Διερεύνηση της Συμπεριφοράς Κοχλιωτών Συνδέσεων σε Χαλύβδινες Κατασκευές

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 31 Διερεύνηση της Συμπεριφοράς Κοχλιωτών Συνδέσεων σε Χαλύβδινες Κατασκευές Γ. N. ΣΤΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΣ Ι. Χ. ΕΡΜΟΠΟΥΛΟΣ Πολ. Μηχανικός, Υποψ. Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Περίληψη Η διερεύνηση της συμπεριφοράς κοχλιωτών συνδέσεων σε χαλύβδινες κατασκευές επιτυγχάνεται, σύμφωνα με τη σημερινή διεθνή πρακτική, μέσω της μελέτης της συμπεριφοράς ενός επιμέρους στοιχείου της, του απλού ταυ (tee stub). Η παρούσα εργασία έχει σκοπό να συμβάλει στο συγκεκριμένο πρόβλημα, τόσο από πειραματικής όσο και από θεωρητικής πλευράς. Για το λόγο αυτό διεξήχθησαν δύο πειράματα με δοκίμια μορφής απλού ταυ και ακολούθως μορφώθηκαν τα αντίστοιχα τριδιάστατα αναλυτικά προσομοιώματα, τα οποία αναλύθηκαν με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Η σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων, που προέκυψαν από τα πειράματα και από τα αντίστοιχα αναλυτικά προσομοιώματα, υπήρξε ικανοποιητική. Επιπλέον, για να επιβεβαιωθεί η αξιοπιστία του καννάβου που επιλέχθηκε κατά την προσομοίωση, χρησιμοποιήθηκαν πρόσφατα πειραματικά δοκίμια και άλλων ερευνητών, στα οποία εφαρμόσθηκε η ίδια μόρφωση του αναλυτικού προσομοιώματος. Και σε αυτή την περίπτωση η σύγκριση οδήγησε σε ικανοποιητικά αποτελέσματα. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το στοιχείο του απλού ταυ είναι το κύριο συνθετικό στοιχείο όλων των κοχλιωτών συνδέσεων. Τούτο προκύπτει από το γεγονός ότι κάθε κοχλιωτή σύνδεση μπορεί να αναλυθεί σε τέτοια επιμέρους ισοδύναμα στοιχεία (σχ. 1). Σχήμα 1: Ανάλυση κοχλίωσης μέσω επιμέρους στοιχείων απλού ταυ. Figure 1: Analysis of bolted connections through T-stub elements. Επομένως, η εξέταση του στοιχείου αυτού είναι πολύ σημαντική, αφού μέσω αυτής η διερεύνηση της συμπεριφοράς της κοχλιωτής σύνδεσης καθίσταται εφικτή. Ο Ευρωκώδικας 3 [11], όπως και άλλοι σύγχρονοι κανονισμοί, περιλαμβάνει κανόνες και τους μηχανισμούς αστοχίας για το σχεδιασμό κοχλιωτών συνδέσεων, με τη βοήθεια των επιμέρους στοιχείων μορφής απλού ταυ. Ο Krisnamurthy [12,13] πρώτος, προκειμένου να καθορίσει την πραγματική συμπεριφορά κοχλιωτών συνδέσεων, Υποβλήθηκε: 10.5.2000 Έγινε δεκτή: 23.5.2001 προσομοίωσε τη σύνδεση μέσω εξαέδρων στοιχείων και την ανέλυσε με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Το πρόβλημα της επαφής αντιμετωπίστηκε με επαναληπτική μέθοδο διαδοχικών δοκιμών, όπου κάθε κόμβος απελευθερωνόταν ή έμενε σε επαφή με τον ομόλογό του, ανάλογα με τα αποτελέσματα μετακινήσεων του προηγούμενου βήματος της διαδικασίας αυτής. Στή συνέχεια, πολλοί ερευνητές ασχολήθηκαν με το αντικείμενο αυτό, προκειμένου να προσδιορίσουν την πραγματική συμπεριφορά των κοχλιωτών συνδέσεων με τη βοήθεια πειραμάτων αλλά και θεωρητικών αναλύσεων. Οι Bahaari and Sherbourne [2, 14, 15], με χρήση τριδιάστατων μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων, προσδιόρισαν τη συμπεριφορά συγκεκριμένων ελασμάτων που επέλεξαν, τη διανομή των τάσεων κάτω από αυτά, καθώς και τις δυνάμεις μοχλού που εμφανίσθηκαν στο άκρο τους. Οι Bursi και Jaspart [7, 8] διεξήγαγαν πειράματα σε συνδέσεις απλού ταυ και ακολούθως προχώρησαν και στην προσομοίωσή τους με τριδιάστατα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων. Η σύγκριση των πειραματικών καμπυλών με αυτές των αντίστοιχων αναλυτικών υπήρξε ικανοποιητική και επομένως μπορεί να αποτελέσει μία βάση για περαιτέρω γενίκευση και παραμετρική ανάλυση του προβλήματος. Η παρούσα εργασία έχει σκοπό να συμβάλει στην έρευνα που συνεχίζεται πάνω στο συγκεκριμένο πεδίο και περιλαμβάνει πειράματα και θεωρητική επεξεργασία του προβλήματος. Αναλυτικότερα, διεξήχθησαν δύο πειράματα σε συνδέσεις απλού ταυ και ακολούθως έγινε προσομοίωση των δοκιμίων αυτών και ανάλυσή τους μέσω τριδιάστατων μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων, με τη βοήθεια του κώδικα ανάλυσης MSC/NASTRAN. Η επαλήθευση των πειραματικών καμπυλών με τις αντίστοιχες αναλυτικές κρίνεται ικανοποιητική, γεγονός που σημαίνει, ότι η προσομοίωση ήταν ορθή και θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για ενδεχόμενες παραμετρικές αναλύσεις κοχλιωτών συνδέσεων. Παράλληλα, προκειμένου να γίνει πρόσθετος έλεγχος της αξιοπιστίας του επιλεγμένου καννάβου, έγινε ανάλογη προσομοίωση και ανάλυση πειραματικών δοκιμίων και άλλων ερευνητών. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων έδειξε ότι ο κάνναβος είναι αξιόπιστος σε ικανοποιητικό για τις εφαρμογές βαθμό.

32 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Στην εργασία αυτή χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί: Ν d Δd : Αξονική εφελκυστική δύναμη δοκιμίου Specimen s axial tensile force : Απόσταση σημείων επαφής μηκυνσιόμετρου Distance between gauge s pointers : Μεταβολή της απόστασης d Variation of distance d 3. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕ- ΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Τα πεπερασμένα στοιχεία αποτελούν αναμφισβήτητα ένα πολύτιμο εργαλείο για την αντιμετώπιση πολύπλοκων προβλημάτων μηχανικής. Δεδομένου ότι ο προσδιορισμός της πραγματικής συμπεριφοράς μιας σύνδεσης απλού Ταυ δεν μπορεί να υλοποιηθεί με χρήση αναλυτικών σχέσεων κλασικής μηχανικής, η προσφυγή στη χρήση πεπερασμένων στοιχείων καθίσταται υποχρεωτική. Με βάση τα παραπάνω, η υπό εξέταση σύνδεση προσομοιώθηκε μέσω τριδιάστατων οκτακομβικών εξάεδρων στοιχείων, που περιέχονται στον κώδικα ανάλυσης MSC/ NASTRAN. Παρόμοια, η εξαγωνική κεφαλή του κοχλία, ο κορμός του, καθώς και η ροδέλλα, προσομοιώθηκαν με χρήση τετράεδρων και εξάεδρων στερεών στοιχείων. Η προσομοίωση των επιφανειών επαφής μεταξύ των επιμέρους τμημάτων της σύνδεσης είναι ένα σημείο, το οποίο παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Η αλληλεπίδραση των επιφανειών μεταξύ κεφαλής κοχλία - ροδέλλας, ροδέλλας - ελάσματος, ελάσματος - ελάσματος και ελάσματος - κορμού κοχλία αποτελεί ένα δύσκολο μη γραμμικό πρόβλημα συνοριακών τιμών, καθόσον οι διεπιφάνειες αυτές είναι μεταβαλλόμενες, με ταυτόχρονη ύπαρξη τριβής κατά τη διάρκεια της επαναληπτικής διαδικασίας ανάλυσης. Η αντιμετώπιση της μεταβλητότητας των επιφανειών επαφής έγινε με χρήση κατάλληλων γραμμικών στοιχείων (gap elements), τα οποία μπορούν να προσομοιώσουν αυτή τη συμπεριφορά, αφού είναι εφοδιασμένα με διαφορετική ακαμψία σε εφελκυσμό και θλίψη. Έτσι, υπάρχει η δυνατότητα, σε δύο κόμβους που συνδέονται με ένα τέτοιο στοιχείο, να απομακρύνονται ανεμπόδιστα μεταξύ τους (περίπτωση εφελκυσμού) ή να είναι σε επαφή (περίπτωση θλίψης). Στην περίπτωση αυτή, με εισαγωγή του κατάλληλου συντελεστή τριβής στις ιδιότητες του στοιχείου αυτού, λαμβάνονται υπόψη κατά την ανάλυση και οι δημιουργούμενες δυνάμεις τριβής. Οι κατάλληλες τιμές των ακαμψιών προκύπτουν με επαναληπτική διαδικασία. Αρχικά εισάγονται αυθαίρετες τιμές ακαμψιών και ακολουθεί η διαδικασία αλλαγής των τιμών αυτών και σύγκρισης των αποτελεσμάτων του τρέχοντος βήματος ανάλυσης με αυτά του προηγούμενου. Η διαδικασία ολοκληρώνεται, όταν υπάρχει σύγκλιση και τα αποτελέσματα μεταξύ των δύο τελευταίων βημάτων ανάλυσης είναι πρακτικώς αμετάβλητα. Εδώ πρέπει να επισημανθεί ότι, εάν δεν ακολουθηθεί η διαδικασία αυτή για τον προσδιορισμό των ακαμψιών του στοιχείου, υπάρχει κίνδυνος μη καλής συντήρησης του μητρώου ακαμψίας [17]. Το πρόβλημα εντοπίζεται κατά την εφαρμογή της μεθόδου ποινής (penalty method), όπου η επιλογή μεγάλων τιμών ακαμψιών μπορεί να οδηγήσει σε κακοσυντηρημένο μητρώο, ενώ η επιλογή μικρών τιμών δημιουργεί πρόβλημα αργής σύγκλισης ή μη αποδεκτών αποτελεσμάτων. Η τιμή του συντελεστή τριβής ελήφθη εδώ ίση με 0,5. Κατά την προσομοίωση επιδιώχθηκε ο λόγος του μήκους των ακμών των στοιχείων να μην είναι μεγάλος και ο κάνναβος βελτιστοποιήθηκε έτσι, ώστε οι περιοχές, που αναμένονταν ως κρίσιμες, να έχουν στοιχεία με ίδιο περίπου μέγεθος. Και τούτο διότι κατά τη γεωμετρική μη γραμμική ανάλυση, όπου κάθε φορά το μητρώο ακαμψίας (ενημερώνεται( σύμφωνα με την τρέχουσα παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα, η ύπαρξη μεγάλων τοπικών μεταβολών στις ακαμψίες των στοιχείων, αλλά και τα κατά πάσα πιθανότητα διαφορετικά πρόσημα που μπορεί να εμφανισθούν στις Ιακωβιανές μετασχηματισμού των σημείων, επί των οποίων γίνεται η αριθμητική ολοκλήρωση, οδηγούν το μητρώο σε κατάσταση αστάθειας. 4. ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΟΚΙΜΙΩΝ Προκειμένου να τεκμηριωθεί η ορθότητα των αποτελεσμάτων της θεωρητικής ανάλυσης για τα μοντέλα των πεπερασμένων στοιχείων, έγιναν δύο πειράματα με δοκίμια, που καταπονήθηκαν σε μονότονη φόρτιση. Τα γεωμετρικά στοιχεία και οι ποιότητες υλικών των δοκιμίων περιγράφονται στον πίνακα 1, ενώ η συσκευή επιβολής της φόρτισης και οι μορφές τους φαίνονται στα σχ. 2 και 3.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 33 Πίνακας 1: Χαρακτηριστικά δοκιμίων IPE 140 και IPE 270. Table 1: Characteristics of specimens IPE 140 and IPE 270. µ µ µ [mm] f y [Mpa] f u [Mpa] µ 6,9 226 348 IPE 140 µ 4,7 237 353 M12 (8.8) - 634 798 µ 10,2 223 343 IPE 270 µ 6,6 228 347 M16 (10.9) - 829 924 4,7 PE 140 45 d = 54 18,5 18,5 6,9 (α) (β) (γ) Σχήμα 2: (α) Συσκευή επιβολής φόρτισης, (β) μορφή - γεωμετρία, και (γ) προσομοίωση του δοκιμίου IPE 140 με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Figure 2: (α) Testing equipment, (β) shape - geometry, and (γ) simulation of IPE 140 specimen due to finite elements. 6,6 PE 270 85 d = 120 50 50 10,2 (α) (β) Σχήμα 3: (α) Μορφή και (β) γεωμετρικά χαρακτηριστικά του δοκιμίου IPE 270. Figure 3: (α) Shape and (β) geometrical characteristics of specimen IPE 270.

34 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 5. ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ - ΑΠΟΔΟΧΗ ΤΟΥ ΚΑΝΝΑΒΟΥ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Προκειμένου να γίνει αποδεκτή η αξιοπιστία του καννάβου που χρησιμοποιήθηκε, έγιναν δύο διαφορετικές οριακές επιλύσεις, λαμβάνοντας υπόψη ότι η πραγματική συμπεριφορά του ελάσματος στο οποίο γίνεται η κοχλίωση, κυμαίνεται μεταξύ των ορίων της αμφίπακτης δοκού και του προβόλου. Έτσι, ο επιλεγμένος κάνναβος επιλύθηκε δύο φορές με τις αντίστοιχες συνθήκες στήριξης (αμφίπακτη στήριξη, σχ. 4α και μονόπακτη, σχ. 4β). Τα αποτελέσματα τάσεων και παραμορφώσεων, που προέκυψαν από την ανάλυση με χρήση πεπερασμένων στοιχείων, συγκρίθηκαν με αυτά που προέκυψαν από την εφαρμογή των αναλυτικών εκφράσεων της κλασικής μηχανικής, όπως φαίνεται στον πίνακα 2. Το σφάλμα, που προκύπτει σε κάθε περίπτωση, θεωρείται ότι κυμαίνεται μέσα σε αποδεκτά όρια, συνεκτιμώντας και τα υπολογιστικά σφάλματα αποκοπής (round-cut errors) και ακρίβειας της αριθμητικής ολοκλήρωσης του μητρώου ακαμψίας (precision of integration). Μία ακόμη παράμετρος, που έχει σημαντική επίδραση στο τελικό σφάλμα, είναι η προσομοίωση των πακτώσεων μέσω πλήρους παγίωσης διακριτών κόμβων και όχι του συνολικού μήκους της θεωρητικά πακτωμένης παρειάς (σφάλμα προσέγγισης συνόρου). Με τα δεδομένα λοιπόν αυτά, ο επιλεγμένος κάνναβος θεωρείται αποδεκτός και το μοντέλο κρίνεται αξιόπιστο για την ανάλυση που ακολουθεί. 6. ΑΝΑΛΥΣΗ Με βάση τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και τις ποιότητες υλικών των υπαρχόντων πειραματικών δοκιμίων δημιουργήθηκαν τριδιάστατα μοντέλα με χρήση εξάεδρων και τετράεδρων στερεών στοιχείων (σχ. 5, 7). Οι επιφάνειες επαφής αντιμετωπίσθηκαν με τη χρήση γραμμικών στοιχείων διαφορετικής ακαμψίας σε εφελκυσμό και θλίψη. Με τα ίδια στοιχεία ελήφθη υπόψη και η τριβή στις διεπιφάνειες με συντελεστή τριβής ίσο προς 0,5. Η επιβολή του φορτίου έγινε, για λόγους ομοιόμορφης κατανομής, με ανηγμένη εφελκυστική φόρτιση της άνω επιφάνειας του κατακόρυφου ελάσματος της σύνδεσης και όχι με κομβική. Η μέθοδος ανάλυσης, που χρησιμοποιήθηκε, είναι μη γραμμική με κριτήριο διαρροής von Mises και ο αλγόριθμος περιελάμβανε 5 διαδοχικά βήματα επαναληπτικών προσαυξητικών παραμορφώσεων και αντίστοιχων προσαυξητικών τάσεων, προκειμένου να εξασφαλισθεί η ακριβής επιστροφή τους στην επιφάνεια διαρροής. Τα διαγράμματα τάσεων - παραμορφώσεων των υλικών των συνδέσεων εισήχθησαν (α) (β) (γ) Σχήμα 4: Πέλμα δοκιμίου (α) με πλήρη πάκτωση των απέναντι πλευρών, (β) με πλήρη πάκτωση στη μία πλευρά (πρόβολος), και (γ) προσομοίωση με χρήση πεπερασμένων στοιχείων του κοχλία και της ροδέλλας. Figure 4: Specimen s flange (α) fixed at the opposite sides, (β) fully supported at one side (cantilever), and (γ) finite element simulation of the bolt and the washer. Πίνακας 2: Σύγκριση τιμών τάσεων και παραμορφώσεων μεταξύ ακριβούς ανάλυσης και ανάλυσης με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Table 2: Comparison of stresses and deformations between exact and through F.E. analysis. [MPa] µ [cm] µ.. µ 0,88658 0,9298 4,37382 10-4 4,42841 10-4 µ = 4,648 % µ = 1,233 % 1,94479 1,85971 1,70480 10-3 1,77136 10-3 µ = 4,575 % µ = 3,758 %

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 35 στην ανάλυση με την πραγματική τους μορφή, με τη βοήθεια συναρτήσεων που περιέχει ο κώδικας MSC/NASTRAN. Ακολούθως έγιναν διαδοχικές δοκιμές (επαναληπτικές επιλύσεις) για τον προσδιορισμό των τιμών των ακαμψιών των γραμμικών στοιχείων που προσομοιώνουν τις επιφάνειες επαφής. Οι αναλυτικές καμπύλες εφελκυστικού φορτίου Ν και σχετικής μετατόπισης Δd, που προέκυψαν από την ανάλυση, εκτυπώθηκαν επί των ιδίων διαγραμμάτων των αντίστοιχων πειραματικών (σχ. 6, 8), προκειμένου να είναι άμεση η σύγκριση. Με ανάλογο τρόπο, οι καμπύλες, που προέκυψαν από προσομοίωση υπαρχόντων πειραματικών δοκιμίων άλλων ερευνητών (σχ. 9, 11), καθώς και ανάλυσή τους με χρήση πεπερασμένων στοιχείων, εκτυπώθηκαν επί των αντιστοίχων πειραματικών (σχ. 10, 12). 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Όπως προκύπτει από τα διαγράμματα των σχ. 6, 8, 10, 12, και συνεκτιμώντας την πολυπλοκότητα που εμφανίζει η σύνδεση στα σημεία επαφής, καθώς επίσης και τα σφάλματα που εισάγει η αριθμητική ολοκλήρωση για τον προσδιορισμό του μητρώου ακαμψίας, οι αναλυτικές καμπύλες θεωρούνται αρκετά ακριβείς και κρίνονται ικανοποιητικές και επαρκείς. Επομένως ο κάνναβος που επιλέχθηκε, μπορεί να αποτελέσει μία βάση για επέκταση των αναλύσεων και παραμετροποίηση - κωδικοποίηση των αποτελεσμάτων διαφόρων τέτοιων συνδέσεων έτσι, ώστε να γίνουν αντικείμενο χρήσης καθημερινών εφαρμογών για τον μηχανικό της πράξης. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Agerskov, H., (High-Strength Bolted Connections Subject to Prying(, Journal of the Structural Division, ASCE, 1976, Vol. 102, No ST1, January, pp. 161-175. 2. Bahaari, M. R. & Sherbourne, A. N., (3D Simulation of Bolted Connections to Unstiffened Columns - II. Extended Endplate Connections(, J. of Construct. Steel Research, 1996, Vol. 40, No 3, pp. 189-223. 3. Bathe, K.-J., Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996, New Jersey. 4. Beaulieu, D., Picard, A., Finite Element Modeling of Connections, in Connections in Steel Structures, behavior, strength and design, Proceedings, ed. Bjorhovde R., Brozzetti J., Colson A., Elsevier Applied Science, London, 1987, pp. 96-103. 5. Biorhovde, R. et al. (editors), Connections in steel structures II: Behavior, Strength and Design, American Institute of Steel Construction, 1992. 6. Biorhovde, R., Brozzeti, J. and Colson, A., Connections in Steel Structures, Behavior, Strength and Design, Elsevier Applied Science Publishers, London, 1988. 7. Bursi, O. S. & Jaspart, J. P., Benchmarks for Finite Element Modelling of Bolted Steel Connections, J. of Construct. Steel Research, 1997, Vol. 43, Nos 1-3, pp. 17-42. 8. Bursi, O. S. & Jaspart, J. P., Calibration of a Finite Element Model for Isolated Bolted End-plate Steel Connections, J. of Construct. Steel Research, 1997, Vol. 44, No 3, pp. 225-262. 9. Chen, W.F. (ed.), Joint Flexibility in Steel Frames, Elsevier Applied Science Publishers, London, 1987. 10. Colson, A., Theoretical Modeling of Semirigid Connections Behavior, J. of Constr. Steel Research, 19, 1991, pp. 213-224. 11. Eurocode 3 : Design of Steel Structures, European Committee for Standardisation, DD ENV 1993-1-1, Apr. 1992. 12. Krishnamurthy, N., Modelling and Prediction of Steel Bolted Connection Behaviour, Computer & Structures, 1980, Vol. 11, No 2, pp. 75-82. 13. Krishnamurthy, N., FEABOC - Finite Element Analysis of Bolt Connection, Proc. Eighth Conference on Electronic Computation, Am. Soc. Civ. Engrs., 1983, pp. 312-325. 14. Sherbourne, A. N. & Bahaari, M. R., 3D Simulation of Bolted Connections to Unstiffened Columns - I. T-stub Connections, J. of Construct. Steel Research, 1996, Vol. 40, No 3, pp. 169-187. 15. Sherbourne, A. N. and Bahaari, M. R., 3D simulation of end-plate bolted Connections, Journal of Structural Engineering, 1994, 120(11), 3122-3136. 16. Yee, Y., Melchers, R. E., Moment-rotation curves for bolted connections, Journal of Structural Engineering, 1986, Vol. 112, No 3, pp. 615-635. 17. Τσαμασφύρος, Γ.Ι., Θεοτόκογλου, Ε.Ε., Η Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, Αθήνα, 1994. Γ. N. Σταματόπουλος, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών, Πατησίων 42, 106 82 - Αθήνα. Ι. Χ. Ερμόπουλος, Καθηγητής Ε.Μ.Π., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών, Πατησίων 42, 106 82 - Αθήνα.

36 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 (α) (β) Σχήμα 5: (α) Κάνναβος πεπερασμένων στοιχείων και (β) διανομή ισοδύναμων τάσεων για το δοκίμιο ΙPE 270. Figure 5: (α) Finite element meshing and (β) equivalent stresses distribution for the specimen ΙPE 270. N [kn] 200 150 100 50 µ [ ] F.E.M. [ ] 0 0 2 4 6 8 d [mm] Σχήμα 6: Πειραματική και αναλυτική καμπύλη σχετικών μετατοπίσεων N - Δd για το δοκίμιο IPE 270 (2 κοχλίες M16, 10.9). Figure 6: Experimental and analytical curves of the relative displacements N - Δd for the specimen IPE 270 (2 Bolts M16, 10.9).

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 37 (α) (β) Σχήμα 7: (α) Κάνναβος πεπερασμένων στοιχείων και (β) διανομή ισοδύναμων τάσεων για το δοκίμιο ΙPE 140. Figure 7: (α) Finite element meshing and (β) equivalent stresses distribution for the specimen ΙPE 140. N [kn] 60 50 40 30 20 10 µ [ ] F.E.M. [ ] 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 d [mm] Σχήμα 8: Πειραματική και αναλυτική καμπύλη σχετικών μετατοπίσεων N - Δd για το δοκίμιο IPE 140 (2 κοχλίες M12, 8.8). Figure 8: Experimental and analytical curves of the relative displacements N - Δd for the specimen IPE 140 (2 Bolts M12, 8.8).

38 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 48.3 46.69 45.08 43.47 41.86 40.25 38.64 37.03 35.42 33.81 32.2 30.59 28.98 27.37 25.76 24.15 22.54 20.93 19.32 17.71 16.1 14.49 12.88 11.27 9.66 8.05 6.44 4.83 3.22 1.61 0. (α) (β) Σχήμα 9: (α) Κάνναβος πεπερασμένων στοιχείων και (β) διανομή ισοδύναμων τάσεων για το δοκίμιο HE 220B. Figure 9: (α) Finite element meshing and (β) equivalent stresses distribution for the specimen HE 220B. N [kn] 200 150 100 50 µ [Bursi Jaspart] F.E.M. [Bursi Jaspart] F.E.M. [ ] 0 0 2 4 6 8 d [mm] Σχήμα 10: Πειραματικές και αναλυτικές καμπύλες σχετικών μετατοπίσεων N - Δd για το δοκίμιο HE 220B (4 κοχλίες M12, 8.8). Figure 10: Experimental and analytical curves of the relative displacements N - Δd for the specimen HE 220B (4 Bolts M12, 8.8).

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 39 59.5 57.52 55.53 53.55 51.57 49.58 47.6 45.62 43.63 41.65 39.67 37.68 35.7 33.72 31.73 29.75 27.77 25.78 23.8 21.82 19.83 17.85 15.87 13.88 11.9 9.917 7.933 5.95 3.967 1.983 0. (α) (β) Σχήμα 11: (α) Κάνναβος πεπερασμένων στοιχείων και (β) διανομή ισοδύναμων τάσεων για το δοκίμιο ΙPE 300. Figure 11: (α) Finite element meshing and (β) equivalent stresses distribution for the specimen ΙPE 300. N [kn] 200 150 100 50 µ [Bursi Jaspart] F.E.M. [Bursi Jaspart] F.E.M. [ ] 0 0 4 8 12 16 d [mm] Σχήμα 12: Πειραματικές και αναλυτικές καμπύλες σχετικών μετατοπίσεων N - Δd για το δοκίμιο IPE 300 (4 κοχλίες M12, 8.8). Figure 12: Experimental and analytical curves of the relative displacements N - Δd for the specimen IPE 300 (4 Bolts M12, 8.8).

40 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 Extended summary Investigation of the Behaviour of Bolted Connections in Steel Structures G. N. STAMATOPOULOS J. CH. ERMOPOULOS Civil Engineer, Assoc. Researcher N. T. U. A. Professor N. T. U. A. Abstract The investigation of the behaviour of bolted connections in steel structures is carried out, according to the existing practice, by examining their main component, the tee stub. The present paper is devoted to both analytical and experimental investigation of the behaviour of this significant component. For this reason, two experiments were performed and the corresponding N-Δd curves were obtained. Besides, the corresponding finite element models for these T-stub elements were built up and analysed. The comparison of the experimental and computed N- Δd curves seems to be satisfactory. Moreover, in order to insure the reliability of the model, the same meshing was used for simulating and analysing some of the existing experimental T-stub elements. The obtained analytical curves, compared with the corresponding experimental ones,, were again satisfactory. 1. INTRODUCTION The T-stub element is the main component in bolted connections and its response fully affects the behaviour of the whole connection which influences the performance of the entire structure. Eurocode 3 [11] includes rules and plastic failure mechanisms for bolted connections, using this particular element. In order to obtain the real behaviour of end plate connections, Krisnamurthy [12,13] performed elastic simulations of the contact problem using eight-node brick elements using the technique of attaching and releasing nodes to reproduce the variation of the contact area. Later on, many researchers have presented a lot of theoretical studies for the determination of the response of bolted connections. Bahaari and Sherbourne [2,14,15], using 3D finite element models, determined the behaviour of extended endplate connections, the corresponding stress distribution and the prying force phenomenon. Bursi and Jaspart [7,8], in order to simulate the stiffness and strength behaviour of extended end-plate connections, carried out experiments and proposed 3D finite element models. In the present study a FEM simulation of T-stub connections was modelled and compared with the results Submitted: May 10. 2000 Accepted: May 23. 2001 of new experiments performed by the authors. In addition, similar comparisons were made with the results obtained from the literature. 2. METHOD The T-stub connection was modelled through 3D eight-node hexahedron solid elements available in the MSC/NASTRAN code. The hexagonal bolt head and the washer were idealised through brick elements. The difficulty and complexity of the T-stub simulation arises from the unpredictability of the actual support conditions at the interfaces between the hexagonal bolt head, the washer and the steel plate. The interaction between two elements, in which the contact surface remains variable in each step of the iterative procedure, is a very complex boundary value problem and is faced through appropriate gap elements. These elements can reproduce the real behaviour using different stiffnesses in tension and compression and thus allow for two nodes to be in contact or not (open or closed gap element respectively). Arbitrary values for these stiffnesses are initially introduced and a trial and error procedure is followed by changing these values until the current results with those obtained from the previous trial converge. It must be noticed that too large penalty numbers lead to instability problems due to ill-conditioning of the stiffness matrix, and small values lead to slow convergence and perhaps to unacceptable results. The occurring friction was taken into account with a friction coefficient equal to 0,5. The meshing was idealised and refined in such way that all the edges have nearly the same size (small aspect ratio). This is very important in geometric nonlinear analysis because excessive elements stiffnesses or very large local changes in stiffness leads in ill-conditioned systems. Additionally, in order to verify the reliability of F.E. models, two specimens were tested under monotonic loading, and the results were compared with the analytical ones.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 2 2001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 2 41 3. CONCLUSIONS Each of these F.E. models was analysed and the obtained analytical curve N- Δd was plotted on the same diagram together with the corresponding experimental performed by the authors. On the same manner, some existing experimental T-stubs [7,8] were simulated using the same meshing and analysed as described above. The comparison between experimental and analytical curves, taking into account that the simulation is very complicated because of the included nonlinear phenomena like contact problem between two different materials, geometrical nonlinearities, friction, slippage, bolt-plate interaction etc., seems to be satisfactory. Thus, the adopted meshing for the simulation is enough reliable and acceptable for further parametric analysis of the problem. G. N. Stamatopoulos, Assoc. Researcher N.T. University of Athens, Civil Engineering Dept., Lab. of Metal Structures, 42 Patission str., 106 82 - Athens, Greece. J. Ch. Ermopoulos, Professor N.T. University of Athens, Civil Engineering Dept., Lab. of Metal Structures, 42 Patission str., 106 82 - Athens, Greece.