Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3ο μέρος) Υποενότητα 1
Σκοποί 1 ης υποενότητας Να μπορούν οι φοιτητές να αντιμετωπίζουν τις διάφορες παραλλαγές και εναλλακτικές περιπτώσεις προβλημάτων ΓΠ και πιο συγκεκριμένα τις περιπτώσεις Καμίας εφικτής λύσης Μη φραγμένου προβλήματος Να μπορούν οι φοιτητές να πραγματοποιήσουν ανάλυση ευαισθησίας σε προβλήματα ΓΠ και να την επιλύσουν γραφικά 3
Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Ειδικές περιπτώσεις Καμία εφικτή λύση Μη φραγμένο πρόβλημα Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση ανάλυσης ευαισθησίας 4
Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση (1/5) Έστω ότι η εταιρία έχει παραγγελία για τουλάχιστον 110 μονάδες γυναικείων φορεμάτων Νέο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Maximize z = 25x 1 +20x 2 (δεκάδες ευρώ) με περιορισμούς 3x 1 + x 2 297 (φόδρα) 5x 1 + 4x 2 600 (δέρμα) 6x 1 + 8x 2 960 (εργασία) x 1 110 (παραγγελία) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 5
Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση (2/5) Δεν υπάρχουν σημεία που να ικανοποιούν ταυτόχρονα όλους τους περιορισμούς λόγω του περιορισμού x 1 110 6
Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση (3/5) Ποιος είναι ο περιορισμός που ουσιαστικά δεν επιτρέπει τη παραγωγή 110 μονάδων γυναικείων φορεμάτων; Ο περιορισμός για τη φόδρα: 3x 1 + x 2 297 7
Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση (4/5) Ποια είναι η ελάχιστη αύξηση πόρων που οδηγεί σε εφικτή λύση; Η αύξηση του δεξιού μέλους του περιορισμού για τη φόδρα από 297 σε 330 3x 1 + x 2 330 Η ευθεία τέμνει τον άξονα x στο σημείο (110,0) και τον άξονα y στο σημείο (0,330) Η εφικτή περιοχή σε αυτή την περίπτωση είναι το σημείο (110,0) 8
Παράδειγμα Καμία εφικτή λύση (5/5) Ποια θα είναι η εφικτή περιοχή αν η φόδρα αυξηθεί σε 360 μέτρα; 3x 1 + x 2 360 Η ευθεία τέμνει τον άξονα x στο σημείο (120,0) και τον άξονα y στο σημείο (0,360) Η εφικτή περιοχή σε αυτή την περίπτωση είναι η τριγωνική επιφάνεια με κορυφές τα σημεία (110,0), (120,0) και (110, 12,5) Το βέλτιστο είναι το (120,0) με z=4200 9
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (1/8) Έστω μία εταιρία κατασκευής τηλεκατευθυνόμενων αερόστατων η οποία χρησιμοποιεί ενισχυμένο νάιλον για την παραγωγή των προϊόντων της Η εταιρία παράγει τηλεκατευθυνόμενα αερόστατα σε δύο μεγέθη Μεγάλο Μικρό 10
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (2/8) Το μοναδιαίο περιθώριο κέρδους είναι 600 για το μεγάλο αερόστατο και 400 για το μικρό Η εταιρία έχει ήδη παραγγελία για 30 μεγάλα αερόστατα Κάθε μικρό αερόστατο απαιτεί 2 μέτρα ενισχυμένου νάιλον Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του νάιλον είναι 280 μέτρα 11
Σκοπός Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (3/8) Να προσδιοριστεί πόσα αερόστατα θα πρέπει η εταιρία να παράγει από κάθε μέγεθος, ώστε να μεγιστοποιήσει το συνολικό περιθώριο κέρδους της 12
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (4/8) Μεταβλητές απόφασης x 1 : αριθμός αερόστατων μεγάλου μεγέθους x 2 : αριθμός αερόστατων μικρού μεγέθους Αντικειμενική συνάρτηση maximize z = 600x 1 + 400x 2 13
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (5/8) Μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού maximize z = 600x 1 + 400x 2 με περιορισμούς: x 1 30 (μεγάλα αερόστατα) 2x 2 280 (νάιλον) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 14
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (6/8) Το πρόβλημα είναι προφανώς μη φραγμένο λόγω του περιορισμού x 1 30 15
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (7/8) Αν υποθέσουμε ότι κάθε μεγάλο αερόστατο απαιτεί 2.5 μέτρα νάιλον πως τροποποιείται το μοντέλο; maximize z = 600x 1 + 400x 2 με περιορισμούς: x 1 30 (μεγάλα αερόστατα) 2.5x 1 + 2x 2 280 (νάιλον) x 1,x 2 0 (μη αρνητικότητα) 16
Παράδειγμα Μη φραγμένο πρόβλημα (8/8) 2.5x 1 + 2x 2 280 x 2 = -1,25x 1 + 280 Η ευθεία τέμνει τον άξονα x στο σημείο (112,0) και τον άξονα y στο σημείο (0,140) Η εφικτή περιοχή σε αυτή την περίπτωση είναι η τριγωνική επιφάνεια με κορυφές τα σημεία (30,0), (112,0) και (30, 242,5) Το βέλτιστο είναι το (112,0) με z=67200 17
Ανάλυση ευαισθησίας (1/5) Μελέτη των συνεπειών που προκύπτουν στη βέλτιστη λύση από αλλαγές στις τιμές των παραμέτρων ενός μοντέλου Εύρεση σεναρίων και ερωτημάτων της μορφής Τι θα συμβεί αν υπάρξει μια μεταβολή σε κάποιο στοιχείο του προβλήματος; 18
Ανάλυση ευαισθησίας (2/5) Παραδείγματα ερωτημάτων 1. Πώς θα επηρεαστεί το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής και το συνολικό κέρδος, αν μειωθεί η τιμή πώλησης ενός προϊόντος κατά ένα ποσοστό; 2. Μήπως πρέπει να αλλάξουμε το συνδυασμό προϊόντων που παράγουμε λόγω της μεταβολής στην τιμή αυτή; 3. Μέσα σε ποια όρια μπορεί να «κινείται» η τιμή πώλησης ενός προϊόντος χωρίς να είναι απαραίτητο να αλλάξουμε το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής; 19
Ανάλυση ευαισθησίας (3/5) Συνοπτικά Σε ποιο βαθμό επηρεάζει μια μεταβολή ενός αντικειμενικού συντελεστή τη βέλτιστη λύση και την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης; 20
Ανάλυση ευαισθησίας (4/5) Παραδείγματα ερωτημάτων Υπάρχουν κάποια όρια μέσα στα οποία μπορεί να μεταβάλλεται η διαθέσιμη ποσότητα ενός πόρου χωρίς να επηρεάζονται κάποια από τα στοιχεία της βέλτιστης λύσης που έχει βρεθεί και ποια είναι αυτά; Ποια είναι η οριακή αξία ενός πόρου; 21
Ανάλυση ευαισθησίας (5/5) Συνοπτικά Σε ποιο βαθμό επηρεάζει τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης πιθανή μεταβολή σε κάποια από τις σταθερές δεξιού μέλους ενός περιορισμού; 22
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (1/20) Μεταβολή στην τιμή του αντικειμενικού συντελεστή μιας μεταβλητής απόφασης Εύρος ευαισθησίας / αριστότητας Το διάστημα μέσα στο οποίο μπορεί να μεταβάλλεται η τιμή ενός αντικειμενικού συντελεστή χωρίς να αλλάζει η βέλτιστη λύση 23
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (2/20) Πρόβλημα Βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων Συνολικό μοντέλο Maximize z = 150x 1 + 200x 2 (αντικειμενική συνάρτηση) με περιορισμούς: x 1 + x 2 550 (γάλα σε λίτρα) x 1 + 3x 2 1000 (λεπτά εργασίας) 2x 1 + 5x 2 2000 (λεπτά παστερίωσης και ψύξης) x 1 400 (ζήτηση Προϊόντος 1) x 1, x 2 0 (μη αρνητικές τιμές) 24
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική Υπόθεση επίλυση (3/20) Έστω ότι για τις τιμές των αντικειμενικών συντελεστών υπάρχει περιθώριο λάθους εκτίμησης 10% Το κέρδος για το Προϊόν 1 κυμαίνεται μεταξύ 180 και 220 λεπτών του Το κέρδος για το Προϊόν 2 κυμαίνεται μεταξύ 135 και 165 λεπτών του 25
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική Διερεύνηση επίλυση (4/20) Η αντικειμενική συνάρτηση έχει εξίσωση x 2 = -(3/4)x 1 + (1/200)z, δηλαδή η κλίση της είναι (3/4) Η κλίση του περιορισμού x 1 + 3x 2 1000 είναι (1/3) Η κλίση του περιορισμού x 1 + x 2 = 550 είναι 1 26
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (5/20) Αν θεωρήσουμε ότι όλες οι άλλες παράμετροι παραμένουν σταθερές θα προσπαθήσουμε να βρούμε το διάστημα τιμών του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής απόφασης x 1 για το οποίο η βέλτιστη λύση δεν μεταβάλλεται 27
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (6/20) Η αντικειμενική συνάρτηση είναι x 2 = -(c 1 /200)x 1 + (1/200)z Επομένως πρέπει να ισχύει -1 -(c 1 /200) -(1/3) 200/3 c 1 200 c 1 = 200 ταύτιση με τον 1 ο περιορισμό c 1 = 200/3 ταύτιση με το 2 ο περιορισμό 28
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (7/20) Αν θεωρήσουμε ότι όλες οι άλλες παράμετροι παραμένουν σταθερές θα προσπαθήσουμε να βρούμε το διάστημα τιμών του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής απόφασης x 2 για το οποίο η βέλτιστη λύση δεν μεταβάλλεται 29
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (8/20) Η αντικειμενική συνάρτηση είναι x 2 = -(150/c 2 )x 1 + (1/c 2 )z Επομένως πρέπει να ισχύει -1 -(150/c 2 ) -(1/3) 150 c 2 450 c 2 = 150 ταύτιση με τον 1 ο περιορισμό c 2 = 450 ταύτιση με το 2 ο περιορισμό 30
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (9/20) Έστω το παρακάτω τροποποιημένο μοντέλο (αλλαγμένη αντικειμενική συνάρτηση, χωρίς τον 4 ο περιορισμό) Maximize z = 200x 1 + 150x 2 με περιορισμούς: x 1 + x 2 550 x 1 + 3x 2 1000 2x 1 + 5x 2 2000 31
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (10/20) Η βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μία από τις κορυφές της εφικτής περιοχής Α(0, 0) Β(550, 0) Γ(325, 325) Δ(0, 333,333) 32
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (11/20) Η βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μία από τις κορυφές της εφικτής περιοχής Κορυφή (x 1, x 2 ) z Είδος λύσης Α (0, 0) 0 Β (550, 0) 110000 Βέλτιστη Γ (325, 325) 98750 Δ (0, 333.333) 50000 33
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (12/20) Ας διερευνήσουμε το εύρος ευαισθησίας του αντικειμενικού συντελεστή της μεταβλητής απόφασης x 1 Η κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης είναι (c 1 /150) Σε ποιο διάστημα μπορεί να «κινηθεί» χωρίς να αλλάξει το βέλτιστο σημείο; 150 c 1 < 34
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (13/20) Ερμηνεία αποτελέσματος Η βέλτιστη λύση προτείνει να παράγεται μόνο το Προϊόν 1 που συνεισφέρει 200 λεπτά Αν αυτό το κέρδος αυξάνεται προφανώς δε θα αλλάξει η επιχείρηση την απόφασή της Αντιθέτως, αν το κέρδος του Προϊόντος 1 αρχίσει και μειώνεται, το κομβικό σημείο είναι η τιμή 150 Μόλις πέσει κάτω από 150 δε συμφέρει να παράγεται μόνο το Προϊόν 1 35
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (14/20) Επιστροφή στο αρχικό παράδειγμα Η αντικειμενική συνάρτηση έχει εξίσωση x 2 = -(3/4)x 1 + (1/200)z, δηλαδή η κλίση της είναι (3/4) Η κλίση του περιορισμού x 1 + 3x 2 1000 είναι (1/3) Η κλίση του περιορισμού x 1 + x 2 = 550 είναι 1 36
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (15/20) Τι γίνεται όταν οι δύο αντικειμενικοί συντελεστές μπορούν να μεταβάλλονται ταυτόχρονα; -1 -(c 1 /c 2 ) -(1/3) 37
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (16/20) Μελέτη των αλλαγών που προκαλούν στην εφικτή περιοχή, στη βέλτιστη λύση και στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης πιθανές μεταβολές στα δεξιά μέλη των περιορισμών Εύρος εφικτότητας Είναι το εύρος ευαισθησίας για μια παράμετρο δεξιού μέλους 38
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (17/20) Έστω το πρόβλημα της γαλακτοκομικής εταιρίας Χρησιμοποιούμε την τυποποιημένη μορφή του προβλήματος (έξι μεταβλητές, τέσσερις εξισώσεις/περιορισμοί) Maximize z = 150x 1 + 200x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 με περιορισμούς: x 1 + x 2 + 1s 1 = 550 x 1 + 3x 2 + 1s 2 = 1000 2x 1 + 5x 2 + 1s 3 = 2000 x 1 + 1s 4 = 400 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0 39
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (18/20) Στο γραμμικό προγραμματισμό όταν έχουμε n + m συνολικά μεταβλητές (n απόφασης και m βοηθητικές) και m λειτουργικούς περιορισμούς 1. Δίνουμε μηδενικές τιμές σε n μεταβλητές (οι οποίες ονομάζονται μη βασικές μεταβλητές) 2. Επιλύουμε ως προς τις υπόλοιπες m μεταβλητές οι οποίες ονομάζονται βασικές μεταβλητές και μπορούν να πάρουν μη μηδενικές τιμές 40
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (19/20) Βασική λύση Μια λύση που προκύπτει με n μηδενικές μεταβλητές και m μη μηδενικές μεταβλητές και σχετίζεται με όλες τις μεταβλητές του προβλήματος (απόφασης και βοηθητικές) Βασική εφικτή λύση Βασική λύση που ανήκει στην εφικτή περιοχή Εκφυλισμένη λύση Βασική εφικτή λύση που έχει μια βασική μεταβλητή με μηδενική τιμή 41
Ανάλυση ευαισθησίας Γραφική επίλυση (20/20) Βασικές εφικτές λύσεις Προκύπτουν από τα ακραία σημεία (κορυφές) της εφικτής περιοχής Βασικές μη εφικτές λύσεις Προκύπτουν από τα ακραία σημεία εκτός της εφικτής περιοχής Είναι σημεία τομής περιορισμών αλλά όχι κορυφές της εφικτής περιοχής 42
Τέλος Υποενότητας 1
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 44
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 46
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Επιχειρησιακή Έρευνα. Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt1 19. 47
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 48