Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη

Transcript

1 Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

2 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) = N G (v) [ορισμο ς μο νο για απλα γραφη ματα] v 7 v 1 v 2 v 3 v 4 Ελάχιστος βαθμός γραφήματος: δ(g) = min {d G (v) : v V(G)} Μέγιστος βαθμός γραφήματος: (G) = max {d G (v) : v V(G)} Μέσος βαθμός γραφήματος: d(g) = d G (v)/ V(G) v V(G) Πυκνότητα γραφήματος: ϵ(g) = E(G) / V(G) v 6 Απομονωμένη κορυφή: κορυφη v με d G (v) = 0 Εκκρεμής κορυφή: κορυφη v με d G (v) = 1 r-κανονικό γράφημα: r-regular v 5 v V(G) ισχυ ει d G (v) = r Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

3 Θεώρημα 2.1: Για κα θε γρα φημα G ισχυ ουν: i. d G (v) = 2 E(G) v V(G) ii. δ(g) d(g) (G) iii. ϵ(g) = d(g)/2 Απόδειξη : i. Πι νακας Προ σπτωσης e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 d(v) v 1 v v v v v 1 d(v) E(G) v 2 e 1 e 4 e 2 v 3 v 5 e 3 e 5 e 6 e 7 v 4 ii. απο τον ορισμο των δ(g), d(g) και (G) iii. απο τον ορισμο των ϵ(g) και d(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

4 Πρόταση 2.2 : Κα θε γρα φημα G ε χει α ρτιο αριθμο κορυφω ν περιττου βαθμου Απόδειξη : } Εστω V 1 V : συ νολο κορυφω ν περιττου βαθμου V 1 V 2 = V V 2 V : συ νολο κορυφω ν α ρτιου βαθμου Ισχυ ει d G (v) + d G (v) = 2 E(G) v V 1 v V 2 d G (v) ει ναι α ρτιος αριθμο ς v V 1 V 1 ει ναι α ρτιο, γιατι d G (v), v V 1 ει ναι περιττο ς Πρόταση 2.3 : Κα θε r-κανονικο γρα φημα G ε χει r V(G) 2 ακμε ς Απόδειξη : E(G) = d G (v) v V(G) = r V(G) 2 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

5 Ερώτηση 2.1: Το γρα φημα G ε χει ακριβω ς δυ ο κορυφε ς με περιττο βαθμο, ε στω τις u και v. Συνδε ονται οι u και v με μονοπα τι? Ερώτηση 2.2: Υπα ρχει 3-κανονικο γρα φημα G με 9 κορυφε ς? Ερώτηση 2.3: Υπα ρχει 9-κανονικο γρα φημα G με 13 κορυφε ς? Ερώτηση 2.4: Έστω 2 ο μιλοι ποδοσφαι ρου με 13 ομα δες ο καθε νας. Μπορου με να οργανω σουμε ε να πρωτα θλημα ε τσι ω στε κα θε ομα δα να συμμετε χει σε 9 αγω νες με ομα δες του ομι λου της και σε 4 αγω νες με ομα δες του α λλου ομι λου? Ερώτηση 2.5: Έστω ε να r-κανονικο διμερε ς γρα φημα με διαμερι σεις X και Y. Το τε X = Y. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

6 Πρόταση 2.4 : Κα θε απλο γρα φημα G ε χει δυ ο κορυφε ς ι διου βαθμου Απόδειξη : G απλο v V(G) : d G (v) {0, 1,..., n 1} ο που n = V(G) Αλλα, το συ νολο των δυνατω ν βαθμω ν για τις κορυφε ς του G δεν μπορει να περιε χει ταυτο χρονα τους βαθμου ς 0 και n 1 [Η κορυφη με βαθμο n 1 ει ναι ενωμε νη με ο λες τις α λλες κορυφε ς, οπο τε δεν υπα ρχει κορυφη με βαθμο 0] Συνεπω ς ε χουμε n 1 το πολυ δυνατου ς βαθμου ς για τις n κορυφε ς Άρα υπα ρχουν δυ ο κορυφε ς με τον ι διο βαθμο [αρχη του περιστερεω να] Πρόταση 2.5 : Σε κα θε ομα δα απο 2 η περισσο τερους ανθρω πους πα ντα υπα ρχουν δυ ο α τομα με τον ι διο αριθμο φι λων με σα στην ομα δα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

7 Πρόταση 2.6 : Έστω απλο γρα φημα G για το οποι ο ισχυ ει δ(g) V(G) 1 2. Το τε το G ει ναι συνδεδεμε νο Απόδειξη : Θα δει ξουμε ο τι u, v V(G) υπα ρχει μονοπα τι απο την u στην v. Περίπτωση 1: e = (u, v) E Το τε υπα ρχει μονοπα τι u v Περίπτωση 2: e = (u, v) / E δ(g) { V(G) 1 2 N G (u) V(G) 1 2 N G (v) V(G) 1 2 Παρατηρου με ο τι N G (u) N G (v) (1) Εα ν N G (u) N G (v) = N G (u) N G (v) = N G (u) + N G (v) V(G) 1 (2) Αλλα {u, v} / N G (u) N G (v) N G (u) N G (v) V(G) 2 (3) άτοπο λο γω της (2) (1) w N G (u) N G (v) e 1 = (u, w), e 2 = (w, v) υπα ρχει μονοπα τι u v Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

8 Θεώρημα 2.7: Κα θε γρα φημα G χωρι ς βρο γχους ε χει διμερε ς υπογρα φημα H G με τουλα χιστον E(G) /2 ακμε ς Απόδειξη [Κατασκευαστική]: Θα κατασκευα σουμε διμερε ς υπογρα φημα H G με E(G) /2 ακμε ς. 1. Έστω αυθαι ρετη διαμε ριση X, του V(G) και H G το διμερές επαγόμενο απο τα X, γρα φημα Εα ν E(H) E(G) /2 τελειω σαμε 2.2 Αλλιω ς [E(H) < E(G) /2] Έστω v V(G) : d H (v) < d G (v)/2 (πα ντα υπα ρχει) Μετε θεσε την v στο α λλο μερι διο Προσα ρμοσε το H ω στε να ει ναι διμερε ς: αφαι ρεσε τις ακμε ς απο το H που ενω νονταν με την v πριν την μετα θεση [d H (v) ακμε ς] και προ σθεσε τις ακμε ς που ενω νονται με την v στο G αλλα ο χι στο H [>d H (v) ακμε ς] Πη γαινε στο 2. Ο αριθμο ς των ακμω ν του H αυξα νει μετα απο κα θε μετακι νηση Ο αλγο ριθμος τερματι ζει Το γρα φημα H ει ναι διμερε ς [απο κατασκευη ] E(H) E(G) /2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

9 E(H) E(G) /2 Απόδειξη : Στο τε λος του αλγορι θμου ισχυ ει v V(G) : d H (v) d G (v)/2 E(H) = 1 d 2 H (v) v V(H) 1 d 2 G (v)/2 [V(H) = V(G)] v V(G) = E(G) /2 Ερώτηση 2.6: Δι νει πα ντοτε ο αλγο ριθμος το με γιστο διμερε ς υπογρα φημα? g f h e a d b c H 1 : {a, b, c, d}, {e, f, g, h} E(H 1 ) = 12 H 2 : {g, h, a, b}, {c, d, e, f} E(H 1 ) = 16 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

10 Θεώρημα 2.8: Κα θε μη τετριμμε νο γρα φημα G χωρι ς βρο γχους ε χει διμερε ς υπογρα φημα H G με > E(G) /2 ακμε ς [τετριμμε νο γρα φημα: γρα φημα χωρι ς ακμε ς η κορυφε ς] Απόδειξη [Επαγωγή στο V(G) ]: βα ση V(G) = 2 G = H, ισχυ ει Ε.Υ. Κα θε μη τετριμμε νο χωρι ς βρο γχους γρα φημα G με V(G) k, k 2 ε χει διμερε ς υπογρα φημα H G με > E(G) /2 ακμε ς Ε.Β. Έστω αυθαι ρετο γρα φημα G με V(G) = k + 1 Έστω αυθαι ρετη κορυφη v V(G) Θεωρω το G\v [ε χει k κορυφε ς] Ε.Υ. = H G\v : E(H ) > E(G\v) /2 Έστω X και Y τα μερι δια του H Προσθε τω την v στην διαμε ριση ο που η v συνδε εται με τις λιγο τερες ακμε ς γρα φημα H Προσθε τουμε στο H τουλα χιστον d G (v)/2 ακμε ς. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

11 E(H) E(H ) + d G (v)/2 > E(G\v) /2 + d G (v)/2 = ( E(G\v) + d G (v))/2 = E(G) /2 Ερώτηση 2.7: Εστω A ο πι νακας γειτνι ασης ενο ς απλου γραφη ματος G. Να δειχθει ο τι η διαγω νιος του A 2 περιε χει τους βαθμου ς των κορυφω ν του G. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

12 Θεώρημα 2.9[Köning-1916]: Κα θε γρα φημα G ει ναι επαγο μενο υπογρα φημα κα ποιου (G)-κανονικου γραφη ματος Απόδειξη : Για κα θε γρα φημα G ορι ζουμε την ποσο τητα ( (G) d G (v)) v V(G) z(g) = V(G) Το z(g) αποτελει με τρο του πο σο απε χει το G απο το να ει ναι (G)-κανονικο Εφαρμο ζουμε επαναληπτικα την παρακα τω διαδικασι α η οποι α μειω νει το z(g) 1. G 1 = G G 2. Προ σθεσε ακμε ς μεταξυ αντι στοιχων κορυφω ν (σε διαφορετικα αντι γραφα) που ε χουν βαθμο < (G) G G 1 και z(g) > z(g 1 ) 3. Εα ν G 1 ει ναι (G)-κανονικο τελειω σαμε αλλιω ς G = G 1 πη γαινε στο 1. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

13 Γραφικη Ακολουθι α Έστω η ακολουθι α (d 1, d 2,..., d n ) ο που 0 d i < n, d i N Με sorted((d 1, d 2,..., d n)) συμβολι ζουμε την ακολουθι α που προκυ πτει απο την ταξινο μηση σε φθι νουσα δια ταξη της (d 1, d 2,..., d n ) Έστω G = (V, E) και s = (d(v 1 ), d(v 2 ),..., d(v n )), v i V(G), V(G) = n η ακολουθι α βαθμω ν του G Η ακολουθι α sorted((d(v 1 ), d(v 2 ),..., d(v n))) ονομα ζεται γραφικη ακολουθι α του G. G v1 v4 v8 v10 Γραφικη ακολουθι α του G v3 v5 v7 v2 ( ) v6 v9 v5 v3 v7 v4 v6 v8 v9 v1 v2 v10 Γραφική ακολουθία: Μι α φθι νουσα ακολουθι α s = (d 1 d 2, d n) ονομα ζεται γραφική αν υπα ρχει γρα φημα G(V, E) και μι α 1 1 και επι απεικο νιση σ : V {1, 2,..., n}: d(v) = d σ(v) Το γρα φημα G υλοποιει την ακολουθι α s Η ακολουθι α s ει ναι η ακολουθι α βαθμω ν του G Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

14 Ερώτηση 2.8: Υπα ρχουν διμερη γραφη ματα με τις παρακα τω ακολουθι ες βαθμω ν? i. (3, 3, 2, 2, 2) ii. (3, 2, 2, 2, 2, 1) iii. (5, 2, 1, 1, 1) iv. (3, 3, 2, 2) Ερώτηση 2.9: Να δειχθει ο τι για κα θε n 2 η ακολουθι α (0, 1, 2,..., n 1) δεν ει ναι γραφικη. Ερώτηση 2.10: Να δειχθει ο τι η ακολουθι α (d 1 d 2, d n ) ει ναι γραφικη ανν η ακολουθι α sorted(n d 1 1, n d 2 1,..., n d n 1) ει ναι γραφικη. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

15 Μεταγωγή: Έστω κορυφε ς x, y, z, w V(G) ενο ς απλου γραφη ματος G και (x, y), (z, w) E(G) αλλα (x, z)(y, w) / E(G). Ορι ζουμε ως μεταγωγή πα νω στο συ νολο {x, y, z, w} την αντικατα σταση στο G των ακμω ν (x, y), (z, w) απο τις (x, z)(y, w) Παρα δειγμα: u v w u v w u v w (u,v)(y,x) (u,v)(y,x) x y z x y z x y z Σημείωση: Μια μεταγωγη σε ε να συ νολο 4 κορυφω ν ενο ς γραφη ματος G δεν αλλα ζει την ακολουθι α βαθμω ν του G. Ανηγμένη ακολουθία: Έστω η ακολουθι α s = (d 1 d 2, d n ). Η ακολουθι α (d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n) ορι ζεται ως η ανηγμένη ακολουθία της s Παρα δειγμα: Έστω s = (4, 3, 2, 2, 2, 2, 1). Η ανηγμε νη ακολουθι α της s ει ναι η s 1 = (2, 1, 1, 1, 2, 1) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

16 Θεώρημα 2.10[Havel-Hakimi]: Μι α φθι νουσα ακολουθι α s = (d 1 d 2, d n) ει ναι γραφικη ανν η ανηγμε νη ακολουθι α της s ει ναι γραφικη Απόδειξη : Έστω s 1 = (d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n) η ανηγμε νη ακολουθι α της s και ε στω ο τι η s 1 ει ναι γραφικη s 1 γραφικη G 1 με V(G { 1 ) = {v 2, v 3,..., v n} d(v i ) = d i 1 2 i d d i d i n Κατασκευα ζω γρα φημα G(V, E): V(G) = V(G 1 ) {v 1 } Ο G υλοποιει την ακολουθι α s Η ακολουθι α s ει ναι γραφικη E(G) = E(G 1 ) {(v 1, v i ) : 2 i d 1 + 1} Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

17 Παρα δειγμα: v 4 G 1 v 4 v 3 v 3 v 1 v 5 v 6 v 5 v 6 v 2 v 7 v 2 v 7 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

18 s = (d 1 d 2, d n ) ει ναι γραφικη s = (d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n ) ει ναι γραφικη s γραφικη G = (V, E) με V(G) = {v 1, v 2,..., v n } : d(v i ) = d i, i = 1,..., n Περίπτωση 1: u V(G) : d(u) = d 1 και η u ει ναι γειτονικη με κορυφε ς με βαθμου ς d 2, d 3,..., d d1 +1 G\u ε χει ακολουθι α βαθμω ν την s Περίπτωση 2: κορυφη u ο πως στην περι πτωση 1 Έστω η κορυφη v i ε χει βαθμο d(v i ) = d i, i = 1,..., n Επειδη η v 1 δεν ει ναι γειτονικη με ο λες τις v 2, v 3,..., v d1 +1 v j και v k με d j > d k : Λο γω του ο τι d(v j ) > d(v k ) κορυφη v l : v 1 δεν ει ναι γειτονικη με v j v 1 ει ναι γειτονικη με v k v l ει ναι γειτονικη με v j και v l δεν ει ναι γειτονικη με v k Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

19 v 1 v k Μι α μεταγωγη στις v 1, v k, v j, v l δι νει γρα - φημα G με ι δια ακολουθι α βαθμω ν με το G. ΑΛΛΑ: το α θροισμα των βαθμω ν των γειτο - νων της v 1 στο G ει ναι μεγαλυ τερο απο το ι διο α θροισμα στο G v 1 v j v k v l μεταγωγή Συνεχι ζοντας ομοι ως θα φτα σουμε στην περι πτωση 1. η s ει ναι γραφικη v j v l Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

20 Παρα δειγμα: Ει ναι η ακολουθι α (5, 4, 3, 2, 2, 1, 1) γραφικη? Εα ν ναι, να δοθει γρα φημα G που την υλοποιει. s 1 = (5, 4, 3, 2, 2, 1, 1) s 1 = ( 3, 2, 1, 1, 0, 1) s 2 = sorted(s 1 ) s 2 = ( 3, 2, 1, 1, 1, 0) s 2 = ( 1, 0, 0, 1, 0) s 3 = sorted(s 2 ) s 2 = ( 1, 1, 0, 0, 0) Γραφικη G 3 : s G 2 : s G 1 : s 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

21 Θεώρημα 2.11[Erdös-Gallai]: Μι α φθι νουσα ακολουθι α s = (d 1 d 2, d n ), n 2, d 1 1 ει ναι γραφικη ανν n k n i. d i ει ναι α ρτιο και ii. k : 1 k < n d i k(k 1) + min {k, d i } i=1 i=1 i=k+1 Απόδειξη : i. Προφανε ς V 1 V \V 1 k ii. d i : v 1 v 2... v k v k+1... v n i=1 E 2 : ακμε ς απο το V 1 στο V\V 1 E 1 E 2 Κα θε κορυφη u του V\V 1 ενω νεται} με ( ) το πολυ με d u κορυφε ς του V 1 ακμε ς ανα μεσα το πολυ με k κορυφε ς του V 1 E 1 : 2 στις κορυφε ς του V το πολυ με min {k, d u } 1 n k(k 1) Συνολικα : min {k, d i } i=k+1 k n d i k(k 1) + min {k, d i }, 1 k < n i=1 i=k+1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

22 Ερώτηση 2.11: Να δειχθει ο τι για πολυγραφη ματα ισχυ ει: η φθι νουσα ακολουθι α n s = (d 1 d 2, d n ), n 2, d 1 1 d i ει ναι α ρτιο. i=1 ει ναι γραφικη Σύνολα βαθμών κορυφών: Παρα δειγμα: Δεδομε νου γραφη ματος G συμβολι ζουμε με D G το σύνολο των [διακριτών] βαθμών των κορυφω ν του G G : s = (4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1) D G = {4, 3, 2, 1} Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

23 Θεώρημα 2.12[Kapoor-Polimeni-Wall]: Για κα θε συ νολο S = {a 1, a 2,..., a n }, n 1, θετικω ν ακεραι ων με a 1 < a 2 < < a n υπα ρχει γρα φημα G με συ νολο βαθμω ν D G = S. Επιπλε ον υπα ρχει τε τοιο γρα φημα G με V(G) = a n + 1. Απόδειξη [Κατασκευαστικά με επαγωγή στο n]: Ο βαθμο ς του G ει ναι a n + 1. Συνεπω ς θα δει ξουμε ο τι υπα ρχει G με V(G) = a n + 1 n = 1 Το πλη ρες γρα φημα K an +1 με a n + 1 κορυφε ς ει ναι το ζητου μενο. Όλες οι κορυφε ς του ε χουν βαθμο a 1. n = 2 Συμβολι ζουμε με A λ το γρα φημα με λ κορυφε ς και χωρι ς ακμε ς. A λ = ({v 1, v 2,..., v λ }, ) Το γρα φημα K a1 A a2 a 1 +1 [ : συ νδεση γραφημα των] a 1 1 K a1 a 2 a βαθμός a 2 a a 1 a a 2 a βαθμός = a 2 a 1 ε χει συ νολο βαθμω ν {a 1, a 2 } V(G) = a 2 a a 1 = a Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

24 Ε.Υ. Για κα θε συ νολο S = {a 1, a 2,..., a m } με θετικου ς ακεραι ους a 1 < a 2 < < a m και 1 m < n ισχυ ει ο τι: i. υπα ρχει γρα φημα G με συ νολο βαθμω ν S ii. V(G) = a m + 1 Ε.B. Έστω συ νολο S = {a 1, a 2,..., a n, a n+1 } με a i N +, a 1 < < a n < a n+1 Απο Ε.Υ. γρα φημα G 1 με συ νολο βαθμω ν {a 2 a 1, a 3 a 1,..., a n a 1 } και V(G 1 ) = a n a Θεωρη στε το γρα φημα G = K a1 A an+1 a n G 1 a 1 1 K a1 a n a G 1 V (G 1) = a n a βαθμοί: {a 2, a 3,..., a n} βαθμός: a 1 1+ a n a a n+1 a n = a n+1 a n+1 a n A an+1 an βαθμός a 1 ε χει συ νολο βαθμω ν {a 1, a 2,..., a n, a n+1 } V(G) = }{{} a 1 + a n+1 a n + a }{{} n a = a }{{} n K a1 A an+1 G an 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47

25 Παρα δειγμα: Να κατασκευαστει γρα φημα με 8 κορυφε ς και συ νολο βαθμω ν {2, 4, 6, 7} D 1 = {2, 4, 6, 7} D 2 = {d 2 d 1, d 3 d 1 } = {2, 4} G 2 V (G 2 ) = 5 G 1 a n+1 = 7 G 2 {d 2, d 3 } = {4, 6} K 2 A 3 D G1 = {2, 4, 6, 7} V(G 1 ) = 8 K 2 A an+1 an a 1 = 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 47