H ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ TΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΒΙΟΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Υποψήφιος ιδάκτορας Ε.Α.Π. E-mail address: lprotopapas@eap.gr Χατζηνικολάου Μαρία Αναπληρώτρια καθηγήτρια Ε.Α.Π. E-mail address: hadjinicolaou@eap.gr Περίληψη Στόχος της παρούσας εργασίας είναι να δείξει τον τρόπο µε το οποίο η «γεωµετρία» ενός προβλήµατος επιδρά στη µαθηµατική προτυποποίηση προβληµάτων των φυσικών επιστηµών και των βιοεπιστηµών. Θα δείξουµε ότι η κατάλληλη επιλογή της γεωµετρίας, παρέχει τη δυνατότητα βέλτιστης περιγραφής του προβλήµατος επιτρέποντας συχνά την αναλυτική του λύση. Η µαθηµατική προτυποποίηση τέτοιων προβληµάτων εµπεριέχει νόµους διατήρησης ή εξισώσεις κίνησης, οι οποίοι εκφράζονται µέσω Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Η κατάλληλη επιλογή της γεωµετρίας οδηγεί στην έκφραση των διαφορικών τελεστών στο ανάλογο καµπυλόγραµµο σύστηµα συντεταγµένων, όπου συχνά η αναλυτική επίλυση του προβλήµατος επιτυγχάνεται µε τη µέθοδο του Χωρισµού Μεταβλητών και τη χρήση ειδικών συναρτήσεων. Για να αναδείξουµε τη σηµασία των παραπάνω, παρουσιάζουµε περιπτώσεις έρπουσας ροής σε διάφορες γεωµετρίες. Εισαγωγή Από τα πρώτα βήµατα της επιστηµονικής έρευνας, υπήρξε βασικό µέληµα η δυνατότητα αναπαράστασης διάφορων γεωµετρικών σχηµάτων µε απλές µαθηµατικές σχέσεις. Η ανάγκη αυτή µας οδήγησε στην «επινόηση» διαφόρων καµπυλόγραµµων συστηµάτων συντεταγµένων [1]: τις πολικές συντεταγµένες για τον κύκλο, τις κυλινδρικές συντεταγµένες για τον κύλινδρο, τις σφαιρικές συντεταγµένες για τη σφαίρα κτλ. Όµως ούτε τα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων αρκούν για να την µαθηµατική 1
αναπαράσταση κάθε σχήµατος. Η χρήση επίσης µετασχηµατισµών, όπως µεταφορά, στροφή, οµοιότητα, Kelvin [, 3, 4] κτλ. µας δίνει επιπλέον δυνατότητες. Για να κατασκευάσουµε το αντίστοιχο µαθηµατικό πρότυπο επιλέγουµε την κατάλληλη γεωµετρία και εκφράζουµε µε τη χρήση µαθηµατικών τους φυσικούς νόµους και τις αρχές που διέπουν το πρόβληµα. Επόµενο βήµα είναι η επίλυση του προβλήµατος. ύο είναι οι βασικές επιλογές µας: η αναλυτική και η αριθµητική επίλυση. Η αναλυτική επίλυση χρησιµοποιεί την ανάλυση εξ ου και το όνοµα και οδηγεί σε ακριβείς µαθηµατικές εκφράσεις ή αλλιώς κλειστές µορφές λύσεων και επιτρέπουν την απόλυτη γνώση της συµπεριφοράς του µοντέλου σε οποιαδήποτε περίπτωση. Από την άλλη µεριά, κυρίως όταν το µοντέλο είναι πολύπλοκο είτε λόγω των εξισώσεων είτε λόγω γεωµετρίας και δεν επιδέχεται αναλυτική λύση χρησιµοποιούµε αριθµητικές µεθόδους για να παράγουµε τη λεγόµενη αριθµητική λύση ως προσέγγιση µε κάποια ακρίβεια της πραγµατικής. Τα αποτελέσµατα είναι λίστες από αριθµούς και αντιλαµβανόµαστε τη συµπεριφορά του µοντέλου µετά από κατάλληλη «οπτικοποίηση». Η αριθµητική επίλυση δεν εξαρτάται από την ιδιαίτερη γεωµετρία του προβλήµατος. Η ορθότητα των αποτελεσµάτων επιβεβαιώνεται είτε µε σύγκριση, είτε µε αναγωγή σε ήδη γνωστά αποτελέσµατα που παράγονται µέσω γεωµετρικού εκφυλισµού ή απλούστευσης του διαφορικού τελεστή (π.χ. γραµµικοποίηση). Γεωµετρία και µοντελοποίηση Κάθε πρόβληµα Φυσικής, Ιατρικής, Βιολογίας κτλ. επιθυµούµε να το λύνουµε µε όσο µεγαλύτερη ακρίβεια γίνεται. Για να µπορέσει να λυθεί όµως ένα πρόβληµα είναι συχνό το φαινόµενο να κάνουµε κάποιες παραδοχές. Οι παραδοχές αυτές µας οδηγούν στην δηµιουργία ενός απλούστερου µοντέλου για το πρόβληµά µας. Όσο λιγότερες είναι οι παραδοχές τόσο ακριβέστερο είναι το µοντέλο. Οι παραδοχές γίνονται µε τέτοιο τρόπο ώστε αφενός µεν να προσεγγίζεται το πρόβληµα διατηρώντας τα σηµαντικά χαρακτηριστικά του (εξισώσεις, σχήµατα), αφετέρου δε να µας διευκολύνει στην επίλυσή του. Επειδή πολύ συχνά η γεωµετρία των προβληµάτων καθιστά τα προβλήµατα αρκετά πολύπλοκα στην επίλυσή τους, χρησιµοποιούµε πιο απλές γεωµετρίες για την επίλυση τους. Για παράδειγµα στα τρισδιάστατα προβλήµατα συχνά επιλέγεται αρχικά το σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων, θεωρώντας δύο βαθµούς συµµετρίας. Όπως προαναφέρθηκε, το πρώτο βήµα για τη δηµιουργία ενός µοντέλου είναι η έκφραση των νόµων και των αρχών που το διέπουν µε µαθηµατικές εξισώσεις. Η επιλογή του συστήµατος συντεταγµένων επηρεάζει την
έκφραση των εξισώσεων και ως εκ τούτου έχει καθοριστικό ρόλο. Το σχήµα του µέσου ή του αντικειµένου που αφορά το πρόβληµα είναι το βασικό κριτήριο για την επιλογή της γεωµετρίας, και εποµένως του καµπυλόγραµµου συστήµατος συντεταγµένων στο οποίο θα εκφραστεί το µαθηµατικό πρόβληµα (πχ. ροή σε κυλινδρικό αγωγό ή γύρω από σφαίρα). Οι εξισώσεις που διέπουν το πρόβληµα, Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις (Μ Ε) ή Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις (Σ Ε), εκφράζονται διαφορετικά, ανάλογα µε το σύστηµα συντεταγµένων που επιλέγεται κάθε φορά και για την επίλυση των οποίων διάφοροι µέθοδοι έχουν αναπτυχθεί. Ειδικά για τις γραµµικές Μ Ε η µέθοδος του χωρισµού των µεταβλητών είναι η πιο συνηθισµένη. Οι λύσεις των εξισώσεων αυτών συχνά εµπεριέχουν ειδικές συναρτήσεις [5]. εδοµένης της µαθηµατικής διατύπωσης του προβλήµατος, το επόµενο βήµα αφορά στην αναλυτική του επίλυση. Η αναλυτική επίλυση των προβληµάτων δεν είναι πάντα εφικτή, αλλά κάθε φορά που επιτυγχάνεται µας δίνει εξαιρετικά αποτελέσµατα. Ένας τρόπος έλεγχου της ορθότητάς τους είναι η αναγωγή των λύσεων από το ένα σύστηµα, στις αντίστοιχες λύσεις σε άλλο απλούστερο, µε κατάλληλο µετασχηµατισµό που υπαγορεύεται από τον αντίστοιχο γεωµετρικό εκφυλισµό και µετάπτωση του ενός συστήµατος στο απλούστερο άλλο (πχ. εκφυλισµό σφαιροειδούς σε σφαίρα). Τη χρησιµότητα όλων των παραπάνω θα αναδείξουµε στη συνέχεια, µε τη µελέτη συγκεκριµένων περιπτώσεων αξονοσυµµετρικής έρπουσας ροής. Το φυσικό πρόβληµα Ροή Stokes (ή έρπουσα ροή) [6, 7, 8] λέγεται ο τύπος της ροής που οι δυνάµεις αδράνειας είναι πολύ µικρότερες συγκρινόµενες µε τις ιξώδεις, το οποίο έχει ως αποτέλεσµα ο αριθµός Reynolds που χαρακτηρίζει το είδος της ροής, να είναι πολύ µικρότερος της µονάδας (N Re << 1). Σχήµα 1: Ροή Stokes γύρω από σφαίρα (N Re << 1) Γνωρίζουµε ότι [8] η εξίσωση Navier Stokes που περιγράφει τη ροή ασυµπίεστου ρευστού, µε σταθερό ιξώδες, εκφράζεται από τη σχέση 3
Dv Dt ρ = Fρ p +µ v (1) D όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, είναι η υλική παράγωγος, v Dt είναι η ταχύτητα του ρευστού, F είναι η συνισταµένη των ιξωδών δυνάµεων, p η υδροστατική πίεση και µ είναι το ιξώδες. Η εξίσωση αυτή προκύπτει από την αρχή διατήρησης της ορµής και εκφράζει τη θεώρηση ότι ο ρυθµός µεταβολής της ορµής είναι ανάλογος της συνισταµένης των δυνάµεων που ασκούνται στο ρευστό. Αν F = g, όπου g = g το µέτρο του διανύσµατος της επιτάχυνσης της βαρύτητας και P= p+ g ρ είναι η ολική πίεση, η σχέση (1) γίνεται Dv ρ = P +µ v () Dt Αν θεωρήσουµε τη ροή σταθερή (ανεξάρτητη του χρόνου) ισχύει Dv = v v και από την () προκύπτει Dt ρv v= P+µ v (3) Στη ροή Stokes οι όροι αδρανείας ρv v είναι πολύ µικρότεροι συγκρινόµενοι µε τους ιξώδεις όρους µ v, οπότε µπορούν να παραλειφθούν και η εξίσωση (3) παίρνει τη µορφή 1 v = P (4) µ Αν θεωρήσουµε το κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων ( ϖ,z, φ ), βρίσκουµε ότι η ταχύτητα δίνεται από την σχέση v = ψ φ (5) ( ) ενώ υπολογίζοντας το ζ= v και βρίσκουµε ότι E ψ ζ= i φ (6) ϖ όπου i είναι το µοναδιαίο διάνυσµα στη φ διεύθυνση και φ Ε είναι ο τελεστής Stokes µε 1 E =ϖ + (7) ϖ ϖ ϖ z Επιπλέον αφού χρησιµοποιούµε αξονοσυµµετρικό σύστηµα συντεταγµένων, ισχύει 4
4 E ψ ( ζ) = i φ (8) ϖ 4 όπου E είναι η σύνθεση του τελεστή Stokes µε τον εαυτό του, ενώ E ψ v ζ= ψ (9) ϖ Χρησιµοποιώντας τα παραπάνω βρίσκουµε ότι ( E ψ) ψ ψ E ψ 4 ϖ +νe ψ= (1) t z ϖ ϖ z ϖ όπου ν είναι το κινηµατικό ιξώδες. Στην (1) παραλείπουµε τους όρους αδρανείας (είναι πολύ µικρότεροι από τους ιξώδεις στην έρπουσα ροή) και αφού θέλουµε γραµµική ροή, έχουµε ότι η εξίσωση για τη συνάρτηση ροής στη γραµµική έρπουσα ροή δίνεται από την σχέση 4 E ψ= (11) η οποία είναι µια Μ Ε 4 ης τάξης ελλειπτικού τύπου. Ένα παράδειγµα από τις βιοεπιστήµες Η προσοµοίωση της ροής του αίµατος είναι πολύ σηµαντική στη διάγνωση, την κατανόηση, την αποφυγή και τη θεραπεία πολλών ασθενειών του αίµατος. Το αίµα θεωρείται αιώρηµα τριών διαφορετικών τύπων κυττάρων: τα ερυθρά αιµοσφαίρια, τα λευκά αιµοσφαίρια και τα αιµοπετάλια τα οποία βρίσκονται µέσα σε ένα ασυµπίεστο νευτώνειο ρευστό, το πλάσµα του αίµατος. Τα ερυθρά αιµοσφαίρια αποτελούν το 4 45% του όγκου του αίµατος, όταν το πλάσµα του αίµατος είναι το 55% περίπου. Γι αυτό και η µελέτη της ροής του πλάσµατος του αίµατος γύρω από το ερυθρό αιµοσφαίριο έχει ιδιαίτερη αξία. Θεωρούµε τη ροή του πλάσµατος του αίµατος γύρω από το ερυθρό αιµοσφαίριο ως αξονοσυµµετρική έρπουσα ροή γύρω από ένα σταθερό και αποµονωµένο συµπαγές στερεό, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή του καρτεσιανού συστήµατος συντεταγµένων (, x, ). Θεωρούµε U την ταχύτητα του πλάσµατος του αίµατος, που είναι παράλληλη στον άξονα συµµετρίας κατά την αρνητική κατεύθυνση. Επιπλέον αν αναλογιστούµε το µέγεθος του ερυθρού αιµοσφαιρίου, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το ρευστό εκτείνεται µέχρι το άπειρο. 5
V U V V Σχήµα. Ροή γύρω από το ερυθρό αιµοσφαίριο Για το παραπάνω σχήµα έχουµε ότι V είναι το χωρίο εξωτερικά του ερυθρού αιµοσφαιρίου, V είναι η επιφάνεια του ερυθρού αιµοσφαιρίου, V είναι το εσωτερικό του ερυθρού αιµοσφαιρίου, Μια πρώτη προσέγγιση που µπορούµε να κάνουµε είναι να θεωρήσουµε το ερυθρό αιµοσφαίριο ως σφαίρα. Στην περίπτωση αυτή θέλουµε να επιλύσουµε τη ροή γύρω από ακίνητη συµπαγή σφαίρα, οπότε χρησιµοποιήσουµε το σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων (r, θϕ, ). Η εξίσωση της επιφάνειας της σφαίρας στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων δίνεται από την x1 + x + x3 =α, ενώ στο σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων δίνεται από τη σχέση r =α( α> ). Η απλή αυτή µορφή είναι χρήσιµη για την έκφραση των συνοριακών συνθηκών (ΣΣ) του προβλήµατος. Στο σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων [8] o τελεστής Stokes παίρνει τη µορφή sin θ 1 E = + r r sin (1) θ θ θ ή ισοδύναµα 1 ζ E = + (13) r r ζ αν ζ = cosθ. 6
U V V 4-4 - 4 - V -4 Σχήµα 3. Ροή γύρω από σφαίρα Η υπόθεση της οµοιόµορφης ροής στο άπειρο απαιτεί: 1 Ur (1 ζ) ψ, όταν r (14) Οι συνοριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται πάνω στη σφαίρα είναι: ψ = (15) r= α και ψ = (16) r r= α όπου η (15) εκφράζει τη συνθήκη µη ολίσθησης, ενώ η (16) εκφράζει την αδιαπερατότητα της σφαίρας. Η γενική λύση της (11) στο σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων προκύπτει µε τη µέθοδο του χωρισµού των µεταβλητών και είναι n n+ 1 n+ n+ 3 ( n n n n ) n() ψ (r,ζ) = A r + B r + C r + D r G ζ n= n n+ 1 n+ n+ 3 ( Ar n Br n Cr n Dr n ) Hn() ζ + + + + n= (17) όπου οι G n(x),h n(x) είναι συναρτήσεις Gegenbauer 1 ου και ου είδους αντίστοιχα. 7
Χρησιµοποιώντας κανόνες ορθογωνιότητας για την επαλήθευση της ασυµπτωτικής συνθήκης και των συνοριακών συνθηκών προκύπτει ότι η συνάρτηση ροής δίνεται από την σχέση Uα r r α ψ (r,ζ) = (1 ζ ) 3 4 + + α α r (18) Στο ακόλουθο σχήµα παρουσιάζουµε ροϊκές γραµµές µε ταχύτητα ρευστού U =.1 και ακτίνα της σφαίρας α= 5. 1 5-5 -1-1 -5 5 1 Σχήµα 4. Ροϊκές γραµµές στο επίπεδο x = γύρω από σφαίρα Μια καλύτερη προσέγγιση του προβλήµατος επιτυγχάνεται αν θεωρήσουµε το ερυθρό αιµοσφαίριο ως πεπλατυσµένο σφαιροειδές. U V 3 V 1-4 - 4-1 - V -3 Σχήµα 5. Ροή γύρω από πεπλατυσµένο σφαιροειδές 8
Ο τελεστής Stokes στο πεπλατυσµένο σφαιροειδές σύστηµα συντεταγµένων ( λζφ,, ) παίρνει τη µορφή 1 E = (1+ λ ) + (1 ζ ) c ( λ + ζ ) λ ζ (19) Οι επιφάνειες λ = λ (σταθερό) είναι τα πεπλατυσµένα σφαιροειδή που µας ενδιαφέρουν. Οι συνοριακές συνθήκες του προβλήµατός µας δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις ψ = λ=λ () και ψ = (1) λ λ=λ ενώ η ασυµπτωτική συνθήκη είναι 1 Uc (λ 1)(1 ζ ψ + ), όταν r () Η σχέση () εκφράζει τη συνθήκη µη ολίσθησης, ενώ η (1) εκφράζει την αδιαπερατότητα του πεπλατυσµένου σφαιροειδούς. Το πεπλατυσµένο σφαιροειδές προκύπτει από το επίµηκες σφαιροειδές από τον απλό µιγαδικό µετασχηµατισµό τ iλ και c ic (3) c >, τ > 1, λ > Η γενική λύση της (11) στο επίµηκες σφαιροειδές σύστηµα συντεταγµένων (, τζφ, ) προκύπτει από τη µέθοδο του ηµιχωρισµού των µεταβλητών [9] και είναι ψ(τ,ζ) = g (τ)g (ζ) + g 1(τ)G 1(ζ) (4) + g (τ)g (ζ) + h (τ)h (ζ) n= [ ] n n n n Συνεπώς ο συνδυασµός των σχέσεων (3), (4) µας δίνει τη γενική λύση στο πεπλατυσµένο σφαιροειδές. Χρησιµοποιώντας κανόνες ορθογωνιότητας για την επαλήθευση της ασυµπτωτικής συνθήκης και των συνοριακών συνθηκών προκύπτει ότι η συνάρτηση ροής δίνεται από την σχέση 9
λ 1 1 cot λ Uc (λ + 1)(1 ζ ) λ + 1 λ + 1 λ λ 1 1 cot λ λ+ 1 λ+ 1 ψ (ζ,λ) = 1 λ (5) Στα ακόλουθα σχήµατα παρουσιάζουµε ροϊκές γραµµές µε ταχύτητα ρευστού U =.1 και λόγο ηµιαξόνων k. Μορφοποιήθηκε: Ελληνικά 5-6 -4-4 6-5 Σχήµα 6. Ροϊκές γραµµές στο επίπεδο x = µε 5 k= 3 1
15 1 5-5 -1-15 -15-1 -5 5 1 15 Σχήµα 7. Ροϊκές γραµµές στο επίπεδο x = µε 1 k= 3 Μια ακόµη καλύτερη προσέγγιση του µοντέλου είναι να θεωρήσουµε το ερυθρό αιµοσφαίριο ως αντίστροφο επίµηκες σφαιροειδές. Για το λόγο αυτό επιλέγουµε το αντίστροφο επίµηκες σφαιροειδές σύστηµα συντεταγµένων ( τ, ζ, φ ), στο οποίο η ζητούµενη επιφάνεια δίνεται από τη σχέση τ=τ (σταθερό). U V V 6 4-1 -5 5 1 - -4-6 V Σχήµα 8. Ροή γύρω από το ερυθρό αιµοσφαίριο Το γενικό πρόβληµα που θέλουµε να επιλύσουµε, εκφράζεται από τις ακόλουθες σχέσεις (6) ως (9). 11
4 ( ) E ψ r =, r V (6) a a ( ) ψ r =, r V (7) ψ a n ( r ) =, r V (8) 1 ψa ϖ U, r + (9) όπου ( r ) ψ είναι η συνάρτηση ροής και ϖ είναι η ακτινική κυλινδρική a συνιστώσα στο αντίστροφο επίµηκες σφαιροειδές σύστηµα συντεταγµένων. Η σχέση (6) είναι η εξίσωση που πρέπει να ικανοποιείται για τη ροή Stokes, η (7) εκφράζει τη συνθήκη µη ολίσθησης, η (8) εκφράζει την αδιαπερατότητα του ερυθρού αιµοσφαιρίου, ενώ η (9) εκφράζει την ασυµπτωτική συνθήκη στο άπειρο. Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµούς και θεωρήµατα [9, 1] βρίσκουµε τη συνάρτηση ροής, η οποία είναι µια σειρά που εµπλέκει ειδικές συναρτήσεις. Στα ακόλουθα σχήµατα παρουσιάζουµε ροϊκές γραµµές, χρησιµοποιώντας µόνο τον πρώτο όρο της σειράς και για διαφορετικούς λόγους ηµιαξόνων k. 3 1-1 - -3-3 - -1 1 3 Σχήµα 9. Ροϊκές γραµµές στο επίπεδο x = µε 5 k= 1
4 - -4-4 - 4 Σχήµα 1. Ροϊκές γραµµές στο επίπεδο x = µε 1 k= 3 Συµπεράσµατα Τα µαθηµατικά µοντέλα είναι πολύ συνηθισµένα για την προσέγγιση διαφόρων προβληµάτων Φυσικής, Ιατρικής, Βιολογίας κτλ. Κάθε πρόβληµα διέπεται από φυσικούς νόµους και αρχές διατήρησης, που πρέπει να εκφραστούν µε µαθηµατικές εξισώσεις. Η µορφή των εξισώσεων επηρεάζεται άµεσα από την επιλογή της γεωµετρίας που θα χρησιµοποιήσουµε. H κατάλληλη επιλογή του καµπυλόγραµµου συστήµατος συντεταγµένων σε ένα πρόβληµα, µας βοηθά στην καλύτερη δυνατή προσέγγιση του καθώς και επιτρέπει την αναλυτική του επίλυση. Η αναλυτική λύση δίνει τη δυνατότητα ακριβούς περιγραφής της συµπεριφοράς του µοντέλου σε κάθε περίπτωση. Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. Moon P, Spencer D E. Field Theory Handbook, Springer-Verlag, 1961.. Thomson W (Lord Kelvin). Papers on Electrostatics and Magnetism, MacMillan, London, 188. 3. Dassios G, Kleinman R. On Kelvin Inversion and Low Frequency Scattering, SIAM Rev, 1989; 31, 565 585. 4. Baganis G, Hadjinicolaou M. Analytic Solution of an Exterior Neumann Problem in a Non-Convex Domain, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1. 13
5. Lebedev N N. Special Functions and Their Applications, Dover Publications, 197. 6. Stokes G G. On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion and the Equilibrium and Motion of Elastic Solids, Trans. Camp. Phil. Soc, 1945; 8, 87 319. 7. Stokes G G. On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums, Trans. Camp. Phil. Soc, 1851; 8, 8 16. 8. Happel J, Brenner H. Low Reynolds umber Hydrodynamics, Kluwer Academic Publishers, 1991. 9. Dassios G, Hadjinicolaou M, Payatakes A C. Generalized Eigenfunctions and Complete Semiseparable Solutions for Stokes Flow in Spheroidal Coordinates, Quarterly of Applied Mathematics, 1994; Volume LII, Number I, (157 191) Brown University. 1. Dassios G. The Kelvin Transformation in Potential Theory and Stokes Flow, IMA Journal of Applied Mathematics, 9; 74, 47 438. 14