ση εταβα η απ ην αναπαρα τααη ση φυσικη γ ο α στη α α ιαρασταση ση

ΕΘΝΙΚ Ε Σ ΒΙ Π ΛΥ ΕΧ ΕΙ βα α ημα κ ν Σ Λ Ι Ω Α ΙΚ Σ ΣΙ ΙΩΣ ΙΣ ΔΙΔ Κ ΙΚ Σ ΑΘ ΙΙ Α ΤΙ ΩΙγ Κ ΓΙαυλ π δλ υ Ι ν

Πρ λογ Πρ παθ τα να δ ο υμε μα γενηφ δεα γα τ μαημα ηζ Δδακτκη ακεφτηκαε τ θα ηταν ακ πμ να παρ υσασ υ ε εκτ απ τ τ ερε β τ υ ββλ υ κα θ α μκρ δε γμα ατ κα ε η ρ νε ρευνε η ΔδακπΦζ τω αθηματκ ν γα α γ νε π συτκεκρμε τ αντκε με με τ π α γ επα κα π εξαγε τα αυμπερα ατα η Η πρ η ρευνα αναφδρετα η δυ κ λ α επ υ τ πρ η ατω η π α ε ταξετα ση εταβα η απ ην αναπαρα τααη ση φυσκη γ ο α στη α α αρασταση ση αυμβ λκη γραφη Στ κε ε αυτ παρ υααξ τα τα απ τε ατα ε ζ ερωηματ λογ υ τα π α επ βεβακ ν υν αυη η δυ κ α Ση δευτερη ερευ α παρ υααξετα ε α εκπκ πρ β μα η εκφ ηση τ υ π υ δε αυνα τα ε αρθ υ δαφ ρ ν σε αυη ην ρευνα ε να τ δε εοτ ετα μ νο τ αρθμ των ωατ ν απα Φ εων α λα κα στ ν τ τ με τ ν π μαθητθ παρ υα α αν τ ζ λδοε τ υ ελ πρ οπαθε να δ ε κα μα ερμηνε α τα φαν με α τα α παραηρηθηκα με η β ηθεα αυν τευξεων κα μα ε π α παραηρησηζ ηζ τ δδα κ υσα τ υ μαθηματ η Δδακτκηζ το ν αθηματκων Κ Παυ οπφλου

Ε ΑΣΙ Α ΓΙ Η ΕΠΙΛ ΣΗ ΠΡ ΛΙΙ Α Σ Ι ΑΣ Ι Π Ι Φ ΣΙΚ Ι ΓΛΩΣΣ Σ Η Σ ΛΙΚ Ι Γ ΑΦ Ι αγωμ Η δαδκαο α επλυ η μαζ πρωτ βαθ α εξ ω η η α ωη ε να μα ρθ Φ δαδκα α η π α απ τε ε μα επε ε α α ε α στ δ α τημα α ωταρ οτασ το αυμβ λκ η αυμβ Φζ γραφηζ κα ηθω καταν ετατ γωρ δυοτ α απ τ υ μαθητε Ατ θετα η δαδκαο α δημ υργ αζ η κατα η εξ ω η η τ α θα δηγη ε ση ω η ε πρ βξ ατ αυγ ατα εγετα σε μα απ τ δυακ ε αδκαα ε π υ α τμετωπ ζ υν μαθητε τ ε περ τερ αθητε η θεα α εκφ ησηζ πρ βλη ατο α θαν τα φ β η αμη αα δηλδν ταζ τ ζ πτ π λ λ φ ρεζ Δεν ξθρω α ωνω πρ βληματα Ι αμεαη αυνθπεα ε να ε τε να μη δαβαζ υν ην ε φ ηση ε τε να η δαβαξ υν τα υτατα Κα ε περ πωση τ υ κατα παστ δ π βλημα κετρ νο τα στ υξ αρθ οδ π υ δ ν πα ε υ β κη ρα η μθ α την φω ηστ κα πρ παθ δ αυνδυαξ τ τ υ ε αυ β α βαα πραξεων κα ε αγ τα αυ ηθω αυθα ρετα α εταβ ηφ η οπ α Ι τ ρε α παρ τα ε κα δυ δα ρετκα ατκε με α ηζ φ ηαη να καταα ευ υ α ε ω η Ιδα τερα τα α τα δεδο εν α η εκφ η η δ θ υ απ ε τκ ε Φυσ η γ ο α η ταν κα τ α αρθ ητκα δεδ ε α δεν δ ν τα ε εμφα η τρ πο οη εφωνηση τ τε δυ κ λ ε των μαθητω τα ακ μα περ ο τερεζ βλ Παυ οπ υλ υ Πατρ η υφ η δαθε η τω αθητω η εζ υμε συνα τησε κα σε α ε ρευνε κα περγραφετα με η β ηθεα τ υ συν ττ κ υ ρ υ βλ π υ τα ε ητκα θα π ρ δ α ε καπω ε ευθερα α τ εταφρασ νψ κ ταζε τ υ αρθμ δ α τ θα σ υ π υ τ να κα εζσ Κατα ην επ λυαη ε πρ βξματ ζ αυτ π υ κ ρ ω ζητε τα ατ τ υ μαφητ ε να η π σ ψατ π ηση η μεταβααη απο μα απαρα τα η η φυ κη γλ ο α ην ατ τ η αναπαρα ταση στη υμβ λκη γραφη Τ ταδ αυτ δε ε να α λ α τη εταφραση τω δ με ων πληρ φ ρων ηζ εκφ ηηζ ε αδμβ λα κα μαθηματκθ ε ε ε αυτε Θαπ εε να περγραφ υ με ακρ βεα αυνθπεα κα π ρ ητα ο τα τ ε α π υ δ ν τα σην εκφ ηη τ υ πρ βξματ ζ υφ η δαδκα α α π λ δαπερ ητε καθ βαζε οε οτ α δυ γ οεζ π υ ρυν με τ

δαφ ρετκ υ κα νε αυνταξη κα δαφ ρετκ δυνατ ητε περγραφη των ανπκε θνω βλ Δαγδλ λη Παυλ π υλου ρ γτα κα Η φυακη γλ ο α δαθετε μεγαλη π κλ α υ α τκ ε πθθτων κα ρηατω με η β ηθεα των π ω π ρε να περ ραψε με π λλοδ δαφ ρετ τρ π υ τ ν η α μα φρα η η π α ω να τοτο οην δα εκφραα η αυμβ Φ γραφη δ υμε α π λδ α τ Δ παραδεγμα Τ τρπ α ε αρθμ δ Τ γν εν ε αρθμ δ με τ να αρθο π λλαπ ααα με ο ε τ λε παραπ ω φρα ε ατ τ ρδν την δα εκ ραη γραμμ η η αυ β κη γραφη Ση παραγραφ τ υ ββλ υ Δδακτκη ν εθ δ κ Εφαρ γε των Δαγδ ε η Κ Παυλ π υλ υ Π Τρ γα Ι τε ραφ υμε α α ωπκα η δυ κ α ηζ εταβα η απ η φυσκη γλ α η υμβ λφ γραφη κα εδκ τερα τ α μενο ηζ μη ε νο ο κηζ συναφεα Εδ θα πρ οθε υμε μα ακ μα δατερ ητα ση μεταβα η απ τ φυακη γ ο α η υ β λκη γραφη μα κρη α αη σ η αναγαρα αοη τ φυ κη α π ρε να ηστογε ε α π η ημα πκη α α η τ υμβο κη ρα η Γτα παραδεγ α Τ πε ταπ αα ε α κατα Πρ οθετ τα α μ γραμμα τ π μπ ρε α μην παραηρηθε καθ λου α τ μα βα τκη αναγνω η τ υ κεμθ υ πρ κ τε η ραοη Τ πενταπ α α ε αρθμ υ αυξημ ν υ κατα η πρδη πρ τα η υπα γε πρ φα ενν ογκη αυναφεα μεταξ των δυ ν απαραστα εω ε ση δευτερη δπ υπαρ ε λ γω αντ τρ φηζ τ υ α τκε θ υ ανα ρα αθητε δη αδη θεωρ υν η ε αρθμ ω ατκε με αναφ ραζ ηζ εζη πε ατ α τ τ υ αρθμ δ αυφμε υ κατα βλ Δηδ τ Παυλοπ λου Τρ γγα

ερωτηματ Μγ Γα να μπ ρε υ ε α ε Γσημαν υμε τ δυακ λ εζ ηζ μεταβααη απ η μ α α απαρ ταση σην α λη κα εδκ τερα ηζ μη ε ωγκ αυ αφεαζ κατασ ευα αμε ε α ερωηματ Μγ τ π περ εμβανε Α ρωη ατα π υ ηταν δ μθ ε αναπαρα ταοε ε αυμβ λκη γραφη κα ζηφθηκε η ατ οτ η αναπαραο ταση σε φυση γλ α Ερωηματα π υ δ Θηκαν απαραστ ε ε φυσφ γ α κα ζηηθηκε η α τ τ η αναπαρα ταση σε υμβ λκη γραφη δη αδη η ατ τρ φη δαδκαα α απ τρ ηγ υ η Σε αυ ην μ δα ερωηματω αυμπερ βαμε κα πρ τα ε π υ ε αμε ξαγε απ εκφωνη ε προβ ηβ τω δηλαδη η μεταβ ηη δεν α τστ ρυοε ε ε α τυ α αρθ α λα η ηλκ α ε ο ανθρ π υ η σε ε α η ατ κ π κ α ην π τεμοματα ερωτη ματ ωγ Τ ερωη ατ λογ μ ρα τηκε ε μαθητε η Α γυ ναα υ κα μαθητε η υ Τα α τ τελ ψατα θα παρ υσ αστ υ σε τρε αδε Το περα α απ η αυ β λκη γραφη η υακη γ α Π να α Ι Απ τη υ βο κη γρα η ση υσι η α υμβ γραφη κη Φυ κη γ υ α ξη Α Τ ξη ε ττ ασ ζ αρθ υ Τ ετα α αρθ υ εωμε κ α γ Λ πε τοο ασ η δα ορξ τ υ α τ α αρθμ Τ τρ αα τ υ μ μ υ δυ αρθμ λ Τ τρτ α τ υ αθρ ματξ δω αρθμ γ Ι Τ αθρ α τ υ τρπ α υ εν αρθμ υ κοα α υ Λ

Δα ρα μα Απο η υμβ κ ραφ στη υσκη ω α Παραηρ δμε τ απλ ζ αυμβ κε εκφρα ε ε αρθ υ αυ β ε βαακ ν πραξεων κα α μ ν εταβηφ μετατρεπ ντα ε τυχω απ λου εδ ν τ υ αθητε ην α τ χη αναπαραοτα η η υακη γλ οα δυακ λ ε αυξαν υν ταν ε φαν ξ τα παρε θε ε ση αυμβ λη φρα η αθητε ε β επ υν τζ παρενθ ε δε τ ε α υγ ετκα τη αντ τ ανα ταραοτα τ τη υ κη ω α με απ τελεσμα εκφρα ε κα να α τστ ρδν αυμφωνα ε τζ απαντη ε των αθητ ν ην δα εκτκη αναπαρα τα η Τ δ παραηρε τα κα τ εκφραοε κα π υ υπαρ ρυν δυ εταβ τθ λο τ τθταρτο ερ ημα μαθητε δ ν α εμφα η ην δπαρξη η δευτερη μεταβξη ξε υν να περγραψ υν η σχεση π υ τ ζ αυνδεεη δη αδη τ γν με τ υ Η αυηθε τερη ανθα με η απα η η ε να Τ τρπλαα δ αρθμ ν

ατ τρ φ περασμα απ τη φυσκη γλ α τη συμβ λφ γραφη Π α α Απ τη υ κη λ α ατ υμβ η ρα ρ Φυοκη γλδ α Συμβ λκη γραφη ξη ξη Τ τ τρ ε αα εν ο φθμ υ ω ηβ υ κατα λ Το ε πω ασ του αθρο αμα ε αρθ υ μ σ τ Ο λ Τ αθρο μα τ υ δτ αα υ εν αρθ δ μ τ Τ δπλα τ υ αθρ ματ ε αρθμ υ ε τ ε α ε Ι τρπ ααο ε ζ αρθμ δ εωμ υ κ α ε α μ τ αθρ σ α τ υ δπλα υ τ υ αυξημ γ κ α γ Ψ Ι ο ε ε α ερ η α ο τ αρθμ απ ε υ ε κατα Α Δα ρα α Απ η φυσκη α τ υμβ κη ραφη Τ ερ ημα με τ υ ηλ τερ π σ στ ε τυχαζ ε να τ τρ τ δηλαδη η εκφρααη Τ δεκαπλα ε αρθμ υ αυξημε κατα Σε αυη η περπτωση παραηρ υμε τ υτ αρ ε ν ογκη συναφεα μεταφ των δδ αναπαραστα εων πω φα νετα παρακατω

Τ δεκαπ αα ε υ αυ κατα τ Θετα ην περ πωση τ υ επ με υ ερωηματ αρθμ υ ε τ δε υπαρ ετ ενν λ γκη αυναφεα ακ λουθ υ η δα ερα κα στζ δυ α απαρα τα ε Τ αθρ σ α τ υ δπ α υ ε αφ υ μ αδε π ηρ ρ α δε υπαρ η τ υ φαν ε ου ηξ η ν λογφζ α αφεα οδηγε σε α σημ Λτκη πτ αη τω τ σ στ επτυμα κατα λ Παραηρ δμε επ αη μεγαλη δαφ ρα στα π σ στα εττυμα ετα τω δδο πρωτω ερωη ατων αυ η μαδα Η δυακ α φε ετα κ εδω οτ γεγ ν π δδ αναπαραστα ε δε ε να ε λ γκα αυναφε ογω α τατρ φη τ υ α τκε ε υ αναφ ρα πω αναλ σαμε σην παραγραφ τ υ ββλ υ Στα τρ α τε ευτα α ερωτη ατα ε γετα κα η εκτκη αναπαρα τα α τω αυμβ υ κα ρρ ζ μω να δημ υργηθε εππρ θεη δυακ λ α στ υ μαφτξ Η υπαρφ η μη ε λογφ αυναφεα ε α π υ δαμ ρφ νε τα π σ τα εππ α Ιδα τερα μεγα τ πτ η των π σ στ ν ετατυμαζ παραηρε τα τ π τε ευτα ερ ημα ε τ α λ τα ην ταξη κα λ α η ταζη π υ κα δυ φρα ε π υ αυνδε τα με η η τ ο ηταζ παρ υσαζ υν μη ε λογφ αυναφεα ε τη ατ τ βζ αν απαρα τα ε η αυμβ λφ γραφη

Γ ταν η μεταβ η παρ τανε να α μ εκρμ πτκε με Π ν κα Απδ τ υ κη λ α τ υμβ λη ρα Φυ κ γλ α Συμβ λκη ξη Α Τ ξη Γ υν ε Τ θφ ματ υ τρ λαα υ μα γω α κα τ υ δπ αα υ μη αλ η ε μκρ ερ απ τ δ α τ υ αθρ ματ η πμ η μ Ι κ ε Τ αθρ ο α τω ηλκω δυ αδε ω ε ατ Ιλκ ε Α δ αα υμε η η κ α τ υ κρ τερ υ τ αθφ ρ η τ υ θα ε ν π γραφη Ι Ο λ λ ο ρη αται Γ ρ δ τ Κ οτα δρ θα ρυ τ δ π η ατω κ δυ Ο τ λ ρη ατα Α τα δ ε τ Ι Γ ρ δρ Γκ ρ Θα δ τ αα ηψατσ απο τ Κ τα

Σπ ε φω η εη π ν γ ε ξ ηα με τζ ηλκ ε παραηρ υντα τα υγη οτερα π οτα ετ ττυγα κα κυρ ω τ δευτερ ερδημα π υ δε εμφατιετα παρεν Θε η κα υπαργ ε ο λογκη αυναφεα μεταφ τω αναπαρα τα εων Ση πρ η εκφ ηση γω ε δε υπαρ ε ενν λ γκη αυ αφεα παρα ο το πρωτ μελο ηζ σχεσηζ δ π ναδε πληρ φ ρ αζ δεν ακ λ υθ ν ην δα εφα τ δυ τελευτα ε εκφωτ ε ε αμε τα ρ ηλ τερα π σ τα ετπτη α Στ πρ β ημα Χρη ατα το πρ τ μελο η ε η π ρ υο ε να πρ κυψε αε α α δ η ε φ δηση οη φυακη γλ Α Γ ργ Ι δ ε δρ ν Ο α Γα ην καταακευη μωζ τ υ δευτερ υ μελ υ η οητα δεν δ νετα ανα υ κα η εκ νη η η αντ οτ η εκτη α απαραοταση γα να γ νε η εταβαη απ τ αθηη δ μαηφ πρεπετ να κα ε τ ε δαμε βημα εγοτα τ Κ τα ην τελκη φα η θα ε ρ δρ περ τερε απ αυτε π υ ε ε πρ ηγ υμ ω Σε αυη ην περττωη η εταβξη ε ω εχε ρστε ω τα χ ηματα π υ ε ε σ τα ση αρχ πρν η αυναλ αη τ πο π λ φ ρεζ καταξγε να εκφραζε τα ηματα π υ ε ε δ τα τ απ η αυ α λα η φτ ν ντα ετα ην εξ ωση Παρ μ ε ε να κα δυακ λ ε κα τα αθη ην τε ευτα α εκφ η η Τελο παραηρη αμε π π ο μαθητ δε δεκρναν τ ζ δδο μεταβλητε δη αδη χ ησμ π ττ αν τ δ ρα α α να υ β υν δυ δαφ ρετκα ωπκε μενα η εκφ η η τ η απα Γηη π υ δ θηκε απ τ υ αθητε περ αμβα ε μ ν α αντ δυ μεταβλητε Ο

Συμπερ οματα Τα απ τε εσματα τ υ ερωη ατ λ γ υ φα ερ ν υν η δα τερη δυακ λ α η μεταβα η απ α κε με γρα η φυ κη γλ ο α πρ ην ω τ τ η μαθηματκη εκφραση δ πα εμφααη κυρ ω στα παρακατω οτ ε α Απ εκφρ ε ε αρθ υ αυμβ π βαακ ν πραξεων μα μεταβλητη κα ρ ρ παρε Θε ε δ ε δη υ ργ υ δα τερ ε δυ α ε Η εμφαντοη παρε θε εων αυα ε η δυ λα η εταβαοη ταν η ε φ ηση περ α μβανε ατ ε α π υ δηγ υν ση χρηη δδ μεταβ τ ν π λλ αθητθ δυακ λευ τα να τ δακρ υ με απ τε ε α η α τ η αυμβ λκη εκφρααη να περλαμβανε μα εταβ ηη τα η α απαρασταση στη φυσκη γ ω α κα η ατ τ αναπαρα ταα οη αυμβ λκη γραφη δεν παρ υαα υ ε ω κη συ αφεα τα π ε ν ντα οη τα ε τττυμα α τκα παραπανω παραηρη ε μα δ ν υ αρκετ δ πρ β ηματ μ υ ω πρ ζ ην δα τερη ημα α π υ οεαζετα α δ ο υμε τ π τ Ι υμε η εκφδηση ε ζ πρ βξ ατ καθ επ η κα ω πρ η ργα ωση α συστηματκη δδα καλ α η μεταβα η αναπαραστα εων απ η φυσφ η αυμβ λκη α Α Φ ΡΕΣ Δηδ θη Πω οτ δλ υ Κ Τρ α Π δα τκη θ δ κα Εφαρμ ε κδ π υ θφ α υ ο θ τν π Α α α α τ Ι π Ι α Κ Ι Ι ο ο Ι Ε α α α Α α βι Α η Πω οπ υλ υ Κ Π βη Ο υμα π ρυ αφ κ π ηαη αυμ κ μ η ν ε α τ α ε τκ πρ βλημα δδα κα α τη α ζ των μαθηματα ν Εατα δ παα ν ο ητω κδ Παρ π ηρηη Θε οα ω η

ΙΚ Ι Π Ι ΣΗ Σ ΛΙΚΩ ΦΩΙγ ΣΑ Π Α Λ Κ ΙΚ ΠΡ ΛΗ Α Ε αγωμ να εκτκ μαθηματκο πρ β α π υ πρ ταθηκε σε μα π λυπ λπσμφ τα η υ ναα υ παδα ετ ν δηγηοε τ υζ αθητε σε α π κλ α αυμβ λκ εκφρασεων των λ εων Π λμ απο τ αυμβ λκε μ ρφεζ π υ χ ησμ π η αν τα παδ παρ υααζ υν μα αρακηρ τκη μ ητα με αρθμητκα μ ν υμα κα π λυωυ α Τ πρ β ημα ε να τ ακ λ υθ Ι Ια δα κα α ε ταζε το παρακατω πα δ μ τ υζ αθτ ε τη Καθε αθ ρη θα αλ ζε α κ ατφκ ηζ δα κα α με κρ τερα κερμωα χωρ ζ να ρη π ε καθ υ κ ρ ατα η μξ δρ μη Π α παδα θα π ρ σαν να πα ζ υτ αυτ το πα δ α καθε παδ θα ε τρε τε ν αζε τ κ ταριζ τ ζ δα κα α ε δαφορετκ τρ π ατ τα υπ πα παδα Τ πρ β ημα αυτ Θεωρε τα κε ωζ πρ ζ τ α α τ υ κ νω κ υ περβαλ ω τ των παδ ν αλ α μη πρακτ κ υ αρακηρα Δε ε να ω τ κε ρ τ πλα α η σ ρ ηζ πρακπκη η ταξτ τ υζ κα επ λ ν γα να δ θε η τελκη απα η η ρεαι τα π λ επμερ υ λυ ε Πρ τε ν ντα λοπ ν τα παδα ε α τετ πρ βλημ δεν ε να δυνατ να περμε ε κανε π λυ ε π πωαακα απ τελ ματα απ μαηματκη π ευρα Θα π ε μαλλ ν να αρκεστε ην π μ νετκη παραηρη η οτραηγκ κα τρ πω ετ φρααηζ π υ φαν μενκα δ δαφερ υν απ κ ν τ π εζ πρ κεμθ υ να τ υ γ ν υ ταδακα φανερ καπ ε καν υργεζ η μεχρ τ ρα παραγνωρσ ε ε παραμετρ η παδκη αθηματφ δρα ηρ ητα ε α κα εξω α τ ρ ε υτε παραμετρ ε να π υ κ ρ ωζ μαζ ε δαφερ υ εδδ σε σ ση με τ ρ λο η α μβ κη γλο α τα αθηματκα κα λ τα οε παδα π υ μπ ρε να ην θ υν τα ληηκα ω μητρκη γλ α

Συ λομ εμπερκ δν δεδ μ νων Τ πρ βλημα με εκφωη η ακρβ πω δατυπ θηκε παραπα ω δ θηκε ε λου υν λκα τ υ μαθητ ηζ τ Φ ε ζ γυμναα υ τ υ Ι απω Θα νο αξ υ ε στ εξτ ζ ην εδκη περτ γ η Θηναζ π υ επτλ ξαμε γ α ην θρ να πτ ξαμε η πε η αυη μ εξατ α καπ α σχετ κη φημη ηζ αλλ εξατ α η δκη κα σ ετκα ταθερηζ απ να π λτ κηζ ηζ αυνθε η Τ πρ βλημα ρα α ο εδκ τε ε ρ τα παδα καθηγητθ π υ δ δα κα α τ πε τ ηματα η ταα ρ ζ η δφ α παρ υσα κα ωρ καμ α δευκρ α δτε γα τ πρ βημα δτε α τ υζ εδκ τερ υ λ γου η ρευ α τ π ωτ η παρ υ αστ ζ τ υ τρ βληματ ζ εχε καπ ε αυνεπεε οπω θα δ υμε ταρακατω ε κ π να αν ευσ υμε κ π ε δα τερε αυηθεε κα τα εζ των μαθητ ν απε αντ ε τετ υ ε δ υ πρ β ηματα περ αβαμε στ τε ε ρ π υ φασα ε κα ην ερ η η Σε γδαφερε αυτ τ πρ ημα α τ εκ τ α π υ λδ ετ υνηθω τ ε τερα απ η αυγκ τρωση κα μα τρωη ανα υαη των γραπτ επσ εφθηκαμε τ ολε γα μα εττ πα παρατηρηση ηζ τα η π υ ηταν ηδη η Γυ να υ Παραηρη α ε τα αθη ατα τω αθη ατκ δν κα των εων Ελ κ ν κα ηραμε ετ τ π υ αυν τευξε απ αδε μαθητω κα απ τρε καθηητεζ ηζ τα η Απ τα γ απτα των αθητ ν τ υ ΙΤ υπαρ ρυ ρρ καμ α λ η κα με α εμφα η παραν η η ηζ εκφ ησηζ τ υ πρ βληματ ζ Ι ερωηαη Π οα παδ θα μπ ρ υ α να πα ξ υν αυτ τ παμ δ αν καθε παδ Θα π ε ε να α λαξε τ κατ ταρκ η δαακαλα με δαφ ρετκ τρ π ατ τα υπ λοπα παδα ε να κ πω ωκ α δατυπωμεη κα ε να Φκ λο να παρερμηνευτε απ τα παδα Δαβαζ τα κα ε βα τκα αυη ην ερ ηη κα μη δ ν πα ημα α ε ρ μθνε λ ξε μπ ρε να ν μ ε τ τ κατ τ ρκ η δαακαλα δε τ α λαζε να παδ καθε φ ρα αλ α περ τερα κα α τα καθε α παδ υνε φερε εξ υ τα η φραση π α παδα θα μπ ρ υσ να

πα ξ υν αυτ τ πα δυ ερμη ευετα ω ταυτ η συμμετ η τω παδω σε ε α δαφ ρετκ παμ δ π υ οτατα σην απλη ρααα δα ρεση ε κατ ταρκ υ σε οα ερ δα απα Φσεζ π υ φα ν α παρακατω ανταπ κρ ν α ακρτβ δ ε μα τετ α ερμηνε α κα αλλε τ ε α εα η ε δα ρ υν εμμ α απ αυτε π ρε α δ ο ο ε καθε ποαδ απ ε α τεηταρκ β Θα δ α απ δρ β π δα απ Ο δρ β Θα εποα α π δα Καθε π δ δρ Γ π ρ υ α ο ε α α δ πο δα απο γα τ η π δα απ να Ο β ε Ο δρ ποαδ Γ παρ ε μωζ στα παδα π υ δε θδωοα κα α λυα κα τα με ην πτ πα ω παρο ηση ηζ εκφ νηαη τ υ πρ βξματ δηλ αδη σε α ν λο μαθητ ν μα εκπληκτκη μ γε εα σ αφ ρα τ απα ησεζ στην ερ ησι Σε τ δαφ ρε αυτ τ πρ βλημα απ εκε να π υ λυνετε συηθωζ τ ρ ε Σην ερ ηση αυτη μ ν να απ ταπα α ανω πα τα ατα ταε ΤΙταν π δ κ ω κα π ωρα Δε τ υ α μ τ δεν μπ ρε α Τα υπ λ πα παδα δ ν υν α α Φ ε π υ δε δαφ ρ υ υσαστκ απ ττ παρακατω πρ β ημα δε μ ρ μενατ υο υμματ γακ μ αρθμφ γα θεωρηπκο κ δε φθμοξ ε εκτξ προ ματκαητα π αυα επ τε μ α α π υ κ υε το ε Απανη ε πω τε ευτα ε ε να γ ω τ η ββλ γραφ α δπ υ υν περγραφε με η β ηθεα τ υ αρκετα επτ ημε υ συν ππκ υ ρ υ βλ σ ετ Α μα τετ α περγραφη ε να α ον π λυ γε κα αφηνε τ ζηημα τη ερμηνε α ηζ α κεκρμε ηζ σ μπερφ ραζ μαζ π πκη συ ερφ ρα π υ μπ ρε α δ ε δαφ ρετκεζ ατ εζ καθε φ ρα π υ εκφρζετα α τα παδα Τα εμπεφκα μαζ δεδ μ να παρ υααζ υν στ σημε αυτ μα δ μ ρφ α π υ ω δε ε να τυχαω η αυ ρ πτκη τ υ π ε Ψηφ α τ υ μαθητε π υ δε δω αν

καμα ωση η παρα ηοαν ην εκφ ηση τ υ πρ βξματ ηκ υν ε θ α κα μ τμημα απ τα πλ τε ηζ ταξη τ υ γυμνα υ τ υ ΙΤ Στ τμη α αυτ π υ τ εξη θα αναφερετα ωζ φα νετα π επτκραησε μα αρητφ πρ θετκ ητα απ α τ τ αυμπρμε πρ β μα κα ην ερευ α μαζ εν γ ε Η μ γε εα των πα ω απα Φ εων ετ π ζετα εδ επ με ω κ α υ στ μ ρφη τ υ αλ α κυρ ω την δ ρφη σχεση π υ φα νετα να υπα αναμε α στ ν τρσπ π υ δ θηκε τ πρ β ημα η ταζη στη μ ρφη τ υ πρ β η ατ ζ Κα ττ μ ρφη τω α α Φ εων κα των δ εων ταν υταρ υν παρακατω αυ θ τευ η π υ Φραμε κατα ην επ τεγη α στ λε τ υ ΙΤ απ η κα τ ν τ γγα αθητε τ υ τ η ατ Α ωτ ε μερκ ττυγ τη παραπανω δ μ ρφη σχεσηζ κα δε ε τ ε δ η παρα ηση η εκφ η η ρ ηη Γρα ατε παδα π τ πρ β ημα δ Ι ορ υσατ α το δ ετε γα ξρτ α κω γ αρθμ υ Τ ε δ ατε Α α ε ε φθ δ θα μξ ρα τα ε υκ ο β Α α α εδ ε π α π αδ ητ ε τ τε θα τ δ α ε α π υε π ο ητα πετε π δ καθ α Θα δε τ ε α κ α κ Ε ΙΗ Σ τ καθηπφ α ε ε το πββ η π ηκατε Ητα επ υ α θ μητ ΡΕ ΙΗΤ Ι Δη αδη Α Π απ υ α ε π ετο α υ ε τ πα ΙΗ Σ α το τ πρ β ημα τ ε τε σε ε α πφ δκ θα ητα δαφ ρεπκα Κυρε ητ ε περ δκο θα το π ρ α ε τ τ α θα τ δαβζαμε α μ τα π υ Μθηκε ε α δω δ α α τ κε ατ δμ Ε α ε τρακ Ε ΝΗ ΙΣ Τ ε δατε λοπ α α δο α α γε τη α υ τα ραμ εξ δκ α Απ τ απαν ε ηζ βγα νε π κα η μ ρφη τ υ πρ βληματ ζ α α κυρ ω τρ π π υ δ θηκε φαηκε αν κε στα παδα τ υ Αο Δε μπ ρε ξαφ κα καπ π δηπ τε να ζηταε α τα παδα να ατανφσ υν σε ο τδηπ τε ωρ ζ α ε να πρ δεαομε α γα τ ζηημα αυτ ε να ακ μα πτ δαφωτ τκ ξεκαθαρ ζ νταζ τ πω ε δε το λ εγχε ρημα α α κα π ε λαβε τ ξητ υμε τ υ σ κεκρμ υ

πρ βξματ πρ κετα να μορα τε ε α κατ οταρκ οε μρ δα τ οα α τα παδα π υ πα Ι υ τ παμ δ αρα αρθ τ υ ε να απαρα τητ να δ θεζ πρ κε ε υ να βρεθε τ κερ α ηζ συνεσφ ρα καθε παδ υ ω ηλ κο η δα ρεαη Απ τα παδα π υ παραν η ω η εκφ ηοη μ ν θνα δε ε ε τα Ε ητκα ω μητρη τ υ γλ α κα α ηκε ην Αθγγα Φ γλ ο α με ν τητα Στ αυν λκ μα δε γ α παδα υφρ α παδτα π υ α ηκα ε γλοοακε με ν ητεζ κα λο υπ λοπ ε αν ω μητρφ γλ α τα λληνκα Δε μπ ρ με λοπ ν α σχ ρστ υμε π τ συ κεκρμε εκτκ πρ β μα δημ υρησε στην περ πτωξ μα δα τερε δυ κ λ ε ε παδα π υ δε υν τα λλη α ω μητρκη τ υ γ α Πρ ληψη κα α μβ λομ των δομκ Ι ν μ δων τ υ πρ βξματ Τα κερ ατα π υ μπ ρε να χ ησμ π ηθ υν ση α αγη δ φραγ τ ηρ δεκαρκ εκ αρκ κα πε η ηαρκ πρ αμβα ντα απ τα παδα ω δ μκθ μ ναδεφ τ υ πρ βξματ ζ Π λλα παδα ε ν υν δαφ ρ υ τρ π υ γα να αυ β λ υ τζ δ κε μ ναδε κατ η δαρκεα επ λυ η τ υ πρ βληματ οτε να ζ ξε ωρ ζ υν απ τ υζ αρθ ητκ υ α πελεοτ π υ πρ δ ρ ζ υν τ πξθ των χ ησμ π υμε ων δ μκ ν μ ναδων Δ μκε μ ν δε οε ο κλο ε π α αυμβ λ μ αυτ ε να συηθσμ γ κα παραηρε τα ε αθητθ π Ν Χρ αη παρενθ εων Δδ μ ν φ ρθ αυναταμε αυτ τ ν αυμβ λ μ π ΛΦ ψ β θ Φ ο ν ο ζ μ ΕΙ μ ο

Εκθετκ μ ρφ να δα τερα ε δαφθρ ν να α με υμε η ηση δυναμεω γα η δακρ η των δ μκ ν μ ναδων δ μκ μ ναδε κθρματα εμφα ζ ντα ωζ εκθετε κα ση Θεαη ηζ βααηζ ε να αρθμ εκε ν π υ πρ δ ρ ξε τ πξθ των δ μκ ν δω πω ο αρθμητκ αυντελε τη ε ε α μ ν μ Φ α Φ Φ Φ ν ο ο Φ Ν εκ α η π τα παρ Φ εη κ α η αυνε ρα τα κθρμο α δ μκ μ αδε πα ρ υ η μ ρφη εκθετω Ν α αυ τε εα ξ εμφα ζ τ σε κ τερ γεθ τκ δ κ μ ναδη Δαφ ρ με Θ υ δ κε μ ναδε ε ρυν μκρ τερ εγεθ ατ τ υ αυτελεοτεζ η τ αντ τρ φ π π κλ α των υμβ κ ν μ ρφ ν εκφραοεζ των λ εων π υ δ θηκαν απο τ υ μαθητε ητα π λ μορφε ρμκα θα π ρ αν να δα ωρ τ υν ε δυ βα κε καηγ ρ εζ ωζ πρ ζ τ ν τρ π κφρα η τ εκτκ τ π κφραα παρακατω ανα ερ ε ε κα τ α μβ λ κ τ π κφραα λεκτκ τροπ εκφρααη α ρα α ε τκη περγραφη η λυ η π υ πρ τε νετα Ση σ εκρμε η ερευνα αυτ τρ π εμφα ζετα μ ν στ υζ μαθητ π υ παραν η α ην εκφ η η πω ε δαμε π πανω αυμβ λκ τρ π εκφρασ ζ α ορα η χρηη μαθηματκων αυμβ λων πραξεων αρθ ν ο ητα κατα η δαδκαα α λδ η τ υ πρ β η ατ ζ να αξ αημε ωτ τ η π ε φ α των μαθητ ν ησμ π η ε γεβρκε παρα τα εφ Σ γα να αναλυοε τ κατ ταρκ σε μκρ τερα κ ρματα ν δυ μαθητθ αν λυ α τ κατ ταρκ παραθετ ταζ η μα ψτα ην αλ η αυμβ λκε μορφεζ Γ π Ν

λ Ε βρ λ π ξ λ Θ ζ ε ε ζ Φ ξ Ψ ε Θ Φ Ν θφ τη παραθε η χωρξ τ αυμβ ο η τφ θεαηζ ΠαΘρ Παραηρ ε π καθε ερμα ε να μ α ε π α ημ τα κ η εν φ δρ ε τ Φμ ο η πρ οθεαη ταρα εφθ βα ρμκ δαφ τ δ μκε μ αδε ταπ θετ ντη τε π γω π ξ ω μ α ε κυκ ω κ ση αυν ρα τρ ψαε ο η η τ υ τρ β ηατ τροπ θκ ρα η τ υ ε παραθεαη μ ωυμω Ππ Γα μα ταρατερα ταξν ηαη των αυ β λκ ν τ υ μαθητ πρ τε ν υε στ επ ε δαγρα α μ ρφων π υ ρησμ π ηθηκαν απ Εκ ρα Π Σαθρ ΣαΘ α Σπ Σπ α ε Σμα Σπρ Παθρ Γ π εκτκ τρ π α μβ κ τρ π Σ αλγεβρ ταρα τα εη Π παρ θεοη αυμβ κ μ ρ ΣαΘρ απλα αρθ ηπκα αθρο ματα ε ρ α ρ η Σπρ α δυα μο α εβρκ πραξεων ΣαΘρ Φ γ αθρ η κατακ ρ ψα γ ρθμκη δαδκα α πρ θε η Σπ λ αρθμητκα π λυ μο με τξ δ μ ε μ αδε τ ατ α ζ με ζ ε φθμητκ ξ αυ ε ε τξ Σπ α αρθ ηπκα π λ μω ο λα με δ μκζ μ ναδε δα ρ φπξ τα δ μθγα κ ρμετα Σ α αρθμηπκ π ω υμ υ με τξ δ μ ε δ μκξ μ δε οτα π α ω δε γ ε ω αγαη η των μ ω μ ω μω κα ερεχ υ επ α ηψεξ ηζ δα δ μη μ αδη Σμ ε ωμ η ηαη μ νω υ ω η ΠαΘρ παραθε η ερμ πων ρρ τ ουμ ω τη πβ Θε η Ππ λ αδα νωνυμωυ μ δατετο μεη

μ περ που μαθητε θδω αν λ ε π υ υμω χ ησμ π α ω δ κε ναδε τα δ μθνα πλ ε κερματα Ο π λλαπ ααα με εζ με αρθ ητκ δ αυ ε ε Υπαρχρυν γρα τα με μεγα τ αυνθπεα π υ λε απαντη ε ακ ωυθ υν αυτ τ ν τρ τ εκφρααηζ π Ν κα αλ α με μκρ τερη αυν πεα ωζ πρ ζ τ ακ λουθ υμε αυ β λ μο ερκ αθητθ παρααυρ ε απ τ τ τ υζ να τ ο υυ τ ν αρθμ κατ ταρκ με δαφ ρετκ υ αυνδυα μ δ κερματων ραφ υν παλ πο ωω υ κε μ ρφ αλλα χ ησμ π τα δαφ ρετκε δ μκε μ ναδε ο π ε δ α το τ υν σε υπαρκτα κ ρματα Σπ α ερκθ φ ρεζ ακ μα κ αυτεζ αυπαρκτε δ μκ μ ναδε αυμβ λ ζ ντα κ εομενε μ α ε κδκλο π Σε αλ α γραττα συναντα ε εκφρ ε π ε θ ρυ π ωωνυμκη μ ρφη α ε τ π ε δ θ ε γ ε η αναγωγη των μ ων ορων κα ετ μθνω υπαρ υ επαναξψεζ ηζ δα δ μκη ναδα Σ ο λ π Φ ΦΘ ο Φ Φ Φ ο Δυ Θ Θ α ο ο Φ Φ ζ Θ φ Φ Θ Θ Φ Φ ω Φ Θ Ι Θ Ν σ δ κξ μσ αδζ ε β α ε κδ ο κ α πο ω ααασμ νξ με αρθηπκ α τε ε τε πο υωυ κ μ ρφη λε πρ τεν μ ε ε ο ακολ υθ υ α τη η μ ρ κφ α Ν ρ ζ π τα πζ δ μκξ μ αδ κα στη αυ α πρσ ρρ ε τη επ λυοη ωρξ να α ρ τα κερ ατα δ μκε μ ναδε ε α σε κδκ ο η μ π τξ μ ζ ην π υω υμκη ρφη

Σπα α ακ μη δακρ ν υμε η μεμ ωμε η ρηαη μ νω δμων μεοα ε θ α αδν λο δαφ ρετκ ν τυπων εκ ρα εω Σμ υ Ν Η πρ πτ κφρααη ε α μα φμα ω η η η νωδμο Σμ πω αυ τερ τρ π εκφρααη στ υ ε να τα α λ αρθ ητκα αθρ ατα ε ρζοντα μ ρφη ΣαΘρ Σ αυτ τ τρ π εκφραηζ τα παδα δε αυηθ ξ υ να κυκ υν τ δ μκεζ μ ναδεζ αφ δ υαα τκα λ αρθμ π υ χ ησ π υν α τ τ ρυ σε κερ ατα ντ θετα απ τ π ωω υ κε μ ρφε δε υπαρ ρυν αρθ ητκ αυτελε τθ ο αυτε τζ εκφρασεζ Τρε μ ν φ ρ ζ εμφαν ζετα η κατακ ρυφη αθρ αη δη αδη η α ρθμκη δαδκα α ηζ πρ σθε η Σαθρ αλ γ α τρε αυτθ περπτ οε ε να περ ττ σεζ μαθητ π υ ρυ παραν η ε ην εκφ ηση ν ο Ν Κατακ ρ ρη αθρ η α γ ρθ κη δαδκα α η πβ Θε η Γ Γ ελ σε μερκα γ α τα αυναταμε συνδυασμ υ α εβρκ ν πραξεων Σπρ με σκ π να φτα υυ τ κατ σταρκ ηζ δαακα α η κα δ ε π κ μ ρφεζ π εζ π λ λεζ φ ρ ζ δακρ ν τα απ μκρη αυνεπεα τ αυμβ λ μ π υ ακ λουθε τα αλ λα κα απ μα εκπ τ κτκη δη μ υη κ ητα

οο ο ε Σ ο ο δ υ η ο ζ ο ω ξ ν τ Η ξ τ ζ ζζ τ Γο Θ ο ξ ο ξ ν δ ν ν Ν Τ α α α Συ δυα α γεβρκ πρα ξεω Ν Σ δυασ α γεβρκω φαξεω Φ Φ Φ δ Φ β Φ Φ Φ τ Φο ω Φ β φ Φ φ Φ ο ο ε Φ ο Ν Συνδυα μ α γεβρκ πρ εσ πα ε θ σεξ Ν ω π τ α η π κ α αυμβ κ μ ρφ σ δ π εδ ο αφ Φρ λ β φ ξ μφ ΦΦ ζ Φ ρ ξηφ ξ δ γ Φ δ Φ δ

Συν πτκ π νακα των τρ πων π φρααη των λ εων Συζ τηαη κα κ π α α μ ερ ματα Τ δ πρ βλημα δ θηκε ε π ταξε παδ ν η δα ηλκ α οε τερ ερεακα κα κεντρκα δαμερ ο ατα ηζ Αθηνα κα σε α ε π ε Παρ ο τ υ η σχετκη ανα ωα δεν Τ ακ μα λοκ ρωθε τα απ τελε ματα στ συη κρμ ο χ ε ο του ΙΤΥ εμ αν ζ υ συτ ρ τ κα μα εγα ωτερη επ μ η η αυ β κη α τ γ α η εκπκη εκφρα η των ω εων κα να μεγα α τερ π ουτ απο υ βο κε ρφε Απ π υ ερ ντα αυτεξ μ ρφε κα πω τα παδα τ κε π δντα Κα γατ η υπερ η στ ν τ εα αυτο των γραστ ν α ο η πε Λ π υ ε επ σα ε Θα ρεαοτε πο δ περοο τερη κα π αυ ηματκη παραφρηα ταξεω γα να δ θε α κ π ητκη απανη τ ο αυτ τα ερωτηματα Εδ θα περ ρ τ δμε σε μα πρωη ερ ηνε α με βα η τα δεδ μ να π υ α γκεντρωοα ε απδ η παραηρηση τ υ αθηματ τω αθηματκ ν τα δα παδα μαθητε π ν ηζ ταη κα απ τ συνδ τευξε με τ υζ καθηγητε τ υ Ση α απ τ ταξε π υ παραηρη α ε πρ ην καθηγηη τω αθηματκδν δδα κ ταζ αυ αρπ ε δνε εμφαση ην α νεβρκη μ ρφη τ υ Ι Θ το κ ταε η μ ρφη η α ναρτηη γραφε στ ακα κ ο θ θ η τ τε τα ρστα ε ευθ α αα η μ ρ ξ ε η α β Π γρα ε στ ακα Ση συ εχεα κατ η σ δ αση η γρα λ αρασταση η τε ευτα α ουναρηοη ρωη α ε τ υζ μαθητε γατ η ραφκη παραατα η ευθε α αυη δε περναε απ ην αρ η των αξ νων κα η Δ απαντη ε πρ ζ μεγα τ δυ φ ρ α τ υ καθηγηη η

Α Γατ δ νε μ δ αρθμ ξ ε α τα τ ε ν ρρ η συ ε τευφ κα αλλ ζ μαηματκ κα ηγηφ η ταζη γα δευτερη αυνεμ ρ να βεβα ω ε π ην Α Γυμναα υ καθηγητε επ με αν η ωοτη ρζ τα γραφη τω αρθμητκ ν παρα τα εων πρ κεμ υ να α μετωπ σ υν γ ωοτα πρ βξματα π υ π ρ ττα απ τ Δη τκ Ακ μη απ ην παραηρη η τ υ μαθη ατ ζ των Ν λλη κ ν κα η αυνετευζη με η φλ λογ ηζ τ ξηζ δε μα φαηκε να ε υν τα παδα δα τερ πρ β ημα ην πρ φ ρκη ε πκ νω α τα ε ληνκα κα τα ακ η επρ κετ γα ετκα επτα ν ηατα ε ω αν τ θετα υπη ε πρ β μα π γραπη δατ πωη η ρθ γραφ α Συνδυαξ παζ τα καπω α τ σπασμαπκα αυτα δεδ με α μπ ρ υμε π λ επ φυλακπκα να συ εραν υμε τ κατα ενα μεγα ω μερ ζ τ υ αμα ν γ α τ αυ β λκθ μ ρφεζ π υ χρησμ π δν αθητε τ υ λε υ αυτ δ π ρτα απ η δδαακαλ α μαθητε ε ρυν ε α η ε με α ε ηρεα τε απο τ υ καθηητε τ υ αλλ α μαλλον μ ακρβω πω θα τ ε δ ωκα εκε ν Τα παδα ε υν κε π ηθε κ π ε αυμβ λκ μ ρφεζ με ποκ λου τρ π υ π υ τ υζ χ ησμ π υν με μκρη η μεγα η αυ θπεα κα π υ οω τ υ γ ν τα κ ετ υργκ δ εξατ αζ κα ηζ φανερη δυ κ λ α π υ ε ρυν η γρα εη θκφρααη τα ελληνκα ε τε α ηκ υν ε γ ακη ε ητα επε μ το κατα θ α παραδ ξ τρ π η αυμβ η γλ α των αθηματκ ν γματ εδ ω αρωγ ηζ εκφραση κα ηζ αυθ ρμηη ργανω ηζ η επ κ νω α α μ γατ τ επδ ωξε π τε ακρβ αυτ η δδαακαλ α ην ταξ Α ΑΦ Σ Ι α ο Ν α α ν τν α Ι Κ α α ο α Κ Ι α α Κψ Ι ν αν Ι λ Α α Ε Α Α Ν ν Υ α