1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν κάποια από αυτά να τα αγαπήσει. Η Ιάπωνες ανήκουν σε εκείνους τους λαούς που δύσκολα κάποιος δε θα βρει πράγματα να τα αγαπήσει. Οι ταινίες του Ακίρα Κουρασάβα, τα παραδοσιακά τους συγκροτήματα κρουστών (όπως οι Kodo), η ποίηση χαϊκού και το παιχνίδι λογικής sudoku είναι αυτά που προσωπικά, και μετά από μακροχρόνια ενασχόληση μαζί τους, έχω αγαπήσει. Τι είναι το sudoku; Πρόκειται για ένα παιχνίδι με αριθμούς και με παράδοση αρκετών αιώνων στην Ιαπωνία. Το ότι χρησιμοποιούνται αριθμοί δεν έχει να κάνει με αριθμητική ή μαθηματικά. Πρόκειται για παιχνίδι λογικής και μόνο. Αντί για τους αριθμούς το ίδιο άνετα θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν γράμματα ή κάποια άλλα σύμβολα. Το sudoku παίζεται σε ένα τετράγωνο χωρισμένο σε 1 κουτάκια (Χ). Στόχος του παιχνιδιού είναι, ο παίκτης, να συμπληρώσει έναν αριθμό, από το 1 έως το, σε κάθε κουτάκι με τον περιορισμό ότι, ο κάθε αριθμός από το 1 έως το, πρέπει να εμφανίζεται σε κάθε οριζόντια γραμμή, σε κάθε κάθετη γραμμή και σε κάθε ένα από τα τετράγωνα συγκροτήματα (3Χ3) κουτιών που περιβάλλονται με πιο έντονη γραμμή (που θα ονομάζουμε στη συνέχεια: μπλοκ) μόνο μια φορά. Σε κάθε παιχνίδι sudoku ο δημιουργός έχει ήδη σημειώσει τις θέσεις κάποιων αριθμών, με τη βοήθεια των οποίων, ο παίκτης, καλείται να συμπληρώσει τους υπόλοιπους. Η τεχνική για να συμπληρώνονται, σε κάθε κουτάκι, οι αριθμοί που λείπουν βασίζεται στον, άμεσο ή έμμεσο, αποκλεισμό των υπόλοιπων αριθμών έτσι ώστε τελικά να μένει ένας. Όπως σε κάθε παιχνίδι λογικής, έτσι και στο sudoku, υπάρχουν πολλά επίπεδα δυσκολίας. Επίπεδα δυσκολίας που, στο sudoku, εξαρτιούνται από το αν και σε τι βαθμό απαιτούνται οι έμμεσοι αποκλεισμοί για να λυθεί. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 3 4 X 6 2 7 Στη θέση του Χ, στο ανωτέρω παράδειγμα, οι αριθμοί 1,3,4, κι αποκλείονται διότι βρίσκονται στην ίδια οριζόντια γραμμή με το Χ. Επίσης αποκλείονται και οι αριθμοί 2,6 κι 7 διότι βρίσκονται στο ίδιο μπλοκ με το Χ. Έτσι στη θέση του Χ θα συμπληρώσουμε το μόνο αριθμό που μένει, δηλαδή το 5. και 2) Αποκλεισμός ενός αριθμού από όλα, πλην ενός, τα ελεύθερα κουτάκια σε κάποιο μπλοκ. 4 4 1 6 X
2 από 10 Στο δεξί μπλοκ, στο ανωτέρω παράδειγμα, ο αριθμός 4 αποκλείεται από όλα τα ελεύθερα κουτάκι εκτός από αυτό που έχουμε σημειώσει το Χ, οπότε το 4 πρέπει να γραφεί σε αυτό. - Οι έμμεσοι αποκλεισμοί βασίζονται στο ότι μπορούμε ακόμα και χωρίς να ξέρουμε την ακριβή θέση κάποιων αριθμών - αλλά με βάση τη γραμμή ή το μπλοκ που ανήκουν τα κουτάκια στα οποία βρίσκονται - να τους χρησιμοποιούμε για να αποκλείουμε άλλους αριθμούς. 1 3 4 7 5 1 7 X 4 5 Κοιτώντας το ανωτέρω παράδειγμα διαπιστώνουμε ότι στα κουτάκια της τρίτης γραμμής του αριστερά μπλοκ περιέχονται (χωρίς όμως να ξέρουμε το που ακριβώς) οι αριθμοί 2,6 κι. Αυτό όμως σημαίνει ότι αυτοί οι αριθμοί δε μπορεί να βρίσκονται στο κουτάκι που έχουμε σημειώσει με Χ, οπότε για τη θέση του Χ μένει μόνον ο αριθμός 3 τον οποίο και θα γράψουμε σε αυτό. 1 6 3 5 3 6 4 X 4 5 Κοιτώντας επίσης το ανωτέρω παράδειγμα διαπιστώνουμε ότι στα κουτάκια της πρώτης στήλης του δεξιά μπλοκ περιέχονται (χωρίς να γνωρίζουμε την ακριβή τους θέση) οι αριθμοί 2,7 και, ενώ σε αυτά της τρίτης γραμμής του μεσαίου μπλοκ περιέχονται (χωρίς και πάλι να γνωρίζουμε την ακριβή τους θέση) οι αριθμοί 1,2 και 7. Επομένως για το κουτάκι που σημειώσαμε το Χ αποκλείονται οι 2 και 7 και απομένει ο αριθμός τον οποίο και θα γράψουμε σε αυτό. Προτού δούμε τα ανωτέρω στην πράξη οφείλουμε να τονίσουμε ότι ένα sudoku έχει πάντα μια ακριβώς λύση. Στις μέρες μας κυκλοφορούν πολλά περιοδικά με sudoku τα οποία, σε αντίθεση με τα παραδοσιακά γιαπωνέζικα - έργα τέχνης, φτιάχνονται σωρηδόν σε προγράμματα υπολογιστών και δυστυχώς, πέραν της έλλειψης πρωτοτυπίας, δεν είναι πάντα σωστά αφού είτε δεν έχουν ακριβώς μία λύση (μου έχει τύχει να λύσω sudoku και ο δημιουργός να δίνει άλλη λύση επίσης συμβατή με τους αρχικούς αριθμούς) είτε να μην έχουν καν λύση (μου προέκυψε και περίπτωση όπου σε ένα κουτάκι αποκλειόντουσαν όλοι οι αριθμοί χωρίς κάποιο δικό μου λάθος!). Το κατωτέρω παράδειγμα ανήκει στην κατηγορία των πολύ δύσκολων sudoku αλλά είναι ιδανικό για τις ανάγκες του παρόντος. Καλό πάντως είναι για όποιον θελήσει να παρακολουθήσει τη λύση να το κάνει αφού, πρώτα, εκτυπώσει (τουλάχιστον) την τελευταία σελίδα στην οποία υπάρχει το συγκεκριμένο sudoku σε μεγέθυνση
3 από 10 4 3 5 7 3 5 2 3 7 5 1 4 7 4 2 6 Κατ αρχή διαπιστώνουμε ότι, με άμεσο αποκλεισμό του αριθμού 4 από τη μεσαία στήλη του κεντρικού μπλοκ, ο 4 υποχρεωτικά περιέχεται στο μεσαίο κουτάκι της αριστερής στήλης του εν λόγω μπλοκ. Ομοίως, ο 3 στο πάνω δεξιά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ της πάνω σειράς των μπλοκ, ο 5 στο κάτω δεξιά κουτάκι του ίδιου μπλοκ, ο 6 στο μεσαίο κουτάκι της δεξιάς στήλης ίδιου μπλοκ, ο 3 στο κεντρικό κουτάκι του κεντρικού μπλοκ, ο 7 στο μεσαίο κουτάκι της αριστερής στήλης του πάνω αριστερά μπλοκ, ο 7 στο πάνω δεξιά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ στη δεξιά στήλη των μπλοκ, ο 7 στο πάνω αριστερά κουτάκι του πάνω δεξιά μπλοκ και ο 4 στο κάτω αριστερά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ στην κάτω σειρά των μπλοκ. 4 3 7 7 3 6 5 7 5 3 5 2 3 7 7 5 3 4 1 4 7 4 6 4 2 Κοιτώντας λίγο προσεκτικά το κεντρικό μπλοκ διαπιστώνουμε ότι στα δυο κουτάκια, που εκκρεμεί η συμπλήρωση των αριθμών, οι μόνοι δυνατοί αριθμοί που δύνανται να μπουν είναι οι: 1 και, κάτι που σημαίνει ότι στο μεσαίο κουτάκι του κεντρικού μπλοκ της πάνω γραμμής των
4 από 10 μπλοκ δε μπορεί να μπει ο 1 (έμμεσος αποκλεισμός!) που έτσι γράφεται στο ακριβώς δίπλα του κουτάκι και τέλος, στο μόνο ασυμπλήρωτο του εν λόγω μπλοκ, ο 2. 4 3 7 7 3 1 2 6 5 7 5 3 5 2 3 7 7 5 3 4 1 4 7 4 2 4 6 Κατόπιν παρατηρούμε ότι ο 2 μπορεί να μπει μόνο στο πάνω αριστερά κουτάκι του μεσαίου μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ και ο 3 ακριβώς από κάτω του. Συνεχίζουμε, στο ίδιο μπλοκ της, και με άμεσο αποκλεισμό γράφουμε τον 7 στο κεντρικό κουτάκι και τον 5 ακριβώς από πάνω του και στο κάτω δεξιά κουτάκι του αριστερού μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ, με άμεσο αποκλεισμό, γράφουμε τον 7 (ως κατωτέρω σχήμα). 4 3 7 7 3 1 2 6 5 7 5 3 5 2 3 7 7 5 3 4 1 4 2 5 7 3 7 4 2 7 4 6 Στο σημείο διαπιστώνουμε ότι δε φαίνεται κάποιο κουτάκι να μπορεί να συμπληρωθεί με άμεσο αποκλεισμό. Ακόμα βέβαια και αν η εκτίμησή μας αυτή είναι εσφαλμένη η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε στη συνέχεια μας εξασφαλίζει την εύρεση λύσης και θα μας φανερώσει και τα τυχόντα κουτάκια που θα μπορούσαμε να είχαμε συμπληρώσει με άμεσο αποκλεισμό αλλά μας διέφυγαν!
5 από 10 Ας ξεκινήσουμε (βλέπε κατωτέρω σχήμα) από το δεξί μπλοκ της πάνω γραμμής των μπλοκ και ας σημειώσουμε σε κάθε κουτάκι όλους τους αριθμούς που θα μπορούσαν να γραφτούν σε αυτό λαμβανομένων υπόψη των κανόνων του παιχνιδιού. Οι 4 κι μπορούν να βρίσκονται μόνον εκεί που είναι σημειωμένοι διότι, στην οριζόντια γραμμή που ανήκουν, είναι οι μόνοι που εκκρεμούν. Επιπλέον δε επειδή οι δύο αυτοί αριθμοί είναι υποψήφιοι για δυο ακριβώς κουτάκια δε μπορεί να είναι υποψήφιοι για κανένα άλλο κουτάκι του μπλοκ αυτού(έμμεσος αποκλεισμός). 4 3 7 126 16 7 3 1 2 6 5 4 4 7 5 26 3 16 5 2 3 7 7 5 3 4 1 4 2 5 7 3 7 4 2 7 4 6 Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε και σημειώνουμε σε όλα τα κουτάκια τους πιθανούς αριθμούς κι έτσι παίρνουμε τον κάτωθι πίνακα. 1256 1256 126 4 3 7 126 16 7 3 1 2 6 5 4 4 1246 126 124 5 26 3 16 146 16 5 1 2 3 4 26 7 5 3 4 1 26 6 1234 136 1235 12 1234 6 1 7 2 245 45 4 136 2 5 1 6 7 136 16 3 7 1 4 2 125 7 4 6 1 15 135 Μετά από ενδελεχή μελέτη του πίνακα προσέχουμε ότι στην τελείως δεξιά στήλη, στο πρώτο (ξεκινώντας την αρίθμηση από πάνω), στο τρίτο και στο πέμπτο κουτάκια οι αριθμοί που είναι υποψήφιοι, να τα καταλάβουν, είναι αντίστοιχα οι: 1-6-, 1-6 και 6-. Τρεις αριθμοί υποψήφιοι για τρία κουτάκια! Είναι σαφές ότι, στη στήλη αυτή, οι εν λόγω αριθμοί (και ανεξάρτητα του γεγονότος ότι τη στιγμή αυτή δε γνωρίζουμε τις ακριβείς τους θέσεις!) δύνανται να βρίσκονται μόνο σε αυτά και κατά συνέπεια θα πρέπει να αποκλειστούν, ως υποψήφιοι, από τα υπόλοιπα
6 από 10 κουτάκια (έμμεσος αποκλεισμός). Με βάση λοιπόν αυτή μας τη διαπίστωση το sudoku μας διαμορφώνεται ως εξής: 1256 1256 126 4 3 7 126 16 7 3 1 2 6 5 4 4 1246 126 124 5 26 3 16 146 16 5 1 2 3 4 26 7 5 3 4 1 26 6 1234 136 1235 12 1234 6 1 7 2 245 4 136 2 5 1 6 7 3 45 16 3 7 1 4 2 125 7 4 6 1 15 35 Μπορούμε τώρα άνετα να συνεχίσουμε! Η ύπαρξη του 3 στο πάνω δεξί κουτάκι του δεξιού μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ μας οδηγεί στο να αποκλείσουμε τον 3 από το κάτω δεξιά κουτάκι του ίδιου μπλοκ και να γράψουμε, στο κουτάκι αυτό, τον 5 (ως το μόνο πλέον υποψήφιο αριθμό), Ομοίως (με άμεσο αποκλεισμό) αποκλείουμε τον 5 από το κάτω δεξί κουτάκι του δεξιού μπλοκ της μεσαίας στήλης των μπλοκ και γράφουμε τον 4, Ομοίως αποκλείουμε τον 4 από το δεξί κουτάκι της μεσαίας γραμμής του πάνω δεξιά μπλοκ, όπου γράφουμε τον και ακριβώς δίπλα του τον 4. 1256 1256 126 4 3 7 126 16 7 3 1 2 6 5 4 1246 126 124 5 26 3 16 146 16 5 1 2 3 4 26 7 5 3 4 1 26 6 1234 136 1235 12 1234 6 1 7 2 245 4 4 136 2 5 1 6 7 3 16 3 7 1 4 2 125 7 4 6 1 15 5 Με τη βοήθεια τώρα των αριθμών που συμπληρώσαμε και με τη βοήθεια του άμεσου αποκλεισμού στις στήλες και στα μπλοκ που αυτοί ανήκουν ο πίνακας διαμορφώνεται σε:
7 από 10 1256 1256 126 4 3 7 126 16 7 3 1 2 6 5 4 1246 126 124 5 26 3 16 146 16 5 1 2 3 26 7 5 3 4 1 26 6 123 12 123 6 1 7 2 25 4 16 4 16 2 5 1 6 7 3 16 3 7 1 4 16 2 123 12 7 4 6 1 1 5 Στον οποίο μπορούμε κατευθείαν, με άμεσο αποκλεισμό, να γράψουμε τον 3 στο κάτω αριστερά κουτάκι, τον 3 στο κάτω δεξιά κουτάκι του αριστερού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον 5 στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του δεξιού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον στο μεσαίο κουτάκι της πάνω γραμμής του ίδιου μπλοκ, τον 1 στο μεσαίο κουτάκι της πάνω γραμμής του κεντρικού μπλοκ, τον στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του κεντρικού μπλοκ, τον 6 στο μεσαίο κουτάκι της πάνω γραμμής του αριστερού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ και δίπλα του τον 4, τον 4 στο κάτω δεξί κουτάκι του πάνω αριστερά μπλοκ. 1256 1256 126 4 3 7 126 16 7 3 1 2 6 5 4 1246 126 4 7 5 26 3 16 4 6 5 1 2 3 7 26 7 5 3 4 1 26 6 12 12 3 6 7 2 5 4 16 4 16 2 5 1 6 7 3 16 3 7 1 4 16 2 3 12 7 4 6 1 1 5 Στον πίνακα τώρα, αφού διαγράψουμε από υποψήφιους τους αριθμούς που μόλις γράψαμε από τα άλλα κουτάκια, που πιθανόν ήταν υποψήφιοι, των στηλών και των μπλοκ που ανήκουν τα κουτάκια των αριθμών αυτών, διαπιστώνουμε ότι στην κάτω γραμμή σε δυο κουτάκια ως υποψήφιοι είναι οι 1 και οπότε (με έμμεσο αποκλεισμό) στο μεσαίο κουτάκι της κάτω σειράς του κάτω αριστερά μπλοκ γράφουμε το 2 και
από 10 με την ίδια λογική γράφουμε το 2 στο πάνω κουτάκι της τρίτης από αριστερά στήλης και αποκλείουμε τους 1 και 6 από τα υπόλοιπα κουτάκια (πλην των δυο στα οποία είναι αποκλειστικά υποψήφιοι) του κάτω αριστερά μπλοκ και αφού διαγράψουμε από υποψήφιους τους αριθμούς που μόλις γράψαμε από τα υπόλοιπα κουτάκια των στηλών και των μπλοκ που ανήκουν τα κουτάκια των αριθμών αυτών, ο πίνακας διαμορφώνεται σε 156 15 2 4 3 7 16 16 7 3 1 2 6 5 4 16 1 4 7 5 26 3 16 4 6 5 1 2 3 7 2 7 5 3 4 1 26 6 12 1 3 6 7 2 5 4 4 16 2 5 1 6 7 3 5 5 16 3 7 1 4 16 2 3 2 7 4 6 1 1 5 στον οποίο με άμεσο αποκλεισμό γράφουμε τον 2 στο κάτω αριστερά κουτάκι του πάνω δεξιά μπλοκ, τον στο κάτω αριστερά κουτάκι του δεξιού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον 6 στο πάνω αριστερά κουτάκι του κάτω δεξιά μπλοκ, τον 1 στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του αριστερού μπλοκ της μεσαίας γραμμής των μπλοκ, τον 2 ακριβώς δίπλα του, τον ακριβώς πάνω από το προηγούμενο 2, τα 2 κι 6 στο δεξί άκρο της μεσαίας οριζόντιας γραμμής τον 1 στο κάτω δεξί κουτάκι του πάνω δεξιά μπλοκ, τον στο πάνω δεξί κουτάκι και τον 6 ακριβώς δίπλα του, τον 6 στο κάτω αριστερά κουτάκι του πάνω αριστερά μπλοκ, τον 1 στο πάνω δεξιά κουτάκι του κάτω αριστερά μπλοκ και τον 6 ακριβώς από κάτω του, τον στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του πάνω αριστερά μπλοκ, τον 1 στο πάνω αριστερά κουτάκι και τον 5 ακριβώς δίπλα του, τον στο μεσαίο κουτάκι του κάτω αριστερά μπλοκ, τον στο πάνω αριστερά κουτάκι του κάτω αριστερά μπλοκ και τον 5 ακριβώς από κάτω του,
από 10 1 5 2 4 3 7 6 7 3 1 2 6 5 4 6 4 7 5 2 3 1 4 6 5 1 2 3 7 7 5 3 4 1 2 6 2 1 3 6 7 5 4 4 1 2 5 1 3 5 6 3 7 1 4 16 2 3 2 7 4 6 1 1 5 τέλος γράφουμε με άμεσο αποκλεισμό, τον στο μεσαίο κουτάκι της κάτω γραμμής του κάτω δεξιά μπλοκ, τον 1 ακριβώς από πάνω του, τον 1 στο κάτω δεξί κουτάκι του μεσαίου μπλοκ της κάτω γραμμής των μπλοκ, τον ακριβώς από πάνω του και τέλος τον (στο τελευταίο κουτάκι που είχε απομείνει). Η τελική του μορφή είναι η 1 5 2 4 3 7 6 7 3 1 2 6 5 4 6 4 7 5 2 3 1 4 6 5 1 2 3 7 7 5 3 4 1 2 6 2 1 3 6 7 5 4 4 1 2 5 3 5 6 3 7 4 1 2 3 2 7 4 6 1 5 Γιώργος Πρίμπας.
10 από 10 4 3 5 7 3 5 2 3 7 5 1 4 7 4 2 6