Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στην Κατάστρωση 4 1 Δυναμικών Εξισώσεων
2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Περιεχόμενα Περιγραφή της Κατάστασης ενός Δυναμικού Συστήματος Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων Μέθοδοι Κατάστρωσης Δυναμικών Εξισώσεων Παράδειγμα
Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Ανάλυση απόκρισης συχνότητας Απόκριση στο πεδίο συχνότητας Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Δυναμικές εξισώσεις Ιδιοανυσματική Ανάλυση Αναλυτικός Υπολ. Απόκρισης Απόκριση στο πεδίο χρόνου Προσομοίωση
Πως περιγράφουμε ένα δυναμικό σύστημα? Περιγραφή της Κατάστασης ενός Δυναμικού Συστήματος
Ένα μοντέλο περιγράφει Επανάληψη: Μοντελοποίηση Τα στοιχεία ενός συστήματος (αδράνεια, ελαστικότητα, απόσβεση, εξωτερικές διεγέρσεις) Ένα σετ κανόνων (καταστατικές εξισώσεις) που περιγράφουν τα στοιχεία Την συνδεσιμότητα/αλληλεπίδραση μεταξύ των στοιχείων Ένα σετ κανόνων που περιγράφουν την αλληλεπίδραση μεταξύ των στοιχείων (Νόμοι Νεύτωνα)
Περιγραφή Κατάστασης Μηχανικών Συστημάτων Η κατάσταση ενός μηχανικού συστήματος περιγράφεται με 2 τρόπους Με N βαθμούς ελευθερίας q = q 1 q N Τ Κινηματικές μεταβλητές (θέσεις, διευθύνσεις) μέσω των οποίων μπορούν να εκφραστούν οι θέσεις/διευθύνσεις κάθε σώματος και σημείου Με S = 2N μεταβλητές κατάστασης x = x 1 x S Τ Μεταβλητές (θέσεις, ταχύτητες, δυνάμεις, ροπές & κάθε μη-τετρημένος συνδυασμός τους) μέσω των οποίων μπορούν να εκφραστούν οι μεταβλητές ισχύος κάθε στοιχείου
Περιγραφή Κατάστασης Μηχανικών Συστημάτων Οι N βαθμοί ελευθερίας q = q 1 q N Τ δεν είναι μοναδικοί Κάποιος μπορεί να επιλέξει διαφορετικό σετ N Β.Ε. Αρκεί οι Β.Ε. να είναι μην συνδέονται μέσω περιορισμών Π.χ. Αν Ν=2 και ισχύει ο περιορισμός θ 1 = 2θ 2 τότε δεν μπορεί να είναι q = θ 1 Οι S μεταβλητές κατάστασης x = x 1 x S Τ δεν είναι μοναδικές Αν x είναι μια πιθανή επιλογή Μ.Κ., και Α είναι ένας S S αντιστρέψιμος πίνακας, τότε Α x είναι επίσης μια πιθανή επιλογή Μ.Κ. (μη-τετριμένοι συνδυασμοί των Μ.Κ. είναι επίσης Μ.Κ.) Μια πιθανή επιλογή Μ.Κ. σε 2D μηχανικά συστήματα είναι x = q T q T Τ θ 2 Τ
Περιγραφή Κατάστασης Μηχανικών Συστημάτων T T T T Οι εξωτερικές διεγέρσεις f = f 1 f NF τ 1 τ T NΤ επιρεάζουν το σύστημα Η απόκριση του συστήματος περιγράφεται είτε από το q(t) είτε από το x(t) Οι έξοδοι y(t) είναι μεταβλητές ενδιαφέροντος που εξαρτώνται από την απόκριση του συστήματος Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) Σύστημα q(t) Ισοδύναμα Έξοδοι y(t) Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) Σύστημα x(t) Έξοδοι y(t)
2 τρόποι να περιγράψουμε την δυναμική ενός μηχανικού συστήματος Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων
Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμικές Εξισώσεις: Διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν πως το σύστημα αποκρίνεται στο χρόνο Σε μοντέλα διακριτών στοιχείων είναι Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων: Η διαδικασία που «μεταφράζει» ένα μοντέλο σε ένα σετ διαφορικών εξισώσεων m d2 x(t) dt 2 + c dx(t) dt + k x(t) = f(t)
Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων To ίδιο μοντέλο μπορεί να περιγραφεί με δύο είδη Δυναμ. Εξισώσεων 1. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τους Βαθμούς Ελευθερίας q q = h q (q, q, f) Σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Περιγράφουν πως οι Μ εξωτερικές διεγέρσεις f επιδρούν στους Ν βαθμούς ελευθερίας q 2. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τις Μεταβλητές Κατάστασης x x = h x (x, f) Σύστημα S ΣΔΕ 1 ης τάξης Περιγράφουν πως οι Μ εξωτερικές διεγέρσεις f επιδρούν στις S μεταβλητές κατάστασης x
Γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις Δυναμική Μηχανών Ι εστιάζει σε συστήματα που περιγράφονται από γραμμικές δυναμικές εξισώσεις 1. Γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Βαθμούς Ελευθερίας q M q + C q + K q = G f 2. Γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μεταβλητές Κατάστασης x x = A x + Β f
Έξοδοι Δυναμικών Εξισώσεων Μια «έξοδος» y είναι ένα φυσικό μέγεθος ενδιαφέροντος, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί ως συνάρτηση των Β.Ε. q ή των Μ.Κ. x Αφού λυθούν οι δυν. εξισώσεις & υπολογιστούν οι αποκρίσεις q(t) και x t, η απόκριση των εξόδων y(t) υπολογίζεται μέσω μιας μαθηματικής σχέσης y(q, q, f) ή y(x, f) αντίστοιχα Για παράδειγμα οι Y έξοδοι μπορούν να εκφραστούν ως προς τις Μ.Κ.: y 1 (x, f) y x, f = y Y (x, f) Σε γραμμικά δυναμικά συστήματα, τα στοιχεία των διανυσμάτων y(q, y(x, f) είναι γραμμικες συναρτήσεις, για παράδειγμα: y = H x + L f q, f) ή
Μέθοδοι κατάστρωσης δυναμικών εξισώσεων Μέθοδοι Κατάστρωσης Δυναμικών Εξισώσεων
Μέθοδοι Κατάστρωσης Δυναμικών Εξισώσεων Μηχανικά Συστήματα Νόμοι Νεύτωνα Αναλυτική Δυναμική (Μέθοδος Lagrange) Ηλεκτρικά και Υδραυλικά Συστήματα Αναλυτική Δυναμική Νόμοι Kirchoff
Εφαρμογές Δυναμικών Εξισώσεων Μελέτη ιδιοτήτων συστήματος Ιδιοτιμές, ιδιοανύσματα Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Σε εξωτερικές διεγέρσεις Σε αρχικές συνθήκες Μελέτη Απόκρισης Συχνότητας
Παράδειγμα
Παράδειγμα: Ανάρτηση Αυτοκινήτου Μέσω της μεθόδου Lagrange, η δυναμική του διπλανού μοντέλου ανάρτησης αυτοκινήτου υπολογίζεται ως = m 1 0 m 2 x 1 0 k 2 w t + c 2 + c 1 c 1 x 2 c 1 + c 2 w t x 1 x 2 + k 1 k 1 k 1 + k 2 x 1 x 2 m 1 k 1 c 1 m 2 k 2 c 2 Όπου οι Β.Ε. είναι: q = x 1 x 2 Τ Μια επιλογή για Μ.Κ. είναι: x = x 1 x 2 x 1 x 2 Τ
Παράδειγμα: Ανάρτηση Αυτοκινήτου Έστω ότι οι έξοδοι ενδιαφέροντος είναι: η σχετική θέση (y 1 ) και η σχετική ταχύτητα (y 2 ) της καμπίνας ως προς το σύστημα ανάρτησης y = y 1 y = x 1 x 2 2 x 1 Oι έξοδοι y μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των Β.Ε. q και των παράγωγων τους q ως: y = x 1 x 2 x 1 x = 1 1 2 0 0 q + 0 0 1 1 q Oι έξοδοι y μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των Μ.Κ. x ως: y = x 1 x 2 x 1 x = 1 1 0 0 2 0 0 1 1 x x 2