ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Αναπαραστάσεις και Στατιστική ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Κωνσταντίνος Ξενοφώντος, Αθανάσιος Γαγάτσης, Αγαθάγγελος Ασλανίδης* Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου * Γυµνάσιο Μακεδονίτισσας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή παρουσιάζει λίγα στοιχεία για τη σηµασία των αναπαραστάσεων στην κατανόηση και µάθηση των µαθηµατικών. Στη συνέχεια γίνεται µια πρώτη προσπάθεια αποσαφήνισης του ρόλου των αναπαραστάσεων στην κατανόηση και µάθηση των εννοιών της Στατιστικής. 1. Η έννοια της αναπαράστασης Η ανθρώπινη σκέψη χαρακτηρίζεται από την ικανότητα έκφρασης µιας ιδέας µε διάφορους τρόπους. Την άποψη αυτή συµµερίζονται πολλοί ερευνητές, καθώς η επαφή του ατόµου µε σύµβολα και διάφορα είδη αναπαράστασης ξεκινά από την εµβρυική ηλικία (Γαγάτσης, 2001). Το άτοµο µπορεί να χρησιµοποιήσει πολλαπλές αναπαραστάσεις για τη ίδια έννοια. Τι είναι όµως αυτό που ονοµάζουµε αναπαράσταση; O Kaput (αναφέρεται από τους Γαγάτση, 2001; Γαγάτση & Ηλία, 2003) εισηγείται πέντε ολότητες, οι οποίες περιλαµβάνονται στην έννοια της αναπαράστασης. Η πρώτη ολότητα αναφέρεται στην ολότητα που αναπαρίσταται και η δεύτερη ολότητα αναφέρεται στην ολότητα που αναπαριστά η αναπαράσταση. Έστω ότι η ολότητα προς αναπαράσταση είναι οι µαθητές και οι µαθήτριες της Ε δηµοτικού ενός σχολείου της Λευκωσίας. Μια αναπαράσταση που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την ολότητα αυτή είναι χρωµατιστά µολύβια, πράσινα για τα αγόρια και κίτρινα για τα κορίτσια. Η τρίτη ολότητα αναφέρεται στις συγκεκριµένες πτυχές της ολότητας προς αναπαράσταση και η τέταρτη ολότητα αναφέρεται στις συγκεκριµένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά. Για παράδειγµα, µια πτυχή της ολότητας που αναπαρίσταται µπορεί να είναι το ύψος των µαθητών και των µαθητριών. Έστω ότι ζητείται να αναπαρασταθεί ο αριθµός των µαθητών και των µαθητριών που έχουν ύψος πάνω από 1 µέτρο και 40 εκατοστά. Για κάθε ένα/µια µαθητή/τρια µε ύψος πάνω από 1 µέτρο και 40 εκατοστά υπάρχει και ένα ξυσµένο µολύβι, από το αντίστοιχο χρώµα. Η πέµπτη ολότητα αναφέρεται στην αντιστοιχία ανάµεσα στις δύο ολότητες. Στις δύο ολότητες που αναφέρονται πιο πάνω (µαθητές/τριες και µολύβια) υπάρχουν κάποιες αντιστοιχίες, όπως, για παράδειγµα, τα κίτρινα ξυσµένα µολύβια αντιστοιχούν στις µαθήτριες µε ύψος πάνω από 1 µέτρο και 40 εκατοστά. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 17

Κ. Ξενοφώντος κ.ά. Μια διάκριση των αναπαραστάσεων, σύµφωνα µε τον Dufour-Janvier (Γαγάτσης, 2001) είναι η κατηγοριοποίησή τους σε εσωτερικές και εξωτερικές αναπαραστάσεις. Με τον όρο εσωτερικές αναπαραστάσεις αναφερόµαστε σε νοητικές εικόνες που κατασκευάζουν τα υποκείµενα, για να αναπαραστήσουν την εξωτερική πραγµατικότητα. Ο όρος εξωτερικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε όλους τους εξωτερικούς συµβολικούς φορείς (σύµβολα, σχήµατα, διαγράµµατα) οι οποίοι στοχεύουν στην εξωτερική αναπαράσταση µιας συγκεκριµένης πραγµατικότητας. Οι Lesh, Post και Berh (Γαγάτσης, 2001) υποστηρίζουν την ύπαρξη πέντε διαφορετικών ειδών συστηµάτων εξωτερικών αναπαραστάσεων σε σχέση µε τη µάθηση των µαθηµατικών και την επίλυση προβλήµατος. Τα είδη αυτά είναι τα εξής: κείµενα, χειριστικά αντικείµενα/µοντέλα (π.χ. η αριθµητική γραµµή), εικόνες ή διαγράµµατα, γλώσσες (π.χ. µαθηµατική λογική) και γραπτά σύµβολα (π.χ. ½, 3x + 2 = 17). Στη στατιστική χρησιµοποιούνται διάφορες µορφές αναπαράστασης, όπως για παράδειγµα λεκτικές, συµβολικές, διαγραµµατικές, για σκοπούς κατανόησης εννοιών αλλά και επίλυσης µαθηµατικού προβλήµατος. Η επίλυση προβλήµατος, σύµφωνα µε τους Αναστασιάδου και Γαγάτση (2005), διέρχεται από τρεις φάσεις: την εκφώνηση του προβλήµατος, την επεξεργασία µέσων µετάφρασης ή µετασχηµατισµού και την συµβολική επεξεργασία. ιάφοροι ερευνητές έχουν προσεγγίσει την ερµηνεία των γραφικών παραστάσεων, υποστηρίζει ο Janvier (Poth & Lee, 2004), ως µια µη προβληµατική µετάφραση ανάµεσα στις γραφικές παραστάσεις και τις λεκτικές περιγραφές καταστάσεων. Εντούτοις, ο Roth (Roth & Lee, 2004) αναφέρει ότι τα αποτελέσµατα πρόσφατων ερευνών αποκαλύπτουν ότι σε καταστάσεις της καθηµερινής ζωής οι γραφικές παραστάσεις δεν ερµηνεύονται πάντα σε σχέση µε τα πράγµατα που κατασκευάστηκαν για να εκφράσουν. Οικείες γραφικές παραστάσεις χρησιµοποιούνται ως εργαλεία, χωρίς να δίνεται σηµασία σε αυτές καθαυτές. Στις σελίδες που ακολουθούν γίνεται µια επισκόπηση της διεθνούς βιβλιογραφίας σχετικά µε τις αναπαραστάσεις στη στατιστική και τη σηµασία τους στην κατανόηση εννοιών της και την επίλυση προβλήµατος. 2. Αναπαραστάσεις: η περίπτωση της Στατιστικής Το Εθνικό Συµβούλιο ασκάλων των Μαθηµατικών (National Council of Teachers of Mathematics-NCTM), όπως αναφέρουν οι Friel, Curcio και Bright (2001), υποστηρίζει ότι η στατιστική και η ανάλυση δεδοµένων αναφάνηκε ως σηµαντικό µέρος του σχολικού αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών κατά τη δεκαετία του 1990. Η υπάρχουσα προσέγγιση στην ανάλυση δεδοµένων εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από γραφικές αναπαραστάσεις. Στον ελληνικό χώρο, η στατιστική αποτελεί µέρος των αναλυτικών προγραµµάτων του δηµοτικού σχολείου και αφορά σε στοιχειώδεις έννοιες της στατιστικής, όπως ποσοστά επιτυχίας, συχνότητα, µέσος όρος κ.ά. Πέραν της λεκτικής έκφρασης, στο δηµοτικό 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 18

Αναπαραστάσεις και Στατιστική σχολείο χρησιµοποιούνται οι γραφικές αναπαραστάσεις και η µορφή πίνακα (Αναστασιάδου & Γαγάτσης, 2005). Ο Fry (Friel et al, 2001) εισηγείται ένα γενικό ορισµό του τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση. Σύµφωνα µε αυτόν, η γραφική παράσταση είναι ο διαστηµατικός σχεδιασµός και έκθεση απόκλισης, που συνενώνει τη χρήση συµβόλων, όπως είναι οι λέξεις και οι αριθµοί. Ο Wainer, αναφέρει η Friel et al (2001), χαρακτήρισε τις γραφικές παραστάσεις µε τρόπο που να περιλαµβάνει τις παραστάσεις που χρησιµοποιούνται στη στατιστική, για να µεταφέρουν πληροφορίες σε πολλούς τοµείς, αλλά αποκλείει πολλά άλλα είδη οπτικοποίησης, που προηγούµενοι ερευνητές και συγγραφείς περιλάµβαναν. Σε αντίθεση µε τα σχεδιαγράµµατα, τους χάρτες και τα γεωµετρικά σχήµατα, όπου χρησιµοποιούνται διαστηµατικά χαρακτηριστικά (παραδείγµατος χάριν, απόσταση) για την αναπαράσταση διαστηµατικών σχέσεων, οι γραφικές αναπαραστάσεις χρησιµοποιούν διαστηµατικά χαρακτηριστικά (παραδείγµατος χάριν, το ύφος ή το µήκος) για την αναπαράσταση ποσοτήτων (για παράδειγµα, ο αριθµός των αυτοκινήτων που πουληθήκαν ή το κόστος ζωής). Συνήθεις µορφές γραφικής παράστασης, που χρησιµοποιούνται και στο σχολείο είναι αυτές που εισηγήθηκε ο William Playfair στα τέλη του 18 ου αιώνα και περιλαµβάνουν τις εικονικές γραφικές παραστάσεις, τα ραβδογράµµατα, τα ιστογράµµατα και τα κυκλικά διαγράµµατα. Ο πίνακας είναι µια άλλη µορφή συγκέντρωσης δεδοµένων στη στατιστική. Οι Mosenthal και Kirsch (Friel et al, 2001) µελέτησαν τις γραφικές παραστάσεις από την οπτική της σχέσης τους µε τους πίνακες και ορίζουν τους πίνακες ως απλές λίστες που φτιάχνονται για ένα σύνολο στοιχείων που µοιράζονται ένα κοινό χαρακτηριστικό. Το χαρακτηριστικό αυτό παρουσιάζεται µε µια ταµπέλα. Για παράδειγµα, µε την ταµπέλα «οχήµατα» περιγράφεται µια απλή λίστα στοιχείων: αυτοκίνητα, λεωφορεία, ποδήλατα κ.ά. Με δεδοµένη τη συχνότητα µε την οποία οι άνθρωποι που έχουν οχήµατα τα πλένουν (π.χ. εβδοµαδιαία, µηνιαία, ποτέ), θα µπορούσε κανείς να συνθέσει µια πληθώρα απλών λιστών και να τις οργανώσει ως διχοτοµικές λίστες (π.χ. ως ένα πίνακα στον οποίο οι σειρές αντιπροσωπεύουν τα διάφορα είδη οχηµάτων και οι στήλες τη συχνότητα που αυτά πλένονται). Οι πίνακες φαίνεται να χρησιµοποιούνται µε δύο τρόπους. Ένας τρόπος χρήσης του πίνακα είναι η παρουσίαση δεδοµένων. Ο Ehrenberg (Friel et al, 2001) διατύπωσε εισηγήσεις σχετικά µε το σχεδιασµό πινάκων ως είδος παρουσίασης δεδοµένων. Οι εισηγήσεις του περιλάµβαναν διάφορες αρχές, όπως το στρογγύλεµα των αριθµών σε δύο δεκαδικά ψηφία, για ευκόλυνση των νοερών πράξεων, καθώς και να δίνεται ο µέσος όρος των στηλών, των σειρών ή και των δύο ως αντιληπτικά σηµεία αναφοράς. Ένας άλλος τόπος χρήσης του πίνακα είναι η οργάνωση πληροφοριών, ως ενδιάµεσο στάδιο για τη δηµιουργία γραφικών παραστάσεων. Η κατασκευή γραφικής παράστασης απαιτεί την οργάνωση των δεδοµένων σε πίνακες. Για την κατασκευή της γραφικής παράστασης πρέπει να αποφασιστεί το πώς θα φτιαχτεί ο πίνακας. Όπως προαναφέρθηκε, η στατιστική αποτελεί µέρος του ελληνικού αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών. Έννοιες της περιγραφικής στατιστικής έχουν εισαχθεί 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 19

Κ. Ξενοφώντος κ.ά. στα αναλυτικά προγράµµατα της µαθηµατικής εκπαίδευσης λόγω των αυξανόµενων αριθµών επαγγελµατικών πεδίων που απαιτούν τη χρήση στοιχείων στατιστικής συλλογιστικής (Αναστασιάδου & Γαγάτσης, 2005). Ειδικότερα, όσον αφορά στους στόχους που σχετίζονται άµεσα µε τις γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες, οι µαθητές µαθαίνουν να καταγράφουν δεδοµένα, να κατασκευάζουν απλές γραφικές παραστάσεις µε τη βοήθεια των δεδοµένων ενός πίνακα και να παίρνουν πληροφορίες από µια γραφική παράσταση στη Γ και Ε τάξη του δηµοτικού σχολείου. Στην Στ δηµοτικού, αναφέρουν οι Αναστασιάδου και Γαγάτσης (2005), οι µαθητές πρέπει να αποκτήσουν τις ικανότητες, που αναφέρονται στα αναλυτικά προγράµµατα, να κατασκευάζουν, δηλαδή, σχετικούς πίνακες για γεγονότα και να ασκηθούν σε µεγαλύτερο βάθος στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων. Η Friel et al (2001), εισηγείται οι µαθητές της προσχολικής και πρώτης σχολικής ηλικίας να χρησιµοποιούν φυσικά αντικείµενα και στη συνέχεια εικόνες και εποπτικά µέσα (όπως για παράδειγµα συνδεόµενους κύβους) για την αναπαράσταση αριθµών αντικειµένων πριν τη χρήση των περισσότερο αποσπασµατικών αναπαραστάσεων που προσφέρουν τα ραβδογράµµατα και τα ιστογράµµατα. Στις µεγαλύτερες τάξεις του δηµοτικού οι µαθητές µελετούν εκτενέστερα και χρησιµοποιούν γραφικές αναπαραστάσεις των προηγούµενων τάξεων, εµβαθύνοντας στη µελέτη διαγραµµάτων συχνότητας. Η χρήση κυκλικών διαγραµµάτων, σύµφωνα µε τη Friel et al (2001), είναι θεµιτή, αν και οι µαθητές της ηλικίας των 9 και 10 δεν είναι ιδιαίτερα εξοικειωµένοι µε µαθηµατικά που σχετίζονται µε ποσοστά. Σε µεγαλύτερες τάξεις οι µαθητές αναπτύσσουν την ικανότητά τους να αιτιολογούν, να κάνουν προεκτάσεις από τα δεδοµένα και να ερµηνεύουν. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούνται πιο πολύπλοκα δεδοµένα, µε µεγαλύτερη διασπορά και απόκλιση απ αυτές των προηγούµενων τάξεων. ιάφορες έρευνες, όπως αναφέρουν οι Ainley, Nardi και Pratt (2000), αποκαλύπτουν σχετικά χαµηλά επίπεδα γραφικών ικανοτήτων σε µαθητές του γυµνασίου και υπογραµµίζουν συγκεκριµένους τοµείς δυσκολίας. Η διεθνής έρευνα διακρίνει τις ικανότητες ερµηνείας γραφικών παραστάσεων απ αυτές της κατασκευής τους. Η επιτυχία των µαθητών σε ερµηνευτικά ζητήµατα (παρεµβολή στα δεδοµένα) είναι σαφώς χαµηλότερη από την επιτυχία τους σε θέµατα που απαιτούν κατασκευαστικές ικανότητες. Οι Donnelly και Welford (όπως αναφέρεται από την Ainley et al, 2000), βρήκαν ένα εύρος δυσκολιών, περιλαµβανοµένης και της ευαισθησίας των αδύνατων µαθητών να υπερερµηνεύσουν τις πληροφορίες. Τα πιο πάνω ευρήµατα ισχυροποιούν την ευρέως διαδεδοµένη αντίληψη ότι οι ερµηνευτικές ικανότητες βρίσκονται σε υψηλότερη θέση από τις κατασκευαστικές ικανότητες. Παραδοσιακά, οι δάσκαλοι και τα σχολικά εγχειρίδια δίνουν ιδιαίτερη έµφαση τόσο στις συµβάσεις των γραφικών αναπαραστάσεων όσο και στην καθαρή παρουσίαση. Η Ainley et al (2000) τονίζει ότι ο σχεδιασµός καθαρών, λεπτοµερών γραφικών παραστάσεων µε το χέρι είναι χρονοβόρα διαδικασία, ιδιαίτερα για τα µικρά παιδιά µε περιορισµένες κινητικές ικανότητες, ακόµη και όταν οι νοητικές απαιτήσεις της άσκησης 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 20

Αναπαραστάσεις και Στατιστική είναι σχετικά χαµηλές. Επεκτείνοντας, υποστηρίζεται ότι ο παράγοντας χρόνος, σε συνδυασµό µε τη σχετικά µεγάλη αξία που δίνεται στην γραφική αναπαράσταση, ως αυτοτελές θέµα, οδήγησε στην αντίληψη ότι η κατασκευή της γραφικής παράστασης είναι το τελικό στάδιο και ο σκοπός κάθε άσκησης, µε ελάχιστη έµφαση να δίνεται στην ερµηνεία ή τη χρήση της γραφικής παράστασης ως εργαλείο λύσης προβλήµατος (Ainley et al, 2000). Η κατανόηση-αντίληψη των γραφικών παραστάσεων (graph comprehension) ορίζεται από την Friel et al (2001) ως το σύνολο των ικανοτήτων των αναγνωστών των γραφικών παραστάσεων να λαµβάνουν µηνύµατα από παραστάσεις, κατασκευασµένες από τους ίδιους ή από άλλους. Η κατανόηση-αντίληψη των γραφικών παραστάσεων περιλαµβάνει την ικανότητα του ατόµου να διαβάζει και να βγάζει νόηµα από ήδη κατασκευασµένες γραφικές παραστάσεις, όπως για παράδειγµα αυτές που συναντιούνται στον καθηµερινό τύπο (π.χ. δηµοσκοπήσεις). Επιπλέον, περιλαµβάνει την αντίληψη των στοιχείων που λαµβάνουν µέρος στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων ως εργαλεία για την οργάνωση δεδοµένων και, το σηµαντικότερο, τη σηµασία της γραφικής παράστασης σε µια δεδοµένη κατάσταση. Η άποψη της Ainley et al (2000) ότι η γραφική αναπαράσταση απαιτεί τρία είδη ικανοτήτων (γνώση ερµηνείας και χρήσης των γραφικών παραστάσεων, γνώση των συµβάσεων και των τεχνικών θεµάτων, όπως για παράδειγµα η χρήση της κλίµακας, και πρακτικές ικανότητες κατασκευής γραφικών παραστάσεων µε το χέρι) συγκλίνει µε την άποψη της Friel et al (2001) ότι η κατανόηση-αντίληψη των γραφικών παραστάσεων είναι το αποτέλεσµα της διάδρασης ανάµεσα στα τρία είδη διαδικασιώνικανοτήτων που αναφέρονται πιο πάνω (οπτική αποκωδικοποίηση, κριτική της εργασίας και επίδραση των ρυθµίσεων του συγκειµένου). Πολλοί ερευνητές, όπως για παράδειγµα οι Berlin, Carswell, Curcio, McKnight, Wainer κ.ά. (αναφορά στη Friel et al, 2001) έχουν διακρίνει τρία είδη ερωτήσεων για τα οποία οι γραφικές παραστάσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την απάντησή τους. Tο πρώτο είδος επικεντρώνεται στην εξαγωγή δεδοµένων από την γραφική παράσταση. Το δεύτερο είδος χαρακτηρίζεται από παρεµβολή στα δεδοµένα και την εύρεση σχέσεων σε αυτά (ερµηνεία). Το τρίτο είδος απαιτεί προέκταση από τα δεδοµένα και ανάλυση των σχέσεων που υπονοούνται στη γραφική παράσταση (γενίκευση και πρόβλεψη). Οι µαθητές αντιµετωπίζουν µικρές δυσκολίες σε ερωτήσεις «ανάγνωσης» των δεδοµένων αλλά κάνουν σοβαρά λάθη σε ερωτήσεις που απαιτούν «διαβάσουν» ανάµεσα στα δεδοµένα. Η έρευνα των Αναστασιάδου και Γαγάτση (2005), σχετικά µε τις γνώσεις των µαθητών της Στ δηµοτικού στη στατιστική και τις αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται, κατέληξε στα εξής συµπεράσµατα: οι µαθητές της τελευταίας τάξης του δηµοτικού σχολείου στην Ελλάδα έχουν σε πολύ ικανοποιητικό βαθµό γνώσεις για αναπαραστάσεις απλών στοιχείων της καθηµερινής ζωής σε µορφή πίνακα ή ακόµα και σε µορφή γραφικής παράστασης. Φαίνεται όµως να αντιµετωπίζουν σοβαρό πρόβληµα ερµηνείας γραφικών παραστάσεων, κάτι που είναι και το πιο σηµαντικό στοιχείο της στατιστικής αυτού του επιπέδου. Όπως εισηγούνται οι Αναστασιάδου και Γαγάτσης (2005), κατά τη διδασκαλία 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 21

Κ. Ξενοφώντος κ.ά. των στοιχειωδών εννοιών στατιστικής πρέπει να δοθεί έµφαση στην ερµηνεία των αναπαραστάσεων, καθώς και σε αντίστροφες µεταφράσεις από αυτές που προτείνονται στα βιβλία του δηµοτικού σχολείου, δηλαδή τη µετάφραση από γραφική σε συµβολική και από γραφική σε λεκτική µορφή. 3. Οι γραφικές παραστάσεις της Στατιστικής σε περιβάλλον τεχνολογίας Έρευνες έχουν δείξει ότι συχνά, όταν οι µαθητές µετακινούνται προς τη χρήση της τεχνολογίας σε θέµατα στατιστικής, όπως για παράδειγµα προγράµµατα υπολογιστών για γραφικές παραστάσεις, παρουσιάζουν ελλείψεις στην κατανόηση των σχέσεων µεταξύ της ίδιας της γραφικής παράστασης, του είδους των δεδοµένων, του σκοπού της ανάλυσης των δεδοµένων και της ερµηνείας τους (Friel et al, 2001). Μαθησιακά περιβάλλοντα που υποστηρίζονται από την τεχνολογία µπορούν να δώσουν δυναµική στην ανάλυση των δεδοµένων, η οποία περιλαµβάνει εξερεύνηση και πειραµατισµό µε γραφικές παραστάσεις. Η Ainley et al (2000) υποστηρίζει ότι παιδία που εργάζονται σε θέµατα, τα οποία περιλαµβάνουν την ερµηνεία γραφικών παραστάσεων στον υπολογιστή, αποκτούν παράλληλα σε µεγάλο βαθµό επίγνωση των συµβάσεων και των τεχνικώνκατασκευαστικών θεµάτων των γραφικών παραστάσεων. Πρόσβαση στη χρήση υπολογιστή για την κατασκευή γραφικών παραστάσεων µπορεί να επιφέρει ριζικές αλλαγές στους τρόπους µε τους οποίους οι γραφικές παραστάσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν στη διδασκαλία. Θα ήταν απλοϊκό να σκεφτεί κανείς ότι η δυνατότητα κατασκευής γραφικών παραστάσεων αντικαθιστά την ανάγκη των παραδοσιακών ικανοτήτων χρήσης του µολυβιού και του χαρτιού. Αντίθετα, δίνει προοπτικές για µελέτη νέων θεµάτων και νέων µεθόδων διδασκαλίας και µάθησης. Η συµβολή των υπολογιστικών φύλλων (spreadsheets) στη στατιστική και την κατασκευή γραφικών παραστάσεων είναι µεγάλης σηµασίας. Πολλά χαρακτηριστικά των περιβαλλόντων υπολογιστικών φύλλων φαίνεται να έχουν συγκεκριµένη αρµοδιότητα στη µάθηση γραφικών δεξιοτήτων (Ainley et al, 2000). Τα υπολογιστικά φύλλα δίνουν την δυνατότητα παραγωγής και τροποποίησης των λεπτοµερειών ενός εύρους γραφικών παραστάσεων σε ελάχιστο χρόνο. Το γεγονός αυτό επιτρέπει στα παιδιά να πειραµατίζονται µε την παραγωγή πολλών και διαφορετικών γραφικών παραστάσεων, αρκετές από τις οποίες θα ήταν δύσκολο να κατασκευαστούν µε το χέρι. Εντούτοις, τονίζει η Ainley et al (2000), ο υπολογιστής δεν λαµβάνει υπόψη το νόηµα ή τον σκοπό µια γραφικής παράστασης. Αυτό µπορεί να ακούγεται αυτονόητο, αλλά δεν είναι πάντοτε φανερό σε αρχάριους χρήστες. Ανάλογα µε την ποσότητα και το είδος των δεδοµένων ο υπολογιστής παράγει µια γραφική παράσταση, αλλά δεν παρέχει καµία ανατροφοδότηση όσον αφορά το αν η γραφική παράσταση έχει νόηµα και αυτό µπορεί να προκαλέσει δυσκολίες στα παιδιά, όταν χρησιµοποιούν τους υπολογιστές για µελέτη γραφικών αναπαραστάσεων. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 22

Αναπαραστάσεις και Στατιστική Μια άλλη σηµαντική συµβολή της τεχνολογίας στην παραγωγή γραφικών παραστάσεων και κατ επέκταση στη διαµόρφωση νέων διδακτικών προσεγγίσεων είναι η δηµιουργία της γραφικής υπολογιστικής µηχανής. Οι Γιασουµή και Χρίστου (αναφορά στο Γαγάτση, 2003) επισηµαίνουν ότι, παρά το ότι η χρήση γραφικών υπολογιστικών µηχανών θέτει περιορισµούς σε σχέση µε τον ηλεκτρονικό υπολογιστή, εντούτοις το χαµηλό κόστος προµήθειάς τους και η ευκολία στη χρήση τους έχει ως αποτέλεσµα την ευρεία εξάπλωσή τους και χρήση τους στη διδασκαλία των συναρτήσεων στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση στην Ευρώπη και Αµερική. Οι Mittag και Taylor (1996) υπογραµµίζουν τη σηµασία της χρήσης της γραφικής υπολογιστικής µηχανής σε µαθήµατα στατιστικής. Λόγω της φύσης της γραφικής υπολογιστικής µηχανής πολλές έρευνες επικεντρώθηκαν στην κατανόηση των µαθητών όσον αφορά γραφικό υλικό. Ο Beckmann (αναφορά στους Mittag & Taylor, 1996) υποστηρίζει ότι οι µαθητές είναι σε θέση να πάρουν περισσότερες πληροφορίες από µια γραφική παράσταση, µετά από επαφή µε την γραφική υπολογιστική µηχανή. Ο Harvey (Mittag & Taylor, 1996) αναφέρει την ύπαρξη µια σηµαντικής διαφοράς στα αποτελέσµατα προπειραµατικών και µεταπειραµατικών δοκιµίων ανάµεσα στην πειραµατική οµάδα και την οµάδα ελέγχου, σε έρευνα σχετικά µε την επίδοση µαθητών στη στατιστική µε τη χρήση της γραφικής υπολογιστικής µηχανής. Τη µεγαλύτερη διαφορά στα αποτελέσµατα µεταξύ προπειραµατικών και µεταπειραµατικών δοκιµίων είχαν οι µαθητές που ασχολήθηκαν µε τη µηχανή. Ένας λιγότερο επιστηµονικός, αλλά εξίσου σηµαντικός παράγοντας που πραγµατεύεται η διεθνής έρευνα για τις γραφικές υπολογιστικές µηχανές είναι οι στάσεις των µαθητών, που τις χειρίζονται. Τόσο οι Mittag και Taylor (1996) όσο και οι Γιασουµή και Χρίστου (Γαγάτσης, 2003) υπογραµµίζουν το ότι οι µαθητές που χρησιµοποιούν γραφικές υπολογιστικές µηχανές δείχνουν καλύτερη στάση απέναντι στα µαθηµατικά και ειδικότερα καλύτερη αυτοαντίληψη. 4. Αναπαραστάσεις στη Στατιστική και λύση προβλήµατος Η κατανόηση µαθηµατικού προβλήµατος, αναφέρουν οι Lavigne και Glaser (2001), εµπλέκει την ύπαρξη ακριβούς αναπαράστασης του προβλήµατος. Η αναπαράσταση αυτή για το πρόβληµα προκύπτει από µια διαδικασία προσπάθειας σύνδεσης της γνώσης περιεχοµένου που έχει ο λύτης µε τις απαιτήσεις του συγκεκριµένου προβλήµατος και πρέπει να λαµβάνεται υπόψη πριν την εκτέλεση της διαδικασίας λύσης του προβλήµατος. ιάφοροι ερευνητές, όπως για παράδειγµα ο Marshall, ο Mayer και πολλοί άλλοι (αναφορά στους Lavigne και Glaser, 2001), υποστηρίζουν ότι η ανικανότητα να αναπαρασταθεί ένα πρόβληµα µε ακρίβεια µπορεί να οδηγήσει σε ανεπιτυχή λύση του. Η δυσκολία αυτή είναι ιδιαίτερα συνηθισµένη σε λεκτικά προβλήµατα λόγω του ότι η λύση τους εξαρτάται από λεκτικές πληροφορίες και πληροφορίες από το συγκείµενο που παρέχονται στο ίδιο το κείµενο. Η ικανότητα αναπαράστασης προβληµάτων µε ακρίβεια, µέσα από τη µετατροπή των λέξεων στα κατάλληλα µαθηµατικά σύµβολα και η ερµηνεία 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 23

Κ. Ξενοφώντος κ.ά. των λύσεων µέσα στο συγκείµενο του προβλήµατος είναι κριτικά σηµεία ως προς την κατανόηση και τη λύση των προβληµάτων, κυρίως όταν είναι πολύπλοκα. Παρά το ότι έχουν λεχθεί πολλά σχετικά µε τις αναπαραστάσεις των µαθητών για προβλήµατα φυσικής και µαθηµατικών, ελάχιστη έρευνα έχει γίνει για την περίπτωση της στατιστικής. Η γνωστική έρευνα στον τοµέα αυτό κατά τον Becker (Lavigne & Glaser, 2001), βρίσκεται σε αρχικά στάδια και έτσι δεν είναι γνωστά πολλά σχετικά µε τον τρόπο που οι µαθητές λύνουν προβλήµατα στατιστικής. Είναι ανάγκη λοιπόν να πραγµατοποιηθούν έρευνες που θα εξετάσουν την ικανότητα των µαθητών να αναπαριστούν µε ακρίβεια προβλήµατα στατιστικής. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ainley, J., Nardi, E. & Pratt, D. (2000). The construction of meanings for trend in active graphing. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5, 85-114. Αναστασιάδου, Σ. & Γαγάτσης. Α. (2005). Αναπαραστάσεις στη Στατιστική της Στ ηµοτικού της Ελλάδας. Στο: Α. Γαγάτσης, Α. Παναούρα & Π. αµιανού(επιµ.), Πρακτικά 8 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηµατικής Παιδείας και Επιστήµης (σελ. 163-174). Λευκωσία: Κυπριακή Μαθηµατική Εταιρεία. Γαγάτσης, Α. & Ηλία, Ι. (2003). Οι αναπαραστάσεις και τα γεωµετρικά µοντέλα στη µάθηση των µαθηµατικών. Τόµοι I και II. Λευκωσία: Εκδόσεις Intercollege. Γαγάτσης, Α., Μιχαηλίδου, Ε. & Σιακαλλή, Μ. (2001). Θεωρίες αναπαράστασης και µάθησης των µαθηµατικών. Λευκωσία: Πανεπιστήµιο Κύπρου-Erasmus IP1. Friel, S. N., Curcio, F. R. & Bright, G. W. (2001). Making sense of graphs: Critical factors influencing comprehension and instructional implications. Journal for Research in Mathematics Education, 32, Iss 2, 124-159. Lavigne, N. C. & Glaser, R. (2001, December). Assessing student repsesentations of inferential problems. Retrieved February 16, 2006, from: http://www.eric.ed.gov/ericdocs/data/ericdocs2/content_storage_01/0000000b/80/0 d/c8/84.pdf Mittag, K. C. & Taylor, S.E. (1996, April, 12). Using graphic calculator technology in educational statistics courses. Retrieved February 16, 2006, from: http://www.eric.ed.gov/ericdocs/data/ericdocs2/content_storage_01/0000000b/80/2 3/6e/10.pdf Roth, W. M., & Lee, Y. J. (2004). Interpreting unfamiliar graphs: A generative, active theoretic model. Educational Studies in Mathematics, 57, 265-290 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 24