Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Transcript

1 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ 2, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις. Σε περίπτωση που μια σχέση ισχύει να το αποδείξετε, διαφορετικά να δώσετε αντιπαράδειγμα. (α) Λ (Λ 2 Λ ) = (Λ Λ 2 )Λ Η σχέση ισχύει και ακολουθεί η σχετική απόδειξη. Πρέπει να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w ισχύει ότι w Λ (Λ 2 Λ ) αν και μόνο αν w (Λ Λ 2 )Λ Έχουμε τα εξής που προκύπτουν από τον ορισμό της πράξης της συναρμογής: w Λ (Λ 2 Λ ) αν και μόνο αν w = xy όπου x Λ και y Λ 2 Λ αν και μόνο αν w = xy όπου x Λ και y = y y 2 όπου y Λ 2 και y 2 Λ αν και μόνο αν w = xy y 2 όπου x Λ, y Λ 2 και y 2 Λ αν και μόνο αν w = (xy )y 2 όπου x Λ, y Λ 2 και y 2 Λ αν και μόνο αν w = zy 2 όπου z = xy, x Λ Λ 2 και y 2 Λ αν και μόνο αν w (Λ Λ 2 )Λ Επομένως το συμπέρασμα έπεται. (β) Λ (Λ 2 Λ ) = Λ Λ 2 Λ Λ Η σχέση ισχύει και ακολουθεί η σχετική απόδειξη. Πρέπει να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w ισχύει ότι w Λ (Λ 2 Λ ) αν και μόνο αν w Λ Λ 2 Λ Λ Έχουμε τα εξής: w Λ (Λ 2 Λ ) αν και μόνο αν w = xy όπου x Λ και y (Λ 2 Λ ) αν και μόνο αν w = xy όπου x Λ και είτε y Λ 2 είτε y Λ αν και μόνο αν w = xy όπου x Λ και y Λ 2 ή w = xy όπου x Λ και y Λ αν και μόνο αν w Λ Λ 2 ή w Λ Λ αν και μόνο αν w Λ Λ 2 Λ Λ Επομένως το συμπέρασμα έπεται. (γ) (Λ Λ 2 ) * = Λ * Λ 2 * Δεν ισχύει η σχέση και το επιδεικνύουμε με σχετικό αντιπαράδειγμα. Έστω Λ = {} και Λ 2 = {}. Τότε (Λ Λ 2 ) * = {} * και Λ * Λ 2 * = {} * {} * Στην περίπτωση αυτή ενώ η λέξη ανήκει στη γλώσσα (Λ Λ 2 ) * δεν ανήκει στη γλώσσα Λ * Λ 2 * ενώ η λέξη ανήκει στη γλώσσα Λ * Λ 2 * και όχι στη γλώσσα (Λ Λ 2 ) *. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα

2 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 2 Θεωρήστε το πιο κάτω αυτόματο, έστω Α. 2 (α) Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της επαγωγής ότι κάθε λέξη w L(A) περιέχει περιττό πλήθος από. Θα αποδείξουμε με επαγωγή την εξής πρόταση: Π(n) = Κάθε λέξη μήκους n της οποίας η ανάγνωση τερματίζει στις καταστάσεις 2 και έχει περιττό πλήθος από ενώ κάθε λέξη μήκους n της οποίας η ανάγνωση τερματίζει στις καταστάσεις και περιέχει άρτιο πλήθος από. Σημείωση: Από το πιο πάνω, και αφού οι λέξεις w L(A) είναι οι λέξεις των οποίων η ανάγνωση τερματίζει στην κατάσταση, το ζητούμενο έπεται. Βάση της Επαγωγής: Αν n =, τότε η λέξη είναι η ε και η ανάγνωσή της στο αυτόματο θα τερματίσει στην κατάσταση. Εφόσον η λέξη ε έχει άρτιο πλήθος από, το ζητούμενο έπεται. Επαγωγική Υπόθεση: Ας υποθέσουμε ότι οποιαδήποτε λέξη μήκους m της οποίας η ανάγνωση τερματίζει στις καταστάσεις 2 ή έχει περιττό πλήθος από ενώ κάθε λέξη μήκους m της οποίας η ανάγνωση τερματίζει στις καταστάσεις και περιέχει άρτιο πλήθος από. Επαγωγικό Βήμα Πρέπει να δείξουμε για οποιαδήποτε λέξη w μήκους m+. Αν η ανάγνωση της w οδηγεί στην κατάσταση τότε η w έχει άρτιο πλήθος από. 2. Αν η ανάγνωση της w οδηγεί στην κατάσταση 2 τότε η w έχει περιττό πλήθος από.. Αν η ανάγνωση της w οδηγεί στην κατάσταση τότε η w έχει άρτιο πλήθος από.. Αν η ανάγνωση της w οδηγεί στην κατάσταση τότε η w έχει περιττό πλήθος από. Θεωρούμε τις περιπτώσεις ξεχωριστά:. Αν η ανάγνωση της λέξης οδηγεί στην κατάσταση (και εφόσον η λέξη δεν είναι η κενή λέξη), τότε με βάση το αυτόματο πρέπει το τελευταίο σύμβολο της λέξης να είναι το. Δηλαδή, πρέπει να ισχύει ότι w = w και η ανάγνωση της w να τερμάτισε σε μια από τις καταστάσεις 2 και. Από την υπόθεση της επαγωγής, και αφού η w περιέχει m σύμβολα, η w περιέχει άρτιο πλήθος από. Συνεπώς, η w έχει περιττό πλήθος από και το ζητούμενο έπεται. 2. Αν η ανάγνωση της λέξης οδηγεί στην κατάσταση 2, τότε με βάση το αυτόματο πρέπει το τελευταίο σύμβολο της λέξης να είναι το. Δηλαδή, πρέπει να ισχύει ότι w = w και Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 2

3 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα η ανάγνωση της w να τερμάτισε σε μια από τις καταστάσεις 2 και. Από την υπόθεση της επαγωγής, και αφού η w περιέχει m σύμβολα, η w περιέχει περιττό πλήθος από. Συνεπώς, και η w έχει περιττό πλήθος από και το ζητούμενο έπεται.. Αν η ανάγνωση της λέξης οδηγεί στην κατάσταση, τότε με βάση το αυτόματο πρέπει το τελευταίο σύμβολο της λέξης να είναι το. Δηλαδή, πρέπει να ισχύει ότι w = w και η ανάγνωση της w να τερμάτισε σε μια από τις καταστάσεις και. Από την υπόθεση της επαγωγής, και αφού η w περιέχει m σύμβολα, η w περιέχει άρτιο πλήθος από. Συνεπώς, η w έχει άρτιο πλήθος από και το ζητούμενο έπεται.. Αν η ανάγνωση της λέξης οδηγεί στην κατάσταση, τότε με βάση το αυτόματο πρέπει το τελευταίο σύμβολο της λέξης να είναι το. Δηλαδή, πρέπει να ισχύει ότι w = w και η ανάγνωση της w να τερμάτισε σε μια από τις καταστάσεις και. Από την υπόθεση της επαγωγής, και αφού η w περιέχει m σύμβολα, η w περιέχει άρτιο πλήθος από. Συνεπώς, και η w έχει περιττό πλήθος από και το ζητούμενο έπεται. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. (β) Να δείξετε ότι υπάρχουν λέξεις με περιττό αριθμό από που δεν ανήκουν στη γλώσσα L(A). Περιγράψτε τη γλώσσα L(A). Παράδειγμα λέξης με περιττό αριθμό από που δεν ανήκουν στη γλώσσα του αυτομάτου αποτελεί η λέξη. Η γλώσσα του αυτομάτου περιέχει ακριβώς τις λέξεις που περιέχουν περιττό αριθμό από και τελειώνουν σε. Άσκηση Για κάθε ένα από τα πιο κάτω πεπερασμένα αυτόματα να παρουσιάσετε το αυτόματο γραφικά μέσω του σχετικού συστήματος μεταβάσεων και να υπολογίσετε τη γλώσσα που αναγνωρίζει: (α) Αυτόματο Α = (Q, Σ, δ, q, F), όπου Q = {q, q,, q, q, q 5 } Σ = {,} F = {q 5 } δ όπως ορίζεται στον πίνακα που ακολουθεί: δ q q q q q q 5 q q q q 5 q q 5 q 5 q 5 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα

4 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σύστημα μεταβάσεων του αυτομάτου: q q q 5 q q;, Γλώσσα: Όλες οι λέξεις στις οποίες περιέχουν τουλάχιστον ένα και τουλάχιστον δύο. (β) Αυτόματο Α 2 = (Q, Σ, δ, q, F), όπου Q = { q, q,, q } Σ = {,, } F = { q,, q } δ όπως ορίζεται στον πίνακα που ακολουθεί: Σύστημα μεταβάσεων του αυτομάτου: δ q q q q q q q q q q q q q q, q, q Γλώσσα: Το αυτόματο αναγνωρίζει τις πιο κάτω λέξεις.. Λέξεις της μορφής k, ( k ) j, ( k ) i, ( k () j ) i, ( k () j ) i, ( k () j ) i, ( k () j ) i, () k, () k, (() i ) k, (() i ) k, (() i ) k, (() i ) k, όπου i, j, k, και η σώρευση τέτοιων λέξεων. (Αυτές είναι οι λέξεις των οποίων η ανάγνωση ολοκληρώνεται στην κατάσταση q.) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα

5 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2. Επαναλήψεις λέξεων από το () όπου η τελευταία λέξη μπορεί εκτός από τις λέξεις του () να είναι το πρόθεμα k, όπου k. (Αυτές είναι οι λέξεις των οποίων η ανάγνωση ολοκληρώνεται στην κατάσταση.). Οι λέξεις από το () όπου η τελευταία λέξη μπορεί εκτός από τις λέξεις του () να είναι ένα από τα προθέματα k, k () j, k () j, ({,} j ) k, όπου j, k (Αυτές είναι οι λέξεις των οποίων η ανάγνωση ολοκληρώνεται στην κατάσταση q.) Άσκηση Να ορίσετε τη γλώσσα που αναγνωρίζει κάθε ένα από τα πιο κάτω πεπερασμένα αυτόματα. (α) q q q, Γλώσσα αυτόματου: Οι λέξεις που περιέχουν τη συμβολοσειρά. (β) ents 2ents ents 2ents ents ents ents 2ents 2ents 2ents, ents, 2ents, ents, 2ents, Η γλώσσα του αυτόματου είναι η ακόλουθη. {, 2ents2entsents, 2entsents2ents, ents2ents2ents, 2entsentsentsents, ents2entsentsents, entsents2entsents, entsentsents2ents, entsentsentsentsents} Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 5

6 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση 5 Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες, να κατασκευάσετε αυτόματο που να την αναγνωρίζει. Σε κάθε περίπτωση, να δείχνετε () τον τυπικό ορισμό του αυτομάτου και (2) το διάγραμμα καταστάσεων (α) L 2 = { i j i, j και i πολλαπλάσιο του 2, j πολλαπλάσιο του } Δείχνουμε το διάγραμμα καταστάσεων. Ο τυπικός ορισμός μπορεί να ληφθεί εύκολα από το διάγραμμα., q q q q 5 (β) { w {,} * η w περιέχει ως υπολέξη τη λέξη αλλά δεν περιέχει τη λέξη } (Παράδειγμα: η λέξη ανήκει στη γλώσσα αλλά οι λέξεις και όχι.) Δείχνουμε το διάγραμμα καταστάσεων. Ο τυπικός ορισμός μπορεί να ληφθεί εύκολα από το διάγραμμα., (γ) {w η w είναι λέξη επί του αλφάβητου {,2,,} στην οποία δεν υπάρχουν συνεχόμενα τα ίδια ψηφία} (Παράδειγμα: οι λέξεις 22, 2 ανήκουν στη γλώσσα αλλά η λέξη 225 όχι.) Δείχνουμε το διάγραμμα καταστάσεων. Ο τυπικός ορισμός μπορεί να ληφθεί εύκολα από το διάγραμμα. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 6

7 ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ,2,, (δ) {w η w είναι λέξη επί του αλφάβητου {,,} η οποία έχει άρτιο μήκος και περιέχει τη συμβολοσειρά } (Παράδειγμα: οι λέξεις,, ανήκουν στη γλώσσα αλλά οι λέξεις και όχι.) q q 6 q 8,,, q q q 5 q 7 Σημείωση: Τα τόξα διπλής κατεύθυνσης δηλώνουν την ύπαρξη ακμής και προς τις δύο κατευθύνσεις. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων Εαρινό Εξάμηνο 26 Σελίδα 7