ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Andrew Pressley ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μετάφραση: Ι.. Πλατής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ίδρυµα Τεχνολογίας& Έρευνας Αθήνα: Κλεισόβης 3, 106 77. Τηλ. 210 3849020-22, Fax 210 3301583 Ηράκλειο: Νικ. Πλαστήρα 100, Βασιλικά Βουτών 700 13. Τηλ. 2810 391097 Fax 2810 391085 info@cup.gr, www.cup.gr ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιευθυντής σειράς Στέφανος Τραχανάς Τίτλος πρωτοτύπου: Elementary Differential Geometry, 2nd Edition c 2010: by Springer-Verlag London Limited c για την ελληνική γλώσσα: 2011 Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης Μετάφραση: Ι.. Πλατής, Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης Επιµέλεια κειµένου: Αλέξανδρος Χορταράς ΠροσαρµογήL A TEX: DavidJ.McClurkin Μακέτα εξωφύλλου: Ντίνα Γκαντή ISBN 978-960-524-344-9

v Πρόλογος Ο όρος διαφορική γεωµετρία που χρησιµοποιείται στον τίτλο αυτού του βιβλίου αναφέρεται στον κλάδο των µαθηµατικών που ασχολείται µε τη µελέτη των καµπυλών και των επιφανειών του τριδιάστατου χώρου µε τη χρήση τεχνικών του απειροστικού λογισµού. Είναι µια περιοχή όπου συναντούµε µερικά από τα οµορφότερα αποτελέσµατα των µαθηµατικών, τα περισσότερα από τα οποία µπορούν µάλιστα να γίνουν κατανοητά χωρίς εκτενείς προαπαιτούµενες γνώσεις. Έτσι, για το σύνολο σχεδόν του βιβλίου, τα µόνα προαπαιτούµενα είναι η καλή γνώση του απειροστικού λογισµού(συµπεριλαµβανόµενης της παραγώγισης κατά µέρη), των διανυσµάτων και της γραµµικής άλγεβρας (συµπεριλαµβανοµένων των πινάκων και των οριζουσών). Πολλά από τα αποτελέσµατα περί καµπυλών και επιφανειών που θα µελετήσουµε αποτελούν τη βάση γενικότερων αποτελεσµάτων που αφορούν χώρους περισσότερων διαστάσεων. Για παράδειγµα, το θεώρηµα Gauss-Bonnet, που εξετάζεται στο Κεφάλαιο 11, αποτελεί τη βάση ενός µεγάλου πλήθους αποτελεσµάτων που συσχετίζουν τις«τοπικές» µε τις«ολοµερείς» ιδιότητες των γεωµετρικών αντικειµένων. Η µελέτη αυτού του είδους των σχέσεων αποτέλεσε ένα από τα σηµαντικότερα θέµατα των µαθηµατικών του 20ού αιώνα. Θέλουµε ωστόσο να τονίσουµε ότι οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται σε αυτό το βιβλίο δεν είναι κατ ανάγκη εκείνες που µπορούν να γενικευτούν σε χώρους περισσότερων διαστάσεων.(για τους κατέχοντες το θέµα αναγνώστες, σε αυτό το βιβλίο δεν υπάρχει για παράδειγµα καµία αναφορά στις«συνοχές».) Στόχος µας ήταν να χρησιµοποιήσουµε σε κάθε περίπτωση την απλούστερη προσέγγιση που οδηγεί στα επιθυµητά αποτελέσµατα. Αυτό µας επέτρεψε όχι µόνο να ελαχιστοποιήσουµε τις προαπαιτούµενες γνώσεις, αλλά επίσης να αποφύγουµε κάποιες από τις εννοιολογικές δυσκολίες που συναντώνται συχνά κατά τη µελέτη της διαφορικής γεωµετρίας σε χώρους περισσότερων διαστάσεων. Ελπίζουµε ότι αυτή η προσέγγιση θα καταστήσει αυτόν τον όµορφο κλάδο των µαθηµατικών προσιτό σε ένα ευρύτερο αναγνωστικό κοινό. Είναι κοινοτοπία, αλλά εντούτοις αληθές, ότι τα µαθηµατικά µαθαίνονται µόνο µε την εξάσκησηκαιόχιµετηναπλήανάγνωση.γι αυτόντονλόγοτοπαρόνβιβλίοπεριέχει πάνω από 200 ασκήσεις. Οι αναγνώστες πρέπει να προσπαθήσουν να λύσουν όσες περισ-

vi Πρόλογος σότερες τους επιτρέπουν οι αντοχές τους. Οι πλήρεις λύσεις όλων των ασκήσεων δίνονται στο τέλος του βιβλίου, αλλά καλό θα ήταν οι αναγνώστες να τις συµβουλεύονται είτε αφού έχουν δώσει τη δική τους λύση είτε σε περίπτωση απελπισίας. Προσπαθήσαµε να ελαχιστοποιήσουµε το πλήθος των ασκήσεων που ενδέχεται να οδηγήσουν σε καταστάσεις απελπισίας συµπεριλαµβάνοντας υποδείξεις για τις πιο εξεζητηµένες ασκήσεις. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Λίγα είναι τα βιβλία των οποίων ο όγκος µικραίνει όταν κυκλοφορεί η δεύτερη έκδοσή τους, και το παρόν βιβλίο δεν συγκαταλέγεται µεταξύ αυτών. Η µεγαλύτερη προσθήκη είναι ένα νέο κεφάλαιο αφιερωµένο στην υπερβολική(ή µη Ευκλείδεια) γεωµετρία. Όπως είναι εύλογο, οι περισσότερες στοιχειώδεις πραγµατεύσεις αυτού του αντικειµένου ακολουθούν πιστά την Ευκλείδεια αξιωµατική θεµελίωση της γεωµετρίας του επιπέδου. Μόλις όµως διατυπωθούν τα βασικά αποτελέσµατα της διαφορικής γεωµετρίας των επιφανειών, ανοίγεται ένας πολύ γρηγορότερος δρόµος προς τα κύρια αποτελέσµατα, τον οποίο θα ήταν κρίµα να µην εκµεταλλευτούµε. Οι άλλες δύο σηµαντικότερες αλλαγές υποδείχθηκαν από σχολιαστές της πρώτης έκδοσης. Η πρώτη απ αυτές αφορά τον χειρισµό του εφαπτόµενου επιπέδου µε πιο γεω- µετρικό τρόπο αυτό µας επιτρέπει να ορίσουµε πράγµατα όπως την πρώτη και τη δεύτερη θεµελιώδη µορφή και την απεικόνιση Weingarten σαν γεωµετρικά αντικείµενα(αντί απλώς σαν πίνακες). Η δεύτερη αφορά τη χρήση της παράλληλης µεταφοράς. Συµφώνησα µερικώς µόνο µε αυτήν την υπόδειξη καθώς ήθελα να διατηρήσω τον στοιχειώδη χαρακτήρα του βιβλίου στην παρούσα έκδοση παραθέτω τον ορισµό της παράλληλης µεταφοράς και τον συσχετίζω µε τις γεωδαισιακές και την καµπυλότητα Gauss.(Ωστόσο στο σηµείο αυτό απευθύνοµαι στους ειδήµονες αναγνώστες σταµάτησα ένα µόλις βήµα πριν από την εισαγωγή των συνοχών.) Υπάρχει ένα πλήθος µικρότερων αλλαγών, τις οποίες είναι δύσκολο να παραθέσω όλες. Ίσως όµως πρέπει να αναφέρω τις νέες ενότητες για τον χρωµατισµό χαρτών(σαν εφαρµογή του θεωρήµατος Gauss-Bonnet) και την αυτόνοµη πραγµάτευση της σφαιρικής γεωµετρίας. Εκτός από το εγγενές της ενδιαφέρον, η σφαιρική γεωµετρία αποτελεί την απλούστερη«µη Ευκλείδεια» γεωµετρία και είναι από πολλές απόψεις παρόµοια µε την υπερβολική της εξαδέλφη. Έχω επίσης διορθώσει κάποια λάθη της πρώτης έκδοσης που εντοπίστηκαν είτε από εµένα είτε από αναγνώστες(περισσότερο από τους τελευταίους). Για τους διδάσκοντες που σκέπτονται να χρησιµοποιήσουν αυτό το βιβλίο επισηµαίνω ότι υπάρχουν πλέον τρεις δρόµοι διαµέσου των οποίων µπορεί να διδαχθεί το βιβλίο σε έναεξάµηνο.τέλοςκάθεδρόµουείναιένααπότακεφάλαια11,12ή13,ενώκατάτηδιαδροµή το βασικό υλικό αντλείται από τα κεφάλαια 1 10. Για παράδειγµα, η νέα ενότητα σχετικά µε τη σφαιρική γεωµετρία µπορεί να καλυφθεί µόνον αν ο τελικός προορισµός είναι η υπερβολική γεωµετρία. Όπως και στην πρώτη έκδοση, οι λύσεις των ασκήσεων παρατίθενται στο τέλος του βιβλίου. Το χαρακτηριστικό αυτό επικροτήθηκε σχεδόν καθολικά από τους φοιτητές αναγνώστες και αποδοκιµάστηκε σχεδόν εξίσου καθολικά από τους διδάσκοντες! Όντας και εγώ δάσκαλος, κατανοώ την άποψη των διδασκόντων και για να την αντιµετωπίσω επινόησα ένα µεγάλο πλήθος νέων ασκήσεων που θα είναι προσβάσιµες µέσω ιαδικτύου σε όλους τους χρήστες του βιβλίου, µαζί µε ένα εγχειρίδιο λύσεων για τους διδάσκοντες, στον ιστότοπο www.springer.com.

Πρόλογος vii Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους που έστειλαν σχόλια για την πρώτη έκδοση, από τους πρωτοετείς φοιτητές µέχρι τους ειδήµονες εσείς γνωρίζετε ποιοι είστε! Ακόµη καιανδενακολούθησαόλεςτιςσυστάσειςσας,τιςέλαβασοβαράυπόψηκαιελπίζωοι αναγνώστες της δεύτερης έκδοσης να συµφωνήσουν µαζί µου ότι οι αλλαγές έκαναν το βιβλίο πιο χρήσιµο και πιο διασκεδαστικό(και όχι απλώς πιο µεγάλο σε έκταση). Πρόλογος του µεταφραστή Το ανά χείρας βιβλίο του Andrew Pressley είναι ένα τυπικό βιβλίο στοιχειώδους διαφορικής γεωµετρίας, γραµµένο κατά τον«βρετανικό» τρόπο: ο συγγραφέας θεωρεί ελάχιστα πράγµατα ως προαπαιτούµενα και, όπου παρουσιάζονται δύσκολες µαθηµατικές έννοιες, είτε τις εξηγεί αναλυτικά, είτε τις παρακάµπτει παρουσιάζοντας όµως απολύτως πειστικά επιχειρήµατα για την ισχύ τους. Σε αυτό το βιβλίο υπάρχουν όλα τα απαραίτητα εφόδια για τον αναγνώστη που θέλει να αποκτήσει µία συνολική ιδέα για τη διαφορική γεωµετρία των καµπυλών και των επιφανειών. Με τα εφόδια αυτά ο αναγνώστης είναι έτοιµος να εντρυφήσει σε πιο προχωρηµένα µαθήµατα, όπως η θεωρία πολλαπλοτήτων και η γεω- µετρία Riemann. Ελάχιστα λόγια για τη µετάφραση: καταβλήθηκε προσπάθεια ώστε το ύφος του συγγραφέα να παραµείνει κατά το δυνατόν αναλλοίωτο κατά τη µετάφραση. Αποφύγαµε (σχεδόν επισταµένως) να προσθέσουµε µεγάλο αριθµό επεξηγηµατικών σχολίων επί του κειµένου, θεωρώντας ότι η κατάχρηση των σχολίων του µεταφραστή αλλάζει δραµατικά το ύφος του βιβλίου και στις περισσότερες περιπτώσεις προκαλεί περαιτέρω ερωτηµατικά στον αναγνώστη, αντί να τον διευκολύνει ως όφειλε. Ι..Πλατής Ηράκλειο Κρήτης, Βέρνη, 2011

ix Περιεχόµενα 1 Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο 1 1.1 Τιείναικαµπύλη;.............................. 1 1.2 Μήκοςτόξου................................ 8 1.3 Αναπαραµέτρηση.............................. 12 1.4 Κλειστέςκαµπύλες............................. 18 1.5 Σχέσηκαµπυλώνστάθµηςκαιπαραµετρηµένωνκαµπυλών........ 22 2 Πόσο καµπυλώνει µία καµπύλη; 27 2.1 Καµπυλότητα................................ 27 2.2 Επίπεδεςκαµπύλες............................. 32 2.3 Καµπύλεςτουχώρου............................ 43 3 Ολοµερείς ιδιότητες των καµπυλών 53 3.1 Απλέςκλειστέςκαµπύλες.......................... 53 3.2 Ηισοπεριµετρικήανισότητα........................ 56 3.3 Τοθεώρηµατωντεσσάρωνκορυφών.................... 60 4 Επιφάνειες στις τρεις διαστάσεις 63 4.1 Τιείναιεπιφάνεια;............................. 63 4.2 Λείεςεπιφάνειες.............................. 72 4.3 Λείεςαπεικονίσεις............................. 77 4.4 Εφαπτόµενεςκαιπαράγωγοι........................ 80 4.5 Κάθεταδιανύσµατακαιπροσανατολισιµότητα.............. 84 5 Παραδείγµατα επιφανειών 89 5.1 Επιφάνειεςστάθµης............................. 89 5.2 Τετραγωνικέςεπιφάνειες.......................... 90 5.3 Ευθειογενείςεπιφάνειεςκαιεπιφάνειεςεκπεριστροφής.......... 97 5.4 Συµπαγείςεπιφάνειες............................ 103

x Περιεχόµενα 5.5 Τριπλάορθογώνιασυστήµατα....................... 105 5.6 Εφαρµογέςτουθεωρήµατοςτηςαντίστροφηςαπεικόνισης........ 109 6 Η πρώτη θεµελιώδης µορφή 113 6.1 Μήκηεπιφανειακώνκαµπυλών...................... 113 6.2 Ισοµετρίεςεπιφανειών........................... 117 6.3 Σύµµορφεςαπεικονίσειςεπιφανειών.................... 124 6.4 Ισεµβαδικέςαπεικονίσεις.......................... 130 6.5 Σφαιρικήγεωµετρία............................. 138 7 Καµπυλότητα επιφανειών 147 7.1 Ηδεύτερηθεµελιώδηςµορφή....................... 147 7.2 ΟιαπεικονίσειςGaussκαιWeingarten................... 150 7.3 Κάθετηκαιγεωδαισιακήκαµπυλότητα................... 153 7.4 Παράλληληµεταφοράκαισυναλλοίωτηπαράγωγος............ 157 8 Καµπυλότητα Gauss, µέση καµπυλότητα και κύριες καµπυλότητες 165 8.1 ΚαµπυλότηταGaussκαιµέσηκαµπυλότητα................ 165 8.2 Κύριεςκαµπυλότητεςµιαςεπιφάνειας................... 172 8.3 ΕπιφάνειεςσταθερήςκαµπυλότηταςGauss................ 181 8.4 Ισόπεδεςεπιφάνειες............................. 185 8.5 Επιφάνειεςσταθερήςµέσηςκαµπυλότητας................ 191 8.6 ΚαµπυλότηταGaussσυµπαγώνεπιφανειών................ 196 9 Γεωδαισιακές 199 9.1 Ορισµόςκαιβασικέςιδιότητες....................... 199 9.2 Γεωδαισιακέςεξισώσεις.......................... 203 9.3 Γεωδαισιακέςεπιφανειώνεκπεριστροφής................. 209 9.4 Οιγεωδαισιακέςωςσυντοµότεροιδρόµοι................. 218 9.5 Γεωδαισιακέςσυντεταγµένες........................ 224 10 Theorema Egregium του Gauss 229 10.1 ΟιεξισώσειςGaussκαιCodazzi-Mainardi................. 229 10.2 ΤοέξοχοθεώρηµατουGauss........................ 233 10.3 ΕπιφάνειεςσταθερήςκαµπυλότηταςGauss................ 238 10.4 Γεωδαισιακέςαπεικονίσεις......................... 243 11 Υπερβολική γεωµετρία 249 11.1 Μοντέλοτουάνωηµιεπιπέδου....................... 250 11.2 ΙσοµετρίεςτουH.............................. 257 11.3 ΜοντέλοτουδίσκουPoincaré....................... 262 11.4 Υπερβολικέςπαράλληλες.......................... 269 11.5 ΜοντέλοBeltrami-Klein.......................... 273

Περιεχόµενα xi 12 Ελαχιστικές επιφάνειες 283 12.1 ΤοπρόβληµατουPlateau.......................... 283 12.2 Παραδείγµαταελαχιστικώνεπιφανειών.................. 289 12.3 ΑπεικόνισηGaussµιαςελαχιστικήςεπιφάνειας.............. 297 12.4 Σύµµορφηπαραµέτρησηελαχιστικώνεπιφανειών............. 299 12.5 Ελαχιστικέςεπιφάνειεςκαιολόµορφεςσυναρτήσεις............ 301 13 Το θεώρηµα Gauss-Bonnet 311 13.1 ΘεώρηµαGauss-Bonnetγιααπλέςκλειστέςκαµπύλες.......... 311 13.2 ΘεώρηµαGauss-Bonnetγιακαµπυλόγραµµαπολύγωνα......... 317 13.3 Ολοκλήρωσησεσυµπαγείςεπιφάνειες................... 321 13.4 ΘεώρηµαGauss-Bonnetγιασυµπαγείςεπιφάνειες............ 324 13.5 Χρωµατισµόςχαρτών............................ 332 13.6 ΟλονοµίακαικαµπυλότηταGauss..................... 337 13.7 Ιδιάζοντασηµείαδιανυσµατικώνπεδίων.................. 340 13.8 Κρίσιµασηµεία............................... 346 Π0 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και αυτοσυζυγείς γραµµικές απεικονίσεις 353 Π1 Ισοµετρίες Ευκλείδειων χώρων 357 Π2 Μετασχηµατισµοί Möbius 365 Π3 Υποδείξεις για επιλεγµένες ασκήσεις 373 Π4 Λύσεις των ασκήσεων 377 Ευρετήριο 433

1 1 Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο Σε αυτό το κεφάλαιο θα διατυπώσουµε µαθηµατικά, µε δύο τρόπους, τη διαισθητική έννοια της καµπύλης. Όπως θα διαπιστώσουµε, η ακριβής σχέση µεταξύ των δύο µορφών καµπύλης που θα παρουσιάσουµε είναι πολύ λεπτή, γι αυτό θα ξεκινήσουµε παραθέτοντας µερικά παραδείγµατα καµπυλών από την κάθε µορφή καθώς και πρακτικούς τρόπους για να µεταβαίνουµε από τη µία µορφή καµπύλης στην άλλη. 1.1 Τι είναι καµπύλη; Εάν µας ζητηθεί να δώσουµε ένα παράδειγµα καµπύλης, µπορούµε να σκεφτούµε µια ευθεία, έστω την y 2x D 1(αν και αυτή δεν είναι«καµπυλωµένη»!), έναν κύκλο, έστω τον x 2 C y 2 D 1,ήίσωςµιαπαραβολή,έστωτην y x 2 D 0: y 2x = 1 y x 2 = 0 x 2 + y 2 = 1 Σχήµα 1.1. Όλες αυτές οι καµπύλες περιγράφονται µέσω της καρτεσιανής τους εξίσωσης f.x; y/ D c;

2 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο όπου f είναιµιασυνάρτησητων xκαι y,και cµιασταθερά.απόαυτήντηνάποψηµια καµπύλη είναι ένα σύνολο σηµείων, δηλαδή C D f.x; y/ 2 R 2 j f.x; y/ D cg: (1.1) Όλαταπαραπάνωείναιπαραδείγµατακαµπυλώντουεπιπέδου R 2,αλλάµπορούµεεπίσηςναθεωρήσουµεκαµπύλεςστο R 3 γιαπαράδειγµα,οάξονας xτου R 3 είναιηευθεία που περιγράφεται από τις εξισώσεις y D 0; z D 0: Γενικότερα,µιακαµπύλητου R 3 µπορείναπεριγραφείαπόέναζεύγοςεξισώσεων f 1.x; y; z/ D c 1 ; f 2.x; y; z/ D c 2 : Οι καµπύλες αυτού του είδους καλούνται καµπύλες στάθµης, διότι η καµπύλη της Εξ. 1.1 γιαπαράδειγµαείναιτοσύνολοτωνσηµείων.x; y/τουεπιπέδουσταοποίαη«στάθµη» τηςποσότητας f.x; y/φτάνειτηντιµή c. Μιακαµπύληµπορείόµωςναπεριγραφείκαιµεένανάλλοντρόπο,οοποίοςαποδεικνύεται πιο χρήσιµος σε πολλές περιπτώσεις: µπορούµε να θεωρήσουµε ως καµπύλη τον δρόµο που διαγράφει ένα κινούµενο σηµείο. Έτσι, εάν.t/ είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου τη χρονική στιγµή t, η καµπύλη περιγράφεται από µία διανυσµατική συνάρτηση τηςαριθµητικήςπαραµέτρου t(στο R 2 ανπρόκειταιγιαεπίπεδηκαµπύλη, καιστο R 3 ανπρόκειταιγιακαµπύλητουχώρου).βασιζόµενοισεαυτήντηνιδέαθα δώσουµετονπρώτοαυστηρόορισµόµιαςκαµπύληςτου R n (µαςενδιαφέρουνµόνοοι περιπτώσεις n D 2 και 3, αλλά είναι βολικό να πραγµατευόµαστε και τις δύο περιπτώσεις ταυτόχρονα). Ορισμός 1.1.1 Μιαπαραµετρηµένηκαµπύλητου R n είναιµιααπεικόνιση W. ; ˇ/! R n,όπου ; ˇ είναιτέτοιαώστε 1 < ˇ 1: Με. ; ˇ/ συµβολίζουµε το ανοικτό διάστηµα. ; ˇ/ D ft 2 R j < t < ˇg: Μια παραµετρηµένη καµπύλη της οποίας η εικόνα περιέχεται σε µια καµπύλη στάθ- µης C ονοµάζεται παραµέτρηση(ενός τµήµατος) της C. Στα ακόλουθα παραδείγµατα παρουσιάζεται ο τρόπος µε τον οποίο µεταβαίνουµε στην πράξη από τις καµπύλες στάθ- µης στις παραµετρηµένες καµπύλες και αντίστροφα. Παράδειγμα 1.1.2 Αςβρούµεµιαπαραµέτρηση.t/τηςπαραβολής y D x 2.Εάν.t/ D. 1.t/; 2.t//,οι συνιστώσες 1 και 2 της πρέπειναικανοποιούντησχέση 2.t/ D 1.t/ 2 (1.2) γιαόλεςτιςτιµέςτου tστοδιάστηµα. ; ˇ/όπουορίζεταιη(ακόµαδενέχειαποφασιστεί ποιο είναι αυτό), ενώ στην ιδανική περίπτωση κάθε σηµείο της παραβολής πρέπει να ισούταιµε. 1.t/; 2.t//γιακάποιο t 2. ; ˇ/.Ασφαλώς,υπάρχειµιαπροφανήςλύση τηςεξ.1.2: 1.t/ D t, 2.t/ D t 2.Γιαναπάρουµεόλατασηµείατηςπαραβολήςπρέπει ναεπιτρέψουµεστο t ναπάρειόλεςτιςπραγµατικέςτιµές(αφούητετµηµένητης.t/

1.1. Τι είναι καµπύλη; 3 είναι απλώς t και η τετµηµένη ενός σηµείου της παραβολής µπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός), κατά συνέπεια πρέπει να επιλέξουµε ως. ; ˇ/ το διάστηµα. 1; 1/. Εποµένως η επιθυµητή παραµέτρηση είναι η εξής: W. 1; 1/! R 2 ;.t/ D.t; t 2 /: Αυτήδενείναιόµωςηµόνηπαραµέτρησητηςπαραβολής.Μίαάλληεπιλογήείναιη.t/ D.t 3 ; t 6 /(µε. ; ˇ/ D. 1; 1/).Ακόµαµίαείναιη.2t; 4t 2 /,καιασφαλώςυπάρχουν και(άπειρες) άλλες. Συµπεραίνουµε ότι η παραµέτρηση µιας δεδοµένης καµπύλης στάθµης δεν είναι µοναδική. Παράδειγμα 1.1.3 Αςπροσπαθήσουµεναπαραµετρήσουµετονκύκλο x 2 C y 2 D 1.Μπορείναµπούµε στονπειρασµόναπάρουµε x D tόπωςστοπροηγούµενοπαράδειγµα,ώστεναέχουµε y D p 1 x 2 (θαµπορούσαµεεπίσηςναπάρουµε y D p 1 x 2 ).Μεαυτόντοντρόπο παίρνουµε την παραµέτρηση.t/ D.t; p 1 t 2 /: Αυτήόµωςείναιµιαπαραµέτρησηµόνοτουάνωηµικυκλίου,διότιτο p 1 x 2 είναι πάντα 0.Αντίστοιχα,εάνπαίρναµε y D p 1 x 2,θακαλύπταµεµόνοτοκάτω ηµικύκλιο. Εάν θέλουµε µία παραµέτρηση ολόκληρου του κύκλου, πρέπει να ξαναπροσπαθήσουµε.χρειαζόµαστεσυναρτήσεις 1.t/και 2.t/τέτοιεςώστε 1.t/ 2 C 2.t/ 2 D 1 (1.3) γιακάθε t 2. ; ˇ/,καιγιατιςοποίεςκάθεσηµείοτουκύκλουναείναιίσοµε. 1.t/; 2.t// γιακάποιο t 2. ; ˇ/.ΥπάρχειµιαπροφανήςλύσητηςΕξ.1.3: 1.t/ Dcos t, 2.t/ Dsin t (εφόσονcos 2 t Csin 2 t D 1γιακάθε t).μπορούµεναπάρουµε. ; ˇ/ D. 1; 1/,αν και αυτό είναι υπερβολικό: οποιοδήποτε ανοικτό διάστηµα. ; ˇ/ µε µήκος µεγαλύτερο από 2 είναι αρκετό. Στο επόµενο παράδειγµα παρουσιάζεται ο τρόπος µε τον οποίο µεταβαίνουµε από µια παραµετρηµένη καµπύλη σε µια καµπύλη στάθµης. Παράδειγμα 1.1.4 Ας θεωρήσουµε την παραµετρηµένη καµπύλη(που ονοµάζεται αστροειδές).t/ D.cos 3 t;sin 3 t/; t 2 R: Εφόσονcos 2 t Csin 2 t D 1γιακάθε t,οισυντεταγµένες x D cos 3 t, y D sin 3 t του σηµείου.t/ ικανοποιούν την x 2=3 C y 2=3 D 1: Αυτήηκαµπύληστάθµηςσυµπίπτειµετηνεικόνατηςαπεικόνισης.Γιατοσχήµατου αστροειδούς βλ. Άσκηση 1.1.5. Σε αυτό το βιβλίο θα µελετήσουµε παραµετρηµένες καµπύλες(και αργότερα επιφάνειες) χρησιµοποιώντας µεθόδους του απειροστικού λογισµού. Οι καµπύλες και οι επιφάνειες αυτές θα περιγράφονται σχεδόν αποκλειστικά µέσω λείων συναρτήσεων: λέµε ότι

4 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο µίασυνάρτηση f W. ; ˇ/! Rείναιλείαεάνηπαράγωγος d n f dt υπάρχει για κάθε n 1 καιγιακάθε t 2. ; ˇ/.Εάνοι f.t/και g.t/είναιλείεςσυναρτήσεις,απόγνωστάαποτελέσµατα του απειροστικού λογισµού έπεται ότι το άθροισµα f.t/ C g.t/, το γινόµενο f.t/g.t/,τοπηλίκο f.t/=g.t/καιησύνθεση f.g.t//είναιλείεςσυναρτήσειςεκείόπου ορίζονται. Για να παραγωγίσουµε µια διανυσµατική συνάρτηση σαν την.t/(όπως στον Ορισµό 1.1.1), την παραγωγίζουµε κατά συνιστώσες: εάν τότε d dt D d1 dt ; d 2 dt ; : : : ; d n ; dt.t/ D. 1.t/; 2.t/; : : : ; n.t//; d 2 dt 2 D d 2 1 dt ; d 2 2 2 dt ; : : : ; d 2 n ; κ.ο.κ. 2 dt 2 Γιαοικονοµίαχώρου,συχνάθασυµβολίζουµετην d=dtµε P.t/,την d 2 =dt 2 µε R.t/, κλπ.λέµεότιηείναιλείαανοιπαράγωγοι d n =dt n υπάρχουνγιακάθε n 1καιγια κάθε t 2. ; ˇ/ ισοδύναµα,ανόλεςοισυνιστώσες 1 ; : : : ; n της είναιλείες. Ορισμός 1.1.5 Στο εξής όλες οι παραµετρηµένες καµπύλες που µελετώνται σε αυτό το βιβλίο θα θεωρούνται λείες. Εάν είναι µια παραµετρηµένη καµπύλη, η πρώτη της παράγωγος P.t/ ονοµάζεται εφαπτόµενο διάνυσµα της στο σηµείο.t/. Για να καταλάβετε γιατί ονοµάζεται έτσι, παρατηρήστε ότι το διάνυσµα.t C ıt/ ıt.t/ είναιπαράλληλοστηχορδήπουσυνδέειτασηµεία.t/και.t C ıt/τηςεικόναςcτης (Σχήµα1.2). γ(t + δt) γ(t) Σχήµα 1.2. Χορδή που συνδέει δύο σηµεία µιας καµπύλης. Καθώςτο ıtτείνειστοµηδέν,τοµήκοςτηςχορδήςτείνειεπίσηςστοµηδέν,αλλάηκατεύθυνση της χορδής θα πρέπει να γίνεται παράλληλη στην κατεύθυνση της εφαπτοµένης της Cστο.t/.Ηκατεύθυνσητηςχορδήςείναιόµωςίδιαµεαυτήντουδιανύσµατος.t C ıt/ ıt.t/ ;

1.1. Τι είναι καµπύλη; 5 ηοποίατείνειστο d=dt καθώςτο ıt τείνειστοµηδέν.βέβαια,µεαυτόντοντρόπο προκύπτει µία καλά ορισµένη κατεύθυνση εφαπτόµενη στην καµπύλη µόνο εάν η d =dt είναι διάφορη του µηδενός. Εάν ισχύει η συνθήκη αυτή, ορίζουµε ως εφαπτόµενη ευθεία της Cστοσηµείο pτης Cτηνευθείαπουδιέρχεταιαπότο pκαιείναιπαράλληληστο διάνυσµα d =dt. Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι διαισθητικά προφανές: Πρόταση 1.1.6 Εάν το εφαπτόµενο διάνυσµα µιας παραµετρηµένης καµπύλης είναι σταθερό, η εικόνα της καµπύλης είναι ευθεία(ή τµήµα ευθείας). Απόδειξη Εάν P.t/ D a για κάθε t, όπου a είναι ένα σταθερό διάνυσµα, ολοκληρώνοντας κατά συνιστώσες παίρνουµε Z Z d.t/ D dt dt D adt D ta C b; όπου bείναιέναάλλοσταθερόδιάνυσµα.εάν a 0,ηπαραπάνωείναιηπαραµετρική εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στο a και διέρχεται από το σηµείο b(σχήµα 1.3). ta γ(t ) b Σχήµα 1.3. 0 a Εάν a D 0,ηεικόνατης είναιέναµόνοσηµείο(συγκεκριµένατο b). Πριν προχωρήσουµε περισσότερο στη µελέτη των καµπυλών, πρέπει να επισηµάνουµε µια εν δυνάµει πηγή σύγχυσης που ανακύπτει κατά την περιγραφή των παραµετρηµένων καµπυλών και αφορά το ερώτηµα τι είναι«σηµείο» µιας τέτοιας καµπύλης. Η δυσκολία φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγµα. Παράδειγμα 1.1.7 Ηκοχλιοειδής 1 είναιηπαραµετρηµένηκαµπύλη.t/ D..1 C 2cos t/cos t;.1 C 2cos t/sin t/; t 2 R (Σχήµα1.4).Παρατηρήστεότιη έχειµίααυτοτοµήστηναρχήτωναξόνων,µετην έννοιαότι.t/ D 0για t D 2=3καιγια t D 4=3.Τοεφαπτόµενοδιάνυσµαείναιτο P.t/ D. sin t 2sin 2t;cos t C 2cos 2t/: 1 Σ.τ.Μ.Limaçonαπότολατινικόlimaxπουσηµαίνεισαλιγκάρι,κοχλίας.

6 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο Ειδικότερα, P.2=3/ D. p 3=2; 3=2/; P.4=3/ D. p 3=2; 3=2/: Εποµένως ποιο είναι το εφαπτόµενο διάνυσµα της κοχλιοειδούς στην αρχή των αξόνων; Παρότι το P.t/ είναι καλά ορισµένο για όλες τις τιµές του t, παίρνει διαφορετικές τιµές για t D 2=3καιγια t D 4=3,πουαντιστοιχούναµφότερεςστοσηµείο 0τηςκαµπύλης. Σχήµα 1.4. Κοχλιοειδής. Από το παράδειγµα αυτό διαπιστώνουµε ότι πρέπει να είµαστε προσεκτικοί όταν αναφερόµαστε σε κάποιο«σηµείο» µιας παραµετρηµένης καµπύλης : µιλώντας αυστηρά, αυτόθαπρέπειναείναιτοίδιοπράγµαµεµιατιµήτηςπαραµέτρου tτηςκαµπύλης,και όχιµετοαντίστοιχογεωµετρικόσηµείο.t/ 2 R n.εποµένως,οορισµός1.1.5πρέπεινα διατυπωθεί σωστότερα ως εξής:«εάν είναι µια παραµετρηµένη καµπύλη, η πρώτη της παράγωγος P.t/ ονοµάζεται εφαπτόµενο διάνυσµα της για την παραµετρική τιµή t». Ωστόσο, φαίνεται πως, αν επιµείνουµε σε αυτήν τη διάκριση, θα αποµακρυνθούµε από τη γεωµετρική θεώρηση των καµπυλών γι αυτό µερικές φορές θα επαναλαµβάνουµε το «σφάλµα» που κάναµε κατά τη διατύπωση του Ορισµού 1.1.5. Αν όµως έχουµε στο νου µας τα παραπάνω σχόλια δεν θα οδηγούµαστε σε σύγχυση. Ασκήσεις 1.1.1 Είναιη.t/ D.t 2 ; t 4 /παραµέτρησητηςπαραβολής y D x 2 ; 1.1.2 Βρείτε παραµετρήσεις των ακόλουθων καµπυλών στάθµης: (i) y 2 x 2 D 1; (ii) x2 4 C y2 9 D 1: 1.1.3 Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις των ακόλουθων παραµετρηµένων καµπυλών: (i).t/ D.cos 2 t;sin 2 t/; (ii).t/ D.e t ; t 2 /: 1.1.4 Υπολογίστε τα εφαπτόµενα διανύσµατα των καµπυλών της Άσκησης 1.1.3.

1.1. Τι είναι καµπύλη; 7 1.1.5 Σχεδιάστε πρόχειρα το αστροειδές του Παραδείγµατος 1.1.4. Υπολογίστε το εφαπτόµενο διάνυσµά του σε κάθε σηµείο. Σε ποια σηµεία µηδενίζεται το εφαπτόµενο διάνυσµα; 1.1.6 Θεωρήστε την έλλειψη x 2 p 2 C y2 q 2 D 1; όπου p > q > 0(Σχήµα1.5).Ηεκκεντρότητατηςέλλειψηςείναι D q 1 p 2 q 2, καιτασηµεία. p; 0/τουάξονα xονοµάζονταιεστίεςτηςέλλειψης,τιςοποίες συµβολίζουµεµε f 1 και f 2.Επιβεβαιώστεότιη.t/ D.pcos t; qsin t/είναι παραµέτρηση της έλλειψης. Αποδείξτε ότι: (i) Το άθροισµα των αποστάσεων τυχόντος σηµείου p της έλλειψης από τις f 1 και f 2 δενεξαρτάταιαπότο p. (ii) Το γινόµενο των αποστάσεων της εφαπτόµενης ευθείας σε τυχόν σηµείο pτηςέλλειψηςαπότις f 1 και f 2 δενεξαρτάταιαπότο p. (iii) Εάν pείναιτυχόνσηµείοτηςέλλειψης,ηευθείαπουσυνδέειτηνεστία f 1 µετο pκαιηευθείαπουσυνδέειτην f 2 µετο pσχηµατίζουνίσεςγωνίες µε την εφαπτόµενη ευθεία της έλλειψης στο σηµείο p. p f 1 f 2 Σχήµα 1.5. 1.1.7 Ένα κυκλοειδές είναι η επίπεδη καµπύλη που διαγράφει ένα σηµείο της περιφέρειας ενός κύκλου καθώς αυτός κυλά χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε µία ευθεία. είξτεότι,εάνηευθείαείναιοάξονας xκαιοκύκλοςέχειακτίνα a > 0,τότε το κυκλοειδές µπορεί να παραµετρηθεί ως εξής:.t/ D a.t sin t; 1 cos t/: 1 1.1.8 Έστωησφαίραακτίνας1καικέντρου. 2 ; 0; 0/,καιοκυκλικόςκύλινδρος ακτίνας 1 τουοποίουοκατακόρυφοςάξοναςείναιοάξονας z. είξτεότιη 2.t/ D cos 2 1 t 2 ;sin tcos t;sin t είναιπαραµέτρησητηςκαµπύληςπουορί-

8 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο Σχήµα 1.6. ζει η τοµή των δύο αυτών επιφανειών. Η καµπύλη αυτή ονοµάζεται καµπύλη τουviviani 2 (Σχήµα1.6). 1.1.9 Ηκάθετηευθείαµιαςκαµπύληςσεένασηµείο pείναιηευθείαπουδιέρχεται από το p και είναι κάθετη στην εφαπτόµενη ευθεία στο p. Βρείτε την εφαπτο- µένηκαιτηνκάθετηευθείατηςκαµπύλης.t/ D.2cos t cos 2t; 2sin t sin 2t/ στο σηµείο που αντιστοιχεί σε t D =4. 1.2 Μήκος τόξου Υπενθυµίζουµεότιεάν v D.v 1 ; : : : ; v n /είναιέναδιάνυσµατου R n,τοµήκοςτουείναι q kvk D v1 2 C C v2 n : Εάν uείναιέναάλλοδιάνυσµατου R n,τότε ku vkείναιτοµήκοςτουευθύγραµµου τµήµατοςπουσυνδέειτασηµεία uκαι vτου R n. Για να βρούµε έναν τύπο για το µήκος µιας παραµετρηµένης καµπύλης παρατηρούµεότι,εάντο ıtείναιπολύµικρό,τοτµήµατηςεικόναςcτης µεταξύτων.t/και.t C ıt/είναισχεδόνευθύγραµµο,οπότετοµήκοςτουείναικατάπροσέγγισηίσοµε k.t C ıt/ Πάλιεπειδήτο ıtείναιµικρό,το..t C ıt/ τοµήκοςτουείναικατάπροσέγγισηίσοµε.t/k:.t// =ıtείναιπερίπουίσοµε P.t/,οπότε k P.t/kıt: (1.4) Εάν θέλουµε να υπολογίσουµε το µήκος ενός(όχι κατ ανάγκη µικρού) τµήµατος της C, µπορούµε να το διαιρέσουµε σε τµήµατα, καθένα από τα οποία να αντιστοιχεί σε µια µικρή αύξηση ıt του t, να υπολογίσουµε το µήκος κάθε τµήµατος χρησιµοποιώνταςτην(1.4),καινααθροίσουµετααποτελέσµατα.ανθεωρήσουµεότιτο ıtτείνειστο µηδέν θα πάρουµε το ακριβές µήκος. 2 Σ.τ.Μ. Ο Vincenzo Viviani (1622 1703) ήταν Ιταλός µαθηµατικός και φυσικός. Μαθήτευσε στους Torricelli και Γαλιλαίο. Εκτός της καµπύλης της Άσκησης 1.9 που φέρει το όνοµά του, ο Viviani είναι γνωστός και για το εξής θεώρηµα της Ευκλείδειας γεωµετρίας: Σε ισόπλευρο τρίγωνο, το άθροισµα των αποστάσεων σηµείου του εσωτερικού του τριγώνου από τις πλευρές ισούται µε το ύψος του τριγώνου.

1.2. Μήκος τόξου 9 Σχήµα 1.7. ιαµέριση τόξου. Η σκέψη αυτή µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό: Ορισμός 1.2.1 Τοµήκοςτόξουµιαςκαµπύλης µεσηµείοεκκίνησηςτο.t 0 /είναιησυνάρτηση s.t/ που δίνεται από την s.t/ D Z t t 0 k P.u/kdu: Συνεπώς, s.t 0 / D 0καιηs.t/είναιθετικήήαρνητικήανάλογαµετονεάντο tείναι µεγαλύτεροήµικρότεροτου t 0.Εάνεπιλέξουµεέναδιαφορετικόσηµείοεκκίνησης.Qt 0 /, τονέοµήκοςτόξου Qsθαδιαφέρειαπότο sκατάτησταθερά R Qt 0 t 0 k P.u/kduδιότι Z t t 0 k P.u/kdu D Z t Qt 0 k P.u/kdu C Z Qt0 t 0 k P.u/kdu: Παράδειγμα 1.2.2 Για τη λογαριθµική σπείρα.t/ D.e kt cos t; e kt sin t/; όπου k είναι µια µη µηδενική σταθερά, έχουµε P.t/ D.e kt.kcos t sin t/; e kt.ksin t Ccos t//; ) k P.t/k 2 D e 2kt.kcos t sin t/ 2 C e 2kt.ksin t Ccos t/ 2 D.k 2 C 1/e 2kt : Συνεπώς,τοµήκοςτόξουτης µεσηµείοεκκίνησηςτο.0/ D.1; 0/(γιαπαράδειγµα) είναι Z t p p s.t/ D k2 C 1e ku k2 C 1 du D.e kt 1/: k 0 Το µήκος τόξου είναι διαφορίσιµη συνάρτηση. Πράγµατι, εάν s είναι το µήκος τόξου

10 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο Σχήµα 1.8. Λογαριθµική σπείρα. µιαςκαµπύλης µεσηµείοεκκίνησηςτο.t 0 /,έχουµε ds dt D d Z t k P.u/kdu D k P.t/k: (1.5) dt t 0 Αν θεωρήσουµε ότι.t/ είναι η θέση ενός κινούµενου σηµείου τη χρονική στιγµή t, η ds=dt είναι η ταχύτητα του σηµείου(ο ρυθµός µεταβολής της απόστασης κατά µήκος της καµπύλης). Αυτό µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό. Ορισμός 1.2.3 Εάν W. ; ˇ/! R n είναιµιαπαραµετρηµένηκαµπύλη,ηταχύτητάτηςστοσηµείο.t/είναι k P.t/k.Λέµεότιη είναικαµπύληµοναδιαίαςταχύτηταςεάντο P.t/είναι µοναδιαίο διάνυσµα για κάθε t 2. ; ˇ/. Πολλοί από τους τύπους και τις ιδιότητες των καµπυλών που θα δούµε στη συνέχεια παίρνουν πολύ απλούστερη µορφή όταν η καµπύλη είναι µοναδιαίας ταχύτητας. Ο λόγος για αυτήν την απλούστευση δίνεται στην επόµενη πρόταση. Αν και οµολογουµένως εκ πρώτης όψεως δείχνει αδιάφορη, θα φανεί πολύ χρήσιµη στη συνέχεια. Υπενθυµίζουµεότιτοβαθµωτόγινόµενοτωνδιανυσµάτων a D.a 1 ; : : : ; a n /και b D.b 1 ; : : : ; b n /του R n είναι nx a b D a i b i : id1 Εάν τα a και b είναι λείες συναρτήσεις µιας παραµέτρου t, θα χρησιµοποιούµε τον«τύπο του γινοµένου» d da.a b/ D dt dt b C a db dt : Ο τύπος αυτός προκύπτει εύκολα από τον ορισµό του βαθµωτού γινοµένου και τον τύπο

1.2. Μήκος τόξου 11 του συνήθους γινοµένου για αριθµητικές συναρτήσεις d dt.a ib i / D da i dt b i C a i db i dt : Πρόταση 1.2.4 Εάν n.t/ είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα που είναι λεία συνάρτηση της παραµέτρου t, τότε Pn.t/ n.t/ D 0 γιακάθε t,δηλαδήτο Pn.t/είναιµηδενικόήκάθετοστο n.t/γιακάθε t. Ειδικότερα, εάν η είναι καµπύλη µοναδιαίας ταχύτητας, τότε το R είναι µηδενικό ήκάθετοστο P. Απόδειξη Χρησιµοποιώντας τον τύπο του γινοµένου για να παραγωγίσουµε τα δύο µέλη τηςεξίσωσης n n D 1ωςπρος t,παίρνουµε Pn n C n Pn D 0; δηλαδή 2 Pn n D 0.Τοτελευταίοσκέλοςπροκύπτειαµέσωςανπάρουµε n D P. Ασκήσεις 1.2.1 Υπολογίστε το µήκος τόξου της αλυσοειδούς.t/ D.t; cosh t/ µε σηµείο εκκίνησηςτο.0; 1/.Ηαλυσοειδήςέχειτοσχήµαµιαςβαριάςαλυσίδαςπουκρέµεται απόταάκρατης(βλ.άσκηση2.2.4). 3 1.2.2 είξτε ότι οι ακόλουθες καµπύλες είναι µοναδιαίας ταχύτητας: (i).t/ D 1 3.1 C t/3=2 ; 1 3.1 t/3=2 t ; p 2 ; (ii).t/ D 4 5 cos t; 1 sin t; 3 5 cos t : 1.2.3 Μία επίπεδη καµπύλη δίνεται από την./ D.rcos ; rsin /; όπου rείναιµιαλείασυνάρτησητου (έτσιώστεοι.r; /ναείναιοιπολικές συντεταγµένεςτης./).υπόποιεςσυνθήκεςείναικανονικήη; 4 Βρείτεόλες τις συναρτήσεις r./ για τις οποίες η είναι µοναδιαίας ταχύτητας. είξτε ότι, εάνηείναιµοναδιαίαςταχύτητας,ηεικόνατης είναικύκλος.ποιαείναιη ακτίνα του; 3 Σ.τ.Μ.Υπάρχειµίαενδιαφέρουσαιστορίαπίσωαπότηναλυσοειδήκαµπύλη.ΟΓαλιλαίοςυποστήριζεότι, για να πάρουµε το σχήµα µιας οποιασδήποτε παραβολής, αρκεί να κρεµάσουµε µία αλυσίδα από τα άκρα της, σε διαφορετικό ύψος κάθε φορά. Περίπου έναν αιώνα µετά τον Γαλιλαίο, όµως, ο Jacob Bernoulli απέδειξε ότιµίααλυσίδακρεµασµένηαπόταάκρατηςείναιτογράφηµατηςεξίσωσης y D acosh x, a Dσταθερά. Παρατηρήστεότιcosh x 1 C x2 2 όπωςπροκύπτειαπότοανάπτυγµαtaylor2ουβαθµούτηςcosh x.ίσωςο Γαλιλαίος τελικά δεν είχε πολύ άδικο που µπερδεύτηκε! 4 Σ.τ.Μ.Βλ.Ορισµό1.3.3.

12 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο 1.2.4 Σε αυτήν την άσκηση καλείστε να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι η συντοµότερη καµπύληπουσυνδέειδύοδοθέντασηµεία.έστω pκαι qταδύοσηµεία,έστω µια καµπύλη που διέρχεται από αµφότερα τα σηµεία, και ας υποθέσουµε ότι.a/ D p,.b/ D b,όπου a < b. είξτεότι,εάν uείναιτυχόνµοναδιαίο διάνυσµα, τότε P u k Pk και συµπεράνετε ότι.q p/ u Z b a k Pkdt: Παίρνοντας u D.q p/=kq pk,δείξτεότιτοµήκοςτουτµήµατοςτης µεταξύτων p και q έχειµήκοςτουλάχιστονίσοµετηνευθειακήαπόσταση kq pk. 1.3 Αναπαραµέτρηση Στα Παραδείγµατα 1.1.2 και 1.1.3 είδαµε ότι µία δοθείσα καµπύλη στάθµης µπορεί να έχει πολλές παραµετρήσεις. Γι αυτό είναι σηµαντικό να κατανοήσουµε τη µεταξύ τους σχέση. Ορισμός 1.3.1 Μιαπαραµετρηµένηκαµπύλη Q W. Q ; Qˇ/! R n ονοµάζεταιαναπαραµέτρησητηςπαρα- µετρηµένηςκαµπύλης W. ; ˇ/! R n εάνυπάρχειµιαλεία1 1καιεπίαπεικόνιση W. Q ; Qˇ/!. ; ˇ/(ηαπεικόνισηαναπαραµέτρησης)τέτοιαώστεηαντίστροφηαπεικόνιση 1 W. ; ˇ/!. Q ; Qˇ/ναείναιεπίσηςλείακαι Q.Qt/ D..Qt// γιακάθε Qt 2. Q ; Qˇ/: (1.6) Παρατηρήστε ότι, επειδή η έχει λεία αντίστροφη, η είναι αναπαραµέτρηση της Q: Q. 1.t// D.. 1.t/// D.t/ γιακάθε t 2. ; ˇ/: ύο καµπύλες που είναι αναπαραµετρήσεις η µία της άλλης έχουν την ίδια εικόνα, εποµένως πρέπει να έχουν τις ίδιες γεωµετρικές ιδιότητες. Παράδειγμα 1.3.2 ΣτοΠαράδειγµα1.1.3είδαµεότιµιαπαραµέτρησητουκύκλου x 2 C y 2 D 1είναιη.t/ D.cos t; sin t/. Μια άλλη παραµέτρηση είναι η Q.t/ D.sin t; cos t/ (εφόσονsin 2 t Ccos 2 t D 1).Γιανααποδείξουµεότιη Qείναιαναπαραµέτρησητης, πρέπει να βρούµε µια απεικόνιση αναπαραµέτρησης τέτοια ώστε Μια λύση είναι η.t/ D =2 t..cos.t/;sin.t// D.sin t;cos t/:

1.3. Αναπαραµέτρηση 13 Όπως επισηµάναµε στην Ενότητα 1.2, η ανάλυση µιας καµπύλης απλουστεύεται όταν είναι γνωστό ότι είναι µοναδιαίας ταχύτητας. Είναι συνεπώς σηµαντικό να γνωρίζουµε ποιες ακριβώς καµπύλες έχουν αναπαραµετρήσεις µοναδιαίας ταχύτητας. Ορισμός 1.3.3 Ένα σηµείο.t/ µιας παραµετρηµένης καµπύλης ονοµάζεται κανονικό σηµείο εάν P.t/ 0 διαφορετικά το.t/ ονοµάζεται ιδιάζον σηµείο της. Μία καµπύλη είναι κανονική 5 εάνόλατασηµείατηςείναικανονικά. Πριν αποδείξουµε τη σχέση µεταξύ κανονικότητας και αναπαραµέτρησης µοναδιαίας ταχύτητας, θα παρουσιάσουµε δύο απλές ιδιότητες των κανονικών καµπυλών. Παρότι τα αποτελέσµατα αυτά δεν είναι ιδιαίτερα ελκυστικά, θα αποδειχθούν πολύ σηµαντικά για τη συνέχεια. Πρόταση 1.3.4 Κάθε αναπαραµέτρηση µιας κανονικής καµπύλης είναι κανονική. Απόδειξη Αςυποθέσουµεότιοι και QσχετίζονταιόπωςστονΟρισµό1.3.1,καιέστω t D.Qt/και D 1 έτσιώστε Qt D.t/.Παραγωγίζονταςκαιταδύοµέλητηςεξίσωσης..t// D t ως προς t και χρησιµοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας παίρνουµε d d d Qt dt D 1: Αυτό σηµαίνει ότι η d=d Qt δεν είναι ποτέ µηδέν. Εφόσον Q. Qt/ D.. Qt//, εφαρµόζοντας ξανά τον κανόνα της αλυσίδας παίρνουµε d Q d Qt D d dt d d Qt ; απ όπου προκύπτει ότι η d Q=d Qt δεν είναι ποτέ µηδέν ανη d=dt δεν είναι ποτέ µηδέν. Πρόταση 1.3.5 Εάνη.t/είναικανονικήκαµπύλη,τοµήκοςτόξουτης s(βλ.ορισµό1.2.1),µεσηµείο εκκίνησης ένα τυχόν σηµείο της, είναι λεία συνάρτηση του t. Απόδειξη Έχουµεήδηαναφέρειότι(είτεηείναικανονικήείτεόχι)ηsείναιδιαφορίσιµησυνάρτησητου tκαι ds dt D k P.t/k : Για να απλουστεύσουµε τον συµβολισµό, στο εξής θα υποθέσουµε ότι η είναι επίπεδη καµπύλη, έστω.t/ D.u.t/; v.t//; 5 Σ.τ.Μ.Οιόροικανονικόσηµείοκαικανονικήκαµπύληαντιστοιχούνσταregularpointκαιregularcurve αντίστοιχα. Επίσης, ο όρος ιδιάζον σηµείο αντιστοιχεί στο singular point.

14 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο όπου uκαι vείναιλείεςσυναρτήσειςτου t,ώστεναέχουµε ds dt D p Pu 2 C Pv 2 : Τοκρίσιµοσηµείοείναιότιησυνάρτηση f.x/ D p x είναιλείασυνάρτησηστο ανοικτό διάστηµα.0; 1/. Πράγµατι, αποδεικνύεται εύκολα µε επαγωγή στο n 1 ότι d n f 1 1 3 5 : : :.2n 1/ D. 1/n x.2nc1/=2 : dxn 2 n Αφούοι uκαι vείναιλείεςσυναρτήσειςτου t,τοίδιοισχύειγιατις Puκαι Pv,άρακαιγια την Pu 2 C Pv 2.Εφόσονηείναικανονική,έχουµε Pu 2 C Pv 2 > 0γιακάθε t,άραησύνθετη συνάρτηση ds dt D f. Pu2 C Pv 2 / είναιλείασυνάρτησητου t,εποµένωςη sείναικαιηίδιαλεία. Το βασικό αποτέλεσµα που θέλουµε είναι η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 1.3.6 Μια παραµετρηµένη καµπύλη έχει αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας αν και µόνο αν είναι κανονική. Απόδειξη Αςυποθέσουµεαρχικάότιηπαραµετρηµένηκαµπύλη W. ; ˇ/! R n έχει µια αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας Q µε απεικόνιση αναπαραµέτρησης. Θέτοντας t D.Qt/έχουµε Q.Qt/ D.t/,άρα ) d Q D d dt d Qt dt d Qt ; d Q d Qt D d dt dt ˇd Qt ˇ : Αφούηείναιµοναδιαίαςταχύτητας,έχουµε kd Q=d Qtk D 1,καισυνεπώςηd=dtδεν µπορεί να είναι µηδέν. Αντιστρόφως, ας υποθέσουµε ότι το εφαπτόµενο διάνυσµα d =dt δεν είναι ποτέ µηδέν.απότηνεξ.1.5έπεταιότι ds=dt > 0γιακάθε t,όπου sείναιτοµήκοςτόξουτης µε σηµείο εκκίνησης ένα τυχόν σηµείο της καµπύλης, ενώ σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5 η s είναι λεία συνάρτηση του t. Από το θεώρηµα της αντίστροφης απεικόνισης(του απειροστικού λογισµού πολλών µεταβλητών) προκύπτει ότι η s W. ; ˇ/! R είναι 1 1, ότιηεικόνατηςείναιέναανοικτόδιάστηµα. Q ; Qˇ/,καιότιηαντίστροφηαπεικόνιση s 1 W. Q ; Qˇ/!. ; ˇ/είναιλεία.(Οιαναγνώστεςπουδενείναιεξοικειωµένοιµετοθεώρηµα της αντίστροφης απεικόνισης θα πρέπει να δεχθούν τα παραπάνω προς το παρόν το θεώρηµα θα παρουσιαστεί µε µη αυστηρό τρόπο στην Ενότητα 1.5 και µε αυστηρό τρόπο στηνενότητα5.6.)παίρνουµε D s 1,καιέστω Qηαντίστοιχηαναπαραµέτρησητης

1.3. Αναπαραµέτρηση 15 ώστεναέχουµε Q.s/ D.t/(βλ.Εξ1.6).Έπεταιότι ) d Q ds D d ds dt dt ; d Q ds ds D d dt dt D ds dt ; ) d Q ds D 1: (λόγωτηςεξ.1.5), Από την απόδειξη της Πρότασης 1.3.6 προκύπτει ότι το µήκος τόξου είναι ουσιαστικά η µόνη αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας µιας κανονικής καµπύλης. Πόρισμα 1.3.7 Έστω µια κανονική καµπύλη και Q µια αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας της : Q.u.t// D.t/ γιακάθε t; όπου uείναιµιαλείασυνάρτησητου t.εάν sείναιτοµήκοςτόξουτης (µεσηµείο εκκίνησης ένα τυχόν σηµείο της), τότε u D s C c; (1.7) όπου cείναιµιασταθερά.αντιστρόφως,εάνηuδίνεταιαπότηνεξ.1.7γιακάποιατιµή της c και µε οποιοδήποτε πρόσηµο, τότε η Q είναι αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτηταςτης. Απόδειξη Από τους υπολογισµούς του πρώτου σκέλους της απόδειξης της Πρότασης 1.3.6 προκύπτει ότι η u δίνει µια αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας της αν και µόνο αν du dt D d dt D ds dt (λόγω της Εξ. 1.5); τοοποίοείναιισοδύναµοµε u D s C cγιακάποιασταθερά c. Παρότι κάθε κανονική καµπύλη έχει µια αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας, αυτή µπορεί να είναι εξαιρετικά πολύπλοκο έως και αδύνατο να γραφεί«επακριβώς», όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγµατα. Παράδειγμα 1.3.8 Γιατηλογαριθµικήσπείρα.t/ D.e kt cos t; e kt sin t/;στοπαράδειγµα1.2.2βρήκαµε ότι k Pk 2 D.k 2 C1/e 2kt :Αυτόδενείναιποτέµηδέν,άραηείναικανονική.Τοµήκοςτόξουτης µεσηµείοεκκίνησηςτοσηµείο.1; 0/βρέθηκεότιείναι s D p k 2 C1.e kt 1/=k. 6 Άρα t D 1 k ln p ks,οπότεµιααναπαραµέτρησηµοναδιαίαςταχύτηταςτης C 1 δί- k 2 C1 6 Σ.τ.Μ.ΑπότοΠαράδειγµα1.2.2.

16 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο νεται από τον µάλλον δύσχρηστο τύπο ks 1 Q.s/ D p cos k2 C 1 C 1 k ln ks p k2 C 1 C 1 ; ks 1 p sin k2 C 1 C 1 k ln ks p k2 C 1 C 1 : Παράδειγμα 1.3.9 Ηστρεβλωµένηκυβική 7 είναιηκαµπύλητουχώρου.t/ D.t; t 2 ; t 3 /; t 2 R: Σχήµα 1.9. Η στρεβλωµένη κυβική. Έχουµε P.t/ D.1; 2t; 3t 2 /,άρα k P.t/k D p 1 C 4t 2 C 9t 4 : Αυτόδενείναιποτέµηδέν,άραηείναικανονική.Τοµήκοςτόξουµεσηµείοεκκίνησης το.0/ D 0είναι Z t p s D 1 C 4u2 C 9u 4 du: 0 Το ολοκλήρωµα αυτό δεν µπορεί να υπολογιστεί µέσω γνωστών συναρτήσεων όπως της λογαριθµικής, της εκθετικής και των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων.(είναι παράδειγµα ελλειπτικού ολοκληρώµατος.) Στο τελευταίο µας παράδειγµα θα δούµε ότι µια καµπύλη στάθµης µπορεί να έχει τόσο κανονικές όσο και µη κανονικές παραµετρήσεις. 7 Σ.τ.Μ.Οσυγγραφέαςχρησιµοποιείτονόροtwistedcubic.

1.3. Αναπαραµέτρηση 17 Παράδειγμα 1.3.10 Γιατηνπαραµέτρηση.t/ D.t; t 2 /τηςπαραβολής y D x 2,το P.t/ D.1; 2t/προφανώς δενείναιποτέµηδενικό,άραηείναικανονική.η Q.t/ D.t 3 ; t 6 /είναιόµωςµιαάλλη παραµέτρησητηςίδιαςπαραβολής.αυτήτηφοράέχουµε PQ D.3t 2 ; 6t 3 /,τοοποίοείναι µηδενικόόταν t D 0,συνεπώςη Qδενείναικανονική. Ασκήσεις 1.3.1 Ποιες από τις παρακάτω καµπύλες είναι κανονικές; (i).t/ D.cos 2 t;sin 2 t/όπου t 2 R. (ii) Ηίδιακαµπύληόπωςστο(i)αλλάµε 0 < t < =2. (iii).t/ D.t;cosh t/όπου t 2 R. Βρείτε αναπαραµετρήσεις µοναδιαίας ταχύτητας για τις κανονικές καµπύλες. 1.3.2 ΗκισσοειδήςτουΔιοκλέους 8 (Σχήµα1.10)είναιηκαµπύληπουσεπολικέςσυντεταγµένες.r; / έχει εξίσωση r Dsin tan ; =2 < < =2: Βρείτε µια παραµέτρηση της κισσοειδούς χρησιµοποιώντας το σαν παράµετροκαιδείξτεότιη.t/ D t 2 t 3 ; p ; 1 < t < 1; 1 t 2 είναι µια αναπαραµέτρησή της. Σχήµα 1.10. Η κισσοειδής του ιοκλέους. 8 Σ.τ.Μ. Ο ιοκλής (240 180 π.χ.) ήταν Έλληνας γεωµέτρης για τον οποίο ελάχιστα είναι γνωστά. Σπαράγµατα του έργου του διασώθηκαν από τον Ευτόκιο, στα σχόλιά του στο Περί σφαίρας και κυλίνδρου του Αρχιµήδη.

18 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο 1.3.3 Το απλούστερο είδος ιδιάζοντος σηµείου µιας καµπύλης είναι η συνήθης ακίδα: ένασηµείο pτης,πουαντιστοιχείστηνπαραµετρικήτιµήέστωτην t 0,είναι συνήθηςακίδααν P.t 0 / D 0καιταδιανύσµατα R.t 0 /και «.t 0 /είναιγραµµικά ανεξάρτητα(ειδικότερα, τα διανύσµατα αυτά πρέπει να είναι αµφότερα µη µηδενικά). είξτε ότι: (i) Ηκαµπύλη.t/ D.t m ; t n /,όπου mκαι nείναιθετικοίακέραιοι,έχειµια συνήθηακίδαστηναρχήτωναξόνωνανκαιµόνοαν.m; n/ D.2; 3/ή.3; 2/. (ii) ΗκισσοειδήςτηςΆσκησης1.3.2έχειµίασυνήθηακίδαστηναρχήτων αξόνων. (iii) Εάνηέχειµίασυνήθηακίδαστοσηµείο p,τοίδιοισχύειγιαοποιαδήποτε αναπαραµέτρησή της. 1.3.4 είξτε ότι: (i) Εάν Qείναιµιααναπαραµέτρησηµιαςκαµπύλης,τότεηείναιαναπαραµέτρηση της Q. (ii) Εάν Q είναιµιααναπαραµέτρησητης και O µιααναπαραµέτρησητης Q,τότεη Oείναιαναπαραµέτρησητης. 1.4 Κλειστές καµπύλες Είναι προφανές ότι κάποιες καµπύλες«κλείνουν», όπως ένας κύκλος ή µία έλλειψη, ενώ κάποιεςάλλεςόχι,όπωςµίαευθείαήµίαπαραβολή.εάνένασηµείοκινείται,έστωµε σταθερή ταχύτητα, πάνω σε µία καµπύλη που κλείνει, θα επιστρέψει στο σηµείο εκκίνησής του ύστερα από κάποιο χρονικό διάστηµα και κατόπιν θα διανύσει την ίδια καµπύλη ξανάαπότηναρχή.απότηνάλλη,εάνένασηµείοκινείταιµεσταθερήταχύτηταπάνωσε µία ευθεία ή σε µία παραβολή, δεν επιστρέφει ποτέ στο σηµείο εκκίνησής του. Υπάρχουν όµως µερικές ενδιάµεσες περιπτώσεις όπως η καµπύλη(σχήµα 1.11).t/ D.t 2 1; t 3 1/: Ένα σηµείο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα πάνω σε αυτήν την καµπύλη µπορεί να επιστρέψει στο σηµείο εκκίνησής του εάν το σηµείο εκκίνησης είναι η αρχή των αξόνων, ενώ σε κάθε άλλη περίπτωση δεν θα επιστρέψει. Συνεπώς, πρέπει να ορίσουµε µε προσοχή τι εννοούµε όταν λέµε ότι µια καµπύλη«κλείνει». Ορισμός 1.4.1 Έστω W R! R n µιαλείακαµπύληκαιέστω T 2 R.Λέµεότιηείναι T-περιοδική αν.t C T / D.t/ γιακάθε t 2 R: Εάνηδενείναισταθερήκαιείναι T-περιοδικήγιακάποιο T 0,τότελέµεότιη είναι κλειστή.

1.4. Κλειστές καµπύλες 19 Σχήµα 1.11. Μη κλειστή καµπύλη µε µία αυτοτοµή. Συνεπώς, εάν η είναι T-περιοδική, ένα σηµείο που κινείται πάνω στην επιστρέφει στοσηµείοεκκίνησήςτουύστερααπόχρονικόδιάστηµα T,οποιοδήποτεκαιανείναιτο σηµείο εκκίνησης. Ασφαλώς, κάθε καµπύλη είναι 0-περιοδική. Παρατήρηση Εάνηείναι T-περιοδική,είναιπροφανέςότιηορίζεταιπλήρωςαπότονπεριορισµό της σε οποιοδήποτε διάστηµα µήκους jt j. Αντιστρόφως, οι κλειστές καµπύλες συχνά µας δίνονταισανκαµπύλεςπουορίζονταισεένακλειστόδιάστηµα,έστω W Œa; b! R n. Εάνηκαιόλεςοιπαράγωγοίτηςπαίρνουντηνίδιατιµήστα aκαι b, 9 υπάρχειµοναδικός τρόποςναεπεκτείνουµετην σεµία.b a/-περιοδική(λεία)καµπύλη W R! R n. Κατά συνέπεια, όσα θα αναφερθούν παρακάτω αφορούν και καµπύλες που ορίζονται σε κλειστά διαστήµατα. Είναι προφανές ότι εάν µια καµπύλη είναι T-περιοδική τότε είναι. T /-περιοδική, αφού.t T / D..t T / C T D.t/: Έπεταιότιεάνη είναι T-περιοδικήγιακάποιο T 0,τότεείναι T-περιοδικήγια κάποιο T > 0. Ορισμός 1.4.2 Η περίοδος µίας κλειστής καµπύλης είναι ο ελάχιστος θετικός αριθµός T για τον οποίο η είναι T-περιοδική. Η ύπαρξη του αριθµού T δεν είναι και τόσο προφανής(υπενθυµίζουµε ότι δεν έχουν ελάχιστο στοιχείο όλα τα σύνολα θετικών πραγµατικών αριθµών). Μία απόδειξη της ύπαρξης του T περιλαµβάνεται στις ασκήσεις. 9 Οιπαράγωγοισταάκρα aκαι bπρέπειναορίζονταιµετηνπλευρικήέννοια.

20 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο Παράδειγμα 1.4.3 Ηέλλειψη.t/ D.pcos t; qsin t/(άσκηση1.1.6)είναικλειστήκαµπύληµεπερίοδο 2, διότι και οι δύο συνιστώσες της είναι 2-περιοδικές συναρτήσεις(όπως προκύπτει απόγνωστέςιδιότητεςτωντριγωνοµετρικώνσυναρτήσεων). 10 Εάν η είναι µια κανονική κλειστή καµπύλη, µία αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας της είναι πάντοτε κλειστή. Για να το αποδείξουµε παρατηρούµε ότι αφού τα σηµεία που αποτελούν την εικόνα µιας κλειστής καµπύλης περιόδου T διαγράφονται όλα καθώς η παράµετρος t της παίρνει τιµές µέσα σε ένα οποιοδήποτε διάστηµα µήκους T,γιαπαράδειγµα 0 t T,είναιεύλογοναορίσουµεωςµήκοςτης το `./ D Z T 0 k P.t/kdt: Σύµφωνα µε την απόδειξη της Πρότασης 1.3.6, αν χρησιµοποιήσουµε το µήκος τόξου s D Z t 0 k P.u/kdu της ως παράµετρο παίρνουµε µία αναπαραµέτρηση µοναδιαίας ταχύτητας Q της (ώστε να έχουµε Q.s/ D.t//. Παρατηρούµε ότι s.t C T / D Z tct 0 k P.u/kdu D Z T 0 Z tct k P.u/kdu C k P.u/kdu D `./ C s.t/; T διότι, θέτοντας v D u T και χρησιµοποιώντας τη σχέση.u T / D.u/(και άρα µε παραγώγιση P.u T / D P.u/), παίρνουµε Συνεπώς, Z tct T k P.u/kdu D Z t 0 k P.v/kdv D s.t/: Q.s.t// D Q.s.t 0 // ().t/ D.t 0 / () t 0 t D kt () s.t 0 / s.t/ D k`./; όπου kείναιέναςακέραιος.μεαυτόντοντρόποαποδεικνύεταιότιη Q είναικλειστή καµπύλη µε περίοδο `./. Ας σηµειώσουµε ότι, αφού η Q είναι µοναδιαίας ταχύτητας, το `./είναιεπίσηςίσοµετοµήκοςτης Q.Ενσυντοµία,µπορούµεπάντοτεναυποθέτουµε ότιµίακλειστήκαµπύληείναιµοναδιαίαςταχύτηταςκαιότιηπερίοδόςτηςείναιίσηµετο µήκος της. Επανερχόµενοι στην καµπύλη του Σχήµατος 1.11, διαπιστώνουµε ότι δεν είναι κλειστή παρ όλααυτά,εάνένασηµείοξεκινήσειαπότηναρχήτωναξόνωνκαικινηθείµε σταθερήταχύτηταπάνωστονβρόχοτουχωρίου x < 0,θαεπιστρέψειστοσηµείοεκκίνησής του. Προκύπτει λοιπόν ο παρακάτω ορισµός. Ορισμός 1.4.4 Λέµεότιµίακαµπύλη έχειαυτοτοµήσεένασηµείοτης pεάνυπάρχουνπαραµετρικές τιµές a bτέτοιεςώστε 10 Σ.τ.Μ.Παραβάλετετονορισµότης T-περιοδικήςκαµπύληςµεαυτόντηςπεριοδικήςσυνάρτησης.

1.4. Κλειστές καµπύλες 21 (i).a/ D.b/ D p,και (ii) εάνη είναικλειστήµεπερίοδο T,τότετο a του T. bδενείναιακέραιοπολλαπλάσιο Παράδειγμα 1.4.5 Η κοχλιοειδής του Παραδείγµατος 1.1.7 είναι κλειστή καµπύλη µε περίοδο 2. Από την εικόνα είναι φανερό ότι έχει ακριβώς µία αυτοτοµή, στην αρχή των αξόνων.(αυτό µπορεί επίσης να επιβεβαιωθεί αναλυτικά πρβλ. Άσκηση 1.4.1 και τη λύση της.) Ασκήσεις 1.4.1 είξτεότιηέκτητουcayley.t/ D.cos 3 tcos 3t;cos 3 tsin 3t/; t 2 R; είναι κλειστή καµπύλη µε ακριβώς µία αυτοτοµή. Ποια είναι η περίοδός της; (Το όνοµα αυτής της καµπύλης οφείλεται στο γεγονός ότι η καρτεσιανή της εξίσωση είναι πολυώνυµο 6ου βαθµού). 1.4.2 είξτε µε ένα παράδειγµα ότι η αναπαραµέτρηση µιας κλειστής καµπύλης δεν είναι κατ ανάγκη κλειστή. 1.4.3 είξτε ότι αν η καµπύλη είναι T 1 -περιοδική και T 2 -περιοδική, τότε είναι.k 1 T 1 C k 2 T 2 /-περιοδικήγιαοποιουσδήποτεακεραίους k 1 και k 2. 1.4.4 Έστω W R! R n µιακαµπύληκαιυποθέστεότι T 0 είναιοελάχιστοςθετικόςαριθµόςγιατονοποίοηείναι T 0 -περιοδική.αποδείξτεότιηείναι T- περιοδικήανκαιµόνοαν T D kt 0 γιακάποιονακέραιο k. 1.4.5 Υποθέστεότιµιαµησταθερήσυνάρτηση W R! Rείναι T-περιοδικήγια κάποιο T 0.Σεαυτήντηνάσκησηκαλείστενααποδείξετεότιυπάρχειένας ελάχιστοςθετικόςαριθµός T 0 γιατονοποίοη είναι T 0 -περιοδική.γιατην απόδειξη είναι απαραίτητα κάποια στοιχεία από την πραγµατική ανάλυση. Η απόδειξηθαγίνειµεαπαγωγήσεάτοπο,γι αυτόυποθέστεότιδενυπάρχειτέτοιοςαριθµός T 0. (i) είξτε ότι υπάρχειακολουθία T 1 ; T 2 ; T 3 ; : : : τέτοια ώστε T 1 > T 2 > T 3 > > 0καιότιηείναι T r -περιοδικήγιακάθε r 1. (ii) είξτεότιηακολουθία ft r gτουερωτήµατος(i)µπορείναεπιλεγείέτσι ώστεναέχουµε T r! 0καθώς r! 1. (iii) είξτεότιαπότηνύπαρξηµιαςακολουθίας ft r gόπωςστο(i)τέτοιαςώστε T r! 0καθώς r! 1έπεταιότιηείναισταθερή. 1.4.6 Έστω W R! R n µίαµησταθερήκαµπύληπουείναι T-περιοδικήγιακάποιο T > 0. είξτεότιηείναικλειστή.

22 1. Καµπύλες στο επίπεδο και στον χώρο 1.5 Σχέση καµπυλών στάθµης και παραµετρηµένων καµπυλών Σε αυτήν την ενότητα θα προσπαθήσουµε να αποσαφηνίσουµε τη σχέση µεταξύ των δύο ειδών καµπύλης που εξετάσαµε στις προηγούµενες ενότητες. Μετηγενικότηταµετηνοποίατιςορίσαµε,οικαµπύλεςστάθµηςδενείναιπάντα το είδος των αντικειµένων που θα θέλαµε να ονοµάζουµε καµπύλες. Για παράδειγµα, η «καµπύλη»στάθµης x 2 C y 2 D 0είναιέναµόνοσηµείο.Οισυνθήκεςπουπρέπεινα ικανοποιείµιασυνάρτηση f.x; y/έτσιώστεηf.x; y/ D c,όπου cείναιµιασταθερά, να είναι µια αποδεκτή καµπύλη στάθµης του επιπέδου περιλαµβάνονται στο ακόλουθο θεώρηµα, στο οποίο αποδεικνύεται ότι οι συγκεκριµένες καµπύλες στάθµης µπορούν να παραµετρηθούν. Ας σηµειωθεί ότι µπορούµε κάλλιστα να υποθέσουµε ότι c D 0(αφού µπορούµε να αντικαταστήσουµε την f µε την f c). Θεώρημα 1.5.1 Έστω f.x; y/µιαλείασυνάρτησηδύοµεταβλητών(πουσηµαίνειότιόλεςοιµερικές παράγωγοι της f, κάθε τάξης, υπάρχουν και είναι συνεχείς συναρτήσεις). Υποθέτουµε ότι, σε κάθε σηµείο της καµπύλης στάθµης C D f.x; y/ 2 R 2 j f.x; y/ D 0g; οι @f =@xκαι @f =@yδενείναιταυτόχροναµηδέν.εάν pείναιένασηµείοτηςc,µεσυντεταγµένεςέστω.x 0 ; y 0 /,τότευπάρχειµιακανονικήπαραµετρηµένηκαµπύλη.t/,ορισµένησεέναανοικτόδιάστηµαπουπεριέχειτο0,ηοποίαδιέρχεταιαπότο pόταν t D 0 καιπεριέχεταιστηνcγιαόλατα t. Στην απόδειξη του θεωρήµατος αυτού χρησιµοποιείται το θεώρηµα της αντίστροφης απεικόνισης(µία µορφή του οποίου χρησιµοποιήθηκε ήδη στην απόδειξη της Πρότασης 1.3.6). Προς το παρόν, θα προσπαθήσουµε απλώς να πείσουµε τον αναγνώστη για την ισχύ του θεωρήµατος. Η απόδειξη θα δοθεί αργότερα(στην Άσκηση 5.6.2), αφού εισαγάγουµε µε αυστηρό τρόπο το θεώρηµα της αντίστροφης απεικόνισης και το χρησιµοποιήσουµε για τη µελέτη των επιφανειών. Γιανακατανοήσουµετησηµασίατωνσυνθηκώνπουπρέπειναικανοποιείη f βάσει τουθεωρήµατος1.5.1,αςυποθέσουµεότιτο.x 0 C x; y 0 C y/είναιένασηµείοτης Cκοντάστο pτέτοιοώστε f.x 0 C x; y 0 C y/ D 0: Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Taylor για δύο µεταβλητές, f.x 0 C x; y 0 C y/ D f.x 0 ; y 0 / C x @f @f C y @x @y ; όπου παραλείψαµε τα γινόµενα των µικρών ποσοτήτων x και y(οι µερικές παράγωγοι υπολογίζονταιστο.x 0 ; y 0 /).Εποµένως, x @f @f C y @x @y D 0: (1.8) Αφού τα x και y είναι µικρά, το διάνυσµα.x; y/ είναι σχεδόν εφαπτόµενο στη C

1.5. Σχέση καµπυλών στάθµης και παραµετρηµένων καµπυλών 23 στοσηµείο p,άραηεξ.1.8λέειότιτοδιάνυσµα n D σηµείο p(σχήµα 1.12). y @f @x ; @f @y είναικάθετοστην Cστο n C ( x, y) p Η επισκόπηση x των επόμενων Σχήµα 1.12. σελίδων δεν είναι διαθέσιμη ΗυπόθεσητουΘεωρήµατος1.5.1µαςλέειότιτοδιάνυσµα nείναιµηµηδενικόσε κάθεσηµείοτηςc.ανυποθέσουµεγιαπαράδειγµαότι @f ;στο p,τότετο nδενείναι @y παράλληλοστονάξονα xστοσηµείο p,οπότεηεφαπτοµένητης C στοσηµείο pδεν είναι παράλληλη στον άξονα y(σχήµα 1.13). y C y 0 p x 0 x Σχήµα 1.13. Αυτόσηµαίνειότιοικάθετεςευθείες x Dσταθεράκοντάστο x D x 0 τέµνουνόλεςτην Cσεέναµοναδικόσηµείο.x; y/κοντάστο p.μεάλλαλόγια,ηεξίσωση f.x; y/ D 0 (1.9) έχειµίαµοναδικήλύση yκοντάστο y 0 γιακάθε xκοντάστο x 0.Σηµειώνουµεότιαυτό