Φ Λ Ι Ι ι αγωγτ ρι μ Π λλι πρα τν πρ βλτ ματα χαι χαταστι αει τη αθημ ριν ζω μπ ρ ι ν να περιγραφ ν με τη β θεια ν διαγρι μματ ζ απ τελ μεν υ απ να ι ν λ ημε ων αι να ν λ γραμμι ν π υ να ενι ν υν υγ ε ριμ να ζει γη ημε ων Για παρ δειγμα λλι τα θα μπ ρ ε τα ημε α να ε ναι πρ ωπα χαι ι γραμμ να υμβ λ ζ υν ζε γη φ λων θα μπ ρ σε τα σημε α να ε ναι υπ λ γι τι ζ χαι ι Υ αμμ ζ να αντιπρ σωπει υν τι αντ τ ι ε αλωδιι ε ι τ λ θα μπ ρ ι ε τα ημε α να υμβ λ ζ υν π λει αι ι Υραμμ τ δι δ τυ λπ λπ μαθηματι αφα ρε η ατα τ σεων χαι πρ βλημι των τ τ ι υ ε δ υ δηγε τη ν τ υ γρι φ υ Γρι φ γρ φημα ε ναι μ α δ μ π υ απ τελε ται απ ι να ν λ ρυφ ν μβων ημε ων π υ υνδ νται μεταξ τ υζ με να ν λ α μι ν γραμμι ν Ι Γενι να γρ φι υμβ λ ζετα ωζ Ε Ε π υ φυ ι αυ Ε να τα ν λα των ρυφι ν χαι των α μι ν α ντ τ ι α πλ θ των ρι φ ν αντ τ ιχα των α μ ν εν γρ φ υ υμβ λ ζετα ιε τι αντ τ ι α μ ε Ε αι ν μ ζεται τι ξη αντ τ ι α μ γεθ τ υ γρι φ υ ν ι αριθμ αυτ ε ναι πε τερασμ ν ι τ τ αυ γρ φ λ γεται π περα ψ ν αι υμβ λ ζεται με τ αλλιι λ γεται ι πειρ ν
α ι νν ιε γ φ ζ ν μ ζεται εν ενι αν Υρ φ ν μι ζεται α ι μαντ αρ τητα υν ι μη α μαντ ι γρ φ ι με ηδενι ν μ ζεται να γρι φ αν χαι συμ β λ ζεται με π υ β βα α τ δηλι νει τ πλτ θ ζ των χ ρυ φι τ μα παρ υ ι ζ ται να πεπερα μ ν γρ φ με τ ξη ρυφι ν υ υ αι μ γεθ α μι ν Ε υ υη μα Παρ δειγμα πεπερα μ ν υ γρ φ υ θε α μ πρ δι ρ ζεται απ δι ρυφ π υ ν μ ζ νται τερματι ο ημε α Α η αχμ ι τα ιι υ ωζ τε ματ χι ημε α τ τε η ν μ ζεται πρ σπ πτ υ α τα ημε α υ λ γεται τι η ενι νει τα υ μη α ημειωθε τι η α υμβ λ ζεται βε α υ υ Αντ τ ι α ρ ζεται τι τ ημε να γειτ νι τ υ αι αντ τρ φα την αντ θετη περ πτωση αν δηλαδ δι ημε α δεν ενι ν νται τ τε ν μι ζ νται μη γε τ γι ι ανεξι ρτητα γειτ νιι ι μ α ρυφτ υ υ ε ναι τ ν λ των ρυφι ν π υ ρ ζεται απ τη γ η υ υ Ε αθμ Θ ν μ α ρυφ υ λ γεταιτ πλ θο των α μι ν π υ πρ π πτ υν στην χ ρυφ υ α υμβ λ ζεται με υ Δηλαδ ι ι υ υ Ι αντ τ ιχα υμβ λ ζεται ελι ι το αντ τ χα μ γιατ βαθμ των ρυφι ν τ υ γρι φ υ τ Υρ φ τ υ ματ ι ει Αν για π ι α ρυφ
Ι Δ τ μ α τι γρι φ ι βαθμ αι τ ξη ι ει υ υ η ρυφ ν μ ζεται απ μ νωμ νη ε ρεμ αντ τ ι α α τι βαθμ ι λ γεται να γρ φ αν ι θε ρυφ τ υ ει τ ν δι βαθμ τ μ παρ υ ι ζ νται ι ταχτι γρι φ ι ξη α βαθμ αι Ιδια τερη ιατ ρι θεωρη τι ημα α υν ι τα τι γρ φ ι π υ σχηματ ζ νται με τιζ ρυφ αι τιζ αχμ των αν νι ν τερει ν τετρ εδρ β τ εδρ δω δε εδρ αι ευ εδρ ι γρ φ ι αυτ π υ ν μι ζ νται πλατωνι εμφαν ζ νται στ μ π η αημειι ν ται τι ι θε τα φλ βαθμ ι ν ζεται λι γρι φ υμβ λ ζ Ψ δε μα ενι θ τα τι γρι φ βαθ μ ν μ ζεται υ τ ι τρει απ τ υ γρ φ υ τ υ ματ ε ναι υβι τω τι τ ν λ των ρυφι ν απ τελ ται απ ανεξι ρ τητα μεταξι τ υ υπ ν λα ι ενι δ ρυφ α υ εν ι ν νται μ ν αν αν υν τ δι υπ ν λ την περ πτω η αυτ ι υπ γρι φ ι ν μ ζ νται υνδε δεμ νε υν ιατι ε να γ ι φ ν μ ζεται υνδ δεμ ν αυνε ι αν ει μ ν μ α υνδεδεμ νη υνι τι α να γρ φ λ γε αι υνδεδεμ ν ατ ελι ι τ τρ π
α ι νν ιε μ Πλατωνι ταχτι γρ φ ι αν η διαγραφ μ α μ ν α μ τ ν απ συνδ ει αι δημι υργε υνι τι α ΙΙ ειρι εν γρι φ υ αυμβ λ ζεται με αι ι ται με τη διαφ ρι τη τ ξη τ υ με ν τ πλ θ των συνιστω ι ν τ υ γρο φ υ Δηλαδ ι ι ι η η μηδενι τητα υ λωματι αριθμ εν γρ φ υ υμβ λ ζεται με μ αι ι ι ται με τη διαφ ρι τ υ μεγ θ υζ τ υ με ν τη αειρ τ υ γρι φ υ Ι ι ει δηλαδ β ΙΙρ φανι για να υνδεδεμ ν γρι φ ι ει χαι β α α μ με ταυτ ημα τ ρματιχι ημε α ν μι ζεται βρ
εφι λαι μ υ λι γρ φ υ αν μ ΙΙ λυ γρ φ ι ευδ γρ φ υπ ε μεν γρι φ αι ατευθυ ν μεν τ φ ζ ενι δ περιι τερε α μ π υ ενι ν υν τ δι ζε γ ρυφι ν ν μ ζ νται παρι λληλε Ι Ι ι θε γρ φ ζ χω ζ βρ υ παρ λληλε α μ ν μ ζεται απλ τ ενι ι α μ τ υ ν μ ζ νται νδε μ ι να γ φ ζ με παρι λληλ α μ αλλ ωρ βρ υ ν μ ζεται π λυ γρι φ να γ φ ζ π υ περι ε βρ υ ν μι ζεται ι ευδ τ φ ν ατ ζ νατ αφ διαγρα φ ν ι βρ γ υ χαι Υια θε ζε γ ρυφιδν λε ι παρ λληλε α μ πλην μ α τ τε πρ πτε υπ χε μεν απλ γρι φ α τευθυν μεν γρι φ πρ ανατ λι μ ν ν μο ζεται να γρ φ π υ απ τελε ται απ να μη εν ν λ ρυφ ν αν ι να ν λ ατ διατεταγμ να ζε γη ρυ φι ν π υ ν μ ζ νται τ ξα λ τ μα δ νεται παμ δειγμα εν π λυ γρ φ υ εν ι ευδ γρ φ υ χαι τ υ αντ τ ι υ υπ ε μεν υ γρ φ υ αθι αι να παρι δειγμα ατευθυν μεν υ γρ φ υ
Δι μμ λ μμ των ειραι ιι ν θρ ι μα των βαθμι ν λων των ρυφι ν εν πεπερα μ ν υ γρ φ υ Ε ε ναι διπλ ι τ υ πλ θ υ των α μ ν Α ρ να θεωρηθε τι Θε α μ υνει φ ρει τ ι θρ ι μα ατ για ι θε μ α απ τι ρυφ π υ πρ π πτει Π ρι μα ε ναν τα τι τ φ Β βαθμ ι γ ι η ε β η τ Λ μμα Απ τ π ρι μα αυτ ε ναι πρ φαν τι δεν υπι ρ χ υν ταχτιχ γρ φ υ τ ξη περιττ αι βαθμ ι περιττ τω αι π λι να γρ φ ζ με ρνφ α α μ Γραμμι Υ ο φ Ζ τ υ γρ φ υ ν μ ζεται να γρ φ μ ρυφ μ α για ι θε α μ τ υ ενι δ ρυφ τ υ ε ναι γειτ νι αν ι αντ τ ιχεζ α μ τ υ πρ ειντα στην δια ρυφ Π ρι μα πλτ θ των α μι ν τ υ γραμμι ι γρι φ υ υ ται με ε βι η τ Λ μμα πρ πτ ει τι τ Ε Β Ι υ υ Υυ Υυ ι ν Θε ρημα πλ θ των ρυφ ν περιττ βαθμ ι εν πεπερα μ ν υ Υρι φ υ ε ναι ρτι αριθμ
δεξι λ τη η ε ναι ρτι Για τ αρι τερ λ τη αη αυτ συνεισφ υν ι χ ρυφ μ ρτι βαθμ χαι ι ρυφι με περιττ βαθμ υν ι φ ρ των πρ των ε ναι ρτι αριθμ ι ρα ρτι αριθμ ε ναι αι η συνεισφ ρι Δτη δει τερηζ χατηγ ρ α π τ ν τελευτα υλλ γι μ π χι πτει η αλ θεια τ υ θεωρ ματ μ Πλτ ρει γρ φ ι τ ξη απ γι ρι να απλ Υ ι Ψ τ υ π υ ενι ν νται δ π ιε δ π τε ρυφ ν μι ζεται πλ ρη γενι αι υμβ λ ζεται με Ι τ μ παρ υ ιι ζ νται ι πλτ ρει γρι φ ι τ ξη απ ν ι Πρ φ Κ ναυ τα τι τρ φ ζ βαθμ να γρ φ λ μ ν απ υνι τι ε τι π υ υμβ λ ζεται με Κ δ μ τ λ α Ι εν γρι φ ν ε ναι να υπ γρ φ τ υ π απ τελε ται απ να ν λ ρυφι ν τ ι ι τε γρ φ Ι να ε ναι πλ ρη ριθμ τη λ α λ γεται η τι ξη τη λ α αι υμβ λ ζεται με ω Θει ρημα π θ των α μ ν εν πλ ρ υ γρι φ υ Ι να
ααι νν ιε ρ ε να Θεωρηθε τι ε Θε ρυφ πρ π πτ υν α μ αι τι Θ α μτ υπ λ γ ζεται δ φ ρ Θει ρημα Για ναν απλ γρ φ ρυφ α μθ αι υνι τι ε ι ει η η ζ ζ Αριατερ α λ Θα ρη ιμ π ιηθε επαγωγτ με β η τ πλ Θ των αχ μι ν ν ναι μηδενι τ τε η αλ θεια ε ναι πρ φαν ωρ βλ βη τη γενι τηταζ αζ υπ θ υμε τι περι ει τ ν λ ι τ δυνατ αριθμ α μι ν πι τ υ ιδ τε η αφα ρ η μ α α μ να αυξ νει τ πλ θ των συνιστω ι ν ατι μ α ε β η την υπ θε η τηζ επαγωγ πρ πτει απ π υ υνεπ γεται τ Δεξι λ ατω τι θε υνι τι α ει ρυφ π υ τ ι ια ι ει ε ι ι ω η τ τετρ γων χαι ατι λληλη λγεβρα πρ ι πτει η ανι Τ τη τα π τ πρ ηγ μεν θε ρημα ε ναι γνω τ τι τ μ γιατ πλτ θ α μι ν την τ υνι τι α ε ναι υνεπι ζ Ι τι ρη ιμ π ιι γτα τη οη Ι αι με ατι λληλη ι λγεβρα πρ ι πτει τ θε ρημα Π ρι μα Ι θε απλ ζ τ φ ζ νφ αι τ υλ ι τ ν α ι ε ναι υνδεδεμ ν Γ
ε βι η τ Θει ρημα τ εφ λαι τ ρι αυτ θα περι ρι Θε π ρι τερ δε Θει ρημα θε α μ ν γρι φ υ μπ ρε να χα α τηρ ζεται απ ναν αριθμ π υ ν μ ζεται β ρ αι υμβ λ ζεται με την περ πτω η αυτ Υρζ φ ζ ν μ ζεται ζυγι μ ν βι ρ εν γρ φ υ ι ται με τ ι θρ ισμα των βαρι ν των α μι ν τ υ ναι επ η δυνατ ν ι ρυφ ι α μ εν γρ φ υ να χαρα τηρ ζ νται απ να μ ναδι ν μα π υ ν μ ζεται επ αφ τ τα ι Ι Δι γρι φ ι με παν μ ι τυπη γραφι παρ τα η αλλ διαφ ρετι γρ φ θεωρ ι νται διαφ ρετι Δ γρ φ ι αι λ γ νται ισ μ ρφιχ π αν υπ ρ ει μ α αμφιμ ν μαντη αντιατ ι α μ ξ των υν λων αι τ ι ι τε αν ι χ ρυφ α υ ι γ ι τ γρ φ τ τ χαι ι αντ τ ι ε ρυφ αι υ Θα ε ναι γειτ νι τ Υρ φ π τ ν ρι μ αυτ γ νεται αντι ιη τι δ ισ μ ρφιχ γρ φ ν μπ ρε να υν διαφ ρετι μ ρφ αι επιγραφ αλλ υν τι διε βα ι δ μι ιδι τητε Για παρ δειγμα γρ φ τ υ ματ ε ναι ι μ ρφυ Δ γρι φ υ αν γ ι ι αν αυ ι Πρ φανι δ ι γρι φ ι ε ναι αι ισ μ ρφιχ αλλ τ αντ τρ φ δεν ι ει μ Δ ισ μ ρφιχ γρι φ ι ε ρε η τ υ υν λι πλ θ υ των γρ φων π υ υν μ α μ η ιδι τητα λ γεται μ τρηοη απαρ Θμη η ι δ παρα τω πρ τ ει εξυπηρετ ι ν τ π αυτ υγ ε ρι Θει ρημα υ λ πλ Θ των απλ ν γρο φων με επιγραφ π υ υν ρνφ
α ι α νν ιε ι αχμεζ ειναι φ νεται ω ι η η στ ν αναγγιδ τη ι Π ρι μα υν λι πλ θ των απλι ν γρ φων με επιγραφ αι ρυφ ε ναι ε βι αη τ Θει ρημα αυ δε μεν ι τι αριθμ ν ια νεται απ ω π ρι μα πρ ι πτει χρησιμ π ιι ντα την ταυτ τητα να γρ φ απ τ λε υπ γρι φ εν ι λλ υ τρ φ ν αν ι ι Ε ΙΙ Ξ Ε χαι τα τερματι ημε α π ασ δ π τε αχβ τ υ αν υν ι την περ πτω η αυτ λ με τι γρ φ περυ γει τ γρι φ τν ναι να υπεργρ φ τ υ Πρ φανι πλ ρηζ γρ φ ζ Κ υπ γρ φ υ ισ μ ρφ χ πρ τ γρι φ Ι Αν γρ φ ε ναν υπ γρ φ τ υ αι ι ι ει τ τε γρι φ ν ζεται ζευγν ων υπ τ φ ζ τ υ τ παρι γ ντα τ υ γρι φ υ ν ι ε ναι να υπ ν λ τ υ τ τε ν μ ζεται επηρεαομ ν απ τ ν λ υπ γρι φ π ν α ι ν τ ν λ των α μι ν τ υ απ τελε ται απ τι α μ τ υ π υ πρ π πτ υν ε δ ρυφ τ υ ατι παρ μ ι τρ π ρ ζεται να υπ γρ φ ωζ επη εασμ ν απ να ν λ π ν Ει Ε αν Ε Ει ενι τ ι ν λ των ρυφι ν τ υ απ τελε ται απ τι ρυφ π υ υνδ νται απ τι α μ τ ν Ει τ μα α παρ υαι ζεται να γρ φ τ μ β να ζευγν ων υπ γρ φ ενι γρ φ τ υ ματ γ δεν ε ναι υπ γρι φ τ υ ι υπ λ ιπ ι γρ φ ν τ υ ματ ζ ε ναι γν ι ι υπ γρ φ τ υ τ ι υπ γρι φ τ υ ματ δ μπ ρε να Θεωρηθε επηρεα μ ν ε τε απ να ν λ ε ατ να