Copyright RUNET and C. Georgiadis 2002-2004 Βιβλίο Οδηγιών
Το Πρόγραµµα FRAME2Dexprees που περιγράφεται σε αυτό το βιβλίο οδηγιών, προστατεύεται από τους νόµους περί πνευµατικών δικαιωµάτων και τις διεθνείς συµβάσεις περί πνευµατικής ιδιοκτησίας καθώς και από άλλους συναφείς νόµους και συµβάσεις. Παραχωρείται µόνον η άδεια χρήσης του προγράµµατος σύµφωνα µε τη νοµοθεσία περί Προγραµµάτων Ηλεκτρονικών Υπολογιστών που ισχύει ιεθνώς και στην Ελλάδα. Σύµφωνα µε τη νοµοθεσία αυτή, είναι παράνοµη η αντιγραφή και διανοµή του προγράµµατος από τρίτους εκτός τους έχοντες το Copyright. Copyright 2002-2003 Κ. Γεωργιάδης και RUNET, All rights reserved. Επιµέλεια βιβλίου οδηγιών : Greta Κ. Tenfjord Ο συγγραφέας του προγράµµατος και η RUNET δεν έχουν καµιά ευθύνη για τα αποτελέσµατα του προγράµµατος και τον τρόπο που αυτά θα χρησιµοποιηθούν. Βιβλίο οδηγιών 2
Περιεχόµενα Γενικά...4 Σύστηµα συντεταγµένων...5 Μονάδες...5 Συντεταγµένες κόµβων...5 ιατοµές δοκών...6 Στοιχεία δοκών...6 Στηρίξεις...7 Κοµβικά φορτία...7 Κοµβικές µάζες...7 Κατανεµηµένα φορτία δοκών...8 Κατανεµηµένες µάζες...8 Στατική ανάλυση...9 υναµική ανάλυση...9 Μετατοπίσεις...9 Εσωτερικές δυνάµεις δοκών...10 ιαγράµµατα...10 Ιδιοσυχνότητες...10 Ιδιοµορφές...11 Τεύχη...11 Παράµετροι γραφικών...12 Βιβλιογραφία...12 Βιβλίο οδηγιών 3
Γενικά Πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων για στατική και δυναµική ανάλυση διδιάστατων φορέων. Το πρόγραµµα δέχεται επικόµβια φορτία και µάζες (nodal loads and nodal masses), καθώς και κατανεµηµένα φορτία και µάζες στους δοκούς (element distributed loads and masses). Τα φορτία αντιστοιχούν σε µόνιµα και κινητά, η δε επίλυση γίνεται για συνδυασµό αυτών γgxfg+γqxfq. Αποτελέσµατα στατικής ανάλυσης: κοµβικές µετατοπίσεις εσωτερικές δυνάµεις στα άκρα των δοκών διαγράµµατα µετατοπίσεων εσωτερικών δυνάµεων Αποτελέσµατα δυναµικής ανάλυσης: ιδιοσυχνότητες ιδιοµορφές διαγράµµατα ιδιοµορφών Πρόσθετες εκτυπώσεις Μητρώα ακαµψίας Εξισώσεις στατικής επίλυσης Εξισώσεις δυναµικής επίλυσης Μονάδες Μετατροπή µονάδων Εισαγωγή δεδοµένων Συντεταγµένες κόµβων ιατοµές δοκών Στοιχεία δοκών Στηρίξεις Κοµβικά φορτία και κοµβικές µάζες Κατανεµηµένα φορτία στις δοκούς και κατανεµηµένες µάζες Οδηγός επεξεργασίας εισαγωγής δεδοµένων κόµβων και στοιχείων Βιβλίο οδηγιών 4
Σύστηµα συντεταγµένων Καθολικό σύστηµα συντεταγµένων Τοπικό σύστηµα συντεταγµένων Μονάδες Οι µονάδες που χρησιµοποιούνται στο πρόγραµµα είναι : Μήκη, συντεταγµένες, σε m (µέτρα). Φορτία, δυνάµεις σε kn, ροπές σε kn.m, κατανεµηµένα φορτία σε kn/m. Μάζες, αντί για µάζες δίνουµε αντίστοιχα βάρη σε kn ή kn/m και οι µάζες υπολογίζονται διαιρώντας µε την επιτάχυνση της βαρύτητας g. (9.81m/sec²). Μέτρο ελαστικότητας σε GPa (kn/mm²). ιαστάσεις διατοµών, επιλέγετε τις µονάδες (mm, cm, m) από το αντίστοιχο πλαίσιο. Συντεταγµένες κόµβων Αφού αριθµήσετε τους κόµβους, δίνετε τις συντεταγµένες κόµβων σε µέτρα (m), στο καθολικό σύστηµα συντεταγµένων. Η αρίθµηση των κόµβων πρέπει να είναι µοναδική, δηλαδή οι αριθµοί κόµβων δεν πρέπει να επαναλαµβάνονται. Βιβλίο οδηγιών 5
ιατοµές δοκών ίνετε τα στοιχεία διατοµής δοκών. Οµαδοποιείτε τις διατοµές και αριθµείτε τις οµάδες π.χ. υποστυλώµατα =1, δοκοί =2. Για κάθε οµάδα δίνετε τα στοιχεία της διατοµής. Η αρίθµηση των οµάδων διατοµών πρέπει να είναι µοναδική και οι διατοµές δεν µπορεί να έχουν τον ίδιο αριθµό. Επιλέγετε υλικό κατασκευής (γενικά, beton, χάλυβας, ξύλο). ίνετε το µέτρο ελαστικότητας του υλικού σε GPa (kn/mm²), (σε περίπτωση επιλογής beton, χάλυβας, ξύλο, το πρόγραµµα βάζει µία ενδεικτική µέση τιµή). Επιλέγετε τις µονάδες για τα µεγέθη της διατοµής (mm, cm, m). Αν η διατοµή είναι ορθογωνική δίνετε το πλάτος (b) και το ύψος (h) της διατοµής και υπολογίζονται το εµβαδόν και η ροπή αδρανείας. Για µή ορθογωνική µπορεί να δώσετε, b=0, h=0, (A ) το εµβαδόν και (I) την ροπή αδρανείας, (στα στοιχεία εµβαδού και ροπή αδρανείας το σύµβολο e (E) σηµαίνει δύναµη του 10, π.χ. Ε002 σηµαίνει 10² και µπορείτε να το χρησιµοποιήσετε στην εισαγωγή δεδοµένων). Σε περίπτωση που επιλέξετε υλικό beton, σας δίνεται η δυνατότητα να δώσετε επί πλέον της ορθογωνικής διατοµής, διατοµή πλακοδοκού. Η επιλογή γίνεται µε κλικ στην δεύτερη στήλη (διατ.). Στοιχεία δοκών ίνετε την τοπολογία της κατασκευής, καθορίζοντας τα στοιχεία δοκούς. Για κάθε δοκό µε µοναδική αρίθµηση, δίνετε τους δύο ακραίους κόµβους και τον αριθµό διατοµής που έχει καθοριστεί στις ιδιότητες διατοµών. Οι δύο κόµβοι Α και Β, καθορίζουν και τη διάταξη της δοκού. Η δοκός διατάσσεται µε τον κόµβο Α αριστερά και τον κόµβο Β δεξιά και έτσι καθορίζεται το κάτω πέλµα της δοκού, το οποίο όταν εφελκύεται καθορίζει την θετική φορά των καµπτικών ροπών. Βιβλίο οδηγιών 6
Στηρίξεις Τρόπος στήριξης της κατασκευής στο έδαφος και οι επιβαλλόµενες (αν υπάρχουν) κοµβικές µετατοπίσεις. Κάνοντας κλικ στην δεύτερη στήλη (στήριξη) εµφανίζεται το παράθυρο για την επιλογή του είδους στήριξης. Για επιβαλλόµενες µετατοπίσεις, επιλέγετε την κατάλληλη στήριξη, και δίνετε την µετατόπιση σε χιλιοστά ή την στροφή σε rad. Π.χ., αν σε κόµβο επιβάλλεται οριζόντια µόνο µετατόπιση 3 mm, και όχι κατακόρυφη µετατόπιση, επιλέγετε την πρώτη επιλογή του µενού, και δίνετε δχ=3 mm, (η στροφή εφόσον δεν καθορίζεται θα θεωρηθεί ελεύθερη, η δε κατακόρυφη µετατόπιση 0). Επιλέγοντας την τελευταία επιλογή δ=, µπορείτε να καθορίσετε τις κοµβικές µετατοπίσεις σε mm και την κοµβική στροφή σε rad. Κοµβικά φορτία Κοµβικά φορτία δυνάµεις κατά x και y κατεύθυνση σε kn και ροπή σε knm. Η θετική φορά των δυνάµεων και ροπών καθορίζεται από τη φορά του συστήµατος συντεταγµένων. Συντελεστές συνδυασµού φορτίσεων, γg και γq. Η φόρτιση στην στατική ανάλυση λαµβάνεται γgxfg+γqxfq. Από default είναι γg=1.35 και γq=1.50.(ευρωκώδικας 1, EC1). Fgx, Fqx κοµβικές δυνάµεις, σε kn, κατά x-x, για µόνιµα και κινητά φορτία, θετικές από αριστερά προς δεξιά. Fgy, Fqy κοµβικές δυνάµεις, σε kn, κατά y-y, για µόνιµα και κινητά φορτία, θετικές από κάτω προς τα πάνω. Mg, Mq κοµβικές ροπές, σε knm, για µόνιµα και κινητά φορτία, θετικές δεξιόστροφα. Κοµβικές µάζες Κοµβικές µάζες (lamped masses). Για να µην υπάρχει σύγχυση στις µονάδες µαζών, αντί για µάζες πρέπει να δοθούν τα αντίστοιχα βάρη σε kn και το πρόγραµµα υπολογίζει τις µάζες διαιρώντας µε 9.81 m/sec². Συντελεστές συνδυασµού µαζών, γg και γq. Η µάζα στην δυναµική ανάλυση λαµβάνεται γgxμg+γqxmq. Από default είναι γg=1.00 και γq=0.30.(ευρωκώδικας 1, EC1). Βιβλίο οδηγιών 7
Κατανεµηµένα φορτία δοκών Κατανεµηµένα φορτία στα στοιχεία δοκών, µόνιµα και κινητά σε kn/m. Πέντε είδη κατανεµηµένων φορτίων µπορεί να καθοριστούν και επιλέγονται από το µενού που εµφανίζεται µε κλικ στο είδος (δεύτερη στήλη) του φορτίου. Τα είδη των φορτίων είναι: οµοιόµορφο κατανεµηµένο, τριγωνικά κατανεµηµένα µε µέγιστο φορτίο στο δεξιά ή αριστερά άκρο του στοιχείου, συµµετρικό τριγωνικό και παραβολικό κατανεµηµένο. Η κατεύθυνση του φορτίου, κάθετα στον άξονα της δοκού, κατακόρυφο, οριζόντιο, καθορίζονται από το µενού που εµφανίζεται µε κλικ στην τελευταία στήλη, Επιπλέον µπορεί να καθοριστούν οι συντελεστές συνδυασµού φορτίσεων, γg και γq. Η φόρτιση στην στατική ανάλυση λαµβάνεται γgxfg+γqxfq. Από default είναι γg=1.35 και γq=1.50. (Ευρωκώδικας 1, EC1). Προσοχή, στη σελίδα µάζες στοιχείων µπορείτε να καθορίσετε αν το ίδιο βάρος των στοιχείων συµπεριλαµβάνεται στα κατανεµηµένα φορτία των στοιχείων της κατασκευής. Κατανεµηµένες µάζες Κατανεµηµένες µάζες στα στοιχεία δοκών. Για να µην υπάρχει σύγχυση στις µονάδες µαζών, αντί για µάζες πρέπει να δοθούν τα αντίστοιχα κατανεµηµένα βάρη σε kn/m και το πρόγραµµα υπολογίζει τις κατανεµηµένες µάζες στις δοκούς διαιρώντας µε 9.81 m/sec². Συντελεστές συνδυασµού µαζών, γg και γq. Η µάζα στην δυναµική ανάλυση λαµβάνεται γgxμg+γqxmq. Από default είναι γg=1.00 και γq=0.30. (Ευρωκώδικας 1, EC1). Αν τσεκαριστεί το πλαίσιο Ιδιο βάρος στοιχείων σε φορτία και µάζα, τότε το κατανεµηµένο φορτίο λόγω ιδίου βάρους των στοιχείων (δοκών) θα συµπεριληφθεί στα κατακόρυφα φορτία της στατικής ανάλυσης και στις µάζες της δυναµικής ανάλυσης. Το φορτίο αυτό υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το εµβαδόν της αντίστοιχης διατοµής µε το ειδικό βάρος του υλικού. Βιβλίο οδηγιών 8
Στατική ανάλυση Τα βήµατα υπολογισµού εµφανίζονται στην οθόνη µε τους αντίστοιχους χρόνους. Πρώτα κατασκευάζονται τα 6x6 µητρώα ακαµψίας των στοιχείων, χρησιµοποιώντας γραµµική ελαστική θεωρία και κάθε ένα τοποθετείται κατάλληλα, στο ολικό µητρώο ακαµψίας της κατασκευής (matrix assembling) το οποίο έχει διαστάσεις 3Νx3B, όπου Ν είναι ο αριθµός κόµβων της κατασκευής και Β είναι η µεγίστη διαφορά κόµβων µεταξύ άκρων δοκών, (bandwidth). Εν συνεχεία τα φορτία στους δοκούς µετατρέπονται σε ισοδύναµα κοµβικά φορτία και προσθέτονται στα υπάρχοντα κοµβικά φορτία και έτσι προκύπτει το δεξιά µητρώο φορτίσεων στην τελική εξίσωση. Οι συνθήκες στηρίξεων εφαρµόζονται µεταβάλλοντας το µητρώο ακαµψίας καθώς και το µητρώο φόρτισης. Το τελικό σύστηµα εξισώσεων επιλύεται µε τη gauss elimination µέθοδο και προκύπτουν οι κοµβικές µετατοπίσεις και οι άγνωστες αντιδράσεις. Από τις κοµβικές µετατοπίσεις προκύπτουν οι µετατοπίσεις στα άκρα κάθε στοιχείου (δοκού), οι οποίες πολλαπλασιαζόµενες µε το µητρώο ακαµψίας τοy αντίστοιχου στοιχείου δίνουν σαν αποτέλεσµα τις εσωτερικές δυνάµεις στα άκρα του στοιχείου (δοκού). Από τις εσωτερικές δυνάµεις στα άκρα κάθε στοιχείου (δοκού) και την ενδιάµεση φόρτιση της δοκού προκύπτουν τα διαγράµµατα καµπτικών ροπών, διατµητικών και αξονικών δυνάµεων. υναµική ανάλυση Τα βήµατα υπολογισµού εµφανίζονται στην οθόνη µε τους αντίστοιχους χρόνους. Πρώτα κατασκευάζονται τα 6x6 µητρώα ακαµψίας και µάζας των στοιχείων. Για το µητρώο ακαµψίας χρησιµοποιείται γραµµική ελαστική θεωρία, για δε το µητρώο µάζας χρησιµοποιείται consistent δηµιουργία. Κάθε ένα από τα µητρώα ακαµψίας και µάζας τοποθετούνται κατάλληλα, στα ολικά µητρώα ακαµψίας και µάζας της κατασκευής (matrix assembling) τα οποίο έχουν διαστάσεις 3Νx3B, όπου Ν είναι ο αριθµός κόµβων της κατασκευής και Β είναι η µεγίστη διαφορά κόµβων µεταξύ άκρων δοκών, (bandwidth). Η µητρωική δυναµική εξίσωση επιλύεται για την εύρεση ιδιοσυχνοτήτων, µε τη γενικευµένη µέθοδο του Jacobi. Μετατοπίσεις Η ρύθµιση των χρωµάτων, των παχών των γραµµών καθώς και ο αριθµός ενδιάµεσων σηµείων υπολογισµού των διαγραµµάτων γίνεται από το µενού Παράµετροι γραφικών. Αν δεν θέλετε να εµφανίζονται αριθµοί κόµβων και στοιχείων στα διαγράµµατα επιλέξτε γι αυτά χρώµα άσπρο. Βιβλίο οδηγιών 9
Εσωτερικές δυνάµεις δοκών υνάµεις στα άκρα δοκών και εσωτερικές δυνάµεις ιαγράµµατα Η ρύθµιση των χρωµάτων, των παχών των γραµµών καθώς και ο αριθµός ενδιάµεσων σηµείων υπολογισµού των διαγραµµάτων γίνεται από το µενού Παράµετροι γραφικών. Αν δεν θέλετε να εµφανίζονται αριθµοί κόµβων και στοιχείων στα διαγράµµατα επιλέξτε γι αυτά χρώµα άσπρο. Ιδιοσυχνότητες Οι ιδιοσυχνότητες (Hz) και οι ιδιοπερίοδοι (sec) της κατασκευής προκύπτουν µετά τη δυναµική ανάλυση. Βιβλίο οδηγιών 10
Ιδιοµορφές Οι ιδιοµορφές της κατασκευής προκύπτουν µετά τη δυναµική ανάλυση. Τεύχη Με την προεπισκόπηση ή εκτύπωση τευχών παρουσιάζεται το παράθυρο µε το αντίστοιχο τεύχος. Με τα κουµπιά κάτω αριστερά επιλέγετε εκτύπωση, διάσωση σε αρχείο ή µεταφορά του τεύχους σε κείµενο word. Στο παράθυρο Παράµετροι γραφικών µπορεί να καθοριστεί ο αριθµός των εκτυπούµενων ιδιοµορφών. Το µέγεθος και το είδος της γραµµατοσειράς των τευχών, καθώς επίσης και τα περιθώρια εκτύπωσης, καθορίζονται στο µενού ιαµόρφωση τεύχους. Βιβλίο οδηγιών 11
Παράµετροι γραφικών Ρύθµιση παραµέτρων εµφάνισης και εκτύπωσης γραφικών. Σηµεία διαγραµµάτων ανά στοιχείο. Ο αριθµός καθορίζει το πλήθος των σηµείων ανά στοιχείο (δοκό) στα οποία υπολογίζονται και σχεδιάζονται τα διαγράµµατα. Για επιλογή χρωµάτων και παχών γραµµών των διαγραµµάτων, επιλέγετε στο πλαίσιο αριστερά το αντικείµενο, π.χ. ιαγρ. µετατοπίσεων και στα τρία πλαίσια δεξιά κάνετε κλικ στο αντίστοιχο xρώµα και πάχος γραµµής. Η επιλογή κατασκευή είναι για το πρώτο διάγραµµα της κατασκευής. Η επιλογή ιαγρ. κατασκευή είναι για την κατασκευή στα διαγράµµατα. Η επιλογή κάνναβος εµφανής είναι για να εµφανίζεται ο κάνναβος 1.00mx1.00m στο σχέδιο της κατασκευής. Το χρώµα και το πάχος γραµµής του καννάβου ρυθµίζεται µε την επιλογή εσχάρα καννάβου. Με την επιλογή εκτυπούµενες ιδιοµορφές επιλέγετε την περιοχή από µέχρι των ιδιοµορφών που εκτυπώνονται στον εκτυπωτή (εκτυπώνονται µέχρι 8 ιδιοµορφές ανά σελίδα). Βιβλιογραφία Bathe K. J., Wilson E. L.,"Numerical methods in finite element analysis", Prentice-Hall, Inc., 1976. Gallagher R. H., "Finite element analysis, fundamentals", Prentice-Hall, Inc.,1975. Ghali A., Neville A. M., "Structural analysis a unified clasical and matrix approach", Chapman and Hall, 1978. Huebner K.H, "The finite element method for engineers", John Wiley and Sons, 1975. Jennings A., "Matrix computation for engineers and scientists", John Wiley and Sons, 1977. Meek J. L., "Matrix structural analysis", McGraw-Hill, 1971. Zienkiewicz O.C., " The finite element method in engineering science". 2nd Ed. McGraw-Hill, 1971. Βιβλίο οδηγιών 12