website:

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Ιουνίου 18 1 Οριακό στρώμα και χαρακτηριστικά μεγέθη Στις αρχές του ου αιώνα ο Prandtl θεμελίωσε τη θεωρία του οριακού στρώματος. Κατάφερε να συνδέσει την ιδανική με την ιξώδη ροή, να διευκρινήσει απολύτως το ρόλο των διαφόρων δυνάμεων και την περιοχή εφαρμογής της θεωρίας της άτριβης ροής. Στην περίπτωση της κίνησης των πραγματικών ρευστών πάνω σε στερεά σώματα η επίδραση του ιξώδους γίνεται ιδιαίτερα αισθητή σε ένα πολύ λεπτό στρώμα ρευστού κοντά στην επιφάνεια του στερεού που ονομάζεται οριακό στρώμα. Εξω από το οριακό στρώμα το ιξώδες παύει να αποτελεί βασικό παράγοντα στην διαμόρφωση της ροής. Το πεδίο ροής ενός πραγματικού ρευστού πάνω από το στερεό χωρίζεται σε δύο διακεκριμένες περιοχές: 1) Το οριακό στρώμα στο οποίο η ροή ελέγχεται από δυνάμεις αδράνειας, δυνάμεις πίεσης και από τις ιξώδεις δυνάμεις οι οποίες είναι της ίδιας τάξης με τις δυνάμεις αδράνειας. ) Την περιοχή έξω από το οριακό στρώμα όπου η ροή ελέγχεται μόνο από τις δυνάμεις αδράνειας και τις δυνάμεις πίεσης και μπορεί να θεωρηθεί άτριβη. jmaay@physics.auth.gr, website: 1

2 Εστω μόνιμη ομοιόμορφη ροή πάνω από λεπτή, ακίνητη, επίπεδη πλάκα παράλληλη προς τη διεύθυνση ροής. Το ρευστό πριν φτάσει στην πλάκα έχει ομοιόμορφη ταχύτητα. Η ταχύτητα του ρευστού στην επιφάνεια της πλάκας (λόγω της ιξώδους φύσης του) είναι ίση με μηδέν. Εχουμε ανάπτυξη διατμητικής τάσης η οποία προκαλεί επιβράδυνση της ροής κοντά στην επιφάνεια της πλάκας. Άρα η ταχύτητα του ρευστού ξεκινά από μηδέν για y = και αυξάνεται έως ότου γίνει ίση με την ταχύτητα του ρευστού πριν να έρθει σε επαφή με την πλάκα,. Αυτή η περιοχή ονομάζεται οριακό στρώμα. Το οριακό στρώμα δεν διατηρείται σταθερό. Εχει πάχος δ το οποίο μεταβάλλεται κατά τη διεύθυνση της ροής αφού μεγαλύτερες ποσότητες ρευστού επιβραδύνονται υπό την επίδραση των διατμητικών τάσεων που αναπτύσσονται μέσα στο ρευστό. Μπορούμε να δούμε τρεις περιοχές στο οριακό στρώμα: 1. Στρωτό οριακό στρώμα: Η περιοχή αμέσως μετά την αρχή της πλάκας όπου η ροή είναι στρωτή. Αναπτύσσεται μέχρι μια ορισμένη απόσταση από την αρχή της πλάκας μετά από την οποία η ροή παύει να είναι στρωτή και μετατρέπεται σε τυρβώδη.. Τυρβώδες οριακό στρώμα: Η περιοχή του οριακού στρώματος όπου η τυρβώδης ροή είναι πλήρως αναπτυγμένη. 3. Η μεταβατική περιοχή: Η περιοχή μεταξύ του στρωτού οριακού στρώματος και του τυρβώδους οριακού στρώματος. Η έκταση της εξαρτάται από την ύπαρξη βαθμίδας πίεσης κατά τη διεύθυνση ροής, την τραχύτητα της επιφάνειας της πλάκας, την μεταφορά της θερμότητας, τις σωματικές δυναμεις και τις διαταραχές του ελεύθερου ρεύματος. Αν η επιφάνεια είναι τραχεία το τυρβώδες οριακό στρώμα είναι δυνατό να αναπτυχθεί αμέσως μετά την αρχή της πλάκας χωρίς να προηγηθεί ανάπτυξη στρωτού οριακού στρώματος. Στο Τυρβώδες οριακό στρώμα η κατανομή των μέσων χρονικών τιμών της ταχύτητας του ρευστού είναι ομοιόμορφη και το πάχος αισθητά μεγαλύτερο από εκείνο του στρωτού οριακού στρώματος. Αυτό οφείλεται στην τύρβη η

3 οποία καταλαμβάνει γρήγορα ολόκληρη της έκταση του οριακού στρώματος και φτάνει μέχρι και την εξωτερική ροή με αποτέλεσμα την ανάμειξη ολοένα και μεγαλύτερων ποσοτήτων ρευστού καθώς η απόσταση γίνεται μεγαλύτερη. Κριτήριο για το είδος του οριακού στρώματος είναι ο τοπικός αριθμός Reynolds Re x = x ν, (1) όπου ν το κινηματικό ιξώδες του ρευστού, η ταχύτητα του ρευστού πριν την επαφή του με την στερεή επιφάνεια και x η απόσταση που διανύει το ρευστό πάνω στην επιφάνεια. Οι τιμές που παίρνει ο τοπικός αριθμός Reynolds βρίσκονται πειραματικά ως εξής: Για τη στρωτή ροή Re x <.1 5, Για τη τυρβώδες ροή Re x > Οι ενδιάμεσες τιμές προσδιορίζουν την μεταβατική περιοχή. Κρίσιμος αριθμός για τη ροή ρευστού πάνω σε πλάκα είναι Re xc = στην οποία γίνεται η μετατροπή της ροής. Δομή του οριακού στρώματος Το τυρβώδες οριακό στρώμα είναι πιο σύνθετο από το στρωτό λόγω της ανάπτυξης σε αυτό τυρβώδων τάσεων (πέρα από τις ιξώδες τάσεις που είναι οι μοναδικές διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται στο στρωτό οριακό στρώμα). Χαρακτηριστικά μεγέθη οριακού στρώματος Ι. Το πάχος του οριακού στρώματος δ: Δεν ορίζεται με ακρίβεια και αυτό γιατί το σημείο που διαχωρίζει σε κάθε διατομή την ταχύτητα εντός του οριακού στρώματος και εκτός από αυτό δεν καθορίζεται αυστηρά. Συνήθως ορίζουμε το πάχος του οριακού στρώματος ως την απόσταση μεταξυ της επιφάνειας του στερεού και του σημείου του πεδίου ροής στο οποίο η ταχύτητα u x =.99u e, όπου η ταχύτητα u e μπορεί να διατηρείται σταθερή ή να μεταβάλλεται κατά μήκος του εξωτερικού ορίου του οριακού στρώματος. Αν η επιφάνεια του στερεού είναι επίπεδη τότε u e =. Στην περίπτωση της καμπύλης επιφάνειας ισχύει ότι η ταχύτητα είναι συνάρτηση της θέσης u e (x). 3

4 Ενας άλλος ορισμός για το πάχος του οριακού στρώματος δίνεται όπου δ = 3δ 1, όπου το δ 1 είναι το πάχος μετατόπισης. Πειραματικά το πάχος του οριακού στρώματος αποδυκνείεται ότι εξαρτάται από την ταχύτητα του ρευστού έξω από την πλάκα, την πυκνότητα του ρευστού ρ και του συντελεστή ιξώδους µ, και ισχύει δ ΙΙ. Πάχος μετατόπισης: µx ρ = x Rex. () Πάχος μετατόπισης ονομάζουμε το πάχος ενός ιδεατού στρώματος ρευστού ταχύτητας και παροχής μάζας ίση με τη μείωση αυτής που οφειλεται στην επιβράδυνση της ροής εντός του οριακού στρώματος. Δίνεται από τη σχέση δ 1 = Επειδή για y δ, u x η παραπάνω σχέση γίνεται δ 1 = δ )dy. (3) )dy. (4) ΙΙΙ. Πάχος ορμής: Πάχος ορμής ονομάζουμε το πάχος ενός ιδεατού στρώματος ρευστού ταχύτητας στο οποίο εισέρχεται ορμή ίση με το ποσό κατά το οποίο ελλατώνεται η ορμή ροής στο πραγματικό οριακό στρώμα. Το πάχος ορμής δίνεται από τη σχέση δ = Επειδή για y δ, u x η παραπάνω σχέση γίνεται δ = δ u x )dy. (5) u x )dy. (6) Ο λόγος του πάχους μετατόπισης ως προς το πάχος ορμής ονομάζεται παράγοντας σχήματος δίνεται από τη σχέση Θ = δ 1 δ, (7) 4

5 και σχετίζεται άμεσα με το φαινόμενο της αποκόλλησης του οριακού στρώματος. Οπισθέλκουσα δύναμη Οπισθέλκουσα ονομάζεται η δύναμη που προκαλούν οι διατμητικές τάσεις στην επιφάνεια του στερεού σώματος όπου σχηματίζεται το οριακό στρώμα. Εχει διεύθυνση την κατεύθυνση ροής και δίνεται από τη σχέση F D = l τ w bdx, (8) όπου b το πλάτος της πλάκας, l το μήκος της πλάκας και τ w η τοπική διατμητική τάση στην επιφάνεια που δίνεται από τη σχέση τ w = µ( dux dy ) y =. Η οπισθέλκουσα εκφράζεται συνήθως ως συνάρτηση της δυναμικής πίεσης ρu του ελεύθερου ρεύματος της επιφάνειας A πάνω στην οποία αναπτύσσονται οι διατμητικές τάσεις και ενός αδιάστατου συντελεστή που ονομάζεται συντελεστής οπισθέλκουσας C D. Δίνεται από τη σχέση 3 Ασκήσεις ρu F D = C D A. (9) 1. Κατά τη στρωτή ροή ενός νευτώνιου ρευστού πάνω από μια λεπτή επίπεδη πλάκα σχηματίζεται οριακό στρώμα. Η κατανομή της ταχύτητας του ρευστού εντός του οριακού στρώματος προσεγγίζεται ικανοποιητικά από μια ημιτονοειδή καμπύλη. Σε απόσταση x από την αρχή της πλάκας, το πάχος του οριακού στρώματος είναι 6mm και η ταχύτητα του ρευστού μακρία από αυτή 1m/s. Το ρευστό έχει ιξώδες P a m. Να υπολογιστούν 1. Η τάση τ w την οποία ασκεί το ρευστό στην επιφάνεια της πλάκας.. Το πάχος μετατόπισης και το πάχος ορμής του οριακού στρώματος. 5