Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Α, Β επί του αλφάβητου αυτού. Για κάθε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις να διερευνήσετε κατά πόσο Γ Δ, ή, Δ Γ, ή και τα δύο. Σε περίπτωση, που μια σχέση ισχύει να το αποδείξετε, διαφορετικά να δώσετε αντιπαράδειγμα. (α) Γ = (Α Β) * και Δ = Α * Β * Ισχύει η κατεύθυνση Δ Γ αλλά όχι το αντίστροφο. Περίπτωση Δ Γ: Η σχέση ισχύει και ακολουθεί η σχετική απόδειξη. Πρέπει να δείξουμε ότι αν μια λέξη w Α * Β * ικανοποιεί w (Α Β) *. Ας υποθέσουμε ότι w Α * Β *. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:. Αν w Α *, τότε w = w w w k, όπου k 0 και κάθε μια από τις λέξεις w i A. Τότε ισχύει επιπρόσθετα ότι κάθε μια από τις λέξεις w i A Β και επομένως w (Α Β) *.. Αν w Β *, τότε w = w w w k, όπου k 0 και κάθε μια από τις λέξεις w i Β. Τότε ισχύει επιπρόσθετα ότι κάθε μια από τις λέξεις w i A Β και επομένως w (Α Β) *. Επομένως το συμπέρασμα έπεται. Περίπτωση Γ Δ: Δεν ισχύει η σχέση και το επιδεικνύουμε με σχετικό αντιπαράδειγμα. Έστω Α= {α} και Β = {β}. Τότε Γ = (Α Β) * = {α,β} * Δ = Α * Β * = {α} * β} * Αλλά ενώ η λέξη αβ ανήκει στο σύνολο Γ δεν ανήκει στο σύνολο Δ και επομένως το σύνολο Γ δεν είναι υποσύνολο του Δ. (β) Γ = (ΑΒ) * και Δ = Α * Β * Περίπτωση Γ Δ: Η σχέση δεν ισχύει και το επιδεικνύουμε με σχετικό αντιπαράδειγμα. Έστω Α= {α} και Β = {β}. Τότε Γ = (ΑΒ) * = {αβ} * Δ = Α * Β * = {α} * β} * Αλλά ενώ η λέξη αβαβ ανήκει στο σύνολο Γ δεν ανήκει στο σύνολο Δ και επομένως το σύνολο Γ δεν είναι υποσύνολο του Δ. Περίπτωση Δ Γ: Η σχέση δεν ισχύει και το επιδεικνύουμε με σχετικό αντιπαράδειγμα. Επιλέγουμε και πάλι Α= {α} και Β = {β}. Τότε Γ = (ΑΒ) * = {αβ} * Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα
Δ = Α * Β * = {α} * β} * Αλλά ενώ η λέξη ααββ ανήκει στο σύνολο Δ δεν ανήκει στο σύνολο Γ και επομένως το σύνολο Δ δεν είναι υποσύνολο του Γ. (γ) Γ = (ΑΑ) * και Δ = Α * Περίπτωση Γ Δ: Η σχέση ισχύει και ακολουθεί η σχετική απόδειξη. Πρέπει να δείξουμε ότι αν μια λέξη w (ΑΑ) * ικανοποιεί w Α *. Ας υποθέσουμε ότι w (ΑΑ) *. Τότε τότε w = w w w k, όπου k 0 και κάθε μια από τις λέξεις w i AΑ. Δηλαδή, η w είναι μια ακολουθία από άρτιο αριθμό εμφανίσεων λέξεων από το σύνολο Α. Επομένως ισχύει επιπρόσθετα ότι κάθε μια από τις λέξεις w i A Β που συνεπάγεται ότι w Α * και το συμπέρασμα έπεται. Περίπτωση Δ Γ: Δεν ισχύει η σχέση και το επιδεικνύουμε με σχετικό αντιπαράδειγμα. Έστω Α= {α}. Τότε Γ = (ΑΑ) * = {αα} * Δ = Α * = {α} * Αλλά ενώ η λέξη ααα ανήκει στο σύνολο Δ δεν ανήκει στο σύνολο Γ και επομένως το σύνολο Δ δεν είναι υποσύνολο του Γ. Άσκηση Υποθέστε ότι το σύνολο L είναι μια γλώσσα επί του αλφαβήτου {0,} τα στοιχεία του οποίου παράγονται από τους πιο κάτω κανόνες: () ε L () 0 L και L (3) Αν u L τότε 0u0 L και u L. (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λέξη w L, η w είναι καρκινική. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή πάνω στο n, το πλήθος των κανόνων που απαιτήθηκαν για την κατασκευή της w. Βάση της Επαγωγής: Αν n =, τότε χρησιμοποιήθηκε μόνο ένας κανόνας. Ο κανόνας αυτός πρέπει να είναι ο πρώτος ή ο δεύτερος κανόνας και η λέξη πρέπει να είναι μια από τις ε, 0 και. Αφού και στις τρεις περιπτώσεις η λέξη είναι καρκινική, το ζητούμενο έπεται. Επαγωγική Υπόθεση: Ας υποθέσουμε ότι οποιαδήποτε λέξη έχει παραχθεί με την χρήση m κανόνων είναι καρκινική. Επαγωγικό Βήμα Πρέπει να δείξουμε ότι αν μια λέξη έχει παραχθεί με την χρήση m+ κανόνων είναι επίσης καρκινική. Από την υπόθεση της επαγωγής, μετά από την εφαρμογή των m πρώτων κανόνων όποια λέξη w και αν προκύψει είναι καρκινική. Αν εφαρμόσουμε ακόμα ένα κανόνα, τότε ο κανόνας αυτό πρέπει να είναι ο κανόνας (3) Επομένως, η λέξη Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα
που θα παραχθεί θα είναι είτε η 0w0 είτε η w. Αφού η w είναι καρκινική, είναι φανερό ότι και η παραχθείσα λέξη είναι καρκινική και το ζητούμενο έπεται. (β) Να αποδείξετε ότι αν w μια καρκινική λέξη τότε w L. Έστω μια καρκινική λέξη w = w w w n. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή πάνω στο n. Βάση της Επαγωγής : Αν n = 0, τότε w=ε. Από τον κανόνα (), η λέξη ε ανήκει στη γλώσσα και το ζητούμενο έπεται. Βάση της Επαγωγής : Αν n =, τότε w=0 ή w =. Από τον κανόνα (), οι λέξεις 0 και ανήκουν στη γλώσσα και το ζητούμενο έπεται. Επαγωγική Υπόθεση: Ας υποθέσουμε ότι κάθε καρκινική λέξη με μήκος <m ανήκει στο σύνολο L. Επαγωγικό Βήμα Πρέπει να δείξουμε ότι οποιαδήποτε λέξη με μήκος = m ανήκει στο σύνολο L. Έστω w = w w w m. Αφού η w είναι καρκινική υπάρχουν δύο περιπτώσεις:. Η w έχει τη μορφή w = 0 w w m 0. Από την υπόθεση της επαγωγής και αφού η λέξη w w m είναι επίσης καρκινική, ισχύει ότι w w m L. Επιπρόσθετα, από τον κανόνα (3) που ορίζει το σύνολο L συμπεραίνουμε ότι w = 0w w m 0 επίσης ανήκει στο L. Επομένως το αποτέλεσμα ισχύει για τη συγκεκριμένη περίπτωση.. Η w έχει τη μορφή w = w w m. Από την υπόθεση της επαγωγής και αφού η λέξη w w m είναι επίσης καρκινική, ισχύει ότι w w m L. Επιπρόσθετα, από τον κανόνα (3) που ορίζει το σύνολο L συμπεραίνουμε ότι w = w w m επίσης ανήκει στο L. Επομένως το αποτέλεσμα ισχύει για τη συγκεκριμένη περίπτωση. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Άσκηση 3 Για κάθε ένα από τα πιο κάτω πεπερασμένα αυτόματα, να παρουσιάσετε το αυτόματο γραφικά μέσω του σχετικού συστήματος μεταβάσεων και να υπολογίσετε τη γλώσσα που αναγνωρίζει: (α) Αυτόματο Α = (Q, Σ, δ, q 0, F), όπου Q = {q 0, q, q, } Σ = {,} F = {q 0 } δ όπως ορίζεται στον πίνακα που ακολουθεί: δ q 0 q q 0 q q q q q 0 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα 3
Σύστημα μεταβάσεων του αυτομάτου: q 0 q, q Γλώσσα: Η κενή λέξη και όλες οι λέξεις στις οποίες κάθε τμήμα που αποτελείται από ή περισσότερα συνεχόμενα ακολουθείται από τουλάχιστον δύο. (β) Αυτόματο Α = (Q, Σ, δ, q, F), όπου Q = {q 0, q, q,, q 4 } Σ = {,} F = {q, } δ όπως ορίζεται στον πίνακα που ακολουθεί: Σύστημα μεταβάσεων του αυτομάτου: δ q 0 q 0 q q q 0 q q q q 4 q q 4 q q q 4 q 0 Γλώσσα: Η κενή λέξη και όλες οι λέξεις που τελειώνουν σε στις οποίες αν υπάρχει τμήμα που αποτελείται από ή περισσότερα συνεχόμενα α τότε η λέξη τελειώνει σε τουλάχιστον δύο. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα 4
Άσκηση 4 Να ορίσετε τη γλώσσα που αναγνωρίζει κάθε ένα από τα πιο κάτω πεπερασμένα αυτόματα. (α) q q q 4 q 5 Γλώσσα αυτόματου: Οι λέξεις που αρχίζουν και τελειώνουν με το ίδιο σύμβολο. (β) X:=E od X:=E while do 3 4, do, od do od, while X:=E, while, X:=E, od 5, while, do while,, do, od, Χ:=Ε Γλώσσα αυτομάτου: Όλες οι λέξεις που περιέχουν απεριόριστες φορές τις συμβολοσειρές X:=E και while do X:=E X:= E od σε οποιαδήποτε σειρά. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα 5
Άσκηση 5 Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες, να κατασκευάσετε αυτόματο που να την αναγνωρίζει. Σε κάθε περίπτωση, να δείχνετε () τον τυπικό ορισμό του αυτομάτου και () το διάγραμμα καταστάσεων (α) {w η w είναι μια μη κενή λέξη επί του αλφάβητου {,} και το πρώτο και το τελευταίο της σύμβολο είναι τα ίδια} (Παράδειγμα: η λέξη ανήκει στη γλώσσα αλλά οι λέξεις ε και όχι.) q q q 4 q 5 (β) {w η w είναι λέξη επί του αλφάβητου {,,3,4} τα ψηφία της οποίας δεν βρίσκονται σε φθίνουσα σειρά} (Παράδειγμα: οι λέξεις, 43 ανήκουν στη γλώσσα αλλά η λέξη 4 όχι.),3,4,,3,4 3,4 3 3 4 4 3 4 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα 6
(γ) {w η w είναι λέξη επί του αλφάβητου {,,c}, και κάθε εμφάνιση του ακολουθείται (αμέσως) από τουλάχιστον συνεχόμενα } (Παράδειγμα: οι λέξεις, ccc ανήκουν στη γλώσσα αλλά οι λέξεις και όχι.),,c,c,c,c (δ) {w η w είναι μια μη κενή λέξη επί του αλφάβητου {,} όπου τα σύμβολα που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι τα ίδια} (Παράδειγμα: οι λέξεις, ανήκουν στη γλώσσα αλλά η λέξη όχι.),,, Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 05 Σελίδα 7