Υδρολογικός σχεδιασμός υπερχειλιστών

Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδρολογικός σχεδιασμός υπερχειλιστών Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Η παρουσίαση διατίθεται στο Διαδίκτυο στον ιστότοπο www.itia.ntua.gr

Βασικές υδρολογικές έννοιες Πιθανή μέγιστη κατακρήμνιση ΠΜΚ (probable maximum precipitation) & πιθανή μέγιστη πλημμύρα (probable maximum flood) Παραπειστικές και εν τέλει αντιεπιστημονικές έννοιες που όμως έχουν αποτελέσει τη βάση σχεδιασμού πολλών φραγμάτων παγκοσμίως (όχι τόσο στην Ελλάδα). Πιθανότητα αστοχίας (failure probability) διακινδύνευση (risk) περίοδος επαναφοράς (return period) Αλληλοσυναρτώμενες έννοιες που προσφέρουν την πιθανοτική βάση για τον ορθολογικό σχεδιασμό των υπερχειλιστών. Αν και πρόκειται για τις ίδιες έννοιες που υποστηρίζουν και το σχεδιασμό των ταμιευτήρων, υπάρχουν δύο βασικές διαφοροποιήσεις: 1. Η αστοχία στους ταμιευτήρες είναι λειτουργική (αδυναμία κάλυψης υδατικών αναγκών) ενώ στους υπερχειλιστές είναι δομική (ενδεχόμενο κατάρρευσης φράγματος). Άρα, οι αποδεκτές πιθανότητες αστοχίας, ενώ στους ταμιευτήρες είναι 10-1 - 10-2, στους υπερχειλιστές γίνονται πολύ μικρότερες 10-3 - 10-6. 2. Η πιθανοτική αντιμετώπιση στους υπερχειλιστές είναι απλούστερη, επειδή δεν απαιτείται η πλήρης περιγραφή της χρονικής αλληλουχίας της παροχής (παρά μόνο μέσα στο επεισόδιο της πλημμύρας σχεδιασμού). Κατανομές ακραίων τιμών Ειδικές πιθανοτικές κατανομές που προκύπτουν με θεωρητική συλλογιστική (ως ασυμπτωτικές συμπεριφορές) και χρησιμοποιούνται ως βάση για την εκτίμηση της καταιγίδας ή και πλημμύρας σχεδιασμού. 2

Η βάση της ιδέας της Πιθανής Μέγιστης Κατακρήμνισης Η έννοια ενός ανώτατου ορίου στη βροχόπτωση, της λεγόμενης Πιθανής Μέγιστης Κατακρήμνισης (ΠΜΚ), αντικειμενικά έχει πολιτική στόχευση: δίνει στους πολιτικούς (και γενικότερα όσους λαμβάνουν αποφάσεις) την ψευδαίσθηση της δυνατότητας κατασκευής έργων (π.χ. φραγμάτων) απαλλαγμένων από κινδύνους (με την προϋπόθεση ότι σχεδιάζονται με βάση την ΠΜΚ). Όμως, οποιαδήποτε τιμή του ύψους βροχής ή της πλημμυρικής παροχής μπορεί να ξεπεραστεί με πιθανότητα μειούμενη όσο η τιμή αυξάνεται (η φύση δεν έχει όρια). Η πιθανοτική αυτή λογική αντιστοιχεί στο Αριστοτελικό άπειρο, το οποίο υπάρχει «δυνάμει» και όχι ως αυθύπαρκτη οντότητα (φυσικό άπειρο, διαφορετικό από το μαθηματικό άπειρο του Cantor). 3

Precipitation depth, mm Μέγιστες παρατηρημένες σημειακές βροχοπτώσεις σε όλη τη γη 100000 min h d month year 1 2 5 10 20 1 2 6 12 1 2 5 10 1 2 6 1 2 10000 1000 100 a i = 1 + d/θ η, h = ad 1 + d/θ η a = 1615 mm/h, θ = 0.07 h, η = 0.52 Data points from literature Fitted equation Data points from daily rainfall analysis 10 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 Δεν πρόκειται για ΠΜΚ Time scale, h Πηγή: Koutsoyiannis and Papalexiou (2015) 4

Μέγιστες παρατηρημένες σημειακές βροχοπτώσεις στη γη: χωροχρονική κατανομή Q, R E K, L, M, W 1 (A) 2 (B-C) 2 (D-E) 3 (F-H) 3 (I-K) 9 (L-T) 2 (U-V) 1 (W) 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 Πηγή: Koutsoyiannis and Papalexiou (2015) 5

Standardised rainfall depth 1.01 1.2 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000 Η στατιστική μέθοδος ΠΜΚ (Hershfield) O Hershfield (1961) συγκέντρωσε δεδομένα από 2645 σταθμούς ανά τον κόσμο (κατά το πλείστον από τις ΗΠΑ) που αντιστοιχούν σε 95 000 σταθμο-έτη. Αφού τυποποίησε τα δεδομένα (με την εξίσωση x = m + K m s, όπου m και s η δειγματική μέση τιμή και τυπική απόκλιση ανά σταθμό) κατέληξε ότι η μέγιστη τυποποιημένη τιμή που βρήκε (K m =15) αντιστοιχεί στην ΠΜΚ. Αυτό οδήγησε στη φερώνυμη στατιστική μέθοδο εκτίμησης της ΠΜΚ. Τα δεδομένα του Hershfield επανεξετάστηκαν (Koutsoyiannis, 1999) και βρέθηκε ότι: 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Empirical Return period Theoretical (GEV) Πιθανοτικό διάγραμμα Gumbel του συνόλου δεδομένων του Hershfield και της Κατανομής Ακραίων Τιμών Τύπου 2 που προσαρμόστηκε (Koutsoyiannis, 1999) Gumbel (Ακραίων Τιμών Τύπου 1) -2 0 2 4 6 8 10 12 Gumbel reduced variate Όχι μόνο δεν συνηγορούν στην ύπαρξη μέγιστου ορίου (με ασυμπτωτική προσέγγιση σε άνω όριο) αλλά δείχνουν απόκλιση προς το άπειρο με ρυθμό μεγαλύτερο από αυτό της «κλασικής» κατανομής Gumbel (Κατανομή Ακραίων Τιμών Τύπου 1). Η μέγιστη τιμή της τυποποιημένης μεταβλητής (15) που βρήκε ο Hershfield αντιστοιχεί σε εμπειρική περίοδο επαναφοράς 95 000 χρόνια. Η περίοδος αυτή μειώνεται σε 60 000 χρόνια με την Κατανομή Ακραίων Τιμών (που είναι Τύπου 2 και όχι Τύπου 1). Αυτό είναι εύλογο, λόγω της αναμενόμενης στοχαστικής εξάρτησης (στις βροχές διαφορετικών σταθμών) για πολύ έντονες βροχοπτώσεις. 6

Το τελευταίο ΚΣΦ της μεθόδου Hershfield 60 50 K m 40 30 20 NH, tropical SH, tropical NH, extratropical SH, extratropical 10 0 1 10 100 1000 Time scale, d Με βάση νεότερα και περισσότερα (κατά μία τάξη μεγέθους) δεδομένα διαψεύδεται η ύπαρξη άνω ορίου K m = 15 Πηγή: Koutsoyiannis and Papalexou (2015) Αριθμός Ζώνη Αριθμός σταθμών σταθμοετών ΒΗ, τροπική 1 332 90 921 ΒΗ, εξωτροπική 9 282 726 852 ΝΗ, τροπική 1 353 95 091 ΝΗ, εξωτροπική 5 523 481 729 Σύνολο 17 490 1 394 593 7

Η υδρομετεωρολογική μέθοδος ΜΠΚ: μεγιστοποίηση καταιγίδας με αναγωγή ως προς την ατμοσφαιρική υγρασία Εφαρμόζεται η απλή σχέση (World Meteorological Organization, 1986). h m = h W m / W όπου h m το μεγιστοποιημένο ύψος βροχής, h το καταγραμμένο ύψος βροχής, W το ύψος κατακρημνίσιμου νερού στην ατμόσφαιρα κατά τη διάρκεια της βροχόπτωσης, που εκτιμάται από το σημείο δρόσου T d κατά την ημέρα της βροχόπτωσης, και W m το μεγιστοποιημένο ύψος κατακρημνίσιμου νερού στην ατμόσφαιρα, που προκύπτει από το μέγιστο σημείο δρόσου T d,m για το μήνα (ή δεκαπενθήμερο) που συνέβη η καταιγίδα. Ως T d θεωρείται η τιμή του σημείου δρόσου που διαρκεί τουλάχιστον 12 h. Το T d,m εκτιμάται ως (α) η μέγιστη τιμή ιστορικού δείγματος 50 ετών ή (β) η τιμή που αντιστοιχεί σε συγκεκριμένη περίοδο επαναφοράς (π.χ. 100 χρόνια) για δείγμα μικρότερο των 50 ετών. Υδρομετεωρολογία - Πιθανή μέγιστη κατακρήμνιση 8

Rainfall depht (mm) Η «υδρομετεωρολογική» μέθοδος μεγιστοποίησης των καταιγίδων: κακή στατιστική μέθοδος Οι «μεγιστοποιημένες» βροχές αποτελούν ένα άλλο στατιστικό δείγμα το οποίο έχει πιθανοτική συμπεριφορά με πιο έντονα στοιχεία διασποράς (διεύρυνση της αβεβαιότητας) Η εξαγωγή της ΠΜΚ από ένα μόνο σημείο (το μέγιστο) είναι στατιστικά ό,τι πιο επισφαλές θα μπορούσε να επινοηθεί. Πηγή: Papalexiou & Koutsoyiannis (2006) 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 E.D. of annual maximum GEV MLM of maximum annual E.D. of maximized monthly GEV MLM of monthly maximized E.D. of monthly maximum GEV MLM of monthly maximum 2 5 10 20 50 100 200 Return period (years) Σταθμός Εθνικού Αστεροσκοπείου Αθηνών (ΕΑΑ/ΝΟΑ) 500 1000 2000 500010000 9

PMP (mm) Εξάρτηση της ΠΜΚ της «υδρομετεωρολογικής» μεθόδου από πιθανοτικές παραδοχές Η εκτίμηση της πιθανής μέγιστης κατακρήμνισης εξαρτάται από την πιθανοτική συμπεριφορά του σημείου δρόσου και από την υιοθετούμενη περίοδο επαναφοράς για το σημείο δρόσου. 350 300 250 200 150 100 50 0 Σταθμοί από Ελλάδα (ΕΑΑ/ΝΟΑ) και Ολλανδία N.O.A. De Bilt Den Helder Groningen Maastricht 100 1000 10000 100000 1000000 Return period of monthly maximum dew point (years) Πηγή: Papalexiou & Koutsoyiannis (2006) 10

Νεότερα αποτελέσματα Πρόσφατα μελετήθηκαν αρκετές μεγάλου μήκους χρονοσειρές ετήσιων μέγιστων βροχοπτώσεων (Koutsoyiannis, 2004): 169 σταθμοί από την Ευρώπη και τη Βόρεια Αμερική. Μήκη δειγμάτων 100-154 χρόνια. Συνολικά 18065 σταθμο-έτη. 6 κύριες κλιματικές ζώνες. Ζώνη 5 (ΗΒ) 15 σταθμοί 1610 σταθμο-έτη Ζώνη 3 (ΒΔ ΗΠΑ) Zone 4 ( ΝΔ ΗΠΑ) 3 σταθμοί 35 ος παράλληλος 204 σταθμο-έτη 24 σταθμοί 2624 σταθμο-έτη 4 σταθμοί 573 σταθμο-έτη Ζώνη 6 (Μεσόγειος) 105 ος μεσημβρινός 104 σταθμοί 10942 σταθμο-έτη Ζώνη 1 (ΒΑ ΗΠΑ) 19 σταθμοί 2012 σταθμο-έτη Ζώνη 2 ( ΝΑ ΗΠΑ) 11

Ανηγμένο ύψος βροχής 1.01 1.2 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000 Νεότερα αποτελέσματα (συν.) Αναγωγή κάθε δείγματος με τη μέση τιμή του. Ενοποίηση όλων των δειγμάτων (18065 δεδομένα) μετά από εκτεταμένη διερεύνηση των σχετικών προϋποθέσεων. Επαλήθευση προηγούμενων συμπερασμάτων: 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Περίοδος επαναφοράς (έτη) Εμπειρική ΑΤ2/Ελάχ. τετράγ. ΑΤ2/Ροπές ΑΤ2/L ροπές ΑΤ2/Μέγ. πιθανοφ. ΑΤ1/L ροπές Πηγή: Koutsoyiannis (2004) -2 0 2 4 6 8 10 12 Ανηγμένη μεταβλητή Gumbel 1. Δεν στοιχειοθετείται η ύπαρξη άνω ορίου (ΠΜΚ). 2. Η κατανομή Gumbel αποδεικνύεται ακατάλληλη. 3. Η κατανομή Ακραίων Τιμών Τύπου 2 φαίνεται κατάλληλη. 4. Οι διαφορές των δύο κατανομών είναι αισθητές για Τ > 50 χρόνια και εξαιρετικά σημαντικές για Τ > 200-500 χρόνια. 5. Η κατανομή Gumbel θα πρέπει να θεωρείται επικίνδυνη για το σχεδιασμό φραγμάτων. 12

Ύψος βροχής (mm) 1.01 1.2 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 50000 100000 Τι δείχνουν τα δεδομένα της Αθήνας; Η Αθήνα διαθέτει τη μεγαλύτερη σε μήκος ιστορική χρονοσειρά βροχόπτωσης (από το 1860). Η ανάλυση της χρονοσειράς μέγιστων βροχοπτώσεων επιβεβαιώνει τα προηγούμενα γενικά συμπεράσματα. Είναι χαρακτηριστική η διαφορά «στατιστικής» και «υδρομετεωρολογικής» ΠΜΚ. Η τελευταία έχει περίοδο επαναφοράς μόνο 2000 χρόνια. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Περίοδος επαναφοράς, έτη Εμπειρική ΑΤ2/L ροπές ΑΤ2/Μέγ.Πιθανοφ. ΑΤ2/Ροπές ΑΤ1/L ροπές «Υδρομετεωρολογική» ΠΜΚ «Στατιστική» ΠΜΚ (Hershfield) κ = 0.170 κ = 0.158 κ = 0.106 Αθήνα -2 0 2 4 6 8 10 12 Ανηγμένη μεταβλητή Gumbel Πηγές: Koutsoyiannis & Baloutsos (2000), Koutsoyiannis (2004), Papalexiou & Koutsoyiannis (2006) Βλ. και νεότερη μελέτη των Papalexiou & Koutsoyiannis (2013) 13

Μέθοδος της δυσμενέστερης διάταξης του υετογραφήματος μελέτης Προσδιορίζονται τα τμηματικά ύψη βροχής των επιμέρους διαρκειών με βάση την καμπύλη ύψους βροχής χρονικής κλίμακας της υπό μελέτη λεκάνης Αυτά διατάσσονται στη συνέχεια σε τρόπο ώστε να προκύπτει ένας δυσμενής συνδυασμός, δηλαδή τέτοιος που να προκαλεί αυξημένη αιχμή της παραγόμενης πλημμύρας. Υποπερίπτωση α: μέθοδος εναλλασσόμενων μπλοκ (βλ. Chow et al., 1988, σ. 466). Υποπερίπτωση β: διάταξη με βάση το μοναδιαίο υδρογράφημα (βλ. επόμενη σελίδα και US Bureau of Reclamation, 1977, σ. 817). 14

Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου της δυσμενέστερης διάταξης του υετογραφήματος μελέτης Δh 5 h 4 = h(4d/5) Τελικό υετογράφημα μελέτης 4 3 h 3 = h(3d/5) h 2 = h(2d/5) Ανεστραμμένο μοναδιαίο υδρογράφημα t 6 5 4 δ δ 4 5 3 3 δ 1 1 δ 2 2 U t Ολικό ύψος βροχής h ολ για d = 5δ 2 1 h 1 = h(d/5) Σχέση ύψους βροχής - χρονικής κλίμακας h = h(d) = λd / (1+d/θ) η 15

Επίδραση της επιφάνειας Γεωγραφική μεταβολή Μεταβολή του επιφανειακά μέσου ύψους με την έκταση Συντελεστής επιφανειακής αναγωγής (areal reduction factor): φ = (επιφανειακά μέσο ύψος βροχής) / (μέγιστο σημειακό ύψος βροχής) Εμπειρικά διαπιστωμένες, ιδιότητες του φ: Είναι πάντα μικρότερος από 1. Είναι φθίνουσα συνάρτηση της έκτασης Α. Είναι αύξουσα συνάρτηση της διάρκειας d. Εξαρτάται σε κάποιο βαθμό από την περίοδο επαναφοράς (μέγεθος καταιγίδας) και φαίνεται ότι η αύξηση της περιόδου επαναφοράς οδηγεί σε ασθενή μείωση του συντελεστή επιφανειακής αναγωγής δεν υπάρχουν ακόμη κατηγορηματικά συμπεράσματα για αυτή την εξάρτηση. Αν στην περιοχή μελέτης υπάρχουν επαρκή δεδομένα ιστορικών βροχοπτώσεων από σχετικά πυκνό βροχομετρικό δίκτυο, η συνάρτηση φ(d, A) προσδιορίζεται μετά από επεξεργασία αυτών των δεδομένων. Διαφορετικά χρησιμοποιούνται πίνακες ή διαγράμματα της βιβλιογραφίας (βλ. επόμενη σελίδα). 16

Συντελεστής επιφανειακής αναγωγής, φ 1 h 2 h 6 h 12 h 24 h 2 d 5 d 10 d 25 d Η συνάρτηση φ(d, A) σύμφωνα με Βρετανικά δεδομένα 1.00 0.75 0.50 Διακεκομμένες γραμμές: Πινακοποιημένες τιμές του National Environmental Research Council (1975). Συνεχείς γραμμές: Εξίσωση που έχει προσαρμοστεί στις πιο πάνω πινακοποιημένες τιμές (Κουτσογιάννης και Ξανθόπουλος, 1999): 0.36 0.01 ln A 0.048 A φ = 1 0.35 d (φ 0.25) 0.25 1 10 100 1 000 10 000 100 000 Διάρκεια, d (min) 17

Διόδευση πλημμύρας Η τυπική μέθοδος διόδευσης στηρίζεται: 1. Στην εξίσωση συνέχειας: ds/dt + Q(t) = I(t) όπου S το ολικό απόθεμα του ταμιευτήρα, Q η παροχή εκροής, I η παροχή εισροής στον ταμιευτήρα και t ο χρόνος. 2. Στη σχέση στάθμης-αποθέματος ταμιευτήρα (πινακοποιημένη, γραφική ή αναλυτική), S = f(z) 3. Στη σχέση στάθμης-παροχής υπερχειλιστή (πινακοποιημένη, γραφική ή αναλυτική) Q = g(z) Στην περίπτωση που υπάρχουν μερικώς ανοιχτά θυροφράγματα, η τελευταία σχέση είναι πιο περίπλοκη, καθώς η παροχή εκροής Q εξαρτάται όχι μόνο από τη στάθμη νερού στον ταμιευτήρα, αλλά και από το μερικό άνοιγμα των θυροφραγμάτων. 18

Αριθμητική επίλυση της διόδευσης πλημμύρας H εξίσωση συνέχειας γράφεται με τη μορφή εξίσωσης διαφορών για το διάστημα Δt = t j t j 1 : S(z j ) S j 1 = (I j + I j 1 Q j 1 Q(z j )) Δt/2 Γνωστό είναι το υδρογράφημα εισροής I(t), και σε κάθε βήμα ολοκλήρωσης όλα τα μεγέθη για το χρόνο t j 1. Άγνωστο είναι το z j. Η εξίσωση είναι μη γραμμική με ένα άγνωστο και λύνεται με επιλυτή, π.χ. ελαχιστοποιώντας το τετραγωνικό σφάλμα (S(z j ) S j 1 (I j + I j 1 Q j 1 Q(z j )) Δt/2) 2 Τα σύγχρονα υπολογιστικά πακέτα (π.χ. ο επιλυτής του Excel) μπορούν να κάνουν τους υπολογισμούς με μία μόνο επίλυση για ολόκληρο το χρονικό διάστημα ολοκλήρωσης, ελαχιστοποιώντας το αθροιστικό τετραγωνικό σφάλμα όλων των χρονικών βημάτων. 19

Τι αποφεύγουμε και τι κάνουμε για τον υδρολογικό σχεδιασμό υπερχειλιστή Αποφεύγουμε τις έννοιες της ΠΜΚ και ΠΜΠ (εκτός αν χρησιμοποιηθούν μόνο επικουρικά, ως παλιότερες μέθοδοι, για λόγους σύγκρισης). Αποφεύγουμε την κατανομή Gumbel για βροχόπτωση ή παροχή. Χρησιμοποιούμε πιθανοτική κατανομή Ακραίων Τιμών Τύπου 2 ή συναφή (π.χ. Log Pearson 3). Ακόμη και όταν υπάρχει αξιόπιστο δείγμα παροχής, και πάλι είναι απαραίτητη η πιθανοτική ανάλυση των βροχοπτώσεων και η κατάρτιση καταιγίδας σχεδιασμού. Ο μετασχηματισμός της βροχής σε παροχή αποτελεί ένα μεγάλο και δύσκολο αντικείμενο (εκτός του θέματος της παρουσίασης). 20

Αναφορές Chow, V. T., D. R. Maidment, and L. W. Mays, Applied Hydrology, McGraw-Hill, 1988. Hershfield, D. M., Estimating the probable maximum precipitation, Proc. ASCE, J. Hydraul. Div., 87(HY5), 99-106, 1961. Koutsoyiannis, D., A probabilistic view of Hershfield s method for estimating probable maximum precipitation, Water Resources Research, 35(4), 1313-1322, 1999. Koutsoyiannis, D., Statistics of extremes and estimation of extreme rainfall, 2, Empirical investigation of long rainfall records, Hydrological Sciences Journal, 49 (4), 591 610, 2004. Koutsoyiannis, D., and G. Baloutsos, Analysis of a long record of annual maximum rainfall in Athens, Greece, and design rainfall inferences, Natural Hazards, 22 (1), 31 51, 2000. Koutsoyiannis, D., and S. M. Papalexiou, Extreme Rainfall: Global Perspective, Ch. 75, Handbook of Hydrology, 2015 (in review) National Environmental Research Council (NERC), Flood Studies Report, Institute of Hydrology, Wallingford, 1975. Papalexiou, S.M., and D. Koutsoyiannis, A probabilistic approach to the concept of probable maximum precipitation, Advances in Geosciences, 7, 51-54, 2006. Papalexiou, S.M., and D. Koutsoyiannis, Battle of extreme value distributions: A global survey on extreme daily rainfall, Water Resources Research, 49 (1), 187 201, doi:10.1029/2012wr012557, 2013. US Bureau of Reclamation, Design of Arch Dams, US Government Printing Office, Denver, CO, 1977. World Meteorological Organization, Manual for Estimation of Probable Maximum Precipitation, Operational Hydrology Report 1, 2nd edition, Publication 332, World Meteorological Organization, Geneva, 1986. Κουτσογιάννης, Δ., και Θ. Ξανθόπουλος, Τεχνική Υδρολογία, Έκδοση 3, 418 σελίδες, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 1999. 21