1. Ένα σώμα m=1 kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα.

. Ένα σώμα m= kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα. α. Να βρείτε τη σταθερά D και την ολική ενέργεια του ταλαντωτή. β. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t) γ. Ποιες χρονικές στιγμές το σώμα έχει στιγμιαία υ=0; δ. Ποιες χρονικές στιγμές είναι υκαι F Λύση: ομόρροπα; ( π =0) π α. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι: η περίοδος είναι Τ= s άρα: ω= = πrad/s Τ Επόμένως: D= m. ω D=40 Ν/m Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή βρίσκεται από τη σχέση: Ε= DA Όμως από το διάγραμμα φαίνεται ότι: α max =8 rad/s δηλ. ω Α=8 rad/s (40 Ν/m) Α=8 rad/s A=0,m Άρα: Ε = 40 0, J Ε = 0,80J π β. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: α=8 ημ π+ t S.I.

H επιτάχυνση προηγείται της ταχύτητας κατά π/ rad και της απομάκρυνσης κατά π rad. Άρα: π υ=0,4π ημ ( πt) και x=0, ημ π t (S.I.) γ. Η ταχύτητα είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις στις οποίες είναι α max. Aυτό συμβαίνει τις στιγμές: 0, 0,5s, s,,5s δ. Η δύναμη επαναφοράς είναι ομόρροπη με την επιτάχυνση και η φορά τους είναι προς τη Θ.Ι.T.. Άρα όποτε ο ταλαντωτής κινείται προς τη Θ.Ι.T. είναι υκαι F ομόρροπα. Aυτό συμβαίνει στα χρονικά διαστήματα: 0-0,5s, 0,5s - 0,75s, s -,5s,,5s -,75s. To σώμα του σχήματος έχει μάζα m= kg και ισορροπεί στερεωμένο στο άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=00 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο στερεωμένο. Το σώμα εκτρέπεται από τη Θ.Ι του φέρνοντάς το στη θέση φ.μ. του ελατηρίου. Δίνουμε στο σώμα αρχική ταχύτητα υ 0 = 3 m/s, προς τα κάτω θεωρώντας τη χρονική στιγμή αυτή t=0 και y>0. α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t). β. Να υπολογήσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου; γ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t=0; δ. Να βρείτε τότε την συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στον ταλαντωτή. Δίνεται:g=0 m/s Λύση: α. Θ.I.: B = Fελ mg = k y y = 0,m Από τη θεωρία η σχέση απομάκρυνσης - χρόνου, είναι: y=aημ(ωt+φ 0 ) Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε.T. για την γ.α.τ. από αρχική θέση μέχρι τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης: Uαρχ + Kαρχ = Εολ D= K Dy + mυ 0 = DA A=0,m.

Η γωνιακή συχνότητα είναι: D K ω= = =0rad/s m m t= 0 π y=aημ( ωt + φ0) 0, = 0,ημφ y 0,m 0 ημφ 0 = ημφ 0 = ημ = 6 π 5π Άρα: φ 0 = rad ή φ 0 = rad 6 6 Επειδή για t=0 είναι y>0 η αρχική ταχύτητα είναι υ= υ 0 < 0. 5π Επομένως: φ 0 = rad 6 Τελικά: 5π y=0,ημ 0t + 6 S.I. β. U ( ) ΕΛ,max = K x max = K y +A =9J γ. Η ταχύτητα αποκτά τη μέγιστη τιμή της στη Θ.Ι, άρα: 5π 5π 5π 0 =0, ημ 0t + 0 = ημ 0t + 0t + = kπ 6 6 6 5π π π κ=0 Απορρ., κ = : 0t + = π 0t = t = s ( η ) 6 6 60 5π 7π ( η κ = : 0t + = π t = s ) δ. Fολ = D y= 0 6 60 3. Σύστημα ελατήριο k=00 N/m - σώμα μάζας m= kg κάνει γ.α.τ. και η max κινητική του ενέργεια είναι: K max = 4J α. Να υπολογιστούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης. β. Φέρουμε το σύστημα σ ένα μέσο που ασκεί δύναμη τριβής της μορφής F = 4 υ (S.I.). Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από χρόνο π 5Τln και την ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα μέχρι τότε. Δίνεται ότι b Λ= m, η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση με την ιδιοπερίοδο και 4 e = 0,045.

Λύση: α. Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι: U max =K max N Άρα: D A = 4 J 00 A = 4 J A=0, m m Η γωνιακή συχνότητα είναι: Η περίοδος είναι: β. Είναι: A 5 =A0 e Λ 5Τ n όπου D K ω= = =0rad/s m m π T = = ω π/5 s b 4 Λ= = = s m π π Άρα: 5 π 5 n π 5 A =0, e n 0, A 5 = 0, e m = m = 0,m Ε απωλ =Ε0 E 5 = DA0 DA5 Ε απωλ = D( A0 A5 ) Ε απωλ = 00( 0, 0, ) J = 3J 4. Οριζόντιος δίσκος εκτελεί γ.α.τ. σε κατακόρυφη διεύθυνση, με πλάτος A = 0,5 m και περίοδος T= s. Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτατη θέση της τροχιάς, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα μάζας kg. α. Αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερό πλάτος και περίοδο, να βρεθεί η σχέση της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο σε σχέση με την απομάκρυνση y και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση. β. Αν η περίοδος παραμείνει σταθερή, για ποια μέγιστη τιμή του πλάτους το σώμα οριακά τείνει να εγκαταλείψει το δίσκο; γ. Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της ταλάντωσης, για ποια μέγιστη συχνότητα μόλις που χάνεται η επαφή σώματος - δίσκου, αν το πλάτος είναι Α=0,5 m; Δίνεται: π = 0 και g = 0 m/s Λύση: α. Στο σώμα στην τυχαία θέση δέχεται τις δυνάμεις F από το δίσκο και το βάρος του Β.

Για το σώμα σε τυχαία θέση ισχύει: Σ F= D y F mg= D y F = mg mω y 4π F= mg m y Τ F = - y 0,5 m y 0,5 m β. Όσο βρίσκεται σε επαφή το σώμα με το δίσκο, είναι: F>0 Όμως όταν τείνει να εγκαταλείψει το σώμα τον δίσκο, οριακά γίνεται: F=0 Επομένως: y 0 y m Άρα: y max =m γ. F 0 mg mω y 0 g 4π f y 0 g g 4π f y f 4π y Το χάσιμο επαφής γίνεται στη θέση y = A, άρα: g f max f max =Hz 4π A = 5. Το σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια της δύναμης F=0 N. Tη χρονική στιγμή t=0 η δύναμη F καταργείται. Δίνονται: Κ=00 N/m, m= kg g=0 m/s. α. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της δυναμικής ε- νέργειας της ταλάντωσης; Θεωρείστε ότι για t=0 είναι x>0. β. Ποιο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που το σώμα αποκτά μέγιστη ταχύτητα; γ. Ποια είναι η σχέση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με τον χρόνο F ελ =f(t); δ. Σε ποιες θέσεις το σώμα αποκτά ταχύτητα μέτρου υ max /; Ποιες στιγμές κατά τη κάθοδο γίνεται αυτό; ε. Ποιος ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος;

Λύση: α. Αρχικά για την ισορροπία, με την επίδραση της δύναμης F, στη θέση () ισχύει: ΣF=0 mg - F ελ - F = 0 F ελ = 0 Δl=0 άρα το ελατήριο είναι στη θέση φυσικού μήκους (Θ.Φ.Μ.) Αφήνεται το σώμα να εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης (Θ.Ι. θέση ) όπου: ΣF=0 mg - Kx =0 mg=kx x =0, m Άρα και το πλάτος θα είναι Α=x =0, m και D=K mω =K ω=0 r/s Επειδή τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x= A (x>0) η αρχική φάση π είναι: φ 0 = rad π Δηλαδή: x=0,ημ 0t + S.I. Άρα: β. υ max =ω. Α=m/s D=K π U= D x U=ημ 0t + S.I. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για να υπολογίσουμε το έργο της ολικής δύναμης F επαν. W Fεπαν =ΔΚ WF(επαν) = mυ max 0 W F(επαν) = J W F(επαν) =J

π γ. ΣF = -Dx F ελ -mg = - Kx F ελ = mg -Kx F ελ =0-0ημ 0t + δ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ. U+Κ = Ε ολ S.I. υmax D= K υmax 3 Dx + m = DA Kx +m =KA x =± m 4 0 π Ισχύει: υ=υ max συν 0t + Αλλά: υ=-υ max / (προς τα κάτω η φορά είναι αρνητική) Άρα: π π 0t + = κπ+ () π 3 συν 0t + = π π 0t + = κπ () 3 κ=0 π κ= 5π () t = s () t = s 60 60 Σημείωση π Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν λύναμε την εξίσωση: x=0,ημ 0t + ε. για 3 3 x= m, x= m 0 0 Δp Δp = F = D x. Άρα: Δt Δt Δp Δt max = K A= 0N 6. Κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=0 - H. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή είναι: q=0 - συνωt S.I. και ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής του φορτίου είναι C/s. Να βρεθούν: α. η περίοδος του φαινομένου η χωρητικότητα του πυκνωτή και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του πηνίου τη χρονική στιγμή t=5π. 0-3 s.

β. Να επαληθεύσετε ποιοτικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) με τη βοήθεια του διαγράμματος της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε σχέση με το χρόνο. γ. Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού Λύση: Δq α. Δt πεδίου του πηνίου; Δq =i =I Δt max Ι όμως: Ι=Q ω ω = ω = rad/s = 00 rad/s Q 0 π π π Άρα: ω= T= = s Τ ω 50 ω= C= C=0 F LC Lω ΔUB P=V L Li ΔUB V=V ΔU L C B V=q/C C =P L =VL i = VC i Δt Δt Δt ΔUB q ΔU = i, αλλά είναι: q=0 Δt C - συν(00. 5π. 0-3 B ) = 0,άρα: = 0 Δt 3 β. UB = L i = 0 ηµ 00t = 5 0 ηµ 00t S.I. Η στιγμιαία ισχύς ισούται αριθμητικά με την κλίση της καμπύλης στο διάγραμμα ενέργειας χρόνου U B =f(t). Επειδή τη χρονική στιγμή t = 5π. 0 3 s που αντιστοιχεί στη στιγμή Τ/4, η κλίση της καμπύλης είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι και η ισχύς είναι μηδέν. Q Q Ι Q Ι C C C γ. P L =V L i =V c i= συνωt ( Ιημωt) = συνωt ημωt= ημωt Άρα: P L,max Q Ι = = C 0 J=0,5J 0

7.α. Να βρείτε την ενέργεια του ιδανικού πηνίου και του πυκνωτή στο διπλανό κύκλωμα, όταν ο διακόπτης Δ είναι κλειστός. β. Ο διακόπτης ανοίγει τη στιγμή t=0. Ποιος οπλισμός θα φορτιστεί πρώτα θετικά; Πόσο είναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή; γ. Να γράψετε τις εξισώσεις q, i με το χρόνο t. δ. Πόσο είναι το φορτίο του πυκνωτή όταν U E =U B ; Πότε θα γίνει αυτό για η φορά; Δίνονται: R=0Ω, Ε=40V, L=0 - H, C=4 μf Λύση: α. Σχεδιάζουμε το ρεύμα στο κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το νόμο του Ohm έχουμε: E 40 V I = = =Α r+r 0Ω H ενέργεια του πηνίου είναι: U Β = L Ι U Β = 0- J U Β =0,0 J Η τάση του πυκνωτή είναι: V C =V ΚΛ =V πην Αλλά V πην =0 γιατί το πηνίο είναι ιδανικό. Άρα: V C =0 Επομένως ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και U E =0. β. Όταν ανοίξει ο διακόπτης το κύκλωμα L-C κάνει ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη στιγμή t=0 o πυκνωτής δεν έχει ενέργεια, ενώ το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα I= A Τα ηλεκτρόνια στο κύκλωμα τη στιγμή t=0 κινούνται, όπως φαίνεται στο σχήμα. Άρα θα φορτιστεί πρώτα θετικά ο δεξιός οπλισμός του πυκνωτή. Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή είναι: ω= LC I I = Q ω Q= Q= I LC 8-4 Q = 4 0 C = 4 0 C ω

γ. Επειδή τη στιγμή t=0 είναι q=0 και i=ι, ισχύουν oι γενικές εξισώσεις: q=q (συνωt+φ) και i= Ι ημ(ωt+φ) και όχι αυτές με τη μορφή που ξέρουμε από τη θεωρία. Για t=0 είναι i=ι και παίρνουμε: Ι= Ι ημφ ή ημφ= ή φ= π/ Άρα: i= Ι ημ(ωt - π/) ι = συν(5000t) S.I. q=q συν(ωt - π/) q=4 0-4 ημ(5000t) S.I. δ. Από Α.Δ.Ε. έχουμε: U E +U B =Ε ολ Άρα: U Ε = Ε ολ q C = Q Στην εξίσωση του φορτίου αντικαθιστούμε λύση. C q= Q =± 0-4 ± C -4 q= 0 C και παίρνουμε τη η -4-4 0 = 4 0 ημ(5000t) ημ(5000t) = π 5000t = kπ+ 4 π 5000t = kπ+π- 4 π 3π Για k=0 έχουμε: t = s, t = s 0000 0000 8. Σώμα κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομάκρυνση με το -ln8 t χρόνο είναι: x=0,4 e συν(ωt) Αν σε χρόνο t=τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε: α. την σταθερά Λ και την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης, β. τον χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους, γ. τον χρόνο υποδιπλασιασμού της ενέργειας. Λύση: α. Από τη θεωρία τo πλάτος σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από την εξίσωση: Α = A 0 e -Λt () Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με αυτή που δίνει η άσκηση είναι: A 0 =0,4 m και Λ= ln8 s - Λ= 3. ln s - Αντικαθιστώντας t=t έχουμε:

-ln8 T -ln8 T 0,=0,4 e e = -ln8 T =-ln 3 ln T = ln 3ln T = ln T = s 6 β. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους βάσει της εκφώνησης είναι: Τ / =Τ=/3 s γ. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή δίνεται από την εξίσωση: όπου: n 0 Λt E =E e () E = 0 D A0 και t=n. T Για Εn = Ε 0 / από τη σχέση () προκύπτει: Ε0 -Λt -Λt n =E0e =e l n= Λt t = l =/6 s Λ 9. Δίνεται για το κύκλωμα C=0 mf, L= H, 9 R =5 Ω, R =00 Ω. Αρχικά ο πυκνωτής βρίσκεται σε τάση 0V. Κλείνουμε το διακόπτη και αρχίζει φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση. Κάποια στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή γίνεται μηδέν για η φορά, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος γίνεται 6Α. Να βρεθεί η θερμότητα που εκλύθηκε σε κάθε αντίσταση μέχρι τότε. Λύση: Η αρχική ενέργεια του πυκνωτή είναι: U E,max = CV Με αντικατάσταση έχουμε: -3 U E,max = 0 0 0 J U E,max = 4J Όταν είναι: q=0, τότε Ι=6Α Άρα: U B,max = Li U B,max = 6 J U B,max =J 9

Η απώλεια ενέργειας είναι η θερμότητα που εκλύθηκε στις αντιστάσεις. Άρα: U E,max - U B,max =Q R,ολ ή Q R,ολ = J Επειδή οι αντιστάσεις διαρρέονται από κοινό ρεύμα, ο λόγος των θερμοτήτων ισούται με το λόγο των αντιστάσεων. ΣΙ R ΔΤ R Q ΣΙ R ΔΤ R Q = = Δηλαδή: R Q 5 Q = = = Q Q R Q 00 Q 4 Aλλα : Q + Q = J Οπότε παίρνουμε: Q =0,4 J και Q =,6 J 0. Σώμα μάζας m=4 kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α=0,4 m, στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς K=400N/m, υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής 3 δύναμης με συχνότητα f Δ = Hz. Το σώμα π για t = 0 βρισκόταν στην θέση ισορροπίας του, ξεκινώντας κατά τη θετική φορά. α. Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί το σύστημα και να υπολογιστεί η ολική της ενέργεια. β. Αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη 4 σε f Δ = Hz. Τι θα συμβεί με το πλάτος της ταλάντωσης και γιατί; π γ. Πόση θα έπρεπε να ήταν η μάζα m του σώματος στο αρχικό πείραμα, για να παρουσίαζε το σύστημα μέγιστη ικανότητα απορρόφησης ε- νέργειας από το διεγέρτη; Θεωρείστε ότι η σταθερά απόσβεσης b του συστήματος είναι πολύ μικρή. Λύση: α. Το σύστημα έχει συχνότητα ταλάντωσης την f Δ, άρα: ω= π f = 6 rad/s, Α=0,4 m και φ 0 =0. Άρα: x = 0, ηµ (6t) S.I. και E ΟΛ DA mωα = = =,5 J

Κ 0 β. H ιδιοσυχνότητα είναι: f0 = = Hz π m π Έτσι, επειδή η f είναι πιο κοντά στην f 0 απ ότι η f ( f f f 0 ) < <, το νέο πλάτος Α θα είναι μεγαλύτερο του Α. γ. Θα πρέπει να έχουμε συντονισμό, δηλαδή: Κ f = f0 f = π m m = 4Kg Σημειώσεις Προσέξτε ότι εδώ είναι D= mω και όχι D = K, όπως θα συνέβαινε στην ελεύθερη ταλάντωση. Επειδή το b είναι πολύ μικρό, θεωρήσαμε ότι έχουμε συντινισμό ακριβώς όταν f = f 0.. Υλικό σημείο εκτελεί δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις: π x = 3 ημ 0t και x 3 =. ημ π 0t + x 6, x σε cm και t σε s. α. Να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη συνισταμένη ταλάντωση αν m= kg. γ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x= cm. Λύση: α. Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων είναι: Δφ=φ φ =+π/ rad Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι: π x=α.ημ 0t +θ 3 Το πλάτος Α και η θ της συνισταμένης ταλάντωσης υπολογίζονται από τις σχέσεις: ( ) π A = 3 + + 3 συν cm= cm

και π ημ π εφθ = = θ = rad π 3 6 3+ συν Τελικά: x=. π π ημ 0t - + 3 6 β. Η ενέργεια του υλικού σημείου είναι: Με αντικατάσταση παίρνουμε: γ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ. U+Κ = Ε ολ ( ) (x σε cm, t σε s) E ολ = D Α = mω Α - E ολ = 0 0 J E ολ = 0 J Dx + mυ = DA Dx +mυ =DA ω x +υ =ω A υ= 3 m/s. Η κίνηση ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση: y=8 συν ( t) ημ( 0t ) ( y σε cm, t σε s) α. Αναγνωρείστε το είδος της κίνησης και αναφέρετε τις προϋποθέσεις που πρέπει να ισχύουν για τις δύο συνιστώσες κινήσεις. β. Γράψτε τις εξισώσεις των δύο κινήσεων που είναι οι συνιστώσες της κίνησης που δίνεται. γ. Πόσες φορές σε χρόνο t=πs μεγιστοποιείται το πλάτος της συνισταμένης κίνησης; Λύση α. Είναι διακρότημα. Θα πρέπει οι δύο ταλαντώσεις να έχουν: ίδια διεύθυνση, ίδιο πλάτος, να εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και οι συχνότητές τους να διαφέρουν πολύ λίγο.

β. Από τη θεωρία είναι: Άρα: A = 8cm A = 4cm ω-ω ω+ω y=a συν t ημ t ω+ω = 0rad/s ω ω =rad/s ω =04 rad/s ω =00rad/s και y = 4 ημ( 04t), y =4 ημ( 00t) ( y,y σε cm, t σε s) γ. Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: f δ =f f = Hz π Άρα σε t=πs το πλάτος μεγιστοποιείται: t π Ν= Ν= Ν= 4 φορές. Τ π/ δ

. To διάγραμμα υ=f(t) για ένα σώμα μάζας m= Kg που κάνει γ.α.τ. φαίνεται στο σχήμα. α. Να βρείτε: τη σταθερά D, να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και α=f(t). β. Ποια στιγμή είναι U=K για 3η φορά;

. Μικρό σώμα μάζας m = kg εκτελεί γ.α.τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στερεωμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=00 N/m, έχοντας μέγιστη ταχύτητα m/s. Τη στιγμή ακριβώς που το σώμα m βρίσκεται σε ακραία θέση, προσκολλάται πάνω του δεύτερο σώμα m = kg. α. Πόσο είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα m ολ ; T β. Ποιος είναι ο λόγος των περιόδων των δύο ταλαντώσεων; T γ. Ποιά η επί τοις εκατό μείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης; 3. Το σώμα μάζας m=kg ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα και τα κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές K =0N/m, K =80 N/m θεωρούνται ιδανικά. Όταν το σώμα ισορροπεί το πρώτο ελατήριο είναι επιμηκυμένο και το δεύτερο συσπειρωμένο α. Να δείξετε ότι αν η μάζα απομακρυνθεί κατά 0, m πάνω από τη Θ.I. της κατά τη διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα και αφεθεί ελεύθερη, θα εκτελέσει γ.α.τ. και να υπολογίσετε την περίοδό της. β. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του κάθε ελατηρίου. γ. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος στις ακραίες θέσεις.

4. Ένας δίσκος μάζας m =Kg συνδέεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου Κ= 400 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε οροφή. Ένα σώμα μάζας m =m τοποθετείται πάνω στο δίσκο και τη στιγμή t 0 =0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Τη στιγμή t 0 =0 θεωρούμε την απομάκρυνση θετική. Δίνεται g=0m/s. α. Να βρεθούν το πλάτος και η περίοδος της κίνησης. β. Να γράψετε τη σχέση x=f(t). γ. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

5. Ένα σώμα μάζας m=0 Kg συνδέεται στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ. Το σύστημα κάνει γ.α.τ. πλάτους 0, m και στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα φάσης - χρόνου. α. Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β. Να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και υ=f(t). γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του σώματος. 6. Σε ιδανικό κύκλωμα L - C, το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται 3 από τη σχέση: i = 0 ημ000t S.I. ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,5 H. Να βρείτε: α. την εξίσωση του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο. β. την τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή. γ. το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη στιγμή που δ. τη χρονική στιγμή που γίνεται U E =U B για η φορα. -3 i= 0 A.