ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Εισαγωγή Ο Ολοκληρωτικός Λογισµός γεννήθηκε από την ανάγκη ανάπτυξης µιας γενικής µεθόδου υπολογισµού όγκων εµαδών και κέντρων άρους Οι αρχές ολοκλήρωσης ανάγονται στη µέθοδο της εξάντλησης που χρησιµοποιούσαν οι Αρχαίοι Ελληνες για την εύρεση όγκων και εµαδών Στο έργο πχ του Αρχιµήδη Τετραγωνισµός της παραολής αναπτύσσονται µε θαυµαστή ακρίεια οι ασικές αρχές ολοκλήρωσης Στους µαθηµατικούς της Αναγέννησης και ιδιαίτερα στους Newto και Leibitz οφείλουµε τη σύνδεση µεταξύ παραγώγισης και ολοκλήρωσης Οι Newto Leibitz και οι µαθητές τους ανέπτυξαν τον Ολοκληρωτικό Λογισµό ενώ οι µέθοδοι ολοκλήρωσης έφτασαν στο σηµείο που ρίσκονται σήµερα κυρίως µε τα έργα του Euler Προσοχή: Σήµερα υπάρχουν διάφορες θεωρίες ολοκλήρωσης Η θεωρία που θα διδαχθείτε καλείται ολοκλήρωµα Riem είναι όµως ανεπαρκής για µια µεγάλη κλάση συναρτήσεων Έτσι µετά από προσπάθεια αρκετών δεκαετιών στις αρχές του αιώνα µας οικοδοµήθηκε η θεωρία για ένα πιο γενικό ολοκλήρωµα (το ολοκλήρωµα Lebesgue) Εφ όσον οι έννοιες ολοκλήρωµα και εµαδόν είναι άρρηκτα συνδεδεµένες µεταξύ τους είναι φυσικό να ξεκινήσουµε από τη µέθοδο εξάντλησης των Αρχαίων για να οδηγηθούµε κατά φυσικό τρόπο στη σύγχρονη θεµελίωση της έννοιας του ορισµένου ολοκληρώµατος Ορισµός 7 Με την έννοια Εµαδόν ενός επιπέδου σχήµατος Α εννοούµε τον αριθµό που προκύπτει αν συγκρίνουµε το σχήµα Α µε ένα τετράγωνο πλευράς Αξίωµα Η ένωση δύο ή περισσοτέρων απλών σχηµάτων (ορθογωνίων τριγώνων πολυγώνων) που έχουν ξένα εσωτερικά σηµεία ισούται µε το άθροισµα των εµαδών των αντιστοίχων σχηµάτων M αυτό τον τρόπο εύκολα οδηγούµαστε στον τύπο εµαδού ορθογωνίου µε ρητές πλευρές καθώς επίσης και στο εµαδόν τριγώνου Αρχικά θα αναφέρουµε τη µέθοδο του Αρχιµήδη για τον τετραγωνισµό της παραολής (3 ος πχ Αιώνας) η οποία θα δούµε ότι οδηγεί µε φυσικό τρόπο στην αυστηρή θεµελίωση του ολοκληρώµατος Riem Παράδειγµα (Ο τετραγωνισµός της παραολής) Να δειχθεί ότι το εµαδόν µεταξύ της παραολής f() = και του άξονα των στο κλειστό διάστηµα [] ισούται µε το /3 του τετραγώνου πλευράς

Λύση Χωρίζουµε το κλειστό διάστηµα [] σε -υποδιαστήµατα [ ) [ ) [ - ] τέτοια ώστε = < < < = Προφανώς: k k + όπου [ k k+ ] και k - και το ζητούµενο εµαδόν Ε είναι: ( k k ) k < E < ( k k ) k+ Aν = { } και αν L( ) (αντ U( )) είναι το αριστερό (αντ το δεξιό) άθροισµα της παραπάνω ανισότητας τότε το σύνολο: {L( ): οποιαδήποτε διαµέριση του []} είναι µη κενό και άνω φραγµένο πχ φράσσεται απότον αριθµό Ε άρα το σύνολο αυτό έχει supremum Oµοια το σύνολο {U( ): οποιαδήποτε διαµέριση του []} είναι µη κενό και κάτω φραγµένο πχ φράσσεται από τον αριθµό Ε άρα το σύνολο αυτό έχει ifimum Τον αριθµό: d= sup{ L( ) : οποιαδηποτε διαµεριση του []} καλούµε κάτω ολοκλήρωµα Drbou της συνάρτησης f() = στο [] Όµοια τον αριθµό: d= U οποιαδηποτε διαµεριση του : if{ ( ): []} καλούµε άνω ολοκλήρωµα Drbou της συνάρτησης f() = στο [] Oταν το άνω και το κάτω ολοκλήρωµα Drbou της συνάρτησης f() = στο κλειστό διάστηµα [] είναι ίσα τότε η κοινή τιµή τους καλείται ολοκλήρωµα Riem της συνάρτησης f() στο [] Προφανώς για οποιαδήποτε διαµέριση ισχύει: L( ) U( ) U( ) L( ) 9

Aρκεί λοιπόν για κάθε ε > να υπάρχει διαµέριση έτσι ώστε U( ) L( ) < ε Πράγµατι αν = = τότε: k + k k L( ) = = k 3 άρα: k + k ( k + ) U( ) = = ( k + ) = k 3 3 U( ) L( ) = Aν πάρουµε / < ε τότε εφόσον έχουµε: ( + )(+ ) k = 6 ( + )( + ) ( + )( + ) < E < 3 3 3 6 6 οπότε οι ακολουθίες δεξιά και αριστερά του Ε συγκλίνουν στο /3 άρα /3 Ε /3 οπότε Ε = /3 H θεµελίωση του ολοκληρώµατος Riem Με οδηγό το προηγούµενο παράδειγµα θα ορίσουµε το ολοκλήρωµα Riem για φραγµένες συναρτήσεις σε ένα κλειστό διάστηµα [α] Ορισµός 73 Το πεπερασµένο σύνολο = { } έτσι ώστε α = < < < = καλείται διαµέριση του κλειστού διαστήµατος [α] Ορισµός 74 Αν = { } είναι µια διαµέριση του [α] τότε καλούµε πλάτος της διαµέρισης τον αριθµό: = m{ k k- : } Ορισµός 75 To σύνολο των διαµερίσεων του [α] συµολίζεται µε [α] Ορισµός 76 Μια διαµέριση καλείται εκλέπτυνση της εάν

Έστω f() είναι µια φραγµένη συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α] και = { } [α] Ορίζουµε: mk = if{ f( t) : t [ k k + ]} Mk = sup{ f( t) t [ k k + ]} όπου k = - Eστω: k k+ k L( f ) = m ( ) k k+ k U( f ) = M ( ) Παρατηρήσεις () Για κάθε διαµέριση ισχύει L( f ) U( f ) () Εάν είναι µία εκλέπτυνση της διαµέρισης του [α] τότε: L( f ) L( f ) U( f ) U( f ) (3) Aν και είναι δύο διαµερίσεις του [α] τότε: L( f ) U( f ) Το σύνολο είναι µία εκλέπτυνση της διαµέρισης άρα ισχύει η παρατήρηση () δηλαδή: L( f ) L( f ) U( f ) U( f ) Η γεωµετρική σηµασία όσων είπαµε είναι απλούστατη: (α) Το L( f ) παριστάνει το εµαδόν µιας ένωσης ορθογωνίων που προσεγγίζουν από κάτω το εµαδόν της συνάρτησης f(t) στο κλειστό διάστηµα [α] () Το U( f ) παριστάνει το εµαδόν µιας ένωσης ορθογωνίων που προσεγγίζουν από πάνω το εµαδόν της συνάρτησης f(t) στο κλειστό διάστηµα [α] Το σύνολο {L(f ): οποιαδήποτε διαµέριση του []}

είναι άνω φραγµένο σύνολο (πχ από το εµαδόν Ε της f στο [α]) άρα το αξίωµα της επιλογής εξασφαλίζει την ύπαρξη του supremum Οµοια το σύνολο είναι κάτω φραγµένο άρα έχει ifimum {L(f ): οποιαδήποτε διαµέριση του []} Ορισµός 77 Εστω µία φραγµένη συνάρτηση f() ορισµένη στο κλειστό διάστηµα στο [α] (α < ) τότε ο αριθµός f( ) d= sup{ L( f ) : οποιαδηποτε διαµεριση του [ ]} καλείται κάτω ολοκλήρωµα Drbou της συνάρτησης f() στο διάστηµα [α] Ο αριθµός f( ) d= if{ U( f ): οποιαδηποτε διαµεριση του [ ]} καλείται άνω ολοκλήρωµα Drbou της συνάρτησης f() στο διάστηµα [α] Ορισµός 78 (Drbou) Μια φραγµένη συνάρτηση f() ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α] καλείται ολοκληρώσιµη (κατά Riem) στο [α] αν f () tdt= f() tdt Η κοινή αυτή τιµή καλείται ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f() στο κλειστό διάστηµα [α] ή ολοκλήρωµα Riem της συνάρτησης f() στο κλειστό διάστηµα [α] και συµολίζεται µε f () tdt Ορισµός 79 (Riem) Εστω f() είναι µία φραγµένη συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α] (α < ) Η f() καλείται Riem ολοκληρώσιµη στο [α] εάν υπάρχει ένας πραγµατικός αριθµός που τον συµολίζουµε µε f () tdt έτσι ώστε: ε > δ > : : < δ f( ξκ )( k+ k) f( t) dt < ε για οποιαδήποτε διαµέριση ={ } του [α] και για οποιαδήποτε επιλογή σηµείων Ξ = {ξ ξ ξ - } όπου k ξ k k+ Θεώρηµα 7 Οι ορισµοί του Drbou και του Riem είναι ισοδύναµοι

Κριτήρια ολοκληρωσιµότητας Θεώρηµα 7 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µία φραγµένη πραγµατική συνάρτηση f() ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α] ολοκληρώσιµη κατά Riem στο [α] είναι: για κάθε ε> να υπάρχει διαµέριση τέτοια ώστε: ε > διαµεριση : U( f ) L( f ) < ε Παρατήρηση Aν η f είναι φραγµένη στο [α] f ολοκληρώσιµη στο [α]; Aπάντηση: OXI απαραίτητα πχ για τη συνάρτηση ρητος f( ) = [] αρρητος παρατηρoύµε ότι για οποιαδήποτε διαµέριση ={ } του [] έχουµε L( f ) ( ) =Σ k+ k = διότι σε κάθε διάστηµα [ k k+ ] υπάρχει άρρητος Όµοια έχουµε U( f ) = ( ) = ( ) = = k+ k k+ k άρα το κατώτερο και το ανώτερο ολοκλήρωµα Drbou δεν ταυτίζονται και συνεπώς η συνάρτηση f() δεν είναι ολοκληρώσιµη στο κλειστό διάστηµα [] Πόρισµα 7 Έστω f() είναι µια φραγµένη συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α] και { = } είναι µια ακολουθία διαµερίσεων του [α] τέτοια ώστε: τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] και lim ( U( f ) L( f )) = lim L( f ) = f( ) d= lim U( f ) Ασκηση Εστω η συνάρτηση f:[] µε f() = Ν Ο η f() είναι ολοκληρώσιµη στο [] Λύση Εστω P ={</</< </=} Aφού η f είναι αύξουσα σε κάθε διάστηµα [(k-)/k/] ισχύει m k (f)=f((k-)/) και M k (f)=f(k/) άρα: 3

N k N ( ) L( f Pk ) = = ( k ) = N k N ( + ) U( f Pk ) = = ( k) = συνεπώς από το Πόρισµα 7 έχουµε άρα lim ( U( f ) L( f )) = lim = ( + ) d = lim = Θεώρηµα 73 Εστω f() είναι µία φραγµένη συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α] τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (i) η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] και f( ) d= γ (ii) αν ={ } είναι οποιαδήποτε διαµέριση του [α] και αν ξ [ ] ξ [ ] οποιαδήποτε επιλογή ενδιαµέσων σηµείων τότε αν < δ f( ξk)( k k) + f( ) d < ε k Πόρισµα 7 Έστω f είναι µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση που ορίζεται στο κλειστό διάστηµα [α] Για κάθε ακολουθία διαµερίσεων { = } τέτοια ώστε και για κάθε ακολουθία {ξ } ενδιαµέσων σηµείων ισχύει k k+ k lim f ( ξ )( ) = f( ) d Ασκηση Να δειχθεί ότι εάν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] τότε το ολοκλήρωµα αυτής δίνεται από τον κανόνα του τραπεζίου δηλαδή N f( k+ ) + f( k) f( ) d = lim N N ( ) όπου k = + k k = N N Ποια η γεωµετρική ερµηνεία του παραπάνω αθροίσµατος; Λύση Θεωρούµε τη διαµέριση του [α] σε Ν ισοµήκη υποδιαστήµατα µήκους (α)/ν δηλαδή: ={ k : k =α+k(-α)/n N)} Εφόσον η συνάρτηση f είναι Riem ολοκληρώσιµη από το πόρισµα 7 έχουµε: 4

N ( ) f( ) d= lim N f( ) k N ( ) N N = lim N f( k ) + Πρόταση 7 Κάθε µονότονη συνάρτηση f oρισµένη στο κλειστό διάστηµα [α] είναι ολοκληρώσιµη Απόδειξη Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα Χωρίζουµε το [α] σε ισοµήκη υποδιαστήµατα: ={α α+(-α)/ α+(-α)/ α+k(-α)/ α+(-α)/=} Θα εφαρµόσουµε το Πόρισµα 7: U( f ) L( f ) = ( )( M m ) k+ k k k = = ( f ( k+ ) f( k)) ( f( b) f( )) Πρόταση 7 Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α] είναι Riem ολοκληρώσιµη Απόδειξη Aρκεί να δείξουµε ότι δοθέντος ε > υπάρχει µια διαµέριση του [α] έτσι ώστε: ( k+ k)( Mκ mκ) < ε Υπενθυµίζουµε ότι εάν µια συνάρτηση είναι συνεχής τότε σε κάθε κλειστό διάστηµα έχει µέγιστη και ελάχιστη τιµή άρα για κάθε - υπάρχουν f(ξ k )=Μ κ και f(ξ k ) = m k έτσι ώστε: ( )( M m ) = ( ε )( f( ξ ) f( ξ )) ( ) ε k+ k k k k+ k k k k+ k Παρατήρηση Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] f συνεχής στο [α]; Aπάντηση: OXI απαραίτητα πχ η συνάρτηση [] f( ) = + (] είναι ασυνεχής στο [] αλλά είναι ολοκληρώσιµη στο [] ως µονότονη 5

Πρόταση 73 Εστω συνάρτηση f φραγµένη στο κλειστό διάστηµα [α] µε πεπερασµένο πλήθος (το πολύ αριθµήσιµο πλήθος) σηµείων ασυνέχειας στο [α] τότε η f είναι ολοκληρώσιµη Παρατήρηση Είναι δυνατόν µια συνάρτηση να µην ορίζεται σ ένα σηµείο [α] Αν όµως διαπιστώσουµε ότι η συνάρτηση επεκτείνεται συνεχώς σ αυτό το σηµείο τότε η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη στο [α] πχ έστω f() = ηµ(π)/(π) στο (] επειδή lim f()= η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιµη στο [] 3 Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Riem Εάν f() = c [α] τότε: f () tdt= c( ) Πράγµατι για κάθε διαµέριση Μ k = m k =c άρα: k+ k α U( f ) = ( ) c = c( ) = L( f ) Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α] τότε και η f+g είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει: Απόδειξη Eστω ( f ( ) + g( )) d= f ( d ) + g( d ) Σ( f Ξ ) = ( ) f( ξ ) α α α k+ k k το άθροισµα Riem τότε: k+ k ξk ξk ( f ) ( g ) Σ ( f + g Ξ ) = ( )( f( ) + g( )) = Σ Ξ +Σ Ξ 3 Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α] και λµ είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε η λf+µg είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει: ( λ f ( ) + µ g( )) d = λ f ( d ) + µ g( d ) α α α (προκύπτει εύκολα απο τα αθροίσµατα Riem) 4 Εάν α<c< τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] αν και µόνον αν είναι ολοκληρώσιµη στα [αc] και [c] Τότε ισχύει: c f ( d ) = f ( d ) + f ( d ) c 6

5 Εάν m f M α και αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε ισχύει: Απόδειξη m( ) f ( d ) M( ) U( f ) = ( ) M M ( ) και k+ k k k+ k L( f ) = ( ) m m ( ) = m( α ) k+ k k k+ k 6 Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α] και f() g() α τότε: f ( d ) g( d ) Απόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι εάν () τότε α Πράγµατι επειδή g-f και εφόσον m k για κάθε k έχουµε το ζητούµενο 7 Για κάθε ολοκληρώσιµη συνάρτηση f ισχύει : f ( d ) f ( ) d α Απόδειξη Αρχικά θα δείξουµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη Εστω: α M k = sup{ f( ) [ k k + ]} m k = if{ f( ) [ k k + ]} Mk = sup{ f( ) [ k k + ]} mk = if{ f( ) [ k k + ]} Eπειδή για κάθε y ισχύει: f() - f(y) f()-f(y) έχουµε M k m k Mk mk οπότε αν ( )( M m ) < ε ( )( M m ) < ε k+ k k k k+ k k k Εφ όσον - f() f() f() α έχουµε: f ( ) d f ( d ) f ( ) d f ( d ) f ( ) d α α α α α 7

8 Εάν η συνάρτηση f:[α] [γδ] είναι ολοκληρώσιµη και εάν η φ:[γδ] R είναι συνεχής τότε η σύνθεση φ ο f: [α] R είναι ολοκληρώσιµη 9 Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] τότε η f k είναι ολοκληρώσιµη (k Ζ) Απόδειξη Αν M = sup{ f( ) [ ]} και αν φ:[-μμ] R k τότε η φ είναι συνεχής και από το προηγούµενο Θεώρηµα ϕ f =f k είναι ολοκληρώσιµη Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] και αν υπάρχει δ > και Μ: < δ f() M τότε η /f είναι ολοκληρώσιµη Απόδειξη Εστω φ:[δμ] R / τότε η φ είναι συνεχής και από την 9 η φ ο f=/f είναι ολοκληρώσιµη Αν οι συναρτήσεις f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α] τότε η fg είναι ολοκληρώσιµη στο [α] Απόδειξη Eπειδή οι f+g f-g f και g είναι ολοκληρώσιµες η fg είναι επίσης ολοκληρώσιµη λόγω της ταυτότητας: fg =[(f+g) (f-g) ]/ Εάν α c <d και η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στo [cd] Παρατήρηση Ο ορισµός του ολοκληρώµατος της f έχει δοθεί για συναρτήσεις f ορισµένες στο [α] µε α< Επεκτείνουµε τον ορισµό του ολοκληρώµατος της f στο [αα] και της f στο [α] ως εξής: (i) για κάθε f ορίζουµε f ( ) d = α (ii) για κάθε f ολοκληρώσιµη στο [α] (α < ) ορίζουµε: f ( d ) = f ( d ) 4 Θεωρήµατα µέσης τιµής ολοκληρωτικού Λογισµού α Θεώρηµα 74 ( Θεώρηµα µέσης τιµής του ΟΛ) Εάν η f είναι ολοκληρώσιµη στο κλειστό διάστηµα [α] και αν m f() M για κάθε α τότε υπάρχει µ [mμ] έτσι ώστε να ισχύει: Απόδειξη Είναι γνωστό ότι f ( d ) = µ ( ) 8

m( ) f ( d ) M( ) m f ( d ) M ( ) Πόρισµα 73 Αν η f είναι συνεχής στο [α] τότε υπάρχει ξ [α] έτσι ώστε f ( d ) = f ( ξ)( ) Απόδειξη Εφόσον η f είναι συνεχής θα είναι και ολοκληρώσιµη στο [α] και θα ισχύει το Θεώρηµα µέσης τιµής του Ολοκλ Λογισµού όπου m (αντ Μ) είναι το ελάχιστο (αντ το µέγιστο) της f στο [α] Λόγω συνέχειας υπάρχει ξ [α]: µ=f(ξ) Θεώρηµα 75 ( Θεώρηµα µέσης τιµής του ΟΛ) Εάν οι f και g είναι ολοκληρώσιµες στο [α] και αν m f() M για κάθε α ενώ g ( ) (ή g ( ) ) για κάθε α τότε υπάρχει µ [mμ] έτσι ώστε: f ( ) g( d ) = µ g( d ) Απόδειξη Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι g ( ) τότε m g() f() g() M g() και αφού η (fg)() είναι ολοκληρώσιµη θα ισχύει Αν gd ( ) > m τότε m g ( d ) ( fg )( d ) M g ( d ) ( fg)( ) d M g( ) d α και θέτουµε µ= ( fg)( d ) g( d ) Αν gd ( ) = τότε ( fg)( ) d = και εκλέγουµε οποιοδήποτε µ Πόρισµα 74 Εάν η f είναι συνεχής στο [α] και η g είναι ολοκληρώσιµη στο [α] και αν g ( ) (ή g ( ) ) για κάθε α τότε υπάρχει ξ [α] έτσι ώστε: f ( ) g( d ) = f( ξ ) g( d ) 9

5 Αντιπαράγωγοι και ορισµένα ολοκληρώµατα Θεώρηµα 76 Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στό [α] τότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α] F( ) = f( t) dt Απόδειξη Eστω [α] µε < τότε: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) α α F F f d f d f d Αν λοιπόν Μ = sup [ ] f ( ) ε > και - < ε/μ τότε F( ) F( ) M( ) < ε Θεώρηµα 77 (Πρώτο Θεµελιώδες Θεώρηµα OΛ) Εάν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] και συνεχής στο τότε η συνάρτηση F( ) = f( t) dt α είναι παραγωγίσιµη στο και η παράγωγος αυτής ισούται µε f( ) Απόδειξη Εστω α < < και < mi{- α} θα δείξουµε ότι F ( ) = f( ) ή F( + ) F( ) lim f( ) = Έστω > (όµοια είναι η απόδειξη για < ) τότε F( + ) F( ) f = f t dt f t dt f + ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = f () tdt f ( ) dt ( f () t f ( )) dt = + f ( t) f ( ) dt Έστω ε > λόγω συνέχειας της f στο υπάρχει δ > : f ( ) f ( ) < ε + όταν < δ άρα

F( + ) F( ) f ( ) + f ( t) f ( ) dt < ε = ε Ορισµός 7 Αν η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιµη στο [α] τότε η συνάρτηση F καλείται αντιπαράγωγος της f ή και αρχική συνάρτηση της f Θεώρηµα 78 Αν η F είναι µια αντιπαράγωγος της f ορισµένη σε διάστηµα τότε το σύνολο των αντιπαραγώγων της f είναι της µορφής: {F+c c = σταθερά} Απόδειξη Εστω F αντιπαράγωγος της f δηλαδή F () = f() προφανώς (F+c) () = f() άρα και η F+c είναι αντιπαράγωγος της f Εστω G µια άλλη αντιπαράγωγος της f δηλαδή G () = f() τότε (F- G) () = άρα F = G+c Θεώρηµα 79 ( Θεµελιώδες θεώρηµα του ΟΛ) Εάν η f είναι συνεχής στο [α] τότε f ( d ) = G( ) G ( ) όπου η G είναι µια οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f Απόδειξη Προφανώς αν F( ) = f ( tdt ) και αν G είναι µια οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f ισχύει G ( ) = F ( ) + c G ( ) = f ( tdt ) + c Αν = από την παραπάνω παίρνουµε ότι G() = c και για = έχουµε: G ( ) = f ( tdt ) + c = f ( tdt ) + G ( ) Θεώρηµα 7 Εάν η f είναι ολοκληρώσιµη στο [α] τότε f ( d ) = G( ) G ( ) όπου η G είναι µια οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f Απόδειξη Αν = { } είναι µια οποιαδήποτε διαίρεση του [α] παρατηρούµε ότι k k = G ξ k k k k = f ξ k k k = = k G( ) G( ) = ( G( ) G( )) ( )( ) ( )( ) το οποίο όµως είναι το άθροισµα Riem

ΓΝΩΣΤΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ + f( ) = F() = + f( ) = F() = log {} 3 + f( ) = F( ) = { } + 4 f ( ) = F() = > log 5 ( ) f = e F() = e 6 f ( ) = cos F() = si 7 f ( ) = si F() = cos f ( ) = π / π / F() = εφ cos 8 ( ) 9 f ( ) = < F() =τοξηµ f ( ) = F() =τοξεφ + f ( ) = si F() = cos f ( ) = cos F() = si f ( ) = F() = σφ si 3 ( π )

Βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης I Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση Αυτή προέρχεται από τον τύπο παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης (κανόνας αλυσίδας) Θεώρηµα 7 Εάν η συνάρτηση φ έχει συνεχή παράγωγο στο [α] και αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα φ([α]) τότε ϕ( ) f ( d ) = f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt ϕ ( ) Απόδειξη Εστω G µια αντιπαράγωγος της f τότε ϕ( ) ϕ ( ) f ( d ) = G( ϕ ( )) G( ϕ( )) Προφανώς η σύνθετη συνάρτηση G(φ(t)) ορίζεται στο [α] και η παράγωγος αυτής δίνεται από τον τύπο: Άρα (G(φ(t))) = G (φ(t)) φ (t) = f(φ(t)) φ (t) t [α] f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt = G( ϕ( )) G( ϕ( )) Παρατήρηση Ο παραπάνω τύπος προκύπτει απο το f ( d ) αν στη θέση του θέσουµε φ(t) και στη θέση του d θέσουµε το dφ(t) = φ (t)dt Παράδειγµα Να υπολογιστεί το cos π d 4 Θέτουµε t = (π)/4 άρα dt = (π/4)d Για = t = ενώ για = t = (π/4) άρα το ολοκλήρωµα γίνεται π 4 4 cos d = cos tdt = si t = 4 π /4 π /4 π π π Παράδειγµα Να υπολογιστεί το d 4 Θέτουµε = sit άρα d = cost dt Για = t = ενώ για = t = (π/6) άρα το ολοκλήρωµα γίνεται d cost = dt = dt = cos t 6 π /6 π /6 π 4 3

II Oλοκλήρωση κατά παράγοντες Αυτή προέρχεται από τον τύπο παραγώγισης γινοµένου συναρτήσεων Θεώρηµα Εάν οι συναρτήσεις fg έχουν συνεχείς παραγώγους στο [α] τότε f ( ) g ( d ) f ( ) g ( = ) f ( ) g ( d ) Απόδειξη Είναι προφανής αν λάουµε υπόψην ότι και ( fg)( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) Παράδειγµα 3 Να υπολογιστεί το (fg)( ) d = f ( ) g( ) = f( ) g( ) f( ) g( ) π si d Θέτουµε f() = g() = -cos άρα το ολοκλήρωµα γίνεται π π π si d= ( cos ) d= cos π π π ( )( cos ) d= π + cos d = π + si = π ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ H συνάρτηση f:[α] + είναι συνεχής στο [α] και αν f() t dt = Ν Ο f(t) = για κάθε t [α] Λύση Εστω ότι υπάρχει ξ [α] τέτοιο ώστε f(ξ) > Αφού η f είναι συνεχής στο [α] υπάρχει διάστηµα [cd] [α] τέτοιο ώστε f(t) > f(ξ) για κάθε t [cd] Τότε d (άτοπο) = f( t) dt > f( t) dt = f( ξ )( d c) > c Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο () και αν υπάρχει Μ > έτσι ώστε f () < Μ για κάθε () Ν Ο k M f() t dt f < Λύση Χρησιµοποιώντας το ΘΜΤ του ολοκληρωτικού λογισµού έχουµε 4

f() t dt = f() t dt = f( ξ ) k ( k ) k όπου ξ k [(k-)/k/] άρα από το ΘΜΤ του ιαφορικού Λογισµού παίρνουµε k k f() t dt f = f( ξk ) f k = f ( λk) ξk όπου λ k [ξ k k/] Τελικά k k f() t dt f f ( λk) ξk M < M = 3 Να ευρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης F( ) = l( t) dt F( + ) F( ) Λύση F ( ) = lim ( + ) l( tdt ) l( tdt ) l( tdt ) ( + ) = lim = lim Από το ΘΜΤ του ολοκληρωτικού Λογισµού υπάρχει ξ [ (+) ] έτσι ώστε: F ( + ) ( ) = lim l( ξ ) = lim l( ξ )( + ) Οταν ξ άρα: F ( ) = l 4 Αν < α < < π/ Ν Ο l(cos ) l(cos ) t < < t Απόδειξη Η συνάρτηση εφ είναι γνησίως αύξουσα στο [α] άρα Προφανώς για t = cos έχουµε t ( ) < t d< t ( ) 5

si t d = d = d cos cos cos = = = t cos cos dt l t l(cos ) l(cos ) cos cos 5 Αν η συνάρτηση f: είναι συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση f(α+-) = f() Ν Ο + (i) f ( ) d = f ( ) d π (ii) Nα υπολογισθεί το d + si Απόδειξη (i) Εστω = α+-y τότε χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της αντικατάστασης έχουµε I = f ( ) d = ( + y ) f ( + y ) dy = ( + y) f( y) dy = ( + ) f( y) dy yf( y) dy + = ( + ) f( ydy ) I I= f( ydy ) (ii) H συνάρτηση f() = (+si) - ικανοποιεί την σχέση f(α+-) = f() (f(π+-) = f(π-) = f()) άρα: π π π d = d + si + si και αν θέσουµε = (π/)-t παίρνουµε π π π π / π / = = π + si π /+ cos + cos d dt dt t t π / / /4 t cos dt π π t cos ( t/ ) dt t π = π = = π = π + 6 Eάν π si f( ) = = 6

δείξτε ότι η παράγωγος αυτής υπάρχει για = αλλά δεν υπάρχει για Αν Ν Ο gd ( ) = f() f( ) f ( ) g ( ) = = Λύση Αν έχουµε f () = si(π/) π cos(π/) Για = η παράγωγος δεν υπάρχει Πράγµατι αν =/(+) και αν y =/(+5) τότε ενώ f ( ) = si( π (+ )) π cos( π(+ )) π + f ( y ) = si( π (+ 5)) + 5 π cos( π ( + 5)) f ( ) Αρα η συνάρτηση g ( ) = = είναι συνεχής παντού εκτός του µηδενός άρα είναι ολοκληρώσιµη Εστω τώρα ε > αυθαίρετα µικρό τότε ε ε ε π π g( d ) si + π cos d ε ε ( π ) d ε πε ε + = + Τελικά ε ε g( d ) = gd ( ) + gd ( ) + gd ( ) ε ε = f () f( ) + f( ε) f( ε) + g( ) d Επειδή οι τρεις τελευταίοι όροι είναι αυθαίρετα µικροί όταν ε προκύπτει το ζητούµενο 7 (Tύπος του Tylor µε ολοκληρωτικό υπόλοιπο) Εστω f πραγµατική συνάρτηση ορισµένη στο [α] µε συνεχείς παραγώγους µέχρι (+)-τάξης στο [α] Για κάθε [α] ισχύει ο τύπος ( ) f ( ) f ( ) ( + ) f ( ) = f( ) + ( ) + + ( ) + ( t) f ( t) dt!!! Λύση Θα δείξουµε την πρόταση επαγωγικά Για = έχουµε ε ε 7

f ( ) = f( ) + f () tdt η οποία προφανώς ισχύει Υποθέτουµε ότι ισχύει για = k- δηλαδή ( ) f ( ) f ( ) f( ) = f( ) + ( ) + + ( )! ( )! + ( )! ( ) ( t) f ( t) dt Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για = k Με παραγοντική ολοκλήρωση έχουµε ( ) R ( ) = ( t) f ( t) dt ( )! ( ) ( + ) ( t) = f () t + ( t) f () t dt ( )! ( ) ( ) ( + ) = f ( ) + ( t) f ( t) dt! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν η f είναι συνεχής στο [-αα] Ν Ο (α) f άρτια στο [-αα] f ( d ) = f( d ) () f περιττή στο [-αα] f ( ) d = Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: e d + d d cos π /4 3cos + d (si + cos ) d π /4 π π 3 Να υπολογισθούν τα ορισµένα ολοκληρώµατα cos d d d + π / π / π / π π / cos d e d e cos( π ) d π 8