ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής Δ. Ματαράς
image url Ludwig Prandtl (1875 1953) 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
Δυναμική Ροή Δυναμική Ροή (potential flow): η ροή ιδανικού ρευστού (ασυμπίεστου, με μηδενικό ιξώδες) στην περιοχή όπου η επίδραση του τοιχώματος είναι αμελητέα. Μέσα στο ρεύμα δεν δημιουργούνται δίνες ή μετακινήσεις (αστρόβιλη ή άστρεπτη ροή) και Δεν αναπτύσσεται τριβή, δεν μετατρέπεται κινητική ενέργεια σε θερμότητα Οριακό Στρώμα (boundary layer): στρώμα ρευστού που βρίσκεται ακριβώς δίπλα στα όρια της επιφάνειας του τοιχώματος. Η επίδραση του τοιχώματος περιορίζεται στο οριακό στρώμα ή αλλιώς στο οριακό στρώμα η ροή ελέγχεται από το ιξώδες ενώ έξω απ αυτό το ιξώδες είναι αμελητέο
Δυναμική Ροή Μέσα στο ρεύμα ενός ασυμπίεστου ρευστού εμφανίζονται 4 σημαντικά φαινόμενα εξαιτίας της ύπαρξης των τοιχωμάτων: 1. Η σύζευξη των πεδίων a) της βάθμωσης (gradient) της ταχύτητας και b) των διατμητικών τάσεων 2. Η έναρξη του στροβιλισμού (turbulence) 3. Ο σχηματισμός και η ανάπτυξη των οριακών στρωμάτων 4. Η αποκόλληση των οριακών στρωμάτων από την επιφάνεια των τοιχωμάτων Στα συμπιεστά ρευστά υπάρχουν επιπλέον φαινόμενα λόγω της μεταβολής της πυκνότητας.
Πεδίο Ταχυτήτων: η ταχύτητα του ρευστού στη διεπιφάνεια στερεού/ρευστού είναι μηδέν και μεταβάλλεται κατά μήκος του οριακού στρώματος η ταχύτητα είναι συνάρτηση της θέσης. Μπορεί επίσης να είναι συνάρτηση του χρόνου (μη σταθεροποιημένη ροή) Μονοδιάστατη Ροή: Όταν όλα τα διανύσματα των ταχυτήτων του πεδίου είναι παράλληλα υπάρχει μόνο μια συνιστώσα της ταχύτητας η ταχύτητα μπορεί να θεωρηθεί βαθμωτό μέγεθος. Στρωτή ή Γραμμική Ροή (Laminar Flow): σε χαμηλές ταχύτητες ροής, τα γειτονικά στρώματα του ρευστού γλιστρούν το ένα πάνω στο άλλο χωρίς να υπάρχει πλευρική ανάμιξη. Τυρβώδης ροή (Turbulent Flow): σε υψηλότερες ταχύτητες ροής δημιουργείται στροβιλισμός, εμφανίζονται δίνες και επομένως πλευρική ανάμιξη.
Βάθμωση ταχύτητας και ρυθμός διάτμησης ρυθμός διατμησης Eικόνα 3 du dy = lim Δu Δy 0 Δy (3.1) διατμητικη ταση τ = F s A s (3.2)
Ρεολογικές Ιδιότητες Στα Νευτωνικά ρευστά η διατμητική τάση είναι ανάλογη του ρυθμού διάτμησης Τα πλαστικά Bingham δεν ρέουν καθόλου μέχρι να γίνει τ = τ 0 Τα ψευδοπλαστικά γίνονται πιο λεπτόρευστα όσο αυξάνει η διάτμηση Τα Εκτατά γίνονται πιο παχύρευστα όσο αυξάνει η διάτμηση image url
Ιξώδες Ιξώδες: Η σταθερά αναλογίας της σχέσης μεταξύ της διατμητικής τάσης και του ρυθμού διάτμησης σε ένα νευτωνικό ρευστό Στο SI: τ u = μ du dy N m 2 (3.3) μ = F A dy du = N m m 2 m/s = N s m 2 = kg m s = Pa s Στο cgs: μετριέται σε Poise όπου P = Συνήθεις μονάδες: 1 mpa s = 1 cp gr cm s Στο fps: Συνήθεις μονάδες: lb s ft τ u = μ g c du dy = 1488.164 cp lb ft 2 (3.4)
Ιξώδες Ιξώδες αερίων και υγρών: εξαρτάται κυρίως από τη θερμοκρασία και τη δομή του μορίου και λιγότερο από την πίεση Προσεγγιστικά για τα αέρια: μ μ 0 = Αέριο αέρας Ν 2 O 2 CO 2 CO CH 4 Cl 2 H 2 O n 0.768 0.756 0.814 0.935 0.758 0.783 1 1.16 T 273 n (3.6) Εξίσωση του Sutherland μ μ 0 = T 0+C T+C T T 0 3/2 για 0 < T < 555 K Αέριο αέρας Ν 2 O 2 CO 2 CO H 2 NH 3 He SO 2 C K 120 111 127 240 118 72 370 79.4 416 T 0 K 291.15 300.55 292.25 293.15 288.15 293.85 293.15 273 293.65 μ 0 μpa s 18.2 17.81 20.18 14.8 17.2 8.76 9.82 19 12.54 Με σφάλμα λόγω μεταβολής της πίεσης <10% για πιέσεις <3.45 MPa
Παράδειγμα 3.1 Να προσδιορίσετε το ιξώδες μίγματος αερίων καύσης που έχουν την ακόλουθη σύσταση κ.ο.: 16% CO 2, 5% O 2, 79% N 2 σε συνθήκες 400 C και 1 atm. Τα ιξώδη των συστατικών στη θερμοκρασία που δίδεται είναι: μ CO2 = 0.035 cp μ Ο2 = 0.039 cp μ Ν2 = 0.0335 cp Το ιξώδες μίγματος αερίων υπολογίζεται με βάση τη σχέση: Μ m = y 1M 1 + y 2M 2 + μ m μ 1 μ 2 Μ m μ m = 0.16 44 0.035 + 0.05 32 0.039 + 0.79 28 0.0335 = 902.5 Αλλά Μ m = 0.16 44 + 0.05 32 + 0.79 28 = 30.8 Kg/mol Τότε μ m = 30.8 902.5 = 0.034 cp
Τυρβώδης Ροή Osborne Reynolds (1883) Κρίσιμη Ταχύτητα: η ταχύτητα μέχρι την οποία η ροή είναι στρωτή. Σε μεγαλύτερες ταχύτητες η ροή γίνεται κυματοειδής και εμφανίζονται εγκάρσια ρεύματα και δίνες. Η κρίσιμη ταχύτητα εξαρτάται από 4 μεγέθη: Τη διάμετρο του αγωγού Το Ιξώδες του ρευστού Την πυκνότητα του ρευστού Τη μέση γραμμική ταχύτητα του ρευστού. image url
Αδιάστατος αριθμός Reynolds Re = DVρ μ = DV ν Όπου: D η διάμετρος του αγωγού V η μέση ταχύτητα του ρευστού ρ η πυκνότητα του ρευστού μ το (δυναμικό) ιξώδες του ρευστού ν το κινηματικό ιξώδες του ρευστού (3.10) Η ροή μέσα σε ένα αγωγό είναι πάντα στρωτή όταν Re < 2100 μπορεί όμως να παραμείνει στρωτή και πάνω από 24000 αρκεί να μην υπάρχουν διαταραχές image url
Ροή σε οριακά στρώματα Εικόνα 4
Ροή σε οριακά στρώματα Εικόνα 5 Re = xu ρ (3.23) μ Όπου: x η απόσταση από τη μπροστινή άκρη της πλάκας u η ταχύτητα του κύριου όγκου του ρευστού ρ η πυκνότητα του ρευστού μ το ιξώδες του ρευστού Τυρβώδης ροή εμφανίζεται για 10 5 < Re < 3 10 6 εξαρτάται από την τραχύτητα της επιφάνειας
Πλήρως ανεπτυγμένη ροή Στη ροή σε σωλήνες μετά από κάποια απόσταση το οριακό στρώμα καταλαμβάνει όλη τη διατομή του ρεύματος. Η κατανομή της ταχύτητας παραμένει αμετάβλητη μετά από αυτή την απόσταση και η ροή καλείται πλήρως ανεπτυγμένη image url Το μήκος από την άκρη του σωλήνα μέχρι το σημείο που επιτυγχάνεται πλήρως ανεπτυγμένη ροή λέγεται μήκος μετάβασης x t x t = 0.05 D Re (3.24)
Παράδειγμα 3.2 Υγρό με ιξώδες 0.78 cp και πυκνότητα 1.50 g/cm 3 ρέει σε σωλήνα διαμέτρου 1 με ταχύτητα 20 cm/s. Να προσδιορίσετε το καθεστώς ροής. Μπορώ να χρησιμοποιήσω όποιες μονάδες θέλω αρκεί να είναι όλες στο ίδιο σύστημα. Για παράδειγμα αν επιλέξω το CGS: Re = 1 cp = 10 2 g/(cm s) μ = 0.78 10 2 g/(cm s) v D ρ μ D = 1 in = 2.54 cm = 20 (2.54)(1.50) 0.78 10 2 = 9770 Καθεστώς Ροής: Re < 2100 Στρωτή Re > 4000 Τυρβώδης 2100 Re 4000 Ενδιάμεση
Παράδειγμα 3.3 Η ταχύτητα σε αγωγό κυκλικής διατομής, διαμέτρου 0.45 m που μεταφέρει θερμό αέρα (50 C) σε πίεση 1 atm, είναι 3.8 m/s. Προσδιορίστε το καθεστώς ροής. Βρίσκουμε την πυκνότητα και το ιξώδες στους 50 C Re = ρ = 1.078 Kg/m 3 μ = 19.61 10 6 (Pa s) v D ρ μ = 3.8 (0.45)(1.078) 19.61 10 6 = 94002 Τα αέρια βρίσκονται συνήθως σε καθεστώς τυρβώδους ροής
Παράδειγμα 3.4 Να προσδιορίσετε την κρίσιμη ταχύτητα ρευστού σε σωλήνα διαμέτρου 51 2.5 mm αν το ρευστό είναι α) αέρας σε πίεση 1 atm και θερμοκρασία 20 C ή β) ορυκτέλαιο σχετικής πυκνότητας 0.963 και ιξώδους 35 cp. α) η πυκνότητα και το ιξώδες του αέρα στους 20 C είναι: v cr = ρ = 1.2 Kg/m 3 μ = 18 10 6 (Pa s) 2100 μ D ρ = 2100 (18 10 6 ) 0.046 1.2 = 0.68 m/s β) για το ορυκτέλαιο: v cr = 2100 (35 10 3 ) 0.046 963 = 1.66 m/s
Παράδειγμα 3.5 α) να υπολογίσετε τον αριθμό Re στην εξάτμιση (d = 50 mm) ενός αυτοκίνητου με τετράχρονο κινητήρα 2000 cm 3, ο οποίος λειτουργεί στις 3000 rpm. β) πόση πρέπει να είναι διάμετρος των καναλιών του καταλύτη ώστε να εξασφαλίζεται στρωτή ροή μέσα σε κάθε κανάλι, αν ο καταλύτης έχει τετραπλάσια διατομή από την εξάτμιση; Η σύσταση του αερίου στην εξάτμιση είναι κατά προσέγγιση: CO 2 : 15%, H 2 O: 10%, N 2 : 75%, η πίεση 1.1 atm και η θερμοκρασία 300. α) η διατομή της εξάτμισης είναι: πd 2 4 = 0.785 0.052 = 0.002 m 2 Το Μοριακό Βάρος του μίγματος είναι: 0.15 44 + 0.1 18 + 0.75 28 = 29.4 Η πυκνότητα του μίγματος θα είναι:ρ = M 22.4 273 p Tp 0 = 29.4 273 1.1 22.4 573 1 Το ιξώδες του μίγματος θα είναι: Μ m = y 1M 1 + y 2M 2 + μ m μ 1 μ 2 Τα επιμέρους ιξώδη από το www.wolframalpha.com Μ m μ m = 0.15 44 0.027 + 0.1 32 0.0203 + 0.75 28 0.02866 μ m = 0.026 Kg = 0.688 m 3
Παράδειγμα 3.5 α) να υπολογίσετε τον αριθμό Re στην εξάτμιση (d = 50 mm) ενός αυτοκίνητου με τετράχρονο κινητήρα 2000 cm 3, ο οποίος λειτουργεί στις 3000 rpm. β) πόση πρέπει να είναι διάμετρος των καναλιών του καταλύτη ώστε να εξασφαλίζεται στρωτή ροή μέσα σε κάθε κανάλι, αν ο καταλύτης έχει τετραπλάσια διατομή από την εξάτμιση; Η σύσταση του αερίου στην εξάτμιση είναι κατά προσέγγιση: CO 2 : 15%, H 2 O: 10%, N 2 : 75%, η πίεση 1.1 atm και η θερμοκρασία 300. α) Η ογκομετρική ροή του αερίου μίγματος θα είναι: 2 l 3000 επομένως V = 0.05 0.002 β) η ταχύτητα σε κάθε κανάλι θα είναι 25 = 0.05 m3 s 2 60 = 50 l s 25 0.05 0.688 = 25 m/s και Re = 0.026 10 3 = 33077 4 = 6.25 m/s υποθέτοντας Re = 1500 για σίγουρα στρωτή ροή: d c = Re μ V ρ = 1500 0.026 10 3 6.25 0.688 = 0.0091 m
Παράδειγμα 3.6 α) Σε σωλήνα διαμέτρου 1.5 cm ρέει αέρας με μέση ταχύτητα 1 m/s σε θερμοκρασία 100 και πίεση 3 atm. Υπολογίστε το καθεστώς ροής. Το καθεστώς ροής θα αλλάξει αν α) η θερμοκρασία αυξηθεί στους 200 ; β) η διάμετρος του σωλήνα αυξηθεί στα 2 cm; γ) η πίεση του αέρα αυξηθεί στις 5 atm; Υποθέστε ότι η μαζική παροχή είναι σταθερή. Σχολιάστε ρ Kg/m 3 μ cp T = 100, p = 3 atm 2.836 0.0219 T = 200, p = 3 atm 2.236 0.0261 T = 100, p = 5 atm 4.726 0.0219
Σημείωμα Xρήσης Έργων Τρίτων Eικόνες από ιστότοπους : https://en.wikipedia.org/wiki/ludwig_prandtl https://en.wikipedia.org/wiki/dilatant http://imgarcade.com/1/turbulent-flow-diagram/ https://en.wikipedia.org/wiki/gas https://en.wikipedia.org/wiki/entrance_length Eικόνες 3-5 : W. Mccabe, J. Smith, P. Harriott, Unit Operations Of Chemical Engineering, 2005, 7 th ed., McGraw-Hill Higher Education
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.0.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών. Καθηγητής, Δημήτριος Ματαράς. «Φυσικές Διεργασίες ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/cmng2120/
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.