Από κάθε κορυφή ενός τετραγώνου «κόβουµε» τριγωνική πυραµίδα όπως φαίνεται στο σχήµα, όπου ΚΛΜ µέσα των ακµών του κύβου. Τούτο κάνουµε µε όλες τις κορυφές του κύβου. Να βρείτε πόσες είναι οι κορυφές του νέου στερεού πολύεδρου. Ενώστε τα διπλανά γεωµετρικά σχήµατα έτσι ώστε να σχηµατιστεί τετράγωνο. Ο γρίφος αυτός είναι γνωστός ως παιχνίδι του TANGRAM. 126

Στο διπλανό σχήµα έχουµε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ όπου Α =ΒΓ εκ των οποίων η Α είναι κάθετη στην Γ και η ΒΓ σχηµατίζει µε την Γ γωνία 89. Οι µεσοκάθετες των ΑΒ και Γ τέµνονται στο Ο. Από τα ίσα τρίγωνα ΑΟ και ΒΟΓ προκύπτει Α Ο=ΟΓΒ=ϕ και από το ισοσκελές τρίγωνο ΟΓ ότι Κ Ο=ΚΓΟ=ω. Άρα αν τις προσθέσουµε θα έχουµε 89 = 90. Βρείτε το λάθος που µας οδήγησε στο εσφαλµένο συµπέρασµα. 127

Το πρόβληµα του κουρσάρου Κάποτε ένας πειρατής θέλησε να κρύψει τον θησαυρό του σε ένα πάρκο. Έβαλε λοιπόν σηµάδι τρία δέντρα Α, Β, Γ, που σχηµάτιζαν τρίγωνο ΑΒΓ. Μέτρησε λοιπόν τα βήµατά του από το δέντρο Α ως το Β και όταν έφτασε στο δέντρο Β άρχισε να περπατά κάθετα από την κατεύθυνση ΑΒ και αντίθετα από τη µεριά που ήταν το δέντρο Γ µετρώντας τα ίδια βήµατα. Έβαλε εκεί ένα σηµάδι. Κατόπιν µέτρησε τα βήµατα από το Α προς το Γ και όταν έφτασε στο Γ άρχισε να περπατά κάθετα από την ΑΓ και όχι προς τη µεριά του δέντρου Β, µετρώντας όσα βήµατα έκανε από το Α ως το Γ. Έβαλε και εκεί ένα σηµάδι και έκρυψε το θησαυρό στο µέσο της απόστασης που έβαλε τα σηµάδια. Όταν µετά από χρόνια πήγε να βγάλει τον θησαυρό από εκεί που τον έκρυψε είδε ότι είχαν κόψει το δέντρο Α. Μήπως µπορείτε να τον βοηθήσετε να βρει το θησαυρό; 128

Τα τρίγωνα ΑΓΘ, Β Ι, ΓΕΚ, είναι ισόπλευρα µε εµβαδόν 2 τ.µ. εµβαδού το καθένα. Επίσης ΑΒ=ΒΓ=Γ = Ε=ΕΖ=ΖΗ. Να βρείτε το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας. Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι τετράγωνο και τα Κ, Λ, Μ, Ν µέσα των πλευρών του. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει εµβαδόν 3 τ.µ. εµβαδού να υπολογίσετε το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ. 129

Το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ είναι 20 τ.µ. εµβαδού. Να βρείτε το εµβαδόν του τετράπλευρου ΕΖΗΘ. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο το ένα ύψος του είναι 5 cm και το άλλο 2 cm. Πόσο είναι το 3 ο ύψος; 130

Ποια είναι η συντοµότερη διαδροµή από το Α στο Β. Η κόκκινη ή η µπλε; Μήπως είναι ίδιες; Όπου Α και Β αντιδιαµετρικά σηµεία του µπλε ηµικυκλίου και Ο το κέντρο του. Σύγκρινε: 1) το εµβαδόν του πράσινου τετραγώνου µε του κόκκινου. 2) Την πλευρά του µαύρου τετραγώνου µε του κόκκινου. 3) Ανακάλυψε πως φτιάχνουµε τετράγωνο µε εµβαδόν διπλάσιο από ένα άλλο. Σχόλιο: εν είναι κατασκευάσιµο γεωµετρικά τετράγωνο µε εµβαδόν 3- πλάσιο από ένα δεδοµένο τετράγωνο (ανοικτό πρόβληµα). 131

Στο διπλανό σχήµα έχουµε έναν ασύµµετρο ξύλινο σταυρό και θέλουµε να βρούµε ένα σηµείο από το οποίο αν τον κρεµάσουµε θα ισορροπεί οριζόντια. Στην ουσία ζητάµε το κέντρο βάρους του. Με µία γραµµή χωρίστε το διπλανό σχήµα σε δύο πανοµοιότυπα σχήµατα. 132

Οι αρχαίοι Έλληνες κατάφεραν να τετραγωνίσουν κάθε τύπο πολυγώνου. Ας κάνουµε ένα γρίφο πάνω σ αυτήν την αρχή. Τοποθετήστε κατάλληλα τα κοµµάτια του τριγώνου ώστε να προκύψει τετράγωνο. Έτσι θα έχουµε κάνει ένα τετράγωνο. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΝΑΠΟΛΕΟΝΤΑ Να βρείτε το κέντρο του κύκλου παραπλεύρως χρησιµοποιώντας µόνο διαβήτη. 133

Βρείτε το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ χρησιµοποιώντας µόνο διαβήτη. Σχόλιο: Υπάρχουν πολλά ακόµη προβλήµατα που λύνονται µόνο µε διαβήτη. Το εµβαδόν ενός ρόµβου αριθµητικά ισούται µε την περίµετρό του. Πόση είναι η πλευρά του και πόσο το εµβαδόν του; 134

Με τετράγωνα πλευράς 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 και 18 να φτιάξετε ένα ορθογώνιο µε µήκος 32 cm και πλάτος 33 cm. Εάν το τετράγωνο ΑΒΓ το στρέψουµε γύρω από την κορυφή Β έτσι ώστε η πλευρά Α να περάσει από το µέσο της Γ σχηµατίζεται ένα δεύτερο τετράγωνο ΒΕΖΗ. Να βρείτε το εµβαδόν του πολυγώνου ΑΒΗΖ συναρτήσει του εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ. 135

ιπλώνουµε µία κόλλα χαρτιού µε διαστάσεις x, y όπου x, y ακέραιοι, έτσι ώστε η κορυφή Β να πέσει στην πλευρά Α. Να βρεθούν οι διαστάσεις του ορθογωνίου. ίνεται ΑΕ=ΓΖ=3 cm. Βρείτε το κέντρο του κανονικού πενταγώνου µε µη αριθµηµένο χάρακα. 136

Σε τετραγωνισµένο χαρτί είναι σχεδιασµένο ένα ορθογώνιο µε µήκος διπλάσιο από το πλάτος, όπου οι πλευρές του συµπίπτουν µε τις γραµµές του τετραγωνισµένου χαρτιού. Γνωρίζουµε ότι 21 σηµεία των διαγωνίων του ορθογωνίου συµπίπτουν µε κορυφές τετραγώνων του τετραγωνισµένου χαρτιού. Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου; Το τετράπλευρο έχει 2 διαγωνίους, το πεντάγωνο 5, το εξάγωνο 9, το επτάγωνο 14 κ.ο.κ. Υπάρχει πολύγωνο ν-πλευρών ώστε το πολύγωνο των ν+ 1 πλευρών να έχει 2006 παραπάνω διαγωνίους; 137

Το σαλόνι του µουσείου Καραθεοδωρή αποτελείται από άσπρα και µαύρα πλακάκια, όπου τα µαύρα είναι το 1,99 % των άσπρων. Βρείτε πόσα είναι τα άσπρα και πόσα τα µαύρα πλακάκια αν γνωρίζετε ότι η κάθε πλευρά του έχει λιγότερα από 200 πλακάκια. Βρείτε το εµβαδόν της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας των κύκλων ακτίνας ρ= 4 cm. 138

Πέντε ίσα τετράγωνα είναι τοποθετηµένα έτσι ώστε το επόµενο τετράγωνο να έχει µία κορυφή του στο κέντρο του προηγούµενου τετραγώνου. Να βρείτε το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας. Υπολογίστε την συντοµότερη διαδροµή πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου από το σηµείο Α στο σηµείο Γ. ίνονται: ύψος κυλίνδρου 11 cm. Περιφέρεια κυλίνδρου 12 cm και ΓΕ=3 cm. Στο σχήµα ποια είναι σωστά σχεδιασµένη ως η συντοµότερη διαδροµή: η κόκκινη ή η µαύρη; 139

Ένα δωµάτιο για να βαφεί χρειάστηκαν δύο µέρες και 4 κιλά µπογιά. Ένα άλλο δωµάτιο που όλες του οι διαστάσεις είναι διπλάσιες από το προηγούµενο πόσες µέρες χρειά- ζονται για να βαφεί και πόσα κιλά µπογιά; 140

1. 2. Σε κάθε κοµµάτι σανίδας από τα 1, 2, 3 αντιστοιχεί ένα πώµα από τα α, β, γ που κλείνει και τις 3 οπές. Κάνετε τη σωστή αντιστοιχία. 3. 141

Τέσσερις κύκλοι ακτίνων 2, 4, 5 και 6 cm τοποθετούνται τυχαία όπως δείχνει το σχήµα πάνω σ ένα κύκλο ακτίνας 9 cm. Να δείξετε ότι η γκρι επιφάνεια είναι ίση µε την πράσινη. Ενώνοντας αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου µε µία καµπύλη χωρίστε τον σε 2 ίσα µέρη, µε 2 καµπύλες σε 4 ίσα µέρη και µε 3 καµπύλες σε τέσσερα ίσα µέρη. 142

Υπολογίστε τις γωνίες xoy, oxy και oyx. Για την κατασκευή του διπλανού κουτιού που αποτελείται από δύο κύβους µε καπάκια που ανοίγουν ποια µακέτα είναι η κατάλληλη; Οι έντονες γραµµές είναι τα κοψίµατα. 143

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίας Γ και την µεσοκάθετη της ΑΒ που τέµνονται στο. Τα τρίγωνα Ε Α και ΖΒ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια µε δύο πλευρές ίσες. Σηµειώνουµε µε φ τις ίσες γωνίες που προκύπτουν από την ισότητά τους. Λόγω της µεσοκαθέτου έχουµε Α = Β άρα τρίγωνο ΑΒ ισοσκελές. Σηµειώνουµε µε ω τις ίσες γωνίες. Έχουµε άρα και Β= 90. Α=ω+ϕ και Β=ω+ϕ. Οµοίως Α= 90 Που κάνουµε λάθος και καταλήξαµε σ αυτό το παράδοξο; Ένα κινητό βρίσκεται στη θέση Α τοίχου ΑΒΓ και ζητείται να βρεθεί η συντοµότερη διαδροµή µέχρι το σηµείο Ζ. Το κινητό κινείται ευθύγραµµα. 144

ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ και Κ, Λ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών του. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΛ, ΓΝ, Κ, ΒΚ τέµνονται στα σηµεία Ε, Ζ, Η, Θ. 1) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ είναι 1/5 του εµβαδού του ΑΒΓ. 2) Πως θα χωρίσουµε το τετράγωνο σε 5 ίσα τετράγωνα. Ανάµεσα στα δώρα που πήρε ο Οδυσσέας ήταν ένα κουτί σε σχήµα κύβου γεµάτο κυβάκια ακµής 5 cm. Ο πολυµήχανος Οδυσσέας έφτιαξε έναν πύργο φτιάχνοντας κάτω ένα κύβο, από πάνω έναν άλλο µικρότερο και πιο πάνω έναν ακόµη µικρότερο. Ποιο ήταν το ύψος του πύργου; Ποιες ήταν οι διαστάσεις του κουτιού; 145

Τοποθετούµε 27 κύβους µε ακµή 1 cm, έτσι ώστε να σχηµατίσουν ένα µεγαλύτερο κύβο µε ακµή 3 cm και βάφουµε εξωτερικά τις έδρες του µεγάλου κύβου. Στη συνέχεια ξεχωρίζουµε τους 27 µικρούς κύβους. Να βρείτε πόσοι από αυτούς: α) είναι άβαφοι. β) έχουν µόνο µια έδρα βαµµένη. γ) έχουν ακριβώς δύο έδρες βαµµένες. δ) έχουν ακριβώς τρεις έδρες βαµµένες. ε) Αν για το βάψιµο του κύβου καταναλώσουµε 1,5 κιλό µπογιά και κατόπιν χωρίσουµε τον µεγάλο κύβο στους 27 µικρούς κύβους πόση επιπλέον µπογιά θα χρειαστούµε για να βάψουµε τις έδρες των µικρών κύβων που ήταν άβαφες; 146

Να δείξετε ότι κάθε ένα από τα σχήµατα 2 και 3 έχει διπλάσιο εµβαδό από το τετράγωνο στο σχ.1 και κατόπιν συναρµολογήστε τα κατάλληλα ώστε να προκύψει 1 τετράγωνο. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε σηµείο και ευθεία (δ) ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓ να έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία δ. Πόσες διαφορετικές λύσεις υπάρχουν; 147

Στο παραλληλεπίπεδο µε έδρες διαστάσεων 8x4 ο Σάκης ισχυρίζεται ότι η συντοµότερη ευθύγραµµη διαδροµή από το σηµείο Α προς το σηµείο Β είναι η ΑΓ+ΓΒ=4+8=12 cm.(σχ.1) Φέρνει σαν επιχείρηµα ότι αν «ανοίξουµε την έδρα του παραλληλεπιπέδου στην οποία βρίσκεται το σηµείο Α θα έχουµε ευθύγραµµη διαδροµή ΑΓΒ».(σχ.2) Όµως ο Νίκος έχει διαφορετική άποψη. Ανακάλυψε πιο σύντοµη διαδροµή, την οποία αποκάλυψε στον Σάκη. Ο Σάκης παραδέχτηκε την λύση αλλά ακολούθησε ένας διάλογος όπου στις περισσότερες περιπτώσεις η λύση του Σάκη ήταν σωστή. Θέλετε να µπείτε και σεις στο διάλογο αυτόν; Κατ αρχήν ανακαλύψτε την λύση του Νίκου και κατόπιν δείτε τις δύο λύσεις σε παραλληλεπίπεδα διαφόρων ποικίλων δικών σας διαστάσεων. 148

Όταν κρατάµε έναν µεγεθυντικό φακό σε απόσταση 5 cm από το χαρτί τότε παρατηρούµε ότι το 1 cm φαίνεται 2 cm. Αν κοιτάξουµε ένα ορθογώνιο διαστάσεων 2x3 τότε πόσο µεγαλύτερο είναι το εµβαδόν του από το αρχικό. Οµοίως ένας κύκλος ακτίνας 1 cm πόσο µεγαλύτερος φαίνεται; Τέλος µία γωνία 4 πόσο µεγαλύτερη γίνεται; Το τετράγωνο ύφασµα είναι µπλε από τη µια µεριά και κόκκινο από την άλλη. Όταν κόψαµε το τρίγωνο ΑΒΓ για να το ράψουµε ανάποδα είδαµε ότι δεν ταίριαζε. Κι όµως υπάρχει λύση. 149

Η είσοδος τυχαίου τριγωνικού οικοπέδου ΑΒΓ είναι ένα τυχαίο σηµείο Ε της ΑΓ. Να χαράξεις ευθύγραµµο δρόµο προς την ΒΓ που να το χωρίζει σε δύο ισεµβαδικά οικόπεδα. Πάρτε τυχαία 4 σηµεία Α, Β, Γ, στο επίπεδο και σχεδιάστε έναν κύκλο από τον οποίο ισαπέχουν αυτά τα τέσσερα σηµεία. Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι κύκλοι; 150

ΕΝΑΣ ΠΑΝΑΡΧΑΙΟΣ ΚΙΝΕΖΙΚΟΣ ΓΡΙΦΟΣ (2699 π.χ) Ο παρακάτω γρίφος αποδεικνύει ότι οι κινέζοι ήξεραν το πυθαγόρειο θεώρηµα πολλά χρόνια πριν τους πυθαγόρειους. Ένα καλάµι µπαµπού ύψους 10 ποδιών σπάει σ ένα σηµείο και όπως πέφτει ακουµπάει στο έδαφος σε απόσταση 3 πόδια από τη ρίζα Α του καλαµιού. Να βρείτε σε ποιο σηµείο έσπασε το καλάµι; 151

Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου; ίνεται γωνία xοy και δύο τυχαία σηµεία Α και Β από τα οποία φέρνουµε κάθετες προς τις πλευρές της, οι οποίες τέµνονται στο Κ. Ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΚ τέµνει τις πλευρές της γωνίας στα σηµεία Γ και. Επειδή οι γωνίες ΓΒΚ και ΑΚ είναι ορθές οι ΓΚ και Κ είναι διάµετροι οπότε τα µέσα τους Λ και Μ είναι κέντρα. Κάπου λοιπόν κάναµε λάθος το οποίο πρέπει να βρείτε. 152

ύο κύκλοι Κ και Λ τέµνονται στα Α και Β. Οι ακτίνες ΑΚ και ΑΛ τέµνουν τους κύκλους στα Γ και αντίστοιχα ενώ η Γ τέµνει τους κύκλους στα Ε και Ζ. Οι γωνίες AE Γ και A Ζ είναι ορθές αφού αντιστοιχούν σε διαµέτρους. Έτσι από το σηµείο Α φέραµε δύο κάθετες προς την Γ. Γνωρίζουµε όµως ότι από ένα σηµείο έξω από µία ευθεία µία µόνο κάθετη µπορούµε να φέρουµε. Ποιο είναι το λάθος που κάναµε; Αν ένα τετράπλευρο ΑΒΓ έχει δύο πλευρές ίσες ΑΒ=Γ τότε έχει τις άλλες δύο παράλληλες Α // ΒΓ. 153