Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου
|
|
- ŌΘωμᾶς Μανιάκης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες, προς τις πράξεις που θα εκτελούνται τελευταίες) 1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις 2. Δυνάμεις 3. Πολλαπλασιασμοί/(Διαιρέσεις) 4. Προσθέσεις/(Αφαιρέσεις) Παρατήρηση: Στο επίπεδο του λυκείου πρέπει να αναγνωρίσουμε οτι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι το ίδιο. Δηλαδη οτι μία αφαίρεση ισοδυναμεί με την πρόσθεση του αντίθετου: a b = a + ( b) Έτσι απο εδώ και πέρα θα γνωρίζουμε πως η αφαίρεση είναι κι αυτή ένα είδος πρόσθεσης.το ίδιο συμβαίνει και με τη διαίρεση: a b = a1 b Με προϋπόθεση οτι ξέρετε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό με τη γενική έννοια θα πρέπει να καταλαβένετε τα παρακάτω παραδείγματα στα οποία χρησιμοποιώ τις παρενθέσεις για να δειξω ποιές πράξεις πρέπει να προηγηθούν: Παραδείγματα: = 5 + (3 5) = = = (7 2 ) + (3 7) = = = 5 ((2 3 ) 5) 1 = 5 (8 5) 1 = = 36 (5 7) 3 (5 1) = ( 2) 3 4 = ( 8) 4 = 32 1
2 2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Στη φυσική, πολλές φορές έχουμε έναν τύπο και ζήτάμε να υπολογίσουμε κάποιο άλλο μέγεθος εκτός από αυτό ως προς το οποίο είναι λυμένος ο τύπος. Χρειάζεται λοιπόν να μάθουμε πως θα λύνουμε τύπους (ή ισοδύναμμα εξισώσεις). Αν και στο επίπεδο του λυκείου αυτά θεωρούνται ήδη γνωστά, θα κάνουμε μια σύντομη και σίγουρα όχι λεπτομερή από μαθηματική άποψη εισαγωγή σε αυτό το θέμα. Ο λόγος είναι πως πολλοί μαθητές φτάνουν στο λύκειο χωρίς να έχουν μάθει να λύνουν εξισώσεις και αυτό τους κάνει αδύνατο να παρακολουθήσουν το μάθημα της φυσικής. Εδώ θα προσπαθήσουμε να μάθουμε επίλυση των απλών εξισώσεων φυσικής της Α λυκείου. Η διαδικασία είναι πολύ απλή. Ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα όσες φορές χρειαστεί: 1. Εντοπίζουμε τον όρο που έχει τη χαμηλότερη προτεραιότητα πράξεων με τον όρο που θέλουμε να αφήσουμε μόνο του. 2. Βρίσκουμε ποιά πράξη έχει ο όρος αυτός με το όρο ως προς τον οποίο λύνουμε 3. Κάνουμε την αντίθετη πράξη με τον όρο αυτό σε ολόκληρα τα δύο μελη της εξίσωσης. Παρατήρηση: Ο τρόπος που περιγράψαμε λύνει όλες σχεδόν τις εξισώσεις που χρειαζόμαστε στη φυσική Α λυκείου αλλά είναι απλά ένα πρώτο βήμα. Θα τον βελτιώσουμε παρακάτω. 2.1 Παραδείγματα: Έστω οτι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση y = αx + β ως προς x Στο πρώτο βήμα βρίσκουμε τον όρο με τη χαμηλότερη προτεραιότητα... ο όρος αυτός είναι το β που προστείθεται...κάνουμε λοιπόν την αντίθετη πράξη: αφαιρούμε το β και από τα δύο μέλη της εξίσωσης: y β = αx + β β y β = αx Έπειτα το τελευταίο που πρέπει να "διώξουμε" είναι το α. Αυτό πολλαπλασιάζεται με το x... Δηλαδή θα κάνουμε διαίρεση με α: y β α = αx α x = y β α 2
3 2.1.1 Άλλα παραδείγματα x x 0 = u(t t 0 ) ως προς u: Eδώ παρατηρομε οτι ο "άγνωστος" μας πολλαπλασιάζεται με όλο το t t 0. Δηλαδή δε μπορούμε να διώξουμε πρώτα το t 0. Πρέπει να το διώξουμε όλο μαζί διαιρώντας και τα δύο μέλη με t t 0 : x x 0 = u(t t 0 ) x x 0 t t 0 = u(t t 0) t t 0 u = x x 0 t t 0 u = u 0 + αt ως προς t: Πρώτα διώχνουμε το u 0 που έχει πρόσθεση με τον όρο μας (Ο όρος μας είναι προς το παρον το γινόμενο αt το οποίο προηγείται σαν πράξη): u = u 0 + αt u u 0 = u 0 + αt u 0 u u 0 = αt Τώρα μπορούμε να διώξουμε και το α διαιρώντας με αυτό: u u 0 = αt u u 0 α = αt α t = u u 0 α 3
4 3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μία δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη γενική μορφή: αx 2 + βx + γ = 0 Μία τέτοια εξίσωση μετασχηματίζεται μέσω των παρακάτω τύπων: = β 2 4αγ x 1, x 2 = β ± 2α στην α(x x 1 )(x x 2 ) = 0, η οποία έχει τις λύσεις: x = x 1 και x = x Παράδειγμα: Να βρεθεί το t για το οποίο ισχύει: 3t 2 15t + 12 = 0 Όπως βλέπουμε η παραπάνω εξίσωση περιέχει ένα τριώνυμο ως προς t. Ακολουθώντας τις παραπάνω σχέσεις για α = 3 β = 15 γ = 12 έχουμε: = ( 15) = = 81 και t 1, t 2 = 15 ± Δηλαδή: t 1 = 4 και t 2 = 1. = 15 ± 9 6 Παρατήρηση: Στην πραγματικότητα η σχέση μας μετασχηματίστηκε ως εξής: 3t 2 15t + 12 = 0 3 (t 4) (t 1) = 0 Η οποία έχει λύσεις τις λύσεις που πήραμε παραπάνω. 4
5 4 ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΤΟ S.I. Τα επτά θεμελιώδη μεγέθη και οι αντίστοιχες μονάδες τους στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Φυσικό Μέγεθος Μονάδα στο S.I. Σύμβολο Μονάδας Μήκος Μέτρο m Χρόνος Δευτερόλεπτο s Μάζα Χιλιόγραμμο (Κιλό) Kg Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος Ampere A Ποσότητα ύλης mol mol Θερμοκρασία Βαθμός Kelvin K Ένταση φωτεινής πηγής Candela Cd 5 ΠΡΟΘΕΜΑΤΑ ΜΟΝΑΔΩΝ Τα προθέματα των μονάδων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Όνομα Σύμβολο Αξία Tera T Giga G 10 9 Mega M 10 6 Kilo K = 1 deci d 10 1 centi c 10 2 mili m 10 3 mikro μ 10 6 nano n 10 9 pico p ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ α 0 = 1 α β α γ = α (β+γ) α β α γ = α(β γ) (α β ) γ = α (β γ) 1 α β = α β 5
6 7 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Σε αυτή την παράγραφο, θα παρουσιάσουμε μέσα από παραδείγματα ένα τρόπο για να μετατρέπουμε από τη μία μονάδα στην άλλη. Ο τρόπος που θα παρουσιάσουμε, δεν είναι ο ευκολότερος δυνατός... είναι όμως ένας γενικός τρόπος και μπορούμε να τον εφαρμόσουμε πάντα. Επίσης, ο τρόπος αυτός είναι μια καλή εξάσκηση επίλυσης εξισώσεων και συνιστώ στους αδύνατους κυρίως μαθητές να επιμείνουν και να εξασκηθούν σε αυτό τον τρόπο ώστε να κάνουν επ' ευκαιρίας και λίγη εξάσκηση στην επίλυση εξισώσεων Να μετατραπούν τα 8 Km σε m. Λύση Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, κάθε ένα από τα προθέματα των μονάδων, αντιστοιχεί σε έναν αριθμό. Εδώ έχουμε το Kilo. Το Kilo αντιστοιχεί στον αριθμό Έτσι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το πρόθεμα αυτό με τον αντίστοιχο αριθμό. Έχουμε δηλαδή: 8Km = m Να μετατραπούν τα 64 g σε Kg. Λύση Εδώ δε μπορούμε απλώς να αντικαταστήσουμε το πρόθεμα με τον αριθμό στον οποίο αντιστοιχεί. Ξεκινάμε από μια μονάδα χωρίς πρόθεμα και θέλουμε να καταλήξουμε σε μια μονάδα που έχει πρόθεμα. Η λογική, είναι όμοια με αυτήν της επίλυσης εξισώσεων. Έτσι θα ξεκινήσουμε από αυτό που ξέρουμε: 1Kg = 10 3 g Επειδή όμως θέλουμε να μετατρέψουμε τα g σε Kg και όχι το αντίστροφο πρέπει να λύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς g. Έχουμε λοιπόν: 1Kg 10 3 = 103 g 10 3 Δηλαδή: 1g = 10 3 Kg (1) Τώρα αρκεί να αντικαταστήσουμε το g με το ίσο του από την εξίσωση (1): 64g = Kg 6
7 7.0.3 Να μετατραπούν τα 6 Kg σε μg. Λύση Αυτή τη μετατροπή θα την κάνουμε σε δύο στάδια. Αρχικά θα μετατρέψουμε τα Kg σε g και έπειτα τα g σε μg. Έχουμε λοιπόν: 6Kg = g (2) Τώρα θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο του προηγούμενου παραδείγματος για να μετατρέψουμε τα g σε μg: 1µg = 10 6 g 1µg 10 6 = 10 6 g g = 10 6 µg (3) Τέλος θα αντικαταστήσουμε το g από την εξίσωση (3) στην εξίσωση (2): 6Kg = g = µg = µg Να μετατραπούν τα 72 Km/h σε m/s. Λύση Εδώ έχουμε να μετατρέψουμε μία σύνθετη μονάδα. Η λογική που θα ακολουθήσουμε είναι ακριβώς η ίδια μόνο που χρειάζεται να μετατρέψουμε και τα Km σε m και την h σε s. 72Km/h = 72Km 1h = m 1h = m 60min = m 60 60s = m s 72Km/h = 2 10m/s = 20m/s Στην παραπάνω μετατροπή, έχουμε χρησιμοποιήσει οτι μία ώρα είναι 60 λεπτά (1h = 60min) και ενα λεπτό είναι 60 δευτερόλεπτα (1min = 60s). 7
8 7.0.5 Να μετατραπούν τα 94Kg m 2 σε μg mm 2 Λύση Άλλη μία σύνθετη μονάδα. Εδώ, πρέπει να μετατρέψουμε τα Kg σε μg και τα m 2 σε mm 2. Έτσι, έχουμε: 94Kg m 2 = 94Kg 1m 2 = g 1m 2 (4) Όμως: 1µg = 10 6 g Άρα: 1µg 10 6 = 10 6 g 10 6 Δηλαδή: 1g = 10 6 µg (5) Επίσης: 1mm = 10 3 m Άρα: 1mm 10 3 = 10 3 m 10 3 Δηλαδή: 1m = 10 3 mm (6) Είμαστε ήδη αρκετά κοντά στο ζητούμενο: Να μετατρέψουμε το m 2 σε mm 2... Αρκεί να υψόσουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της εξίσωσης (6) (1m) 2 = (10 3 mm) 2 1m 2 = 10 6 mm 2 (7) Tέλος, αντικαθιστούμε το m 2 από την εξίσωση (7) στηυ εξίσωση (4) και το g από την (5) στην (4) και έχουμε: 94Kg m 2 = g 10 6 mm 2 = µg 10 6 mm 2 = µg mm 2 8
9 7.0.6 Να μετατραπούν τα 43Kg/m 3 σε mg/cm 3 Λύση 43Kg/m 3 = 43Kg 1m 3 = g 1m 3 (8) 'Ομως: 1mg = 10 3 g 1mg 10 3 = 10 3 g g = 10 3 mg (9) καί: 1cm = 10 2 m 1cm 10 2 = 10 2 m m = 10 2 cm Άρα: (1m) 3 = (10 2 cm) 3 1m 3 = 10 6 cm 3 (10) Οπότε η (8) γίνεται μέσω των (9) και (10): 43Kg/m 3 = g 1m 3 = mg 10 6 cm 3 = mg 10 6 cm 3 = 43mg/cm 3 Αυτό σημαίνει πως οι μονάδες Kg/ms και mg/cm 3 είναι ισοδύναμες. 9
10 8 ΓΡΗΓΟΡΕΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΟΝΑΔΩΝ Στην προηγούμενη ενότητα, μάθαμε πως να κάνουμε μετατροπές μονάδων. Απο την αρχή, είπαμε πως δεν είναι ο πιό ευκολος τρόπος αλλά είναι ο πιό γενικός και λύνει όλα τα προβλήματα μετατροπής μονάδων. Σε αυτή την ενότητα, θα δούμε έναν πιό γρήγορο αλλά λιγότερο γενικό τρόπο μετατροπής μονάδων. Ο καινούριος αυτός τρόπος, στιρίζεται στο γεγονός πως όλα τα προθέματα μονάδων που γνωρίσαμε στην αντίστοιχη ενώτητα, ισοδυναμούν με μια δύναμη του 10. Έται μπορούμε να χρησιμοποιούμε το πινακάκι (που αφορά τη μονάδα μέτρο) και τον παρακάτω τύπο για να μετασχηματίζουμε τις μονάδες: Σύμβολο Αξία Εκθέτης Tm Gm Mm Km m dm cm mm μm nm pm Αρχική μονάδα = 10 (α β) Τελική μονάδα (όπου α ο εκθέτης της αρχικής μονάδας και β ο εκθέτης της τελικής μονάδας) Παραδείγματα: 1cm = 10 ( 2 3) Km = 10 5 Km 1Km = 10 3 ( 3) mm = 10 6 mm 1m = 10 0 ( 2) cm = 10 2 cm 10
11 9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9.1 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί σε ορθογώνιο τρίγωνο Έστω οτι έχουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που φαίνεται παρακάτω: B γ α A θ β Γ Για τη γωνία θ του παραπάνω τριγώνου θα πρέπει να ξέρουμε τους εξής τρείς τριγωνομετρικούς αριθμούς: Το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της θ. Οι ορισμοί των παραπάνω τριγωνομετρικών αριθμών είναι: ημθ = συνθ = εφθ = απέναντυ κάθετη υποτείνουσα = α γ προσκείμενη κάθετη υποτείνουσα = β γ απέναντυ κάθετη προσκείμενη κάθετη = α β 9.2 Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες Στην προηγούμενη ενότητα ορίσαμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με βάση ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Στα ορθογώνια τρίγωνα όμως, ισχύει το πυθαγώρειο θεώρημα: γ 2 = α 2 + β 2 Διαιρώντας την παραπάνω σχέση με γ 2 έχουμε: γ 2 γ 2 = α2 + β 2 γ 2 1 = α2 γ 2 + β2 γ 2 1 = (α γ )2 + ( β 2 γ ) ημ 2 θ + συν 2 θ = 1 Επίσης, από τη σχέση: εφθ = α, διαιρώντας τον αριθμητή και τον β παρανομαστή του δεύτερου μέλους με γ, έχουμε: εφθ = α γ β γ εφθ = ημθ συνθ 11
12 9.3 Γνωστοί τριγωνομετρικοί αριθμοί Πολλοί καθηγητές, επιμένουν οι μαθητές τους να γνωρίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς κάποιων γωνιών. Σε αυτή την ενότητα, θα μάθουμε να κατασκευάζουμε με εύκολο τρόπο το πινακάκι με τους αριθμούς αυτούς που θα μας χρειαστούν. Το πρώτο που πρέπει να θυμόμαστε, είναι πως συμπεριφέρονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί όταν αυξάνεται η γωνία. (Προσοχή: Στα πλαίσια αυτού του βιβλίου, η γωνία ανήκει στο διάστημα [0, 90 ]) Ας φανταστούμε το ορθογώνιο τρίγωνο του προηγούμενου σχήματος. Θέλουμε να δούμε πώς συμπεριφέρεται το ημθ και το συνθ όταν η γωνία θ αυξάνεται. Ο εύκολος τρόπος, είναι να κρατήσουμε σταθερή την υποτείνουσα. Αυτό μπορεί να γίνει, αν το σημείο Β κινηθεί πάνω σε κυκλικό τμήμα με κέντρο το Α. Έτσι, το ΑΒ=γ θα παραμείνει σταθερό. Σχεδιάζουμε λοιπόν τα παρακάτω σχήμα, στο οποίο έχει αυξηθεί η γωνία θ χωρίς να μεταβληθεί η υποτείνουσα γ: B γ α θ A β Γ Παρατηρούμε, οτί ενώ η υποτείνουσα γ παραμένει σταθερή, η απέναντυ κάθετη πλευρά α αυξάνεται ενώ η προσκείμενη κάθετη β μειώνεται. Έτσι, από τους τύπους:ημθ = α γ και συνθ = β γ, καταλαβαίνουμε οτι όσο αυξάνεται η γωνία θ (στο διάστημα [0, 90 ]), το ημθ θα πρέπει να αυξάνεται ενώ το συνθ θα μειώνεται. Παρατηρούμε επίσης, οτι όσο η γωνία θ μειώνεται, η απέναντυ κάθετη πλευρά τείνει να μηδενιστεί. Αυτό σημαίνει πως το ημ0 θα πρέπει να είναι μηδεν. Είμαστε έτοιμοι λοιπόν να κατασκευάσουμε το παρακάτω πινακάκι στο οποίο εχουμε βάλει τους πιο ευκολους αριθμούς που μπορούμε να φανταστούμε: θ ημθ συνθ Προσοχή: Το παραπάνω πινακάκι δεν ειναι έτοιμο και δεν πρέπει να χρησιμοποιείται. 12
13 Το τελευταίο βήμα, είναι να βάλουμε όλους τους παραπάνω αριθμούς μέσα σε τετραγωνική ρίζα και να διαιρέσουμε δια δύο. Έχουμε λοιπόν: θ ημθ 0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 συνθ 4/2 3/2 2/2 1/2 0/2 Το πινακάκι μας είναι πλέον έτοιμο και μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε... Θα ήταν όμως καλύτερα να το απλοποιήσουμε λίγο ακόμα κάνοντας τις πράξεις που γίνονται ευκολα: θ ημθ 0 1/2 2/2 3/2 1 συνθ 1 3/2 2/2 1/ ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε όταν έχουμε να διαβάσουμε μιά γραφική παράσταση είναι να κοιτάξουμε τί μέγεθος παριστάνεται σε κάθε έναν από τους άξονες της γραφικής μας παράστασης. Έστω πχ οτι το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει τη θέση ενός αντικειμένου που κινείται πάνω σε έναν άξονα x σε συνάρτηση με το χρόνο ( x=f(t) ). x(m) Ο άξονας t μας δείχνει λοιπόν χρονικές στιγμές ενώ ο άξονας x μας δείχνει θέση: A 5 6 t(s) Το σημείο Α λοιπόν μας δείχνει πως το κινητό μας πέρασε τη χρονική στιγμή t=6s από τη θέση x=5m. Προσοχή: Κοιτάξτε προσεκτικά στο παρακάτω διάγραμμα και βρείτε τί σημαίνουν τα σημεία Α και Β. 13
14 x(m) 5 A 0 B 7 t(s) Με λίγη προσοχή, αντιλαμβανόμαστε πως η πληροφορία που μας δίνει το σημείο Α είναι οτι το κινητό μας τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση x=5m. Ομοίως το σημείο Β μας πληροφορεί οτι το κινητό μας τη χρονική στιγμή t=7s βρίσκεται στη θέση x=0. Προσοχή: Άν διαβάσατε ανάποδα τα παραπάνω σημεία, προσπαθήστε να κάνετε την παρακάτω άσκηση: Ξεκινήστε να φαντάζεστε ένα σημείο Γ να μετακινείται από το Α στο Β... δείτε τί κάνει το ο χρόνος (t) (από πού μέχρι πού πηγαίνει) και τι κάνει η θέση x... Με λίγη προσπάθεια θα διαπιστώσετε πως το διάγραμμα παριστάνει ένα κινητό του οποίου η θέση μειώνεται με την πάροδο του χρόνου (όσο αυτός μεγαλώνει). Προσπαθήστε να διαβάσετε το διάγραμμα και αντίστροφα (Από το Β στο Α). Θα διαπιστώσετε οτι έχουμε το αντίστροφο φαινόμενο. 11 ΜΕΤΑΒΟΛΗ Στο πρώτο μόλις κεφάλαιο, θα συναντήσουμε το σύμβολο Δ. Το σύμβολο αυτό είναι ένας τελεστής (όπως λέμε στα μαθηματικά) και θα το συναντάμε πάντα μπροστά από ένα άλλο σύμβολο π.χ.: Δt... αυτό σημαίνει t τελικό t αρχικό και είναι η μεταβολή του χρόνου. Όπου λοιπόν συναντάμε το σύμβολο Δ, θα ξέρουμε πως αυτό σημαίνει τελική αρχική τιμή του μεγέθους που ακολουθεί το Δ και θα ονομάζεται μεταβολή του μεγέθους αυτού. Θα γνωρίσουμε παρακάτω τη μετατόπιση που είναι η μεταβολή της θέσης x = x τελικό x αρχικό. 14
15 12 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ H λέξη ρυθμός από μόνη της περιέχει την έννοια του χρόνου. Μας δείχνει δηλαδή πάντα πόσο γρήγορα (ή απότομα) γίνεται κάτι. Έτσι η φράση ρυθμός μεταβολής παραπέμπει στο πόσο γρήγορα μεταβάλλεται ένα μέγεθος. Αυτό ακριβώς είναι ο ρυθμός μεταβολής. Έστω οτι έχουμε ένα μέγεθος Μ, το οποίο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: M M 2 M 1 B A θ t 1 t 2 t Παρατηρούμε ότι από τη στιγμή t 1 εώς τη στιγμή t 2 το μέγεθος Μ μεταβλήθηκε κατά M 2 M 1. Έτσι, αν προσπαθήσουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους Μ με βάση αυτά τα σημεία του διαγράμματος, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: M t Αυτός ο τύπος εκφράζει αναλογία ως προς τη μεταβολή του μεγέθους και αντίστροφη αναλογία ως προς τη μεταβολή του χρόνου. Δηλαδή, όταν κρατήσουμε σταθερό το t, όσο αυξάνεται η μεταβολή του μεγέθους M, τόσο αυξάνεται και ο ρυθμός μεταβολής. Ενώ αντίθετα, για μια συγκεκριμένη μεταβολή M όσο μικρότερο είναι το χρονικό διάστημα t τόσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός μεταβολής του M. Παρατηρούμε όμως οτι αυτός ο ρυθμός μεταβολής, αφορά δυο διαφορετικές τιμές του χρόνου... Δεν αναφέρεται σε μία και μόνο χρονική στιγμή...το M είναι λοιπόν στην πραγματικότητα ο t μέσος ρυθμός μεταβολής για το χρονικό διάστημα (t 1, t 2 ) και μπορούμε να πούμε ότι M = M 2 M 1 = εφθ. t t 2 t 1 15
16 Για να καταλάβουμε τί είναι ο ρυθμός μεταβολής που αναφέρεται σε μία μόνο χρονική στιγμή, πρέπει να φανταστούμε το Δt να μικραίνει πλησιάζοντας τη ζητούμενη χρονική στιγμή. πχ το t 1. Αυτό μπορεί να γίνει αν πλησιάζουμε συνεχώς το σημείο Β προς το σημείο Α. Στο τέλος θα καταλήξουν να συμπέσουν και από μέσα τους να περνάει η εφαπτόμενη ευθεία στην καμπύλη στο σημείο Α όπως βλέπουμε στο σχήμα: M M 2 B M M 1 A θ M 1 A θ t 1 t 2 t t 1 t Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής (ή απλά ο ρυθμός μεταβολής) τη χρονική στιγμή t 1 γράφεται dm dt και ισχύει: dm dt = εφθ'. Καταλαβαίνουμε λοιπόν οτι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής, είναι η κλίση του διαγράμματος του ζητούμενου μεγέθους στο διάγραμμά του σε συνάρτηση με το χρόνο. 16
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Σημειώσεων : Ελένη Κασούτσα ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Σημειώσεων : Ελένη Κασούτσα ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ Περιεχόμενα Μαθηματικό Βοήθημα... 3 Μονόμετρα και Διανυσματικά Μεγέθη... 7 Το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.)...
Διαβάστε περισσότεραΦυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά μεγέθη Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα Β. τα διανυσματικά Μονόμετρα ονομάζουμε τα μεγέθη εκείνα τα οποία για να τα γνωρίζουμε χρειάζεται να ξέρουμε
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις
Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΜετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.
Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Διαβάστε περισσότερα1.5 Γνωριμία με το εργαστήριο Μετρήσεις
1.5 Γνωριμία με το εργαστήριο Μετρήσεις 1. Το μήκος, ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία κτλ. είναι ποσότητες που τις χρησιμοποιούμε για να περιγράφουμε τα φαινόμενα. Οι ποσότητες αυτές ονομάζονται φυσικά
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή
Διαβάστε περισσότερα1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2
Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3
Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η 1. Φ υ σ ι κ ά μ ε γ έ θ η Η Φυσική είναι η θεμελιώδης επιστήμη που εξετάζει τα φυσικά φαινόμενα που συντελούνται στο σύμπαν. Παραδείγματα φυσικών φαινομένων είναι οι κινήσεις των πλανητών,
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΟ λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά
ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 61 Ορισμοί. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Ημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
Επαναληπτικά μαθήματα φυσικής 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΤΡΕΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2015 16 2 Φροντιστήρια δυαδικό Επαναληπτικά μαθήματα φυσικής 3 ΜΑΘΗΜΑ 1 Μεγέθη Μονάδες Γραφικές παραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότερα. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o
Στις ασκήσεις Κινητικής υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να δουλέψουμε. Ένας από αυτούς είναι με τη σωστή χρήση των εξισώσεων θέσης (κίνησης) και ταχύτητας των σωμάτων που περιγράφονται. Τα βήματα που ακολουθούμε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β
ΕΥΘΕΙΕΣ Κάθε φορά, που νιώθουμε τρελή λαχτάρα να μιλήσουμε για ευθείες, φανταζόμαστε εξισώσεις της παρακάτω μορφής : y = αx + β Η εξίσωση αυτή θα πρέπει να γίνει στο μυαλό μας συνώνυμη της λέξης και του
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. ΔΙΑΚΟΝΟΥ, Β. ΟΡΦΑΝΟΠΟΥΛΟΣ, Χ. Δ. ΦΑΝΙΔΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 1. α. Από τις παρακάτω έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες Ασκήσεις. Λύση. (βασική απλή άσκηση)
Λυμένες Ασκήσεις (βασική απλή άσκηση) 1. Ένα μικρό σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 108 km/h και για να μεταβει το σώμα από το σημείο Α στο σημείο Β, χρειάστηκε χρόνο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.
ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :
Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΚαλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.
Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΓ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc
4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Α. ΚΙΝΗΣΗ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΧΡΟΝΟΣ - ΤΑΧΥΤΗΤΑ 1. Πάνω σε έναν άξονα xοx επιλέγουμε τα σημεία Α(0), Β(-3m), Γ(5m) και Δ(3m). Να βρείτε το διάστημα και τη μετατόπιση του κινητού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΚ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ
Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΦυσική: Ασκήσεις. Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
0 Β Γυμνασίου Φυσική: Ασκήσεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο Ασκήσεις με κενά 1. Να συμπληρώσεις τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:
Διαβάστε περισσότεραΧρησιμοποιούμε έναν άξονα (π.χ. τον άξονα x x) για να παραστήσουμε τη θέση κάποιου σώματος του οποίου την κίνηση θέλουμε να μελετήσουμε.
ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μια κίνηση που γίνεται σε ευθεία γραμμή ή με ευθύγραμμη τροχιά, λέμε ότι είναι ευθύγραμμη κίνηση. Τροχιά είναι το σύνολο των Διαδοχικών θέσεων από τις οποίες περνάει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότερα1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.
Διαβάστε περισσότεραΓ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση
Διαβάστε περισσότερα0 είναι η παράγωγος v ( t 0
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f
Διαβάστε περισσότεραΔ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΚΡΕΜΑΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
Α. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΘΕΩΡΙΑ Μετατόπιση (Δx): Είναι η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης ενός σώματος και έχει μονάδες τα μέτρα (m).
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα :
Πρότυπο Πρότυπα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Φυσική για να ερμηνεύσει τα φαινόμενα, δημιουργεί τα πρότυπα ή μοντέλα. Τα πρότυπα αποτελούνται από ένα πλέγμα
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΝΟΡΓΑΝΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΝΟΡΓΑΝΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Οδηγός Συγγραφής Εργαστηριακών Αναφορών Εξώφυλλο Στην πρώτη σελίδα περιέχονται: το όνομα του εργαστηρίου, ο τίτλος της εργαστηριακής άσκησης, το ονοματεπώνυμο του σπουδαστή
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΑ) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ. 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t.
Α) ΕΝΑ ΚΙΝΗΤΟ 1) Πληροφορίες από διάγραμμα x-t Ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και στο σχήμα φαίνεται η μετατόπισή του σε συνάρτηση με τον χρόνο Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές και ποιες
Διαβάστε περισσότερααριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 2017-2018 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 03/12/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Καραβοκυρός Χρήστος ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στην κόλα σας τον αριθμό καθεμιάς
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )
Διαβάστε περισσότερα4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Αλγεβρική τιμή διανύσματος Όταν ένα διάνυσμα είναι παράλληλο σε έναν άξονα (δηλαδή μια ευθεία στην οποία έχουμε ορίσει θετική φορά), τότε αλγεβρική τιμή του διανύσματος
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 01-013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1//1 ΘΕΜΑ 1 ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ
Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
Στο παρακάτω σχήµα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο α) Να ορίσετε τις θέσεις των σηµείων (Α), (Β) και (Γ). β) Να υπολογίσετε τη µετατόπιση (ΑΓ). γ) Να υπολογίσετε το διάστηµα (ΑΒΓ).
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα
Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή
Διαβάστε περισσότερα