Κεφάλαιο Έξι Πιθανότητες

Κεφάλαιο Έξι Πιθανότητες Copyright 2009 Cengage Learning 6.1

Τρόποι Ορισμού Πιθανοτήτων Υπάρχουν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις για τον ορισμό μιας πιθανότητας, P(O i ), σε ένα αποτέλεσμα, O i : Κλασσική προσέγγιση: βασίζεται σε ισοπίθανα ενδεχόμενα. Σχετική συχνότητα: ορίζει πιθανότητες με βάση πειράματα ή ιστορικά δεδομένα. Υποκειμενική προσέγγιση: Ορίζει πιθανότητες με βάση την (υποκειμενική) εκτίμηση του ορίζοντος. Copyright 2009 Cengage Learning 6.2

Κλασσική Προσέγγιση Εάν ένα πείραμα έχει n πιθανά ενδεχόμενα, η μέθοδος αυτή θα όριζε μια πιθανότητα 1/n για κάθε αποτέλεσμα. Είναι απαραίτητο να καθοριστεί ο αριθμός πιθανών ενδεχομένων. Πείραμα: Ρίψη ενός ζαριού Αποτελέσματα: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Πιθανότητες: Κάθε ενδεχόμενο έχει πιθανότητα εμφάνισης 1/6. Copyright 2009 Cengage Learning 6.3

Κλασσική Προσέγγιση Πείραμα: Ρίψη δύο ζαριών και παρατήρηση του συνόλου των ενδεχόμενων: {2, 3,, 12} Παραδείγματα: P(2) = 1/36 P(6) = 5/36 P(10) = 3/36 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Copyright 2009 Cengage Learning 6.4

Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας Ένα κατάστημα υπολογιστών καταγράφει τον αριθμό φορητών υπολογιστών που πουλάει σε ένα μήνα (30 ημέρες): Για παράδειγμα, σε 10 από τις 30 ημέρες πωλήθηκαν 2 υπολογιστές. Απ αυτό μπορούμε να δομήσουμε τις πιθανότητες ενός γεγονότος Πωληθέντες Υπολογιστές # ημερών 0 1 1 2 2 10 3 12 4 5 (π.χ. τον αριθμό υπολογιστών που πωλήθηκαν μια δεδομένη ημέρα) Copyright 2009 Cengage Learning 6.5

Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας Πωληθέντες υπολογιστές # ημερών Πωληθέντες υπολογιστές 0 1 1/30 =.03 1 2 2/30 =.07 2 10 10/30 =.33 3 12 12/30 =.40 4 5 5/30 =.17 = 1.00 «Υπάρχει 40% πιθανότητα το κατάστημα να πουλάει 3 υπολογιστές σε οποιαδήποτε δεδομένη ημέρα» Copyright 2009 Cengage Learning 6.6

Υποκειμενική Προσέγγιση «Στην υποκειμενική προσέγγιση ορίζουμε ως πιθανότητα τον βαθμό πεποίθησης που έχουμε σχετικά με την εμφάνιση ενός ενδεχομένου» π.χ. Πιθανότητα βροχόπτωσης στην πρόγνωση καιρού Η «Πιθανότητα Βροχόπτωσης» ορίζεται με διαφορετικούς τρόπους από διαφορετικούς μετεωρολόγους, όμως κατά βάση είναι μια υποκειμενική πιθανότητα που βασίζεται σε παρατηρήσεις του παρελθόντος σε συνδυασμό με τις τρέχουσες καιρικές συνθήκες. Copyright 2009 Cengage Learning 6.7

Ερμηνεία Πιθανότητας Ανεξάρτητα από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται για τον ορισμό πιθανοτήτων, όλες ερμηνεύονται με την προσέγγιση της σχετικής συχνότητας. Για παράδειγμα, το κρατικό λόττο όπου επιλέγονται 6 αριθμοί (από τους 49). Η κλασσική μέθοδος θα προέβλεπε την πιθανότητα επιλογής κάθε αριθμού ως 1/49=2.04%. Το ερμηνεύουμε αυτό λέγοντας ότι μακροπρόθεσμα κάθε αριθμός θα επιλέγεται στο 2.04% των κληρώσεων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.8

Συνδυασμένη, Ολική και Δεσμευμένη Πιθανότητα Εξετάζουμε μεθόδους ορισμού πιθανοτήτων ενδεχομένων που προκύπτουν από συνδυασμό άλλων ενδεχόμενων με διάφορους τρόπους. Υπάρχουν διάφοροι τύποι συνδυασμών και σχέσεων μεταξύ ενδεχομένων: Συμπλήρωμα ενδεχόμενου Τομή ενδεχομένων Ένωση ενδεχομένων Αλληλοαποκλειόμενα ενδεχόμενα Εξαρτημένα και ανεξάρτητα ενδεχόμενα Copyright 2009 Cengage Learning 6.9

Συμπλήρωμα ενός Ενδεχόμενου Το συμπλήρωμα ενός ενδεχόμενου Α ορίζεται ως το ενδεχόμενο που συνίσταται από όλα τα σημεία του δείγματος που «δεν είναι στο Α». Το συμπλήρωμα του A συμβολίζεται με Α ή A c Το παρακάτω διάγραμμα Venn απεικονίζει την έννοια ενός συμπληρώματος. P(A) + P(A c ) = 1 A A c Copyright 2009 Cengage Learning 6.10

Συμπλήρωμα ενός Ενδεχομένου Για παράδειγμα, το ορθογώνιο εμπεριέχει όλες τις πιθανές ρίψεις δύο ζαριών {(1,1), 1,2), (6,6)} Ας υποθέσουμε ότι A = οι ρίψεις που έχουν άθροισμα 7 {(1,6), (2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(Σύνολο = 7) + P(Σύνολο όχι ίσο με 7) = 1 A A c Copyright 2009 Cengage Learning 6.11

Τομή Δύο Ενδεχομένων Τομή δύο ενδεχομένων Α και Β είναι το σύνολο των σημείων δείγματος που βρίσκονται τόσο στο Α όσο και στο Β. Η τομή συμβολίζεται: A και B Συνδυασμένη πιθανότητα A και B είναι η πιθανότητα της τομής του A και του B, δηλαδή, P(A και B) A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.12

Τομή Δύο Ενδεχομένων Για παράδειγμα, ας πούμε ότι A = ρίψεις όπου η πρώτη ρίψη είναι 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} και B = ρίψεις όπου η δεύτερη ρίψη είναι 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} Η τομή είναι {(1,5)} Συνδυασμένη πιθανότητα του A και B είναι η πιθανότητα τομής του A και B, δηλαδή, P(A και B) = 1/36 A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.13

Ένωση Δύο Ενδεχομένων Ένωση δύο ενδεχομένων A και B, είναι το ενδεχόμενο που εμπεριέχει όλα τα σημεία δείγματος που βρίσκονται στο Α ή στο Β ή και στα δύο: Η ένωση A και B συμβολίζεται: A ή B A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.14

Ένωση Δύο Ενδεχομένων Για παράδειγμα, έστω ότι A = ρίψεις όπου η πρώτη ρίψη είναι 1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} και B είναι οι ρίψεις στις οποίες η δεύτερη ρίψη είναι 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} Ένωση A και B είναι {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)} (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.15

Αλληλοαποκλειόμενα ή ξένα Ενδεχόμενα Όταν δύο ενδεχόμενα είναι ξένα ή αλληλοαποκλειόμενα (δηλαδή, δύο ενδεχόμενα που δεν μπορούν να προκύψουν μαζί), η συνδυασμένη πιθανότητά τους είναι 0, επομένως: A B Αλληλοαποκλειόμενα. Δεν υπάρχουν κοινά σημεία. Για παράδειγμα A = ρίψεις που έχουν άθροισμα 7 και B = ρίψεις που έχουν άθροισμα 11 Copyright 2009 Cengage Learning 6.16

Βασικές Σχέσεις Ενδεχομένων (Συνόλων) Συμπλήρωμα Ενδεχομένου Ένωση Ενδεχομένων A A c A B Τομή Ενδεχομένων Ξένα Ενδεχόμενα A B A B Copyright 2009 Cengage Learning 6.17

Παράδειγμα 6.1 Γιατί κάποιοι διευθυντές εταιρειών αμοιβαίων κεφαλαίων είναι πιο επιτυχημένοι από άλλους; Ένας πιθανός παράγοντας είναι το πανεπιστήμιο στο οποίο έκανε κάποιος το μεταπτυχιακό του στη Διοίκηση Επιχειρήσεων (MBA). Ο παρακάτω πίνακας συγκρίνει τις επιδόσεις στα αμοιβαία κεφάλαια έναντι της κατάταξης του πανεπιστημίου από το οποίο οι διευθυντές έλαβαν το ΜΒΑ τους: Αμοιβαία κεφάλαια με απόδοση καλύτερη του χρηματιστηριακού δείκτη Αμοιβαία κεφάλαια με απόδοση όχι καλύτερη του χρηματιστηριακού δείκτη Πρόγραμμα ΜΒΑ μέσα στα 20 κορυφαία Πρόγραμμα ΜΒΑ όχι μέσα στα 20 κορυφαία 0.11 0.29 0.06 0.54 Π.χ.. Αυτή είναι η πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση καλύτερη του χρηματιστηριακού δείκτη ΚΑΙ ο διευθυντής να έχει σπουδάσει σε ένα από τα κορυφαία 20 πανεπιστήμια. Είναι μια συνδυασμένη πιθανότητα. Copyright 2009 Cengage Learning 6.18

Παράδειγμα 6.1 Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να εισάγουμε συντομεύσεις για να αναπαραστήσουμε τα ενδεχόμενα: A 1 = Ο διευθυντής αποφοίτησε από ένα πρόγραμμα MBA μέσα στα 20 κορυφαία A 2 = Ο διευθυντής αποφοίτησε από ένα πρόγραμμα MBA όχι μέσα στα 20 κορυφαία B 1 = Τα Αμοιβαία κεφάλαια έχουν απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη B 2 = Τα Αμοιβαία κεφάλαια δεν έχουν απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη B 1 B 2 A 1 0.11 0.29 A 2 0.06 0.54 Δηλαδή, P(A 2 και B 1 ) = 0.06 = η πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη και ο διευθυντής να μην έχει αποφοιτήσει από πανεπιστήμιο ανάμεσα στα 20 κορυφαία. Copyright 2009 Cengage Learning 6.19

Ολική Πιθανότητα Η ολική πιθανότητα υπολογίζεται αθροίζοντας μια σειρά ή μια στήλη του πίνακα: P(A 2 ) = 0.06 + 0.54 «ποια είναι η πιθανότητα ένας διευθυντής αμοιβαίων κεφαλαίων να μην αποφοίτησε από ένα κορυφαίο πανεπιστήμιο;» B 1 B 2 P(A i ) A 1 0.11 0.29 0.40 A 2 0.06 0.54 0.60 P(B j ) 0.17 0.83 1.00 P(B 1 ) = 0.11 + 0.06 «ποια είναι η πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη;» ΤΟΣΟ η στήλη ΟΣΟ και η σειρά πρέπει να έχουν άθροισμα 1 (χρήσιμος έλεγχος σφάλματος) Copyright 2009 Cengage Learning 6.20

Δεσμευμένη Πιθανότητα Η δεσμευμένη πιθανότητα χρησιμοποιείται στον καθορισμό του τρόπου σύνδεσης δύο ενδεχομένων, δηλαδή μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα του ενός ενδεχομένου δεδομένης της εμφάνισης ενός άλλου συνδεδεμένου ενδεχόμενου. Οι δεσμευμένες πιθανότητες γράφονται ως P(A B) και διαβάζονται ως «πιθανότητα του Α δεδομένου του Β» και υπολογίζονται ως εξής: Copyright 2009 Cengage Learning 6.21

Δεσμευμένη Πιθανότητα Επαναλαμβάνουμε ότι η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου δεδομένης της εμφάνισης ενός άλλου ενδεχόμενου, ονομάζεται δεσμευμένη πιθανότητα. Σημειώστε πώς συνδέονται τα «Α δεδομένου του Β» και «Β δεδομένου του Α». Copyright 2009 Cengage Learning 6.22

Δεσμευμένη Πιθανότητα Παράδειγμα 6.2 Ποια είναι η πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη με δεδομένο ότι ο διευθυντής έχει αποφοιτήσει από ένα από τα 20 κορυφαία προγράμματα μεταπτυχιακών σπουδών; Θυμηθείτε: A 1 = Ο διευθυντής αποφοίτησε από ένα πρόγραμμα MBA μέσα στα 20 κορυφαία A 2 = Ο διευθυντής αποφοίτησε από ένα πρόγραμμα MBA όχι μέσα στα 20 κορυφαία B 1 = Τα Αμοιβαία κεφάλαια έχουν απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη B 2 = Τα Αμοιβαία κεφάλαια δεν έχουν απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη Επομένως, θέλουμε να γνωρίζουμε «ποιο είναι το P(B 1 A 1 );» Copyright 2009 Cengage Learning 6.23

Δεσμευμένη Πιθανότητα Θέλουμε να υπολογίσουμε το P(B 1 A 1 ) B 1 B 2 P(A i ) A 1 0.11 0.29 0.40 A 2 0.06 0.54 0.60 P(B j ) 0.17 0.83 1.00 Άρα, υπάρχει πιθανότητα 27.5% ότι ένα αμοιβαίο κεφάλαιο θα έχει απόδοση καλύτερη από τον χρηματιστηριακό δείκτη δεδομένου ότι ο διευθυντής αποφοίτησε από ένα πρόγραμμα ΜΒΑ μεταξύ των 20 κορυφαίων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.24

Ανεξαρτησία Ένας από τους στόχους του υπολογισμού της δεσμευμένης πιθανότητας είναι ο καθορισμός του εάν δύο ενδεχόμενα συνδέονται. Συγκεκριμένα, θα θέλαμε να γνωρίζουμε εάν αυτά είναι ανεξάρτητα, δηλαδή, εάν η πιθανότητα του ενός ενδεχόμενου δεν επηρεάζεται από την εμφάνιση του άλλου ενδεχόμενου. Δύο ενδεχόμενα A και B λέμε ότι είναι ανεξάρτητα εάν P(A B) = P(A) ή P(B A) = P(B) Copyright 2009 Cengage Learning 6.25

Ανεξαρτησία Για παράδειγμα, είδαμε ότι P(B 1 A 1 ) = 0.275 Η ολική πιθανότητα για το B 1 είναι: P(B 1 ) = 0,17 Αφού P(B 1 A 1 ) P(B 1 ), το B 1 και το A 1 δεν είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Διατυπώνοντάς το διαφορετικά, είναι εξαρτημένα. Δηλαδή, η πιθανότητα του ενός ενδεχόμενου (B 1 ) επηρεάζεται από την εμφάνιση του άλλου ενδεχόμενου (A 1 ). Copyright 2009 Cengage Learning 6.26

Ένωση Διατυπώσαμε ενωρίτερα ότι η ένωση δύο ενδεχόμενων συμβολίζεται ως: A ή B. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την έννοια για να απαντήσουμε σε ερωτήσεις όπως: Ορίστε την πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει καλύτερη απόδοση από τον χρηματιστηριακό δείκτη ή ο διευθυντής να έχει αποφοιτήσει από ένα πρόγραμμα ΜΒΑ ανάμεσα στα 20 κορυφαία. Copyright 2009 Cengage Learning 6.27

Ένωση Καθορίστε την πιθανότητα ένα αμοιβαίο κεφάλαιο να έχει απόδοση μεγαλύτερη του χρηματιστηριακού δείκτη (B 1 ) ή ο διευθυντής να έχει αποφοιτήσει από ένα πρόγραμμα MBA (A 1 ) μέσα στα κορυφαία 20. A 1 ή B 1 προκύπτει όποτε προκύπτουν: A 1 και B 1 A 1 και B 2 ή A 2 και B 1 B 1 B 2 P(A i ) A 1 0.11 0.29 0.40 A 2 0.06 0.54 0.60 P(B j ) 0.17 0.83 1.00 P(A 1 ή B 1 ) = 0.11 + 0.06 + 0.29 = 0.46 Copyright 2009 Cengage Learning 6.28

Εναλλακτικά Πάρτε το 100% και αφαιρέστε «όταν δεν προκύπτει A 1 ή B 1» B 1 π.χ. στο A 2 και B 2 B 1 B 2 P(A i ) A 1 A 1.11.29.40 A 2.06.54.60 P(B j ).17.83 1.00 P(A 1 ή B 1 ) = 1 P(A 2 και B 2 ) = 1 0.54 = 0.46 Copyright 2009 Cengage Learning 6.29

Κανόνες και Δένδρα Πιθανοτήτων Θα εισάγουμε τρεις κανόνες που μας δίνουν τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την πιθανότητα πιο σύνθετων ενδεχόμενων από την πιθανότητα απλούστερων ενδεχόμενων. Κανόνας Συμπληρώματος, Κανόνας Πολλαπλασιασμού, και Κανόνας Πρόσθεσης Copyright 2009 Cengage Learning 6.30

Κανόνας Συμπληρώματος Όπως είδαμε ενωρίτερα με το ενδεχόμενο συμπληρώματος, ο κανόνας συμπληρώματος μας δίνει την πιθανότητα ένα ενδεχόμενο ΝΑ ΜΗΝ προκύψει. Δηλαδή: P(A C ) = 1 P(A) Για παράδειγμα, στην απλή ρίψη ενός ζαριού, η πιθανότητα εμφάνισης του αριθμού «1» είναι 1/6. Η πιθανότητα να προκύψει κάποιος αριθμός διαφορετικός από το «1» είναι 1 1/6 = 5/6. Copyright 2009 Cengage Learning 6.31

Κανόνας Πολλαπλασιασμού Ο κανόνας πολλαπλασιασμού χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της συνδυασμένης πιθανότητας δύο ενδεχόμενων. Βασίζεται στον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας που ορίσαμε προηγουμένως: : Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με P(B) έχουμε: P(A και B) = P(A B) P(B) Ομοίως, P(A και B) = P(B A) P(A) Εάν A και B είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα, τότε P(A και B) = P(A) P(B) Copyright 2009 Cengage Learning 6.32

Παράδειγμα 6.3 Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από 10 φοιτητές, επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τους αναθέσει μια ερευνητική εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα αυτοί οι φοιτητές να είναι δύο κορίτσια; Ας συμβολίσουμε με A το ενδεχόμενο ότι ο πρώτος φοιτητής είναι κορίτσι P(A) = 3/10 = 0.30 Τι γίνεται με τον δεύτερο φοιτητή; Copyright 2009 Cengage Learning 6.33

Παράδειγμα 6.3 Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από 10 φοιτητές, επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τους αναθέσει μια ερευνητική εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα αυτοί οι φοιτητές να είναι δύο κορίτσια; Ας συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο ότι ο δεύτερος φοιτητής είναι κορίτσι P(B A) = 2/9 = 0.22 Δηλαδή, η πιθανότητα επιλογής ενός κοριτσιού με δεδομένο ότι ο πρώτος φοιτητής έχει επιλεγεί είναι 2 (κορίτσια) / 9 (εναπομένοντες φοιτητές) = 2/9. Copyright 2009 Cengage Learning 6.34

Παράδειγμα 6.3 Ένα μάθημα στατιστικής παρακολουθείται από 10 φοιτητές, επτά αγόρια και τρία κορίτσια. Ο καθηγητής θέλει να επιλέξει τυχαία δύο φοιτητές για να τους αναθέσει μια ερευνητική εργασία. Ποια είναι η πιθανότητα αυτοί οι φοιτητές να είναι δύο κορίτσια; Επομένως, θέλουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα: ποιο είναι το P(A και B); P(A και B) = P(A) P(B A) = (3/10)(2/9) = 6/90 = 0.067 «Υπάρχει πιθανότητα 6.7% ο καθηγητής να επιλέξει δύο κορίτσια από την τάξη των 10 φοιτητών». Copyright 2009 Cengage Learning 6.35

Παράδειγμα 6.4 Ο καθηγητής που διδάσκει το μάθημα στο Παράδειγμα 6.3 έχει γρίπη και θα λείψει στα δύο επόμενα μαθήματα. Ο αντικαταστάτης του καθηγητή θα διδάξει τα δύο επόμενα μαθήματα. Το στυλ του είναι να επιλέγει ένα φοιτητή τυχαία, ο οποίος πρέπει να απαντήσει σε ερωτήσεις κατά τη διάρκεια του μαθήματος. Ποια είναι η πιθανότητα σε δύο διαδοχικά μαθήματα να επιλεγούν δύο κορίτσια; Ας συμβολίσουμε με A το ενδεχόμενο ότι ο πρώτος φοιτητής είναι κορίτσι P(A) = 3/10 = 0.30 Τι γίνεται με τον δεύτερο φοιτητή; Copyright 2009 Cengage Learning 6.36

Παράδειγμα 6.4 Ας συμβολίσουμε με B το ενδεχόμενο να είναι κορίτσι ο δεύτερος φοιτητής P(B A) = 3/10 = 0.30 Η πιθανότητα επιλογής ενός κοριτσιού με δεδομένο ότι η επιλογή του πρώτου φοιτητή είναι κορίτσι παραμένει αμετάβλητη αφού ο φοιτητής που επιλέχθηκε στο πρώτο μάθημα μπορεί να επιλεγεί και στο δεύτερο μάθημα. P(A και B) = P(A) P(B A) = (3/10)(3/10) = 9/100 = 0.090 Copyright 2009 Cengage Learning 6.37

Κανόνας Πρόσθεσης Θυμηθείτε: ο κανόνας πρόσθεσης χρησιμοποιείται στον υπολογισμό της πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχόμενου Α ή του Β ή του Α και του Β, δηλαδή της ένωσης Α και Β. P(A ή B) = P(A) + P(B) P(A και B) A B = A + B P(A ή B) = P(A) + P(B) P(A and B) Εάν Α και Β είναι ξένα, τότε ο όρος αυτός είναι μηδέν Copyright 2009 Cengage Learning 6.38

Παράδειγμα 6.5 Σε μια μεγάλη πόλη εκδίδονται δύο εφημερίδες, η Sun και η Post. Τα αντίστοιχα τμήματα κυκλοφορίας αναφέρουν ότι το 22% των νοικοκυριών της πόλης είναι συνδρομητές της Sun και το 35% συνδρομητές της Post. Μια έρευνα διαπιστώνει ότι το 6% όλων των νοικοκυριών είναι συνδρομητές και στις δύο εφημερίδες. Ποιο ποσοστό νοικοκυριών είναι συνδρομητές είτε στη μία είτε στην άλλη εφημερίδα; Δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα τυχαίας επιλογής ενός νοικοκυριού που είναι συνδρομητής στη Sun ή στην Post ή και στις δύο; Δηλαδή, ποιο είναι το P(Sun ή Post) ; Copyright 2009 Cengage Learning 6.39

Παράδειγμα 6.5 Σε μια μεγάλη πόλη εκδίδονται δύο εφημερίδες, η Sun και η Post. Τα αντίστοιχα τμήματα κυκλοφορίας αναφέρουν ότι το 22% των νοικοκυριών της πόλης είναι συνδρομητές της Sun και το 35% συνδρομητές της Post. Μια έρευνα διαπιστώνει ότι το 6% όλων των νοικοκυριών είναι συνδρομητές και στις δύο εφημερίδες. Ποιο ποσοστό νοικοκυριών είναι συνδρομητές είτε στη μία είτε στην άλλη εφημερίδα; P(Sun ή Post) = P(Sun) + P(Post) P(Sun και Post) = 0.22 + 0.35 0.06 = 0,51 «Υπάρχει πιθανότητα 51% ένα τυχαία επιλεγμένο νοικοκυριό να είναι συνδρομητής στη μία ή στην άλλη ή και στις δύο εφημερίδες». Copyright 2009 Cengage Learning 6.40

Δένδρα Πιθανοτήτων Μια απλούστερη και αποτελεσματική μέθοδος εφαρμογής των παραπάνω κανόνων είναι το δένδρο πιθανοτήτων, όπου τα ενδεχόμενα σε ένα πείραμα αντιπροσωπεύονται από διαδοχικές διακλαδώσεις, δημιουργώντας ένα δενδροειδές σχήμα, εξ ου και η ονομασία. Θα περιγράψουμε το δένδρο πιθανοτήτων με μια σειρά από παραδείγματα, συμπεριλαμβανομένων δύο που είδαμε όταν χρησιμοποιήσαμε μόνο τους κανόνες πιθανοτήτων. Copyright 2009 Cengage Learning 6.41

Παράδειγμα 6.3 Αυτό είναι το P(F), η πιθανότητα επιλογής σε πρώτο χρόνο μιας φοιτήτριας Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή Αυτό είναι το P(F F), η πιθανότητα επιλογής μιας φοιτήτριας σε δεύτερο χρόνο, με δεδομένη την επιλογή μιας φοιτήτριας σε πρώτο χρόνο Copyright 2009 Cengage Learning 6.42

Δένδρα Πιθανοτήτων Στις άκρες των «κλάδων» υπολογίζουμε τις συνδυασμένες πιθανότητες ως το προϊόν των ατομικών πιθανοτήτων στους προηγούμενους κλάδους. Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή Συνδυασμένες Πιθανότητες P(FF)=(3/10)(2/9) P(FM)=(3/10)(7/9) P(MF)=(7/10)(3/9) P(MM)=(7/10)(6/9) Copyright 2009 Cengage Learning 6.43

Παράδειγμα 6.4 Έστω ότι έχουμε και πάλι την τάξη των 10 φοιτητών, αλλά κάνουμε τη δειγματοληψία των φοιτητών ανεξάρτητα, δηλαδή «με επανάληψη» ένας φοιτητής θα μπορούσε να επιλεγεί στην πρώτη φάση και να επιλεγεί και πάλι στο δεύτερο γύρο. Τώρα, το δένδρο μας και οι συνδυασμένες πιθανότητες έχουν ως εξής: FF P(FF)=(3/10)(3/10) FM MF P(FM)=(3/10)(7/10) P(MF)=(7/10)(3/10) MM P(MM)=(7/10)(7/10) Copyright 2009 Cengage Learning 6.44

Δένδρα Πιθανοτήτων Οι πιθανότητες που σχετίζονται με κάθε ομάδα κλάδων από ένα «κόμβο» πρέπει να έχουν άθροισμα 1. Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή 2/9 + 7/9 = 9/9 = 1 Πρακτικός τρόπος για να ελέγξετε την εργασία σας! 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1 3/9 + 6/9 = 9/9 = 1 Copyright 2009 Cengage Learning 6.45

Δένδρα Πιθανοτήτων Σημείωση: δεν είναι απαραίτητο οι κλάδοι να διακλαδίζονται δυαδικά, ούτε ότι το δένδρο προχωρά σε δύο επίπεδα, ή ότι υπάρχει ο ίδιος αριθμός διακλαδώσεων σε κάθε υπο-κόμβο. Copyright 2009 Cengage Learning 6.46

Παράδειγμα 6.6 Οι πτυχιούχοι της νομικής σχολής πρέπει να περάσουν μια ειδική εξέταση για να αποκτήσουν άδεια άσκησης επαγγέλματος. Έστω ότι το ποσοστό επιτυχίας των νέων δικηγόρων είναι 72%. Μπορούν να επαναλάβουν την εξέταση εάν αποτύχουν, και το ποσοστό επιτυχίας αυτών που εξετάζονται για δεύτερη φορά είναι 88%. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος να αποκτήσει την άδεια; Πρώτη εξέταση P(Επιτυχίας) = 0.72 Δεύτερη εξέταση P(Αποτυχίας και Επιτυχίας)= (0.28)(0.88)=0.2464 P(Αποτυχίας και Αποτυχίας = (0.28)(0.12) = 0.0336 Copyright 2009 Cengage Learning 6.47

Παράδειγμα 6.6 Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος απόφοιτος να περάσει την εξέταση; «Υπάρχει πιθανότητα σχεδόν 97% ότι θα περάσουν την εξέταση για την άσκηση επαγγέλματος» P(Επιτυχίας) = P(Επιτυχία την 1 η )+ P(Αποτυχία την 1 η και Επιτυχία τη 2 η ) = 0.7200 + 0.2464 = 0.9664 P(Επιτυχίας) = 0.72 Πρώτη εξέταση Δεύτερη εξέταση P(Αποτυχίας και Επιτυχίας)= (0.28)(0.88)=0.2464 P(Αποτυχίας/Αποτυχίας = (0.28)(0.12) = 0.0336 Copyright 2009 Cengage Learning 6.48

Νόμος του Bayes Ο νόμος του Bayes πήρε το όνομά του από τον Thomas Bayes, έναν μαθηματικό του 18 ου αιώνα. Στη βασική μορφή του, εάν γνωρίζουμε το P(B A), μπορούμε να καθορίσουμε το P(A B) εφαρμόζοντας τον Νόμο Bayes P(B A) P(A B) για παράδειγμα Copyright 2009 Cengage Learning 6.49

Παράδειγμα 6.7 Πληρωμή 500 ευρώ για προετοιμασία ΜΒΑ; Η εξέταση GMAT (Graduate Management Admission Test) είναι προϋπόθεση για όλους τους υποψήφιους μεταπτυχιακών προγραμμάτων ΜΒΑ. Υπάρχουν διάφορα προπαρασκευαστικά μαθήματα με στόχο τη βελτίωση της βαθμολογίας GMAT, η οποία κυμαίνεται από 200 έως 800. Έστω ότι μια έρευνα των φοιτητών ΜΒΑ διαπιστώνει ότι από αυτούς που είχαν βαθμολογία GMAT πάνω από 650, το 52% είχαν παρακολουθήσει προπαρασκευαστικά μαθήματα, ενώ από αυτούς που είχαν πετύχει βαθμολογία κάτω από 650 μόνο το 23% είχαν παρακολουθήσει προπαρασκευαστικά μαθήματα. Ένας υποψήφιος του μεταπτυχιακού προγράμματος ΜΒΑ υπολογίζει ότι χρειάζεται βαθμολογία πάνω από 650 για να περάσει σε ένα συγκεκριμένο μεταπτυχιακό πρόγραμμα ΜΒΑ, ωστόσο αντιλαμβάνεται ότι η πιθανότητά του να πετύχει ένα τόσο υψηλό βαθμό είναι πολύ χαμηλή 10%. Σκέπτεται να συμμετέχει σε ένα προπαρασκευαστικό μάθημα που κοστίζει 500 ευρώ. Είναι πρόθυμος να το κάνει μόνο εάν διπλασιαστεί η πιθανότητά του να πετύχει βαθμολογία 650 ή υψηλότερη. Τι θα πρέπει να κάνει; Copyright 2009 Cengage Learning 6.50

Παράδειγμα 6.7 Μετατροπή σε Πιθανοτικό Συμβολισμό Ας συμβολίσουμε με A = βαθμολογία GMAT 650 ή υψηλότερη, επομένως A C = βαθμολογία GMAT χαμηλότερη του 650 Ο φοιτητής μας έχει αντιληφθεί ότι η πιθανότητα να βαθμολογηθεί με πάνω από 650 (χωρίς προπαρασκευαστικά μαθήματα) είναι 10%, δηλαδή: P(A) = 0.10 Άρα P(A C ) = 1 0.10 = 0.90 Copyright 2009 Cengage Learning 6.51

Παράδειγμα 6.7 Ας συμβολίσουμε με B το ενδεχόμενο «συμμετοχής σε προπαρασκευαστικά μαθήματα» και επομένως το B C αντιπροσωπεύει τη «μη συμμετοχή σε προπαρασκευαστικά μαθήματα» Από τα στοιχεία της έρευνας, είδαμε ότι από αυτούς που πέτυχαν βαθμολογία GMAT πάνω από 650, το 52% έλαβε μέρος σε προπαρασκευαστικά μαθήματα, δηλαδή: P(B A) = 0.52 (Πιθανότητα εύρεσης ενός φοιτητή που έλαβε προπαρασκευαστικά μαθήματα με δεδομένο ότι πέτυχε βαθμολογία υψηλότερη του 650) Ο φοιτητής μας όμως θέλει να γνωρίζει το P(A B), δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα να πετύχει βαθμολογία υψηλότερη του 650 με δεδομένο ότι συμμετείχε σε προπαρασκευαστικά μαθήματα; Εάν η πιθανότητα είναι > 20%, θα δαπανήσει 500 ευρώ σε προπαρασκευαστικά μαθήματα. Copyright 2009 Cengage Learning 6.52

Παράδειγμα 6.7 Ανάμεσα σε αυτούς που πέτυχαν βαθμολογία GMAT μικρότερη του 650 μόνο το 23% συμμετείχαν σε προπαρασκευαστικά μαθήματα. Δηλαδή: P(B A C ) = 0.23 (Πιθανότητα εύρεσης ενός φοιτητή που συμμετείχε σε προπαρασκευαστικά μαθήματα με δεδομένο ότι είχε βαθμολογία χαμηλότερη του 650) Copyright 2009 Cengage Learning 6.53

Παράδειγμα 6.7 Οι δεσμευμένες πιθανότητες είναι P(B A) = 0.52 και P(B A C ) = 0.23 Χρησιμοποιώντας και πάλι τον κανόνα συμπληρώματος βρίσκουμε τις παρακάτω δεσμευμένες πιθανότητες. και P(B C A) = 1-0.52 = 0.48 P(B C A C ) = 1-0.23 = 0.77 Copyright 2009 Cengage Learning 6.54

Παράδειγμα 6.7 Προσπαθούμε να ορίσουμε το P(A B), ίσως ο ορισμός της δεσμευμένης πιθανότητας που είδαμε ενωρίτερα μας βοηθήσει Δεν γνωρίζουμε το P(A και B) και δεν γνωρίζουμε το P(B). Ίσως εάν δομήσουμε ένα δένδρο πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 6.55

Παράδειγμα 6.7 Για να πάμε από το P(B A) = 0.52 στο P(A B) = ;; πρέπει να εφαρμόσουμε το Νόμο Bayes. Διαγραμματικά: Βαθμολογία 650 Προπαρασκευαστικά μαθήματα A και B 0.052 A και B C 0.048 Τώρα χρειαζόμαστε μόνο το P(B)! A C και B 0.207 A C και B C 0.693 Copyright 2009 Cengage Learning 6.56

Παράδειγμα 6.7 Για να πάμε από το P(B A) = 0.52 στο P(A B) = ;; πρέπει να εφαρμόσουμε το Νόμο Bayes. Διαγραμματικά: Βαθμολογία 650 Προπαρασκευαστικά μαθήματα A και B 0.052 A και B C 0.048 Ολική πιθανότητα P(B) = P(A και B) + P(A C και B) = 0.259 A C και B 0.207 A C και B C 0.693 Copyright 2009 Cengage Learning 6.57

Παράδειγμα 6.7 Επομένως, Η πιθανότητα βαθμολογίας 650 ή υψηλότερης γίνεται 20.1% όταν συμμετέχει ο φοιτητής σε προπαρασκευαστικά μαθήματα. Copyright 2009 Cengage Learning 6.58

Ορολογία του Bayes Οι πιθανότητες P(A) και P(A C ) ονομάζονται πρότερες πιθανότητες επειδή καθορίζονται πριν την απόφαση συμμετοχής σε προπαρασκευαστικά μαθήματα. Η δεσμευμένη πιθανότητα P(A B) ονομάζεται ύστερη πιθανότητα (ή αναθεωρημένη πιθανότητα), επειδή η πρότερη πιθανότητα αναθεωρείται μετά την απόφαση συμμετοχής σε προπαρασκευαστικά μαθήματα. Copyright 2009 Cengage Learning 6.59