Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών

Ν. Καδιανάκη Αν. Καθηγητή Ε.Μ.Π. Σημειώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και επιφανειών ΑΘΗΝΑ

Απαγορεύεται η ανατύπωση, αναδημοσίευση, αντιγραφή όλου ή μέρους του παρόντος βιβλίου, η αποθήκευση σε ηλεκτρονικά μέσα (αρχεία, CDROM, δίκτυα κ,λ.π.), χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα. Όλα τα διακαιώματα διατηρούνται. ii

iii Πρόλογος... - - Κεφάλαιο Εισαγωγικά... - -. Ο διανυσματικός και σημειακός χώρος... - -. Παραμετρικές καμπύλες... - 7 -. Διαφορικός Λογισμός στο χώρο... - - Κεφάλαιο Καμπύλες του επιπέδου... - 9 -. Εφαπτόμενο και κάθετο διανυσματικό πεδίο... - 9 -. Καμπυλότητα επιπέδων καμπυλών... - -. Θεμελιώδες Θεώρημα Επιπέδων Καμπυλών... - 6 -.4 Τοπική μορφή καμπύλης του επιπέδου... - 9 -.5 Πεπλεγμένα οριζόμενες καμπύλες... - -.6 Εγγύτατος Κύκλος Εξειλιγμένη... - 4 -.7 Ενειλιγμένη... - 6 -.8 Περιβάλλουσα οικογένειας καμπυλών... - 8 -.9 Στοιχεία από την Ολική Θεωρία επιπέδων καμπυλών... - 4 - Κεφάλαιο Καμπύλες του Χώρου... - 49 -. Τρίεδρο Freet... - 49 -. Τοπική μορφή καμπύλης του χώρου... - 54 - Κεφάλαιο 4: Βασικές έννοιες στις επιφάνειες... - 57-4. Η έννοια της Επιφάνειας... - 57-4. Εφαπτόμενος χώρος επιφάνειας... - 65-4. Πρώτη Θεμελιώδης Μορφή... - 7-4.4 Μερικές κατηγορίες Επιφανειών... - 74-4.4. Επιφάνειες εκ περιστροφής... - 74-4.4. Ευθειογενείς Επιφάνειες... - 76-4.4. Εφαπτόμενη επιφάνεια καμπύλης... - 76-4.4.4 Κυλινδρικές Επιφάνειες... - 77-4.4.5 Κωνικές Επιφάνειες... - 77 - Κεφάλαιο 5: Εξωτερική Γεωμετρία Επιφάνειας... - 79-5. Τελεστής Σχήματος... - 79-5. Κάθετη καμπυλότητα... - 84-5. Δεύτερη Θεμελιώδης μορφή... - 9-5.4 Καμπυλότητα Gauss και Μέση καμπυλότητα... - 9 -

Κεφάλαιο 6.Εσωτερική Γεωμετρία Επιφάνειας...-98-6. Θεώρημα Gauss, Εξισώσεις Maiardi Codazzi...- 98-6. Επιτάχυνση καμπύλης, Γεωδαισιακές καμπύλες...-- 6. Εσωτερική Συναλλοίωτη Παράγωγος Επιφάνειας...-8-6.4 Ενδογενής παράλληλη μεταφορά διανυσμάτων...-- Κεφάλαιο 7: Απεικονίσεις Επιφανειών...-7-7. Γενικά... -7-7. Ισομετρική και σύμορφη απεικόνιση...-- Βιβλιογραφία...-9-

Πρόλογος Η Διαφορική Γεωμετρία των καμπυλών και επιφανειών αποτελεί ένα κλασικό αντικείμενο στο οποίο συναντώνται η Γεωμετρία, ο Διαφορικός Λογισμός, η Γραμμική Άλγεβρα και οι Διαφορικές Εξισώσεις. Η εκπαιδευτική του αξία είναι επομένως μεγάλη, με την έννοια ότι χρησιμοποιεί γνώσεις από άλλες περιοχές των Μαθηματικών δίνοντάς τους μια νέα «γεωμετρική» οπτική αλλά και εμπεδώνοντας τις. Ταυτόχρονα όμως αποτελεί ένα απαραίτητο υπόβαθρο και ένα χρήσιμο εργαλείο. Υπόβαθρο για εισαγωγή στις Διαφορικές Πολλαπλότητες και τη μοντέρνα Διαφορική Γεωμετρία και εργαλείο για πολλές εφαρμογές: Φυσική, Μηχανική, Υπολογιστική Γεωμετρία, Comuter Visio κ.λ.π. Στις σημειώσεις αυτές γίνεται μια προσπάθεια παρουσίασης της ύλης ενός μαθήματος κλασικής Διαφορικής Γεωμετρίας Καμπυλών και Επιφανειών με κριτήρια, όχι τόσο πληρότητας, αλλά προσανατολισμού και οργάνωσης ύλης, ώστε να συνάδει με τα παραπάνω χαρακτηριστικά του. Έτσι γίνεται συστηματική χρήση μεθόδων και εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας όπως «γραμμικές απεικονίσεις», «χαρακτηριστικά ποσά» και «τετραγωνικές μορφές». Από το Διαφορικό Λογισμό έννοιες όπως «παράγωγος απεικόνιση», «παράγωγος κατά κατεύθυνση», «θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων» κ.λ.π. χρησιμοποιούνται συχνά. Από τη Γεωμετρία απαραίτητες είναι οι κλασικές καμπύλες και επιφάνειες, όπως αυτές του ου βαθμού, καθώς και γενικές εκ περιστροφής και ευθειογενείς επιφάνειες. Οι έννοιες ορίζονται κατά το δυνατόν αναλλοίωτα και με τρόπο που γενικεύεται άμεσα σε Διαφορικές Πολλαπλότητες. Ν. Καδιανάκης Αθήνα

Κεφάλαιο Εισαγωγικά. Ο διανυσματικός και σημειακός χώρος Θεωρούμε το σύνολο = {( x,..., x ), x } με τη συνήθη δομή του διανυσματικού χώρου και το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο x y = ( x,..., x) ( y,..., y) = xy +... + xy και το οριζόμενο από αυτό μέτρο των διανυσμάτων: x = x x. Η συνήθης βάση θα συμβολίζεται με e= (,,...,),..., e = (,...,). m Μια απεικόνιση T : λέγεται γραμμική αν για κάθε x, y και λµ, ισχύει T( λ x+ µ y) = λ Tx+ µ Ty. Με δεδομένες βάσεις στους χώρους m, στον T αντιστοιχεί ένας m πίνακας [ T ] που έχει ως i- στήλη τις συνιστώσες της εικόνας Te i (του i-διανύσματος της βάσης του ) ως προς τη βάση του m. Βαθμός μιας γραμμικής απεικόνισης T ( rakt ), ονομάζεται η διάσταση του συνόλου των τιμών του T : ( ) { m R T = y : x, y = Tx}, ή ισοδύναμα, ο βαθμός ενός πίνακα της ως προς κάποιες βάσεις (το πλήθος των γραμμικώς m ανεξάρτητων στηλών του). Για μια γραμμική απεικόνιση T : ισχύει το γνωστό θεώρημα που συνδέει τη διάσταση του πυρήνα ker T = { x : Tx = } με τον βαθμό της T και τη διάσταση του : i Παρατήρηση : dim KerT + rakt = (.). Η T είναι «-» αν και μόνο αν ker T = {}, αν και μόνο αν rakt =.. Αν > m η T δεν μπορεί να είναι «-». Αν = m, ο T θα λέγεται και γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας [ T ] είναι τετραγωνικός. Αλλάζοντας τη βάση ο πίνακας ως προς τη νέα βάση είναι όμοιος με τον αρχικό και άρα έχουν την ίδια ορίζουσα. Ως ορίζουσα ( dett ) του T ορίζεται η ορίζουσα ενός από τους πίνακες του.ο T λέγεται ομαλός αν dett. Ένας ομαλός μετασχηματισμός λέγεται οτι διατηρεί τον προσανατολισμό αν dett >.

- - είναι γραμμικός και έχει πίνακα ως προς τις κανονικές βάσεις τον [ T ]. Είναι dett και άρα διατηρεί τον προσανατολισμό απεικονίζοντας τη συνήθη δεξιόστροφη βάση σε δεξιόστροφη αφού Ji= J(, ) (,) j και Jj= J(,) (,) i (περιγράφει στροφή κατά θετική φορά με γωνία φ = π/). Αν ορίσουμε τον J ( x, x) J( J( x, x)) τότε ισχύει για κάθε x ( x, x) : J J J I Jx Jy x y Jx x,, και υπάρχει μοναδική γωνία θ [, π] με: x y cosθ =, si θ = x y xjy x y Ένας γραμμικός μετασχηματισμός T : ονομάζεται ορθογώνιος ή ισομετρικός αν TxTy = x y, ισοδύναμα: Tx = x. Για ένα ορθογώνιο μετασχηματισμό ισχύει dett. Αν dett λέγεται στροφή. Ασκηση : Να δειχθεί ότι η συμμετρία στον ως προς μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή και είναι παράλληλη προς ένα δεδομένο διάνυσμα a δίνεται από το ( a r) γραμμικό μετασχηματισμό S a του με Sa () r r a. Να δειχθεί ότι ο S a a είναι μετασχηματισμός με dett. Ισχύει : Πρόταση : Ένας γραμμικός μετασχηματισμός είναι ορθογώνιος, αν και μόνον αν T ο πίνακάς του Α ως προς μια ορθοκανονική βάση είναι ορθογώνιος: A A. Ειδικά για τον και τον μετασχηματισμό J του παραδείγματος ισχύει: Πρόταση : Αν Τ είναι ένας ορθογώνιος γραμμικός μετασχηματισμός του TJ (det T ) JT., τότε Πρόταση : Οι μόνοι γραμμικοί ισομετρικοί μετασχηματισμοί του είναι στροφές περί την αρχή ή συμμετρίες ως προς ευθεία που διέρχεται από την αρχή. Εκτός από τη δομή του διανυσματικού χώρου, ο έχει και τη δομή του σημειακού ή ομοπαραλληλικού (αffie) χώρου. Ορισμός : Ένα μη κενό σύνολο E λέγεται σημειακός χώρος (affie sace) με αντίστοιχο διανυσματικό χώρο V αν υπάρχει απεικόνιση : E E V η οποία αντιστοιχίζει σε κάθε ζευγάρι σημείων ( x, y ) του E ένα διάνυσμα v ( x, y) V, τέτοια ώστε για κάθε xyzî,, E να ισχύουν οι ιδιότητες: Για κάθε x E η απεικόνιση x : E V : x( y) ( x, y) είναι και επί. ( x, y) ( y, z) ( x, z).

- 4 - Θα ονομάζουμε τα στοιχεία του Ε σημεία, τη συνάρτηση διαφοράς και το διάνυσμα v ( x, y) V το διάνυσμα μετατόπισης απο το σημείοx στο σημείο y. Ορίζουμε τη διάσταση dime ως τη διάσταση του διανυσματικού χώρου V. Παράδειγμα. Έστω Ε ο συνήθης εποπτικός χώρος. Τα στοιχεία του είναι τα γεωμετρικά σημεία. Σε κάθε ζευγάρι σημείων (Α, Β) αντιστοιχεί ένα διάνυσμα ABμε αρχή το Α και πέρας το Β που είναι εφαρμοστό διάνυσμά στο σημείο Α. Το AB μπορεί να θεωρηθεί και ως στοιχείο του διανυσματικού χώρου Δ των ελεύθερων διανυσμάτων (με την έννοια της δυνατότητας παράλληλης μεταφοράς του ώστε να διατηρεί μέτρο και φορά). Είναι φανερό ότι ο εποπτικός χώρος E είναι σημειακός χώρος με διανυσματικό χώρο τον Δ και συνάρτηση διαφοράς ( AB, ) ΑΒ. Οι ιδιότητες (i) και (ii) έχουν τότε την εξής ερμηνεία: (i) (σχ. ). Για κάθε σημείο Ο η O :E : δ O(P) = OP, αντιστοιχίζει «-» τα σημεία του Ε (Α,Β,Γ,...) με τα διανύσματα του Δ ( OA, OB, OΓ... ). (ii) (σχ. ) Αν Α, Β, Γ, σημεία του Ε τότε ισχύει ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ. Σχ. Σχ. Παράδειγμα. Αν AX B είναι ένα συμβιβαστό γραμμικό σύστημα με A m, X, B, τότε είναι γνωστό από τη Γραμμική Άλγεβρα ότι το σύνολο των λύσεων είναι ένας σημειακός χώρος Λ με αντίστοιχο διανυσματικό χώρο το σύνολο των λύσεων του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος AX και συνάρτηση διαφοράς ( X, Y) X -Y. (Για κάθε ζευγάρι λύσεων ( X, Y ) του αρχικού το X -Y είναι λύση του ομογενούς). Παράδειγμα 4. Κάθε διανυσματικός χώρος V είναι σημειακός χώρος με διανυσματικό χώρο τον εαυτό του και με συνάρτηση διαφοράς ( x, y) x y, τη διαφορά δύο στοιχείων του. Έτσι ο είναι σημειακός χώρος. Παράδειγμα 5. Αν V ένας υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου V και V το σύνολο V= { v, v V} είναι σημειακός χώρος με διανυσματικό χώρο V. Αν, = (,), τότε V {( x, y) : y x } V {( x, y) : y x}.

- 5 - Συνέπειες του ορισμού :. d (, xx) = " x Î E. d(, xy) = - d(, yx), " xy, Î E.. Από την ιδιότητα (i) του ορισμού προκύπτει ότι υπάρχει μια απεικόνιση: m : E V E, η οποία σε κάθε x E και v V, αντιστοιχίζει ακριβώς ένα y m( x, v) Eμε ( xy, ) v (το y E μπορεί να το «φθάσει» κανείς απο το x χρησιμοποιώντας το v ). Συνηθίζεται και ο συμβολισμός: y m( x, v) x v, ( x, y) y -x. Τα σύμβολα +,- στις τελευταίες σχέσεις δεν είναι το + του διανυσματικού χώρου V αλλά ούτε και κάποιες πράξεις του συνόλου Ε. Στην ειδική περίπτωση όμως του σημειακού χώρου V που είναι και διανυσματικός χώρος, τα παραπάνω σύμβολα +,- συμπίπτουν με τις πράξεις του V. Αν δοθεί ένα σημείο O E και μια βάση u { e, e,... e } στον αντίστοιχο διανυσματικό χώρο V τότε για κάθε x E το αντίστοιχο διάνυσμα θέσης v γράφεται v= xe... xe. Άρα το x καθορίζεται από το ( x,... x ). Αντίστροφα, κάθε ( x,... x ) καθορίζει μοναδικό v= xe... x e V και άρα μοναδικό x E. Επομένως δοθέντος του ζεύγους { Ou, } υπάρχει μια αφιμονοσήμαντη απεικόνιση: E. Το ζεύγος { Ou, } θα ονομάζεται ένα σύστημα συντεταγμένων στον σημειακό χώρο E με αρχή τοo E. Οι συνιστώσες x i του v θα λέγονται συντεταγμένες του σημείου x E. Το σύνολο: TE x {} x V {(, xv), v V} εφοδιασμένο με τις πράξεις: ( x, v) ( x, u) ( x, v + u), ( x, v) ( x, v ) είναι ένας διανυσματικός χώρος που συμβολίζεται και με TEή x και με E x και ονομάζεται εφαπτόμενος χώρος του Ε στο σημείο x. Τα στοιχεία του λέγονται εφαρμοστά ή εφαπτόμενα διανύσματα στο x ενώ τα διανύσματα του V λέγονται και ελεύθερα. Η απεικόνιση V Tx, v ( x, v ) είναι ένας φυσικός ισομορφισμός, άρα για κάθε x E ισχύει: TE x V. Θεωρούμε τον σημειακό χώρο. Σημεία του θα συμβολίζονται με, x,... κ.λπ., ενώ τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης με x., H απόσταση μεταξύ των

- 6 - σημείων, q είναι d(, q) -q, δηλαδή είναι το μέτρο του διανύσματος διαφοράς -q. Ο σημειακός χώρος με την απόσταση αυτή θα ονομάζεται Ευκλείδειος σημειακός χώρος. Συνήθως θα θεωρούμε το σύστημα συντεταγμένων που αποτελείται από την αρχή O(,,...) και τη συνήθη βάση του διανυσματικού χώρου. Ένα εφαρμοστό ή εφαπτόμενο διάνυσμα του στο σημείο είναι ένα ζεύγος (, v ) με και v. Το v είναι το διανυσματικό μέρος και το είναι το σημείο εφαρμογής του. Συμβολίζεται με (, v ) ή v ή απλά v, όταν το σημείο υπονοείται. Στον ή ένα εφαπτόμενο διάνυσμα απεικονίζεται με ένα βέλος με αρχή το σημείο και πέρας το σημείο v. Στο σχήμα φαίνεται ένα σημείο, ένα ελέυθερο διάνυσμα v, ένα εφαπτόμενο διάνυσμα v με σημείο εφαρμογής το σημείο και το σημείο v. Το σύνολο T {(, v),, v } εφοδιασμένο με τις πράξεις: (, v) (, u) (, v + u), (, v) = (, v ) είναι ο εφαπτόμενος χώρος του στο σημείο και συμβολίζεται επίσης με ή T. Η απεικόνιση, vv =(, v) T Σχ. είναι ένας φυσικός ισομορφισμός και άρα:,. Ο ισομορφισμός αυτός κάνει το χώρο T διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο αρκεί να ορίσουμε: uv u v με τις γνωστές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου του. Ένα διανυσματικό πεδίο Χ του σε ένα ανοικτό σύνολο U είναι μια απεικόνιση η οποία σε κάθε σημείο U αντιστοιχεί ένα εφαπτόμενο ή εφαρμοστό διάνυσμα στο σημείο αυτό: X ( ). Αν θεωρήσουμε το σύνηθες σύστημα των σταθερών διανυσματικών πεδίων του ( e)( ) (,,...,),...,( e )( ) (,...,) τότε κάθε διανυσματικό πεδίο X γράφεται: X Xe... X e Αν ( x,... x ) τότε X i Xi( x... x) και το X γράφεται και με τη μορφή: X ( ) ( X ( x... x ),... X ( x... x )) T.

- 7 - Οι συναρτήσεις X i : λέγονται συνιστώσες του Χ. Το X λέγεται k k διαφορίσιμο τάξης C αν και μόνο αν οι συνιστώσες X i είναι διαφορίσιμες C τάξης. Παράδειγμα 6. Για, και τα διανυσματικά πεδία X ( x, x) ( x, x) και X ( x, x) ( x, x) σχεδιάζουμε μερικά εφαπτόμενα διανύσματα (σχήμα και σχήμα 4, αντίστοιχα). Σχ. X ( x, x) ( x, x) Σχ. 4 X ( x, x) ( x, x) Από τα διανυσματικά πεδία του X,Y και τη συνάρτηση f : ορίζονται τα διανυσματικά πεδία X Y και fx σημείο προς σημείο (oit wise): ( X Y)( ) X( ) Y( ), ( fx)( ) f( ) X ( ).. Παραμετρικές καμπύλες Μία (παραμετρική) καμπύλη του r r είναι μια συνεχής απεικόνιση : I, ( t) = x ( t),..., x ( t) όπου Ι είναι ανοικτό διάστημα του. Για το σκοπό των σημειώσεων αυτών υποθέτουμε ότι η r είναι παραγωγίσιμη (δηλαδή οι xi () t είναι παραγωγίσιμες) τάξης C. Η ταχύτητα (velocity) της r είναι η παράγωγος της r, δηλαδή η απεικόνιση r: t r () t x()... t x() t r. r () t ( t)

- 8 - Η r() t = ( r ()) t λέγεται επιτάχυνση της r.το μέτρο της ταχύτητας (seed) είναι η πραγματική συνάρτηση: () t r () t. Η εικόνα του I, δηλαδή το σύνολο γ = r ( ) (ειδικά όταν,) λέγεται ίχνος της παραμετρικής καμπύλης. Συχνά το σύνολο γ αναφέρεται ως (γεωμετρική) καμπύλη και η απεικόνιση r ως μια παραμετρική παράσταση της. Μας ενδιαφέρουν οι γεωμετρικές ιδιότητες του ίχνους γ = r ( ). Παράδειγμα. Η ευθεία (ε) του χώρου που διέρχεται από το P ( ) a και είναι παράλληλη προς το διάνυσμαuέχει παραμετρική παράσταση r(t) = at u, t. Προφανώς και η q() t a( ) u, είναι μία παραμετρική παράσταση της ίδιας ευθείας. Φυσικά, οι r και q είναι δύο διαφορετικές παραμετρικές καμπύλες. Παρατηρούμε ότι το σημείο Ρ προκύπτει για την τιμή t = από την πρώτη παραμετρική παράσταση ενώ προκύπτει για την τιμή = - από τη δεύτερη. Επίσης η πρώτη παραμετρική καμπύλη έχει ταχύτητα r(t) = u ενώ η δεύτερη q(λ) = u. b Παράδειγμα. Η r ( t) ( asit, acost, t) περιγράφει μια κυλινδρική έλικα. Ένα διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας καμπύλης r (), t t I είναι μια απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο P( r ( t)) της καμπύλης ένα διάνυσμα X() t r και έχει τη μορφή: () t X () t ( X (),... t X ()) t, ti r ( t) όπου Xi : I οι συνιστώσες του. Ένα διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας καμπύλης μπορεί να προκύψει και ως περιορισμός ενός διανυσματικού πεδίου του στην καμπύλη. Παράδειγμα. Έστω το X (, x y) ( y, x y) (Σχ. 5) και η έλλειψη r (t) = (6cost, 4sit). Ο περιορισμός του X στη έλλειψη είναι (Σχ.6): ( X r) ( t) X( r ( t)) (4sit, 6cost4sit).

- 9 - Σχ. 5 Σχ. 6 Το διαν.πεδίο X ( xy, ) ( y, x y) (Σχ. 5 ) και ο περιορισμός του (Σχ.6). Παράδειγμα 4. Η ταχύτητα r και η επιτάχυνση r μπορούν να θεωρηθούν ως διανυσματικά πεδία κατά μήκος της καμπύλης χωρίς αυτά να προέρχονται από περιορισμό διανυσματικού πεδίου. k k Το διανυσματικό πεδίο X λέγεται τάξης C αν οι συνιστώσες του είναι C. Θα θεωρούμε μόνο διαφορίσιμα διαν. πεδία. Η παράγωγος του Χ στο σημείο r ( t) της καμπύλης είναι το διάνυσμα στο σημείο αυτό X( t h) X( t) X ( t) lim h h όπου η αφαίρεση των διανυσμάτων X( t h), X ( t) γίνεται στο σημείο r ( t) μετά από παράλληλη μεταφορά X ( t h) στο σημείο αυτό. Η παράγωγος του X είναι τότε το διανυσματικό πεδίο κατά μήκος της καμπύλης: X ( t) ( X ( t),... X ( t)), ti. Η ιδιότητα της παράλληλης μεταφοράς είναι σύμφυτη με τη δομή του χώρο ως σημειακού χώρου. Μια παραμετρική καμπύλη : I, ( t) = x ( t),..., x ( t) r r ονομάζεται γραμμή ροής ή ολοκληρωτική καμπύλη ενός διανυσματικού πεδίου X σε ένα ανοικτό σύνολο U του αν r() t X( r ()), t ti Δηλαδή, σε κάθε σημείο της καμπύλης η ταχύτητά της συμπίπτει με το αντίστοιχο διάνυσμα του διανυσματικού πεδίου στο σημείο αυτό. Η σχέση είναι ισοδύναμη με το σύστημα των συνήθων διαφορικών εξισώσεων: x i( t) Xix ( t),..., x( t) Ισχύει το γνωστό από τις διαφορικές εξισώσεις θεώρημα:

- - Θεώρημα. Έστω X διαφορισμό διανυσματικό πεδίο ορισμένο σε ένα ανοικτό σύνολο U του και U. Τότε υπάρχει ένα ανοικτό διάστημα I που περιέχει το και μια ολοκληρωτική γραμμή r :I του X τέτοια ώστε:. r (). Αν q:j είναι οποιαδήποτε άλλη ολοκληρωτική γραμμή του X με q (), τότε J I και r() t q (), t tj. Σχ. 7 Παράδειγμα 5. Έστω X ( x, y) ( y, x) διανυσματικό πεδίο του. Η r () t = x(), t y() t είναι μια ολοκληρωτική καμπύλη του X αν x() t y(), t y() t x() t. Η γενική λύση είναι r ( t) = ccos tcsi t, csi tccos t και η ολοκληρωτική καμπύλη που διέρχεται από το (, ) είναι η r () t = si t,cost (σχήμα 7)., Σημεία P(( r t)) μιας καμπύλης r με r ( t) λέγονται ιδιάζοντα σημεία. Μία παραμετρική καμπύλη θα λέγεται ομαλή αν r ( t), t I. Για μια διαφορίσιμη παραμετρική καμπύλη, r () t = x (), t x (),... t x () t, t[ a, b] ονομάζουμε μήκος L[ r ] της r τον αριθμό: b b L[ ] () t dt x () t x() t... + x() t dt. a r r (.) a Παρατήρηση. Ο υπολογισμός του μήκους μιας καμπύλης δεν είναι πάντα απλός. Για παράδειγμα το αντίστοιχο ολοκλήρωμα για την έλλειψη r() t ( cos, t si t), t[, ] είναι το ολοκλήρωμα). L si t cos tdt (ελλειπτικό Θεωρούμε την ομαλή καμπύλη γ και μια παραμετρική της παράσταση r=r (), t t I. Αν φ:j I μια C τάξης διαφορίσιμη συνάρτηση, όπου J διάστημα του, με φ (τ), τ J, τότε η q = r φ: q(τ) = r (φ(τ)), τ J λέγεται μια αναπαραμέτρηση της γ. Ως διαφορετικές παραμετρικές καμπύλες οι r και q έχουν το ίδιο ίχνος γ αλλά περιγράφουν το ίδιο σημείο της γ με

- - διαφορετικές τιμές της παραμέτρου: φ(τ) και τ αντίστοιχα. Λέγονται και ισοδύναμες παραμετρικές καμπύλες. Στην πράξη ο τύπος της q προκύπτει με απλή αντικατάσταση t = ( ) στην r () t. Σημαντικό ρόλο στη μελέτη των καμπυλών έχουν οι έννοιες και οι ιδιότητες του ίχνους γ = r(ι)= q (J) που δεν εξαρτώνται από την απεικόνιση που χρησιμοποιείται. Τέτοιες έννοιες είναι αυτή καθαυτή του ίχνους καμπύλης και το μήκους του (επόμενη άσκηση). Άσκηση. Να δειχθεί ότι αν οι r, q είναι ισοδύναμες, τότε έχουν το ίδιο μήκος: L( r) L( q ). Παράδειγμα 6. Αν r (t) ( t, t t, t), t(, 4) I, (, ) J, τότε: q( ) r( ( )) r ( ) (,, ), (, ). t ( ), Πρόταση. Αν r () t είναι μια παραμετρική παράσταση της γ και q ( ) είναι μια αναπαραμέτρηση με t = φ(τ), τότε οι ταχύτητες τους συνδέονται με τη σχέση: q(τ) = (τ) r ( (τ)) (.) Απόδειξη: Άμεση εφαρμογή της παραγώγισης συνθέτων συναρτήσεων. Παρατήρηση : Με τη συνθήκη φ (τ) δεν επιτρέπεται η εισαγωγή ιδιόμορφων σημείων λόγω αλλαγής παραμέτρου ( r q ). Έτσι αν μια καμπύλη διαθέτει μια ομαλή παραμετρική παράσταση, τότε κάθε άλλη παραμετρική της παράσταση που προκύπτει με αλλαγή παραμέτρου είναι ομαλή. Μια καμπύλη γ για την οποία υπάρχει ομαλή παραμετρική παράσταση λέγεται ομαλή καμπύλη. Επειδή ενδιαφέρει η μελέτη της γεωμετρίας της καμπύλης και όχι ο τρόπος που την διανύουμε θα χρησιμοποιήσουμε παραμετρική παράσταση με ταχύτητα μοναδιαίου μέτρου. Αποδεικνύουμε πρώτα ότι αυτό είναι εφικτό. Πρόταση. Αν γ μια ομαλή καμπύλη τότε υπάρχει παραμετρική παράσταση με μέτρο ταχύτητας τη μονάδα η οποία λέγεται φυσική παραμετρική παράσταση της γ. Απόδειξη: Αν r (t), t I μια παραμετρική παράσταση της γ το μήκος της καμπύλης από το σημείο A( r (t )) μέχρι το P( r (t)), t, t I δίνεται από την t st () r ( )dω. t ds Τότε, r ( t) () t, dt άρα η s = s(t) είναι γνησίως αύξουσα και άρα είναι στο Ι. Αν t t() s, s [, L] η διαφορίσιμη αντίστροφη συνάρτηση (όπου L το συνολικό μήκος της καμπύλης ), θα έχουμε,

- - dt () s. ds ds() t r ( t) dt Αν θεωρήσουμε την αλλαγή παραμέτρου t t() s με q() s = r (()) t s, s [, L], από την προηγούμενη πρόταση έπεται ότι: q (s). Πράγματι, dt r( t( s)) q( s) r(t(s)) r(t(s)). ds ds r (()) t s dt Παρατήρηση. Αν r r() s μια φυσική παραμετρική καμπύλη, το μήκος τόξου από το A(( r s )) μέχρι το B(( r s)) είναι s r (s) ds s s s. δηλαδή, διαφορές της παραμέτρου μεταξύ σημείων μετρούν το μήκος του τμήματος της καμπύλης μεταξύ των σημείων αυτών. Παράδειγμα 7. Θεωρούμε την έλικα r () t ( cos, t si t, t). Τότε, r () t α β = c. Αν φυσική παραμετρική παράσταση: t τότε με t = s/c προκύπτει η ss() t cdt ct q () s = r s cos s, si t s, s c c c c. Παρατήρηση 4: Όταν θα αναφερόμαστε ταυτόχρονα σε φυσική και τυχαία παραμετρική παράσταση της ίδιας καμπύλης θα γράφουμε για τις παραγώγους τους αντίστοιχα: r, r...και r, r... Στις σημειώσεις αυτές θα ασχοληθούμε τις καμπύλες του εποπτικού χώρου, ή (δοθέντος ενός συστήματος συντεταγμένων) με τις καμπύλες του r:i, r ( t) ( x( t), y( t), z( t)), t I όπου το Ι μπορεί να είναι ένα διάστημα της μορφής ( ab, ), [ ab, ), ( ab, ], (-, a],[ a, ) ή με τους συνήθεις ορισμούς της διαφορισιμότητας για τέτοια διαστήματα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι καμπύλες που όλα τα σημεία τους ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Για παράδειγμα η 5 5 r () t ( t, t, t t ), t I είναι μια τέτοια καμπύλη αφού zt () xt () yt () για κάθε t I δηλαδή όλα τα σημεία της ανήκουν στο επίπεδο z x y. Αν το σύστημα συντεταγμένων επιλεγεί έτσι ώστε το επίπεδο να συμπίπτει με το xoy τότε μια τέτοια καμπύλη γράφεται r () t ( x(), t y(),), t t I δηλαδή χαρακτηρίζεται πλήρως από μια απεικόνιση r: I E, r ( t) ( x( t), y( t)).

- -. Διαφορικός Λογισμός στο χώρο Υπενθυμίζουμε, από τον Διαφορικό Λογισμό, τον ορισμό της διαφορισιμότητας m μιας απεικόνισης F : και συναφείς έννοιες. m Έστω U ανοικτό και F : U συνεχής απεικόνιση. Η F λέγεται διαφορίσιμη στο σημείο U αν υπάρχει μια γραμμική απεικόνιση L : m τέτοια ώστε F( x) F( ) L( x ) lim. x x Αν μια τέτοια απεικόνιση L υπάρχει, τότε αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική, λέγεται παράγωγος της F στο σημείο U και συμβολίζεται με F ( ). Αν m F ( f, f,... f ), τότε ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης L ως προς τις m συνήθεις βάσεις των, είναι ο m πίνακας με στοιχεία τις μερικές παραγώγους a ij i f με i,... m, j,,... (Ιακωβίνος πίνακας) : x j f f.. x x........ m m f f x.. x L F( ) J[ F] x (.4) Πρόταση. Αν όλες οι μερικές παράγωγοι της F είναι συνεχείς σε μια περιοχή του U, τότε η F είναι διαφορίσιμη στο. k Η F λέγεται διαφορίσιμη τάξης C στο σημείο U αν υπάρχουν οι μέχρι και τάξης k μερικές παράγωγοι στο σημείο αυτό και είναι συνεχείς. Αν η F είναι k k διαφορίσιμη τάξης C σε κάθε σημείο U θα λέγεται διαφορίσιμη τάξης C στο U. Η έννοια της διαφορισιμότητας επεκτείνεται και σε αυθαίρετα πεδία ορισμού A, με το γνωστό τρόπο, θεωρώντας επέκταση της συνάρτησης σε ανοικτό υπερσύνολο U A. Παράδειγμα. Η απεικόνιση F( x, x, x) ( xx x, xx x) έχει Ιακωβιανό πίνακα στο γενικό σημείο ( x, x, x) τον:

- 4 - x xx J[ f]( x, x, x). x Αν f είναι μια διαφορίσιμη πραγματική συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του και v ένα διάνυσμα του, U η παράγωγος της f κατά τη κατεύθυνση v ορίζεται ως ο αριθμός: d v( f) v f f( ( t)) t t (.5) dt όπου : I διαφορίσιμη καμπύλη με ( I) U, ( t), ( t) v. Ο ορισμός αυτός είναι ανεξάρτητος από την καμπύλη αφού : Αρα: d f ( ( t )) tt ( ( f t )) ( t ) f ( ) v. dt v( f ) v f (.6) Από τον (.4) έπονται για κάθε vw, T, ab, και πραγματικές συναρτήσεις f, g, οι ιδιότητες: διαφορίσιμες ( avbw)( f) av( f) w( f) v( af bg) av( f ) bv( g) v( fg) f( ) v( g) g( ) v( f) Αν : X( ) X ( X, X,..., X ) (.7) X = = Î είναι ένα διανυσματικό πεδίο του, τότε ορίζεται η δράση του σε μια μια διαφορίσιμη πραγματική συνάρτηση f : U ορισμένη σε ένα ανοικτό υποσύνολο U, ως η πραγματική συνάρτηση X( f ) με τιμή στο σημείο Î την i i f X( f )( ) X ( f) X ( ) (.8) x Παράδειγμα : Αν X ( x, x) ( x x, x x) και f ( x, x) si( xx), τότε η τιμή της συνάρτησης X ( f ) στο τυχόν σημείο: ( x, x) θα είναι: i f X( f )( ) X ( f) X ( ) ( x x) xcos( xx) ( x x) xcos( xx). x i i i

- 5 - Αν X διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο του ορισμένο σε ένα ανοικτό υποσύνολο U του τότε ορίζεται η συναλλοίωτη παράγωγος του X κατά την κατεύθυνση του v T ως το διάνυσμα v X του : d dt X X ( at ( )) (.9) v t όπου : I διαφορίσιμη καμπύλη με ( I) U, ( t), ( t) v. Άν X ( X, X,... X ) τότε το διανυσματικό πεδίο v Xέχει συνιστώσες: ( ), ( ),... ( ),,... X X X X X X v X v v v v v v και άρα το vx είναι ανεξάρτητο από την καμπύλη (μπορεί δηλαδή να χρησιμοποιηθεί η ευθεία: () t tv) ). Με κατά σημείο ορισμό, ορίζουμε τη συναλλοίωτη παράγωγο του X κατά την κατεύθυνση του διανυσματικού πεδίου Y ως το διανυσματικό πεδίο Y X που στο σημείο Παράδειγμα : Αν ( x, y, z), τότε είναι το διάνυσμα ( X) X (.) Y Y X ( x, yz, ) ( xyz, x, ) ( X, X, X), ( x y, y, xy) Y και X X X X X X ( X) X= Y ( ), Y ( ), Y ( ) Y, Y, Y Y Όμως, Y Y X ( x y, y, xy) ( xyz, x z, x y) x yz xy z x y, Y X. Άρα ( ) xyz xyzxy, x y, Y X. Y, X x y Αποδεικνύονται για κάθε XY,, Z, km, και συνάρτηση f, οι ιδιότητες: διαφορίσιμη πράγματική (X+ k my) k( X ) + m( Y) Z Z Z ( X) = f( )( X) fy Y ( X) k( X ) + m( X ) ky+ mz Y Z Y ( fx ) = f( ) X + Y ( f) X Y Z( XY) ( X ) Y +X ( Y) Z Y (.)

- 6 - Στη συνέχεια προσαρμόζουμε την έννοια της παραγώγου για τις ανάγκες της Διαφορικής Γεωμετρίας ορίζοντας το διαφορικό μιας διαφορίσιμης απεικόνισης. Μια απεικόνιση F : m απεικονίζοντας σημεία του σε σημεία του απεικονίζει απεικονίζει καμπύλες σε καμπύλες καθώς και τα αντίστοιχα εφαπτόμενα διανύσματά τους ως εξής: Θεωρούμε ένα εφαπτόμενο διάνυσμα m v και μια καμπύλη που έχει το v ως διάνυσμα ταχύτητας στο () ( () v ), για παράδειγμα η ευθεία () t tv. Η εικόνα της καμπύλης απο την απεικόνιση F είναι η καμπύλη () t F( ()) t με ταχύτητα () F( ()) () F( ) v m m Παρατηρούμε ότι v και F( ) v T () T F ( ). Τη γραμμική απεικόνιση απεικόνιση: df :, df v F( ) v (.) F( ) F( ) Ονομάζουμε διαφορικό ή εφαπτόμενη απεικόνιση της F στο σημείο, συμβολίζεται δε και με. Έτσι έχουμε: F * Παράδειγμα 4: Αν df v F v F( ) v F : με (,,), v (,, ), ( t) (,,) t(,, ) (, t, t), τότε () t F( ()) t (( t ), t ) t, και άρα F( x, y, z) ( xyz, z x ) και T. Όμως () (, ) q yz xz xy F( x, y, z) x και F( ) F(,,). Άρα επαληθεύεται ο τύπος (.) αφού: dfv F( ) v = [, ]. Παρατήρηση: Από τις (.4), (.9) και (.) έπεται ότι η συναλλοίωτη παράγωγος διανυσματικού πεδίου X, η παράγωγος X( ) και το διαφορικό τουx m θεωρούμενο ως απεικόνιση: X : συνδέονται με την X d X v = X v ( ) v. Συνήθως γράφουμε για διανυσματικά πεδία: X( ) X( ) dx.

- 7 - O βαθμός rak F( ) της F στο σημείο ορίζεται ως ο βαθμός της df F ( ) *, Άν rakf( ) mi(, m), τότε το λέγεται κρίσιμο ή ιδιάζον σημείο της F. Αν rakf( ) mi(, m), (η F έχει το μέγιστο δυνατό βαθμό στο ) τότε η df είναι "-" και το λέγεται ομαλό σημείο. Μια διαφορίσιμη απεικόνιση F: U V μεταξύ δύο ανοικτών συνόλων UV, των m, αντίστοιχα, λέγεται αμφιδιαφόριση (diffeomorhism) αν έχει διαφορίσιμη αντίστροφη F : V U. Η F λέγεται τοπική αμφιδιαφόριση αν για κάθε σημείο U υπάρχει μια ανοικτή περιοχή A του ώστε η F A να είναι αμφιδιαφόριση. Θεώρημα. (αντίστροφης συνάρτησης). Αν για τη διαφορίσιμη απεικόνιση F :, το διαφορικό df : T T ( ) είναι «-», τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο F U με U και ανοικτό σύνολο m V με F( ) V, ώστε η F: U V να είναι αμφιδιαφόριση (ισοδύναμα, αν η F είναι ομαλή στο, τότε είναι τοπική αμφιδιαφόριση σ αυτό). Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό περιορίζοντας κατάλληλα μια ομαλή απεικόνιση εξασφαλίζει κανείς την ύπαρξη διαφορίσιμης αντίστροφης συνάρτησης. Πρόταση : Μια τοπική για κάθε U αμφιδιαφόριση F : είναι και «-», είναι μια αμφιδιαφόριση., που Παράδειγμα 5: Η F : είναι ομαλή αν και μόνο αν F. Ενώ μια παραμετρική καμπύλη r :I είναι ομαλή αν και μόνο αν rak r( t) r( t) (δηλαδή, όπως ορίσθηκε στη προηγούμενη παράγραφο). Παράδειγμα 6: Η απεικόνιση: t. f :, f( t) ( t, t) δεν είναι διαφορίσιμη στο Παράδειγμα 7: Η απεικόνιση: f :, f( t) ( t, t ) είναι διαφορίσιμη στο [ ] T t t, αλλά η εφαπτόμενη απεικόνιση με πίνακα J f t t δεν έχει στο σημείο t βαθμό (ο J[ f] είναι ο μηδενικός πίνακας) και άρα η df δεν είναι ισομορφισμός. Παράδειγμα 8: Η απεικόνιση F :[, ], F( t) cos( t ), si ( t ) δεν είναι «-» ( F() F( ), (σχ. παραγρ..).

- 8 - Ασκήσεις. Να σχεδιασθούν κάποια διανύσματα και γραμμές ροής των διανυσματικών πεδίων: X y x ( xy, ) (,), Y ( xy, ) ( yx, ), Z ( xy, ) (, ) x y x y. x. Αν X( x, y, z) ( xy, x z, y z), Y ( x, y, z) ( x, yz, e ), f ( x, y, z) xyz, να βρεθεί το διανυσματικό πεδίο: X fy.. Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω παραμετρικές καμπύλες έχουν το ίδιο ίχνος και να εξετασθεί ποιές από αυτές είναι ομαλές: r ( t) = ( t, t), t [,], ( ) (, ), [,], q( ) (cos,cos ), [,5 ] 4. Θεωρούμε διαφορίσιμη καμπύλη r() t που το ίχνος της δεν περνά από την αρχήτων αξόνων. Αν το σημείο P(( r t)) του ίχνους είναι το πλησιέστερο στην αρχή και r ( t), να αποδειχθεί ότι το r( t) είναι κάθετο στο r ( t). 5. Αν οι συναρτήσεις, q, r : I και f : είναι παραγωγίσιμες και ορίζουμε τις συναρτήσεις fr, r, r ( ) και ( qr ) (=, μικτό γινόμενο) από τις : ( fr)() t f() t r(),( t r) () t () t r() t ( r)() t () t r(), t ( qr)( t) ( ( t) q( t) r( t)) Να δείξετε ότι:.( f() t r()) t f() t r () t + f() t r() t.( () t r ()) t = () t r() t () t r() t.( () t r ()) t = () t r() t () t r() t ( ) 4.( ( t) q( t) r( t)) ( ( t) q( t) r( t)) ( ( t) q( t) r( t)) ( ( t) q( t), r( t)) ( ) 6. Να δείξετε ότι για τη παραγωγίσιμη συνάρτηση r : I, με rt () r () t ισχύουν οι:. r() t r() t c (.), b) r() t r() t r() t r () t. rt () r() t. r() t r () t, ti. H r() t εχει σταθ. διευθ. r( t) r( t), ti 7. Να βρεθούν τα σημεία στα οποία ο βαθμός της f :, f( x, y) ( x, y, xy) γίνεται μικρότερος του. 8. Να αποδειχθεί ότι η r:, r ( t) ( t 4 t, t 4), δεν είναι -.

- 9 - Κεφάλαιο Καμπύλες του επιπέδου. Εφαπτόμενο και κάθετο διανυσματικό πεδίο Στο κεφάλαιο αυτό μελετούμε καμπύλες των οποίων το ίχνος βρίσκεται σε ένα επίπεδο του χώρου.. Θεωρώντας ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο αυτό, η περιγραφή τους γίνεται από απο μια παραμετρική καμπύλη της παραγράφου. k με =. Έτσι μια (παραμετρική) καμπύλη του επιπέδου είναι μια C τάξης παραγωγίσιμη συνάρτηση r : I, όπου I διάστημα του και το k κατάλληλο για την εκάστοτε μελέτη. Παράδειγμα :. r () t =( t, t ), t (,) (Σχ. ). r () t =( cos,si), t t t (, ) (Σχ. ) y y x x Σχ. Σχ. Από τις καμπύλες αυτές η πρώτη δεν είναι ομαλή αφού r ()= είναι ομαλή αφού r ( t) t[, ]. ενώ η δεύτερη Μια παραμετρική παράσταση r της γ ορίζει μια φορά διαγραφής της καμπύλης με την έννοια ότι αν t t τότε λέμε ότι το P(()) r t προηγείται του Q(( r t)). Θεωρούμε μια ομαλή επίπεδη καμπύλη r : I και ένα σημείο της P(( r t)). Αν P(()) r t είναι ένα τυχόν σημείο της και q() t r() t ( r t) είναι το διάνυσμα της q() t χορδής P P τότε: r( t) lim. Παρατηρούμε ότι όταν t t με t t, τότε η tt t t φορά του q () t τείνει να ταυτισθεί με αυτήν του r' ( t), ενώ όταν t t με t t έχει την αντίθετη φορά (Σχ. ). Αν θεωρήσουμε την κάθετη ευθεία στο r' ( t) στο σημείο P(( r t)) αυτή χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα από τα οποία στο ένα βρίσκονται τα σημεία της καμπύλης με t t και στο άλλο τα σημεία με t t.

- - Άρα η ταχύτητα r' ( t) «δείχνει» προς εκείνα τα σημεία της καμπύλης με αυξανόμενες τιμές της παραμέτρου. Με την έννοια αυτή θεωρούμε ότι η φορά του εφαπτόμενου διανύσματος μιας καμπύλης συμβαδίζει με τη φορά διαγραφής της. Σχ. Το εφαπτόμενο διάνυσμα στο P(( r t)) της καμπύλης είναι το εφαρμοστό διάνυσμα r ( t) με σημείο εφαρμογής το Ρ, δηλαδή προκύπτει από το r' ( t) με παράλληλη μεταφορά ώστε να αρχίζει από το Ρ. Το διανυσματικό πεδίο που επισυνάπτει σε κάθε σημείο της P( r ( t)) το αντίστοιχο εφαπτόμενο διάνυσμα r ( t) είναι το εφαπτόμενο διανυσματικό πεδίο της καμπύλης. Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στη περίπτωση τυχαίας και στη περίπτωση φυσικής παραμέτρου είναι αντίστοιχα: r (t ) T(t ), T( s ) r( s ) r (t ) (.) Η φορά διαγραφής εξαρτάται από τη παραμετρική παράσταση. Αν αλλάξουμε παραμετρική παράσταση με μια αλλαγή παραμέτρου t ( ), τ J, τότε φ (τ) τ J. Αν φ (τ) τότε από την q (τ) = φ (τ) r (φ(τ)) (.) έπεται ότι η νέα παραμετρική καμπύλη q (τ) αρχική r ( t). Ισχύει τότε: έχει την ίδια φορά διαγραφής με την Πόρισμα. Δύο παραμετρικές παραστάσεις της γ δίνουν την ίδια φορά διαγραφής της, αν και μόνο αν για την αλλαγή παραμέτρου t ( ) ισχύει φ (τ). Αν η καμπύλη r () t είναι ομαλή στο P (( r t )) χώρος TPr της καμπύλης στο σημείο αυτό ως ο υπόχωρος του, τότε ορίζεται ο εφαπτόμενος P ο οποίος

- - είναι η γραμμική θήκη του εφαπτόμενου διανύσματος δηλαδή: T Pr= r. Η εφαπτόμενη ευθεία (ε) της καμπύλης ορίζεται ως η ευθεία που διέρχεται από το P(( r t)) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα r' ( t). Αν το διάνυσμα θέσης του τυχόντος σημείου της ευθείας, είναι το R, μια παραμετρική της παράσταση είναι: R( ) = r( t ) r ( t ),. (.) Άσκηση : Να αποδειχθεί ότι μολονότι το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης εξαρτάται από τη παραμετρική παράσταση της, ο εφαπτόμενος χώρος και η εφαπτόμενη ευθεία είναι ανεξάρτητα από αυτήν και άρα είναι ενδογενής έννοια του ίχνους της. Θεωρούμε τον γραμμικό μετασχηματισμό: J J x x x x :, (, ) (, ) Αν X ( x, x) ( X( x, x), X( x, x)) είναι διανυσματικό πεδίο του τότε JX ( X, X). Αν X () t ( X(), t X()), t ti είναι ένα διανυσματικό πεδίο d d κατα μήκος μιας καμπύλης, τότε ( JX) J X ( X, X ). Το διάνυσμα dt dt N (t ) J r (t ) r (t ) (.4) λέγεται μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης στο P(( r t)) (Σχ. ). Στη περίπτωση φυσικής παραμετρικής παράστασης r=r() s έχουμε: N(s ) JT( s ) Jr ( s ) (.5) Τα T () t και N () t είναι δύο διανυσματικά πεδία κατά μήκος της καμπύλης. Άσκηση : Να δειχθεί ότι η r () t είναι ευθεία, αν και μόνο αν r () t.

- -. Καμπυλότητα επιπέδων καμπυλών Έστω r=() r s, s Iμία φυσική παραμετρική παράσταση καμπύλης. Η απόκλισή της από το να είναι ευθεία εξαρτάται από το ρυθμό μεταβολής του εφαπτόμενου διανύσματος T () s = r ( s). Είναι όμως r ( s) r ( s), άρα r ( s) r ( s) δηλαδή, r (s) // N(s) = Jr (s). Επομένως υπάρχει συνάρτηση ( s) με T() s r'' () s = () s N () s H ( s) λέγεται συνάρτηση καμπυλότητας ή προσημασμένη καμπυλότητα της r () s. Από τη σχέση αυτή έπεται: () s = r'' () s N () s (.6) Θεωρούμε τη φυσική παραμετρική καμπύλη την r=r () s, s I. Είναι φανερό ότι ( s) αν και μόνο αν το N είναι ομόροπο με την επιτάχυνση r. Σχ. 4 Σε κάθε σημείο P(( r s)) ορίζουμε τη γωνία ( s) που σχηματίζει το διάνυσμα r ( s) με τον άξονα x x (γωνία στροφής) (σχήμα 4). Το r (s ) είναι μοναδιαίο και άρα γράφεται: r (s ) ( ( s), ( s)). Αποδεικνύεται ότι ορίζεται μια συνεχής συνάρτηση η () s, s [, ] με r (s) ( ( s), ( s)). Η ύπαρξη και η συνέχεια της r (s) συνεπάγεται ύπαρξη και συνέχεια της (s) διότι r (s) ( x( s), y( s)) ( ( s), ( s)), και r(s) = ( ημθ(s), συνθ(s))θ (s)=θ (s)jr (s)=θ (s) N(s). Αλλά r() s = k() s N() s οπότε

- - ( s)= θ (s). (.7) Από τη σχέση αυτή προκύπτει άμεσα η γεωμετρική ερμηνεία της καμπυλότητας ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας στροφής. Έχουμε ήδη ορίσει τη βάση των διανυσματικών πεδίων{ T, N } κατά μήκος της καμπύλης. Εκφράζουμε τώρα τα διανυσματικά πεδία T, N στη βάση αυτή. Έχουμε: Τ(s) = r (s) = (s) N Ν (s) = JT (s) = J(s) Ν = (s) JΝ = (s) J T = (s) T Οι τύποι Freet: T ( s) = () s N, (.8) N ( s) = ( s) T για την καμπύλη εκφράζουν τις μεταβολές T () s, N ( s) των διανυσματικών πεδίων T(), s N () s, ως προς τη βάση που σχηματίζουν τα διανυσματικά αυτά πεδία κατά μήκος της καμπύλης. Έστω (), t t I r μια παραμετρική παράσταση καμπύλης και s t = t s μια αλλαγή σε φυσική παραμετρική παράσταση (με αντίστροφη s = s t ) με q() = r (()) t s ή r()= t q ( s()) t. Αν τα, T, N αφορούν την q () s, τότε ορίζουμε για την r()= t q(()) s t τις αντίστοιχες ποσότητες ως εξής: ( t) ( s( t)), T(t) = T( s( t)), N(t) = N ( s( t)) Αποδεικνύεται τότε ότι υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση (), t t I με : T () t (cos (),si t ()) t, () t () t () t Πρόταση. Θεωρούμε μια κανονική καμπύλη με γενική παραμετρική παράσταση r(), t t I και ταχύτητα () t r () t. Οι τύποι για τα T, N, ο τύπος για την καμπυλότητα και οι τύποι Freet γίνονται: (t) (t) (t) J(t) (t) Jr( t) T(t) r, N(t) J r, (t) = r r r (.9) r(t) r(t) r (t) (t) T N (.) N= - T Απόδειξη : Από την r( t) q ( s( t)), έχουμε : d ds r(t)= ( q ( st ( )) =q ( st ()) q ( st ()) r ( st ( )) = T ( st ( )) ( t) T ( t) ( t) dt dt

- 4 - r '' q N T (t) = q ( st ( )) ( t) ( st ()) () t (s(t)) ( st ()) () t ( st ()) () t = N+T = (t) ( t) ( t) πολλαπλασιάζοντας την τελευταία επί J r(t)= J r(t), προκύπτει ο τύπος r (t) ( t) για την καμπυλότητα. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι (.9). Eπίσης, T=T (()) st s() t (()) st () t N(()) st () t() t N () t. Όμοια αποδεικνύεται και η δεύτερη σχέση από τις (.). Παρατήρηση. Αν r () t ( x(), t y()) t ο τύπος (.9) για την καμπυλότητα γράφεται: x() t y() t x() t y() t (t) =. (.) / x () t y () t Πρόταση. Αν η r(), t t I είναι μια ομαλή καμπύλη, τότε:. Η καμπύλη είνα τμήμα ευθείας αν και μόνο αν ( t), t I.. Η καμπύλη είνα τμήμα κύκλου ακτίνας, αν και μόνο αν ( t), t I. Απόδειξη:. Αν ( t), t I τότε r() t, t Iκαι άρα υπάρχουν σταθερά διανύσματα, με r() t t, ti επομένως η καμπύλη είναι τμήμα ευθείας. Το αντίστροφο αποδεικνύεται άμεσα.. Έστω ( t), t I και υποθέτουμε ότι (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι η a καμπύλη είναι φυσικά παραμερισμένη. Ορίζουμε τη νέα καμπύλη: q() t r() t N() t για την οποία προκύπτει q() t r() t N() t T() t ( T ()) t Άρα υπάρχει σταθερό διάνυσμα q ώστε q() t q, άρα r() t q, δηλαδή η καμπύλη βρίσκεται σε κύκλο ακτίνας α και κέντρου K( q ). Για το αντίστροφο, η καμπυλότητα του κύκλου υπολογίζεται άμεσα. Παράδειγμα. r () t t, t, t(,). Το μέτρο της ταχύτητας, το εφαπτόμενο διάνυσμα, το κάθετο διάνυσμα και η καμπυλότητα προκύπτουν από τις (.9) και (.): () () 4, r t t r t t T = (, t ), N = ( t,), (t)=. 4 4 (+t 4 ) / t t Παρατηρούμε ότι (t)> t>. Σχεδιάστε το κάθετο διάνυσμα και το διάνυσμα

- 5 - T = r (s) ( s) N, σε μερικά σημεία της καμπύλης και παρατηρήστε ότι είναι ομόρροπα αν και μόνο άν. Παράδειγμα. Η καμπύλη r () t (,si t t), t έχει καμπυλότητα si t ( t) - ( cos t ) / t (, ). Επίσης ( ) και ( ).. Ισχύει τότε: ( t) αν t (, ) και ( t) αν Σχ. 5 Σημεία στα οποία ( t) αλλά ( t) λέγονται σημεία καμπής. Παράδειγμα 4. α) Αν r () t (, t t ), t (Σχ.6), τότε ( t), t. β) Επίσης (Σχ.7) για την ίδια καμπύλη με άλη / ( 4 t ) παραμετρική παράσταση, τ. ( + 4τ ) r(τ) = (, ) είναι, (τ) = / Σε κάθε σημείο της καμπύλης η εφαπτομένη χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Παρατηρούμε στα παραδείγματα αυτά ότι όταν ( t) σε ένα σημείο, τα γειτονικά σε αυτό σημεία της καμπύλης βρίσκονται στο ημιεπίπεδο εκείνο της εφαπτομένης που δείχνει το κάθετο διάνυσμα (σχ. 5,6, και 7). Θα επανέλθουμε σε αυτό στη παράγραφο..

- 6 -. Θεμελιώδες Θεώρημα Επιπέδων Καμπυλών Αν F : μια απεικόνιση και r :[, ] μια καμπύλη, η εικόνα της r υπό την F είναι η καμπύλη q = F r. Παράδειγμα 5. Άν () t t, t παραγράφου., τότε () t J( ()) t - t, t r και J ο γραμμικός μετασχηματισμός της q r. Ορισμός. Ένας μετασχηματισμός F : (affie) αν υπάρχει σημείο x (ισοδύναμα διάνυσμα x ) και γραμμικός μετασχηματισμός Τ του έτσι ώστε για κάθε σημείο x (ισοδύναμα διάνυσμα x ) να ισχύει (Σχ. 8) Fx ( ) = Tx+ x (.) του ονομάζεται σημειακός Εφαρμόζοντας τον F στο σημείο x, προκύπτει x F() και άρα: Fx ( ) = Tx + F( ) (.) Σχ. 8 Επομένως ένας σημειακός μετασχηματισμός καθορίζεται πλήρως αν δοθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός T και η εικόνα του από την F. Ο μετασχηματισμός Τ ονομάζεται το γραμμικό μέρος του F. Aν ο T είναι ο ταυτοτικός, τότε ο F λέγεται «μεταφορά». Αν ο T είναι ορθογώνιος, ο F λέγεται Ευκλείδειος μετασχηματισμός του (ή, ισομετρία του ). Ισχύει τότε: F( x ) F( x ) x x (.4) Πρόταση 4: Για μια απεικόνιση F: ισχύει: F( x) F( x) x x αν και μόνο αν η F είναι σύνθεση μιας μεταφοράς και μιας ισομετρίας, δηλαδή είναι ένας Ευκλείδειος μετασχηματισμός. Παράδειγμα 6. Ο μετασχηματισμός Fx (, x) ( xx, xx) είναι σημειακός με Tx (, x) ( x x, xx) και F(,) (, ). Ο μετασχηματισμός Fx (, x) ( xx, xx ) δεν είναι σημειακός. Ο μετασχηματισμός Fx (, x) ( x, x) (, ) είναι μια μεταφορά. Ο μετασχηματισμός Fx (, x) ( x, x) (,) είναι Ευκλείδειος.

- 7 - Παράδειγμα 7. Για τον σημειακό μετασχηματισμό F( x) Tx F() έπεται ότι για μια καμπύλη r () t η εικόνα της γράφεται: q() t ( F r)() t F( r()) t = Tr () t + F( ). Άρα: q ( t) Tr' () t, q(t) = Tr (t). Σε μια διάλεξή του το 87 ο Felix Klei όρισε τη Γεωμετρία ως τη μελέτη εκείνων των ιδιοτήτων των σχημάτων που παραμένουν αναλλοίωτες από τους Ευκλείδειους μετασχηματισμούς. Για παράδειγμα οι συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν έχουν κάποια γεωμετρική αξία, όμως η ιδιότητα του μέσου να ισαπέχει από τα άκρα, καθώς και το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος, παραμένουν αναλλοίωτα από Ευκλείδειους μετασχηματισμούς. Στη θεωρία των καμπυλών του επιπέδου μας ενδιαφέρουν οι ιδιότητες της καμπύλης που παραμένουν ίδιες όταν η καμπύλη μετακινηθεί ως έχει σε άλλη θέση του επιπέδου, δηλαδή με ένα Ευκλείδειο μετασχηματισμό. Με τα επόμενα δύο θεωρήματα αποδεικνύεται ότι αν δοθεί η συνάρτηση καμπυλότητας μπορούμε να βρούμε την καμπύλη εκτός από τη θέση της στο επίπεδο, δηλαδή «με προσέγγιση» (u to) Ευκλείδειου μετασχηματισμού. Έτσι το μόνο αναλλοίωτο μέγεθος είναι η συνάρτηση καμπυλότητας. Θεώρημα 5: (Θεμελιώδες θεώρημα επιπέδων καμπυλών - Μονοσήμαντο) Θεωρούμε rq, :(, ), δύο καμπύλες στο ίδιο διάστημα (α,β) με φυσική παράμετρο. Αν οι r, q έχουν την ίδια συνάρτηση καμπυλότητας, τότε υπάρχει ένας Ευκλείδειος μετασχηματισμός F(x) = Tx + F( ) που διατηρεί τον προσανατολισμό ( dett ), τέτοιος ώστε η r να απεικονίζεται στην q() s F(() r s. Απόδειξη: Έστω s (, ) σταθερό. Τότε υπάρχει μια μεταφορά του που απεικονίζει ένα δεδομένο σημείο P(( r s)) στο σημείοq ( q ( s )). Επίσης υπάρχει μια στροφή του που απεικονίζει το r( s) στο q ( s). Άρα υπάρχει Ευκλείδειος μετασχηματισμός F με: F( r( s)) q( s), F( r( s)) q ( s). Θα δείξουμε ότι η F r m συμπίπτει με την q. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε τη συνάρτηση: f () s m() s q () s. Θα δείξουμε κατ αρχήν ότι f () s. Επειδή f( s) αρκεί να δείξουμε ότι f() s. Παραγωγίζοντας (παραλείπουμε την αναγραφή του s ) έχουμε: f() s ( m - q)( m - q ) = ( m m q q -m q - q m ). Επειδή οι r και q είναι φυσικές παραμετρικές παραστάσεις, θα ισχύει: m m =, q q =. Άρα

- 8 - f() s ( mq +qm ). Όμως F(x) = Tx + F( ) όπου T ισομετρικός και από προηγούμενο παράδειγμα έχουμε: m ( t) = Tr (t), m( t) = Tr( t)= T Jr( s) JTr ( s). Άρα f () s ( JTr() s q() s Jq() s Tr()) s ( JTr( s) q( s) q( s) JTr( s)) διότι J είναι αντισυμμετρικός ( Jx y = - x Jy ). Αφού f () s έπεται ότι: ( F( r( s))) q ( s). Άρα F(()) r s q() s q με q σταθερό, για κάθε s (, ). Επειδή όμως F(( r s)) q( s) έπεται ότι q και άρα F( r( s)) q( s) για κάθε s (, ). Θεώρημα 6: (Θεμελιώδες θεώρημα επιπέδων καμπυλών - Ύπαρξη) Αν ( s), s (, ) είναι μια κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση τότε υπάρχει μια φυσική παραμετρική καμπύλη r :(, ) με καμπυλότητα ( s) που δίνεται από την r() s r cos () s ds, si () s ds (.5) Όπου () s () s ds με, ( cd, ) r σταθερές. Απόδειξη. Δεδομένης της ( s), s (, ) ορίζουμε: (s) = (s) r () s (cos (),si s ()) s. Τότε προκύπτει η καμπύλη του συμπεράσματος με r () s και καμπυλότητα ( s). Δύο διαφορετικές καμπύλες που προκύπτουν με τον τρόπο αυτό διαφέρουν κατά τα () και r () ( x(), y()) (σχ. 9). Αν η μια μεταφερθεί παράλληλα ώστε να διέρχεται από το ίδιο σημείο r() με την άλλη, τότε μένει μια στροφή της καμπύλης ώστε στο αρχικό αυτό σημείο να έχουν και την ίδια γωνία στροφής () (σχ. 9)..5 - -.5.5 -.5 - Σχ. 9 Σχ.

- 9 - Αν για μια καμπύλη r() t υπολογίσει κανείς το μήκος τόξου s s() t και την καμπυλότητα () t και στη συνέχεια απαλείψει το t καταλήγει στην ( s) (ή εν γένει σε μια σχέση F(,s) = ). Μια τέτοια εξίσωση λέγεται φυσική εξίσωση της καμπύλης και περιγράφει πλήρως την καμπύλη (το «σχήμα» της) με εξαίρεση τη θέση της στο επίπεδο. Παράδειγμα 8. Η σχέση ( s) συνεπάγεται () s, άρα r () s r + cos ds, si ds r + s (cos,si ), δηλαδή είναι μια ευθεία. Παράδειγμα 9. Αν ( s)., τότε () s s, οπότε προκύπτει ο a κύκλος xs ( ) cos s dsasi s, ys ( ) si s ds acos s a a a a Παράδειγμα. Θεωρούμε την συνάρτηση καμπυλότητας ( s) s. Μολονότι η συνάρτηση ( s) sείναι απλή και θ(s) = ( s)ds= s s οι συνιστώσες x() s cos ds, y() s si ds της καμπύλης είναι μη στοιχειώδη ολοκληρώματα Fresel. Μετά από αριθμητικό υπολογισμό προκύπτει η γραφική παράσταση της καμπύλης στο σχήμα. s.4 Τοπική μορφή καμπύλης του επιπέδου Από Θεώρημα Taylor σε μια περιοχή του s έχουμε: ( ss ) ( ss ) r() s r( s ) ( ss ) ( r s ) r ( s ) r ( s ) R 6 όπου lim R ss. Όμως: r( s ) ( s ) N() ( ( s )) Τ ( s ). Άρα,

- - ( ss) ( ss) r() s r( s) ( ss) T N ( N T) R 6 ( ss) ( ss) ( ss) = ( ss) T N R 6 6 Άρα οι συνιστώσες της καμπύλης στο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το P(( r s )) και με διανύσματα βάσης { T, N } είναι: ( s)( s s) xs () ( ss) Rx 6 ( s)( ss) ( ss) (s ) y() s R 6 Οι εξισώσεις αυτές λέγονται τοπικές εξισώσεις της καμπύλης σε μια περιοχή του σημείου με s s. Παρατηρούμε ότι η δεύτερης τάξης προσέγγιση της καμπύλης ( s ) είναι η παραβολή: y x. Γεωμετρική ερμηνεία της επιτάχυνσης και της καμπυλότητας. Θεωρούμε μια καμπύλη r (), t t I, το σταθερό σημείο της P (( r t )) και το σημείο P( r ( t)) (Σχ. ). Επίσης επί της εφαπτομένης στο P(( r t)) ορίζουμε το σημείο E( q ( t)) με q( t) = r( t) + ( tt) r ( t) (ορίζεται από τα P(( r t)) και P( r ( t)) ). Τότε: ( t t) r() t r( t) ( tt) ( r t) r( t) R ( t) Όπου για το υπόλοιπο έχουμε ότι lim R (t) =. Τότε: tt ( t t ) EP = r q r R () t () t ( t) + () t y Σχ.

- - Το διάνυσμα EP «δείχνει» το ημιεπίπεδο, ως προς την εφαπτομένη, που βρίσκονται τα σημεία της καμπύλης. Όμως όταν t t, το διάνυσμα EP είναι ομόρροπο με το διάνυσμα r ( t). Άρα το διάνυσμα της επιτάχυνσης r ( t) δείχνει το ημιεπίπεδο, ως προς την εφαπτομένη, στο οποίο βρίσκονται τα σημεία της καμπύλης. Αν η παράμετρος t είναι φυσική θα είναι r ( t) ( t) N ( t). Άρα αν( t) το N ( t) δείχνει το ημιεπίπεδο ως προς την εφαπτομένη, που βρίσκονται τα σημεία της καμπύλης (ως ομόρροπο με το r ( t) ), ενώ αν( t) δείχνει προ το άλλο ημιεπίπεδο της εφαπτομένης. Αν η παράμετρος δεν είναι φυσική από την απόδειξη της πρότασης είναι r(t )= (t ) ( t ) N ( t ) +T ( t ) ( t ). Από αυτήν έπεται ότι r(t ) N ( t) (t ) ( t), οπότε και πάλι ( t) αν και μόνο αν το N ( t) δείχνει το ημιεπίπεδο ως προς την εφαπτομένη, που βρίσκονται τα σημεία της καμπύλης (αφού σχηματίζει με το r ( t) οξεία γωνία ). Η παραπάνω ερμηνεία φαίνεται στα παραδείγματα της παρ....5 Πεπλεγμένα οριζόμενες καμπύλες Συχνά, όπως π.χ: στην Αναλυτική Γεωμετρία, έχουμε δει καμπύλες να ορίζονται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Pxy (, ) των οποίων οι συντεταγμένες επαληθεύουν μια σχέση, F( x, y), όπου F : μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού έναν τόπο D του και ο αριθμός μηδέν να ανήκει στο σύνολο τιμών της. Παράδειγμα: x y, x y, xy. To σημειοσύνολο {( xy, ) : Fxy (, ) } (.6) δεν είναι πάντα το ίχνος μιας καμπύλης με την έννοια που έχουμε ορίσει. Για παράδειγμα η (.6) ακόμα και με διαφορίσιμη F μπορεί να δώσει ένα μη συνεκτικό σύνολο Γ (π.χ η xy - ), ενώ ο φορέας μιας παραμετρικής

- - καμπύλης r ( I ) είναι πάντα συνεκτικό σύνολο ως εικόνα συνεκτικού διαστήματος I από συνεχή απεικόνιση r. Αν η συνάρτηση F πληρεί ορισμένες προϋποθέσεις, τότε μπορεί τοπικά τουλάχιστο να βρεθεί μια παραμετρική καμπύλη που ο φορέας της συμπίπτει με το σύνολο Γ. Θεώρημα 7. Έστω F: μια διαφορίσιμη συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό σύνολο D και (x, y ) D με F(x,y ) =. Αν τουλάχιστον μια από τις μερικές παραγώγους F x, F y είναι μη μηδενική στο (x,y ) τότε υπάρχει μια περιοχή U του (x,y ) στο και μια παραμετρική καμπύλη σύνολο {( xy, ) U: Fxy (, ) } (σχ. ). r : (, ) με ίχνος το Σχ. Σχ. Απόδειξη: Αν π.χ. Fy τότε από το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων υπάρχει μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(, ) τέτοια ώστε y f( x) και F( x, f( x)), δηλαδή η f προκύπτει από επίλυση τοπικά της F(x,y) = ως προς y. Τότε προφανώς η παραμετρική καμπύλη r () t (, t f()), t t(, ) είναι η ζητούμενη. Το θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη και την παραγωγισιμότητα της f αλλά δεν δίνει τρόπο εύρεσης της. Όμως με παραγώγιση ως προς x της F( x, f( x)) προκύπτει: Fx ( x, y) f( x) (.7) F ( x, y) y y f ( x) Παράδειγμα : {( xy, ) : Gxy (, ) xy a }. Είναι Gxy (, ) (,) ( xy, ) (,). Άρα το θεώρημα εφαρμόζεται στην περιοχή κάθε σημείου της καμπύλης. Σε μια περιοχή V του σημείου P (σχ.)

- - υπάρχει επίλυση και ως προς x και ως προς y με x g y a y ( ) με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις y f x a x ( ) ή r () t (, t a t ) και q () t ( a t,) t αντίστοιχα. Σε μια περιοχή U του σημείου P υπάρχει επίλυση ως προς x, αφου Gy (,) και G (,). Είναι δε x my a y ( ). Η επίλυση ως προς y δεν εξασφαλίζεται από το θεώρημα. Παράδειγμα. {( xy, ): Fxy (, ) xyxy }. Το (,) είναι το μόνο σημείο της Γ με F(,) (,). Άρα το θεώρημα δεν εφαρμόζεται σε μια περιοχή του (,) (Σχ.4). Η r t t () t (, ), t (, ) t t είναι όμως μια παραμετρική παράσταση τμήματος της Γ που περιλαμβάνει το (,) με r (). x y x Σχ. 4 Αν F( x, y) είναι η πεπλεγμένη εξίσωση μιας καμπύλης και r ( t) ( x( t), y( t)), t(, ) μια παραμετρική της παράσταση που ισχύει για μια περιοχή ενός σημείου P(( r t)) ( x, y), τότε F(( r t)) r ( t). Το r ( t) είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα και επομένως το F(( r t)) είναι ένα κάθετο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο αυτό. Από το γεγονός αυτό προκύπτουν οι εξισώσεις που ικανοποιεί το τυχόν σημείο ( X, Y ) της εφαπτομένης και της καθέτου ευθείας στο σημείο P( x, y ) της καμπύλης:. Εφαπτομένη : ( X x) Fx( x, y) ( Y y) Fy( x, y) (.8). Κάθετη : ( X x) Fy( x, y) ( Y y) Fx( x, y). (.9) Στο εξής όταν έχουμε καμπύλες της μορφής (.6), θα θεωρούμε ότι ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του θεωρήματος σε κάθε σημείο.

- 4 -.6 Εγγύτατος Κύκλος Εξειλιγμένη Θεωρούμε μια ομαλή καμπύλη r= r( t) με καμπυλότητα στο σημείο P(( r t)) την ( t). Ο αριθμός Rt ( ) ( t ) ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης στο P. Ορίζουμε το σημείο K που βρίσκεται στην κάθετη της καμπύλης στο σημείο P σε απόσταση από το P ίση με την ακτίνα καμπυλότητας Rt ( ), έτσι ώστε το διάνυσμα PK να είναι ομόρροπο του N αν ( t) και αντίρροπο του N αν ( t). Ο κύκλος με κέντρο το K και ακτίνα Rt ( ) λέγεται κύκλος καμπυλότητας της καμπύλης στο P (Σχ. 5). Το διάνυσμα θέσης e του K είναι: Jr ( t ) e r( t ) N( t ) r( t ) ( ) ( ) ( ) t t r t Το λέγεται κέντρο καμπυλότητας της καμπύλης στο σημείο P. y (.) Κ -.. x P Σχ. 5 κύκλος καμπυλότητας Σχ. 6 κύκλοι καμπυλότητας σε διάφορα σημεία Αν c( ) το διάνυσμα θέσης του τυχόντος σημείου του κύκλου τότε: c( ) e R( t ), (.) ( t) Ο κύκλος καμπυλότητας διέρχεται από το P(( r t)), και στο σημείο αυτό έχει κοινή εφαπτομένη με την καμπύλη και την ίδια καμπυλότητα. Άρα ο κύκλος καμπυλότητας είναι «καλύτερη» προσέγγιση της καμπύλης από ότι η εφαπτομένη της. Για το λόγο αυτό λέγεται επίσης και εγγύτατος κύκλος της καμπύλης στο σημείο αυτό. Η εξειλιγμένη (evolute) μιας καμπύλης r () t είναι η καμπύλη των κέντρων καμπυλότητας της και άρα έχει παραμετρική παράσταση:

- 5 - Jr (t) ( t) e() t r() t r() t Jr (t)) ( t) r(t) r( t) Jr(t) (.) Αν r () s φυσική παραμετρική παράσταση και ( s) > η καμπυλότητα, θα έχουμε την απλούστερη παράσταση (αλλά όχι κατ ανάγκη φυσική): Είναι τότε: e() s r() s N () ( s) s. (.) ( s) e() s r() s N() s N() s () s () s ( ()) s N () s (.4) απo από όπου έπεται το παρακάτω: Πρόταση 8. Έστω καμπύλη r= r () s με φυσική παράμετρο. Τότε:. Οι εφαπτόμενη ευθεία στην εξειλιγμένη στο σημείο Q( e ( s)) συμπίπτει με την κάθετη στην αρχική καμπύλη στο σημείο P(()) r s.. Τα ιδιάζοντα σημεία της εξειλιγμένης προκύπτουν για τις τιμές της παραμέτρου s για τις οποίες ( )( s) (πιθανές θέσεις ακρότατων τιμών της καμπυλότητας της αρχικής καμπύλης). Παράδειγμα. Εξειλιγμένη της παραβολής e () t ( t, t ) (σχ 7). r () t (, t t ), t[,] είναι η Παράδειγμα 4. Εξειλιγμένη της έλλειψης r () t (.5cos,si t t), t[, ] είναι η e () t ( cos t, si t )(σχ 8). y x Σχ. 7 Η παραβολή, και η εξειλιγμένη της Σχ. 8 Η έλλειψη και η εξειλιγμένη της