Οι διάφορες στρατηγικές στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς Στην ενότητα αυτή, με βάση τις διάφορες έρευνες, θα καταγράψουμε τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική εκτίμηση. Θα εξετάσουμε τους παράγοντες που επηρεάζουν τη χρήση των διάφορων στρατηγικών. Θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε σε ερωτήματα όπως: οι διάφορες στρατηγικές χρησιμοποιούνται όλες με την ίδια συχνότητά; Ο παράγοντας ηλικία επηρεάζει και πώς τη χρήση των διάφορων στρατηγικών; κτλ. Οι στρατηγικές της υπολογιστικής εκτίμησης ερευνήθηκαν σε ενήλικες με υπολογιστικές ικανότητες διαφόρων επιπέδων, (Dowker, 199; Dowker, et al., 1996) σε παιδιά και εφήβους (Levine, 198, Baroody, 1989; Sowder και Wheeler 1989; Reys et al., 1991a; Dowker, 1997, Lemaire, et al. 000) αλλά και σε δείγματα διαφόρων ηλικιών (LeFevre et al., 1993; Lemaire, & Lecacheur, 00). Στις περισσότερες από αυτές τις έρευνες η υπολογιστική εκτίμηση ερευνήθηκε ρωτώντας τους εξεταζόμενους να δώσουν εκτιμήσεις ή προσεγγιστικές λύσεις σε αριθμητικά προβλήματα (π.χ. 46+468=700). Οι έρευνες αυτές πραγματοποιηθήκαν με τη μέτρηση της ακρίβειας των προσεγγίσεων (μετρώντας την απόλυτη ή σχετική διαφορά μεταξύ εκτιμούμενων και σωστών απαντήσεων), με προφορικά πρωτόκολλα (π.χ. ζητούνταν από τους εξεταζόμενους να πουν πως βρήκαν τη λύση) και σε μερικές περιπτώσεις με μέτρηση του χρόνου απάντησης. Τα αποτελέσματα από τις έρευνες αυτές δείχνουν ότι από πολύ νωρίς στην ανάπτυξη της υπολογιστικής εκτίμησης τα παιδιά χρησιμοποιούν μια ποικιλία από στρατηγικές. Οι στρατηγικές συχνά δεν χρησιμοποιούνται μονοδιάστατα, αλλά μπορεί να συνδυάζονται, για παράδειγμα, σ ένα πρόβλημα κάποιος μαθητής μπορεί πρώτα να στρογγυλοποιεί έναν ή και τους δύο παράγοντες και μετά να χρησιμοποιεί αντιστάθμιση, για να μειώσει την απόκλιση που δημιουργήθηκε με την στρογγυλοποίηση. Οι στρατηγικές στην υπολογιστική εκτίμηση μπορεί να ταξινομηθούν σύμφωνα με διαφορετικά επίπεδα γενίκευσης. Σ ένα γενικό επίπεδο τα παιδιά και οι ενήλικοι έχει βρεθεί ότι χρησιμοποιούν τις εξής τρεις ομάδες στρατηγικών: Αναδόμηση (reformulation), αντιστάθμιση (compensation) και μετάφραση (translation) (Reys et al., 198; Reys et al., 1991b; Sowder & Wheeler, 1989). Στην αναδόμηση πραγματοποιείται μετατροπή των αρχικών όρων του προβλήματος με νέους όρους, που είναι πιο βολικοί για τον υπολογισμό. Ένα παράδειγμα αναδόμησης είναι η στρογγυλοποίηση, π.χ. 31.151+ 6.198 93.000. Αντιστάθμιση πραγματοποιείται όταν κάποιος επανέρχεται και διορθώνει το αποτέλεσμα μιας αρχικής εκτίμησης. Στο παραπάνω παράδειγμα αρχικά κάποιος υπολογίζει 31.151+ 6.198 93.000 και στη συνέχεια επανέρχεται και προσθέτει ακόμη 300 και βρίσκει 93.300. Στην μετάφραση πραγματοποιείται αλλαγή στη δομή του προβλήματος, ώστε η μορφή του να είναι υπολογιστικά πιο βολική. Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε το άθροισμα μιας μεγάλης λίστας αριθμών υπολογίζουμε τον μέσο όρο των αριθμών και πολλαπλασιάζουμε με το πλήθος των προσθετέων. Οι Sowder και Wheeler (1989), όπως φαίνεται και στον παραπάνω πίνακα 6.1, στην ομάδα των στρατηγικών Αναδόμηση συμπεριλαμβάνουν τέσσερις στρατηγικές: α) τη στρογγυλοποίηση (rounding), β) το κουτσούρεμα (truncating), γ) τον μέσο όρο
(averaging) και δ) την αλλαγή της μορφής ενός αριθμού. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε μια λίστα με διάφορες στρατηγικές που εμφανίζονται στην υπολογιστική εκτίμηση με βάση τη σχετική βιβλιογραφία (Reys et al., 198; Sowder & Wheeler, 1989; Reys et al., 1991b; Dowker, 199; LeFevre et al., 1993). Οι στρατηγικές αυτές, βέβαια, πολλές φορές εξαρτώνται από τις πράξεις που δίνονται στην εκτίμηση. Επίσης, σε μερικές περιπτώσεις ποικίλουν οι ονομασίες που τούς αποδίδουν οι διάφοροι συγγραφείς. 1. Διαισθητική: this strategy is mainly used by younger and inexperienced estimators and can reinforce the belief that approximate answers can be valuable. For example, a student may respond that the average of 3, 5, 8 and 10 is about 6, but he cannot justify his answer.. Στρογγυλοποίηση: Μετατρέπονται το ένα ή και τα δύο μέλη στον πλησιέστερο αριθμό που καταλήγει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά (π.χ. στο 496+498, και οι δύο προσθετέοι μπορεί να μετατραπούν σε 500). Μπορεί να ακολουθήσει διόρθωση της εκτίμησης ανα απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια. Μπορούμε να διακρίνουμε δύο τύπους στρογγυλοποίησης: Στρογγυλοποίηση με κανόνα: the rounding here is based on the well-known rule. We determine what the rounding digit is and check the digit on the right of it. If it's equal or greater than 5, the rounding digit is increased by one. In contrast, if it is less than 5, then the rounding digit is reduced by one. Στρογγυλοποίηση που βασίζεται στην κατάσταση: takes into account the context of the arithmetic problem and a specific situation of calculation. Note that it is not necessary nor desirable the attachment to the rule of rounding. Instead, the rounding process must be flexible and be done in many different ways, to facilitate the mental calculation (Reys, 1984; Reys, 1986). For example, for the product 65x3 the roundings 60x0, 70x0 or 70x3 are all acceptable. 3. Στρατηγική εμπρόσθιου άκρου: Παρόλο που μπορεί να φανεί χρήσιμη και στις τέσσερις πράξεις, η κύρια χρησιμότητά της είναι στην πρόσθεση. Μπορεί να πραγματοποιηθεί σε δύο βήματα. Στην αρχή επικεντρώνεται στα ψηφία στο αριστερό άκρο των αριθμών, αγνοώντας τα υπόλοιπα. Αφότου διατυπωθεί μία εκτίμηση, μπορεί να γίνει μια ρύθμιση με υπολογισμό των τμημάτων που αγνοήθηκαν. For example, 50.48 +35.13 +705.5 +90.89 is computed the sum of the integer parts (front end) 50+35+705+90 = 880, then it can become an arrangement by summing decimal parties 0.48+0.13+0.5+0.89 and about one of the other two numbers, so in total we have 880+ 88. 4. Κουτσούρεμα: this strategy is in the same logic with the previous strategy, based on the relative size of the numbers and the place value of the front digit. In the number truncated the front digit or digits (with the greater place value) stay the same, while the remaining numbers (to the right) are converted to zeros. For example, 5,68 may be converted to 5,000, 5,600 or 5,680. The selection of the position of the truncation is selected depending on the situation of calculation. 5. Συσσώρευση ή Μέσος όρος: this special strategy is applied in addition of multiple numbers, when these numbers are nearby to a specific price. For example, 3+18 +19 + can be calculated as 4x0 = 80). 6. Αντιστάθμιση: we can distinguish two types of compensation, prior and post compensation.
Προγενέστερη αντιστάθμιση: the second term is rounded in the opposite direction from the first, before any operation. For example, in 57x56, 56 may become 50 instead of 60, to compensate the rounding of 57 to 60, so 60x50 = 3,000, while 60x60 = 3,600, which is further away from the exact result 3,19. Μεταγενέστερη αντιστάθμιση: Post compensation is also encountered in the literature as adjusting strategy (Reys, 1984) and is a process that is applied after the use of a computational estimation strategy to correct the initial estimation, when greater accuracy is desired. For example, 57x56 60x60 = 3,600, we subtract 3x60 = 180 and 4x60 = 40, so we remove about 400 of 3,600 and we found 3,00. 7. Στρατηγική συμβατών αριθμών: this strategy involves the selection of numbers which make an estimation easier and give a good estimate of the original problem. For example, in the sum 35+46+65 +71+60+38, 35+71 is about 100, 46+60 is approximately 100 and 65+38 is approximately 100. So, the sum is approximately 300. These pairs of numbers are "compatible". 8. Στρατηγική ειδικών αριθμών ή Σημεία αναφοράς: in many cases, students are trained to distinguish the numbers which are close to special prices. This happens with fractions, where specific values are 0, 1 and 1. For example, in the sum 3 1 7 3, 4 5 13 4 can be regarded as 1, 1 7 can be regarded as 0 and can be 5 13 regarded as 1. So the total is approximately 1.5. 9. Αλλαγή μορφής ενός αριθμού or αντικατάσταση: changing the form of one or two numbers, to generate an easier calculation (e.g., the operation 0.5 x0.35 may be converted to 1 x 1 3 ). 10. Εύρος: students use this strategy to calculate the range into which the answer to a calculation is expected to fall. For example, the answer of.6x7 is expected to be between 14 and 1, the lower limit of x7 =14 and the upper limit of 3x7 =1. 11. Παραγοντοποίηση: analysing the numbers to have a simpler form. For example, 18x15 is 130x10x15. 1. Επιμεριστικότητα: using distributivity. For example, in 38x91 we can have (38x100) - (38x10) = 3,800-380 is approximately 3,400. 13. Με αλγοριθμικό τρόπο: use of an algorithm to make the calculation approximately and then to calculate the answer. For example, 8.3x11. can be calculated like 8x11=88 and add 0.x8=1.6 and 0.3x11=3.3 so it will be approximately 88+5 = 93. Συμπλήρωμα στα Ελληνικά 4. Κουτσούρεμα (truncating): Μετατρέπουν σε μηδέν ένα ή περισσότερα ψηφία από το τέλος (δεξιά), ενός ή περισσότερων μελών (π.χ. στο 496+498 και οι δύο προσθετέοι μπορεί να μετατραπούν σε 490).
5. Συσσώρευση (clustering) ή Μέσος όρος (averaging): Αυτή η ειδική στρατηγική εφαρμόζεται στην πρόσθεση πολλών αριθμών και όταν οι αριθμοί αυτοί βρίσκονται γύρω από μία ειδική τιμή. Για παράδειγμα, το 3+18+19+ μπορεί να υπολογιστεί ως 4x0=80). 6. Προγενέστερη αντιστάθμιση (prior compensation): Ο δεύτερος όρος στρογγυλοποιείται σε αντίθετη κατεύθυνση από τον πρώτο, πριν πραγματοποιηθεί οποιαδήποτε πράξη. Για παράδειγμα, στο 57x56 το 56 μπορεί να γίνει 50 παρά 60, για να αντισταθμίσει τη στρογγυλοποίηση του 57 σε 60, έτσι 60x50=3.000, ενώ 60x60=3.600, το οποίο είναι πιο μακριά από το ακριβές αποτέλεσμα 3.19. 6. Μεταγενέστερη αντιστάθμιση (post compensation): Μετά από τη στρογγυλοποίηση ή το κουτσούρεμα γίνεται μια διόρθωση. Για παράδειγμα, στο 57x56 60x60=3.600 αφαιρούμε το 3x60=180 και 4x60=40, δηλαδή αφαιρούμε περίπου 400 από το 3.600 και βρίσκουμε 3.00. 7. Στρατηγική συμβατών αριθμών (Compatible numbers strategy): Αυτή η στρατηγική περιλαμβάνει την επιλογή των αριθμών που καθιστούν τον υπολογισμό εύκολο και δίνουν μια καλή εκτίμηση του αρχικού προβλήματος. Για παράδειγμα, στο άθροισμα: 35+46+65+71+60+38, το 35+71 είναι περίπου 100, το 46+60 είναι περίπου 100 και το 65+38 είναι περίπου 100. Το άθροισμα λοιπόν είναι περίπου 300. Αυτά τα ζεύγη των αριθμών είναι συμβατά. 8. Στρατηγική ειδικών αριθμών (special numbers strategy): Σε πολλές περιπτώσεις οι μαθητές εκπαιδεύονται να ξεχωρίζουν τους αριθμούς που είναι κοντά σε ειδικές τιμές. Αυτό συμβαίνει με τα κλάσματα, όπου οι ειδικές τιμές είναι 0, 1 και 1. Για παράδειγμα, στο άθροισμα 3 1 7 το 3 4 5 13 4 μπορεί να θεωρηθεί περίπου 1, το 1 5 περίπου 0 και το 7 13 περίπου 1. Άρα το άθροισμα είναι περίπου 1,5. 9. Αλλαγή μορφής ενός αριθμού (reformulation): Αλλάζει η μορφή ενός ή και των δύο αριθμών, για να δημιουργηθεί ένας ευκολότερος υπολογισμός (π.χ. η πράξη 0,5x0,35 μπορεί να μετατραπεί σε 1 x 1 3 ). 11. Παραγοντοποίηση (Factorization): Αναλύουμε τους αριθμούς, ώστε να έχουν απλούστερη μορφή. Για παράδειγμα, το 18x15 γίνεται 130x10x15. 1. Επιμεριστικότητα (Distributivity): Χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα, στο 38x91 μπορούμε να έχουμε (38x100) (38x10) = 3.800 380 είναι περίπου 3.400.
13. Με αλγοριθμικό τρόπο (Proceeding algorithmically): Χρησιμοποιείται κάποιος αλγόριθμος, για να γίνει υπολογισμός στο περίπου, και μετά να υπολογιστεί η απάντηση. Για παράδειγμα, στο 8,3x11, μπορεί να υπολογιστεί το 8x11=88 και να προστεθεί 0,x8=1,6 και 0,3x11=3,3 είναι περίπου 88+5=93.