β x η = e 1 η η β IR + ( x) 0,02 0,01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 και η αθροιστική συνάρτηση ιθανότητας στο IR +, είναι : F(x) = 1 exp[-(x/η) β ]. EX = η Γ(1+1/β) Var(X) = η 2 [Γ(1+2/β) (Γ(1+2/β)) 2 ]

Συνδιακύµανση 2 τυχαίων µεταβλητών Έστω Χ και Υ δύο τυχαίες µεταβλητές. Ορίζουµε σαν συνδιακύµανση και συµβολίζουµε µε Cov(X,Y) την οσότητα: Cov(X,Y) = E[(X - E[X]) (Y E[Y]) = = E[XY - XE[Y] YE[X] + E[X] E[Y]]= = E[XY] E[X]E[Y] Αν Χ, Υ ανεξάρτητες τότε Cov(X,Y) = 0 Ιδιότητες : 1. Cov(X,Χ) = Var(X) 2. Cov(X,Y) = Cov(Y,X) 3. Cov(αX,Y) = α Cov(X,Y) 4. Cov(X,Y+Ζ) = Cov(X,Y) + Cov(X,Ζ) n m n m 5. Αν Χ 1, Χ 2,, Χ n είναι τ.µ. τότε Cov X i, Y j = Cov( X i, Y j) i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 Ορίζουµε σαν συντελεστή συσχέτισης 2 τ..µ Cov( X i,y j) ρ( X,Y) = Χ, Υ, την οσότητα Var( X) Var( Y) Αν ρ(χ,υ) = 0 λέµε ότι οι Χ και Υ είναι ασυσχέτιστες χωρίς όµως αυτό να σηµαίνει ότι είναι ανεξάρτητες

Ασυµ τωτικά α οτελέσµατα Η σύγκλιση µιας ακολουθίας ραγµατικών αριθµών γενικεύεται µε αρκετούς τρό ου; Στην ερί τωση της σύγκλισης µιας ακολουθίας τυχαίων µεταβλητών 1. Σύγκλιση µε ιθανότητα 1 ή σχεδόν βέβαια Έστω { X } n n µια ακολουθία τυχαίων µεταβλητών λέµε ότι η ακολουθία αυτή =0 συγκλίνει σχεδόν βέβαια( ) εάν X n Pr σ.β. Χ ( ) lim X = X = 1 n n 2. Σύγκλιση κατά ιθανότητα Έστω { X } µια ακολουθία τυχαίων µεταβλητών λέµε ότι η ακολουθία αυτή n n =0 συγκλίνει κατά ιθανότητα ( Χ P ) εάν για κάθε ε > 0 X n ( X X ε) 1 lim Pr = n n 3. Σύγκλιση κατά τετραγωνικό µέσο Έστω { X } n n =0 µια ακολουθία τυχαίων µεταβλητών λέµε ότι η ακολουθία αυτή συγκλίνει κατά τετραγωνικό µέσο ( Χ ms ) εάν lim E n X n [( ) ] 2 X - X = 0 n

Ασυµ τωτικά α οτελέσµατα 4. Σύγκλιση κατά κατανοµή Έστω { X } n n µια ακολουθία τυχαίων µεταβλητών και F n (x) = Pr{X n n}, n =0, 1, 2, =0 η αντίστοιχη ακολουθία συναρτήσεων κατανοµών και τέλος έστω Χ µια τ.µ. µε F(x) = Pr{X n}. Λέµε ότι η ακολουθία Χ n συγκλίνει κατά κατανοµή στην Χ ( X n Χ f ) εάν Παρατήρηση lim n F (x) = n F(x) X n σ.β. Χ X n P Χ X n f Χ

Ασυµ τωτικά α οτελέσµατα ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ: Ανισότητα Markov Εάν Χ είναι µια τ.µ. η ο οία έχει µη αρνητικές τιµές τότε για ο οιαδή οτε α > 0 [ ] E X Pr{ X α} α Ανισότητα Chebychev Εάν Χ είναι µια τ.µ. µε µέση τιµή µ και διακύµανση σ 2 Pr σ { X µ >α} 2 τότε Ανισότητα Schwarz Εάν Χ και Υ δύο τυχαίες µεταβλητές µε ε ερασµένες δεύτερες ρο ές, τότε α 2 2 2 [ E(XY) ] E( X ) E( Y ) 2

Ασυµ τωτικά α οτελέσµατα Ασθενής Νόµος των Μεγάλων Αριθµών Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. και έστω Χ1+Χ2+ K+Χn Xn = n Τότε για κάθε ε >0 υ άρχει ένας αριθµός µ τέτοιος ώστε µια ακολουθία τυχαίων lim n ( ) X n µ > ε 0 Pr = ό ου µ η µέση τιµή των Χ 1, Χ 2,, Χ n Ισχυρός Νόµος των Μεγάλων Αριθµών Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνοµες µε µ µέση τιµή. Τότε lim n ( X n µ = 0) 1 Pr = Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ n ανεξάρτητες και ισόνοµες µε µ µέση τιµή και διακύµανση σ 2. Τότε η κατανοµή του X n nµ συγκλίνει στην τυ ική κανονική καθώς n ö σ n