ΒΑΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΙΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ

ΒΑΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΙΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί + i, i και 5 + α) Να γράψετε τους μιγαδικούς και στη μορφή α+βi,με α,β ε R β) Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών,, αντίστοιχα και Ο είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ABκαι κάθετα Έστω ο μιγαδικός αριθμός k + ( k ) i, k Î R Α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του i O G είναι Γ Να βρείτε το μιγαδικό που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή των αξόνων Για τις διάφορες τιμές του φυσικού ν να βρείτε την τιμή της n n A i i + i παράστασης: ( ) 9 i 7 4i 4 Δίνεται ο αριθμός: + i + i α) Να γράψετε τον μιγαδικό στη μορφή α+βi με α,β εr β) Να βρείτε τον μιγαδικό ( ) ( ) 0 æ Re ö ç i èim ø 5 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και για τους οποίους ισχύει i 0 α) Nα βρείτε την τιμή της παράστασης: A + 00 β) Nα αποδείξετε ότι + 00 6 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 5 + i α) Να γράψετε τον ως άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών και, των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στις ευθείες: ( e ) : y x 5 και ( e ) : y x αντίστοιχα β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 7 Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης + + 0 0 0 + α) Να δείξετε ότι: β) Να δείξετε ότι: γ) Για τις διάφορες τιμές του v v παράστασης: Α + 0 50 50 A + * v Î N να βρείτε τις δυνατές τιμές της

8 Έστω + 0 α) Να βρείτε τον αριθμό i + + i β) Να λύσετε την εξίσωση: + Re( ) Im( ) 0 9 Δίνεται η εξίσωση 6 hmq + 9 0, με q Î R α) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση β) Να αποδείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο R, οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης κινούνται σε κύκλο 0 Δίνονται τα πολυώνυμα P( ) + και ( ) a, bî Q +a +b, με A Να βρείτε τις ρίζες και του P( ) και να αποδείξετε ότι + 7 B Αν μία ρίζα του πολυωνύμου P( ) είναι και ρίζα του πολυωνύμου Q(, ) να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: ότι ( ) 5Re( ), Im να βρείτε: α) Τη τιμή του x, 50 æ ö β) Τον αριθμό ç è ø 4 + 7i και + xi όπου xεr Aν ισχύει + i Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: 0 æ 5i ö ç και è + 7i ø αποδείξετε ότι: α) Ο αριθμός + είναι πραγματικός, β) Ο αριθμός u είναι φανταστικός 0 æ + 5i ö ç Nα è 7i ø Αν ο αριθμός φανταστικός i είναι πραγματικός, να αποδείξετε ότι ο είναι + 5i 4 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και, με ÏR, isx;yei αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός 5 Αν για τον εc ισχύει ότι να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 4 7i και + + 0 0 i i, να + α) Να γράψετε τον αριθμό στη μορφή k li, + με k, l Î R

β) Αν η εξίσωση x (4a + b ) x + b a 0, με a, b Î R, έχει λύση τον αριθμό, να βρείτε τις τιμές των α και β γ) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (β) να λύσετε την + a εξίσωση: i( + i) b i æ 7 Δίνεται μιγαδικός αριθμός ¹ για τον οποίο ισχύει: ö ç i 4 6 è ø α) Να βρείτε το β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι φανταστικός + 7 7 8 Εστω ο μιγαδικός, ώστε + 5 Να δείξετε ότι: α) 7 β) γ) + ÎÂ 00 9 Δίνεται μιγαδικός αριθμός ¹ 0 για τον οποίο ισχύει α) Να βρείτε το β) Να αποδείξετε ότι 0 γ) Να αποδείξετε ότι: + + + + 5 5 i 0 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και τέτοιοι, ώστε Î I i + 4 α) Να αποδείξετε ότι και 4 5 45 β) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού: u ( i i ) 5 και Έστω μιγαδικός, όπου ¹ i και σχέση + ¹ i Ο μιγαδικός δίνεται από τη α) Να αποδείξετε ότι αν ο είναι πραγματικός, τότε ο είναι πραγματικός ή β) Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικων αριθμών την εξίσωση γ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (β), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό Έστω, Î C με, 004 K ( ) i K 4 ( + ) Α Να δείξετε ότι: + + 0 Û + + 0 +

Β Αν ισχύει + + 0 ότι να βρείτε τους, Γ Να δείξετε ότι + + + + Δίνεται ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει + 5 5 + Να αποδείξετε ότι: 5 4 Έστω Î C και 6 + 4 Να βρείτε το + 5 Έστω Î C με ΔΟ + 5 6 Έστω και 4 i ΔΟ + 4(Im( )) ii 7 6 4 iii( 4)( 4) 68 7 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς x + yi,όπου x,y πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχει κεr ώστε να ισχύει: x k και y k + Να αποδείξετε ότι: + τότε κ, α) Αν Re( ) 4Im( ), β) Αν 5,τότε 0, γ) Οι εικόνες Μ των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση (Εξετάσεις 004) 8 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός λ + ( λ 4), i με λεrνα βρείτε: α) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R, β) Την ελάχιστη τιμή του 9 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 5i i i Να βρείτε: α) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, β) Την ελάχιστη τιμή του 4 + i 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει + i i Α Να βρείτε: Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών, Ποια από τα σημεία Μ απέχουν από την αρχή Ο(0,0) απόσταση ίση με 5 Β Αν ( ) 0, Re να αποδείξετε ότι i (Εξετάσεις 007) Δίνεται η εξίσωση: x 4x + 0 () Α Nα λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση() Β Αν, oι ρίζες της (),τότε να υπολογίσετε την τιμή της

006 + i παράστασης: A + Γ Αν + i, τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει 5 (Eξετάσεις 006) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: A Να αποδείξετε ότι 4 B Να βρείτε τη τιμή της παράστασης Γ Αν για τον μιγαδικό ισχύει Να βρείτε το + 5 A + +, τότε: 4 4 i + i Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς,, ισχύει ότι,, ¹ 0 και και + + 0 να δείξετε ότι: i) + + 0 ii) Οι εικόνες των,, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας α) + + 0 β) γ) + + 0 4 Δίνονται μιγαδικοί, και Α,Β οι εικόνες τους αντίστοιχατο τρίγωνο ΑΟΒ,όπου Ο η αρχή των αξόνων,είναι ισόπλευρο με πλευρά Να αποδείξετε ότι: α και β + + γ Ο αριθμός είναι φανταστικός δ + 0 0 0 ε + 0 5 Έστω, ε C*,με ¹, για τους οποίους ισχύει + i i + Να αποδείξετε ότι: α) Ο αριθμός είναι πραγματικός, β) Αν Α,Β είναι οι εικόνες των μιγαδικών και i αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων, τότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο 6 Θεωρούμε τους μιγαδικούς και οι οποίοι είναι τέτοιοι ώστε: ο + i αριθμός να είναι πραγματικός και + i + i + i

α Να βρείτε τον γτ (c) της εικόνας του β Να βρείτε τον γτ (c) της εικόνας του γ Να προσδιορίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων και 7 Δίνεται μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει: 75 90 ( + ) + i ( ) 6i α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του β) Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο γ) Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα (β), θεωρούμε τους 0 μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: + i + 6 Nα βρείτε: i) τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, ii) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του : + 5i 4 8 Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: Âe( + ) Âe( ) α)να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών β)αν Âe ( ) ¹ 0,τότε: 4 i)να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός + είναι πραγματικός και ισχύει 4 4, ii)να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών c + + 4i iii)για το ερώτημα (ii) να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του c γ)αν οι μιγαδικοί, και ικανοποιούν τη σχέση () και δεν είναι φανταστικοί,να αποδείξετε ότι: + + + + 9 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς: ( l + ) + (l ) i, με l Î R α) i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του l Î R ii) Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο β) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση + 0, όπου 0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα 40 Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: ( ) ( ) 4Re + 4Im + 6 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ¹ i για τους οποίους ισχύει:

( i ) ( i ) Α Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία με εξίσωση 4x y+ 0 Β Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο 7 4 Αν Î και ισχύει ( ) ( ) ( ) 6 Α Αποδείξτε ότι + i Β Αποδείξτε ότι + i + i i 0, ¹i Γ Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 6 7i Δ Αποδείξτε ότι ο αριθμός ( ) + i + 4 + i είναι πραγματικός Ε Αποδείξτε ότι ο αριθμός iu ( + i) είναι φανταστικός 4 α) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις + 4 + 4i και 5 + 5i Να βρείτε τους, β) Οι μιγαδικοί αριθμοί, ικανοποιούν τις σχέσεις: i και i i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί, έτσι, ώστε ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: i και 4i + α) Αν x + yi, με, x, yî R, να αποδείξετε ότι x και y β) Αν η είναι μία ρίζα της εξίσωσης: x + bx + + g 0, όπου b, g Î R να βρείτε τις τιμές των β και γ γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει 44 Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει η σχέση ( ) + ( )( + ) i 0 α Να δείξετε ότι ο δεν μπορεί να είναι φανταστικός αριθμός β Να δείξετε ότι η εικόνα του κινείται σε ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ Αν η ευθεία πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του είναι η διχοτόμος του ου και ου τεταρτημορίου των αξόνων, να δείξετε ότι η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα ρ

45 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός: + a i, με aîr a + i α) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο Ο(0,0) και ακτινα ρ β) Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο + ai για a + i α0 και α αντίστοιχα i) Nα βρείτε την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, v v ii) Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε φυσικό αριθμό ν 46 Δίνονται οι μιγαδικοί,, με: και + + 0 α) Να αποδείξετε ότι: i) ii) 4 και Re( ) β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, στο μιγαδικό επίπεδο καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν 47 Δίνεται t+ ( t) it, Î [0,] Να βρεθούν α ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του β το ελάχιστο Αν ( k ) ( k ), ik + + Î, Να βρεθούν : γ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του δ το ελάχιστο ε το ελάχιστο στ οι μέγιστες τιμές των και όταν k Î[0,4] 5 5 48 Θεωρούμε τους μιγαδικούς,για τους οποίους ισχύει ( ) ( ) 0 α Να δείξετε ότι 9 ( i) β Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός 9 i γ Να δείξετε ότι και στην συνέχεια ότι + + 6 ³ 4 δ Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών u ανήκουν σε έλλειψη και στην συνέχεια ότι u 5 49 Έστω, οι μιγαδικοί που ικανοποιούν τις σχέσεις: + και i και οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την σχέση + 4 α Να βρείτε τους μιγαδικούς και 0 0 β Να δείξετε ότι + 0 γ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

δ Να δείξετε ότι ο αριθμός συνέχεια ότι u 6 4 æ ö u ç είναι πραγματικός και στη è ø Το «αν», το «ίσως» και το «αλλά» δεν οδήγησαν ποτέ, κανέναν, πουθενά